带电粒子追踪 – COMSOL 博客

模拟质子疗法中的笔形束扫描喷嘴

Yuanshen Li — Thu, 06 Mar 2025 05:31:35 +0000

质子疗法是一种利用高能质子束将电离辐射输送至治疗区域的先进癌症治疗手段。质子束的强度、方向和形状均需要精准控制，以向肿瘤区域输送适当的剂量，同时最大程度地减少对周围健康组织的损伤。这篇博客，我们将演示如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件模拟笔形束扫描喷嘴，用于将质子束精准地引入治疗区域。

质子疗法的优势

与其他形式的放射疗法相类似，质子疗法利用电离辐射破坏肿瘤细胞的 DNA 治疗癌症，这种辐射损伤会中断肿瘤细胞的繁殖，并最终消灭它们。在质子疗法中，电离辐射源是由粒子加速器产生的高能质子束。

使用质子束代替传统 X 射线的主要优势在于其明显的布拉格峰。通常情况下，后者的辐射剂量在浅层组织区域附近最大，并随组织深度单调递减，这意味着在治疗过程中，浅层和深层的健康组织也会受到次级照射。相反，质子会在停止前（即接近其最大穿透距离时）释放最大剂量，使浅层健康组织受到的剂量相对较小，而深层组织则完全不受影响。通过微调治疗计划中使用的质子束能量，医学物理专家可以确保质子束在肿瘤区域产生均匀的剂量，同时不伤害邻近的健康组织。

质子束和 X 射线束的剂量与穿透深度的关系，请注意质子束明显的布拉格峰。图片获 GNU Free Documentation License 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

质子束的横向剖面也需要加以控制，以使其与肿瘤的形状相匹配，最常见的两种方法是被动散射和笔形束扫描（PBS）。被动散射法利用一个或多个散射箔片来分散质子束，使目标区域（也称为治疗场）接受几乎均匀的照射。相比之下，笔形束扫描或点扫描则是将治疗场划分为类似体素的子区域，并利用狭窄的“笔形”射束对每个子区域进行治疗。

质子束的控制

质子束的导向由笔形束扫描喷嘴系统控制。最简单的笔形束扫描喷嘴由两块垂直和水平排列的偶极磁铁组成，以产生均匀磁场，分别使质子束向水平和垂直方向偏转。通过控制驱动磁铁的电流，辐射技术人员可以调整磁场强度，从而控制质子束的偏转程度。

笔形束扫描系统的数值模拟源于人们对磁共振成像（MRI）实时监测治疗（也称为磁共振引导质子治疗）的关注日益浓厚。笔形束扫描喷嘴和 MRI 系统都利用了强磁场，因此必须透彻地了解这两个系统之间的电磁相互作用，以决定采用什么必要的干预措施，确保 MR 成像和质子束的质量。

笔形束扫描喷嘴的 3D 模型。

笔形束扫描仿真

这篇博客，我们只研究笔形束扫描系统。所研究的模型由四个分离的功能磁体（两个偶极子和两个四极子），一个射束孔径和一个代表治疗场的靶平面组成。

笔形束扫描喷嘴模型的一部分。磁体系统包括两个标有 Q1 和 Q2 的四极子、一个垂直扫描偶极子 (SV) 和一个水平扫描偶极子 (SH)。图中还显示了射束孔径和靶平面（治疗场的位置）。

四极子旨在塑造质子束剖面的形状，以确保质子束与上游加速器束线（未模拟）相匹配。线性磁场梯度的作用是使质子束在一个横向方向聚焦，并在另一个方向散焦，因此需要两个四极子。聚焦的强度由输入的四极子电流控制。

沿四极子 1 (Q1)横截面中心的磁场。注意中心附近的磁场箭头方向。Q1 磁场在垂直方向聚焦质子束，在水平方向散焦质子束。另一个四极子（Q2）旋转了 90 度，其行为与Q1相反。

两个四极子的下游是两个扫描偶极子。这些磁体在极子间隙内产生恒定均匀的磁场，使质子束偏转到所需的目标位置。水平/垂直偏转的大小由磁场强度决定，而磁场强度又由输入偶极子电流的控制。在模型中，用户可以指定治疗场中所需的 (x, y) 目标位置，并根据给定的束流能量近似计算出所需的线圈电流，通过直接调整线圈电流就可以更精准地控制质子束的目标位置。

左图和右图分别显示了垂直扫描偶极子（SV）和水平扫描偶极子（SH）的磁场。

两个扫描偶极子的下游是束孔径和靶中心，前者是 PBS 喷嘴物理结构中唯一需要模拟的部分。为能够清晰演示，模型中还省略了喷嘴物理结构的其他部分，但在综合研究中可将它们包括在内。

为了可视化质子束轨迹，使用了 带电粒子追踪 接口模拟。磁场分布被无缝集成到粒子追踪模拟中，以准确模拟质子束的轨迹。（请注意，为了演示简洁清晰，模型中忽略了散射。）质子束的动能通常在 MeV 范围内变化，也被作为模型参数考虑在内。

分别沿 yz 平面和 xz 平面的质子束轨迹图（红色）和磁通密度模图。

上图描述了质子束和磁场的配置，质子束在靶平面上的标称位置为 x = 12 cm 和 y = 8 cm。

动手尝试

有兴趣尝试自己动手模拟本文中演示的多物理场模型吗？点击下方按钮，获取模型 MPH 文件。

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延伸阅读

阅读下列博客，了解仿真如何推动医疗保健领域的其他治疗方法：

在 COMSOL Multiphysics® 中模拟皮尔斯电子枪

Christopher Boucher — Thu, 19 Nov 2020 06:24:32 +0000

电子枪常用于阴极射线管、电子显微镜、光谱仪和粒子加速器中，其工作原理是从热阴极或等离子体中提取电子，然后将其加速到高动能。设计制造电子枪的一个主要挑战是电子互相排斥，因此电子束容易散开。今天，我们将讨论如何对一种最早设计用来抵消这种静电斥力的电极配置进行模拟——皮尔斯电子枪。

电子枪设计

一个好的电子枪设计必须能够做到以下几点：

提取足够多的电子，即获得足够的电子束流
将电子加速到一定的动能
将光束聚焦在特定位置

通常，当电子从阴极或等离子体源发射出来时，速度相当慢，然后它们会被外部场加速。一种非常简单的加速方法是使电子束通过一个固定电势的金属栅极。

两个带电粒子之间的力

所有发射的电子束之间都会产生相互斥力。考虑在位置 r ₁ 和 r ₂ 处的两个带电粒子，其电荷分别为 q₁ 和 q₂。根据库仑定律，可以计算粒子 2 施加在粒子 1 上的力，

\mathbf{F}_1 = \frac{q_1 q_2}
{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\right|^3}

其中，ε₀=8.854187817×10^-12F/m 是一个被称为真空介电常数的物理常数。

如果 q₁ 和 q₂ 具有相同的符号（即，两个粒子都带正电或负电），则粒子 1 上的力指向粒子2的反方向。如果一个粒子带正电而另一个粒子带负电，则粒子1上的力将指向粒子2。因此，同性电荷相斥，异性电荷相吸。

随着粒子彼此靠近，吸引力或斥力会变得更强。如果将两个电子之间的距离缩小一倍，它们彼此施加的斥力将增加四倍。

大量带电粒子之间的力

大多数现实世界的系统都包含大量的电子，而不仅仅是两个。作用在电子上的总库仑力是所有其他粒子施加的力之和。例如，作用在第一个粒子上的总力为

\mathbf{F}_1 = \sum_{j=2}^N\frac{q_1 q_j}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_j}{\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_j\right|^3}

其中，N 是电子总数。

想象一个包含许多电子的圆柱形电子束。对于靠近电子束中心的电子，在任一侧上都有相同数量的其他电子，因此，如果我们取作用于该电子的力的矢量和，则库仑力将大部分被抵消。另一方面，对于靠近电子束边缘的电子，净力会将其推向离中心更远的地方。因此，如果束流电子最初是彼此平行移动的，则随着电子束传播，它们将开始扩散或发散。

发散的电子束。电子束在电子速度平行的束腰（左）被释放。在右侧，电子向四面八方扩散。

查看演示电子束如何在自由空间中发散的示例，请参阅 COMSOL 教程模型自然电位引起的电子束发散和相对论发散电子束引起的电子束发散。

导致电子束扩散的斥力在束流电子最慢的的地方最强，因为这些区域通常具有最高的电荷密度。因此，设计电子枪时的关键技术挑战之一通常是在束流电子发射之后立即将电子束聚焦在第一加速间隙中（参考文献1）。

