在预包装食品微波加热解决方案的设计阶段，可集成无线传感器以实时评估包装内部的温度和压力，从而确保长期的微生物安全性，并减少处理后的二次污染。尽管这种方法可作为一种可靠的传统蒸煮杀菌工艺（即，将包装食品置于密闭容器内进行灭菌）的替代方案，但传感器的几何形状和布置方式可能会影响微波腔体内的电磁功率耗散。

构建 COMSOL^® 模型

为了更好地了解这些传感器可能引入的干扰，来自 GEPEA–Oniris（工艺工程-环境-农业-食品联合研究单位，法国南特国立兽医学院、食品科学与工程学院）和 CTCPA（法国农业食品技术中心）的联合团队开展了一项研究，通过模拟单模微波加热器中不同传感器位置的影响，对包装内微波加热工艺展开评估。这项研究聚焦于实验室规模的 915 MHz 微波加热工艺，研究对象为聚丙烯托盘中的 300g 土豆泥。团队在 COMSOL Multiphysics^® 软件中构建了微波设备的三维几何模型，而聚丙烯托盘的实验测量几何结构则通过自定义 STL 文件导入 COMSOL^®。

图 1. 915 MHz 单模微波装置示意图。

团队构建的模型具有很高的稳健性，充分考虑了微波装置的所有几何细节，包括波导过渡段的完整设计、阻抗匹配元件（膜片）、915 MHz 单模微波加热器以及滑动短路器。微波输入功率源通过微波天线处的同轴端口馈入，波导的所有表面，包括铜制滑动短路器，均被视为理想电导体。土豆泥的介电特性经实验测量，并假设其湿基含水率恒定为 76%。

为了避免微波与金属部件发生干扰，无线传感器使用一个尖拱形 316-L 不锈钢微波屏蔽罩包围，并放置在土豆泥样品的上表面。此外，在聚丙烯托盘顶部表面热封了一层聚丙烯薄膜以封闭系统。这些组件共同构成了一个数值模型，帮助团队获得关于包装内传感器位置的最佳布置方案，以尽可能降低其与电磁场的相互干扰。

图 2. 盛有土豆泥样品的聚丙烯托盘示意图。MW = 微波，PP = 聚丙烯，PTFE = 聚四氟乙烯。

基于仿真的洞见

团队使用 COMSOL Multiphysics^® 的附加产品——RF 模块，预测微波腔体内的电磁场，并将其与土豆泥样品内微波吸收功率相关联。在求解器设置中，首先使用边界模式分析计算从波导输出的端口 2 处的模式（见图 1）；第二步是在 915 MHz 频率下开展 频域-稳态 研究。

当托盘内未放置传感器时，仿真结果显示微波反射功率为 24%（S₁₁ = -6.16 dB），滑动短路器的最佳位置为 790 mm。随后，以 30^° 为增量，评估不同 z 轴旋转角度（从 alpha = 0^° 到 180^°）的 S₁₁（输入端口反射系数，即，端口失配的度量）随微波屏蔽罩位置变化的情况。

图 3. 四种传感器位置对土豆泥内局部微波吸收功率的影响。

结果表明，微波屏蔽罩的位置需要与微波传播方向对齐（alpha = 0^°），才能获得与无传感器食品托盘相近的 S₁₁ 参数（S₁₁≈-6 dB，RF≈25%）。当逆时针旋转 90^°，即，微波屏蔽罩位置朝向与横电平面相同的方向时，S₁₁ 参数降至 -7.8 dB。此外，将微波屏蔽罩的旋转角度从 90^° 改为 180^° 时，仿真结果表明 S₁₁ 从 -7.8 dB 变化至 -4.7 dB。这种从 90^° 到 180^° 的旋转还导致模拟的微波反射功率增加了一倍，90^° 时微波反射功率为 17%，180^° 旋转时为 33%。这些结果表明，传感器的位置至关重要，必须加以考虑，因为这些反射功率变化会影响整体微波功率效率。

团队使用便携式矢量网络分析仪（VNA）完成了数值模型的实验验证。VNA 连接在端口 1，用于根据不同操作条件评估来自负载的微波反射功率。S ₁₁ 参数用于表征天线处相对于入射微波功率的微波反射功率。总体而言，仿真结果与使用 VNA 进行的实验测量结果高度吻合。实验结果与仿真结果之间的少量差异可归因于传感器定位的细微变化，这是由于精确复现土豆泥不平整表面存在难度。

图 4. 微波屏蔽罩不同旋转角度的反射系数。

一项重要发现

这项研究带来了一项重要发现：将传感器位置与微波传播方向对齐时，微波反射系数与无传感器测试结果相近。然而，如果微波屏蔽罩位于波导的横电平面内，则可观察到微波反射功率显著降低。

测试表明，该模型还能够准确预测传感器与食品样品界面处的局部高峰值微波功率密度，这有助于进一步阐明温度与压力（T-and-P）传感器的最佳位置，不过这需要更多实验进行验证，并需要考虑食品可能存在的温度相关介电特性及其对电场分布的耦合影响。

进阶学习

如需了解有关该研究的更多信息，请阅读 GEPEA-Oniris 和 CTCPA 团队的完整论文，其中描述了团队完整的仿真方法和结果。该论文在 COMSOL 用户年会 2025 Amsterdam 上荣获最佳论文奖！

在为现代通信系统设计压电谐振器时，高保真的多物理场仿真对于捕捉复杂的器件行为是不可或缺的。但在实际的射频前端中，通常是多个组件级联，或构建外部匹配网络。在这种情况下，进行完整的有限元（FEM）仿真将带来极大的计算开销。修正型 Butterworth–Van Dyke (mBVD) 等效电路模型正是为解决这一问题而生。通过将有限元数据凝练为紧凑的集总模型，您可以在不牺牲物理准确度的前提下，实现近乎实时的系统级仿真。

谐振器基础：物理机制、导纳、阻尼与机电耦合

在深入讨论等效电路形式之前，我们先从物理层面了解谐振器的基本行为。标准的体声波（BAW）或声表面波（SAW）谐振器利用压电效应，将声能束缚在微尺度腔体内，并使其在固有频率处谐振。为了从电学角度分析这一行为，我们考察端口导纳 ，其中：

• 实部，即电导 ，代表能量转移
• 虚部，即电纳 ，追踪能量存储

这种机电相互作用会产生两个主要的谐振频率。在串联谐振频率 处，声学驻波发生相长干涉，器件内部机械阻抗降至最低，导致电导率 出现尖锐峰值。反谐振或并联谐振频率 略高于此。在此频率下，机械应变产生的压电电荷与电极上的静电板电荷相互抵消。器件汲取的净电流极小，使得总导纳幅值降至最低。

与 之间的间隔决定了有效机电耦合系数 的大小，它度量了器件的能量转换效率：。频率间隔越大， 越高，这通常意味着滤波器可以实现更高的带宽。有效机电耦合系数的准确定义取决于所遵循的标准或近似方法。对于 BAW 和 SAW 器件，其表达式可能略有不同；当系统满足弱耦合近似条件时，所使用的公式也可能有所简化。

在理想无损的谐振器中， 处的电导率峰值将趋于无穷大，而 处的导纳谷值将降至绝对零。然而，现实中压电器件会因为材料自身阻尼（机械的、介电的，以及其他机制，如锚点向基板的能量泄露）而产生能量损耗。这种总耗散决定了器件的品质因子，即 。在导纳曲线上，更高的材料阻尼会直接抑制并展平响应，使尖锐的谐振峰和谐振谷变得圆钝，降低 处的最大电导并抬高 处的最小导纳。对于射频滤波器设计人员而言，最小化这种阻尼以实现高 Q 至关重要，这正是确保低插损和高陡降的关键因素。

导纳幅值 |Y| 曲线示意图，其中标出了串联谐振和并联反谐振频率点。

用有限元方法表示压电谐振器

您可以在 COMSOL Multiphysics^® 中轻松构建一个经典的压电谐振器有限元模型，并充分利用该软件强大的多物理场能力。具体步骤如下：首先选用 压电 接口，耦合 静电 与 固体力学 接口。对于 固体力学 接口，选择 压电材料 材料模型，并通过其子节点（如 机械阻尼 和 介电损耗）指定相关的损耗行为。

进行 频域 研究时，您可以在 静电 接口中添加 终端 条件来给器件施加激励。除了其他优点外，该特征可以自动推出终端导纳，并用于绘图和进一步的结果分析。结果分析则包括上述谐振频率和品质因子 Q 的提取。或者，您也可以选择进行 特征频率 分析以提取谐振频率和 Q。

从有限元到集总参数

集总参数电路模型的优势在于其简洁性：求解由少量电阻、电感和电容组成的网络，仅需不到一秒便可以得到所需的导纳曲线。本文所关注的机电等效框架，其渊源可追溯至 Stephen Butterworth 的滤波器设计以及 Walter Guyton Van Dyke 在 20 世纪初对石英晶体行为的等效工作。“修正型”现代版本 增加了寄生元件，以满足高频 MEMS 谐振器的更为精细的建模要求。

现代射频 MEMS 谐振器需要快速电路模型与现代数值求解器之间的工程协同。电路模型的好坏与输入参数强相关。您无法仅凭猜测就得到复杂多层 SAW 叉指拓扑的等效电容，或者一个新型压电薄膜的动态支路电阻。通过使用 COMSOL Multiphysics^® 进行仿真，您可以还原器件的真实几何与材料复杂性，还可以提取填充 mBVD 电路所需的精确集总参数。总而言之，有限元法提供了完全符合物理真实的基准数据，而电路形式等效则实现了系统级的仿真速度。

注：本文讨论的经典 mBVD 形式主要针对单端口谐振器，即具有一个信号端和一个接地端的器件。如果您的设计归结为多端口设计或类似情况，则需要将该框架扩展为更复杂的形式。

同样，为清晰起见，我们将重点讨论单谐振模态。对于需要额外考虑的每一个谐振模态，您都需要添加一条并联的动态支路。

拆解 mBVD 电路模型

传统 mBVD 模型通过将初始串联路径之后的电学行为拆分为两条并联支路，来描述典型的压电谐振器行为：一条 静态支路 描述物理介电层的堆叠关系，另一条 动态支路 描述机电耦合的声学谐振。电路原理图如下所示。

单端口 mBVD 电路拓扑示意图，其中串联电阻 与由动态支路和静态支路构成的并联网络相连。动态支路由 、 和 串联组成；静态支路则由 和 二者并联组成。

下表逐一梳理了每个元件的物理含义、这些元件如何影响导纳响应，以及如何从有限元仿真中精准地提取对应参数值。

电路元件	物理含义	对导纳的影响	提取方法
串联电阻，	该元件代表金属电极、母线板以及通向谐振器有源区的互连导线的纯欧姆电阻。	它限制了串联谐振 处导纳幅值的最大峰值。	可直接根据模型中金属布线的电导率和几何形状计算，例如通过辅助的 电流 设置。通常无需在主 压电 仿真中显式包含它。
静态电容，	代表由重叠电极和中间压电材料形成的电学板电容。 与机械运动无关。	它建立了导纳虚部曲线的基线“底部”，并决定了串联谐振 与并联反谐振 之间的频率间隔。	在远低于 的任意频率点 处运行频域仿真，此时器件在机械上“静止”，动态支路相当于开路。计算导纳的虚部以分离出静态电容：
静态电阻，	代表体介电材料损耗以及穿过压电层的电学泄露路径。	它在低频处为导纳实部曲线引入一条干净、平坦的基线电导。	假设您的模型具有非零介电损耗，在用于求 的同一低频区间（即远低于声学谐振频率），测量导纳的实部，直接分离出平坦的基线介电泄露 。对于小介电损耗的情况， 应得到非常大的值。
动态电容，	该元件代表谐振器结构的机械弹性或柔度，与压电晶体的有效机电耦合系数 密切相关。	它决定了谐振的整体强度。更高的耦合系数会增大 。进而，它拓宽了 与 之间的窗口，这是宽带射频滤波器的关键特性。	可利用提取的 值和谐振频率比，通过 直接求得。
动态电感，	该元件代表振动晶格或薄膜膜片的有效声学质量或惯性。	与 一起，它决定了串联谐振峰的确切频率位置。该计算遵循谐振频率的经典公式 .	一旦已知 并从仿真数据中识别出 ，即可定义动态电感为 。
动态电阻，	该电阻考虑了器件中的总力学和声学能耗。	它决定了谐振处导纳峰的高度和锐度。较低的 值意味着较低的损耗，从而获得更高的品质因子 Q。	在 频域扫描 中， 处的峰值导纳由动态支路主导。峰值电导率简化为 或者，您可以从 特征频率 研究中获取器件的机械品质因子 ，并使用以下关系：.

