1. 评估细菌致死率

Fortune Business Insights 最近一项研究（参考文献 2）显示，消费者对保质期长且易于储存的罐头食品的需求多年来一直在稳步增加，并且这一趋势预计还将持续。食品灭菌对生产商来说非常重要，因为过程中的任何错误都可能导致有害甚至致命的细菌进入消费者的食品。COMSOL 认证咨询公司 BE CAE & TEST 使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的 App 开发器开发了一款定制仿真 App，用于估计灭菌过程中渗透进罐头食品内部的有效热量，从而评估细菌致死率。该仿真 App 可以帮助食品工程师使用精确的多物理场模型分析罐头食品安全，且无需学习如何使用仿真软件。

在仿真 App 中设置分析时，食品工程师可以轻松地从几种基本形状的容器三维几何中进行选择，或者导入自定义的几何图形；选择豆类、玉米和金枪鱼等各种类型的食品；指定热处理方法。如果没有特定食品热物理性质的参考数据，也可以通过输入其营养成分，包括碳水化合物、蛋白质、脂肪、纤维和灰分（矿物质含量）的百分比来轻松计算。还可以通过该 App 导入实验参考数据，获得随时间变化的蒸馏温度曲线，或通过指定加热坡度、热稳定阶段和最终冷却温度和持续时间来定义温度曲线。

BE CAE & TEST 用于评估罐头食品中细菌致死率的定制仿真 App，其中自定义的几何图形是一个装有金枪鱼的长方形锡罐。

通过在自定义输入框中输入感兴趣的数据，食品工程师可以使用该仿真 App 在瞬态分析过程中计算随时间变化的温度，用于确定热渗透如何影响各种罐头食品中的细菌致死率。有了这些信息的支持，他们就可以优化食品灭菌流程，降低有害细菌进入食品的风险。

了解有关他们的工作和这个仿真 App 的更多信息， 请查阅：分析灭菌过程中细菌致死率的 COMSOL 仿真 App

2. 优化通心粉干燥条件

对于意大利面生产商而言，面食干燥过程需要进行一系列耗时耗力的实验来确定最佳操作参数，从而获得稳定、优质的产品。全球最大的意大利面生产商 Barilla 与意大利 Calabria 大学合作开发了一个模型来预测意大利面干燥过程中的温度、水分分布和结构变化，进而优化干燥过程，确保产品质量并最大限度地减少能源消耗。

烘干意大利面所需的时间差异很大，具体取决于两个参数：

1. 空气温度（ 40^°C ~ 90^°C） 和相对湿度（40% ~ 85%）
2. 气流速度波动

该团队采用双域建模方法开发了一个模型，用于预测在湍流空气条件下干燥过程的温度和水分分布。该研究团队在模拟中使用了一个二维几何图形来表示一根”tortiglione “意大利面。

一根意大利面的基本几何形状。

他们使用有限元法将传热和传质方程耦合起来，并对模拟进行参数化以反映典型的工业条件。该模型考虑了食品在干燥过程中的收缩。总体而言，研究团队的仿真预测结果与干燥过程的实际结果相比，平均相对误差小于 9%。

收缩的影响和模型验证结果。

了解更多有关该团队工作的信息，请查阅： “Comprehensive analysis of the transport phenomena developing inside a pasta drying chamber

3. 分析液体食品包装的降解情况

液体食品包装必须能安全地保存食品，且不会让包装在接触液体时发生降解。这种包装通常由核心支撑材料纸板、保护食品的聚合物保护层和通过感应加热（IH）密封包装的薄铝层构成。世界领先的食品加工和包装解决方案商利乐公司（Tetra Pak）的一个团队对感应加热过程中的包装材料响应进行了建模和仿真，以了解不同属性如何影响包装的材料性能。

利乐纸盒包装的解剖图。

他们建立了自己的模型并模拟了感应加热-密封过程纸板中热量和质量传递的相互作用。该模型以铝层为边界条件，考虑了通过AC/DC磁场的涡流。他们使用多物理场耦合仿真来确定纸板的干燥如何受到内部气体压力的影响，以及纸板不同区域的干燥程度。仿真结果表明，当纸板的初始含水率较高且密度较低时，由于水分引起的降解较少，蒸汽更容易逸出，这一点在纸板最干燥的顶角处可以观察到。仿真结果还表明，模型预测与实验数据非常吻合。这些发现使利乐公司能够进一步优化其聚合物模型，从而减少材料浪费。

使用不同内压时间进行的三次仿真显示了纸板上表面的水分含量。

了解有关他们工作的更多信息，请查阅：模拟感应加热密封过程中纸板的质量和热量传递耦合。

4.改善烤箱气流

为了以最低的成本精确计算烤箱腔内的气流，烤箱制造商 UNOX SpA 正着手寻找最有效的仿真策略。作为这项工作的一部分，该团队使用 COMSOL Multiphysics^® 软件研究并比较了各种流体动力学仿真策略。

该研究包括三个步骤。首先，他们使用一个管道和带冷冻转子的风扇的简化域进行研究，该研究的计算成本较低，并且可以进行实验验证。接着，他们对实际烤箱风扇的复杂几何形状进行了完整模拟，包括冷冻转子和传热研究。该模拟非常精确，但计算量也很大。最后，他们进行了与前一项类似的分析，但在不模拟旋转风扇的情况下施加了速度曲线，从而降低了计算成本。

烤箱内的气流。

研究团队对这三个步骤的结果进行了分析，发现第三种策略能以最少的计算时间获得非常准确的结果，因此是其工作最有效的方法。

了解更多有关他们工作的信息，请查阅：烤箱中的流体动力学仿真：平衡精度与计算效率

5.应对巴氏杀菌的挑战

含水量低的食品可能会因耐热微生物的污染带来安全问题，因此蒸汽或热空气等典型的巴氏杀菌法无法奏效。微波加热可作为一种替代方法，但由于干燥食品的介电特性较低而面临一定挑战。来自工业微波和射频应用领域的全球领先企业 SAIREM 和法国高等教育机构 Oniris Nantes 的一个团队合作开发了仿真模型来研究这一过程的复杂性。

他们模拟了用 915 MHz 单模微波加热器加热石英管中辣椒粉的过程，并分析了管内的电场分布和局部温度。研究团队模拟了几组不同的介电特性值，结果显示，与损耗因子相比，介电常数的不确定性导致了更大的温度变化。他们还实际测量了辣椒的热物理性质，包括密度、热量和热导率，发现二者结果非常一致。要准确预测生产安全食品所需的温度，精确测量含水量低的食品介电特性非常关键。

在工作频率为 915 MHz 的微波腔内加热的石英管模型中的红辣椒粉末，显示了由于介电常数的不确定性导致的温度差异。

了解有关他们工作的更多信息，请查阅：介电常数对 915 MHz 微波腔中低水分食品巴氏杀菌的影响

多物理场仿真保障食品安全

这篇博客，我们了解了食品和饮料行业的工程师如何使用多物理场仿真和仿真App分析和优化与食品安全相关的产品和流程的5个真实案例。当然，这些案例只是这一领域的简单仿真。如需获取更多灵感，请至 COMSOL 官网查阅 食品和饮料行业的应用专题。

参考文献

1. Consumer confidence in food safety hit a record low in 2024. (2024, September 19). International Food Information Council. https://ific.org/media-information/press-releases/food-safety/.
2. The canned food market in the U.S. is projected to grow significantly. (2025, April 14). Fortune Business Insights. https://www.fortunebusinessinsights.com/canned-food-market-103258

迈向全自动驾驶汽车之路

评估汽车自动驾驶级别的行业标准由美国汽车工程师学会（SAE）制定。该标准将自动化分为6个等级（从 0 级开始），其划分依据是哪些动态驾驶任务（DDT）可由机器执行，哪些任务需要人类参与：

• 0 级: 无自动驾驶；人类驾驶员执行车辆的所有动态驾驶任务
• 1 级: 自动辅助转向，或自动辅助加速和减速（如巡航控制）；人类驾驶员执行车辆的其他所有动态驾驶任务
• 2 级:自动辅助转向、加速和减速（如自动平行泊车）；人类驾驶员执行其他所有动态驾驶任务
• 3 级: 自动执行动态驾驶任务；人类驾驶员密切监控车辆，必要时进行干预
• 4 级: 自动执行动态驾驶任务；人类驾驶员无需干预
• 5 级: 完全自动化的动态驾驶任务；人类驾驶员无需坐在前排座椅上