寻找最佳电极形状

我们的目标是设计一种电子枪几何形状，以使电极的形状抵消电子束之间的库仑斥力，从而使电子束沿直线传播而不会扩散。

首先，考虑在平面外（z）方向上的二维薄电子束是均匀的。电子束将沿正 y 方向传播。束流电子首先从位于 y=0 的阴极（V=0）发射出来，并被吸引到位于某个高度 y=d 的阳极（V=V _a）。

让我们从一个简单的解开始，其中电子束在x方向上无限宽。在这种情况下，任何电子束都可以被认为是在电子束的中心，左右两侧的电力会相互抵消。

在两个扁平电极之间的简单薄电子束，在 +x 和 – x 方向上无限延伸。

在不导致电子向后排斥的情况下，理论上可以从阴极提取的电流存在一个最大值。这就是所谓的空间电荷极限，而在此电流下释放电子的阴极就是空间电荷极限。在两个平行电极之间进行空间电荷极限发射期间，间隙中的电势遵循 Child 定律（参考文献2）给出的分布，

V = V_\textrm{a}\left(\frac{y}
{d}\right)^{4/3}

现在假设电子仅在 x < 0 区域中流动，并且 x > 0 区域中没有电荷。

如果电极保持其扁平形状，则由于电子束中的静电排斥作用，一些靠近 y 轴的电子将溢出到 x > 0 的区域中。

因此，因为电子束边缘附近的电子感觉到来自其他电子的库仑力不平衡，所以当电子束具有有限的尺寸时，会发生电子束的发散或扩散。在下一节中，我们将介绍一种分析方法来更改电极的形状，以使电子束直接朝上，并且没有电子溢出到 x > 0 的区域中。

电子枪设计的皮尔斯方法

假设阴极和阳极在 x < 0 区域中仍然是扁平的，但是现在它们在 x > 0 区域中呈现不同的形状。这些电极形状的确切功能形式尚不清楚。

因为在x > 0的区域中没有电荷，所以电势必须满足拉普拉斯方程，

\nabla^2 V = 0

考虑复数u=y+ix。皮尔斯的方法（参考资料 1、3）首先观察到 u 的任何二次微分函数（称为 f（u））也将满足拉普拉斯方程。这可以通过反复应用链式法则来证明，

\begin{align}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
&= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial u}\right)
+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial u}\right)\\
&= \frac{\partial}{\partial x}\left(i\frac{\partial f}{\partial u}\right)
+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)\\
&= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial}{\partial u}\left(i\frac{\partial f}{\partial u}\right)
+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)\\
&= i^2\frac{\partial^2 f}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\\
&= -\frac{\partial^2 f}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\\
&= 0
\end{align}

考虑到这一点，将 x > 0 区域中的电势定义为 f 的实部，

V = \textrm{Re}\left[f(u)\right]

然后，V 在该无电荷区域也将满足拉普拉斯方程。为了确保电势在 x=0 处连续，V 必须满足 Child 定律（参考文献2）给出的电势分布，

V = V_\textrm{a}\textrm{Re}\left[\left(\frac{u}{d}
\right)^{4/3}\right]

阴极只是在复平面中满足 V=0 方程的一组坐标。类似地，阳极是在复平面中满足 V=V_a 方程的一组坐标。

在这一点上，用圆柱形电极坐标重写 u 很方便，

u=re^{i\theta}

注意上式中，θ＝0 是正 y 方向而不是 x 方向。现在，我们对于 x > 0 区域中的电势的表达式为

V = V_\textrm{a}\textrm{Re}\left[\left(\frac{r}
{d}e^{i\theta}\right)^{4/3}\right]

由于 r 和 d 是实数，因此可以简化为

V = V_\textrm{a}\left(\frac{r}{d}\right)^{4/3}\textrm{Re}\left(e^{4i\theta/3}\right)

然后调用欧拉公式得出最终结果

V = V_\textrm{a}\left(\frac{r}{d}
\right)^{4/3}\cos\frac{4\theta}
{3}

现在，阴极和阳极的形状就是刚插入最后一个表达式时分别给出 V=0 和 V=V_a 的曲线。

V=0 的解是直线

\frac{4\theta}{3}
= \frac{\pi}{2}

或与电子束传播方向成 67.5° 角。

V = V_a的解是曲线，

r=d\left(\sec\frac{4\theta}{3}\right)^{3/4}

因此，皮尔斯枪的设计算法预测，使用与电子束传播方向成 67.5° 角的直阴极和弯曲阳极，可以使电子束完全保持直线。

创建 COMSOL Multiphysics^® 几何

在上一节中发现的阳极曲线渐近地接近阴极线，但从未完全与阴极线相吻合。完美的皮尔斯电子枪在正 x 方向无限延伸，因此我们必须在某个点任意切断它。

在下图中，直线是阴极，而其上方的长曲线是阳极。这两条线可以无限远地延伸，但永远不会相遇。因此，对于更实用的模型，我们绘制了一条与阴极和阳极都相交的线，然后使用 COMSOL Multiphysics^® 中的转换为实体操作来形成由这些曲线所界定的区域。相交线段垂直于阴极绘制，因为我们希望电场指向该方向。

左侧的实心矩形是电子束传播区域，直线 x=0 是这里的一条对称轴。因此，整个皮尔斯枪的几何形状在电子束的两边都具有相同的弯曲阳极形状。

在截断阴极和阳极曲线之前的皮尔斯电子枪的几何形状。

对粒子场相互作用进行建模

在此模型中，我们使用专用的空间电荷受限发射多物理场耦合节点在正 y 方向释放空间电荷受限的电子束。然后，为了考虑束流电子之间的相互静电斥力的影响，我们使用了专用的电-粒子场相互作用多物理场耦合。这导致束流电子对域中的空间电荷密度做出贡献，然后在求解电势时将其包括在静电接口中。

然后，获得用于电势和粒子轨迹的自洽解的最终算法如下：

跟踪粒子，而无需考虑束流电子之间的静电排斥。根据此解，估算电子束中的空间电荷密度。
使用估计的空间电荷密度以及阴极和阳极表面的边界条件，计算出静态电势。
使用上一步中的电势来定义粒子上的电力。再次跟踪粒子，并计算电子束中的空间电荷密度。
继续在步骤 2 和 3 之间交替进行固定次数的迭代，或者直到解在迭代之间没有明显变化为止。

结果

镜像数据集用于反映y轴上的电势分布。下图显示了根据其速度着色的粒子轨迹，其中绿色是最快的。域中的空间电荷密度以灰度绘制，阴影越深表示空间电荷密度越大。显然，电荷密度在靠近阴极的狭窄区域中最大，并且随着粒子加速而减小。

皮尔斯枪中的电势分布和粒子轨迹。

以下动画显示了粒子在接近阳极时如何加速。在这里，灰度背景显示了一些等电位轮廓。电子束区域中的粒子沿直线移动，并且电子束横截面中的等电位轮廓是水平的，这都很好地表明倾斜的阴极和弯曲的阳极正确地平衡了电子束中的静电斥力。

自己尝试

请单击下面的按钮，下载皮尔斯电子枪模型。

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延伸阅读

在另一个模型Child 定律基准指南中，提供了有关 Child 定律及其推导的一些有用的理论细节。

Child 定律是基于一个简化的近似，它忽略了释放电子的热速度。实际上，室温下的粒子离开阴极后，可以以每秒几百米的速度四处飞行。要了解有关发射电子的热分布及其对空间电荷受限电子发射（有时称为 Langmuir-Fry 模型（参考文献4，5））的影响的更多信息，请参见平面二极管中的热电子发射示例。

参考文献

S. Humphries, Stanley,Charged Particle Beams, Dover, 2013.
J.R. Pierce, Rectilinear electron flow in beams, Journal of Applied Physics, vol. 11, no. 8 pp. 548–554, 1940.
C.D. Child, “Discharge from hot CaO”, Physical Review (Series I), vol. 32, no. 5, pp. 492–511, 1911.
T.C. Fry, “The thermionic current between parallel plane electrodes; velocities of emission distributed according to Maxwell’s law”, Physical Review, vol. 17, no. 4, pp. 441–452, 1921.
I. Langmuir,“The effect of space charge and initial velocities on the potential distribution and thermionic current between parallel plane electrodes”,Physical Review, vol. 21, no. 4,pp. 419–435, 1923.,

在 COMSOL 中可以使用哪个模块进行电磁学模拟？

Walter Frei — Tue, 28 Jul 2020 01:16:35 +0000

很多人经常会有这样的疑问：“我应该使用哪种 COMSOL 产品来模拟特定的电磁设备或应用？”除了 COMSOL Multiphysics^® 软件基本模块的功能之外， COMSOL 产品树的“电磁模块”分支中目前还有 6 个模块。另外 6 个模块分布在其余产品分支中。这些模块代表了麦克斯韦方程组与其他物理场耦合的各种形式。今天这篇博文，我们将带您看一看它们都有什么功能。