本文中，我们选择了静态支路中 和 并联的 mBVD 电路形式。行业内也存在将这些元件串联的惯例，如果采用这种形式，其参数提取方法和物理解释也会随之不同。这两种方法是互易的，因为只要能够正确、谨慎地提取集总参数，输出结果将完全一致。

参数提取

既然我们已经掌握了理论知识和提取逻辑，接下来我们就来提取整套集总参数，并在 COMSOL Multiphysics^® 中构建 mBVD 电路模型。

请注意，本篇博客文章是该模型的主要参考资料。如果您有兴趣查找利用类似模型和绘制导纳曲线的分步操作说明，请查看我们为 MEMS 模块 提供的配套示例模型。

在这里，我们选择了一个三维层状单端口薄膜体声波谐振器（FBAR），如下所示。我们假设 是已知的，为了便于后续比较，仅将其手动添加到器件导纳中作为贡献。

为了从 频域 研究中准确提取谐振频率和峰值电导率，您可能需要细化频率步长，并使用 图形标记 来绘制 全局 导纳图。如果考虑 ，请不要忘记指定 介电损耗。最后，为了提取 和 ，您有必要新建一个研究，以求解一个比 小几个数量级的频点。

COMSOL Multiphysics^® 用户界面中显示了三维 FBAR 模型，其导纳通过 频域 研究计算得出。

一旦所有参数计算完毕，您可以将这些值直接代入同一模型文件中内置的 电路 接口，以验证提取结果。随后，将新创建的集总 mBVD 电路接入电压源，并将其阻抗频响曲线与原始有限元数据进行叠加对比。顺应当前便捷的 AI 趋势，您不妨利用 COMSOL Multiphysics^® 中内嵌的 智能助手 窗口 ，让它生成添加电路及完成各项设置的 COMSOL API 代码，此处的演示就采用了这种方式。

提取的 mBVD 参数用于 电路 接口，绘图描述了完整有限元模型与等效电路之间的良好相关性。

两条曲线结果在工作带宽附近非常吻合。从实际角度来看，两者存下的微小差异可以解释为有限元模型捕捉了系统中存在的高阶模式的贡献。一旦您的 mBVD 电路模型与基于物理场的模型匹配，就不再受限于器件的物理几何形状，并可以在 COMSOL Multiphysics^® 中直接扩展电路网络，添加外部调谐电容、电感或传输线，或级联多个相同模块以形成复杂的梯形滤波器。综上，您最终获得了一个经过验证的、运行速度极快的集总模型，它实现了微观多物理场与宏观系统设计的无缝衔接，使您能够在几秒钟内完成大规模参数扫描。

下一步

最后，分享本篇博客文章中展示的模型以及相关示例：

• 查看本篇博客文章中讨论的模型：从三维 BAW 谐振器提取 mBVD 电路参数
• 了解如何从 特征频率 角度处理同一任务，请参阅：SAW 基本单元的频域分析
• 如果您需要完美匹配和/或补偿缺失数据（例如阻尼比）的方法，请参阅此示例，其中利用了 参数估计 特征：具有等效电路的薄膜体声波谐振器
• 查看使用MEMS 模块的教学案例：案例下载

我们身边有一项极具影响力的发明，却鲜少有人留意。事实上，这项发明的设计初衷本就不是为了被看见，而是为了让人 透过 它看清世界。没错，我说的就是眼镜。据 2025 年的估算，全球约有 57% 的人口佩戴屈光矫正眼镜（参考文献 1）。如果再把老花镜、太阳眼镜或隐形眼镜等其他形式的眼镜计算在内，这个数字还会更高。我自己也是戴眼镜的，于是我决定去探究一下这项看似寻常却影响深远的技术的发展历史。

眼镜的雏形

阅读石

人类最早利用透镜辅助视力的例子，其实并不是眼镜，而是一块小小的石英石。这种石头被称为 “阅读石（Reading Stones）”，由石英、绿柱石或玻璃雕刻而成，其形态呈半球状，恰好能充当凸透镜。视力衰退的人只需将它平放在纸面上，上面的文字就会被放大。这类阅读石通常被认为是 9 世纪的波斯数学家 Ibn Sahl 发明的，但实际上，类似的阅读石在世界各地的考古发掘中都有发现，包括 瑞典的维京人墓葬中。

荷兰 Archeon 历史主题公园内的一块玻璃阅读石。图片采用 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International 许可，通过 Wikimedia Commons 提供。

太阳眼镜

我们今天所熟知的矫正眼镜还有另一个早期的雏形：太阳镜。世界上多个文明都曾独立发展出 太阳镜，已知最早的例子之一出现在 12 世纪的中国，镜片使用的是扁平的烟色石英。早期非矫正类护目器具的另一个典型例子，是因纽特人传统的雪镜。这种雪镜通常由鹿角、浮木或象牙雕刻而成，能够减少阳光直射，并有助于防止积雪反射造成的眩光。

两副来自阿拉斯加的因纽特雪地护目镜。图片采用 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International license 许可，通过 Wikimedia Commons 提供。

早期矫正镜片

大多数资料认为，最早的矫正镜片诞生于 13 世纪末的意大利，尽管其发明者已无从考证。早期的历史资料也印证了这一点，因为大约在同时期，欧洲各地的绘画和布道文稿中开始出现镜片的相关内容。另有证据表明，到了 14 世纪威尼斯文艺复兴时期，人们已经为早期的镜片工匠制定了相关的规章条例。不过，那时的 ‘眼镜’ 看起来和今天的款式大相径庭：它们大多需要用手拿着，由两片放大镜固定在一对铆接手柄上，形成一个类似剪刀的形状。

一副法国的“剪刀眼镜”。图片来自 Wikimedia Commons 采用公共领域授权许可。

眼镜的工作原理是什么？

我们如何看见？

在探讨眼镜的工作原理之前，我们首先需要了解视觉本身。视觉形成耗时仅数毫秒，但过程极其复杂。从宏观层面来看，可以大致将眼睛看作两个聚焦透镜，它们将进入的光线投射到视网膜上形成图像。角膜作为眼球的最外层结构，会将进入的光线折射向晶状体，晶状体再将光线精准聚焦在视网膜上。视网膜上分布着视杆细胞和视锥细胞等感光细胞，负责吸收光线。随后，这些感光细胞将电信号传递给大脑，大脑再对这些信号进行解析，从而让我们“看见”事物。为了看清不同距离的物体，微小的肌肉会改变晶状体的形态，以此来调节焦距。最后两个关键要素是位于角膜和晶状体之间的虹膜与瞳孔。虹膜是呈环状圆盘形的肌肉组织，瞳孔则是其中心的圆孔。虹膜通过扩张或收缩来调节瞳孔的大小，从而控制进入视网膜的光线量。

视觉异常可能发生在上述任何一个环节，但大多由眼球形态先天缺陷引发。这类缺陷包括眼球形态畸变（如眼球过度拉长）、角膜表面凹凸不平或凸度不够，以及晶状体受损等。随着年龄的增长，晶状体还会逐渐硬化，进而有可能引发老花眼。

眼镜如何帮助我们？

眼镜通过镜片在光线进入眼睛之前使其发生折射，并根据不同的眼部状况重新汇聚光线。以近视为例，光线在到达视网膜之前就已经提前聚焦，导致远处的物体看起来模糊不清。凹透镜可以帮助将光线的焦点向后推移，使其落在视网膜上。远视的情况则恰好相反，因此需要使用凸透镜，将光线的焦点向前拉近至视网膜。而当角膜不平整时，也就是我们常说的散光，就需要使用形状更为复杂的镜片来进行矫正。

上：凸透镜通过将光束的焦点向视网膜方向拉近，从而矫正远视。下：凹透镜通过将焦点向远离视网膜的方向推移，从而矫正近视。图片采用 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International 许可，通过 Wikimedia Commons提供。

眼镜是如何演变的？

双光眼镜

双光眼镜的发明 通常归功于本杰明·富兰克林。据说他在法庭上会使用这种眼镜，既能看清法国发言人的唇语，又能同时记录和阅读笔记。坊间传闻，富兰克林是将自己两副眼镜的镜片各锯成两半，然后再拼接到一个新的镜框中，从而制作出了双光眼镜。不过，现代的双光眼镜制造工艺已经大不相同，通常是将一块高倍数的镜片区段直接熔铸（或模压）在普通的矫正镜片上制作而成。

一副双光眼镜。图片采用 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons提供。

渐进多焦点镜片是双光镜片的升级款，一副镜片内具备三种及以上放大倍率，佩戴者可看清不同距离的物体。

现代镜片技术

早在 19 世纪末，玻璃就已经取代了昂贵的石英和绿柱石，成为制作镜片的主要材料。在德国， 物理学家 Ernst Abbe 和化学家 Otto Schott 通过实验，尝试在熔融的玻璃中添加其他元素，以此来提升镜片的耐用性、清晰度并减轻重量。而到了 21 世纪，许多镜片开始采用特种塑料制作。这不仅进一步降低了成本和重量，还让镜片变得更加坚固耐用。

现代镜片技术的其他新发展还包括防蓝光、防刮花、防眩光以及光致变色等。这些技术通常是通过在镜片表面镀膜，或将各种特殊材料渗入镜片内部来实现的。其中，防眩光镜片最初是在第二次世界大战期间为军用光学设备研发，直到 20 世纪 40 年代末才向公众开放使用。这种镀膜镜片不仅能避免拍照时眼镜反光造成的成像畸变，还能在光线明暗不均或强光环境下（例如夜间驾驶或看电脑屏幕时）有效提升视力清晰度。此外，光致变色镜片材料（可以作为涂层附着在镜片表面，或直接融入镜片内部）具有紫外线感应特性，在阳光照射下会自动变暗。这让人再也不用同时备着一副近视镜和一副太阳镜了。

未镀膜的眼镜（上）与带有防眩光镀膜的眼镜（下）对比。请注意，上图镜片中反射出了摄影师的身影，而下图镜片中反射的则是带有蓝色调的灯光。图片采用 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons提供。