插图显示了 SAE 所描述的自动驾驶级别的 6 个等级。

该分级体系在 2 级和 3 级之间存在一个重要转变，即车辆的主要控制权从人类驾驶员转移到自动驾驶系统，由自动驾驶系统负责大部分动态驾驶任务。迄今为止，一些自动驾驶汽车已达到 SAE 4 级，但还没有达到 5 级的全自动驾驶级别。

一幅描述 5 级自动驾驶体验的漫画。

在全自动驾驶体验成为现实之前，仍存在一些困难需要解决。在自动驾驶领域，一个重要的设计挑战是优化 激光探测和测距（激光雷达）系统。激光雷达的工作原理与声呐和雷达类似，但它是基于光而不是声波或无线电波。借助激光雷达技术，自动驾驶汽车和其他自动机器人能够对周围环境进行三维感知。激光雷达还被广泛应用于考古和林业等需要勘测地形的行业。

激光雷达的工作原理

激光雷达的工作原理非常简单：向特定方向发射一束高强度窄光束；测量反向散射光返回靠近光源的接收器所需的时间（称为飞行时间）；根据飞行时间计算到散射表面的距离。对一系列不同角度的光束重复这一过程并整合数据。最终得到周围环境的图像，只不过这里每个像素量化的是深度，而不是典型图像中的颜色。

仅需一个简单的公式，即可将飞行时间 转换为距离 。假设光在恒定折射率 的介质中传播，我们可以得到：

其中， 为真空中的光速。在下面的应用中，我们考虑的是空气中的激光雷达，因此设置 。

安装在车顶的激光雷达装置示例。图片由 Arno Mikkor 提供自己的作品。采用 CC BY 2.0 许可，通过 Flickr Creative Commons 共享。

要使激光雷达系统发挥作用，还需要考虑一些实际问题：

• 脉冲激光是首选的光源，它能以窄光束进行快速扫描，但必须注意用眼安全；通常选择波长在 1550 nm 左右的激光，因为即使直接照射眼睛也不会对其造成伤害。
• 为了便于精确扫描，光束角度必须加以精确控制。例如，可以通过使用 MEMS 透镜来实现这一点。
• 由于光子能量较低，波长较长的护眼光难以有效检测。常见的选择是前置放大雪崩二极管或 PIN 光电二极管。

从本质上讲，激光雷达的工作原理与雷达和声呐类似，但与这两种较为成熟的技术相比，激光雷达具备一些关键优势。例如，激光雷达使用的光波长（通常约为 1550 nm）比雷达使用的无线电波或声呐使用的声波短得多，因此分辨率更高。此外，光在空气中的衰减远大小于声波，故激光雷达的探测距离更远。声呐一般只在水下使用，因为其在水下的衰减程度相对较弱。最后，光在空气中的传播对温度和压力变化的敏感度远低于声速，因此使用激光雷达测得的距离比声呐更准确。

激光雷达也需要考虑一些局限性。与雷达和声呐不同，激光雷达无法利用多普勒效应来获取物体的速度信息，因此需要足够高的刷新率才能通过距离变化率来推断速度。此外，透明和镜面类表面不能产生大量反向散射光，因此难以被激光雷达探测到。

使用射线光学模块模拟激光雷达

COMSOL Multiphysics^® 中的时域射线追踪算法非常适合模拟激光雷达。相较于传统几何光线追踪方法，借助该算法可获取每条光线的实际到达时间，从而实现更准确的激光雷达模拟。如下图所示。有关光线光学模块的详细信息，请查看这篇博客。接下来，让我们来看看激光雷达的两个示例模型：检测十字路口障碍物的汽车和绘制房间布局图的扫地机器人。在这两个示例模型中，激光雷达单元均被作为成对的释放特征（光源）和累加器（探测器）来实现。

COMSOL Multiphysics^®（左）中瞬态射线追踪与标准顺序平面到平面射线追踪（右）的差异描述。

用激光雷达探测障碍物

该模型由一辆装有激光雷达单元的汽车组成，用于在十字路口探测行人和另一辆汽车。射线轨迹动画和三个前端探测器瞬态信号图如下所示。需要注意的是，此处只考虑了一个探测周期，而在实际场景中，这一过程每秒会重复多次。

汽车激光雷达模型的射线追踪结果动画。

绘图显示了前方三个探测器探测到的信号。前方和左前方探测器在 2 m 处达到峰值，探测到行人。右前方探测器在 7.5 m 处达到峰值，探测到另一辆汽车。

使用激光雷达扫描房间

第二个示例模型显示了一台扫地机器人通过旋转激光雷达装置扫描房间的情况。从下图中可以看到，通过绘制飞行时间与旋转角度的关系图，可以复原出房间的布局。

显示出射线轨迹激光雷达角度扫描动画。

房间布局（左）与飞行时间（距离）和激光雷达装置角度（右）关系的对比。

下一步

尝试自己动手模拟激光雷达系统。您可以从COMSOL案例库中下载文中介绍的示例模型文件:

• LIDAR：使用“射线光学”模块进行激光探测和测距
• 借助扫地机器人上的激光雷达绘制空间分布图

在这篇博客中，我们将介绍在 COMSOL Multiphysics^® 中利用对称性进行射频和波动光学模拟的典型工作流程。重点介绍最常用的 电磁波，频域 接口中边界条件的正确选择，讨论如何有效地管理模型以验证结果，以及分析结果的各种方法，包括远场计算和集总参数计算。

应用对称条件的一个例子：纳米球对平面波的散射

我们先来看一个基本的波动光学案例：悬浮在自由空间中的纳米球对平面波的散射。具体来说，我们将考虑波长为 500 nm、在 z 方向偏振并沿正 x方向传播的平面波，以及半径为 100 nm、折射率为复值的纳米颗粒，该折射率取自 COMSOL 内置的光学材料库（Raki 等，1998）。

要模拟这种情况，我们将使用 电磁波，频域 接口和 散射场 公式，并使用完美匹配层包裹周围的自由空间域，以确保外部边界没有反射。由于我们感兴趣的输出结果是远场散射，因此将添加 远场域 特征，以获得相应的可视化效果。使用默认的 物理场控制网格，并激活 解析损耗介质中的波 复选框和 波长域 研究。下图中的 COMSOL Multiphysics^® 用户界面显示了部分设置。

纳米球对平面波的散射。设置窗口中突出显示了 散射场 公式。在 图形 窗口中，显示得到的总场（多切面 绘图）以及功率流（体箭头 绘图）。

虽然从计算所需的内存量和求解时间来看，这个示例要求并不算高，但减少这些需求永远不会有坏处。模型越复杂或需要运行的测试越多，如果能够减少需要的自由度（DOF），就能获得越显著的性能提升。利用对称性是最明显且最有效的一种方法。

注：稍后我们将讨论贴片天线模型的性能提升。

从几何图形来看，由于纳米粒子中心与原点对齐，因此有三个可能的对称平面：xy、zy 和 yz。让我们来确定是否任何一个都可用于缩减模型。在这之前，有必要讨论一下电场和磁场在对称平面上的行为，以及相关的控制方程。

物理场和电磁场系统的实现

电磁场对称性的物理原理与实现方法根据麦克斯韦方程组的特性，如果切向电场为零或切向磁场为零，我们就可以使用一个平面对称。如果切向电场为零，则磁场具有镜像对称性，这可以用 来描述。如果切向磁场为零，则电场具有镜像对称性，可描述为 。

好消息是，这些镜像对称性可以在 COMSOL Multiphysics^® 中轻松实现。从 6.1 版本开始，电磁波，频域 接口有一个专门的 对称平面 条件，可在 零切向电场 (PEC) 和 零切向磁场(PMC) 之间进行选择，前者 相当于基本的 理想电导体 条件，后者相当于 理想磁导体 条件。两种情况的示意图如下。

注：AC/DC 模块中也有为处理电场和磁场而设计的具有类似功能的接口。

两张示意图说明了两种可能的 对称平面 条件。左图显示的是磁场的镜像对称性，使用 零切向电场(PEC) 选项模拟。右图显示的是电场的镜像对称性，使用 零切向磁场 (PMC) 选项模拟。

请牢记这些信息，然后，我们再回到上文中的示例，理清在哪里可以应用 对称平面条件。

确定可能的对称性

以下是一个简要的问题清单，可以帮助我们选择合适的对称面:

• 波在给定平面上的传播和散射方向是否允许利用对称性？
• 在可能的对称面上，波的偏振会发生什么？
• 我们能否认为某一平面上的切向电场或切向磁场均为零？
  • 相反，我们是否期望这些场的方向会由于复偏振态（例如圆偏振）而在空间中沿给定平面发生变化？
• 我们是否期望激发出具有不同对称性的高阶模式？

