Takumi Yoshida – COMSOL 博客

为什么声音在夜间传播得更远

Takumi Yoshida — Tue, 28 Jan 2025 09:22:55 +0000

当我还是一名高中生的时候，我花了很多时间练习吹奏小号。每当夜幕降临太阳落山时，我都能听到我吹出的音符在约 500 米以外的一栋教学楼里回荡。那时，我常常想，为什么只有在日落之后才能听到那些遥远的回声？这篇博客，我们将描述这一有趣的现象，并使用 COMSOL Multiphysics^® 软件及其特有的射线追踪方法对其进行模拟。

温度梯度引起的声音折射

后来我才知道，造成这种声音现象的原因是大气中温度分布的变化。温度通常随海拔高度的增加而降低。在这个示例中，由于声速与温度相关，空气中的声速随着高度的上升变得越来越慢。例如，空气中的声速可以用以下理想气体模型很好地描述。

c_0=\sqrt{\frac{\gamma R_{\rm{const}}T}{M_{\rm{n}}}}

式中，, , 和分别代表比热容比、普适气体常数、温度和摩尔质量。理想气体模型假定空气是干燥的，但一般来说，空气中的声速也取决于相对湿度。例如，校准耦合器模型就是潮湿空气中声速的典型示例。根据斯涅耳定律，当声波从声速较慢的区域入射到声速较快的区域时，会产生一个折射角小于入射角的折射波，如下图所示。

声速较慢区域和声速较快区域交界处的声音折射。

因此，在标准大气条件下的连续渐变温度场中，声音会向上折射，如下图所示。

声线在白天传播的示例。线条代表声线，背景颜色代表温度向地面逐渐升高的温度场。

在大气层中传播的声音通常会消失在天空中。然而，有时会出现逆温现象——当地表的热辐射超过太阳辐射的热量时，例如在夜间。这种反常现象会使声音向下折射，如下图所示。

声线在夜间传播的示例。

由于声音传播方向相反，在夜间可以听到更远的声音。准确模拟这种现象对于室外声学分析至关重要，因为声音传播特性的差异会极大地影响室外噪声水平和语言清晰度等因素的计算结果。

射线追踪法适用于模拟大型室外空间中的声音传播，因为它不像基于压力或波的方法那样需要精细的空间网格来解析波长。不过，在标准的射线追踪方法中，只有当光线遇到具有反射或折射条件的边界时，光线方向才会发生变化。为了计算大气中平滑的折射声线路径，必须手动设置多个边界，其中每个边界都描述了折射条件。这一过程可能会耗费大量时间，而且用户往往不清楚什么是合适的设置。在 COMSOL Multiphysics^® 中实现的基于哈密顿的射线追踪方法非常适用于室外声学分析，因为它可以准确、固有地模拟渐变折射率介质中的射线轨迹。

进一步了解 COMSOL Multiphysics^® 中使用的射线追踪算法功能，请参阅 COMSOL 博客：射线追踪算法的选择如何影响求解？这种方法也适用于模拟海洋声学问题，例如二维轴对称几何水下射线追踪教程模型中声速取决于深度的问题。

接下来，我们将使用 COMSOL 软件中的射线声学接口来计算白天和夜晚室外发生的不同的声线轨迹。

模拟长程回声

让我们使用 COMSOL Multiphysics^® 来模拟我的小号从 500 米外的教学楼发出的长程回声。为了确认回声是否只在夜间才能被探测到，我们在两种温度条件下进行了模拟。

一把小号，与本博客作者高中时练习的那把小号相似。图片由 Ballista 提供，获 CC BY-SA 4.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

我们的模拟包括下步骤：

使用 流体传热 接口计算温度场
使用 压力声学，频域 接口计算小号喇叭口的辐射指向性
使用 射线声学 接口计算声音在室外的传播

模型的几何形状和放大的源区域。

上图显示了模型的几何形状。白色开放矩形空间代表教学楼。地面的形状利用高程数据创建。

模拟假设声音从小号的喇叭口发出，演奏者位于喇叭口附近（演奏者位置用于计算脉冲响应）。图中还显示了步骤 2 中描述的放大的声源区域。

步骤 1：传热分析

第一步，设定了地面的两个温度条件：白天 25^°C，夜间 9^°C，而天空温度保持在 19^° C。将包括教学楼表面在内的其他边界设定为隔热边界条件。下图显示了白天和夜间的温度场。