注意：此博客最初发布于 2013 年 9 月 10 日。此后更新了一些信息和示例。

计算电磁学：麦克斯韦方程组

麦克斯韦（Maxwell）方程组与电荷密度、电场、电位移场、电流、磁场强度，以及磁通密度有关：

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho	\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}	\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} +\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{D}

为了求解这些方程，我们需要一组边界条件，以及材料本构关系。本构关系将和场、和场、和场相关联。在不同的假设下，这些方程已在 COMSOL 产品库的不同模块中被求解，并与其他物理场耦合。

注意：为了传达关键理念，此处介绍的大多数方程均以缩写形式显示。要查看所有控制方程的完整形式，并查看所有可用的本构关系，请查阅产品文档。

下面，我们先开始介绍一些概念。

稳态、时域还是频域？

在求解麦克斯韦方程组时，为了减轻计算负担，我们试图做出尽可能合理和正确的假设。尽管麦克斯韦方程组可以求解任意随时间变化的输入，但我们通常可以合理地假设输入和计算的解都是稳态或正弦时变的情况。前者通常也被称为 DC（直流）情况，而后者通常被称为 AC（交流）或频域情况。

如果这些场在任何时间都没有变化，或者变化很小以至于不重要，则稳态（DC）假设成立。也就是说，我们可以说麦克斯韦方程组中的时间导数项为零。例如，如果您的设备连接了电池（可能需要数小时或更长时间才能耗尽电量），那么这样做是非常合理的假设。更正式地，我们可以这样说：，它直接就忽略了麦克斯韦方程组中的两个项。

如果系统上的激励呈正弦变化，并且系统的响应在相同频率下也呈正弦变化，则频域假设成立。换句话说，系统的响应是线性的。在这种情况下，我们可以使用以下关系式在频域中，而不是在时域中求解问题：，其中是时空变化场；是一个空间变化的复值场；是角频率。与时域相比，在一组离散频率中求解麦克斯韦方程组的计算效率非常高，尽管计算要求与要求解的不同频率的数量成正比（我们将在后面讨论一些注意事项）。

当解随时间变化或系统响应为非线性时，就需要在时域内求解（尽管对此有一定的例外，我们将在后面讨论）。时域仿真比稳态或频域仿真在计算上更具挑战性，因为其求解时间与感兴趣的时间跨度和所考虑的非线性因素成比例增加。在时域内求解时，最好考虑输入信号的频率组成，尤其是当前存在且重要的最高频率。

电场、磁场或两者兼有？

尽管我们可以使用麦克斯韦方程组求解电场和磁场，但通常只需求解一个就足够了，尤其是在直流情况下。例如，如果电流很小，则磁场将会很小。即使在电流较高的情况下，我们实际上也可能不会对所产生的磁场感到担忧。另一方面，有时仅存在磁场，而没有电场，例如仅由磁体和磁性材料组成的设备。

但是，在时域和频域中，我们必须更加小心。我们要在此处检查的第一个量是模型中材料的集肤深度。金属材料的集肤深度通常约为，其中是磁导率，是电导率。如果集肤深度远大于 物体的特征尺寸，则可以合理地认为集肤深度效应可忽略不计，并且只需求解电场。但是，如果集肤深度等于或小于物体的大小，则感应效应很重要，并且我们需要同时考虑电场和磁场。在开始任何模拟之前，最好快速检查一下集肤深度。

随着激励频率的增加，了解设备的一阶共振也很重要。在基本共振频率下，电场和磁场中的能量恰好处于平衡状态，因此我们可以说处于高频状态。尽管共振频率通常很难估计，但是比较特征物体的尺寸和波长是一个良好的经验法则。如果物体尺寸接近波长的重要部分，则我们正在接近高频状态。在这种状态下，功率主要通过电介质中的辐射流动，而不是通过导电材料中的电流流动。这导致控制方程的形式略有不同，明显低于一阶共振频率，通常称为低频状态。

现在让我们看看这些不同的假设是如何被应用于麦克斯韦方程组，并为我们提供不同的方程组来求解，然后看看我们需要为每个方程组使用哪些模块。

稳态电场模拟

在稳态条件下，我们可以进一步假设我们仅在处理导电材料或完全绝缘的材料。在前一种情况下，我们可以假设电流在所有域中流动，并且麦克斯韦方程组可以重写为：

\nabla \cdot \left( – \sigma \nabla V \right ) = 0

这个方程求解了电势场，并能得出电场以及电流。我们可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解该方程，并在软件的入门简介中求解。AC/DC 模块和MEMS 模块扩展了基本模块的功能，例如，通过提供简化模型设置的终端条件和用于模拟相对较薄的导电和绝缘区域的边界条件，以及模拟仅通过几何上较薄并可能具有多层结构的电流的单独物理场接口。

另一方面，假设我们对材料介电常数为的完全绝缘介质中的电场感兴趣，可以求解方程：

\nabla \cdot \left( – \epsilon \nabla V \right ) = 0

该方程计算了不同电势下对象之间的介电区域中的电场强度。该方程也可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解，并且 AC/DC 和 MEMS 模块再次通过例如终端条件、模拟薄介电区域的边界条件和介电材料中的薄间隙扩展了功能。此外，这两种产品还提供了边界元公式，它求解了相同的控制方程。如之前的博客文章所述，它对于仅由导线和表面组成的模型也具有一些优势。

时域和频域电场模拟

一旦要模拟时变电场，就会同时存在传导电流和位移电流，这时我们会想使用 AC/DC 模块或 MEMS 模块。与上面的第一个方程略有不同，在时域情况下，求解方程可写为：

\nabla \cdot \left( \mathbf{J_c +J_d} \right ) = 0

这个瞬态方程可以同时求解传导电流，和位移电流。当源信号不是谐波，并且我们希望随时间监视系统响应时，可以使用此方法。电路中电容器的瞬态模拟模型是一个你可以查阅的示例。

在频域中，我们可以求解稳态方程：

\nabla \cdot \left( – \left( \sigma + j \omega \epsilon \right) \nabla V \right ) = 0

此时，位移电流为。使用此方程的一个示例是电容器频域模拟。

使用 AC/DC 模块模拟磁场

AC/DC 模块解决了稳态、时域或低频状态下的磁场模拟问题。

对于没有电流流过的模型（例如磁体和磁性材料的模型），可以简化麦克斯韦方程组并求解磁标势：

\nabla \cdot \left( – \mu \nabla V_m \right ) = 0

可以使用有限元法或边界元法求解该方程。

一旦模型中存在稳态电流，我们就必须求解磁矢势。

\nabla \times \left( \mu ^ {-1} \nabla \times \mathbf{A} \right)= \mathbf{J}

该磁矢势用于计算，并且电流可以通过施加或通过增广先前的电标势和电流方程来同时计算。这种情况的典型例子是亥姆霍兹线圈的磁场。

当移至时域时，我们求解以下方程式：

\nabla \times \left( \mu ^ {1} \nabla \times \mathbf{A} \right)= \sigma \frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t}

其中，。

该方程式仅考虑传导电流和感应电流，而不考虑位移电流。如果功率传输主要是通过传导而不是辐射进行，这就是合理的。求解此方程式的一个重要动机是，是否存在材料非线性，例如，E 型磁芯变压器这个示例的 BH 非线性材料。但是，应该指出的是，还有通过等效 HB 曲线方法求解 BH 非线性材料的替代方法。

当我们进入频域时，控制方程变为：

\nabla \times \left( \mu ^ {-1} \nabla \times \mathbf{A} \right) = -\left( j \omega \sigma – \omega^2 \epsilon \right) \mathbf{A}

请注意，该方程式同时考虑了传导电流，以及位移电流，并且开始看起来非常类似于波动方程。实际上，在假设辐射可忽略不计的情况下，该方程可解决结构谐振及其周围频率的问题，如这个示例所示：三维电感器模拟。

有关上述方程组在磁场模拟中的用法的更完整介绍，请参阅我们关于电磁线圈建模的系列讲座。

也可以将磁标势方程式和矢势方程式混合，这在电动机和发电机模拟中都有应用。

除了上述关于磁矢势和标势的静态、瞬态和频域方程式之外，还存在关于磁场的单独公式，适用于超导材料的模拟，例如以下所示的超导线示例。

使用 RF 模块或波动光学模块模拟频域和时域中的波动方程

当我们进入高频状态时，电磁场在本质上会体现波动性，就像天线、微波电路、光波导、微波加热、自由空间中的散射和基底上对象的散射模拟一样，我们在频域中求解形式与麦克斯韦方程组稍有不同：