如何回答这些问题取决于具体情况。有时，答案很简单。例如，对于上述测试示例，我们可以立即将 yz 平面排除在外，因为背景场会向它传播，来回的散射在方向和振幅上都会有所不同。

确定是否可以使用其他两个平面可能需要一些推理和/或初步测试。背景场在 z 方向上极化，因此我们可以考虑电场（“E 场”）在 zx 平面上的镜像对称性，以及磁场（“H 场”）在 xy 平面上的镜像对称性。在这种情况下，米氏散射不会影响这些平面上的极化，也不会产生打破所选对称性的模式。既然我们已经有了完整模型几何的解，就可以通过绘制 zx 和 xy 切向平面上的电场和磁场矢量图来轻松确认。可以使用 体箭头 绘图类型来实现，这种绘图在分析任何矢量场时都非常方便。

zy（左图）和 xy（右图）切向平面上的 E 场（红色箭头）和 H 场（蓝色箭头）。

体箭头 绘图证实，对称平面 条件可通过 零切向磁场 (PMC) 选项应用于 zx 平面，以及通过 零切向电场 (PEC)选项 应用于 xy 平面。

现在，是时候在我们的模型中应用这些对称性了。

在几何和物理场中实现对称性

在几何层面，我们应该为每个对称平面创建一个 工作平面，通过 分割对象 操作使用 工作平面 对整个几何图形进行分割，最后使用 删除实体 操作删除不再需要的实体。此处详细介绍了这一工作流程。在我们的案例中，如果手头有完整的模型，那么复制粘贴整个 组件（相当于复制它）并在第二个 组件 中执行所有这些几何体修改操作将非常高效。

在物理场层面，当我们简化几何后，需要做的主要改动是为每个独立平面添加对称 平面条件。最好使用 对称平面 条件，而不是单独的 理想电导体 和 理想磁导体条件；添加 对称平面 条件后，端口、集总端口、截面计算 和 远场域 节点中的某些表达式将自动调整。最后一个节点非常适合处理我们的示例，因为计算远场结果在这里非常重要。

注：您可以使用 图形 窗口中右键并选择 按连续相切分组 选项，一键选择所有需要的边界。

完成物理设置后，我们就可以为第二个 电磁波，频域 接口添加新的 波长域 研究并启动它。然后，我们就进入了仿真中最有趣的部分——可视化和计算结果。

对给定对称条件的简化模型进行分析

从下面的截图中可以看到，当我们使用 对称平面 功能并在 远场计算 子节点的设置中选择 来自对称平面 选项时，远场可视化不需要任何额外设置就能生成完整的辐射模式。

使用两个对称平面实现了从纳米球上散射的平面波简化模型。图中显示了远场图。绘图会自动生成完整几何的辐射模式。

另一方面，标准电场图默认使用简化的几何显示。不过，您可以添加几个额外的 三维镜像 数据集，以便在显示结果时还原完整的几何。这些数据集具有 矢量变换 的高级设置，需要与实现的对称性对齐。在我们的示例中，对于 zx 镜像，需要使用 反对称 选项。提醒一下：只有在绘制向量场时才需要使用反对称 选项；对于标量变量，最好保留默认设置。

在进行任何积分操作（例如计算有损粒子吸收的总功率）时，我们都要考虑到同样的问题；我们可以使用额外的 三维镜像 数据集，或者在使用默认的 解 数据集时手动添加相应的倍增因子。

再举两个例子

我们再来看两个可以利用对称性的例子。我们将更快速地介绍这两个例子，只关注一些无法用纳米球散射模型来演示的方面。这两个例子以及第一个模型可在文末下载。

使用集总端口模拟的贴片天线案例

天线模拟是另一个可以从利用对称性获益的领域。为了演示，我们考虑 COMSOL 案例库中的微带贴片天线教程模型。我们将展示在 yz 平面上对其进行分割，并使用 零切向磁场 (PMC) 选项实施 对称平面 条件会如何影响集总参数的绘制，以及常规频率扫描的一般性能。

这里的关键考虑是，当我们简化模型时，会将辐射集总端口切成两半。对于这种情况，可以选择 通过对称平面调整特性阻抗 选项。选择该复选框意味着，即使将端口面积减小了 2 倍，也能保持完整几何体的特性阻抗 值，这样就有机会直接计算与该值相关的所有变量，如集总端口电压、S 参数、实际增益等。然而，一旦通过基于边界的积分计算出集总端口的功率和阻抗，我们就需要对其进行缩放，以获得正确的数值。这种缩放要求与在第一个例子中的体积损耗积分类似。

另一个需要注意的问题是，切割 集总端口 边界的方向，以及这对输入电压振幅的影响。对于贴片天线模型，厚度保持不变，因此无需缩放电压幅度。但是，如果对称性沿垂直于整个 集总端口 的电场方向切割，就需要在缩小的模型中加入相应的乘数来缩放电压幅度。在 集总端口 内定义功率时也要考虑同样的因素，因为会按照 自动进行转换。

计算结果

当将所有这些结果与完整几何参考进行比较时，可能会发现显著差异。虽然一开始可能会让人感到困惑，但这恰恰表明需要进行网格细化研究。换句话说，对于简化的模型，我们可以看到更高的集总端口分辨率，这一点非常重要，因为它提高了计算的集总参数的准确性。对于其他小几何细节也是如此。实现网格充分细化的一种方法是在简化模型和参考模型的网格中选择 细化传导边 选项。下一张截图显示了最终结果。通过重新进行计算，您可以在简化模型和完整模型之间获得更好的相关性。

注：另一种找到最佳网格分布的方法是运行 频域，RF自适应网格 研究。您可以相应的教程模型中查看详细信息。

使用 对称平面 条件的微带贴片天线模型。在绘图 1（上图）中，您可以看到 细化传导边 功能生成的优化网格配置，以及以对数刻度显示的电场模式。在绘图 1 下方，选定的集总参数表（左）和绘制的 S11 曲线（右）都显示了完整模型和简化模型之间的紧密相关性。

在这个案例中，实施对称性的一个积极作用是：它带来了更好的精度，但对计算过程有什么影响呢？下表显示了两次测试运行的结果，比较了完整模型与简化模型在自由度数、使用的 RAM 和求解时间方面的性能。简而言之，将模型减半后，求解时间减少了 42%，内存使用量减少了 25%。这些数字与硬件有关，对资源要求更高的应用将获得更好的性能提升。

基于修改后的微带贴片天线模型的性能比较。使用的 RAM 和求解时间分别减少了 25% 和 42%。

矩形波导和高阶模式

在实施 对称平面 条件时，还需要仔细考虑系统中涉及多个不同模式的计算。此类应用可能直接涉及特征值计算，也可能是一个在模拟域内或通过一组 端口 条件激励各种模式的频域模型。

举例来说，让我们来看一个矩形波导横截面的简单 模式分析 研究，重点关注对称性的影响。当我们研究感兴趣的模式时会发现，在前六个模式中，TE10、TE11 和 TM11 遵循 零切向磁场 (PMC) 型对称性，而 TE01、TE20 和 TE21 则具有理想电导体 (PEC) 型对称性。也就是说，如果我们要考虑一个同时存在 TE10 和 TE20 模式的多模波导，就需要保留完整的几何结构；否则，我们就会丢失其中一个模式，从而得到不正确的最终结果。

对于每个复杂的多模应用来说，一个好的做法就是像我们在这篇博客中所做的那样，对系统中感兴趣的模式进行初步研究。对于波导模型，明智的做法是执行扩展模式分析 。对于一般情况，一些常识性推理或 特征频率 计算可能很方便。

矩形波导的 TE10（左图）和 TE20（右图）模式。在两种模式的上图中，切向 E 场用红色箭头标出，H 场用蓝色箭头标出。中图显示了 E 场和 H 场分布的大小。如果利用对称性，TE10 模式需要满足零切向磁场（PMC）条件，而 TE20 模式则需要满足零切向电场（PEC）条件。

在某些情况下，还需要注意两个额外的修改：如果采用的是根据序列号选择模式的方法，那么当通过对称性缩减模型时，就需要对这一方法进行相应的更新。如果我们使用端口条件，应该记住缩放 端口 的输入功率，并根据其表面减小的比例进行缩减。

关于对称平面条件的总结

在这篇博客中，我们演示了如何遵循一些简单的规则并利用 对称平面 条件，在电磁波，频域 接口中利用 对称 条件。如果使用得当，这种方法可以提升各类散射、辐射和波导问题的计算性能，甚至获得更精确的结果。虽然这些操作几乎是全自动的，但在可视化和计算结果时，某些操作（如体积积分或边界积分）可能需要额外的手动缩放。在简化模型时，我们鼓励大家先运行初步简化模型，并与完整模型进行比较，以确保结果的一致性。