白天和夜间的温度场。

在白天，可以看到垂直方向上的标准温度分布——上部较冷。在夜间，气温会出现逆转现象——上部较热。

步骤 2：压力声学分析

第二步是模拟小号喇叭口的声辐射指向性。在示例中，只考虑了喇叭口形状所产生的指向性，没有模拟任何损失。喇叭口形状被模拟为一个指数曲线形喇叭，使用 内部硬声场边界（壁） 条件，截止频率为 1200 Hz。指数曲线形喇叭的横截面半径按下式增长：

r=e^{mx}

式中

m=\frac{4\pi f_{\rm{c}}}{c}

是截止频率，是声速。空间变量用表示。请注意，上式为二维形式（假设面外方向厚度均匀）。在实际的三维指数曲线形喇叭中，横截面积随的增长而增长。

在这一步骤中，只对圆的内部区域使用有限元法（FEM）进行模拟，并使用完美匹配层（PML）进行截断。在喇叭口的入口处设置了 1 m/s² 的 法向加速度 边界条件作为激励。为了转换在步骤 1 中获得的温度场，使用了含转换参数 “Ns” 的 参数扫描 研究步骤。下列截图显示了频域研究步骤和 参数扫描 研究步骤的设置。

频域 研究步骤（左）和 参数扫描 研究步骤（右）的设置。

分别在白天（左）和夜间（右）条件下计算出的指数曲线形喇叭的辐射模式。

步骤 3：射线声学分析

第三步，分别在步骤 1 和步骤 2 中获得的温度场和喇叭口辐射指向性的基础上进行声线追踪。 COMSOL Multiphysics^® 中的射线追踪方法可以轻松计算渐变折射率介质中的脉冲响应。从 射线声学 接口的 强度计算 列表中选择 计算渐变折射率介质中的强度和功率，如下图所示。

射线声学 接口中 强度计算 的设置。

将壁节点的 混合漫反射和镜面反射 条件施加在地面和建筑物上的边界，壁节点的消失条件则指派给其他边界来模拟非反射边界。所有反射边界的镜面反射概率均设定为 0.95。假设地面很厚，使用以下近似 Wilson 阻抗模型模拟地面的声吸收。

z_{\rm{n}}=\left(\left(1+\frac{\gamma-1}{\sqrt{1+3.1\frac{j\omega\rho}{\sigma}}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+3.1\frac{j\omega\rho}{\sigma}}}\right)\right)^{-0.5}

式中，是地面的归一化表面阻抗。和分别表示空气密度和流动电阻率。和分别表示虚数单位和角频率。在此模拟中，流动电阻率被设定为 440 kPa s/m²。地面的法向入射吸收系数如下图所示。

地面的法向入射吸收系数。

教学楼表面的吸收系数设定为 0.05。模拟中使用了 从边界释放 功能以将喇叭口辐射指向性考虑在内。

设置从边界释放功能。

要了解 从边界释放 功能，请参考博客：小型智能扬声器的全声学室内脉冲响应。值得注意的是，这篇博客讨论了 从压力场释放 功能，它代表了在三维模型中设置声源的一种更加自动化的方法。本文使用了 从边界释放 功能进行手动设置。为了使用源计算研究的结果，将射线追踪 研究步骤和 参数扫描 研究步骤进行如下设置。

射线追踪 研究步骤（左）和 参数扫描 研究步骤（右）的设置。

射线追踪结果

下图显示了白天条件下的声线轨迹和脉冲响应。脉冲响应由设置在演奏者位置（靠近喇叭口）的接收器捕获。

白天条件下 500 Hz 的射线轨迹；射线颜色代表射线传播时间。

白天条件下演奏者位置的脉冲响应。

为了提高可视性，我们从射线轨迹图中剔除了反射次数为 0 的射线。可以看到，有些射线撞击到建筑物表面并消失在天空中，没有返回到演奏者的位置。这一现象在其他频率下也得到了证实。相应地，演奏者位置的脉冲响应没有捕获到来自建筑物的回声。下图显示了夜间条件下的声线轨迹和演奏者位置处的脉冲响应。

夜间条件下 500 Hz 的射线轨迹。

夜间条件下演奏者位置的脉冲响应。

与白天的情况不同，很多射线在夜间撞击教学楼后又返回到演奏者所在的位置。演奏者所在位置的脉冲响应还包括来自教学楼的回声。这些结果表明，教学楼在夜间接收到的声音更大。为了确认声音到底有多大，下图显示了演奏者侧教学楼表面的平均声压级 (SPL)。

演奏者侧教学楼表面的平均 SPL。

在这里，使用有限元（基于波的方法）耦合模拟的喇叭口辐射特性（在 1200 Hz 处截止）在很大程度上影响了上述声压级图的频率特性。渐变温度场中声音路径的精确模拟清楚地表明，与白天相比，声音在夜间更容易传播到远处的建筑物。在夜间条件下，建筑物表面接收到的 125 Hz-2000 Hz 的声音比白天大 5.5 分贝以上。如果声源不是小号，而是位于噪声管制地界的工厂冷凝器等设备，这种差异可能会很大。