隐形眼镜

与框架眼镜相比，隐形眼镜能提供更好的周边视野，且受天气条件的影响更小。早在 16 世纪，列奥纳多·达·芬奇就提出了隐形眼镜的雏形设想，他建议将装满水的玻璃半球体戴在眼睛上。到了 19 世纪，最早的隐形眼镜被研发出来，但它们质地坚硬，由玻璃和蜡制成。直到 20 世纪 60 年代初，现代软性隐形眼镜才被发明出来。

展望未来

虽然我们在本文中介绍了一些矫正眼镜领域近期的一些研究进展，但未来还有更多创新值得期待。例如，研究人员已经借助计算机模拟技术，开发出了能够动态调整光焦度（屈光度）的液体透镜以减轻使用 AR/VR 设备时的眼部疲劳。此外，还有人正在利用虚拟仿真技术，研发更轻便、更耐用的眼镜镜框 以及 眼镜的专用镀膜。随着眼部护理技术的不断进步，智能眼镜等可穿戴技术设备日益普及，这项技术未来将引领我们走向何方，我们拭目以待。

为了推动眼科技术及其他光学系统的创新，众多工程师开始借助射线光学仿真技术。COMSOL Multiphysics^® 的附加产品——射线光学模块，支持通过射线追踪对电磁波的传播进行模拟。该方法将传播中的电磁波表征为可以进行反射、折射或被吸收的光线。点击下方按钮，了解关于该模块的更多信息。

参考文献

1. O. Wilson, “What Percentage of People Wear Glasses? The Global Vision Correction Reality,” GLASSON, 18 Dec. 2025; https://www.glasson.app/blog/what-percentage-of-people-wear-glasses-the-global-vision-correction-reality/.

在 上一篇 关于 2026 年国际足联世界杯（FIFA World Cup^®）官方比赛用球——阿迪达斯 Trionda^® 的博文中，我探讨了这款足球的空气动力学特性，以及大力踢出“特里维拉”（trivela，即，用脚背外侧踢出的标志性弧线球）时的碰撞动力学。在本篇博文中，让我们将把目光转向内置在足球内部，以及球员穿在球衣内的运动背心中的各类传感器。这些传感系统集成了 MEMS 加速度计、陀螺仪、磁力计、心电电极以及射频通信系统，能够为教练团队和视频助理裁判（VAR）团队提供赛事实时追踪与分析支持。同样的，我还将探讨如何利用 COMSOL Multiphysics^® 软件对这些传感设备进行建模与仿真。

Trionda 足球中的传感器

今年 5 月 3 日，曼联坐镇老特拉福德球场（Old Trafford），以 3-2 险胜利物浦。比赛第 14 分钟，本杰明·舍什科（Benjamin Šeško）为曼联打入第二粒进球，将比分扩大为 2-0。但这粒进球引发了巨大争议，因为在球越过门线前，舍什科疑似用手触碰到了球。

然而，由于英超联赛并未使用内置惯性测量单元（IMU）芯片的比赛用球，视频助理裁判花了数分钟反复回看转播画面后，最终判定图像证据不足以形成有效定论，进球有效。

这类情况在 2026 年世界杯上发生的概率要小得多。Trionda 足球内置了一枚 500 Hz 、由 MEMS 加速度计和陀螺仪组成的惯性测量单元（IMU）芯片，即便触球仅仅引起非常微小的加速度和角速度变化，也能被实时捕捉并分析相关数据。

Trionda 足球搭载的传感器在本届世界杯中已然起到了决定性作用。6 月 14 日（墨西哥当地时间）瑞典对阵突尼斯的那场比赛里，马蒂亚斯·斯万贝里（Mattias Svanberg）为瑞典打入的第四球将比分改写为 4 比 1，最初被判因越位而进球无效。当时的情况看上去好像是斯万贝里直接拿到了任意球传球，如果是这样，他确实构成了越位。

然而，足球内置的传感器检测到，在任意球开出到斯万贝里最终完成射门期间，他的队友亚历山大·伊萨克（Alexander Isak）用脚尖轻微触碰到了足球。仅凭摄像机画面几乎无法确认伊萨克是否触球，而传感器却能够精准判定触球瞬间！视频助理裁判由此确认，传给斯万贝里完成射门的传球来自伊萨克，并非直接源于这次任意球。伊萨克触球的那一刻，斯万贝里已不再处于越位位置，因此这粒进球最终判定为有效。

更令人兴奋的是，斯万贝里仅仅在事发前几秒钟才替补登场，而这个进球也是他本场比赛的第一次触球。不得不说，无论是教练的换人时机还是球员的登场时机，都堪称完美！

利用 COMSOL Multiphysics^® 软件绘制的阿迪达斯 Trionda 足球原理示意图，传感器芯片安置在四块表皮面板中的其中一块的内部，其余三块面板则配置配重块，使足球具备力学对称性。

使这种判罚反转成为可能的 Trionda 内置芯片，由阿迪达斯与 KINEXON Sports 公司联合开发。双方并未公开披露研发该芯片所采用的惯性测量单元（IMU）产品型号，然而，诸如 TDK^® InvenSense^® ICM-20649 和 ICM-45686 等商用设备的公开参数，与专为足球应用设计的 IMU 预期性能高度吻合，这些设备支持高达 ±4000 度/秒（ dps）的角速度和高达 ±32g 的加速度。有趣的是，ICM-20649 的数据手册 中明确将“足球射门（soccer ball kicks）”列为目标应用场景。TDK 的 MEMS MotionTracking^® 运动跟踪设备将三个 MEMS 加速度计和三个 MEMS 陀螺仪，搭配信号调理电路、模数转换器、温度传感器及通信接口，全部集成在一个尺寸仅为 2.5×3×0.81 mm 的密封小型封装中。

MEMS 陀螺仪可等效建模为振动式速率陀螺仪，其中科里奥利力将驱动振动模态与检测模态耦合在一起。尽管 Trionda 足球所用的惯性测量单元的几何结构属于专利技术，无法在仿真中对其进行精确复刻，但基于 COMSOL Multiphysics^® 建立的梳齿驱动音叉陀螺仪模型，能够很好地阐释这一物理原理。

除了惯性测量单元，Trionda 足球内部的电子元件还包含一个本地定位发射器（用于向球场内的基站发送时间和位置数据）、一根用于与基站基础设施通信的超宽带（UWB）射频天线，以及一块电池。与惯性测量单元一样，这些射频电子元件和电池同样可以使用 COMSOL Multiphysics^® 软件进行仿真分析。

惯性测量单元和定位系统的应用远不止于判断潜在的“手球”情况，比如我前面提到的舍什科进球中球是否被触碰过。它们还可以用来精确判定传球瞬间的触球时刻，从而准确判断接球队员在传球发生瞬间是否处于越位的位置。该系统极高的采样频率能够区分禁区等人员密集区域内连续发生的反弹和变线触球，这在复杂的攻防场景中至关重要。此外，定位系统还能确定足球相对于球门线的精确位置（推测是与图像处理技术结合使用的）。

陀螺仪还可以用来实时测量足球在飞行过程中的角速度和旋转轴，这使得我们能够以前所未有的细节来分析弧线球、马格努斯效应轨迹以及低旋转的“电梯球（knuckleball）”。

如果我们坐在电视机前，也能看到比赛中射门速度最快、弧线最明显的球的统计数据，那就更棒了！

运动背心中的传感器

球员穿在球衣里面的智能运动背心中内置的传感器和电子元件甚至比足球中放置的还要多。足球内部的惯性测量单元专为承受大力射门和高速旋转的球体而设计；相比之下，球员背心中的惯性测量单元则专门针对长时间的运动追踪进行了优化，以更好地感知球员在奔跑和改变方向时的动作，并采集相关数据。

如果你在看比赛时仔细观察，可能会注意到球员后背两块肩胛骨之间的球衣下方有一个小凸起。这个小鼓包就是背心的“数据采集盒（pod）”，大部分传感器和电子元件都集中在这里。唯一放置在模块外部的传感装置是用于测量心率及其变异性的心电电极，它们位于背心的前胸下方。

赛后球员交换球衣时，你经常能看到这种智能背心。

背心与收纳盒内部传感器的示意图。实际穿戴背心时，收纳盒藏于衣袋内部，心电电极内嵌在背心面料中，因此无法直接看见（将背心翻面后方可看到）。本示意图由 ChatGPT^™ 生成。

除了包含加速度计和陀螺仪、可测量三个方向加速度和角速度的惯性测量单元外，该传感器模块还内置了全球导航卫星系统（GNSS）接收器以及类似足球中使用的本地定位系统。此外，它还包含一个用于测量磁场方向以进行姿态校正的三轴磁力计，以及天线、射频发射器、微控制器、电池和其他各类电子元件。

你可以想象，在如此狭小的空间内塞入这么多电子元件，所需的热管理设计有多么重要。这件背心本身可能就会阻碍球员身体散热，如果模块设计不佳，它甚至可能成为一个令人讨厌的额外热源。

对一款 电容驱动式表面微机械加速度计开展的 COMSOL Multiphysics^® 仿真，此类器件普遍应用于消费类产品中。

尽管如此，从背心中提取的数据对于长期提升球员的竞技表现具有重要价值。下方示意图展示了一名虚拟球员背心的数据输出，教练团队不仅可以在比赛中实时查看这些数据，还能在赛后进行深入分析。

例如，如果一名球员的冲刺次数减少、加速度下降，并表现出其他疲劳迹象，教练可能会决定将其换下。赛后，球员和教练可以利用热力图分析这名球员在球场上的跑动轨迹，并据此做出战术调整。

这些数据还可以用来验证和强化行之有效的战术。例如，如果热力图显示一名中场球员在球场的某一侧拥有出色的控球数据，并且从该侧发起的进攻型传中成功率很高，教练可能会决定让该球员在进攻时优先在这一侧活动，而在防守时则更多地回撤到中路。比如，对于一名左脚球员来说，这一侧可能就在左路。

自从引入智能背心以来，其统计数据一直作为球队内部机密，并未在电视转播中公开——这让我感到非常遗憾。有时候，当球员被换下场时，我们能看到他们的总跑动距离，但通常也就仅此而已。而且，足球和背心的传感器数据通常也不会被合并处理。诸如球员触球、预期进球和射门等统计数据，往往是通过图像处理技术独立获取的，处理过程独立于背心和足球传感器输出的相关数据。

想象一下，如果我们能在比赛直播中看到足球和背心的全面统计数据，能够实时可视化球员在比赛中表现最好和最差的环节，而不仅仅是看赛后或中场休息时展示的枯燥表格，那绝对会非常引人入胜。

展示了球员 “John Doe” 背心采集数据的用户界面示意图。热力图显示，由于该球员的高速防守冲刺次数极少，他应该是一名进攻型中场球员。此外，热力图中进攻方向几乎总是从左向右。本图像由 ChatGPT 生成。

球迷与比赛现场

到目前为止，我已经介绍了足球内部的传感器，以及它们是如何让视频助理裁判（VAR）团队的工作变得更轻松，让观众觉得比赛更加精彩。

尽管这项最新技术正在彻底改变观众的观赛体验，但足球赛事之所以从古至今始终令人热血沸腾、极具观赏性的一大核心要素，那就是现场球迷。体验足球魅力的最佳方式，毫无疑问，永远是亲临球场现场观赛。