动手尝试

点击下方链接获取本文中讨论的教程模型，尝试自己动手利用对称性，查看所有辅助设置和各种可视化及计算结果的选项。

质子疗法的优势

与其他形式的放射疗法相类似，质子疗法利用电离辐射破坏肿瘤细胞的 DNA 治疗癌症，这种辐射损伤会中断肿瘤细胞的繁殖，并最终消灭它们。在质子疗法中，电离辐射源是由粒子加速器产生的高能质子束。

使用质子束代替传统 X 射线的主要优势在于其明显的布拉格峰。通常情况下，后者的辐射剂量在浅层组织区域附近最大，并随组织深度单调递减，这意味着在治疗过程中，浅层和深层的健康组织也会受到次级照射。相反，质子会在停止前（即接近其最大穿透距离时）释放最大剂量，使浅层健康组织受到的剂量相对较小，而深层组织则完全不受影响。通过微调治疗计划中使用的质子束能量，医学物理专家可以确保质子束在肿瘤区域产生均匀的剂量，同时不伤害邻近的健康组织。

质子束和 X 射线束的剂量与穿透深度的关系，请注意质子束明显的布拉格峰。图片获 GNU Free Documentation License 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

质子束的横向剖面也需要加以控制，以使其与肿瘤的形状相匹配，最常见的两种方法是被动散射和笔形束扫描（PBS）。被动散射法利用一个或多个散射箔片来分散质子束，使目标区域（也称为治疗场）接受几乎均匀的照射。相比之下，笔形束扫描或点扫描则是将治疗场划分为类似体素的子区域，并利用狭窄的“笔形”射束对每个子区域进行治疗。

质子束的控制

质子束的导向由笔形束扫描喷嘴系统控制。最简单的笔形束扫描喷嘴由两块垂直和水平排列的偶极磁铁组成，以产生均匀磁场，分别使质子束向水平和垂直方向偏转。通过控制驱动磁铁的电流，辐射技术人员可以调整磁场强度，从而控制质子束的偏转程度。

笔形束扫描系统的数值模拟源于人们对磁共振成像（MRI）实时监测治疗（也称为磁共振引导质子治疗）的关注日益浓厚。笔形束扫描喷嘴和 MRI 系统都利用了强磁场，因此必须透彻地了解这两个系统之间的电磁相互作用，以决定采用什么必要的干预措施，确保 MR 成像和质子束的质量。

笔形束扫描喷嘴的 3D 模型。

笔形束扫描仿真

这篇博客，我们只研究笔形束扫描系统。所研究的模型由四个分离的功能磁体（两个偶极子和两个四极子），一个射束孔径和一个代表治疗场的靶平面组成。

笔形束扫描喷嘴模型的一部分。磁体系统包括两个标有 Q1 和 Q2 的四极子、一个垂直扫描偶极子 (SV) 和一个水平扫描偶极子 (SH)。图中还显示了射束孔径和靶平面（治疗场的位置）。

四极子旨在塑造质子束剖面的形状，以确保质子束与上游加速器束线（未模拟）相匹配。线性磁场梯度的作用是使质子束在一个横向方向聚焦，并在另一个方向散焦，因此需要两个四极子。聚焦的强度由输入的四极子电流控制。

沿四极子 1 (Q1)横截面中心的磁场。注意中心附近的磁场箭头方向。Q1 磁场在垂直方向聚焦质子束，在水平方向散焦质子束。另一个四极子（Q2）旋转了 90 度，其行为与Q1相反。

两个四极子的下游是两个扫描偶极子。这些磁体在极子间隙内产生恒定均匀的磁场，使质子束偏转到所需的目标位置。水平/垂直偏转的大小由磁场强度决定，而磁场强度又由输入偶极子电流的控制。在模型中，用户可以指定治疗场中所需的 (x, y) 目标位置，并根据给定的束流能量近似计算出所需的线圈电流，通过直接调整线圈电流就可以更精准地控制质子束的目标位置。

左图和右图分别显示了垂直扫描偶极子（SV）和水平扫描偶极子（SH）的磁场。

两个扫描偶极子的下游是束孔径和靶中心，前者是 PBS 喷嘴物理结构中唯一需要模拟的部分。为能够清晰演示，模型中还省略了喷嘴物理结构的其他部分，但在综合研究中可将它们包括在内。

为了可视化质子束轨迹，使用了 带电粒子追踪 接口模拟。磁场分布被无缝集成到粒子追踪模拟中，以准确模拟质子束的轨迹。（请注意，为了演示简洁清晰，模型中忽略了散射。）质子束的动能通常在 MeV 范围内变化，也被作为模型参数考虑在内。

分别沿 yz 平面和 xz 平面的质子束轨迹图（红色）和磁通密度模图。

上图描述了质子束和磁场的配置，质子束在靶平面上的标称位置为 x = 12 cm 和 y = 8 cm。

动手尝试

有兴趣尝试自己动手模拟本文中演示的多物理场模型吗？点击下方按钮，获取模型 MPH 文件。

延伸阅读

阅读下列博客，了解仿真如何推动医疗保健领域的其他治疗方法：

• 分析细胞的力学行为

• 通过仿真了解肿瘤的电化学治疗

螺栓母线板模型的接触条件

考虑两个铜母线板之间的螺栓连接，电流为 1 kA，频率为 60 Hz。螺栓由钢制成，当拧紧螺栓后，母线板之间的配合面会产生很高的接触压。此接触压降低了两个铜板之间的接触电阻，因此电流将主要流经接触区域。然而，当交流电流通过导体时，由于存在集肤效应，电流将被迫流向导体的外部边界。这两种现象会产生相反的效应，这正是我们希望通过仿真来表征的行为。

两个铜母线板之间的螺栓连接。电流的电阻（蓝色箭头）取决于螺栓的拧紧程度。对称平面以灰色标出。

结构仿真问题

我们的方法首先假设两个母线板和螺栓之间的相对位移不大。也就是说，假设结构性能或电气性能只受接触压力的影响，而不受接触面相对运动的影响。根据此假设，我们可以将问题视为几何线性问题，因此无需考虑域的形状或方向的变化，这意味着我们可以使用 内部接触 边界条件。

内部接触 条件的应用优势在于它可以与 形成联合体 几何体定型步骤方法结合使用，而不是 形成装配 方法。使用 形成联合体 方法的结果是，网格本身在所有边界上始终是连续的，即使计算得到的位移场在边界上可能并不连续。这种方法的优势在于它减少了接触搜索算法的计算成本。不过，仍然有必要对这一接触区域的网格进行细化，因为我们希望获得界面处应力的良好分辨率。

两个母线板之间的接触区域使用的网格图像。

注意：如果使用 形成装配 几何定型方法，它将自动识别所有配合面并创建 接触对。然而，这种工作流程需要额外的设置和求解成本。形成装配 方法的优点是允许任意滑动和较大的相对变形。

了解更多信息，请阅读 COMSOL 学习中心的文章：结构接触建模指南。

除了 内部接触 边界条件，固体力学 接口还包括 螺栓预紧力 功能。在模型中，我们在一个简化的直通螺栓几何形状中应用了此功能。有很多方法可以模拟这种螺栓连接，本文使用的方法假定螺栓头、螺母和母线之间的场是连续的。该模型还使用了一个 热膨胀 功能（线性弹性材料 节点的子节点），用于计算由于钢螺栓和铜母线板的热膨胀系数不匹配而产生的应力。在此示例中，我们假设组件是等温的，这在许多工作条件下都是合理的，因为铜是非常好的热导体。

利用中心平面的对称性，我们可以进一步简化所考虑的情况。首先求解螺栓预紧力，然后求解由此产生的变形和应力，这样就可以直观地看到接触压力。与预期相符，接触压力以螺栓为中心向周围逐渐减小。正是这种接触压力会影响母线之间的电阻，接下来我们将在电磁模型中考虑这种现象。

螺栓周围接触压力大小的可视化。

电磁仿真问题

在此，我们特别关注接触区域周围在交流激励下产生的集肤效应或感应电流。这类分析需要使用 磁场和电场 接口，该接口包含一个 电接触 边界条件，可以模拟导体之间边界的电阻损耗。该边界条件作为 磁连续 边界条件的子节点应用，后者可确保磁场的连续性。磁场和电流在边界上都是连续的，但由于接触电阻的存在，边界上会有电场。接触电阻可以通过 Cooper–Mikic–Yovanovich 相关性或 Cooper–Mikic–Yovanovich 弹性相关性计算得出，这两种相关性都将 固体力学 接口 内部接触 功能的接触压力计算作为输入。