最后，我想通过可听化来分享我的经验。在第一个示例音频中，您可以听到演奏者所在位置在白天和夜晚的声音差异。在第二个示例音频中，您将听到夜间教学楼的回声。有关可听化的更多信息，请参阅博客：使用卷积运算和可听化技术进行室内声学分析。

白天的小号声。

夜间的小号声。

调节和控制声音的重要性

这篇博客，我们解释并模拟了众所周知的现象，即声音在夜间传播得更远。文中还展示了 COMSOL Multiphysics^® 中的射线追踪算法如何用于模拟大型室外声场，以及如何适用于模拟渐变折射率介质的声音折射。噪声法规通常要求夜间的声级低于白天，因此必须考虑夜间大气中声音的折射特性。COMSOL Multiphysics^® 中的 射线声学 接口可用于准确地预测和控制室外声音，以及评估室外公共广播系统的语音清晰度。

动手尝试

想亲自动手尝试模拟文中展示的示例，请至 COMSOL 案例库中下载，其中包含有关该模型及其 MPH 文件的介绍：

获取模型

编者注：这篇博客更新于 2025 年 4 月 28 日，以包含至 COMSOL 案例库下载示例模型的链接。

地面高程数据来自 Geospatial Information Authority of Japan提供的彩色高程图。

消声效果由 The Open AIR Library 提供，获 CC BY 4.0许可。

吸声边界：局部反射与扩展反射

Takumi Yoshida — Fri, 10 Jan 2025 07:41:24 +0000

如今，无论是创建身临其境的虚拟场景、设计舒适的室内声学环境，还是优化音频体验，室内声学仿真都是设计良好声效不可或缺的一部分。声学模块是 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品，包含多个适用于室内声学仿真的接口。这篇博客，我们将重点介绍吸声边界条件对室内声学仿真的重要性。

吸声性能

为了理解吸声边界条件，我们首先来讨论吸声系数。使用以下三个量来描述吸声体的吸声特性（参考文献 1）:

吸声系数，: 非反射声能与入射声能之比
比声阻抗，: 声压与吸声体表面法向粒子速度之比
复压力反射系数，: 反射声压与入射声压之比

以平面波进入多孔吸声体的理想情况来分析这些参数，具体如下图所示。

入射到多孔材料上的平面波。

这里，假定空气和多孔材料的波数分别为和。入射、反射和透射声压分别为，和。入射角、反射角和透射角分别为，和。入射声和反射声的振幅用和表示，多孔介质中的正向声波和反向声波用和表示。假定厚度为 m 的多孔吸声体为等效流体（更多信息请参见 Multiphysics Cyclopedia）。具有刚性边界的终端设置为。

根据线性声波方程，入射声、反射声和透射声在 x 方向上的粒子速度分别为，和，可表示为以下形式：

v_{\rm i}(x)=\frac{\cos{\theta}}{Z_0}p_{\rm i}(x)

v_{\rm r}(x)=-\frac{\cos{\psi}}{Z_0}p_{\rm r}(x)

v_{\rm t}(x)=\frac{B_{\rm t}\cos{\phi}}{Z_{\rm C}}\exp{(-jk_{\rm e}x\cos{\phi})}-\frac{B_{\rm b}\cos{\phi}}{Z_{\rm C}}\exp{(jk_{\rm e}x\cos{\phi})}

式中，和分别代表空气和多孔材料的特性阻抗。根据定义，反射系数可表示为:

R=\frac{p_{\rm r}(0)}{p_{\rm i}(0)}

在空气层和多孔层（x=0）的界面边界上，存在以下两个连续条件:

p_{\rm i}(0)+p_{\rm r}(0)=p_{\rm t}(0)

v_{\rm i}(0)-v_{\rm r}(0)=v_{\rm t}(0)

根据这些连续条件和费马原理，比声阻抗可由下式表示:

Z_{\rm n}=\frac{p_{\rm t}(0)}{v_{\rm t}(0)}=\frac{p_{\rm i}(0)+p_{\rm r}(0)}{v_{\rm i}(0)-v_{\rm r}(0)}=\frac{Z_0}{\cos{\theta}}\frac{1+R}{1-R}

故，

R=\frac{Z_{\rm n}\cos\theta-Z_0}{Z_{\rm n}\cos\theta+Z_0}

吸收系数可通过下式确定。

\alpha = 1-|R|^2 = 1 – |\frac{Z_{\rm n}\cos\theta-Z_0}{Z_{\rm n}\cos\theta+Z_0}|^2