2026 年世界杯的部分赛事将在墨西哥城标志性的阿兹特克体育场（Estadio Azteca，官方名称为“Estadio Banorte”）举行。这座球场见证了无数经典瞬间：1970 年世界杯决赛，卡洛斯·阿尔贝托（Carlos Alberto）接贝利传球，用一记势大力沉的右脚怒射破门；1986 年世界杯，迭戈·马拉多纳（Diego Maradona）也在此打进了那粒“世纪进球（Goal of the Century）”。

为迎接世界杯，阿兹特克体育场进行了大规模翻新（并被国际足联临时更名为“墨西哥城体育场”）。场馆进行了多项改造，其中一项重要升级是安装了全新的音响系统，以提升现场观赛体验。为增添趣味性，并帮助大家想象球场内的实际音效，COMSOL 团队对其中一组扬声器阵列的声波传播进行了仿真（见下图）。敬请期待本次世界杯系列博客的第三篇文章，届时我将分享更多仿真结果，带大家一起“聆听”这项美妙运动赛场内的声学魅力。

全新翻新的阿兹特克体育场中，悬挂于屋顶的其中一组扬声器阵列的声波传播仿真。体育场屋顶结构共悬挂了约 70 组分布式扬声器阵列，遍布整个体育场，将各组扬声器阵列所产生的声场进行叠加，即可获得完整的声压分布。

在此之前，让我们继续为喜爱的球队加油，期待这届世界杯成为到目前为止最精彩的一届！

只为热爱：致美丽足球

尽管本文展示的模型和仿真技术均代表了前沿水平，但其制作初衷完全是出于兴趣。严谨的科学研究需要对相关参数展开更为详尽的探讨。例如，必须对阿兹特克体育场的几何结构进行高精度的建模，并将仿真结果与实际测量数据进行对比验证。

谨此声明，本文介绍的研究工作均独立开展，与阿迪达斯、Kinexon 和 TDK 公司没有任何关联，也不存在任何合作关系。

Adidas 和 Trionda 是 adidas AG 的注册商标。

COMSOL AB 及其子公司和产品与上述任何商标所有者均无关联，也未得到其担保、赞助或支持。

在感应加热领域，一项主要的挑战在于对被加热材料的非线性特性进行建模仿真。所有材料的特性都会随温度呈现非线性变化，而磁性材料还会随磁场变化表现出非线性。想要保证仿真的准确性，就必须将这些非线性特性纳入模拟中。本文，我们将介绍一种十分便捷的处理方法，即借助 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品 —— AC/DC模块中内置的 磁场公式 物理场接口即可实现相关模拟。

为何感应加热是建模仿真难题？

感应加热在材料加工领域应用广泛，其优势主要包括以下几点：

• 工件采用间接方式进行加热。
• 受加热影响的区域可以深入材料内部。
• 通过改变驱动电流的大小和频率，可以非常精确地控制随时间变化的加热曲线。

不过，在感应加热实践中，要想实现对加热过程的精准控制，就需要配备相应的过程反馈回路和实验验证。理想情况下，这个回路还应结合一个融入了实验数据的数值模型，以预测温度随时间的变化趋势。数值模型之所以特别有用，正是因为它能够预测那些在实验中无法直接测量的区域的情况。

从实际应用的角度来看，数值建模确实存在不少挑战。首先，需要高质量的输入数据，既要准确描述工件和感应加热线圈的几何结构，也要掌握驱动电流及频率相关参数。除此之外，还需要明确材料属性及其变化规律。

所有材料属性都会随温度变化。由于感应加热通常会将工件从室温一直加热到接近熔点的温度，因此这些非线性因素绝对不能忽略。一般来说，金属的电导率和热导率会随着温度的升高而下降，但也并不总是如此。

不同温度下的典型B-H曲线。当温度高于居里温度时，曲线的斜率等于真空磁导率。

此外，还有一类材料，具体来说是软磁材料，它们的磁导率会随磁场呈现非线性变化，但其磁滞效应可忽略不计。这类材料可以通过实验测得的 B-H 曲线来表征，该曲线描述了磁场强度（ 场）与磁感应强度（ 场）数值之间的关系。B-H 曲线同样会随温度发生变化，其幅值会随着温度升高逐渐降低，直到达到居里温度，此时材料会丧失磁性。尽管这类曲线的形状通常与上图展示的非常相似，但实际的实验数据往往很难获取，这也成为构建数值模型过程中的最大阻碍。

搭建模型：一些概念性前提

感应加热过程通常至少持续数秒，其激励频率的范围却很广，低至 50 Hz 到高达 450 kHz 甚至更高。这意味着该问题存在两种时间尺度。相对于一个振荡周期而言，温度场的变化可以被认为是极其缓慢的。换句话说，电磁场在一个周期内“感知”不到温度的变化。基于这一特性，促使我们采用一种被称为频域-瞬态 的研究方法，即在频域内求解电磁场，而在时域内求解热问题。

电磁场确实会被重新计算，但仅在材料属性随温度发生变化时才会执行。频域分析的明确前提是：材料属性在一个周期内是恒定不变的。然而在实际中，电磁场在单个周期内通常会发生非线性变化。我们一般都力求以最快速度加热材料，这意味着激励电流和由此产生的磁场会将材料驱动到 B-H 曲线的非线性区域。

为了解决这一明显矛盾，我们引入“有效 B-H 曲线”这一概念，它采用一种基于能量的方法拟合出一条可近似表征非线性特性的曲线。这些曲线可基于实验测得的 B-H 曲线作为起点来计算得出。具体工作流程是：首先获取 B-H 数据，使用B–H 曲线检查器 对其进行清理，然后利用平滑后的数据在有效 B–H 曲线计算器 中进行计算。

结合上述概念，你目前应当已获取至少三组工件材料的数据：

• 温度
• 非线性电导率与热导率
• 每种受热材料在不同温度下对应的一组有效磁化曲线

若要建立完整的热学模型，还需要获取材料的密度、比热容以及表面热发射率，因为我们至少要考虑辐射散热这一因素。比热容通常会随温度发生变化，而密度则始终保持恒定——体积上的任何变化，都需要通过额外求解固体材料的热膨胀来进行模拟。在接下来的示例中，表面发射率设定为恒定值，不过在实际应用场景中，该数值可能发生变化。

感应线圈几乎均为水冷铜管，由于其温度保持恒定，建模难度大幅降低。我们通常无需关注线圈内部的热量分布，只需要明确线圈中的电流如何对工件进行加热。基于此，可采用 阻抗边界条件 仅对线圈表面 建模，这种简化的建模方式无需对线圈内部区域划分网格。如果有需要，也可以对线圈整体区域进行完整建模。

另一方面，工件必须始终以体单元形式建模，因为无法通过面边界条件精准模拟其物性变化。此外，各类场量通常在表面法向方向上变化剧烈，而在切向方向上变化平缓，这也是采用边界层网格的原因。进行三维建模分析时，还可在模型表面划分分层结构，以此对几何模型进行分割，提升计算效果。

补充说明：采用解析方程求解有效 B–H 曲线

虽然实验数据代表的是最真实的情况，但想要高精度获取这类数据并非易事，在较宽泛的温度范围内开展相关工作时更是如此。因此，研究人员有时会采用形式更简洁的 B-H 曲线表达式，尤其是借助这类表达式能够进一步推导出有效 B-H 曲线的解析公式时。

有两个简便的表达式，可以将 场的大小，，表示为 场大小 的函数，具体如下：

二者具有相同的极限特性：在低磁场下，曲线斜率（即微分相对磁导率）为 ，而在强磁场极限条件下，斜率为 ，与真空环境下的数值一致。饱和磁通密度为 ，是指曲线斜率趋近于真空极限值时对应的状态点。

借助该公式，我们可以轻松引入温度相关性，以此模拟材料趋近居里温度时的特性。当温度高于居里温度时，可将材料近似视为无磁性材料。具体做法是将饱和磁通密度设置为温度的函数，该函数 形式不限，只需保证在温度超过居里温度时数值降至零。这类函数通常呈单调递减趋势，因此我们可以采用下图所示的曲线形式，即在达到居里温度前按多项式规律递减。该曲线可通过 COMSOL^® 中的分段函数进行定义，同时可添加平滑项以保障数值计算的稳定性。

对磁性随温度变化的近似处理，在居里温度附近的小范围内进行了平滑处理。

借助这些公式，我们现在可以采用 简易能量 法推导出有效 B–H 曲线的解析表达式。其中：

将上文的两个表达式代入后可得到：

请注意，我们也可以为 参数引入温度相关特性，从而改变 B–H 曲线的幅值与斜率。需要强调的是，以上内容仅作为简便近似方法给出，你也可以选用其他函数以及有效 B–H 曲线计算公式重新推导。在缺乏高质量实验数据的情况下，这些方法可作为建模的合理切入点。

采用磁场公式建模

本文探讨的示例，是采用三匝线圈来加热一个钢制方管。我们假定线圈节距对计算结果影响较小，并基于该假设利用工件与线圈的对称性来缩减模型规模。

三匝感应线圈绕在一段方形钢管上（左），可等效为工件及其外围自由空间的十六分之一模型（右）。

我们这里采用的是 磁场公式 接口建模方法，该接口直接求解 场。这个方法更适合对于非线性特性明显依赖于磁场本身的材料。我们之前已经介绍过 如何在该公式中引入激励，接下来将借助全局约束来限定线圈上的驱动电流。

在输入材料非线性时，针对有效 B-H 材料关系，可以通过避开对磁场进行符号微分来降低计算成本。这可以通过使用 nojac () 算子来实现。尽管这种做法偶尔可能会增加求解器的迭代次数，但每次迭代所需的时间和内存都会减少，从而在整体上提升计算效率。请注意，无论你是使用前文推导出的解析表达式，还是使用表格数据，这一结论都适用。

求解方法使用的是 频域-瞬态 求解器，对于三维模型，此求解器默认采用分离式求解方法。H 场是使用直接求解器来求解的，如果你配备了合适的显卡，这里非常适合尝试一下全新的 NVIDIA CUDA^® 直接稀疏求解器 (NVIDIA CuDSS) 。

下方动画展示了相关计算结果，并显示了温度升高的影响。随着材料受热，有效相对磁导率会发生变化，当温度超过居里温度时，该数值最终会降至 1。

受场强与温度影响的有效相对磁导率随时间变化的动画。

关于网格划分，你可以结合最大工作频率、电导率以及最大有效磁导率来计算最小集肤深度。除此之外，还可以 尝试不同的单元阶数，不过在处理强非线性材料时，通常优先选用线性阶单元。

三维模型的计算成本通常会很高，因此利用对称性对模型进行简化一直是我们推荐的做法。在此基础上，往往还可以将模型进一步简化为二维模型。这类模型实用性极强，能够为三维模型制定高效的网格划分方案提供参考。

二维模型通常能以低得多的计算成本，对三维模型做出合理近似，并将二维计算结果映射到对应的三维表面上。

二维与三维模型的结果对比。

构建二维模型的重要性再怎么强调也不为过。这类模型通常能够很好地预估三维求解结果，同时也更便于研究网格划分、求解器以及离散化方案。在对这类模型进行拓展时，往往还需要纳入更多物理场分析，例如求解力学性能问题：圆柱销的感应淬火。