\nabla \times \left( \mu_r ^ {-1} \nabla \times \mathbf{E} \right) -\omega^2 \epsilon_0 \mu_0 \left(\epsilon_r – j \sigma/\omega \epsilon_0 \right) \mathbf{E} = 0

这个方程是用电场来写的，并且磁场的计算公式为：。它既可以以一组指定的频率来求解，也可以作为特征频率问题来求解，它可以直接求解设备的谐振频率。特征频率分析的示例包括闭合腔、线圈和法布里-珀罗腔多个基准示例,，并且此类模型可以计算谐振频率和品质因子。

在指定频率范围内求解系统响应时，可以直接在一组离散频率上求解，在这种情况下，计算成本与指定频率的数量成线性比例关系。人们也可以在单台计算机和集群上利用硬件并行来并行化和加速求解。也有频域模态和自适应频率扫描（也称为渐近波形估计）求解器，这些求解器可加速求解某些类型的问题，如本博文中的一般意义所述，并在此波导虹膜滤波器示例中进行了演示。

如果您要使用 RF 模块或波动光学模块在时域中求解，那么我们可以求解与 AC/DC 模块中较早的方程非常相似的方程：

\nabla \times \left( \mu_r ^ {-1} \nabla \times \mathbf{A} \right)+ \mu_0 \sigma \frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} +\mu_0 \frac{ \partial}{\partial t}\left( \epsilon_0 \epsilon_r \frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} \right) = 0

该方程式再次求解了磁矢势，但是在时间上包括一阶和二阶导数，因此同时考虑了传导电流和位移电流。它可用于光学非线性，色散材料和信号传播的模拟。如本示例所示，时域结果还可以通过快速傅立叶变换求解器转换为频域。

这些等式在存储方面的计算要求也是一个问题。感兴趣的设备及其周围的空间通过有限元网格离散化，并且该网格必须足够精细以解析波。也就是说，至少必须满足奈奎斯特准则。实际上，这意味着大约 10x10x10 波长的域大小（不考虑工作频率）大约是 64GB RAM 的台式计算机上可寻址内容的上限。随着域大小的增加（或频率增加），内存需求将与要求解的立方波长的数量成比例地增长。这意味着上述方程式非常适合于特征尺寸大约不大于感兴趣的最高工作频率下 10 倍波长的结构。但是，有两种方法可以绕过此限制。

求解远远小于波长的对象周围的类波场的一种方法是时域显式方程。这求解了另一种形式的与时间相关的，且可以使用更少的内存来求解的麦克斯韦方程。它主要用于线性材料模拟，在某些情况下很有吸引力，例如用于计算背景场中对象的宽频带散射。

对于特定类型的光波导结构，存在另一种替代方法，可以在已知电场在传播方向上的变化非常缓慢的频域中求解。在这种情况下，波动光学模块中的波束包络法变得非常有吸引力。此接口求解以下方程：

\left( \nabla – i \nabla \phi \right) \times \mu_r ^ {-1} \left( \left( \nabla – i \nabla \phi \right) \times \mathbf{E_e} \right) -\omega^2 \epsilon_0 \mu_0 \left(\epsilon_r – j \sigma/\omega \epsilon_0 \right) \mathbf{E_e} = 0

其中，电场为，是电场包络。

附加场是所谓的必须已知的相函数，并将其指定为输入。幸运的是，对于许多光波导问题，确实是这种情况。可以同时求解一个或两个这样的波束包络场。当可以使用这种方法时，其优点是内存要求远远低于本节开头介绍的全波方程式。其用法的其他示例包括定向耦合器模型以及光学玻璃中的自聚焦模型。

在 AC/DC 模块、RF 模块和波动光学模块之间选择

AC/DC 模块和 RF 模块之间的分界线有点模糊。问我们自己几个问题会有所帮助：

我正在使用的设备会辐射大量能量吗？我对计算谐振感兴趣吗？如果是这样，则RF模块更合适。
设备是否比最高工作波长的波长小得多？我主要对磁场感兴趣吗？如果是这样，则 AC/DC 模块更合适。

如果您正好介于两者之间，那么将这两种产品都包含在模块库中是合理的。

在 RF 模块和波动光学模块之间选择需要询问您自己的应用。尽管在时域和频域上，麦克斯韦方程组的全波形式在功能上存在许多重叠，但在边界条件上仍存在一些细微差异。存在适用于微波设备模拟的所谓集总端口和集总元件边界条件，它们只包含在 RF 模块中。还请记住，只有“波动光学模块”包含波束包络公式。

就材料特性而言，这两种产品具有不同的材料库：RF 模块提供了一套通用的电介质基底，而波动光学模块则在光学和红外频带中包含了上千种不同材料的折射率。有关此内容以及其他可用材料库的更多详细信息，请参见此博客文章。当然，如果您对设备模拟需求有特定疑问，请与我们联系。

下图概述了这些模块之间的近似分界线。

使用射线光学模块追踪射线

如果要模拟大小是波长数千倍的设备，则不再可能通过有限元网格来解析波长。在这种情况下，我们还在射线光学模块中提供了几何光学方法。这种方法不直接求解麦克斯韦方程组，而是模拟空间追踪光线。这种方法仅需要将反射表面和介电区域进行网格剖分，而不是均匀的自由空间。它适用于透镜、望远镜、大型激光腔以及结构-热-光学性能（STOP）分析的模拟。甚至可以将其与全波分析的输出结合起来，如本示例所示的教程模型。

多物理场模拟

除了求解麦克斯韦方程组本身之外，COMSOL Multiphysics 的核心优势之一是求解几个物理场之间存在耦合的问题。最常见的方法之一是麦克斯韦方程组和温度之间的耦合，其中温度的升高会影响电（以及热）的特性。有关解决此类电热问题的方法概述，参见此博客文章。

将结构变形与电场和磁场耦合也是很常见的。有时，这仅涉及变形，但有时，还涉及压电、压阻或磁致伸缩材料响应，甚至应力-光学响应。MEMS模块具有用于静电驱动谐振器的专用的用户接口，其中施加的电场使设备偏置。结构接触和接触部分之间的电流流动也可以在电流模拟的背景下考虑。

但是，除了温度和变形之外，您还可以将麦克斯韦方程组的电流耦合到化学过程，如电化学，电池和燃料电池，电沉积和腐蚀模块所述。在“等离子体模块”中，您甚至可以耦合到等离子体化学，并且通过“粒子追踪模块”，您可以通过电场和磁场追踪带电粒子。最后，我们的半导体模块使用漂移扩散方程求解电荷传输。这些模块中的每个模块本身都是一个主题，因此我们不会在这里详述。

当然，如果您想更深入地讨论这些模块中的任何一个，并了解它如何适用于您感兴趣的设备，请立即通过下面的按钮与我们联系。

联系 COMSOL

使用仿真 App 有效分析电荷交换单元设计

Bridget Paulus — Tue, 05 Mar 2019 05:11:22 +0000

电荷交换单元可以改变离子束的电荷，使其可用于核聚变反应堆、粒子加速器和半导体制造设备。但是，由于许多因素（例如输入粒子束的能量、单元几何形状和中性粒子数密度）必须被测试，因为它们会影响设备性能。因此，改善这些设备的设计可能很耗时。这些分析通常是由仿真专家完成的，但他们可以通过创建仿真 App 使其他人也能使用这些设计……

使用电荷交换单元改变离子束的电荷

电荷交换单元可以将带正电或带负电的离子束转换为中性粒子束。电荷交换单元的工作原理是使离子束通过稀薄气体进入一个真空室中。当离子与气体相互作用时，一部分离子发生电荷交换而离子束的能量或方向几乎没有损失；中性粒子束继续沿其原始路径前进，其余离子（未进行电荷交换的离子）通过带电板偏转。

仿真结果显示，电荷交换单元中的带电极板如何使发生电荷交换反应的离子继续向前前进，未进行离子交换的离子发生偏转。

由于具有使离子交换电荷的能力，这些单元被用在加速器（例如同步加速器）等设备中用于产生中性束，这对医学研究很有帮助。此外，它们还可用于离子注入过程，包括表面处理（例如人工关节）、钢的增韧（例如钻头），以及半导体制造（例如，金属氧化物半导体场效应晶体管或 MOSFET）等。在这些应用中，中性束是所需要的粒子，因为它不会在目标表面上累积大量的电荷。