因此，可以通过为边界施加三个量中的一个来模拟边界的吸声情况。同样，上述公式表明本质上与入射角相关，和是包含相位信息的复值参数，是能量参数。相位信息对于准确模拟室内模型非常重要。因此，复值参数通常是基于波的室内声学仿真的较好的输入参数。另一方面，吸声系数有利于直观地读取吸声体的性能，它是吸声测试的主要输出。随机入射吸声系数，即立体角的平均值，被视为吸声体的实际性能。

在下列公式中，我们将进一步研究多孔材料的声阻抗。

处的传输压力和速度如下:

p_{\rm t}(0)=B_{\rm t} + B_{\rm b}

v_{\rm t}(0)=\frac{(B_{\rm t} – B_{\rm b})\cos\phi}{Z_{\rm C}}

处的传输压力和速度如下:

p_{\rm t}(d)=(B_{\rm t} + B_{\rm b})\cos{(k_{\rm e}d\cos\phi)} – (B_{\rm t} – B_{\rm b})\sin{(k_{\rm e}d\cos\phi)}

v_{\rm t}(d)=\frac{(B_{\rm t} – B_{\rm b})\cos\phi}{Z_{\rm C}}\cos{(k_{\rm e}d\cos\phi)} – j\frac{(B_{\rm t} + B_{\rm b})\cos\phi}{Z_{\rm C}}\sin{(k_{\rm e}d\cos\phi)}

有了这些公式，我们就可以使用下列矩阵形式来表示入口处的参数和终端值:

\begin{bmatrix}
p_{\rm t}(0) \\
v_{\rm t}(0) \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos{(k_{\rm e}d\cos\phi)} & j\frac{Z_{\rm C}}{\cos\phi}sin{(k_{\rm e}d\cos\phi)} \\
j\frac{\cos\phi}{Z_{\rm C}}sin{(k_{\rm e}d\cos\phi)} & \cos{(k_{\rm e}d\cos\phi) \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_{\rm t}(d) \\
v_{\rm t}(d) \\
\end{bmatrix}={\bm T}_{\rm F}\begin{bmatrix}
p_{\rm t}(d) \\
v_{\rm t}(d) \\
\end{bmatrix}

式中，是流体层的转移矩阵，已被广泛用于利用转移矩阵法（TMM）建立吸声和隔声模型（参考文献 2）。利用斯涅耳规则，可以将改写为下列形式:

{\bm T}_{\rm F}=\begin{bmatrix}
\cos{(k_{\rm n}d)} & jZ_{\rm C}\frac{k_{\rm e}}{k_{\rm n}}sin{(k_{\rm n}d)} \\
j\frac{1}{Z_{\rm C}}\frac{k_{\rm n}}{k_{\rm e}}sin{(k_{\rm n}d)} & \cos{(k_{\rm n}d) \\
\end{bmatrix}

式中，。在终端 ( ) 的刚性边界条件下，可以计算出多孔吸声体的比声阻抗:

Z_{\rm n}=\frac{p_{\rm t}(0)}{v_{\rm t}(0)} = \frac{\cos{k_{\rm n}d}}{j\frac{1}{Z_{\rm C}}\frac{k_{\rm n}}{k_{\rm e}}sin{(k_{\rm n}d)}}=-jZ_{\rm C}\frac{k_{\rm e}}{k_{\rm n}}\cot{(k_{\rm n}d)}

上式表明，特定声阻抗本身与角度有关。因此，要对边界上吸声进行完整仿真，应考虑吸声阻抗的角度依赖性。

局部反射和扩展反射模型

在建立边界吸声模型时，通常会采用两种吸声边界模型：局部反射模型和扩展反射模型。局部反射模型是室内声学仿真的标准模型，它使用与角度无关的阻抗（通常使用正常入射条件下的阻抗值）来描述边界的吸声特性。该模型假定吸声体表面某点的粒子速度与表面其他点的行为无关。扩展反射模型采用与角度相关的阻抗。当然，局部反射模型是近似模拟，但能准确高效地模拟声阻抗与角度关系不大的吸声体，如具有高流阻的刚性背衬多孔材料和带蜂窝芯的吸声体。扩展反射模型虽然精确，但通常需要对吸声体内部进行额外模拟。要实现准确高效的室内声学模拟，应为室内安装的吸收体选择合适的吸收边界模型。下文，我们将分别从理论和数值上来证明吸收边界类型对随机入射吸收系数的影响。