结束语

我们通过本文展示了，利用磁场公式法，能够便捷地建模并求解同时随磁场与温度呈现非线性特性的材料感应加热问题。相较于其他方法，该公式法稳健性更佳，因此收敛速度更快，在非线性特征显著的应用场景下优势尤为突出。

想亲自动手尝试这方面的仿真吗？请点击下方链接下载教程模型。

在使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加模块 —— AC/DC模块进行建模仿真时，共有五个物理场接口可用于模拟时变磁场与感应效应。每个接口求解不同形式的麦克斯韦方程组，且具备各自独特的建模优势。本文将深入介绍其中的磁场公式（MFH）接口，并讲解如何利用该接口对感应现象进行建模分析。

不同公式概览

AC/DC 模块中可用于求解时变磁场的五种接口如下：

• 磁场 接口
• 磁场和电场 接口
• 磁场，仅电流 接口
• 旋转机械，磁 接口
• 磁场公式 接口

这其中的第一个磁场接口，是目前应用最广泛的接口，也是大多数感应仿真建模的核心工具。该接口可求解磁矢势（即 场），并提供多种便捷的结构激励方式，包括：集总端口边界条件、线圈域条件以及背景场激励。绝大多数仿真用户实际建模时都会、也理应从这一接口开始搭建模型。

接下来，磁场和电场 接口会同时求解 场和电势（即 场），这构成了– 耦合公式，同时引入了额外的计算复杂度。这种额外的计算成本主要在以下两种场景下具备合理性：

• 求解 磁流体动力学模型
• 在工频（line frequencies）下求解时，此时你需要非常精确地 模拟电介质内部以及界面处的损耗

而 磁场，仅电流 接口则仅适用于不存在磁性材料的情况。它主要用于计算部分电感 ，同时也可以求解 场，但采用的是拉格朗日单元而非旋度 旋度单元，因此计算成本更低。

顾名思义，旋转机械，磁 接口是专门用于对电机和发电机进行建模的。这种公式通过求解磁矢势、磁标势（即 场），实现各部件之间的相对旋转与运动，但这也会带来额外的计算成本和复杂度。如需入门学习，可参考我们的 电机教程系列。

这些公式均由 麦克斯韦方程组推导得出，且都用于求解 场，既可以单独求解该场量，也可以结合其他场量进行求解。与之形成对比的是 磁场公式 接口，该接口同样源自麦克斯韦方程组，但它求解的是磁场（即 场），其在时域中的具体形式如下：

在频域中的形式如下：

这些方程的解同样也是麦克斯韦方程组的解，那我们为何要采用这种方式，而不采用 场公式呢？原因至少有两点：

• 在处理非线性材料时，该公式既可以引入特定类型的非线性特性——比如超导体中产生的电流非线性；同时也提供了更简便的方式来输入与磁场相关的非线性特性。
• 场公式允许采用多种不同的系统激励方式。根据建模需求，可简化模型设置过程。

接下来，我们将在频域建模的背景下，对第二点进行更详细的探讨。我们要介绍的大多数频域激励方式同样也适用于时域，当然也会有少数例外情况，到时候我们会专门指出来。

理解常见的边界条件

磁场公式 接口，或 场接口，包含四项边界条件。这些边界条件与 场公式共用且物理释义完全一致：

• 磁绝缘 边界条件：这通常被理解为理想导电材料的边界。如需了解该条件的其他多种解读方式，可参阅我们学习中心的相关文章：“理解磁绝缘边界条件”。
• 理想磁导体 边界条件： 该条件主要可解释为非导电介质的边界条件，或是一种对称条件。更多详情请参阅我们的博客文章：“利用对称性简化磁场建模”。
• 周期性 边界条件：该条件会施加周期性约束，适用于带扭转结构等场景（如 海底电缆）。
• 阻抗 边界条件：该条件用于模拟与建模空间相邻的有损材料。它属于频域条件，仅适用于趋肤深度远小于部件尺寸的场景。更多详情请参阅我们学习中心的文章： “电磁场中导体的网格划分与几何建模的方案介绍”。

这些边界条件本身并不会产生激励效应，但它们可以构成螺线管电流通路的一部分，而该通路是构建可求解模型所必需的。也就是说，即便这些条件不会激发电流，也能够定义电流可以流通的路径。

理解磁场公式接口专用的激励边界条件

可用于施加激励、且为磁场公式 接口所特有的三类边界条件如下：

• 切向磁场 边界条件：用于施加非齐次狄利克雷边界条件。
• 切向电场 边界条件：引入了非齐次诺伊曼边界条件。
• 表面磁流密度 边界条件：这同样是一种非齐次诺伊曼边界条件，但可以使电场在模型区域的内部边界处产生跃变。

顾名思义，这些边界条件涉及所施加边界上场的切向分量。若入射场完全垂直于边界，其贡献等效为零。也就是说，切向磁场 边界条件在切向分量为零时，等同于理想磁导体 边界条件；而 切向电场 边界条件在无切向分量时，则退化为 磁绝缘 边界条件。只有当电场或磁场存在平行于边界的切向分量时，这类边界条件才能对系统产生激励作用。

为帮助深入理解这些激发现象，我们将采用同轴电缆模型作为示例进行分析。需要说明的是，尽管同轴电缆看似结构简单，但它或许是学习电磁学的最佳方式之一，尤其是电场和磁场随半径变化均存在解析解：

电场沿径向向外指向，磁场绕中心做环形分布。我们将首先利用这些表达式来激励模型，并以此为基础继续后续的推导。

引入切向电场下的电势差

首先，我们在模型一端的内外导体之间施加一个电势差，并将另一端短路。远端的短路是通过磁绝缘 边界条件来设置的，而同轴电缆外部的绝缘空间则采用 理想磁导体 边界条件来进行建模。为了施加电势差，我们在末端的横截面上应用 切向电场 边界条件，将导体内部的电场设为零，并使用上述方程来定义电介质环形面上的电场分布。

结果如下图所示。电流流经内导体和外导体，在工作频率下，体积损耗分布图中可以明显看出趋肤效应。电场、磁场以及功率流的矢量分布图，都与我们预期中同轴电缆短路段的表现相符。功率主要沿着电缆的轴线方向传输，并沿长度方向均匀地耗散为热能。远端的短路意味着那里的电场为零。

同轴电缆一端施加电场激励、另一端短路，左侧为发热分布图，右侧为电场（红色）、磁场（绿色）以及功率流（蓝色）分布图。

请注意，虽然电介质内部的损耗很小，但并不为零。这是因为 场公式在所有计算域中都需要设置一个非零电导率，除非在极高频率下进行频域求解（此时位移电流占据主导作用）。该电导率通常被称作数值稳定项。采用直接求解器 可将该稳定电导率设置得非常小。本文采用特定的电导率表达式，使绝缘体中的趋肤深度约为计算域尺寸的 1000 倍。此外，对于包含数值上不可忽略的感应效应的模型，无需进行规范固定，绝大多数时域和频域仿真场景均属于此类情况。

需要着重说明的是，尽管同轴电缆属于传输线的一种，但该模型中不存在功率传输过程。恒定电场会输入能量，且所有能量都会在建模空间内完全耗散为热能，既无能量传输也无能量反射。若要引入相关传输与反射特性，我们将介绍下一种边界条件类型。

使用表面磁流密度边界条件

为了给同轴电缆两端的非建模空间设置边界，我们需要引入阻抗这一概念 —— 即电场与磁场之间的关联关系。在同轴电缆内部，其阻抗为：

据此我们可以定义表面磁流密度为：

其中， 为 场沿边界的切向分量。这一边界条件可用于对线缆两端的阻抗进行建模。我们可以在此基础上进一步拓展，同时引入源项：

系数为二的原因在于，源项会同时激发向建模区域内部传播的信号以及向边界处传播的信号。该二倍系数的前提是建模空间的阻抗与边界所表征的传输线阻抗相匹配，因此任何阻抗失配都会产生一定的反射现象。这一特性与 电缆型集总端口边界条件 有一定相似性。不过，磁场 接口中的 集总端口 边界条件通过面电流进行激励，而 磁场公式 接口则通过电场进行激励，因此二者并非完全等效。需要注意的是，表面磁流密度 边界条件会与其他诺伊曼条件共同作用，因此可通过单独的特征设置，将源项作用于阻抗匹配项中。

两端阻抗匹配、单端激励的同轴电缆，其发热分布（左侧）以及电场、磁场与功率流分布（右侧）示意图。

从上述图中可以看出，功率正在通过电缆传输，因此我们目前得到了一个双端口器件模型。但需要着重说明的是， 场公式仅在频域形式下包含位移电流的贡献。时域形式仅考虑感应电流与传导电流，因此它不属于 全波 公式，而是 准静态 公式。若需要对瞬态波动现象进行建模，可使用 电磁波，瞬态 接口，一个 场公式，相关方法可参考学习中心文章: “模拟电容放电”。

然而，有时我们并不关心功率流向，只关注导体内部的损耗。例如在同轴电缆中，大部分损耗都集中在内导体上，因此我们可能只需要分析内导体，而忽略外导体的损耗。我们也常常需要假定电流为恒定值。针对这种情况，我们会采用最后一种边界条件，即 切向磁场 边界条件。

使用切向磁场施加电流

回顾我们推导出的磁场解析表达式可以发现，我们能够精确确定内、外导体之间的磁场分布，且该表达式适用于同轴圆柱的切向磁场分量。基于此，我们可将模型简化为内导体外围的圆柱形空间，并在其外表面施加 切向磁场 边界条件。从物理概念层面来讲，这等同于施加切向面电流密度，因此我们将其与上下端面的 磁绝缘 边界条件配合使用，从而形成穿过内导体的螺线管式电流通路。通过在外部施加磁场，可在导体内感应出电流。不过在使用该方法时需要稍加留意，因为这会产生一个特殊的物理效应。

在外部施加特定切向磁场激励下的同轴线中的表面电流与发热分布图（左），电场磁场及功率流分布图（右）。激励边界处的网格与外加切向磁场所对应的电流流向保持一致。

我们所施加的磁场是精准的，但施加磁场所依托的有限元网格，对圆柱体的几何形态描述存在缺陷。几何离散化误差 始终无法完全避免，这会导致有限元空间中的建模几何体出现尖角与锐边。这些结构会产生局部奇异点，进而造成边界附近的场量呈现出明显的杂波扰动。通过让网格与电流流向保持一致，便可规避这一问题，如上图所示。

该方法还有另一个值得注意的特性。从曲线图中可以看出，此时电场与电缆轴线保持平行，不再在内、外导体之间传播，且功率流向朝向中心向内。这是一种完全不同类型的激励方式，也有观点认为这类激励在物理上无法实现。但从导体内部的电流分布、磁场分布以及发热情况来看，该方法仍是一种实用的建模手段。

至此，我们已经探讨了三种不同的结构激励方式。简要总结如下：

1. 切向电场 边界条件可用于在器件的导体之间施加电势差。
2. 表面磁流密度边界条件可对带有指定阻抗以及电势源项的边界进行建模。
3. 切向磁场 边界条件可用于施加已知电流。

虽然我们此处研究的是简单的几何结构，但只要牢记以下要点，完全可以将相同的方法应用到更复杂的结构上：

• 应在 TEM 型传输线 的横截面处，或模型中可合理引入无旋场假设的某一区域，对电场进行指定。
• 位移电流在频域中被考虑，而在时域中不予考虑。
• 磁场激励边界具有不同的物理释义，但在发热效果上结果等效，且需要进行精细网格划分。