为了使电荷交换单元高效工作，设备各个方面的优化都非常重要，例如：

使用的气体类型（氩气、氙气等）
气体数密度
腔室的形状和大小
带电板偏置电压的大小

这就是为什么我们需要仿真的原因，因为仿真能够使工程师优化这些参数从而降低原型制作成本。通常，测试不同的设计由仿真专家完成，但这会减少他们从事其他创新项目所需要的时间。另外，所有这些测试会在整个开发过程中造成瓶颈，因为只有少数人可以运行仿真分析。

创建一款仿真App是一种高效的选择。仿真App可以包含模型的所有物理特性，具有易于使用的界面，但可以仅显示我们想展示的功能。通过部署这样的仿真App，我们可以使不是仿真专家的团队成员能够分析和优化电荷交换单元设计；例如，计算电荷交换效率、所得粒子束的路径等。下面，我们来看一个使用COMSOL Multiphysics^® 软件以及附加的分子流模块和粒子追踪模块创建仿真 App 的示例。

注意：本文没有涉及基础模型的详细信息，我们可以在通过一个电荷交换室中质子束中和案例教程中找到这些信息。

通过仿真 App 简化电荷交换单元的设计

电荷交换单元模拟器可模拟电荷交换单元，将高能正离子束转换为中性束。为了使用户能够轻松地在各种情况下测试不同的设计，下面演示的仿真 App 包括三个选项卡，包含电荷交换单元的关键部分参数：

真空参数
- 真空室尺寸
- 包含氩气的气室的流速
- 泵速
粒子束参数
- 输入光束的Twiss参数和发射率
- 离子总数
- 离子最可几能量
偏转电极参数
- 偏转电极的尺寸及其之间的电位差

对于各种可用的参数，我们很难记住参数是否已更改。因此，仿真 App 中包含了有用的状态卡，使用户可以了解几何和解的状态。当其中一个几何参数被更改后，将出现一条消息，提示用户单击 更新/显示几何 按钮，确保用户正在查看对应的几何。此外，在上一个解被计算后，如果任何参数被更改，就会有一条单独的消息提示输入数据已更改，并且用户无法查看解或创建报告。这些措施有助于确保用户得到的结果与输入的参数相匹配。

该仿真 App 还包含许多其他选项用来控制仿真。例如，通过单击 高级设置 按钮，用户可以增加时间步的数量，以提高结果的准确性，这在高气压和发生频繁碰撞时特别有用；用户还可以指定仿真中的中性粒子和氩离子的数量；另外，与图形窗口类似，如果没有足够的粒子用于模拟，系统将会自动显示警告消息。

电荷交换单元模拟器还为用户提供了选择生成仿真结果报告的格式，即以 HTML 或 Microsoft^® Word 格式显示。仿真 App 中还有一个按钮，使创建报告变得简单。创建的报告中详细说明了模型设置、输入参数的值和仿真结果。

演示仿真 App 的结果

根据需要调整仿真 App 设置后，用户可以单击计算按钮使电荷交换单元的各个方面可视化，包括：

真空室和包含氩气的内部单元壁上的气压
沿粒子束路径的气体数密度
带电板周围的电位分布
偏转离子和中性束的路径

此外，该仿真 App 还计算了设计效率。电荷交换单元的性能取决于被中和离子的百分比，这可以在仿真 App 的 数值结果 部分以及生成的报告中看到。此外，该报告将详细介绍模拟中的所有反应类型以及每种反应的数量，从而可以更深入地了解交换反应的产物。

通过使用该仿真 App，任何人都可以轻松地测试并优化电荷交换单元的性能，从而增强整体设计过程。

动手尝试

如果您想要获取电荷交换单元模拟器演示仿真 App，请单击下面的按钮转至 COMSOL 案例库。通过有效的软件许可证，您就可以下载演示仿真 App 并查看其随附的说明文档。

获取案例教程

Microsoft 是 Microsoft Corporation 在美国和/或其他国家的注册商标。

通过离子-材料相互作用基准保护航空航天电子设备

Bridget Paulus — Mon, 22 Oct 2018 08:11:01 +0000

在外太空和其他恶劣的辐射环境中，高能离子和质子会穿透材料并影响附近的电子系统。这种被称为单粒子效应（SEE）的粒子辐射可以导致设备软或硬错误。只要有一个硬错误就会使太空任务面临风险，因此航空航天工程师必须确保所有关键电子设备都能承受单粒子效应的影响。为了更好地理解这种现象，工程师使用仿真技术能够准确地分析离子-材料之间的相互作用。

什么是单粒子效应？

单粒子效应是由带电粒子（例如高能质子）撞击固体材料引起的一种电路中的电气干扰。这些来自太阳、辐射带和银河宇宙射线的粒子冲击会产生空穴，使电子能够穿过材料。在移动的过程中，这些自由电荷载体最终会在一个节点上停止之前重新组合。在节点上，额外的电荷会导致电压变化，并导致软错误或硬错误。这些错误对于航空航天应用来说尤其成问题，尽管它们也可能发生在地球上具有高辐射水平的区域，例如核试验场附近。

环绕地球数千英里的范·艾伦带中的带电粒子可能会在宇宙飞船中引起单粒子效应。地球陆地的投影，基于 MJ Brodzik 和 KW Knowles 拍摄的图像(参考文献 1)。

软错误与硬错误

如果太空中的关键系统中发生一个硬错误，那么可能意味着任务的结束。例如，2003 年万圣节太阳风暴产生的高能粒子影响了航天器上的许多设备，包括火星辐射环境实验 (MARIE)，这些设备发生故障后再也没有恢复。原因是硬错误可能具有破坏性，有时甚至需要更换整个设备或系统。不过，庆幸的是，并不是所有由单粒子效应引起的错误都具有如此严重的破坏性。软错误通常没有破坏性，可以通过电源重置来修复。

一个软错误的例子是单粒子翻转，它发生在数字电子设备的两个关键组件中：存储器和逻辑系统。这些系统是微处理器不可或缺的一部分，例如主板和航天器上的科学仪器。微处理器中的一个错误可能会导致整个设备的行为不正确，仅仅由于一个比特从 0 翻转到 1，反之亦然。对于这种类型的软错误，系统通常能够保持运行，并且可以通过反转更改来解决这个问题。

硬错误，包括单粒子锁定、烧毁和门破裂，会导致更持久的影响。例如，单粒子锁定会导致工作电流过高，致使器件无法正常工作；数据丢失；最终，导致器件毁坏。这些锁定通常发生在采用互补金属氧化物半导体 (CMOS) 技术构建的集成电路中，该技术通常用于微控制器和微处理器。例如，功率 MOSFET（诸如用于气象卫星和 GPS 的功率 MOSFET）会发生烧毁和栅极破裂。这些错误会导致电压超出限制，从而使器件失效。

卫星中的硬错误会导致数据丢失并最终导致系统被破坏。

航空航天工程师必须确保所有重要的电子设备都避免软错误和硬错误。然而，由于对具有更多功能、更小尺寸、更快速度和更低电压的技术需求的不断增长，这项任务变得越来越具有挑战性。虽然它在成本和性能方面具有优势，但这些因素意味着临界电荷（扰乱一个节点所需的最小电荷）会越来越小。因此，低能粒子更有可能导致单粒子效应，使设备更容易出错——即使在地球上也是如此。

通过了解带电粒子如何影响材料，航空航天工程师可以设计出能够承受甚至不受单粒子效应影响的电子设备。为了考查这种相互作用，他们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 软件和附加的粒子追踪模块，如下面的基准示例所示。

使用 COMSOL^® 软件模拟粒子-材料的相互作用

在这个示例中，高能质子向一块固体硅块移动，初始能量值范围在 1 keV ~100 MeV。一旦它们撞击到材料，质子就会发生电离损失，使粒子速度减慢，并发生核阻止，向随机方向偏转。

要轻松捕获质子的行为，我们可以利用 COMSOL 软件的带电粒子追踪 接口。使用粒子-物质相互作用 节点，可以考虑能量损失以及质子如何散射。此外，还可以使用其中的一个子节点来描述质子对材料的影响。例如，电离损失 子节点将相互作用视为一个沿粒子运动相反方向移动的连续力，而核阻止 子节点则将它视为一个减慢粒子速度并使其沿随机方向偏转的离散力。

接下来，重要的是确定粒子的穿透深度（即离子范围），因为这会影响它们是否会电离附近的电子设备，从而导致单粒子效应。要找到这个深度，我们可以使用两种方法：

使用辅助因变量来模拟连续慢化近似，它假定质子将以稳定的速率减速
通过将质子的速度投影到其原始运动方向来计算投影范围

接下来，我们将展示使用这些方法的结果与已发表文献结果相比的情况。

比较仿真和实验结果

质子倾向于以较低的能量向随机方向移动，因为它们更容易受到核阻止的影响。由于这种效应会导致它们的能量不连续变化，因此我们可以看到连续慢化近似射程与较低端的光谱实验结果并不完全一致。然而，正如预期的那样，投影射程与实验结果非常一致。

对于更高的能量，电离损失更多地控制质子的轨迹，使它们的运动更加线性。因此，随着能量的增加，连续慢化近似和实验之间的一致性也会增加。同样，投影射程与实验也很吻合。

左：初始能量从 1keV 到 100MeV 的粒子轨迹。右：连续慢化近似（黑色星号）和投影射程（黑色圆圈）与已发表文献（红色星号）的结果的比较。

模型和实验方法之间的良好一致性表明，COMSOL^® 软件为工程师提供了准确考查离子-材料相互作用所需的工具。并且，他们可以利用这些知识自信地设计出能够抵抗单粒子效应的电子系统。

下一步

想自己动手尝试基准示例吗？单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，您可以下载离子射程基准模型和 MPH 文件。

获取基准模型

参考文献

Brodzik, M. J. and K. W. Knowles. 2002. EASE-Grid: A Versatile Set of Equal-Area Projections and Grids in M. Goodchild (Ed.) Discrete Global Grids. Santa Barbara, California USA: National Center for Geographic Information & Analysis.