不同的表面模式如何影响吸声性能

我们计算了钢性背衬多孔吸声器和背部有空气层的隔音帘的吸声性能。将多孔材料视作厚度为 100 mm 的等效流体。采用经验 Miki 模型模拟流体特性，流阻为 13,900 Pa s/m²。由于所使用的隔音帘相对于研究频率的波长非常薄，我们使用了渗透膜模型，并将其与空气层耦合。使用渗透膜模型，可按下式计算吸声帘幕的传递阻抗:

Z_{\rm t}=(\frac{1}{R_{\rm C}}+\frac{1}{j\omega M_{\rm C}})^{-1}

式中，和分别代表流阻和表面密度分别设置为 416 Pa s/m 和 0.5 kg/m²。在理论研究中，我们使用了转移矩阵法，并将统计吸收系数作为随机入射值计算。统计吸收系数的定义如下:

\alpha_{\rm s}=\frac{\int_0^{\pi/2}\alpha(\theta)\sin\theta\cos\theta d\theta}{\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta d\theta}

薄材料的传递矩阵表示如下:

{\bm T}_{\rm T}=\begin{bmatrix}
1 & Z_{\rm t} \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}

根据上述传递矩阵，可以得出含空气层的隔音帘的特定声阻抗:

Z_{\rm n} = Z_{\rm t}-jZ_{\rm 0}\cot{(kd\cos\theta)}

对于转移矩阵法，可通过代入来计算局部反射模型。

在数值研究中，我们计算了混响室吸声系数，即在混响室中测得的吸声系数。该系数值取决于测量的房间和样本大小。吸声系数早在 ISO:354 中就被作为一种标准测量程序，广泛应用于实际的室内声学设计中。

为了利用 COMSOL Multiphysics^® 有效模拟混响室吸声系数的测量，我们对带嵌入式吸声体的唯一硬质地板进行了二维模拟，如下图所示。

用于计算混响室吸声系数的嵌入式吸声器模型。

参考文献 3 中的验证研究表明，这一简化模型非常接近混响系数的测量结果。

我们使用 压力声学，边界元 接口模拟入射压力场和刚性地板，使用 压力声学，频域 接口模拟吸声体内部的压力。 多孔介质声学 功能用于模拟多孔材料。借助 声学 FEM-BEM 边界 功能，可以同时设置隔音帘的传递阻抗。对于局部反应模拟，禁用了吸声体域，将相应的法向入射声阻抗施加到吸声体表面。按照以下步骤计算混响室吸声系数:

对于入射角为的平面波，计算吸声体表面入射的和吸收的能量。
使用下式计算总吸收能量与总入射能量之比。

混响室吸声系数如下所示。

\alpha_{\rm r}=\frac{\sum_{n=1}^{N}W_{{\rm a},\theta_n}}{\sum_{n=1}^{N}W_{{\rm i},\theta_n}}

式中，是入射角数。在数值试验中，使用 背景压力场 模拟平面波入射场，和由下式定义:

W_{{\rm i},\theta_n}=\int \frac{p_0^2}{2Z_{\rm 0}}\cos\theta_n dS

W_{{\rm a},\theta_n}=\int {\bm n}\cdot {\bm I}_{\theta_n}dS

式中，是入射压强的振幅，和是吸收体表面法线矢量和入射角的声强矢量。

下图比较了多孔吸声体的随机入射吸收系数。局部反射和扩展反射之间的差异很小，但可以观察到，尤其是在高频下。因此，如上所述，对于具有高流阻和刚性终端的多孔材料来说，局部反射模型似乎是一个很好的近似。

多孔吸声体的随机入射吸收系数。

另一方面，如下图所示，隔音帘的随机入射吸收系数的比较显示出局部反射模型和扩展反射模型之间存在巨大差异。这是由于空气层具有很强的入射角度依赖性。这也符合传统规则，即对于含空气层的吸声体，扩展反射模型非常重要。

隔音帘的随机入射吸收系数。

混响室吸收系数与统计值的比较

由上文的吸收系数图中可以看出，无论采用哪种吸声体和吸收边界模型，混响室的吸收系数都大于统计值，并超过 1（理想吸收以上）。这种现象被称为“边缘效应”，是实际测量中的典型现象，它是由刚性地板到吸声体表面的能量流动引起。下图入射角为 60^° 、频率为 500 Hz 的隔音帘扩展模型即显示了这种情况。此案例中的能量流动是由样本边缘周围的声压梯度引起的：地板附近的声压由于反射声的作用而变大，而吸声体前面的声压由于吸声效应而变小。能量流动发生在样品边缘，通过增大样本面积可以减小其对吸声系数的影响。因此，ISO:354 规定了测量混响室吸声系数的样本尺寸。