使用 磁连续 边界条件时，建模域内任何与该条件选中的边界所相邻的边界也必须应用 磁连续 边界条件。也就是说，在建模空间内，磁连续 边界中的每一条边都需要被磁场连续条件严格约束，因而没有自由的边条件。对于本文的建模情况，这意味着导体与空气之间的所有边界都需要使用 磁连续性 条件以及该节点下的 电绝缘 特征，来表征导体和空气间磁力线的连续和电力线的绝缘。该条件强制要求导体与空气之间的边界不能有电流流过，无论是传导电流还是位移（电容）电流。

插图突出显示应用了 电接触（洋红色）和 电绝缘（青色）边界条件的面。在建模空间内，这些边界没有自由边。

我们结合使用 理想磁导体（用于强制对称条件）和 磁绝缘 条件 模拟建模空间的外部边界，并添加了 接地、电绝缘 和 终端 子节点，以激励流经母线板组件的电流流动。求解结构问题后，后续的研究步骤在频域内求解电磁问题，从而得到从结构-热模型到电气模型的单向耦合假设。

模型设置的屏幕截图。在磁场连续性边界条件的 电接触 特征子节点设置中，通过 固体力学 接口中的 内部接触 输出计算 接触压力 。

可以绘制表面损耗图来显示这种效应，即接触电阻在靠近螺栓处较低，但电流却倾向于流向母线外部边界。

电磁界面损耗图，突出显示了中心附近接触电阻降低，而集肤效应驱动电流远离中心的竞争效应。

流经组件的电流流线图也突出显示了这种集肤效应，以及接触区域的电流线相互挤压。

电流的流线图，突出显示了电流的挤压。

更快、更简单的螺栓连接仿真

固体力学 接口新增的 接触 边界条件允许用户快速、轻松地模拟接触面之间没有明显相对运动的情况（常见于螺栓连接处）。该条件可与 形成联合体 几何体最终定型方法一起使用，因此可在零件之间的边界上建立连续网格。这样既可以加快收敛速度，又可以方便地添加其他需要连续网格的物理场，例如 磁场和电场 接口。这种组合在螺栓连接的电接触仿真中非常有用，也可用于许多其他应用。

如果您想亲自动手尝试新的边界条件和文中讨论的模型，请点击下面的按钮获取模型。

玻璃是如何着色的

在光学领域，我们经常会看到透射光谱、反射光谱和吸收光谱，大多数情况下，我们并未留意具有特定光谱的材料在人眼中会呈现怎样的外观。但是，当涉及使用色素和染料时，我们必须考虑材料的视觉外观。

考虑到玻璃加工时需要高温，塑料工业中使用的有机染料不能用于玻璃着色，因为这类染料无法承受如此高的温度。虽然有许多其他方法可用于生产不透明或乳白色玻璃，以及通过涂层获得颜色，但获得色调均匀的透明玻璃，主要有两种方法：

• 将在可见光范围内具有吸收带的金属离子溶解到玻璃中（例如，铁 (II) 离子会产生绿色色调）
• 掺杂，即将纳米颗粒分散到玻璃中，在可见光范围内产生强烈的散射和/或吸收

第一种方法要简单得多，但问题在于，并不存在能够稳定吸收绿光（会产生红色色调）的金属离子，因此红色色调必须通过纳米颗粒掺杂产生。生产含有纳米颗粒的玻璃通常是先将一种物质（例如金属）溶解到熔融玻璃中，然后通过精心设计的热处理工艺，使该物质析出为所需尺寸的纳米颗粒。由于散射和吸收在很大程度上取决于颗粒的大小（和形状），如下文所述，通过调整热处理可以在一定程度上调节色调。

由蔓越莓红玻璃（又称“蔓越莓玻璃”）制成的碗。照片由 PetitPoulailler 提供，获 CC BY 2.0 协议授权，通过 Wikimedia Commons 共享。

要获得含纳米颗粒的玻璃，目前最常见的方法是将硒与镉沉淀成纳米颗粒（称为“硒红玻璃”），但历史上唯一已知的方法是使用金元素。接下来，我们将使用 COMSOL Multiphysics^® 软件来研究金纳米颗粒的半径如何影响含纳米颗粒的玻璃的最终色调。

从散射计算中获取光谱

波动光学模块是 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加模块，非常适用于研究含金纳米颗粒的玻璃的透射光谱与颗粒大小的关系。实际上，我们只需对金纳米球的光散射案例模型做一些简单的修改，就可以获得透射光谱。将颗粒周围区域的折射率设定为玻璃的折射率后，需要定义获得透射光谱所需的变量。首先，计算散射和吸收截面

       
    
和

以及二者的总和，即消光截面 ，相当于透射时的总衰减。在上述公式中， 是入射强度， 是散射场的坡印廷矢量， 是耗散功率密度。这两项分别对粒子表面和体积进行积分。这些计算可以方便地通过添加 COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本中新增的 截面计算 功能来实现，该功能可将上述定义的三个散射截面作为预定义变量使用。

截面计算 功能可用于处理计算截面所需的所有设置。

最后的步骤是根据颗粒半径和波长进行扫描，并绘制结果图。消光截面如下图所示。

分散在玻璃中的金（Au）纳米颗粒在一定颗粒半径范围内的消光截面。

从结果可以看出，纳米颗粒尺寸越大，整体效果越强。然而，增大颗粒尺寸需要更多的金，而我们希望用最少的金获得最深的颜色。为此，我们通过计算衰减系数（也称为“光密度”） ，来对结果进行归一化处理 ：

式中, , , 和 分别是金的质量密度、纳米颗粒质量和纳米颗粒半径。最后，根据 的定义，我们可以得到透射率与波长的函数关系，即透射光谱：

式中， 是样品的厚度。从下图中可以看出，存在一个最佳情况：颗粒半径在 25 nm 左右时颜色最浓。

在金质量浓度为 0.02 g/L 的情况下，1 cm 厚的玻璃上分散有不同半径的金纳米颗粒时的透射率。

将透射光谱转换为颜色

假设有一些玻璃样品，透射光谱如上图所示，它们看起来会是什么颜色？要回答这个问题，我们需要计算光谱的三刺激值；本质上，这是一种可以量化人眼中三种视锥细胞对任意透射光谱的反应的标准化方法 。其值如下:

 式中，  是背景光谱（这里我们选择使用CIE 标准光源 D65  ，相当于日光）,, , 和 是不同类型锥细胞的  CIE 颜色匹配函数。这里，将归一化定义为

颜色匹配函数和光源的曲线图如下所示。

显示标准光源 D65（左）和三种配色函数（右）的曲线图。

最后，如果我们希望在电脑屏幕上显示颜色，就需要将三刺激值转换为 sRGB 值，这可以通过以下线性变换来实现：

结合非线性伽马校正

式中， 代表 、 或 。下图显示了玻璃样品的 3D 效果图，以及从上述光谱中提取的颜色。

玻璃样品的 3D 效果图。

此外，作为模型的点睛之笔，将每个光谱的绘图颜色更改为该光谱所转换的颜色。我们可以使用 App 开发器中的一个简单 Java 方法来简化这一过程。最终结果如下图所示。这里，我们可以看到，通过调整金纳米颗粒的大小，确实可以改变含有金纳米颗粒的玻璃的颜色：尺寸较小的颗粒会衰减绿色波长使玻璃呈现红色，而逐渐增大颗粒尺寸则会使衰减向橙色波长转移，从而使玻璃呈现蓝色。

结语

通过将金纳米颗粒分散到玻璃中使其变红的案例研究，我们了解了如何通过标准散射计算获得透射光谱，并将其转换为可在计算机屏幕上显示的 RGB 颜色。

想要亲自动手尝试模拟本文中讨论的模型吗，请单击下面的按钮获取案例模型。

延伸阅读

想了解更多有关光学散射和转换光谱的信息吗？请查看以下学习资源：

• 了解更多有关光学散射计算的信息，请查看 COMSOL 学习中心的这篇文章：光学散射仿真简介
• 探索一个更高级的、使用了相同的颜色理论颜色的过滤器，结构滤色器代理模型演示

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特征模态和重叠积分

小测验：为下一代通信系统设计光缆，优化桥梁设计以尽量减少不必要的机械共振和优化客厅的声学布局，这三者有什么共同之处？

对于上述每一个场景，我们都必须充分了解系统的特征模态。特征模态及其相关特征值（也称为固有频率）描述了线性系统对外部激励的响应方式，因此在设计中起着至关重要的作用。在一些应用中，例如射频通信腔滤波器或扬声器驱动器，我们希望能最大程度地耦合一个或多个特征模态，而在其他应用中，这些共振模态的耦合可能会导致灾难性后果，如桥梁坍塌。