接下来，我们将介绍另外两种对此类模型进行激励的方式，这两种方式是 场公式所独有的。

对闭合路径内的电流施加约束

COMSOL Multiphysics^® 仿真架构的核心功能之一，是能够自动解析用户界面（UI）中输入的符号表达式。这不仅包含符号微分运算，还可拓展至约束消去运算。尽管完整地阐释其工作原理超出了本文范畴，但我们将介绍如何在用户界面中实现该功能。

回到此前仅包含同轴电缆内导体与外围电介质的模型，现在在内导体的中点位置引入一条棱边。我们需要设定特定总电流沿导体流动的边界条件，根据安培定律可知，磁场沿闭合路径的线积分等于穿过该路径所围面积的电流：

或者，对于非磁性材料：

我们可以借助 积分耦合来计算电流，再利用 全局约束功能设定条件，使该积分值等于目标电流。后续其余所有计算均可由 COMSOL^® 自动完成，我们可直接查看求解结果。

磁场公式 接口中 全局约束功能的截图，该功能通过对一系列边进行环路积分计算，强制约束电流方向。

同轴电缆受回路电流全局约束激励下，发热分布图（左侧）、电场磁场及功率流向图（右侧）。

可以观察到，当前的电流分布与发热分布和之前的模型吻合，磁场也与理论解析预期一致。然而，电场与功率流向的结果仍需我们审慎看待。功率流向表明模型边缘表现为一种内部线源，但这种情况在物理上无法实现，因此对应的电场不具备实际物理意义。尽管如此，该模型得到的电流分布及温升结果仍具备可用价值。同时可以注意到，激励边缘周边的温升分布变化平缓。

该方法的优势在于，能够在任意结构中激励出电流，无需在仿真域的边界设置任何激励源。也就是说，我们可以在仿真域内部完整激励出闭合导电回路，也可以在不同导体中分别激励出不同电流。

耦合磁场公式与磁场，无电流接口

我们将要介绍的最后一种激励方式需要用到另一个物理场接口——磁场，无电流 接口。该接口用于求解磁标势（ 即 场），顾名思义，它在传统意义上适用于对无电流存在的系统进行建模仿真。

然而事实表明，当与 场公式结合使用时， 场接口可借助 磁标势不连续性 边界条件引入激励。该边界条件必须施加在表征闭合电流回路横截面的边界上。电流既可以在采用 场建模的导电域体积内流动，也可沿场接口的 磁绝缘 边界隐性流动。

采用–方法激励的同轴电缆示意图。磁标势不连续性边界（绿色）激励电流沿涡旋路径流经两个导电区域（灰色），该部分采用 场公式进行建模；同时电流沿建模域顶部和底部的磁绝缘 边界（黄色）流动。箭头直观展示了电流环绕激励边界形成的回路走向。

– 公式的自由度数少于 场公式，但计算成本可能更高，这是因为所得系统矩阵为非对称矩阵，通常需要采用直接求解器。该公式在概念层面、有时在几何层面均较为复杂。其优势在于可将自由空间区域建模为零损耗区域，但这些区域之间不存在电容耦合。实际上，在非导电区域中仅求解磁场，因此电场以及对应的功率流均无定义，仅能提取导体内部的磁场、电流及损耗参数。

采用 – 公式建模的同轴电缆的发热分布图（左侧）与磁场分布图（右侧）。

其他可能性简要概述

采用 场公式构建的这类激励方法可处理的低频感应建模类型，其复杂程度近乎无穷。需要着重强调的是，能够用这些方法实现并不代表就理应采用这些方法。这类问题非常需要结合具体工况逐一判定。尽管如此，下面简要列举几个可运用这类方法的其他应用实例。

扭转电缆单元模拟

周期性 边界条件可施加在几何形状相同但彼此存在扭转错位的面上。该边界条件在 扭转海底电缆 案例模型中得到了演示，并且可以与通过全局约束激励电流的方法结合使用。

一个扭转三相电缆的四分之一区段的单元模型。该建模区段的仿真结果可沿电缆长度方向周期性排布，以展示发热分布与磁场分布。

模拟对称线圈

在利用对称性进行建模仿真时，在 磁场 接口中采用集总端口激励通常并不实用，一般需改用 线圈 域条件。该方式在高频场景下存在弊端，原因是线圈的趋肤深度需要进行极其精细的网格剖分。若改用 磁场公式 接口，可通过阻抗边界条件对驱动线圈建模，并借助全局约束法施加电流。

采用 场公式（左）与 场公式（右）建立感应加热材料坯料的对称模型。两种方式下的沉积热量高度相近。

模拟交流电磁场中的实心导电部件

当导电部件处于交变（AC）磁场中时，材料内部会产生感应电流。只要该部件不存在能够阻隔部分磁场的孔洞，就可采用耦合 – 公式对此进行建模分析。同时有严格要求：导电材料不得构成闭合回路。

采用 – 公式时，所得系统矩阵为非对称矩阵，因此尽管自由度数量更少，但其计算成本的增长速度，仍会高于在全域采用 场或 场公式的情况。故而该公式仅适用于部件体积占整体建模体积比例极小的场景。

一段螺旋状导线暴露在交变磁场中。注意该导线未构成闭合回路。在导线内部对 场进行求解，并通过施加在周边空间求解出 场上的边界条件实现激励。

结束语

本文展示了几种激励H场公式以求解感应类问题的方法，当然这些技术还有更多变体形式。虽然上述算例均在频域中求解，但在遵循前文所述注意事项的前提下，这些方法同样适用于时域分析。掌握这些方法后，我们便可借助 AC/DC 模块 进一步探究电磁建模的各类应用可能。

还需注意，这些示例模型很多都是通过直接求解器完成求解的。值得一提的是，COMSOL® 6.4 版本中内置的 NVIDIA CUDA^® 直接稀疏求解器（NVIDIA cuDSS），能够以前所未有的更短的时间处理规模越来越大的复杂仿真问题。

若想亲自体验本篇博客中提到的各类模型，请点击下方按钮。

NVIDIA 和 CUDA 是英伟达公司在美国和 /或其他国家的商标和 /或注册商标。

溅射技术广泛应用于半导体加工领域，用于在基底上沉积均匀、轻薄且附着力强的薄膜。此外，它还可以用于离子铣削等场景中的物理材料去除。在本篇博文中，我们将分享一个实例，展示如何利用建模与仿真来理解溅射过程中涉及的一些物理现象，并为工艺开发提供指导。

什么是溅射？

溅射是一种物理过程，即利用等离子体或气体中的离子化粒子轰击固体表面（即“靶材”），使靶材原子发生溅射脱离，脱离后的原子会沉积到另一个表面（即“基底”）上。溅射过程在宇宙空间中也会自然发生，也是造成精密部件磨损的一个令人头疼的源头。不过，在半导体制造、光学以及 MEMS 相关领域的应用中，这种技术也被巧妙地用于薄膜沉积和物理表面刻蚀。溅射装置的原理示意图如下所示。

典型的溅射沉积装置示意图。图片属于公有领域，来自 Wikimedia Commons.

半导体行业会采用多种溅射工艺，包括磁控溅射、反应溅射以及离子束溅射来沉积薄膜，这类薄膜对于制备当代集成电路所需的复杂多层结构至关重要。这些薄膜可在芯片内部充当阻挡层、粘附层或是导电层。溅射技术在该应用场景下具备诸多优势。例如，该技术能够精准控制沉积薄膜的厚度，同时适用于金属、合金、化合物等多种材料。除此之外，对于无法承受高温的基底而言，溅射也是最为合适的工艺选择。

除薄膜沉积外，溅射技术还可借助受防护掩膜引导的离子化气体粒子，在干法刻蚀工艺中选择性去除晶圆上的材料。氙气、氩气这类惰性气体通常被选为溅射气体，原因是它们化学活性极低，且分子质量较大，能够使靶材材料产生更高程度的位移。

一种溅射装置，真空玻璃管内含有等离子体。

借助仿真分析复杂问题

尽管溅射技术普遍应用于芯片制造与薄膜加工领域，但由于等离子体产生、离子轰击等多种现象同时发生作用，工艺过程会产生诸多复杂问题。因此，想要达到预期加工效果，就必须对气压、电离电位、衬底偏置电压等各类电学、化学以及物理参数进行精细调控与精准把控。

数值模拟可用于分析压力、几何形态以及材料属性等因素，对薄膜生长、基底侵蚀和器件制备的优化具有重要作用。此外，虚拟分析与优化能够帮助研究团队减少成本高昂的实体实验。

接下来，我们来看一个在 COMSOL Multiphysics^® 软件中模拟硅表面的氩离子溅射实例。

如何在 COMSOL Multiphysics^® 中对氩溅射进行建模仿真？

粒子追踪模块是 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品，提供可用于创建溅射相关模型的专用物理接口。在本实例中，采用 带电离子追踪 接口模拟硅表面附近的氩离子运动轨迹，该接口可计算电场与磁场环境下离子和电子的运动轨迹。变形几何 接口用于可视化溅射引发的表面形貌演变，并捕捉其形貌变化过程。

模型设置示意图。

如上图所示，溅射过程包含两束分别以 45^° 和 −45^° 入射角入射的离子束。当氩离子撞击硅表面时，硅原子会被溅射出来。设定每个例子对应现实中的 10¹² 个氩离子。掩膜高度取 0.2 微米，刻蚀窗口宽度取 0.5 微米。本简化示例中不考虑掩膜自身的溅射损耗。

仿真结果

下图展示了溅射产额与离子束入射角的关系。溅射产额是指单个入射离子所溅射出来的靶材原子数量。由图可知，二次粒子的数量会随入射角的变化而改变。在该简化模型中，假定二次粒子的发射方向遵循余弦分布，并基于弹性碰撞相关假设来估算发射粒子的运动速度。从曲线图中可以看出，在 30^° 至 70^° 范围内，溅射产额几乎随着入射角的增大呈线性上升。因此，可以通过调控离子束的入射角来标定溅射产额。举例而言，若想要较少的材料剥离量，可选用较小的入射角；而在此角度范围内，增大入射束的角度，则会增加靶材的剥离量。

二次溅射粒子的数量随入射角的变化关系。

粒子轨迹以及粒子束以 45^° 和 −45^° 入射角入射时的溅射变化过程。

上图展示了以 45^° 和 −45^° 角度入射的离子束运动轨迹，以及由此产生的溅射演变过程。可以观察到边角位置的溅射材料更多，从而使得高度下降得更快。

如何改进研究结果？

该模型还可进一步拓展，将其他影响溅射的因素纳入考量。例如，除入射角度外，溅射产额还与入射离子能量、入射离子的绝对质量以及相对于靶原子相对质量有关。此外，真实环境中的轰击过程要复杂得多，部分离子会渗入基底内部引发级联碰撞，原子也需要经过多次散射后才会被溅射脱离。该简化模型并未包含上述效应，想要对其进行描述，通常需要采用更为专业的溅射模型或级联碰撞理论。

动手尝试

想要自己亲自动手尝试对溅射过程进行建模吗？请在案例库中下载对应的 MPH 文件：

我们荣幸地宣布，COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品——放电模块，荣获德国工业媒体 MM MaschinenMarkt 颁发的 2025 年度 “设计工程” 行业卓越奖项（Best of Industry Award）。这一认可令我们倍感振奋，充分彰显了放电模块在应对电气绝缘与放电现象等行业关键挑战方面的巨大潜力：凭借稳定可靠且经过验证的建模和仿真功能，该产品既能支持工业设计流程，又能为学术研究工作提供帮助。