优化静电除尘器设计中的燃烧颗粒控制

Thomas Forrister — Tue, 05 Jun 2018 07:53:13 +0000

为了控制温室效应，科学家必须研究燃烧过程，最大限度地减少大气中二氧化碳（CO₂）的积累。在这些过程中，可能的燃料包括生物量和其他生物燃料，它们可以在短时间内循环利用碳，但是也会产生不利影响：这些物质的燃烧会产生碳和灰烬颗粒从而造成大气污染，因此排向大气的废气中必须去除这些颗粒。为了提高颗粒的去除率，研究人员使用已经验证过的仿真模型（通过与实验数据进行比较）来研究静电除尘器的设计。

静电除尘器是如何工作的？

顾名思义，静电除尘器是通过静电过滤废气中的碳颗粒。这些颗粒经电除尘器组件荷电和加速后，在沉淀器的板上积累和聚集，就可以被去除。例如，这种装置可以安装在烟囱上清洁烟道废气。

波兰垃圾焚烧厂的静电除尘器。图片由 LukaszKatlewa 提供自己的作品。通过Wikimedia Commons 获得 CC BY-SA 3.0许可。

在典型的静电除尘器中，通过烟道释放的废气通过两个电极，这两个电极通常是管道或烟囱内的金属棒、金属板或电线。其中一个电极带有高负电压，该电压会传递给烟雾颗粒，使它们依次获得负电荷。位于管道下方的第二个电极通常具有接地正电压，两个电极之间产生了强电场，从而导致负电荷粒子加速。因此，颗粒被接地电极吸引并被收集，直到被移除和处理。

为了寻找一种可以改善静电除尘器设计和进一步研究静电除尘器的充电机制，用于特别针对电除尘器中的空气电离过程的方法，来自瑞士 Windisch 的 University of Applied Sciences and Arts Northwestern Switzerland 和生物质与资源效率研究所的研究人员 Donato Rubinetti 和 Josef Wüest 与减排公司 OekoSolve 开展了合作研究。他们在 2017 年 COMSOL 用户年会（鹿特丹站）上介绍了他们的研究工作。

在 COMSOL Multiphysics 中模拟电滤波器

研究团队使用 COMSOL Multiphysics 软件及其附加的CFD模块建立了静电除尘器模型。建模中使用了软件中的静电接口、流体流动 接口、偏微分方程接口和流体流动颗粒追踪 接口，该模型涉及了流体力学、粒子动力学和静电学相互耦合现象。

在2015 年 COMSOL 用户年会的一篇会议论文中，研究团队解释了他们是如何建立静电模型的。最开始，他们确定了颗粒上的力(库伦力和牵引力)以及电极的放置位置，以优化颗粒子的捕获和充电过程。

在2017 年 COMSOL 用户年会的一篇会议论文中，研究人员基于该模型讨论了他们的测试案例。除了几何形状之外，物理场和数值模拟过程与之前的论文相同。他们在过滤器几何模型上建立了大范围的空间电荷密度分布，用于获得颗粒被去除时的激发加速度。该分布是使用泊松方程和电荷输运方程模拟的。

在二维空间模拟静电除尘器

如下图的三维和二维模型所示，5号点是带负电颗粒的电极，1~4号点是带正电的环，当废气通过气缸时，颗粒子被吸引到这些环上。

电除尘器模型的三维(左)和二维(右)表示。图片由 Rubinetti, Wüest,以及 OekoSolve 公司提供，来自他们的2017 年鹿特丹 COMSOL 用户年会会议论文。

通过建立的数值模型，研究人员能够分析每个轴的电场强度。他们进行了二维和三维模拟，比较了电场的分布。

由于三维模拟总共有 160 万个网格单元，而二维模拟大约有 300，000 个网格单元，所以研究团队想知道二维模型是否足以进行进一步的研究中以加快计算速度。他们证实了二维模型适合用来对过程进行定性理解，并且足够真实来产生准确的结果。

建立试验测试平台验证模型

在确认二维模型适合他们的实验后，研究团队建立了一个试验验证模型。他们使用从试验测试平台获得的实验数据来验证这个模型。

下面的示意图显示了试验台的实验设置，电极P3和测量环单元 M1 到 M4，顶部 C 作为电流的开始。发射电极电势是从 -2kV 到 -30kV 的可变电位。由于等离子体层的电离和加速作用，我们可以在接地环上观察和测量电流。

试验测试平台示意图。图片由 Rubinetti, Wüest 和 OekoSolve 公司提供，摘自他们的2017年鹿特丹COMSOL用户年会上的论文。

结果比较

我们来看数值模型中的二维电场强度结果。在下左图中，电场线表示从环 1 到环 4 的电场强度有所降低。电场强度被描绘成蓝色，在穿过环之前，电流在电极附近非常强。

在下右图中，我们可以看到电极的特写图。即使在特写图中，因为最强的区域(红色)是一条细线，因此表示的电场强度也是迅速消散的。这些结果准确地显示了靠近电极的过程中最重要部分的电场强度，证明了运行二维模拟的可行性。

电场强度和场线(左)以及电极附近的特写视图(右)。图片由 Rubinetti, Wüest 和 OekoSolve 公司提供，摘自他们在 2017 年鹿特丹 COMSOL 用户年会上的论文。

虽然二维模拟对于观察场强是有效的，但是由于与实验测出的数值在量级上相差过大研究人员只能在一定程度上比较测量的电流。研究团队对结果进行了去量纲的归一化处理，以便更仔细地观察。

如下图所示，所有测量值(M1-M4)和模拟值(S1-S4)结果之间的差异可以用量级不匹配导致误差以及试验台设置的一些其他因素来解释。然而，我们可以在模拟值和测量值中看到，这两个结果都显示出第一个环与其他彼此靠近的其他环有很大不同——这意味着当排列被简化为二维模型时，仍然有可能预测实际的物理行为。

模拟值和测量值的比较。图片由 Rubinetti, Wüest 和 OekoSolve 公司提供，摘自他们的 2017 鹿特丹 COMSOL 用户年会上的论文。

自 2017 年鹿特丹 COMSOL 用户年会以来，研究人员已经解决了这种量级的不匹配问题，并将维度重新添加到模型中。他们还更加关注电模拟，特别是电离过程如何随着高达 1000K 的温度而变化。为了在实验和模型之间获得一致量级，他们建立了轴对称试验平台，还建立了二维轴对称模型。

新的测试平台通过以下方式帮助他们测试电极的性能:

将电极与圆柱体轴线对齐
将电极电压改为30 kV
测量环上的电流

正如我们在下图中看到的，现在实验值与模拟结果更加接近:

新的验证模型和测量值的比较。图片由 Donato Rubinetti 提供。

如下面的动画所示，电流仅在大约 12kV 以上才开始流动，因此该团队能够验证模型的建模方式和模型的结果。

更新的验证模型模拟结果的动画。动画由 Donato Rubinetti 提供。

下一步研究是什么？

从测试案例到行业相关模型，研究团队证明了多物理仿真有助于加速粒子控制技术的进一步研究和发展。正如文中所展示的，二维模型对于深入理解一个域内的空间变化分布是足够精确的。

进一步的模拟能提供更多突破性的见解吗？在他们的论文中，研究团队重点研究了由电极之间的电势差产生的电场类型。虽然目前的模型没有考虑颗粒对电场的影响，但第二种方法可以考虑这种影响。由带电粒子“云”建立的新方法可以解释更加动态的场，移动通过颗粒燃烧器的所有颗粒，直到颗粒沉积在收集器上。