当在参数扫描过程中调整系统参数，如工作频率或几何尺寸时，特征模态和频率自然会发生变化。然而，这些模态通常会保持定性相似性。让我们来看一个简单的示例，像鼓或克拉尼板振动表面一样的二维椭圆形薄膜的波动方程。

具有固定边界的椭圆形薄膜的二维波动方程的前 5 个特征模态解。

特征频率研究显示了前 5 个特征模态，其位移大小如上图所示。现在，假设我们要对椭圆域的垂直高度进行参数扫描。

图中显示了前 5 个模态的特征频率与椭圆域垂直高度的关系。请注意，在高度为 10 cm 时，模态 2 和模态 3 ，模态 4 和模态 5 之间的简并，而此时椭圆域是圆形的。

前 5 个模态的特征频率如上图所示。请注意，当垂直高度为 10 cm 时，模型域是圆形的。这导致模态 2 和 3 之间，模态 4 和 5 之间的简并。事实上，过了简并点，模态 2 和 3 就会在特征值图中互换阶次。这种模态交叉行为在许多特征频率研究中都很常见。当这些模态的阶次发生变化时，如何在特征值图中追踪它们呢？要回答这个问题，让我们仔细观察其中的一个模态。

参数范围两个端点处的模态 2。

高度为 8 cm 和高度为 12 cm 时的模态 2 如上图所示。通过肉眼就可以明显观察到这两个模态的相似性。我们可以用模态重叠积分来量化这种相似性：

变量 和 代表两个任意的特征模态解。这个方程的关键部分在于分子：在两种模态之间进行 内积 。分母将重叠度的值归一化，使其介于 0 和 1 之间。

一个模态与其自身的重叠度为 0，因为它们是相互正交的。对于参数值不同的模态，只要模态在性质上相似，M 接近 1。例如，上述两个模态的重叠度 M = 0.95，证实了我们的直观识别。两个不相似的模态的重叠度接近 0。

利用这一度量标准，我们可以通过对重叠值施加一定的阈值，来建立模态匹配方案。这可用于色散图中过滤或分组模态，甚至在模型方法的帮助下自动生成模态轮廓动画。接下来，让我们看看如何将这一策略应用到多个不同的物理学科。

示例 1：光学各向异性波导

在上一篇关于如何模拟光学各向异性介质的博客中，我们研究了光学各向异性波导的横向模式。这些模式可以按照电场的主要方向以及横向平面上振幅最大值的数量进行分组。 模式的一些示例如下图所示。

光学各向异性波导中前 3 个 特征模式。

由于波导的主要目标是控制光流，因此了解这些传播模式的行为至关重要。在每个频率下，每个模式都有一个相关的有效折射率，该折射率决定了它们的传播速度、有效波长以及衰减程度（如果模型中存在损耗）。我们使用色散图来绘制有效折射率随频率变化的曲线。

波导的色散图如上所示。由于存在大量的模式交叉，因此有必要对特征模式进行分类，以便正确标记。

在模式分析研究的原始输出中，没有以任何有意义的方式有效折射率进行分组或排序，因为求解器没有这些模式的先验知识。我们采用重叠积分计算方法，按模态轮廓对这些特征值进行分类。现在，由于每个有效指数值都与特定的 或 模式相关联，因此我们可以轻松地使用滤波器和绘图选项在绘图图例中为每个模式着色和标注。请注意，这种方法能够正确解析多模式交叉以及特征值非常接近的模式，例如 和 模式的交叉。

示例 2：旋转叶片的特征频率

深入理解风力涡轮机叶片或电动汽车电机等旋转部件的共振模态，对于稳定性分析或最大限度减少噪声和振动等应用至关重要。我们来看 COMSOL应用库中的一个基本示例：旋转叶片的基本特征频率模型 。

当矩形叶片以越来越大的角速度旋转时，预计会出现两种主要的竞争现象：应力刚化和旋转软化。前者由于离心效应产生的静态应力场使叶片变硬，从而对固有频率产生向上的影响。后者则由于运动的径向放大而使叶片软化，导致对固有频率的向下影响。这些效应的平衡在坎贝尔图中得到了最好的体现，即固有频率与旋转角速度的关系图。

旋转叶片的坎贝尔曲线图。请注意，模态 2 和 5 的特征频率明显增加。

上图是前 7 个特征模态的坎贝尔曲线图。总体而言，我们观察到固有频率呈上升趋势，这表明应力刚化起了很大作用。这在模态 2 和 5 中更为明显，在所研究的参数范围内，这两个模态的特征值急剧上升，并超过了其他模态的特征值。前 6 个模态的位移和应力如下图所示。

旋转叶片的前 6 个特征模态。

在更复杂的系统中，坎贝尔图中的固有频率可能更多，既有上升趋势，也有下降趋势。了解这些趋势并将其可视化，对于确定如临界转速等至关重要。通过模态重叠积分，可以轻松地对这些模态集的行为进行分类和追踪。

示例 3：带弹性壁的消声器特征模式

多物理场仿真在内燃机消声器的设计中发挥重要作用。除了模拟空气中的压力波外，还必须考虑空气与消声器外壳之间的相互作用，从而可以更加准确地模拟整个频率范围内的传输曲线。

声-结构相互作用的其中一种效应是引入更多的共振模式，这一点可以通过两个相关的示例来说明：消声器中的特征模式 和 带弹性壁消声器中的特征模式。我们来详细探讨后一个模型。在一定频率范围内对消声器横截面进行模式分析，以确定模式轮廓及其相应的截止频率。

带弹性壁的消声器色散图。除平面波模式（蓝色）外，由于空气与消声器壁之间的声-结构相互作用，还存在许多其他模式集。使用模式重叠积分法跟踪了其中的一个子集。

上面的色散图绘制了部分模式及其传播常数与频率的关系。显然，数据集中的趋势很可能与不同的模式系列相对应。例如，平面波模式形成了一条贯穿整个频率范围的对角直线。通过应用重叠积分，我们可以确认平面波模式的预期行为，并追踪整个频率范围内的其他几个模式。模式轮廓图如下所示。

上图显示了带弹性壁的消声器中的部分模式轮廓。

借助模型方法，我们甚至可以自动生成整个频率范围内的模式演变动画。

在模型方法的帮助下，在整个参数范围内对模式 3 的演变进行追踪并用动画演示。

上面的动画演示了模式 3 如何从接近其截止点的 160 Hz 急剧变化到研究的上限 400 Hz，过程中还跨越了其他几个特征模式。在模态重叠积分的帮助下，追踪单个模式集的演变变得更加容易。

下一步

在这篇博客中，我们演示了如何使用模态重叠积分方法在特征频率研究中追踪和分类模态。请点击下面的按钮进入 COMSOL 学习中心，了解相关内容：

此外，这篇博客中讨论的模型可在 COMSOL 案例库中下载：

• 各向异性光学波导
  
• 旋转叶片的基频
  
• 带弹性壁的消声器中的特征模态
  

扩展阅读

• 下一代红外光纤设计的仿真分析
• 通过形状和拓扑优化实现特征频率最大化
  
• 室内设计声学
• 多物理场仿真优化消声器设计
  

静电放电器件损伤的类型

静电放电事件最常见且最明显的例子就是闪电，但并不是所有静电放电事件都会产生明显的火花。物体上积累的静电电荷量取决于其材料、表面积和周围环境的相对湿度。静电放电也可能由静电感应引起，当带电物体在远离地面的导电物体周围产生静电场时，就会发生静电放电。

图 1 有明显火花的静电放电事件。照片由 P. Mikołajek 拍摄，通过 Wikimedia Commons，遵循 Attribution-Sharealike 4.0 国际许可协议。

这些静电放电可释放几伏到几千伏的电压；然而，无论是简单二极管还是复杂集成电路电子元件,即使是低压放电也可能对电子元器件造成严重损伤。（一个人身上携带的电荷足以对电子器件和元件的性能造成损伤，从而导致数据丢失、文件损坏和系统崩溃！）因此，在这些器件的制造、组装和运输过程中,以及对于成品器件而言，预防静电放电事件都非常重要。

理解和预防静电损伤

为避免静电放电事件对电子器件和系统造成损伤，必须对元件、印刷电路板和系统各个层面进行各种测试。然而，这些测试只能在元件或系统制造完成后才能提供帮助。COMSOL Multiphysics^® 软件能够帮助工程师在设计阶段发现静电放电问题，同时还能提供有关电磁场分布的详细信息，从而准确测试。这些知识对于理解静电放电损伤发生的原因以及如何修复损伤至关重要。