MM MaschinenMarkt “设计工程” 奖：2025 年度行业卓越奖

行业卓越奖（Best of Industry Award）每年由德国 MM MaschinenMarkt 杂志颁发，通过读者公开投票选出，旨在表彰推动工业技术发展的杰出成果。作为机械工程与制造业领域的权威行业刊物，MM MaschinenMarkt 的读者群体涵盖始终紧跟前沿技术创新动态的工程专家、设计人员以及行业领袖。因此，他们对放电模块的认可更显殊荣。

左图：COMSOL 公司技术经理 Phillip Oberdorfer（右二）代表公司领取 2025 年度行业卓越奖，现场还有其他多位获奖者。图片由 Vogel Communications 集团提供。右图：2025 年度行业卓越奖 “设计工程” 类奖项的特写照片。

MM Maschinenmarkt 联合了包括 Automobil Industrie、PROCESS、Labor Praxis、DeviceMed 以及 konstruktionspraxis 在内的多家行业媒体共同颁发该奖项，其评选范围广泛，涵盖制造与建筑工程、流程工业、实验室与医疗技术以及汽车研发等众多领域的各类优秀成果。

2025 年度德国工业市场行业卓越奖的颁奖典礼现场，演讲嘉宾登台致辞。图片由 Vogel Communications 集团提供。

我们很荣幸能够与众多技术领军者一同获得认可，同时也对放电模块在新一代电气系统的研发进程中持续发挥的重要作用充满期待。

理解、分析并预测放电与击穿现象

放电模块 扩展了COMSOL Multiphysics^® 软件在评估电气绝缘性能方面的能力，新增了专门用于模拟气体、液体和固体电介质中放电现象的功能。工程师和研究人员可以在统一的多物理场环境中，模拟流注、电晕、介质阻挡和电弧放电、雷电感应的电磁脉冲、表面电荷积聚等多种物理现象，并能与 COMSOL 的电磁产品、结构力学和 CFD 模块等附加产品无缝集成，全面分析放电过程中伴随的各类多物理场耦合效应。

COMSOL 放电模块技术产品经理刘里鹏表示：“专用功能与多物理场集成的结合，体现了 COMSOL 长期以来致力于弥合物理认知与工程仿真之间差距的理念。放电模块基于 COMSOL Multiphysics^® 平台开发，为工程师和研究人员提供了强大且经过验证的电气绝缘和放电现象的仿真功能，有助于减少对高成本实验的依赖。”

这种专注功能在电子、航空航天与国防、汽车、医疗以及制造业等行业尤为重要，其应用范围涵盖从消费电子产品到高压电气设备的广泛领域。对于许多团队而言，放电模块是产品开发的重要工具，既能有效降低实验测试和原型制作相关的成本，又能加深对电气绝缘设计的理解。

使用放电模块模拟的变压器油中传播的流注放电。

我们谨向 MM MaschinenMarkt 社群以及所有获奖同仁致以诚挚谢意。感谢大家始终秉持打造优质产品、研发高效制造方案的初心，不断突破技术边界，共同推动行业向前发展。

下一步

请点击下方按钮，深入了解荣获奖项的 COMSOL Multiphysics^® 放电模块的各项功能：

在细胞膜维持稳态的机制中，通透性扮演着核心角色。它通过调控膜上微孔的开放，决定哪些物质能够进入细胞。然而在多数情况下，这种通透性仅限于小型靶离子和分子。 为突破这一限制，电穿孔 作为一种人工手段被用于在膜上制造孔隙，使大分子或未识别分子（如药物）得以进入细胞。本文，我们将深入探讨细胞膜电穿孔的关键机制。

何为电穿孔及其仿真方法?

生物细胞具备复杂的自我调节机制，其核心目标在于维持稳定的生命状态——即内稳态。在众多调控机制中，细胞膜的通透性扮演着关键角色，决定着物质能否进入细胞。简单来说，细胞通过调节膜的通透性来精确控制维持稳态所需的离子、水和营养物质的量。这种调控依靠特定的膜受体实现，它们控制着膜上微小通道或孔隙的开放状态。开放的孔隙允许靶分子通过膜，而闭合的孔隙则阻断靶分子的通过。

这种精细调控的弊端在于，大量无害生物实体因体积过大或无法被细胞识别而被屏蔽在外。电穿孔技术正是为解决这一困境应运而生。

电穿孔，或称电渗透，是一种通过施加局部高强度电场在细胞膜上形成孔道的技术，能够提高细胞对离子、DNA 及药物的通透性。 电场作用下，膜结构发生局部重排最终形成孔道。根据电场强度与持续时间，电穿孔过程可呈现可逆或不可逆特性：可逆状态下形成微小且暂时稳定的孔道，电场消除后孔道自然闭合；不可逆状态下孔道持续扩张直至局部撕裂膜结构，最终导致细胞死亡。

装载比色皿的电穿孔仪主要部件示意图。图片采用 CC BY-SA 3.0 许可，来自 Wikimedia Commons.

短时电穿孔脉冲因其可逆性（即电穿孔过程的可重复性）而备受关注。 研究表明，高强度纳秒级短脉冲能在细胞膜上形成纳米级孔隙，且对细胞的副作用极小。在这个与细胞膜弛豫时间相当的时间尺度下，还需考虑膜的介电色散现象——该效应通过使介电常数随频率变化（特别是频率升高时介电常数降低）来提升电穿孔效率。

在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟电穿孔

基于生物电解质中的离子与导体中的电子存在强烈类比，可将中性单价电解质溶液视为欧姆导体。在此近似条件下，可采用电解质的等效电学描述：电导率与离子浓度、化合价及迁移率成正比，而介电常数则取水的介电常数。

绝缘材料同样适用类似的类比。实际上，从电学角度看，细胞膜应视为具有有限介电常数且电导率或磁导率极低的静态绝缘层。该特性在细胞膜平衡状态下是成立的，但在电穿孔过程中，膜电导率会显著提升。经过电穿孔的膜不再表现为纯静态绝缘体，因其内部形成了有限的导电路径。这解释了为何电穿孔后细胞两侧的信息交换会变得更加容易。

基于此概念，可通过考虑两种电导率来描述电穿孔对细胞膜的影响：一种是始终存在的静态膜电导率，另一种是仅在电穿孔过程中才出现的随时间变化的膜电导率。文献中的模型对后者采用解析公式进行描述。

在本文的教程模型中，我们采用以下基于物理学的解析公式，其参数值取自参考文献 1：

其中， 为随时间和膜电压变化的孔隙密度生成项， 为孔隙电导率， 为孔隙半径， 项与孔隙入口长度及能量势垒成正比。

所采用的电学描述还因其适用于频域研究而具有优势。这一特性便于将材料的介电色散特性纳入模型。我们采用 Multipole Debye 色散模型，因其即可以计算膜与电解质的电学参数随频率的变化，又兼容稳态、时域及频域分析。

该模型描述如下：

其中， 为与频率相关的相对介电常数， 为高频极限下的相对介电常数，为第 m 项相对介电常数贡献项， 为对应第 m 项的弛豫时间， 为极点数。

这些色散材料参数取自参考文献 2–3。图 1 展示了细胞内液、细胞外液及原始膜材料的电导率和相对介电常数谱。

图 1. 细胞内溶液、细胞外溶液及原始膜材料的电导率与相对介电常数，这些参数取自现有文献。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，实现 Multipole Debye 色散材料模型仅需少量设置，如下图所示。

用于模拟细胞膜的电流守恒 节点设置（左）。色散 节点设置（右）。

仿真结果

现在我们来看模拟结果。 本节将展示跨膜电压、孔隙密度及膜电导率在频域与时域中的分布。首先，我们将分析系统对1 kHz 至 1 GHz 范围内 10 V 交流扰动的频率响应结果。随后，将展示系统对 t = 5 ns 处 650 V 高斯脉冲瞬态响应的一系列结果。

图 3a 展示了三种不同频率下的二维轴对称电势表面图及电场流线图。 在低频（1000 kHz，左侧图）下，细胞膜在直流激励下表现得像一个直流电容器，仅有较小信号耦合至细胞内部。在高频（1 GHz，右侧图）下，膜在交流激励下表现得像一个交流电容器，信号强烈耦合至细胞内域。中间的图展示了低频与高频之间的过渡状态。

图 3b 展示了位于细胞顶部某一点的跨膜电压模量与相位谱，这印证了图 3a 的研究结果。随着频率升高，更多信号耦合至细胞内部，细胞内外差异逐渐减小。1 GHz 处的反弹现象与膜以及电解质溶液的介电色散相关。

图 3a. 低频、中频和高频下的电势与电场流线图（左）。图 3b. 细胞顶部的跨膜电压模量和相位谱（右）。

图 4 展示了与图 3b 相同的量，但对应的是以 t = 5 ns 为中心，时长10 纳秒的高斯脉冲期间的三个时间点。这证实了纳秒级短脉冲能够再现高频交流激励的定性行为（图3a右侧图）。 此外，t=8 ns 时的解表明，膜仍然受到电穿孔的影响，其流线分布与电穿孔前 t=2 ns 时插图中的流线不同。

图 4. 高斯脉冲期间三个时间点处的跨膜电压模量与相位谱。

图 5 展示了位于细胞顶部某一点的膜电压、膜电导率和孔隙密度。由于电容性膜充电导致跨膜电压升高，引发孔隙密度呈指数级增长（右轴，对数刻度）。这转化为膜电导率的等比例增加，进而为外部膜边界上积累的电势向细胞内域创造了传导路径。因此，跨膜电压相较于无电穿孔情况有所降低。

图 5. 细胞顶部的膜电压、膜电导率与孔隙密度。

图 6a 展示了细胞边缘处三个时间点的膜电导率。在 5 纳秒前，膜电导率维持在一个较小的、接近静态的值；5 纳秒后，细胞两极的膜电导率显著上升，并在随后数纳秒内保持在较高值。 图 6b 与图 6a 类似，但显示的是跨膜电压。5 纳秒后，由于局部膜导电性增强，细胞两极的跨膜电压出现下降。

图 6a. 三个时间点处的膜电导率（左）。图6b. 六个时间点处的跨膜电压（右）。

图 7 展示了电穿孔脉冲峰值时刻的膜电导率。

图 7. 电穿孔峰值期间的膜电导率。

模拟结果表明，两极区域是电穿孔过程影响最显著的区域。

动手尝试

想亲自动手尝试对本文介绍的模型进行建模和仿真吗？点击下方按钮，进入案例下载页面即可下载相关模型：

参考文献

本教程模型所使用的参数值取自参考文献 1，经作者的研究团队（Laboratory of Biocybernetics, Department of Biomedical Engineering, Faculty of Electrical Engineering, University of Ljubljana, Slovenia）授权许可。同时也取自参考文献 2 和参考文献 3。模型的计算结果与参考文献 4 中所示的结果一致。

1. G. Pucihar, D. Miklavcic, and T. Kotnik, “A Time-Dependent Numerical Model of Transmembrane Voltage Inducement and Electroporation of Irregularly Shaped Cells,” IEEE Transactions on Biomedical Engineering, vol. 56, no. 5, pp. 1491–1501, 2009.
2. R. Buchner, G.T. Hefter, and P.M. May, “Dielectric Relaxation of Aqueous NaCl Solutions,” J. Phys. Chem. A, vol. 103, no. 1, pp. 1–9, 1999.
3. B. Klösgen, C. Reichle, S. Kohlsmann, and K.D. Kramer, “Dielectric Spectroscopy as a Sensor of Membrane Headgroup Mobility and Hydration,” J. Biophys, vol. 71, no. 6, pp. 325–3260, 1996.
4. E. Salimi, Nanosecond Pulse Electroporation of Biological Cells: The Effect of Membrane Dielectric Relaxation, master’s thesis, Dept. Electrical and Computer Eng., Univ. Manitoba, Winnipeg, 2011.

低温等离子体中的电子输运在很大程度上取决于电子能量分布函数（EEDF），该函数通常被近似为麦克斯韦分布，但实际上往往处于非平衡状态。将非平衡 电子能量分布函数 行为纳入空间相关模型通常需要预先计算多维查找表，或在模拟过程中对玻尔兹曼方程进行自洽求解。 本文介绍了一种更高效的替代方法：一种基于玻尔兹曼方程解训练的深度神经网络代理模型。这使得在流体近似等离子体模拟中能够准确耦合动力学效应，同时显著降低计算成本。

将动力学数据嵌入空间相关的流体动力学模型的方法

在冷等离子体中，电子传输特性和源项对电子能量分布函数高度敏感。为简单计算，通常会假设采用麦克斯韦分布或其他解析形式的电子能量分布函数。然而，在许多实际情况下，电子远离平衡状态，因此需要更精确地表示电子能量分布函数，以获得准确的模拟结果。

在低温等离子体中计算电子能量分布函数的一种常见且有效的方法是使用两项近似法求解玻尔兹曼方程。 这在博客玻尔兹曼方程，两项近似接口中已有介绍。然后，这些计算出的 电子能量分布函数可以导入到空间相关模型中。这种方法既高效又便捷，但也存在一个主要的局限性：由此得出的 EEDF 仅是电子平均能量的函数。 因此，无法捕捉到气体成分（摩尔分数）和电离度变化产生的差异。

等离子体模块是 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加产品模块，能够求解与空间和时间分辨率等离子体流体模型完全耦合的玻尔兹曼方程（采用两项近似）。正如在GEC ICP 反应器模型中所展示的那样，这种方法可自动考虑气体成分（包括激发态）、电离度和其他因素的变化。然而，这种全耦合方法也会带来更高的计算成本。

第三种方法是开发一种深度神经网络（DNN）代理模型，该模型通过使用两项近似法求解的玻尔兹曼方程生成的数据进行训练， DNN 训练完成后，可直接集成到与空间相关的等离子体模拟中，以接近玻尔兹曼方程的精度重现动力学效应。这种混合方法通过将动力学建模的精确性与流体模型的计算效率相结合，在精确性和性能之间取得了有效平衡。

为代理模型创建数据

第一步是建立一个与空间相关的等离子体模型，该模型可以通过解析EEDF很好地求解。在这个例子中，我们使用一个氩气的电感耦合等离子体反应器模型，在同一个 MPH 文件中，添加一个 0D 组件以及玻尔兹曼方程，两项近似 接口，该接口可生成构建代理模型所需的数据。

玻尔兹曼方程，两项近似 接口的设置界面。

在玻尔兹曼方程，两项近似接口和等离子体 接口中定义的电子碰撞反应保持一致性是很重要，但不一定需要完全相同。例如，求解玻尔兹曼方程时可能会用到一组详细的电子碰撞反应，而等离子体接口则可能包含一个简化的单一反应表示总电离过程。在本示例中，我们采用反应之间一对一的匹配方式。

接下来，添加一项新研究，计算训练代理模型所需的数据.。在这项研究中，包含一个 代理模型训练 节点。通过该节点可以选择训练设置并定义输出量（或关注量)。实际训练在 深度神经网络 节点中进行，该节点在运行研究后会自动生成。

对于代理模型训练节点，重要的是：

• 将代理模型类型设定为深度神经网络
• 设置深度神经网络的层数和激活函数
• 定义关注量，并对所有量使用配置研究相关输入
• 设置输入参数和采样策略

关注量与后续在空间相关等离子体模型中使用的代理模型输出量相对应。在本示例中，这些量包括所有电子碰撞反应速率常数、约化电子迁移率、约化有效碰撞频率以及场系数的函数。请注意，约化电子迁移率指的是用于面内电子传输的直流迁移率，而有效碰撞频率和场系数则有助于计算等离子体的电导率（详见参考文献 1) 。

输入参数的选择必须根据具体情况进行调整。在本例中，除了始终需要的电子平均能量参数化之外，我们还对电离度（Beta，定义为电子密度与气体密度的比值）和氩激发态的摩尔分数（xArs）进行了采样。为了有效捕捉这些输入对输出的影响，每个数量级只需几个采样点。我们通过对数域均匀采样来实现这一点。

代理模型训练节点的设置，显示了深度神经网络的层数和关注量。

代理模型训练节点的设置窗口截图，显示了 输入参数 部分。

训练深度神经网络

使用代理模型训练节点运行研究后，在 全局定义 下会自动创建一个 深度神经网络 节点。这就是 DNN 实际训练的地方。 在开始训练之前，需要做一些重要的调整。

在缩放选项下启用对数缩放对许多关注量来说至关重要，因为这些关注量通常会随着输入呈现近似指数级的增长。对这些输出应用对数缩放可有效平衡多个数量级的误差，提高训练性能。训练周期数选择 10,000 到 30,000 之间，以确保足够的训练量。

一旦配置好这些设置后，就可以单击训练模型 开始训练神经网络。

深度神经网络节点设置界面的截图，显示了 数据列 的设置。

评估关注量并可视化拟合质量

要可视化神经网络的输出，只需点击设置 窗口中的创建绘图 按钮即可。在本例中，我们希望生成以平均电子能量为函数的一维绘图。为此，请按照下图所示修改绘图参数部分的设置，然后单击创建绘图 。该操作将生成电子碰撞反应 4 的速率常数曲线，其中氩激发态摩尔分数和电离度均设为 10^-6。软件会自动创建一个一维栅格数据集，可用于进一步评估和绘制深度神经网络函数。

深度神经网络节点设置界面的截图，显示了 绘图参数 的设置。

每个关注量都可以使用由 代理模型训练节点中定义的函数名构成的函数名进行计算，并以 DNN 名称作为前缀。例如，电子碰撞反应 4 的速率常数可以通过以下方法进行计算：

dnn1_k_4( Argument_1 , Argument_2, Argument_3)

其中，Argument_1 , Argument_2 和 Argument_3 分别为氩激发态摩尔分数的对数值（log10）、 电离度的对数值（log10）和平均电子能量。

下图显示了通过玻尔兹曼方程，两项近似接口计算的数据与经过训练的神经网络对两个关注量（电子迁移率和电离速率系数）的相应评估结果的对比。这些结果是 xAsr = Beta = 10^⁻⁶、 10^⁻⁴ 和 10^⁻³ 三种工况下的平均电子能量的函数。作为参照，图中还包含了采用麦克斯韦 EEDF 假设计算得出的值。总体而言，神经网络在整个参数空间内都能很好地拟合计算数据。

如图所示，使用玻尔兹曼方程，两项近似接口计算出的量与使用麦克斯韦分布计算出的量存在显著差异，尤其是在大多数冷等离子体反应器运行的低能量区域。这不仅突显了精确计算 EEDF 的重要性，还说明了输运特性和反应速率在很多程度上与氩激发态摩尔分数和电离度的显著相关性。

在氩激发态摩尔分数和电离度分别为 10^⁻⁶、10^⁻⁴ 和 10^⁻³时，基态的电离速率系数与平均电子能量的函数关系。实线（蓝色、红色和绿色）代表代理模型的输出结果。符号（空心圆）代表使用 玻尔兹曼方程，两项近似 节点计算得到的数据。

在氩激发态摩尔分数和电离度分别为 10^⁻⁶、 10^⁻⁴ 和 10^⁻³时， 约化电子迁移率与平均电子能量的关系。实线（蓝色、红色和绿色）代表代理模型的输出结果，符号（空心圆）代表使用 玻尔兹曼方程，两项近似 节点计算得到的数据。

在空间相关模型中使用深度神经网络

要在空间相关的等离子体模型中使用深度神经网络，只需将其作为函数调用即可，就像使用任何用户定义的表达式一样，如下图所示。在本示例中，我们替换了所有电子碰撞速率常数、约化电子迁移率、有效碰撞频率和场系数。一个重要的注意事项是，在训练数据范围外的外推通常是不可靠的，不值得信赖。为防止出现这种情况，我们在参数扫描范围的边界设置硬限制，表达式如下:

betaSpace = log10(if(betaVar> Lmax, Lmax, if(betaVar < Lmin, Lmin, betaVar)))

xArsSpace = log10(if(plas.x_wArs > Lmax, Lmax, if(plas.x_wArs < Lmin, Lmin, plas.x_wArs)))

where Lmin = 1e-6 and Lmax = 1e-3.

深度神经网络的输出，用于设定基态电离速率常数。该速率常数是氩激发态摩尔分数、电离度和平均电子能量的函数。

将深度神经网络代理模型应用于电感耦合等离子体反应器

在这个特定案例中，模型结果之间的差异虽然可察觉但相对细微。这是因为，在等离子体主体区域中，高电离度往往会使电子能量分布函数趋向于麦克斯韦分布形状，如下图所示。最显著的差异出现在电子温度和氩激发态数密度上。

使用麦克斯韦电子能量分布函数计算的电子温度（下图）和使用代理模型计算的电子温度（上图）。

使用麦克斯韦电子能量分布函数（下图）和代理模型（上图）计算的氩激发态数密度。

采用麦克斯韦电子能量分布函数时，电离过程更容易维持，从而使放电保持在较低的电子温度下。 然而，在电离度较低的运行条件下，麦克斯韦假设很可能导致结果与实际情况出现较大偏差。在这种情况下，使用更精确的电子能量分布函数对于可靠的建模而言就变得至关重要。

使用 DNN 和瞬态求解器的 ICP 模型，其计算时间约为 10 分钟。相比之下，求解两项近似玻尔兹曼方程与等离子体流体模型完全耦合大约需要一个小时。这凸显了将DNN融入等离子体流体模型以引入动力学效应的显著优势。即使将创建数据和训练 DNN 所需的时间考虑在内，其优势依然十分明显。这是因为 DNN 可在各种应用中重复使用，从而有效地分摊了时间成本。在本文所介绍的模型中，我们通过使用由解析电子能量分布函数模型结果初始化的稳态求解器，从而进一步降低了计算成本。这种方法对于稳态求解非常高效，计算时间仅需几秒钟。

下一步

若您希望尝试使用本文中介绍的示例模型，请单击下面的按钮进入案例下载页面，下载该模型的 MPH 文件。

参考文献

1. G.J.M. Hagelaar and L.C. Pitchford, “Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models,” Plasma Sources Science and Technology, vol. 14, pp. 722–733, 2005

更多资源

• 使用 COMSOL Multiphysics 模拟等离子体化学
• 玻尔兹曼方程，两项近似接口
• 代理模型简介