入射角为 60^°，频率为 500 Hz 时的振幅和用箭头表示的声强视图。

结论

这篇博客介绍了边界吸声的理论知识，并探讨了吸声边界模型的类型如何影响吸声性能。对于室内声学仿真，COMSOL^® 中的 射线声学、压力声学、频域 和 压力声学、时域显式 物理场接口非常适用。射线声学 接口基于几何声学，无法准确模拟声波的行为。然而，我们的模拟可以表征表面吸声器的入射-角度依赖性行为，有助于提高室内声学仿真的准确性。

基于波的方法可以准确模拟边界的吸声特性。多孔介质声学 和 内部阻抗 功能可用于模拟吸声边界的扩展反射。压力声学，频域 接口可以轻松处理这些条件，因为该方法本身与频率相关。另一方面，扩展反射边界条件的时域建模非常具有挑战性，因为很难在时域中模拟吸声特性的频率依赖性。不过，我们可以在时域中使用 多孔介质声学 功能，模拟具有扩展反射的多孔吸声体。该功能的时域版本使用高效的辅助微分方程方法来考虑多孔材料的频率依赖性。因此，我们可以根据吸声体的配置灵活选择吸声边界模型。

在接下来的博客中，我们将使用时域 多孔介质声学 功能来探讨吸声边界类型的选择如何影响会议室的声学效果。

参考文献

Z. Maekawa, J. H. Rindel and P. Lord. Environmental and Architectural Acoustics. CRC Press, 2010.
J.F. Allard and N. Atalla. Propagation of Sound in Porous Media: Modelling Sound Absorbing Materials. Wiley, 2009.
T. Sakuma, S, Sakamoto and T. Otsuru. Computational Simulation in Architectural and Environmental Acoustics: Methods and Applications of Wave-Based Computation. Springer, 2014.

使用卷积运算和可听化技术进行室内声学分析

Takumi Yoshida — Tue, 05 Mar 2024 08:24:51 +0000

卷积是一种有用的数学运算，被应用于信号和图像处理、统计学等多个领域。声学工程师经常使用卷积来处理声学信号，以提取所需的信息或更好地解释声音。这篇博客，我们将介绍在 COMSOL Multiphysics^® 软件中实现卷积运算的3种方法。我们将讨论使用这些方法对房间脉冲响应（IR）的低通滤波实现卷积，并通过一个室内声学可听化示例来说明。

卷积的定义和方法

从物理上讲，卷积可以给出在时域、频域或空间域中表示的两个信号之间的重叠量信息。对于时域信号，它的数学定义为

f(t)\ast g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau){\mathrm{d}{\tau}。

式中, 和分别表示时间变量和用于时间积分的虚拟变量，代表卷积算子。

在每个处，此方程将计算函数的原始形式与另一个函数反射和移位后的乘积的时间积分。这个运算是交换运算，即无论哪个函数被反射和移位，运算结果都保持不变。所有的移位值 () 都要进行积分，得出的卷积结果作为的函数。

这里，我们将这种积分形式称为卷积积分，它适用于处理平滑和连续函数。对于离散数据（如数字化声音信号），使用这种方法需要高要求的数值积分方案，这通常会带来巨大的计算量。为了避免这种情况，可以使用下面的离散卷积法来处理离散信号：

f(t)\ast g(t) = \sum_{\tau=-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\Delta t.

式中, 是采样间隔。

通过将积分近似为离散样本的求和，离散卷积的计算速度比卷积积分更快。

如果存在两个信号的傅里叶变换，则可以使用基于卷积定理的快速傅立叶变换 (FFT) 更高效地计算离散卷积：

f(t)\ast g(t) = \mathcal{F}^{-1}\left[\mathcal{F}[f(t)]\times \mathcal{F}[g(t)]\right].

式中, 和分别是傅里叶变换算子和傅里叶逆变换算子。卷积定理利用了时域中两个函数卷积的傅里叶变换等价于信号（频域中的信号）傅里叶变换的乘积这一事实。现代实时卷积技术通常使用 FFT，因为它的计算效率更高。

房间脉冲响应的低通滤波

下面，我们将演示如何在COMSOL Multiphysics^® 中使用卷积积分、离散卷积和卷积定理来实现卷积。我们将通过一个示例来介绍这些方法的基本步骤。在这个示例中，对从小型音乐厅声学分析教学模型中获得的脉冲响应施加一个低通滤波。（声波的空气衰减就是一个常见的例子。）这些脉冲响应数据被加载并存储在一个插值函数中（本例中为插值 1）。数据图如下所示。