静电放电事件可能导致芯片绝缘故障或逻辑错误。当本应处于低电平状态（0）的引脚在超过 1 ns 的时间内承受振幅高于 1.5 V 的电压，或在超过 5 ns 的时间内承受振幅高于 0.3 V 的电压时，就会发生逻辑错误，从而导致引脚错误地转入高电平状态（1）。

接下来，让我们来看看静电放电如何导致印刷电路板上的微芯片出现逻辑错误。

模拟电路板中的静电放电

RF 模块是 COMSOL Multiphysics^® 的附加产品，包括用于静电放电电流研究的物理场接口。静电放电电流通常是非线性的，需要进行三维瞬态分析。电磁波、瞬态 接口包括四个预定义的静电放电电流，用于满足不同的测试标准，并支持预定义和参数化的时间脉冲函数，这些函数常用于描述静电放电和闪电。工程师可以在运行仿真前即刻绘制脉冲形状，以确保所选函数参数合适，方便检查。

在示例的模型中，静电放电电流是使用 集总端口 功能和扩展的人体模型（HBM）标准生成的，以测试极端条件下的性能（图2）。

图 2 基于扩展的人体放电模型的静电放电电流。

请注意，我们不会在此介绍如何设置该模型的细节，欢迎点击文末链接下载此模型的 MPH 文件和相关说明。

仿真结果

模型计算了微芯片上两个引脚（1、2）的感应电压，以评估静电放电是否会导致误差。下图左侧显示了 t = 1.2 ns 时静电放电电流引起的表面电流密度，右侧显示了通过仿真计算的芯片的两个引脚（1、2）上的感应电压。

图 3 微芯片上两个引脚处的感应表面电流和电压。图中添加了一个虚拟的手指供参考。

可以看出，引脚 2 上的感应电压振幅高于 1.5 V，极有可能导致逻辑错误。

表面电流密度的模随时间变化，以对数刻度显示。

预防静电放电损伤的策略

静电放电是一种常见现象，也是导致电子器件损坏和故障的主要原因。随着器件尺寸的不断缩小和电路密度的持续增加，制造商越来越需要密切关注静电放电损伤的预防。

数值仿真提供了一种深入理解这些微型器件的方法，以及在需要建立物理原型之前准确模拟和优化设计的方法。它还可以作为一种预兼容测试，对各种测试进行有效补充。仿真测试的通过可以高度增强设计人员对物理实验的信心。仿真还可以帮助探究故障机理和电流分布，并提供有效的解决方案。

下一步

想尝试自己动手模拟文中示例的静电放电模型吗？您可从 COMSOL 案例库中下载包括分步说明在内的所有模型文件。

仿真场景：非线性变压器

在上一篇使用 COMSOL Multiphysics^® 计算增量电感的博客中，我们探讨了一个由缠绕在非线性磁芯材料上的两个线圈组成的变压器示例。当外加正弦交流电压时，初级线圈和次级线圈会产生感应电流。但是，当电流足够大时，材料的非线性将显著改变增量电感，从而产生非正弦感应电流。我们可以通过建立变压器的全保真模型，或建立考虑了非线性增量电感的等效电路模型来模拟这种行为。非线性使电流随时间呈非正弦周期性变化，我们可以运行瞬态模型多个周期来观察这种逐渐降低到稳定状态的变化。

由缠绕在非线性磁芯上的两个线圈组成的变压器。从有限元模型中提取增量电感，用于等效电路模型中。

运行等效电路模型多个周期后的结果，周期性信号的幅值逐渐接近稳定。

从结果来看，很显然需要模拟多个周期。如果我们只对时间周期稳态解感兴趣，那么大部分生成的数据实际上是不需要的。理论上，在这种情况下我们需要一种能直接获得时间周期解的方法，这正是本文要讨论的内容。

从时间到空间重写等效电路

如果仔细观察该电路模型，我们会发现它只有两个随时间变化的未知数：和 , 即通过初级线圈和次级线圈的电流。现在，让我们从电路的范式来思考问题，考虑两个电流回路中各个元件的压降，用以下方程表示

其中，所有增量电感都是两个电流的函数： 。这组耦合常微分方程可以用多种方法求解。我们仅求解外加电压为 ，以及方程解的周期为 的情况。

很明显可以看出，除了电流的时间导数，这几乎是一组非线性代数方程。但如果用空间导数来代替时间导数呢？让我们看看会发生什么！

沿一维单元域绘制的时间与位置的函数。

考虑一个一维域，即一条单位长度的直线。定义一个沿长度线性变化的准时间变量。如果在这条直线上定义两个与空间相关的因变量 和 ，并引入网格，那么 COMSOL Multiphysics^® 软件就可以通过微分算子： d(u1,x) 求空间导数。但由于我们将空间维度视为时间维度，因此这实际上是求时间导数。鉴于此，现在可以用 域常微分和微分代数方程 接口构建一个定义在单位长度直线上的场代数方程。该接口的软件界面截图如下图所示，其中定义了两个未知数。使用拉格朗日单元划分这些场，这会自动确保场的连续性，然后，需要给场和源设置合适的单位。为了便于阅读，还可以定义一组变量来描述电路模型中每个元件所产生的压降，如下图所示。

域常微分和微分代数方程 接口设置，包括设置场变量名称、选择形状函数和设置单位。

定义了时间空间的外加电压、电流导数以及电路各元件上的压降的变量。

我们将在 域常微分和微分代数方程 接口的 代数方程 特征使用这些变量，该接口包含两个编辑框，需要输入必须始终等于零的方程。在这个示例中，我们输入两个电流回路的电压降项和源项，也就是上文中列出的方程。最后，在域终端的一个点添加两个逐点约束。此处是通过 积分 特征，在另一个点上定义的约束 u1-intop1(u1) 和 u2-intop1(u2)，来实现周期性边界条件。

在单位域输入时间空间的代数方程。

通过 逐点约束 和 积分 特征定义周期性边界条件。

当变压器进入非线性状态时，要求解这个稳态问题，需要在域上设置相对较细的网格。因此，在求解这种非线性稳态模型时，求解域上网格的尺寸是需要测试的参数。稳态模拟结果如下图所示，将其与瞬态结果进行比较，结果显示二者非常吻合。事实上，当以更严格的容差求解瞬态模型时，二者之间的差异就越小。但即使是这样一个小模型，高精度的计算都会显著增加瞬态计算的成本，而稳态计算几乎可以瞬间求解。

电路模型计算出的瞬态结果与使用时间周期方法计算的稳态结果的对比。

通过空间 FFT 数据集 特征，我们还能使用空间中一个周期的解提取频率组成。该特征的设置如下图所示，其中突出显示了一维阵列 数据集，该数据集会对计算结果进行周期性扩展，使结果看起来更加平滑。通过绘制适当归一化处理的量，我们可以看到频率组成如何随着外加电压的增加而增加。

空间 FFT 数据集将一维阵列数据集作为输入，周期性的对稳态计算结果进行拓展。

交流电压升高时的频率组成。

结束语

这篇博客，我们介绍了一种特别高效的方法，求解用一组代数方程描述的系统的周期性稳定解。需要注意的是，只要存在平滑的周期性解，这种方法就可以使用任何类型的应用信号，而不仅仅是正弦强制函数。此方法设置非常简单，并且利用了 COMSOL Multiphysics^® 的核心功能，因此适用于任何类型的问题，而不仅是电路问题。对于使用COMSOL 的仿真人员来说，这是一项非常有用的仿真技术。

您可以点击下方按钮，下载相关示例模型：

编者注：这篇博客最初发布于 2016 年 7 月 4 日。现已更新，以反映软件的后处理新功能。

2 种 RF 仿真方法简介

在今天的博客中，我们将讨论 2 种仿真方法：渐近波形估计（AWE）法和频域模态（FDM）方法。这两种方法都旨在帮助用户解决采用超精细频率分辨率，或通过常规的 频域 研究运行超宽带仿真时，求解时间过长这一常见问题。当涉及描述具有单一谐振或无谐振的平滑频率响应时，AWE 方法非常有效。而 FDM 方法则适用于快速分析多级滤波器，或者目标通带内有多个谐振的大量元件的滤波器。接下来，我们将讨论这两种方法的典型设置和应用场景。