通常，研究人员通过实验只能看到已经沉积的颗粒。Rubinetti 表示，如果有更多的时间和计算资源，对整个颗粒燃烧器系统进行三维模拟可能有助于比以往任何时候都更能清晰地可视化粒子云:他们将能够看到带电粒子的实际路径和相互作用。

从长远来看，Rubinetti 希望进一步发展静电除尘器的建模方法，以了解外部对流对电离过程的影响，包括颗粒充电过程的温度依赖性和流体特性，如密度和黏度。基于研究人员的准确结果，他们看到了通过设定目标来优化颗粒控制技术设计的机会。

用粒子追踪模拟研究范艾伦辐射带

Aditi Karandikar — Wed, 30 May 2018 06:33:34 +0000

范艾伦辐射带（Van Allen radiation belts）由被困在地球磁场中的高能带电粒子组成。这些粒子跟随磁场的形状，使辐射带的外观看起来像甜甜圈一样。为了研究范艾伦辐射带中粒子的行为，科学家可以使用粒子追踪模块（COMSOL Multiphysics 软件的附加产品）对其进行建模。

什么是范艾伦辐射带？

以詹姆斯·范·艾伦（James Van Allen）命名的范艾伦辐射带是环绕地球的两条环形辐射带。这些带可向外延伸约 1000 至 60000 公里，大小不一，有时能在几个小时内大幅度扩张和收缩。

围绕地球的范艾伦辐射带内的部(浅灰色)和外部(深灰色)。地球陆地的投影是基于 M.J. Brodzik and K.W. Knowles 拍摄的图片建模的(参考文献1)。

尽管影响这些带的形状和大小的研究仍然在进行，但是科学家们多年来已经取得了一些重大突破。2012 年，美国国家航空航天局（NASA）发射了范艾伦探测器，并为大众显示了范艾伦辐射带有多复杂。令研究人员惊讶的是，在探测到第三个临时带(由太阳风暴引起)后，探测器在几周内消失了。该小组还了解到，只有带内的一些粒子会影响辐射带的形状，而其他粒子会一直存在。

由于辐射带非常复杂，清楚地理解它的物理基础很重要。通过粒子追踪模拟，可以很容易地研究被困在地球磁场中的粒子的运动，并观察它们如何使辐射带形成独特的形状。

地球磁场中粒子的运动

地球磁场的范围很广，可以环绕地球数千公里。该磁场类似于偶极子，尽管存在一定的不对称性和不规则性。因为磁场负责捕获粒子，并且粒子遵循磁场的形状，所以获得准确的磁场模型对于科学家来说很重要。那么，判断准确性的标准是什么？当然是国际地磁参考场(IGRF)，它会根据最新的发现定期更新数据。

环绕地球的范艾伦辐射带的模拟图。地球陆地的投影图像来自参考文献1。(请注意，此图像是通过长期运行下面即将讨论的模型而创建的。)

当粒子进入地球磁场时，它们开始围绕场线向其中一个极点螺旋运动。当粒子相互靠近时，它们的俯仰角(即磁场方向和粒子轨迹之间的角度)会跟随磁场强度的增加而增加，从而导致甜甜圈中心的倾斜。随着俯仰角度的增大，粒子最终会到达一个点(称为镜像点)并在那里反弹，向另一个半球飞去。如果粒子没有消失在大气中，这种模式会继续下去，粒子会从一条场线漂移到下一条场线，逐渐围绕地球。

使用 IGRF 模型模拟粒子运动

这个三维（3D）模型案例研究了粒子，特别是质子，在地球磁场中被捕获时所走的路径。该模型由一个半径为 R_e 的简单球体（表示地球），以及一个半径为 5R_e 的更大的球形模拟域组成，其中计算了粒子的轨迹。

地球周围的磁场域。请注意，在模型中，地球由一个简单的球体表示。这里，地球陆地的投影图像来自参考文献1。

为了快速计算磁场，可以使用外部函数将来自 IGRF 的数据合并到模拟中。可以在带电粒子追踪 接口和流体流动的粒子追踪 接口中使用内置的磁力特征中的 地球磁场 选项，轻松获得这些数据，这里带电粒子追踪 接口用于与时间相关的研究。

磁力线是基于 IGRF 的数据模拟的，而地球的陆地是基于参考文献中的图像构建的。

从栅格中释放 特征，使得在特定的赤道倾角下模拟质子的释放变得容易。在这个模型中，10MeV 质子的赤道俯仰角设定为 30°。

查看粒子追踪仿真的结果

粒子追踪仿真显示了质子运动的三个组成部分:

回转
反弹
漂移

虽然下面没有显示，但漂移运动的时标比弹跳运动的时标长得多，而弹跳运动的时标又比回转周期长得多。

质子在地球磁场中的轨迹。

科学家也可以使用这种模型来观察各种赤道俯仰角对镜像点纬度的影响。跟预期一样，镜像点纬度随着粒子俯仰角的减小而增加。在图的极限处，赤道俯仰角为90°的粒子保持在赤道平面内，而俯仰角为0°的粒子直接沿场线运动，没有回弹。如果没有回弹，粒子会向地球下落形成极光。

左图:多个俘获质子的轨迹，颜色对应不同的赤道俯仰角。右侧:粒子赤道俯仰角的镜像点纬度。

为了更好地可视化结果，我们可以创建一个动画。下面的动画描绘了一个被俘获的质子的运动，显示了粒子的俯仰角在两极附近是如何增加的。我们也可以看到粒子的运动是如何产生辐射带标志性的甜甜圈状形状的。

范艾伦辐射带中俘获质子的动画。地球陆地的投影是基于参考文献 1 中的图像创建的。

通过粒子追踪模拟，科学家可以更好地了解范艾伦辐射带中粒子的行为，这对于未来进行更复杂研究提供了重要信息。

后续步骤

如果你想尝试模拟质子在地球磁场中的运动，请点击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，在那里你可以登录你的 COMSOL 访问帐户，然后获得教程文档和MPH文件。

获取教程模型

拓展资源

阅读中有关粒子追踪仿真的更多信息：束物理博客系列中的相空间分布
了解如何在旋转星系模型教程中添加自定义粒子-粒子相互作用力

参考文献

Brodzik, M. J. and K. W. Knowles. 2002. EASE-Grid: A Versatile Set of Equal-Area Projections and Grids in M. Goodchild (Ed.) Discrete Global Grids. Santa Barbara, California USA: National Center for Geographic Information & Analysis.

使用 COMSOL Multiphysics® 分析电动离子漏斗

Caty Fairclough — Fri, 08 Dec 2017 03:25:49 +0000

在质谱仪中，等离子体通常用于电离样品和惰性背景气体。在等离子体中产生的离子进入质量过滤器(决定样品的化学成分)之前，必须将它们聚焦成半径适当小的光束。一种聚焦离子的方法是使用离子漏斗。离子聚焦是整个设计的关键阶段，所以对漏斗的工作原理有一个基本的了解是很重要的。

使用离子漏斗改进质谱和离子迁移谱

离子漏斗由一组内径逐渐减小的环形电极组成。由于RF 和 DC电势的结合以及背景气体的存在，这些设备可以通过径向限制离子并将它们移动到漏斗的窄端来聚焦离子束。在此过程中，漏斗可以在离子源和质量过滤器之间传输离子，同时将离子损失降至最小。

离子漏斗的模拟。

离子漏斗可用于将离子注入四极滤质器和离子迁移谱仪，使它们能够分离和分析电离气体的混合物。这些设备有广泛的应用，如:

爆炸物检测
研究复杂的生物分子
分析残余气体
在手术中癌症诊断
研究恐龙的皮肤

当然，在离子漏斗投入使用之前，我们需要深入了解它们的设计和功能。

使用 AC/DC和粒子追踪模块研究离子漏斗

在这个例子中，我们分析了结合 RF 和 DC 电势的离子漏斗的聚焦效应。该模型包含一组暴露在射频电位下的绝缘环形电极，其相邻电极相位不一致。此外，漏斗内还有中性氩气缓冲气体。为了模拟离子与中性背景气体的相互作用，我们使用了带有弹性子节点的碰撞节点和蒙特卡罗 碰撞设置。

RF 电位沿径向限制离子，DC 偏压将它们导向越来越窄的电极。这两个场的叠加使得漏斗能够聚焦离子，使它们通过漏斗并抵消热分散和库仑斥力效应。

为了创建这个模型，我们在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用了三个不同的接口:

静电接口计算 DC 场
电流接口计算 AC 场
带电粒子跟踪 接口模拟离子通过漏斗的运动。该接口考虑了 DC、AC 场和气体中中性粒子的相互作用，但由于离子密度较低，不考虑离子本身的相互作用。

检验仿真结果

离子漏斗的仿真结果表明，正离子通过逐渐增大的直流偏置成功地从漏斗较宽的一端移动到较窄的一端。为了将离子保持在漏斗内，相邻电极之间的交流电压保持异相。如下图所示，这会导致在电极附近存在一个非常大的电势梯度。

时间等于 0时，电动离子漏斗的组合电势。

利用这个模型，我们还研究了离子在漏斗中的轨迹。这些轨迹表明离子被限制在越来越小的区域内。由于这种限制，离子可以被有效地传输到另一个设备，例如质量过滤器。

电动离子漏斗中的正离子轨迹。

让我们继续仔细看看位于漏斗狭窄末端的离子。当离子沿着x轴正方向释放，当它们到达漏斗的末端时，它们就会沿z轴均匀分布。

漏斗窄端离子的 x 和 y 坐标。在这幅图中，蓝色表示仍在漏斗中的粒子，红色表示已离开漏斗的粒子。请注意，这些结果可能与前两个图不同，因为碰撞节点使用了随机数来决定是否在每个时间步都发生碰撞。

想自己尝试模拟这个离子漏斗的例子吗?点击下面的按钮进入 COMSOL 案例库，访问模型文档和相关的 MPH 文件。

获取教程模型

用粒子追踪模拟单透镜聚焦

Caty Fairclough — Wed, 15 Nov 2017 05:53:12 +0000

单透镜用于聚焦阴极射线管(CRT)中的带电粒子束。为了正确分析单个透镜，我们需要研究透镜中受到适当电激发的带电粒子。这篇博客，我们将讨论一个使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品粒子追踪模块模拟单透镜的示例。

了解单透镜

当我第一次走进电子游戏比赛现场时，我对房间里 CRT 电视的数量感到惊讶。为什么要使用老式箱式电视播放比赛而不是现在流行的平板电视？以前参加过这类比赛的兄弟告诉我， CRT 电视更适合显示一些游戏，因为它们可以提供理想的响应时间和每秒帧数。这个优势使 CRT 电视在游戏界广受欢迎。

一台 CRT 电视。图片由 Daniel Oines 提供自己的作品。通过Flickr Creative Commons获得许可（CC BY 2.0）。

与现在一些比较新的电视类型不同，这些电视依赖 CRT，即一种控制电子束如何到达屏幕的真空管。为了聚焦带电粒子束，一些 CRT 使用单透镜。这些透镜也被用在离子推进系统以及离子和电子束实验中。

单透镜的聚焦能力取决于以下因素：

初始粒子能量
初始光束准直
每个电极的电压

为了准确研究影响单透镜设计中的这些因素，我们可以使用粒子追踪仿真进行分析。

使用 COMSOL Multiphysics^®模拟单透镜中的粒子追踪

这个单透镜示例由三个在同一轴线上对齐的圆柱体组成，中间的一个圆柱体保持固定电压，而外部的两个圆柱体接地。

用这个模型研究的电子具有 20 keV 的初始动能。电子速度接近光速，因此，还需考虑相对论效应。

我们可以通过使用两个不同的研究和接口来解决这个模型。第一个是稳态研究，它使用静电接口计算电势和 3D 静电场。然后使用相应的电场对模拟的电子施加电力。其次，可以使用瞬态研究和带电粒子追踪 接口确定电子粒子的轨迹。

接下来，我们将展示这些研究的结果。

仿真结果

我们先来看一下光束聚焦的电极(在本例中为圆柱体)周围的区域。在下面的左图中，我们可以看到环绕电极的等势面。还可以通过观察电极附近的横截面来研究电势和边缘场(如下右图所示)。

电极周围的电势(左)，电势和边缘场(右)的等值面。

扩展视图可以帮助直观地通过单透镜的电子轨迹。如下图所示，粒子在接近透镜时会降低速度。通过透镜时，又开始加速，最终达到初始速度。

左图显示了单透镜中的电子轨迹。图中的颜色代表粒子动能与初始动能的比率。右图显示了电子轨迹和电势等值面。

接下来，我们通过单透镜查看电子的标称束流轨迹。我们还考虑了带电粒子束在横向相空间中所占面积的常见测量值：超发射度。

标称束流轨迹。图中的颜色表达式描绘了光束的超发射度。

通过粒子追踪仿真，我们能够更准确地分析单透镜，并可以使用这些结果来优化透镜设计。单击下面的按钮，尝试自己模拟单透镜。

获取单透镜教程

拓展阅读

使用 COMSOL Multiphysics® 精确分析涡轮分子泵

Caty Fairclough — Wed, 09 Aug 2017 02:42:45 +0000

真空系统的设计研究有时充满了挑战，因为一些分析方法仅仅在气体分子的相对移动速度比真空壁的速度快得多的情况下可行。涡轮分子泵不属于此类情况，它可以采用蒙特卡洛方法和 COMSOL Multiphysics® 软件提供的旋转坐标系 特征进行建模和分析。下文将通过具体案例进行演示。

深入涡轮分子泵的内部结构

真空技术出现在许多高科技应用中，例如半导体加工、质谱仪和材料加工。这种技术利用真空泵从密闭的真空室中抽出空气分子，从而创造出一个低压环境。

涡轮分子泵属于真空泵的一种，它由叶片状涡轮构成。现代涡轮分子泵的叶片旋转速度极快，高达 90,000 rpm。

一台涡轮分子泵。

高速旋转的叶片将动量传递给气体分子，从而使气体压缩，并在叶片驱动下从入口流动到出口。结果是，泵能够在叶片靠近入口的一侧产生并保持高真空。这个抽气过程在自由分子流状态下更能显示出其优越性，因为多数气体粒子是与转子碰撞，而不是彼此相互撞击。

为了更好地了解与设计涡轮分子泵，您可以使用 COMSOL Multiphysics 对其进行建模。不过，首先我们要找出最优的建模方法。

使用“粒子追踪模块”模拟涡轮分子泵

在构建模型时，我们没有绘制整台涡轮分子泵的几何，而是绘制了涡轮分子泵的一部分（一排叶片）。利用该模型，我们计算了叶片之间空隙内的气体分子轨迹。根据扇形对称性，我们可以得到整个分子泵的仿真结果

涡轮分子泵其中一个扇区的几何模型。灰色代表两个叶片之间的空隙，绿色代表叶片壁，黑色代表转子叶片根部。

虽然不在此例中使用，不过“分子流模块”的自由分子流 接口是求解模型方程、计算泵中自由分子流动状态的有效方法。当极稀薄气体分子的移动速度比建模域中的任何物体都快得多时，此接口是一个实用工具。然而，在涡轮分子泵中，气体分子的速度与叶片速度相当。因此，我们需要针对此问题采用不同的方法。

涡轮分子泵的示例模型。

我们使用蒙特卡洛方法和旋转坐标系 特征（COMSOL Multiphysics 5.3 版本“粒子追踪模块”的新功能），自动对粒子施加虚拟的科里奥利力和离心力。可借此计算叶片所在非惯性参考系内的粒子轨迹。

该方法能够准确计算叶片速度比对抽气性能的影响，例如最大压缩比、传递概率和最大速度因子。这些特性均基于氩原子从入口到出口及反向的传递概率。

如需详细了解如何创建此模型及其几何参数和假设，请查看涡轮分子泵的教程文档。

分析涡轮分子泵中的粒子轨迹

第一步，计算沿正向（从入口到出口）和反向（从出口到入口）方向传播的粒子的传输概率。如预期所料，当叶片处于静止状态时，概率大致相等。这是因为两个方向之间没有区别。

但当叶片开始加速旋转之后，粒子更容易通过泵正向传输，因为叶片壁成功地将动量传递到氩原子。这也对应了不断增加的压缩比。

沿正向（左）和反向（右）方向传播的粒子百分比与叶片速度比的函数关系。

我们还研究了压缩比和速度因子如何受叶片速度比的影响。为了制造足够的压缩效果和速度大小，泵使用了由多个圆盘和不同类型的叶片构成的多叶片结构。靠近入口的叶片抽气速度快，压缩比小，而靠近出口的叶片具有相反的特性。

如下图所示，当叶片速度增加时，最大压缩因子和速度因子随之增大。这证明了同时使用两种叶片类型能够提高泵的性能。

叶片速度对最大压缩比（左）和最大速度因子（右）的影响。

本文介绍的案例重点演示了新增的建模功能，方便您更容易分析涡轮分子泵。点击下方按钮，尝试自己动手操作。

下载涡轮分子泵教程

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