房间的脉冲响应图。

数据的持续时间和采样频率分别为 2s 和 44100Hz。

至于低通滤波器，我们使用的是 4 阶 Butterworth 滤波器。滤波器的传递函数定义如下：

TF(f) = \frac{2\pi \omega_c^4}{\Pi_{k=1}^{4}({j\omega-s_k})},

与

s_k=\omega_c \exp{\frac{j(2k+3)\pi}{8}},

其中，和分别代表频率和角频率。是截止频率处的角频率。是表示序列乘积的乘积算子。

在本例中，4 阶滤波器的截止频率为 2kHz，使用 Analytic 1 函数（本例中为解析1）定义。下面的图片显示了函数的定义方式、函数的实部和虚部频率响应，以及由该函数定义的滤波器的增益特性。

4 阶 Butterworth 滤波器的传递函数是用 解析 1定义的。

传递函数实部和虚部的频率响应。

低通滤波器的增益特性。

增益特性表明，低通滤波器在截止频率 2kHz 之前具有平坦的带通（此时滤波器会将输入功率衰减一半或 3dB）。在截止频率以上，滤波器增益以每倍频程 -24dB 的速度递减。

现在，让我们来了解一下在 COMSOL Multiphysics^® 中实现卷积的 3 种方法。

方法1：直接处理卷积积分

先来看直接处理卷积积分方法。这里需要输入两个时域信号。第一个信号是房间脉冲响应信号，已经定义为插值1。第二个信号，即低通滤波器，是在频域中定义的。需要通过对信号进行反离散傅里叶变换 (IDFT) 将其转换到时域。具体步骤如下。

步骤 1

创建 Grid 1D 数据集，并将其命名为 Grid 1D_f。这将生成一个指定频率范围（-22050 Hz，22050 Hz）的频率栅格，与房间脉冲响应数据的频谱相对应。它将被用于绘制频域信号。

Grid 1D_f 数据集的设置。

步骤 2

使用一维绘图组 功能中的函数图，对低通滤波器的 Grid 1D_f 数据集进行 IDFT。在设置窗口的输出部分，从显示列表中选择离散傅里叶变换，从显示列表中选择实部，并勾选逆变换。

低通滤波器 IDFT 的设置和曲线图。

步骤 3

在表1 中添加绘图数据。

步骤 4

利用表1 中的数据定义一个插值函数（插值2）。

插值2 的设置。

现在，我们已经有 2 个可以进行卷积的时域信号。虽然定义中假定了一个无限的时间间隔，，但由于两个输入信号在此时间范围之外都设置为零，因此只需在 0–2 s 的有限时间间隔内计算积分。卷积积分的计算过程如下。

步骤 1

在几何节点定义一个间隔，使其起始值和终止值与积分区间（0–2 s）相对应。

创建间隔。

步骤 2

在间隔上定义积分算子 intop1 。

积分算子的定义。

步骤 3

使用大小等于原始房间脉冲响应数据采样间隔的均匀线网格将间隔离散化。

间隔的离散化。

步骤 4

运行瞬态研究，这样就可以在结果部分使用插值函数和 intop1 算子。

步骤 5

创建 Grid 1D 数据集，并将其命名为 Grid 1D_t。这将生成一个时间网格，用于定义 0–2 s 范围内的时间信号，采样频率为 44 100 Hz。

Grid 1D_t 数据集的设置。

步骤 6

使用 Grid 1D_t 作为源数据集，在一维绘图中进行卷积积分。

使用 dest 算子 的卷积积分表达式。

这里，IR 和 Filter_IDFT 是在 插值1 和 插值2 中定义的房间脉冲响应和低通滤波器脉冲响应的插值函数。
请注意，dest 算子 强制要求在目标点而不是源点对函数进行求值。

方法2：标准离散卷积

离散卷积广泛应于实践中。要在 COMSOL Multiphysics^® 中进行离散卷积，必须使用APP开发器。借助APP开发器中的方法编辑器，可以使用 Java 代码来创建方法，运行这些方法可以自动实现或扩展模型树中的操作。本文将举例说明使用表存储数据实现卷积的方法。

下图中显示了实现的代码和设置，下表中列出了代码中定义的变量。

用表格中存储的数据实现离散卷积的 Java方法。

名称	类型	说明
a	双（二维矩阵）	来自第一个输入表的数据
b	双（二维矩阵）	来自第二个输入表的数据
c	双（二维矩阵）	卷积结果
ndata1	整数（标量）	a 的长度
ndata2	整数（标量）	b 的长度
ndata	整数（标量）	c 的长度
dt	双（二维矩阵）	取样间隔
js	整数（标量）	求和指数的起始值
je	整数（标量）	求和指数的终止值

Java 程序中定义的变量。

代码对存储在两个输入表中的数据进行离散卷积，并将结果输出到输出表中。以下几点说明可以更好地理解代码：

第2–4行: 从第一个输入表中提取数据和数据长度
第6–8行: 从第二个输入表中提取数据和数据长度
第11–13行: 定义结果的长度，创建存储卷积结果的双精度数组，并定义采样间隔
第18–28行: 执行 for 循环，开始离散卷积，从第一个时步到最后一个时步
第30–33行: 将结果输出到标有 离散卷积结果 的输出表中

请注意，结果数据的长度是两个输入表的长度之和减 1，求和指数的起始值（js）和结束值（je）的定义是使 js 小于第二个表的长度，je 小于第一个表的长度（分别见代码中的第 22 和第 23 行）。

要运行程序，必须将两个时间信号的曲线图存储在表格中。低通滤波器 IDFT 的绘图数据存储在表1 中。对于房间脉冲响应，需要在一维绘图组 功能中使用 Grid 1D_t 数据集创建房间脉冲响应的函数图，并将图中数据复制到表2 中。

可以在添加到模型树中的方法调用 功能的设置窗口中输入表格的标记名称。所有设置完成后，点击方法调用 设置窗口中的运行按钮就可以实现离散卷积。

在方法调用 功能的 设置 窗口中输入表格标记。

方法3：基于卷积定理的离散卷积

最后一种方法是根据卷积定理进行卷积，即使用 DFT。在这种情况下，要使用房间脉冲响应的 DFT 和低通滤波器的传递函数。具体方法如下：

步骤1

在同一个一维绘图组中的两个函数图中绘制房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部（各一个）。在设置中，从显示列表中选择 离散傅里叶变换。然后从显示列表中选择实部或虚部，分别用于绘制房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部。复选框为默认设置。

用一维绘图表示的房间脉冲响应 DFT。

步骤 2

将房间脉冲响应DFT 的实部和虚部数据分别复制到 表 3 和表4 中。

步骤 3

分别用 表 3 和 表 4 中存储的数据定义 插值 3 和 插值 4。

步骤 4

通过计算房间脉冲响应和低通滤波器的 DFT 点乘积的 IDFT 来进行卷积。利用 Grid 1D_f 数据集，在单个函数图中完成点相乘和 IDFT。

房间脉冲响应 DFT 与低通滤波器乘积的 IDFT。选择 设置 窗口中的 逆变换 复选框可实现逆变换。

这里, real_IR 和 imag_IR 是房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部，分别在 插值 3 和 插值 4中定义。 Butterworth 是 解析 1中定义的低通滤波器的传递函数。

请注意，卷积定理方法实现的是环形卷积，也就是说，如果网格的间隔长度不够，就会出现环形重叠。

低通滤波器的结果

下图显示了3种方法计算出的低通滤波房间脉冲响应，可以看出，3种方法的计算结果非常一致。

通过卷积积分、离散卷积和卷积定理计算出的卷积结果对比。

卷积结果范围为 0.02–0.07。

下图显示了滤波前后房间脉冲响应频谱的对比。可以确认的是，滤波后的频谱在 2 kHz 以上有所降低，而这正是低通滤波器的截止频率。这一结果证明卷积实现是成功的。

滤波前后的房间脉冲响应频谱。

可听化应用

下面我们来看一个可听化应用的例子。该示例包括房间脉冲响应和在消声室中采集的录音的卷积。假设该系统线性时间不变，可以通过脉冲响应和输入信号的卷积来计算任意输入的响应。根据这一理论，声学专家通过使用计算方法模拟的脉冲响应与消声室声音的卷积，对声场进行可听化评估。这一模拟过程被称为 可听化，包括从创建声音数据到听到声音的整个过程。示例模型（通过下一节中的按钮访问）使用前面介绍的标准离散卷积方法，对小型音乐厅模型中的小号声音进行了可听化处理。您还可以将卷积结果导出为 WAV 音频文件，以在音频或媒体播放器中播放。在下面的两个音频中，您可以比较消声室和混响室小号的声音。

小号在消声室中吹奏时的声音。

小号在小型音乐厅演奏时的声音，使用了可听化技术。

上面的示例中是单声道声音，与我们通常听到的双声道声音不同。不过，可以通过结合与头部相关的传递函数或声场再现技术，如环绕声（参考文献 1），来生成更逼真的声音。在接下来博客主题中，我们将展示这些示例。

下一步

点击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，进一步探索本文讨论的模型。

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延伸阅读

阅读以下博客，了解有关声学仿真中数据处理的更多信息：

参考文献

M. Vorländer, Auralization: Fundamentals of Acoustics, Modelling, Simulation, Algorithms and Acoustic Virtual Reality, Springer Science & Business Media: Berlin/Heidelberg, 2007.

消声效果由 The Open AIR Library 提供，获 CC BY 4.0 许可。

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