需要说明的是，AWE 和 FDM 方法几乎都不依赖于所选的频率步长。您可以自由地减小频率步长的值，获得分辨率良好的结果绘图，而不会出现明显的速度减慢或额外的内存消耗。不过，这种做法也存在缺点：降低频率步长值可能会影响最终解中保存的数据量。在本文末尾的数据管理部分，我们将给出能显著减小输出文件大小的建议。

请注意，在使用精细分辨率进行 AWE 或 FDM 计算之前，最好先使用较粗的频率分辨率运行一个初步的 特征频率 和常规的 频域 仿真。这可以帮助您快速地估算谐振位置，总体了解系统的频率趋势，包括实际通带和所需的频率分辨率。

AWE 方法促进降阶模拟

AWE 是一种先进的降阶模拟技术，由于其数值特征和数学算法技术性太强，我们在此不过多赘述，只演示如何在 RF 模块中使用此方法。 自 COMSOL Multiphysics 6.2 版本开始，软件新增了有一个专门的 自适应频率扫描 研究步骤，可以实现 AWE 方法。使用此功能时，需要指定目标输出的频率范围，并选择一个表达式用于对AWE 算法进行误差估计。该方法求解器可执行快速频率自适应扫描，默认情况下，使用 Padé 近似。

自适应频率扫描 研究设置。使用查看默认的 渐近波形估计（ AWE） 表达式。

在模拟谐振电路，尤其是包含许多频率点的带通滤波器类器件时，AWE方法非常有用。例如，COMSOL 案例库中的消失模圆柱腔滤波器模型先运行了一个常规的 频域研究，以 5 MHz 的频率步长对 3.45 GHz 到 3.61 GHz 之间的仿真频率进行初始扫频。

消失模圆柱腔滤波器教程模型 (左) 及其离散频率扫描结果 (右)。谐振频率附近的 S 参数图看起来并不平滑。

假设以更高的频率分辨率再次运行仿真，例如使用100 kHz的频率步长进行扫描，即分辨率提高 50 倍。可以预计，完成仿真所需的时长将提升50倍。但是，在此特定的示例中，使用 自适应频率 扫描研究完成仿真所需的时长几乎与频率扫描仿真所需的相同，并且能获得以100 kHz 频率步长计算的所有因变量解。

求解时间可能会在一定程度上受用户输入的 AWE 表达式的影响。任何模型变量都可以作为 AWE 表达式，只要能生成一个平滑的结果图，如高斯脉冲或平滑的曲线作为频率的函数，但最明显和典型的选择是基于s参数的全局表达式。例如，对于双端口带通滤波器，将S21 的绝对值 （abs(comp1.emw.S21)） 作为 AWE 表达式的输入可以获得非常好的结果。如果 AWE 表达式的频率响应包含无限梯度，例如在单个频率点具有良好阻抗匹配的天线的S11值，完成仿真则需要更长的时间。如果天线损耗可以忽略不计，使用 sqrt(1-abs(comp1.emw.S11)^2) 表达式可能结果更好，且能缩短计算时间。上述表达式是默认的 物理场控制 选项的 渐近波形评估 (AWE) 表达式。作为合理的检查方式，我们始终可以先以较粗的分辨率运行一个频域 扫描，绘制表达式，并选择最平滑的结果。

开始运行 自适应频率 扫描前，需要在研究中设置所需的更精细的频率步长。当仿真完成后，模拟所需时长几乎与离散频率扫描的相同。对比求解出的S参数。由于AWE求解器运行的频率扫描分辨率提高了50倍，因此其频率响应（S参数）结果绘图看起来也更平滑。使用这种方法，不仅可以节省宝贵的时间，还可以获得准确且出色的结果，而且谐振频率的定位也更加准确，如下图所示。如果您对此感兴趣，可以使用相同的分辨率运行一次常规扫描来进行验证，并检查结果是否一致。

分别运行 自适应频率 (AWE) 和离散 频域仿真 计算出的 S 参数图。使用 AWE 方法模拟的结果绘图的分辨率提高了 50 倍。

使用频域模态方法模拟电路谐振

无源电路的带通频率响应由多个谐振组合而成，因此 FDM 方法是提升其仿真效率的最佳选择。此方法通常包含两个步骤。特征频率分析是模拟任意形状器件共振频率的关键。从特征频率分析中获得所有必要信息后，就可以在频域模态研究中重复使用。当需要更精细的频率分辨率来更准确地描述频率响应时，这样做能够提升仿真效率，如AWE方法所示。

为了无缝执行 FDM 分析，有几个方面需要注意。一方面，需要过滤掉 特征频率 解中可能存在的所有不需要的非物理低频结果。另一方面，需要考虑目标频率范围内所有可能影响器件性能的物理模式，以获得正确的结果。要满足这两个要求，需要对 特征频率 研究设置进行一些调整（如下方屏幕截图所示）。首先，建议选择 更大的实部 作为 围绕偏移量的搜索方法 的设置。其次，对于 搜索特征频率 设置，最低通带频率可作为一个参考值。最后，必须调整 所需特征频率数 设置（例如根据初步测试），以包含必要的模式数量。

为模型添加包含两个步骤的 频域模态 研究，图中突出显示了 特征频率 设置。

让我们来看一个 耦合线带通滤波器教程模型，尝试使用 FDM 方法进行仿真分析。先以 50 MHz 的频率步长对 3.00 GHz 和 4.20 GHz 之间的仿真频率进行扫描，运行一个常规的 频域研究 。

耦合线带通滤波器教程模型（左）及以 50 MHz 频率分辨率进行离散频率扫描的仿真结果（右）。整个目标通带内的 S 参数图看起来并不平滑。

接下来，运行 频域模态 研究，并按照上文所述设置每个研究步骤。使用分辨率提高了50 倍的频率步长运行研究，并检查结果是否有更优。与 AWE 方法一样，FDM 方法研究得到的 S 参数图看起来更平滑，包含的信息量更大。例如，它显示了最初缺失的所有 S11 参数波纹。如果您对此方法的验证感兴趣，可以运行相同分辨率的常规扫描，并检查结果是否一致。

请注意，特征频率分析包含一个集总端口，作为额外的载荷因子影响仿真，因此计算出的 S 参数的相位与常规频率模型计算的相位不同。计算结果仅和不包含相位的 S 参数值兼容，如以dB为单位的值、绝对值、反射率或透射率。

分别由 频域，模态（FDM）和离散 频域 仿真计算出的 S 参数图。使用 FDM 方法计算的结果精度提高了 50 倍。

这与本文的主题并无直接关系，但在最后一张图中，可以看到到特殊的图形标记，它可以突出显示 S11 参数图的所有局部极小值以及 S21 参数图的通带。COMSOL Multiphysics 最近对结果评估功能进行了另一项改进，即从图表中提取交互式结果，将结果的信息性和交互式价值提升到了一个新的水平。

使用精细频率分辨率时的数据管理

如前所述， AWE 或 FDM 方法对如何细化频率扫描并没有真正的限制。不过，如果分辨率真的很高，解中将包含大量数据，从而导致在保存模型文件时，文件大小将大幅增加。在大多数无源RF和微波器件设计中，我们通常只对 S 参数感兴趣，因此在这种情况下，没有必要存储所有的场解。在研究的 在输出中存储 部分选择适当的选项，就可以控制模型保存计算的解。例如，可以只添加包含 S 参数计算边界的一个或多个选择。指定这些边界为 端口 或 集总端口，与整个仿真域相比，这些选择通常很小，因此总文件大小可以大幅减小。

请注意，在设置端口时，可以在指定选区后单击 边界选择 部分中的 创建选择 图标添加这种显式选择。然后，可以在相关研究步骤的 在输出中存储 部分添加由端口创建的所需的显式选择。

选择了2个 集总 端口的频域，模态 研究步骤的 在输出中存储 部分。您可以在 图形 窗口中查看这些选择的位置。

案例库中的教程模型

这篇博客介绍了COMSOL 软件中的 2 个强大的仿真功能，可以帮助您更快、更高效地模拟无源 RF 和微波器件。下列为 COMSOL 案例库中的一些相关教程模型，您可以浏览下载，进一步了解这些方法的使用：

• AWE 方法
  • 消失模圆柱腔滤波器
  • 电路量子电动力学 CPW 谐振器
  • 微带贴片天线
  • 采用SMA 连接的Wilkinson功分器
• FDM 方法
  • 级联矩形腔滤波器
  • 耦合线带通滤波器
  • 共面波导带通滤波器
  • 波导虹膜带通滤波器

文中演示的方法和研究是 通用的，不仅适用于RF仿真，在涉及如声学、力学、微机电系统(MEMS)和波动光学计算中，这些方法也尤其有用。

下一步

了解 COMSOL 中可用于RF和微波仿真的其他专用功能: