低频电磁学 – COMSOL 博客

温度相关磁性材料的感应加热建模仿真

Walter Frei — Wed, 29 Apr 2026 03:19:38 +0000

在感应加热领域，一项主要的挑战在于对被加热材料的非线性特性进行建模仿真。所有材料的特性都会随温度呈现非线性变化，而磁性材料还会随磁场变化表现出非线性。想要保证仿真的准确性，就必须将这些非线性特性纳入模拟中。本文，我们将介绍一种十分便捷的处理方法，即借助 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品 —— AC/DC模块中内置的 磁场公式 物理场接口即可实现相关模拟。

为何感应加热是建模仿真难题？

感应加热在材料加工领域应用广泛，其优势主要包括以下几点：

工件采用间接方式进行加热。
受加热影响的区域可以深入材料内部。
通过改变驱动电流的大小和频率，可以非常精确地控制随时间变化的加热曲线。

不过，在感应加热实践中，要想实现对加热过程的精准控制，就需要配备相应的过程反馈回路和实验验证。理想情况下，这个回路还应结合一个融入了实验数据的数值模型，以预测温度随时间的变化趋势。数值模型之所以特别有用，正是因为它能够预测那些在实验中无法直接测量的区域的情况。

从实际应用的角度来看，数值建模确实存在不少挑战。首先，需要高质量的输入数据，既要准确描述工件和感应加热线圈的几何结构，也要掌握驱动电流及频率相关参数。除此之外，还需要明确材料属性及其变化规律。

所有材料属性都会随温度变化。由于感应加热通常会将工件从室温一直加热到接近熔点的温度，因此这些非线性因素绝对不能忽略。一般来说，金属的电导率和热导率会随着温度的升高而下降，但也并不总是如此。

不同温度下的典型B-H曲线。当温度高于居里温度时，曲线的斜率等于真空磁导率。

此外，还有一类材料，具体来说是软磁材料，它们的磁导率会随磁场呈现非线性变化，但其磁滞效应可忽略不计。这类材料可以通过实验测得的 B-H 曲线来表征，该曲线描述了磁场强度（场）与磁感应强度（场）数值之间的关系。B-H 曲线同样会随温度发生变化，其幅值会随着温度升高逐渐降低，直到达到居里温度，此时材料会丧失磁性。尽管这类曲线的形状通常与上图展示的非常相似，但实际的实验数据往往很难获取，这也成为构建数值模型过程中的最大阻碍。

搭建模型：一些概念性前提

感应加热过程通常至少持续数秒，其激励频率的范围却很广，低至 50 Hz 到高达 450 kHz 甚至更高。这意味着该问题存在两种时间尺度。相对于一个振荡周期而言，温度场的变化可以被认为是极其缓慢的。换句话说，电磁场在一个周期内“感知”不到温度的变化。基于这一特性，促使我们采用一种被称为频域-瞬态 的研究方法，即在频域内求解电磁场，而在时域内求解热问题。

电磁场确实会被重新计算，但仅在材料属性随温度发生变化时才会执行。频域分析的明确前提是：材料属性在一个周期内是恒定不变的。然而在实际中，电磁场在单个周期内通常会发生非线性变化。我们一般都力求以最快速度加热材料，这意味着激励电流和由此产生的磁场会将材料驱动到 B-H 曲线的非线性区域。

为了解决这一明显矛盾，我们引入“有效 B-H 曲线”这一概念，它采用一种基于能量的方法拟合出一条可近似表征非线性特性的曲线。这些曲线可基于实验测得的 B-H 曲线作为起点来计算得出。具体工作流程是：首先获取 B-H 数据，使用B–H 曲线检查器对其进行清理，然后利用平滑后的数据在有效 B–H 曲线计算器中进行计算。

结合上述概念，你目前应当已获取至少三组工件材料的数据：

温度
非线性电导率与热导率
每种受热材料在不同温度下对应的一组有效磁化曲线

若要建立完整的热学模型，还需要获取材料的密度、比热容以及表面热发射率，因为我们至少要考虑辐射散热这一因素。比热容通常会随温度发生变化，而密度则始终保持恒定——体积上的任何变化，都需要通过额外求解固体材料的热膨胀来进行模拟。在接下来的示例中，表面发射率设定为恒定值，不过在实际应用场景中，该数值可能发生变化。

感应线圈几乎均为水冷铜管，由于其温度保持恒定，建模难度大幅降低。我们通常无需关注线圈内部的热量分布，只需要明确线圈中的电流如何对工件进行加热。基于此，可采用 阻抗边界条件 仅对线圈表面建模，这种简化的建模方式无需对线圈内部区域划分网格。如果有需要，也可以对线圈整体区域进行完整建模。

另一方面，工件必须始终以体单元形式建模，因为无法通过面边界条件精准模拟其物性变化。此外，各类场量通常在表面法向方向上变化剧烈，而在切向方向上变化平缓，这也是采用边界层网格的原因。进行三维建模分析时，还可在模型表面划分分层结构，以此对几何模型进行分割，提升计算效果。

补充说明：采用解析方程求解有效 B–H 曲线

虽然实验数据代表的是最真实的情况，但想要高精度获取这类数据并非易事，在较宽泛的温度范围内开展相关工作时更是如此。因此，研究人员有时会采用形式更简洁的 B-H 曲线表达式，尤其是借助这类表达式能够进一步推导出有效 B-H 曲线的解析公式时。

有两个简便的表达式，可以将场的大小，，表示为场大小的函数，具体如下：

B\left( H \right) = \mu_0 H + B_{sat} \tanh\left( H /H_0 \right)

B\left( H \right) = \mu_0 H + B_{sat} \left( 1 – \exp \left( H /H_0 \right) \right)

二者具有相同的极限特性：在低磁场下，曲线斜率（即微分相对磁导率）为，而在强磁场极限条件下，斜率为，与真空环境下的数值一致。饱和磁通密度为，是指曲线斜率趋近于真空极限值时对应的状态点。

借助该公式，我们可以轻松引入温度相关性，以此模拟材料趋近居里温度时的特性。当温度高于居里温度时，可将材料近似视为无磁性材料。具体做法是将饱和磁通密度设置为温度的函数，该函数形式不限，只需保证在温度超过居里温度时数值降至零。这类函数通常呈单调递减趋势，因此我们可以采用下图所示的曲线形式，即在达到居里温度前按多项式规律递减。该曲线可通过 COMSOL^® 中的分段函数进行定义，同时可添加平滑项以保障数值计算的稳定性。

对磁性随温度变化的近似处理，在居里温度附近的小范围内进行了平滑处理。

借助这些公式，我们现在可以采用 简易能量 法推导出有效 B–H 曲线的解析表达式。其中：

B_{eff}\left( H, T\right) = \frac{2}{H} \int_0^H B\left( H,T \right) dH

将上文的两个表达式代入后可得到：

B_{eff}\left( H,T \right) = \left( 2/H \right)\left( {\frac{1}{2} \mu_0 H^2 + B_{sat}\left( T \right) H_0 \log\left( \cosh \left( H /H_0 \right) \right) \right)

B_{eff}\left( H,T \right) = \left( 2/H \right)\left( {\frac{1}{2} \mu_0 H^2 + B_{sat}\left( T \right) \left( H + H_0 \exp \left( -H /H_0 \right) \right) \right)

请注意，我们也可以为参数引入温度相关特性，从而改变 B–H 曲线的幅值与斜率。需要强调的是，以上内容仅作为简便近似方法给出，你也可以选用其他函数以及有效 B–H 曲线计算公式重新推导。在缺乏高质量实验数据的情况下，这些方法可作为建模的合理切入点。

采用磁场公式建模

本文探讨的示例，是采用三匝线圈来加热一个钢制方管。我们假定线圈节距对计算结果影响较小，并基于该假设利用工件与线圈的对称性来缩减模型规模。

三匝感应线圈绕在一段方形钢管上（左），可等效为工件及其外围自由空间的十六分之一模型（右）。

我们这里采用的是 磁场公式 接口建模方法，该接口直接求解场。这个方法更适合对于非线性特性明显依赖于磁场本身的材料。我们之前已经介绍过如何在该公式中引入激励，接下来将借助全局约束来限定线圈上的驱动电流。

在输入材料非线性时，针对有效 B-H 材料关系，可以通过避开对磁场进行符号微分来降低计算成本。这可以通过使用 nojac () 算子来实现。尽管这种做法偶尔可能会增加求解器的迭代次数，但每次迭代所需的时间和内存都会减少，从而在整体上提升计算效率。请注意，无论你是使用前文推导出的解析表达式，还是使用表格数据，这一结论都适用。

求解方法使用的是频域-瞬态求解器，对于三维模型，此求解器默认采用分离式求解方法。H 场是使用直接求解器来求解的，如果你配备了合适的显卡，这里非常适合尝试一下全新的 NVIDIA CUDA^® 直接稀疏求解器 (NVIDIA CuDSS) 。

下方动画展示了相关计算结果，并显示了温度升高的影响。随着材料受热，有效相对磁导率会发生变化，当温度超过居里温度时，该数值最终会降至 1。

受场强与温度影响的有效相对磁导率随时间变化的动画。

关于网格划分，你可以结合最大工作频率、电导率以及最大有效磁导率来计算最小集肤深度。除此之外，还可以尝试不同的单元阶数，不过在处理强非线性材料时，通常优先选用线性阶单元。

三维模型的计算成本通常会很高，因此利用对称性对模型进行简化一直是我们推荐的做法。在此基础上，往往还可以将模型进一步简化为二维模型。这类模型实用性极强，能够为三维模型制定高效的网格划分方案提供参考。

二维模型通常能以低得多的计算成本，对三维模型做出合理近似，并将二维计算结果映射到对应的三维表面上。

二维与三维模型的结果对比。

构建二维模型的重要性再怎么强调也不为过。这类模型通常能够很好地预估三维求解结果，同时也更便于研究网格划分、求解器以及离散化方案。在对这类模型进行拓展时，往往还需要纳入更多物理场分析，例如求解力学性能问题：圆柱销的感应淬火。

结束语

我们通过本文展示了，利用磁场公式法，能够便捷地建模并求解同时随磁场与温度呈现非线性特性的材料感应加热问题。相较于其他方法，该公式法稳健性更佳，因此收敛速度更快，在非线性特征显著的应用场景下优势尤为突出。

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基于磁场公式的激励仿真

Walter Frei — Mon, 27 Apr 2026 05:22:15 +0000

在使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加模块 —— AC/DC模块进行建模仿真时，共有五个物理场接口可用于模拟时变磁场与感应效应。每个接口求解不同形式的麦克斯韦方程组，且具备各自独特的建模优势。本文将深入介绍其中的磁场公式（MFH）接口，并讲解如何利用该接口对感应现象进行建模分析。

不同公式概览

AC/DC 模块中可用于求解时变磁场的五种接口如下：

磁场接口
磁场和电场 接口
磁场，仅电流 接口
旋转机械，磁 接口
磁场公式 接口

这其中的第一个磁场接口，是目前应用最广泛的接口，也是大多数感应仿真建模的核心工具。该接口可求解磁矢势（即场），并提供多种便捷的结构激励方式，包括：集总端口边界条件、线圈域条件以及背景场激励。绝大多数仿真用户实际建模时都会、也理应从这一接口开始搭建模型。

接下来，磁场和电场 接口会同时求解场和电势（即场），这构成了– 耦合公式，同时引入了额外的计算复杂度。这种额外的计算成本主要在以下两种场景下具备合理性：

求解磁流体动力学模型
在工频（line frequencies）下求解时，此时你需要非常精确地模拟电介质内部以及界面处的损耗

而 磁场，仅电流 接口则仅适用于不存在磁性材料的情况。它主要用于计算部分电感，同时也可以求解场，但采用的是拉格朗日单元而非旋度旋度单元，因此计算成本更低。

顾名思义，旋转机械，磁 接口是专门用于对电机和发电机进行建模的。这种公式通过求解磁矢势、磁标势（即场），实现各部件之间的相对旋转与运动，但这也会带来额外的计算成本和复杂度。如需入门学习，可参考我们的电机教程系列。

这些公式均由麦克斯韦方程组推导得出，且都用于求解场，既可以单独求解该场量，也可以结合其他场量进行求解。与之形成对比的是磁场公式接口，该接口同样源自麦克斯韦方程组，但它求解的是磁场（即场），其在时域中的具体形式如下：

\nabla \times \left( \frac{1}{\sigma } \nabla \times \mathbf{H} \right) = \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

在频域中的形式如下：

\nabla \times \left( \left( \sigma + j \omega \epsilon_0 \epsilon_r \right)^{-1} \nabla \times \mathbf{H} \right) = j \omega \mathbf{B}

这些方程的解同样也是麦克斯韦方程组的解，那我们为何要采用这种方式，而不采用场公式呢？原因至少有两点：

在处理非线性材料时，该公式既可以引入特定类型的非线性特性——比如超导体中产生的电流非线性；同时也提供了更简便的方式来输入与磁场相关的非线性特性。
场公式允许采用多种不同的系统激励方式。根据建模需求，可简化模型设置过程。

接下来，我们将在频域建模的背景下，对第二点进行更详细的探讨。我们要介绍的大多数频域激励方式同样也适用于时域，当然也会有少数例外情况，到时候我们会专门指出来。

理解常见的边界条件

磁场公式 接口，或场接口，包含四项边界条件。这些边界条件与场公式共用且物理释义完全一致：

磁绝缘 边界条件：这通常被理解为理想导电材料的边界。如需了解该条件的其他多种解读方式，可参阅我们学习中心的相关文章：“理解磁绝缘边界条件”。
理想磁导体 边界条件：该条件主要可解释为非导电介质的边界条件，或是一种对称条件。更多详情请参阅我们的博客文章：“利用对称性简化磁场建模”。
周期性 边界条件：该条件会施加周期性约束，适用于带扭转结构等场景（如海底电缆）。
阻抗边界条件：该条件用于模拟与建模空间相邻的有损材料。它属于频域条件，仅适用于趋肤深度远小于部件尺寸的场景。更多详情请参阅我们学习中心的文章： “电磁场中导体的网格划分与几何建模的方案介绍”。

这些边界条件本身并不会产生激励效应，但它们可以构成螺线管电流通路的一部分，而该通路是构建可求解模型所必需的。也就是说，即便这些条件不会激发电流，也能够定义电流可以流通的路径。

理解磁场公式接口专用的激励边界条件

可用于施加激励、且为磁场公式 接口所特有的三类边界条件如下：

切向磁场 边界条件：用于施加非齐次狄利克雷边界条件。
切向电场 边界条件：引入了非齐次诺伊曼边界条件。
表面磁流密度 边界条件：这同样是一种非齐次诺伊曼边界条件，但可以使电场在模型区域的内部边界处产生跃变。

顾名思义，这些边界条件涉及所施加边界上场的切向分量。若入射场完全垂直于边界，其贡献等效为零。也就是说，切向磁场 边界条件在切向分量为零时，等同于理想磁导体 边界条件；而 切向电场 边界条件在无切向分量时，则退化为 磁绝缘 边界条件。只有当电场或磁场存在平行于边界的切向分量时，这类边界条件才能对系统产生激励作用。

为帮助深入理解这些激发现象，我们将采用同轴电缆模型作为示例进行分析。需要说明的是，尽管同轴电缆看似结构简单，但它或许是学习电磁学的最佳方式之一，尤其是电场和磁场随半径变化均存在解析解：

E(r) = \frac{V_0}{\ln\left(\frac{r_{outer}}{r_{inner}}\right)r}

H(r) = \frac{I_0}{2 \pi r}

电场沿径向向外指向，磁场绕中心做环形分布。我们将首先利用这些表达式来激励模型，并以此为基础继续后续的推导。

引入切向电场下的电势差

首先，我们在模型一端的内外导体之间施加一个电势差，并将另一端短路。远端的短路是通过磁绝缘 边界条件来设置的，而同轴电缆外部的绝缘空间则采用 理想磁导体 边界条件来进行建模。为了施加电势差，我们在末端的横截面上应用 切向电场 边界条件，将导体内部的电场设为零，并使用上述方程来定义电介质环形面上的电场分布。

结果如下图所示。电流流经内导体和外导体，在工作频率下，体积损耗分布图中可以明显看出趋肤效应。电场、磁场以及功率流的矢量分布图，都与我们预期中同轴电缆短路段的表现相符。功率主要沿着电缆的轴线方向传输，并沿长度方向均匀地耗散为热能。远端的短路意味着那里的电场为零。

同轴电缆一端施加电场激励、另一端短路，左侧为发热分布图，右侧为电场（红色）、磁场（绿色）以及功率流（蓝色）分布图。

请注意，虽然电介质内部的损耗很小，但并不为零。这是因为场公式在所有计算域中都需要设置一个非零电导率，除非在极高频率下进行频域求解（此时位移电流占据主导作用）。该电导率通常被称作数值稳定项。采用直接求解器可将该稳定电导率设置得非常小。本文采用特定的电导率表达式，使绝缘体中的趋肤深度约为计算域尺寸的 1000 倍。此外，对于包含数值上不可忽略的感应效应的模型，无需进行规范固定，绝大多数时域和频域仿真场景均属于此类情况。

需要着重说明的是，尽管同轴电缆属于传输线的一种，但该模型中不存在功率传输过程。恒定电场会输入能量，且所有能量都会在建模空间内完全耗散为热能，既无能量传输也无能量反射。若要引入相关传输与反射特性，我们将介绍下一种边界条件类型。

使用表面磁流密度边界条件

为了给同轴电缆两端的非建模空间设置边界，我们需要引入阻抗这一概念 —— 即电场与磁场之间的关联关系。在同轴电缆内部，其阻抗为：

Z_{coax}=\frac{Z_0}{\sqrt{\epsilon_r}}

据此我们可以定义表面磁流密度为：

\mathbf{J}_{ms}= Z_{coax}\mathbf{H}_t

其中，为场沿边界的切向分量。这一边界条件可用于对线缆两端的阻抗进行建模。我们可以在此基础上进一步拓展，同时引入源项：

\mathbf{J}_{ms}= Z_{coax}\mathbf{H}_t+2\left( \mathbf{n \times E}_0 \right)

系数为二的原因在于，源项会同时激发向建模区域内部传播的信号以及向边界处传播的信号。该二倍系数的前提是建模空间的阻抗与边界所表征的传输线阻抗相匹配，因此任何阻抗失配都会产生一定的反射现象。这一特性与电缆型集总端口边界条件有一定相似性。不过，磁场接口中的 集总端口 边界条件通过面电流进行激励，而 磁场公式 接口则通过电场进行激励，因此二者并非完全等效。需要注意的是，表面磁流密度 边界条件会与其他诺伊曼条件共同作用，因此可通过单独的特征设置，将源项作用于阻抗匹配项中。

两端阻抗匹配、单端激励的同轴电缆，其发热分布（左侧）以及电场、磁场与功率流分布（右侧）示意图。

从上述图中可以看出，功率正在通过电缆传输，因此我们目前得到了一个双端口器件模型。但需要着重说明的是，场公式仅在频域形式下包含位移电流的贡献。时域形式仅考虑感应电流与传导电流，因此它不属于全波公式，而是 准静态 公式。若需要对瞬态波动现象进行建模，可使用 电磁波，瞬态 接口，一个场公式，相关方法可参考学习中心文章: “模拟电容放电”。

然而，有时我们并不关心功率流向，只关注导体内部的损耗。例如在同轴电缆中，大部分损耗都集中在内导体上，因此我们可能只需要分析内导体，而忽略外导体的损耗。我们也常常需要假定电流为恒定值。针对这种情况，我们会采用最后一种边界条件，即 切向磁场 边界条件。

使用切向磁场施加电流

回顾我们推导出的磁场解析表达式可以发现，我们能够精确确定内、外导体之间的磁场分布，且该表达式适用于同轴圆柱的切向磁场分量。基于此，我们可将模型简化为内导体外围的圆柱形空间，并在其外表面施加 切向磁场 边界条件。从物理概念层面来讲，这等同于施加切向面电流密度，因此我们将其与上下端面的 磁绝缘 边界条件配合使用，从而形成穿过内导体的螺线管式电流通路。通过在外部施加磁场，可在导体内感应出电流。不过在使用该方法时需要稍加留意，因为这会产生一个特殊的物理效应。

在外部施加特定切向磁场激励下的同轴线中的表面电流与发热分布图（左），电场磁场及功率流分布图（右）。激励边界处的网格与外加切向磁场所对应的电流流向保持一致。

我们所施加的磁场是精准的，但施加磁场所依托的有限元网格，对圆柱体的几何形态描述存在缺陷。几何离散化误差始终无法完全避免，这会导致有限元空间中的建模几何体出现尖角与锐边。这些结构会产生局部奇异点，进而造成边界附近的场量呈现出明显的杂波扰动。通过让网格与电流流向保持一致，便可规避这一问题，如上图所示。

该方法还有另一个值得注意的特性。从曲线图中可以看出，此时电场与电缆轴线保持平行，不再在内、外导体之间传播，且功率流向朝向中心向内。这是一种完全不同类型的激励方式，也有观点认为这类激励在物理上无法实现。但从导体内部的电流分布、磁场分布以及发热情况来看，该方法仍是一种实用的建模手段。

至此，我们已经探讨了三种不同的结构激励方式。简要总结如下：

切向电场 边界条件可用于在器件的导体之间施加电势差。
表面磁流密度边界条件可对带有指定阻抗以及电势源项的边界进行建模。
切向磁场 边界条件可用于施加已知电流。

虽然我们此处研究的是简单的几何结构，但只要牢记以下要点，完全可以将相同的方法应用到更复杂的结构上：

应在 TEM 型传输线的横截面处，或模型中可合理引入无旋场假设的某一区域，对电场进行指定。
位移电流在频域中被考虑，而在时域中不予考虑。
磁场激励边界具有不同的物理释义，但在发热效果上结果等效，且需要进行精细网格划分。

接下来，我们将介绍另外两种对此类模型进行激励的方式，这两种方式是场公式所独有的。

对闭合路径内的电流施加约束

COMSOL Multiphysics^® 仿真架构的核心功能之一，是能够自动解析用户界面（UI）中输入的符号表达式。这不仅包含符号微分运算，还可拓展至约束消去运算。尽管完整地阐释其工作原理超出了本文范畴，但我们将介绍如何在用户界面中实现该功能。

回到此前仅包含同轴电缆内导体与外围电介质的模型，现在在内导体的中点位置引入一条棱边。我们需要设定特定总电流沿导体流动的边界条件，根据安培定律可知，磁场沿闭合路径的线积分等于穿过该路径所围面积的电流：

\mu_0 I = \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}

或者，对于非磁性材料：

I = \oint \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}

我们可以借助积分耦合来计算电流，再利用 全局约束功能设定条件，使该积分值等于目标电流。后续其余所有计算均可由 COMSOL^® 自动完成，我们可直接查看求解结果。

磁场公式 接口中 全局约束功能的截图，该功能通过对一系列边进行环路积分计算，强制约束电流方向。

同轴电缆受回路电流全局约束激励下，发热分布图（左侧）、电场磁场及功率流向图（右侧）。

可以观察到，当前的电流分布与发热分布和之前的模型吻合，磁场也与理论解析预期一致。然而，电场与功率流向的结果仍需我们审慎看待。功率流向表明模型边缘表现为一种内部线源，但这种情况在物理上无法实现，因此对应的电场不具备实际物理意义。尽管如此，该模型得到的电流分布及温升结果仍具备可用价值。同时可以注意到，激励边缘周边的温升分布变化平缓。

该方法的优势在于，能够在任意结构中激励出电流，无需在仿真域的边界设置任何激励源。也就是说，我们可以在仿真域内部完整激励出闭合导电回路，也可以在不同导体中分别激励出不同电流。

耦合磁场公式与磁场，无电流接口

我们将要介绍的最后一种激励方式需要用到另一个物理场接口——磁场，无电流 接口。该接口用于求解磁标势（即场），顾名思义，它在传统意义上适用于对无电流存在的系统进行建模仿真。

然而事实表明，当与场公式结合使用时，场接口可借助 磁标势不连续性 边界条件引入激励。该边界条件必须施加在表征闭合电流回路横截面的边界上。电流既可以在采用场建模的导电域体积内流动，也可沿场接口的 磁绝缘 边界隐性流动。

采用–方法激励的同轴电缆示意图。磁标势不连续性边界（绿色）激励电流沿涡旋路径流经两个导电区域（灰色），该部分采用场公式进行建模；同时电流沿建模域顶部和底部的磁绝缘 边界（黄色）流动。箭头直观展示了电流环绕激励边界形成的回路走向。

– 公式的自由度数少于场公式，但计算成本可能更高，这是因为所得系统矩阵为非对称矩阵，通常需要采用直接求解器。该公式在概念层面、有时在几何层面均较为复杂。其优势在于可将自由空间区域建模为零损耗区域，但这些区域之间不存在电容耦合。实际上，在非导电区域中仅求解磁场，因此电场以及对应的功率流均无定义，仅能提取导体内部的磁场、电流及损耗参数。

采用 – 公式建模的同轴电缆的发热分布图（左侧）与磁场分布图（右侧）。

其他可能性简要概述

采用场公式构建的这类激励方法可处理的低频感应建模类型，其复杂程度近乎无穷。需要着重强调的是，能够用这些方法实现并不代表就理应采用这些方法。这类问题非常需要结合具体工况逐一判定。尽管如此，下面简要列举几个可运用这类方法的其他应用实例。

扭转电缆单元模拟

周期性 边界条件可施加在几何形状相同但彼此存在扭转错位的面上。该边界条件在扭转海底电缆案例模型中得到了演示，并且可以与通过全局约束激励电流的方法结合使用。

一个扭转三相电缆的四分之一区段的单元模型。该建模区段的仿真结果可沿电缆长度方向周期性排布，以展示发热分布与磁场分布。

模拟对称线圈

在利用对称性进行建模仿真时，在磁场接口中采用集总端口激励通常并不实用，一般需改用线圈域条件。该方式在高频场景下存在弊端，原因是线圈的趋肤深度需要进行极其精细的网格剖分。若改用 磁场公式 接口，可通过阻抗边界条件对驱动线圈建模，并借助全局约束法施加电流。

采用场公式（左）与场公式（右）建立感应加热材料坯料的对称模型。两种方式下的沉积热量高度相近。

模拟交流电磁场中的实心导电部件

当导电部件处于交变（AC）磁场中时，材料内部会产生感应电流。只要该部件不存在能够阻隔部分磁场的孔洞，就可采用耦合 – 公式对此进行建模分析。同时有严格要求：导电材料不得构成闭合回路。

采用 – 公式时，所得系统矩阵为非对称矩阵，因此尽管自由度数量更少，但其计算成本的增长速度，仍会高于在全域采用场或场公式的情况。故而该公式仅适用于部件体积占整体建模体积比例极小的场景。

一段螺旋状导线暴露在交变磁场中。注意该导线未构成闭合回路。在导线内部对场进行求解，并通过施加在周边空间求解出场上的边界条件实现激励。

结束语

本文展示了几种激励H场公式以求解感应类问题的方法，当然这些技术还有更多变体形式。虽然上述算例均在频域中求解，但在遵循前文所述注意事项的前提下，这些方法同样适用于时域分析。掌握这些方法后，我们便可借助 AC/DC 模块进一步探究电磁建模的各类应用可能。

还需注意，这些示例模型很多都是通过直接求解器完成求解的。值得一提的是，COMSOL® 6.4 版本中内置的 NVIDIA CUDA^® 直接稀疏求解器（NVIDIA cuDSS），能够以前所未有的更短的时间处理规模越来越大的复杂仿真问题。

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NVIDIA 和 CUDA 是英伟达公司在美国和 /或其他国家的商标和 /或注册商标。

仿真开启核聚变能源商业化之路

Joseph Carew — Wed, 26 Jun 2024 09:19:56 +0000

长久以来，核聚变能源因可以提供无污染和规模化的商业用电而备受关注。联邦聚变系统公司（CFS）是从麻省理工学院（MIT）独立出来的一家聚变能源初创公司，它已经证明了高温超导（HTS）磁体和高场托卡马克在聚变设备中的应用前景。尽管已经取得了这些进展，但要制造出能够产生核聚变能源并能被推广应用的托卡马克装置，仍然面临诸多挑战。为了解决这个难题，CFS 公司选择多物理场仿真来探究材料的局限性，并为其未来的高场托卡马克设计提供依据。

释放托卡马克的能量：微型核聚变技术

托卡马克装置通过增大体积和/或利用更高的磁场来实现更高的聚变增益，即它产生的核聚变能量与其运行所需的能量之比。然而，长期以来超导磁体技术限制了托卡马克利用更高的磁场的能力，因此研发人员不得不建造出如国际热核实验反应堆（ITER）这样的巨型装置，来实现更高的聚变增益。CFS 与 MIT 共同探索了一种由铜磁体和更高的磁场组成的 Alcator 托卡马克。然而，这些托卡马克只是将尺寸问题换成了铜的限制，因为铜是一种阻性材料，其运行所消耗的能量比之前的设计要高得多。因此，“这种方案并不是经济可行的核聚变能源”，CFS 联合创始人兼核聚变技术研究员 Dan Brunner 在 COMSOL 核聚变主题日的主题演讲中解释说。

之后，CFS 联合 MIT 设计了一个高场托卡马克，该装置可以利用更高的磁场，而且不会受到之前设计存在的尺寸问题或材料限制，这要归功于高温超导材料的使用。为了实现这个目标，他们建造并使用了一个性能完整、近乎全尺寸的高温超导磁体。目前，CFS 正致力于研究 SPARC 项目，这是一个概念验证性的托卡马克装置，目标是实现净聚变增益。除此之外，CFS 还计划在 2030 年代初建造一座旨在将核聚变能纳入电网的发电厂（ARC）。在实现这一目标之前，CFS 将继续借助仿真加深对 SPARC 的理解。

Brunner 说：“现在，我们可以设想一条不同的道路，不必像从前那样不得不从大变到更大，而是仅稍微变大并能利用更高的磁场来建造一个可行的核聚变反应堆。”

图 1 CFS 的 ARC 核聚变装置的预期时间轴。图片由 CFS 提供。

借助仿真应对核聚变挑战

虽然托卡马克仿真是一项众所周知的挑战性项目，但 CFS 仍成功使用 COMSOL Multiphysics^® 软件实现了对其设计的系统化拆解、内部作用力模拟，以及对复杂物理现象的深入观察。

计算冷却液和冷却系统

超导体需要维持在超低温状态下才能正常工作，否则可能会发生失超现象。然而，这些超导体必须在 SPARC 内部正在进行的核聚变所产生的、几乎难以想象的高强度能量源附近工作，这使其成为一项挑战。CFS 公司希望借助仿真技术来模拟和测试可能的解决方案。Brunner 介绍说：“因为有许多不同的能量源可以进入超导体，所以冷却至关重要。需要让制冷剂在超导体中流动，以使其保持在工作温度范围内。”

图 2 SPARC 内部的电缆装载着流动的制冷剂，以保持超导体的温度。图片由 CFS 提供。

Brunner 及其团队模拟了三种最常见的制冷剂（氢、氦和氖）在 SPARC 中的温度范围，并观察了传热模拟的输出结果。从这些数据中，Brunner 团队能够探索他们可能使用的不同类型的冷却系统的优缺点，而无需让任何超导体或其他材料承受不必要的风险。

图 3 聚变产生的热量会将大量能量注入电缆中，并有可能使超导体失效。这就凸显了测试不同制冷剂的必要性。图片由 CFS 提供。

在合适的条件下测量材料强度

除了冷却之外，仿真在提供 SPARC 中材料所受力的信息方面也发挥了重要作用。通常，高场托卡马克会使其结构经受极端工况，对于高温超导设计来说尤其如此，因为它的磁场极强。结构承受的应力与磁场的平方成正比，因此整个装置材料承受巨大的应变。超导体及其固有的低应变极限进一步凸显了通过仿真测量预期受力的必要性。

电流与磁场在线圈上相交产生的力是结构必须能够承受的。CFS 发现，他们的多物理场模型能够计算不同合金在低温（约 20 K）条件下的强度和刚度极限，从而为 SPARC 的未来设计提供依据。通过模拟这些装置将要承受的力，CFS 可以确定其设计必须能够承受的明确应力和应变极限。

管理真空容器中的作用力

CFS 还使用仿真来优化 SPARC 的几何设计，以降低其真空容器中的峰值应力和温度。一般来说，真空腔的设计由巨大的瞬态力决定，而这正是仿真发挥作用的地方。真空腔面向等离子体的一侧必须经过工程设计，以从托卡马克内部的聚变等离子体中吸收极大（约 10 MW/m² ）的热通量。

图 4 CFS 即将建造的概念验证性托卡马克 SPARC。

环电流在等离子体内部流过用于保持其稳定性，在某些情况下，电流控制可能会失效，进而引发中断故障。这些故障会产生巨大的力，因此需要在总体设计中加以考虑。CFS进行了瞬态电场和磁场模拟，以确保其所采用的材料能够应对这些干扰。

在这部分演讲中，Brunner 讨论了麻省理工学院在进行高级偏滤器实验（ADX）期间开展的多项仿真研究。ADX 实验采用的真空腔设计是 CFS 公司目前托卡马克设计的前身，其中 COMSOL Multiphysics^® 被用于研究真空腔设计中的瞬态磁场以及由此产生的力、应力和位移。(点击此处了解更多相关信息）。

图 5 上图为 ADX 结构模型的几何结构，紫色边界为结构的固定位置。应力和位移的仿真结果说明需要对设计进行加固。当在 ADX 设计中增加支撑块后，下方的模型几何结构显示了对应的新增固定边界。

仿真助力推动核聚变商业能源发展

技术进步带来了新的挑战。CFS 认为超导磁体是实现未来磁核聚变的关键，但在探索其应用前景的过程中也发现了诸多需要优化的设计环节。虽然使用 COMSOL Multiphysics 软件能够精确模拟每一个案例，但对计算要求很高，这也正是创造力和软件开发起作用的地方。

CFS 的 IT 团队建立了多个 Amazon Web Services (AWS) HPC6as 来分配解决方案。这使得该团队能够在纵向和横向扩展其计算能力，从而能够同时执行更多的任务，并且每个任务可以在 50,000 多个内核上使用更多的 CPU。由于CFS 持有 COMSOL 浮动网络许可证，因此对复杂的聚变进行仿真变得不那么困难。“它使我们的仿真时间和成本降低了至少 50%，从而加快了运行速度。它还使我们能够在至关重要的时间尺度上对正在进行的工作做出决策。” Brunner 总结说。

下一步

观看 CFS 公司的主题演讲视频，了解更多关于核聚变的挑战性过程，以及其在该领域的研究进展。

观看视频

电力输电线的电场和磁场仿真

Elsa Richardson-Bach — Wed, 15 May 2024 01:39:52 +0000

为确保电力输电线周围人员和环境的安全，工程师必须对电力线产生的电场和磁场进行监控。通过多物理场仿真，工程师能够预测电力线产生的场如何从电力线中扩散，以及如何影响其辐射至地面的强度。这篇博客，我们将使用两个示例模型来说明如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件分析由电力线产生的电磁场。

无形的能量场

我们日常使用的大部分电力都来自高压到低压电力输电线，这些电力线会产生电场和磁场（EMF）。电力线可以传导强低频电流，产生随着距离的增加而迅速减弱的非电离电磁场。尽管如此，为了确保电力线对周围人和环境的影响保持在安全范围内，对其产生的电磁场的暴露和输出进行监控仍然非常重要。

图 1 远距离电力输电线模型。

接下来，我们将通过两个示例模型来探讨如何利用建模和仿真分析电力输电线产生的电场和磁场。这些示例将重点关注场强及其与电力线和铁塔的分布关系。

如何建立两种电力线模型

您可以在COMSOL 案例库中找到电力线的电场和电力线的磁场教程模型，模型中用两个塔架传输高压三相交流电。铁塔的相线上方装有两条屏蔽线，用于防止雷击造成损坏。在如此高电压的电力线路中，相线通常由几条较小的导线捆束而成。为了简化模型，每条相线只使用一根半径为 10 厘米的导线来模拟一束导线。在每个模型中，都将地平面设置为随机扰动面，以模拟地球的不规则性。

图 2 左图：电力输电线的照片，由 David Levêque 拍摄，图片来自 Unsplash 。右图：输电塔的几何形状。可以看到顶部的两条屏蔽线，以及由绝缘子固定的三条相线。

我们已经介绍了这两个模型的基本几何结构，接下来，让我们来看看它们各自的仿真结果。(请注意，如需获取建立这些模型的分步说明及其 MPH 文件，可以点击文末链接，至COMSOL 案例库中下载。)

电场模型

在电场模型中，用户可以设置每条相线的电压幅值和相位。(在图 3 所示的场景中，电压设置为 400 kV，相间隔为 120^º 。）此外，由于使用了边界元法，以及所有的边和表面均为固定电势，因此模型只需要在这些实体上建立网格。相比之下，采用有限元法时，模型需要在整个空气域内创建体网格，这将大大增加自由度的数量，并延长模型求解所需的时间。

仿真结果显示了线路在地表产生的电场模，以及空气中指示局部电场方向的流线。在电线附近，电场形成了一个分支图形。电场在靠近电线的地方最强，随着距离的增加而减弱。了解电场的传播距离可以帮助工程师确定建筑物与电力线的距离，从而最大限度地减少暴露，并确保电场强度符合相关规定。

图 3 电力输电线的电场模（表面图）和电场（流线图）。

磁场模型

在磁场模型中，每条相线都能传导 1000 A 的电流。与电场模型一样，磁场模型中的相也间隔 120^º 。模型中的所有外部边界都采用了默认的磁绝缘边界条件。

与电场模型一样，磁场模型的结果也显示了线路在地面上产生的磁场模和指示磁场方向的流线，这些流线形成闭合回路。该模型中的磁场也是在靠近电线的地方最强，随着距离的增加而减弱。

图 4 电力输电线的磁场模（表面图）和磁场（流线图）。

下一步

在这篇博客中，我们讨论了使用 COMSOL Multiphysics^® 建立的两个用于检查电力输电线产生的电场和磁场分布的案例模型。这些模型对于测量电磁场的范围和行为非常重要，可以帮助我们进一步了解电磁场如何与周围环境相互作用。

想尝试自己模拟电力输电线中的电磁场吗？您可以点击下方案例模型链接，获取文中讨论的模型及其详细分步说明:

扩展阅读

阅读COMSOL 博客，了解更多有关仿真在电磁场暴露研究中的作用的信息:

借助仿真 App 进行超导体教学

Rachel Keatley — Mon, 13 Mar 2023 07:50:35 +0000

为什么超导体和超导体应用是一个具有挑战性的教学课题？来自 Karlsruhe Institute of Technology（KIT）的研究员 Francesco Grilli 教授分析了其中的原因，并提出了一个解决办法。通过建立一个能在网络浏览器中使用的仿真 App，Grilli 以一种有吸引力的方式来介绍这个主题,鼓励学生保持专注并对学习更多的超导知识感兴趣。(你也可以通过文章末尾的链接访问这些仿真 App！)

一个古老的发现推动了现代技术的发展

1911 年，荷兰物理学家 Heike Kamerlingh Onnes 首次发现了超导体。在一些现代高科技设备的开发和改进中，超导体发挥了关键作用。例如，世界上最大和最强的粒子加速器，大型强子对撞机（LHC）经过 10 年的发展，已于 2008 年投入运行。创造这台机器的目标是回答未解决的物理学相关问题，特别是与希格斯玻色子、亚原子粒子和暗物质有关的问题。你可能已经猜到，这台机器运行背后的一个重要组成部分就是超导体，更具体的说，是一个长 27 公里的超导磁铁环。

提示：在我们的博客《模拟超导磁体中的电热瞬变》中，您可以看到如何利用建模和仿真来分析如 LHC 等用于粒子加速器的超导磁体。

大型强子对撞机隧道的一个部分。照片由 Maximilien Brice（CERN）拍摄，在 CC BY-SA 4.0 许可下，通过 CERN 共享。

在世界各地医院中，超导体还被用作一种拯救生命的医疗诊断工具：磁共振成像（MRI）系统。超导体能够使核磁共振成像系统产生非常强大和稳定的磁场，反过来，这些磁场又使系统能够以极高的精度和准确度运行，安全地用于病病诊断。

由于新的发明经常源于并建立在过去的思想领袖的想法之上，因此，一个超过 100 年的发现正在帮助推动现代技术的进步，这并不惊讶。令人惊讶的是，超导的作用以及这项技术对世界产生的多学科影响在课程教学中被忽略了。

为了了解更多关于超导的知识，我们采访了 KIT 的研究员Francesco Grilli教授。

超导体的演变

“汞是第一个被发现的超导体元素，这些材料在某些条件下可以携带电能而不发生耗散”。Grilli 解释道。他在 KIT 带领了一个团队，专门研究超导体的数值建模，从材料和大尺度应用。在过去 20 年里，Grilli 一直在模拟超导体的电磁和热行为以及它们的特性。

第一个超导体的发现是在 Onnes 将一根由固体汞制成的导线浸入液态氦的时候。他发现当电线浸泡在液体中并承受 4.2K 的温度（或绝对零度以上）时，电线的电阻消失了。由此，他发现了“超导性”，即某些材料暴露在非常低的温度时，能够在不损失能量的情况下导电并排斥磁场。

显示冷却到临界温度以下的汞样品中的电阻突然消失的原始图片。图片在公共领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

除了汞之外，元素周期表上还有许多包括但不限于铝、锡和铅的其他元素，如果它们被充分冷却也可以成为超导体，其中大多数被称为I型超导体。然而，根据 Grilli 的说法，这些简单的元素不能用在实际的设备中，因为即使是一个非常小的磁场（小于几十毫特斯拉）也会破坏它们的超导性。作为比对我们经常在冰箱门上发现的玩具磁铁所产生的磁场在几毫特斯拉的范围内。这清楚地表明，I 型超导体不适合用在大电流应用中，更不用说制造强大的磁铁了。

如果是这样的话，那么今天的技术是如何使用超导体的呢？这就是 II 型超导体的来历。这类材料的性能不同并且更加复杂，例如合金和陶瓷化合物。它们通常被工业化生产，可以从各种零售商那里以电线的形式购买。与 I 型超导体不同，II 型超导体经常被用在实际应用中。例如，铌-钛，一种 II 型超导体，是使核磁共振正常运行的材料。

尽管如此，即使是由合金制成的超导体也有局限性。“如果你想让超导体在更高的温度下工作并产生更大的磁场，这些材料就不够好了。” Grilli 说道。1986 年，物理学家 Johannes Georg Bednorz 和 Karl Alexander Müller 的突破性发现——高温超导体（HTS）帮助解决了这个问题。“这些不是金属合金，而是更复杂的东西”，Grilli 补充道。

与以前只在 -270℃ 至 -250℃ 左右工作的超导体相比，HTS 可以在 -200℃ 左右的较高温度下发挥作用。“这个温度仍然很低，但可以使用液氮来实现。液氮是一种非常便宜和容易处理的低温液体。”Grilli 解释说。高温超导体更加实惠和实用，因此成为商业化核聚变技术、小型医疗设备和电动飞机等未来创新技术的首选。

超导教学的挑战

超导教学面临的两个挑战是超导体的材料特性和某些电线和电缆几何形状的复杂性。超导体区别于传统材料的一个特殊性是它的电磁性能。超导体的电磁性能非常特殊，与铜等传统导体不同。“主要的区别是，与传统导体不同，超导体的电阻率显著取决于通过的电流，并且呈明显的非线性。” Grilli 解释说。这使得理解超导应用的性能具有相当大的挑战性，特别是那些对应用超导技术的背景知识了解有限的学生。仿真可以提供很大的帮助，但适用于传统材料的现有模型需要适当调整或完全重新思考。像 Grilli 这样的讲师所面临着更繁琐的挑战，包括使学生保持学习兴趣、参与度，以及最重要的是保持好奇心。

他说：“在我的课程中，我喜欢让我的学生探索实际情况，而仿真是提供这种经验的一个好方法。然而，这种课堂练习的时间是有限的。”而且 Grilli 发现，即使是建立一个简单模型的实践活动也往往会比预期的时间长。他解释说，在建立模型的过程中，学生面临的主要挑战是被较小的工作流程任务分散注意力。我想使用一些东西，让学生可以专注于理解物理场和结果，以及我们所描述的现象的重要性，而不是通过菜单、命名变量、使用计算机语言的正确语法等形式方面的内容”。

于是，Grilli 开始思考：是否有更好的方法将仿真引入课堂教学？

使用仿真 App 寻找解决方案

最终，Grilli 选择使用仿真 App 作为教学工具。为了帮助实现他的设想，Grilli 与 Nicolò Riva 和 Bertrand Dutoit 合作，这两个人在超导和超导建模方面都有大量的研究。他们一起建立了 AURORA，这是一个开放的网络服务器，包含各种仿真 App，用于解决涉及 I 型和 II 型超导体的问题。

AURORA 通过先使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的 App 开发器开发仿真App，然后使用 COMSOL Server 来管理这些 App。他们在瑞士洛桑联邦理工学院（EPFL）安装了 AURORA。Riva 和 Dutoit 与 EPFL 有着密切的联系，前者拥有 EPFL 应用超导的电子工程博士学位，Dutoit 则担任 Riva 的高级科学家。

AURORA 服务器上有大量仿真 App。

Grilli 说：“COMSOL 仿真 App 很有用，因为我可以对学生看到的东西进行限制，让他们只用某些参数进行测试。”仿真 App 的定制用户界面可以让学生专注于感兴趣的参数和数量，创造一个生动的学习体验，不需要先学习如何使用仿真软件。

此外，学生们还能受益于 AURORA 及其仿真 App 库提供的便利性，因为任何人都可以在任何地方通过手机、电脑或平板电脑的网络浏览器访问它。这种可及性也使 Grilli 可以向 KIT 以外的人教授超导体概念。“我不仅在我的大学教书，而且还被邀请在其他大学做一些客座讲座。我想要的是能以一种简单的方式进行移植的东西”。现在，Grilli 有了自己的仿真 App 平台—— AURORA，无论学生在哪所大学就读，都可以轻松使用。

“仿真 App 的优势在于，学生可以利用它们来了解有关超导应用性能的若干事项。虽然模拟的案例非常简单，但我希望它们能够帮助学生了解真实超导应用中某些方面的重要性。”Grilli 说道。

探索仿真 App 和访问服务器

AURORA 目前由 11 个仿真 App 组成，可用于分析不同规模的超导体的电磁和热性能。有一个仿真 App 用于模拟暴露在磁场中的超导样品，还有一个用于模拟磁铁中的磁场分布，等等。尽管这些仿真 App 是为电气工程的学生设计的，但任何想要了解超导体以及超导的全球重要性和影响的人都会对它们感兴趣的。所有这些仿真 App 的计算时间都在 4min 以下，最短的是 2s。

您可以通过开放的 AURORA 服务器直接访问它们。接下来，我想重点介绍几个仿真 App。

仿真：瞬态金兹堡-朗道方程

在磁场存在的情况下，超导材料具有排除磁场的能力。然而，当这些磁场超过一定强度时，它们可以进入材料。这种情况可以用以物理学家维塔利·金兹堡（Vitaly Ginzburg ）和列夫·朗道（Lev Landau）命名的金兹堡-朗道方程来模拟。瞬态金兹堡-朗道 App 可以用来可视化I型和II型超导体的这一过程。通过该仿真 App，用户可以修改以下参数：

施加的磁场
超导样品的半径
金兹堡-朗道参数，它决定了超导体是 I 型还是 II 型

瞬态金兹堡-朗道 App，可通过 AURORA 服务器访问。

请看下面这个 App 的操作演示。

仿真 App：磁铁设计

超导体最常被用于磁体应用，如核磁共振系统和粒子加速器。通过磁体设计应用程序，用户可以看到超导磁体中的磁场分布，特别是螺线管形磁体。磁体的模型是一个空心圆柱体，包括内半径 a、外半径 b 和长度 2 L，如下图所示。

该仿真 App 的输入使用户能够改变磁体的几何形状、施加在磁体横截面的均匀电流密度以及用于绕组的导线横截面的面积。这个 App 的一个重要作用是，它探索了磁铁的形状如何影响磁场的均匀性，这是一个用于寻找超导体可运行的最大电流的属性。

运行中的磁性设计 App。

查看由 Grilli 提供的所有仿真 App，并在 AURORA 服务器上亲自试用。任何人在任何地方通过浏览器都可以直接运行这些 App，不需要安装软件（参考文献1）。对于其中一个模拟超导故障电流限制器中 HTS 导线的电热性能的仿真 App，也有一篇专门的文章介绍（见参考文献2）。

AURORA：一个具有多种解释的词

在决定 AURORA 的名称时，Grilli、Riva 和 Dutoit 希望它与该平台的主要目标密切相关：鼓励教室内外的个人探索超导体并对这些材料的工作原理保持好奇心。在汇编了一份与他们的任务有关的关键词清单后，他们想到了 AURORA 这个名字，它代表着通过应用程序来学习超导技术（leArning sUpeRcOnductivity thRough Apps）。

Aurora 也是罗马神话中一个女神的名字，她以“打开通往太阳和新的一天的道路”而闻名；创建 AURORA 服务器的目的是希望为新一代的学生打开一条道路，让他们能以一种引人入胜和发人深省的方式了解超导体（参考文献1）。

三相输电线路中的损耗

Walter Frei — Tue, 26 Jul 2022 02:31:45 +0000

我的一位同事提出了一个关于三相输电系统损耗的有趣问题。事实证明，输电线中导体的某些几何排列方式会导致导线之间的损耗不平衡，即使结构看起来是对称的。在这篇博客中，我们建立了一个简单的模型来证明这一点，并将介绍如何验证这个违反直觉的结果。

为什么损耗不平衡？

假设有三根相同的铜线，它们在一条水平线上等距排列，传输三相电，如下图左侧所示。那么，每根电线的损耗是多少？假设导线很长并且横截面恒定，我们将模型简化为二维横截面模型，在频域中求解。我们在 COMSOL Multiphysics^® 软件中对每根导线进行建模，使用线圈域条件，并以复数形式定义相位彼此相差 120° 的三相交流电流。有关三相传输线建模的详细教程，请参阅之前的博客文章电缆建模系列教程。值得注意的是，通过所有三根导线的电流总和为零，因此我们不需要关心沿边界的任何电流返回路径。每根导线内的损耗分布如下图右侧所示。

三根通有三相电流的平行导线的示意图，以及横截面的损耗图。

在这副图中，我们可以看到损耗分布关于 x 轴对称，但关于 y 轴不对称。这可能看起来不符合常理，因为导线的几何形状显然是关于两个轴对称。那么，如何解释这个结果呢？

一个损耗平衡的案例

有许多不同的方法来解释这种现象。这里，我们先改变几何，使之更加简单、易懂，然后再研究如何影响计算结果。我们把导体重新排列成一个等边三角形排列，如下左图所示。在这种情况下求解后发现，所有导体具有相同的总损耗和相同的损耗分布。另外，还值得注意的是，这些损耗分布是旋转对称的。也就是说，将磁场围绕中心点旋转120°可以得到相同的分布。现在，我们来努力理解为什么磁场是对称的，并看看这将如何帮助我们理解损耗不平衡现象。

以等边三角形排列的三根导线表现出平衡的损耗。

当交流电流通过单根导线时，所产生的时变磁场会在导线内感应出电流。这些反向感应电流往往会与输入电流反向，尤其是在导线中心，这会导致所谓的集肤效应。除了导线本身的反向感应电流外，邻近效应还会导致输入电流在两个相邻导体中感应出电流。尽管没有正式的证明，我们称其为相邻输电线中的感应电流：

幅值相同，由于相邻的两个导体尺寸和间距相同
相位彼此相差 120°

仅查看其中一根导线中的输入电流，它会在导线本身以及两条相邻的导线中产生感应电流。

当三相电流通过所有三根导线时，通过这三根导线中一根导线的总电流是该导线中的输入电流、反向感应电流以及来自相邻导线的感应电流总和，例如，。引起三相电流所需的外加电压与输入电流成正比，由下式给出：，其中是直流线电阻。当使用线圈特征描述这些导线时，方程组中会添加一个额外的全局方程。这将求解能产生所需总电流的电压。每根导线的总损耗由下式给出：，其中电流和电压是复数形式并且相位相差 120°。

现在，让我们在复平面中绘制这些电流，这可以帮助我们观察这三个反向感应电流如何加和为总电流。实际上，我们并不知道这些项的真实幅度或相位，但我们知道来自两条相邻导线的感应电流的相位彼此相差 120°。我们还可以合理地假设电流的相对大小为：。有了这些信息和假设，我们就能够制作下面草图。

对输入电流、反向感应电流和其他导线感应的电流求和将得出总电流。对于以等边三角形排列的相同导线，这三个电流的幅值相等且相位相差 120°。

考虑施加在所有导线上的复数电压，并考虑当将导线从等边排列变为线性排列时会发生什么。我们将中心导线标记为。反向感应电流，例如，，不会改变，并且从中心导线到外侧导线的感应电流在大小上仍然相等：。从一侧的导线到中心导线和另一根外侧导线的感应电流将不同：和。但是，外侧两根导线之间的感应电流的大小是相同的 ——，并且相对相位保持不变。我们现在可以绘制总和并比较三角形和线性排列。

在左侧图中，三角形配置的电流总和是对称的。在右侧图中，电压保持恒定，但导线变为线性配置，因此感应电流的大小不同，对称性被打破。

可以看到，施加三相平衡的电压必然导致电流不平衡。或者，如果我们回到原来的情况并想要获得平衡的电流，那么施加的电压必须都不同。因此，损耗不可能相同。

结束语

如果要对这个系统进行物理验证，最容易想到的方法是测量每根电线的总损耗。外部两根导线上实验测量的总损耗几乎相同，很容易将这种微小差异归因于实验误差。只有当查看数值计算的损耗分布时，如文章开始的图片中那样，差异才会变得更加明显。然而，实心导线内部损耗分布的试验验证将非常困难，而且可能从来没有人做过这样的试验。

还值得注意的是，思考问题有多种不同的方式，这只是其中的一种方式。还可以这样思考，即尽管在初始情况下 x 轴和 y 轴存在几何对称性，但对称条件只允许相位相差 180° 的场，即双重对称。具有相位相差120°导线的解需要三重对称，例如等边排列。同样重要的是，要承认我们在这里展示的不是正式的证明，即使是最基本的结果也应该质疑，无论它们在视觉上多么有吸引力。所以，虽然我们已经提出了一些非正式的证明，但这是否足够？

另一个证明是模型本身。我们开始使用的初始模型很简单：线性布置的三根导线，流通三相电流，通过有限元方法在没有奇点的域上求解。有时，即使是简单模型的结果也会与我们的直觉不一致。这通常会导致人们怀疑模型中的错误，这当然是合理的，因为对每个模型我们都应该带着一点怀疑和严格的验证和确认过程来处理。我们甚至可能会怀疑有限元方法本身，尽管它是数学物理学中最常用和充分验证的方法之一。

最后，我们绝不能落入过于相信直觉的陷阱。科学中一些最瞩目的发现始于意想不到的观察，所以请始终保持开放的心态！

计算变压器等效电路参数

Rahul Bhat — Fri, 15 Jul 2022 06:21:59 +0000

变压器在电气工业中无处不在。无论是输配电、重工业、仪器仪表、电动汽车还是消费电子产品，各种形状和大小的变压器都是系统中不可或缺的一部分。变压器有不同的类型：电力变压器将电力从一个电气系统转移到另一个不同电压水平的电气系统，互感器用于测量电压和电流，隔离变压器在两个电路之间以电隔离方式耦合信号，高压变压器用于产生千伏级或更高的电压，等等。变压器的等效电路参数决定了它的性能，因此成为其设计和开发的关键。

在最近的一篇博客从电磁仿真中提取电路中，我们解释了如何从任一电磁模型中提取等效 RLC 网络，这也适用于任何具有集中绕阻的变压器。本篇博文，我们将介绍一个高压铁氧体磁芯变压器的示例，并对它的电路参数进行概述和分析，该变压器的初级线圈和次级线圈由多个部分组成。

变压器简介

决定变压器性能的因素有很多。电力变压器的等效阻抗会影响短路或故障水平。磁化电感决定了大型变压器中的浪涌电流，而漏电感在选择电力电子电路的开关频率方面起着决定性作用。寄生电容在高频变压器的工作中非常重要。变压器的行为主要由其等效集总电路参数来表征。因此，通过仿真提取变压器的等效电路参数对于设计过程而言是非常有价值的。

左：变压器几何模型。右图：变压器的剖面图(使用 剪裁特征)。

COMSOL Multiphysics^® 软件提供了各种接口，可以轻松地根据物理模型计算变压器的集总电路参数。磁场 (mf) 接口或磁场和电场 接口 (mef) 可以计算变压器中的电感。静电(es) 接口或电流(ec) 接口可以找到寄生电容。电路 (cir) 接口可用于将变压器线圈连接到外部集总电路。

接下来，我们将介绍一个高频铁氧体磁芯变压器的示例，来说明如何计算等效电感和杂散电容值。该变压器有一个 2 匝的初级线圈和 600 匝的次级线圈。次级线圈由两部分组成，中间有一个绝缘隔板。初级电压为 10 v，频率为几十 kHz。

磁化电感和漏感的计算

变压器的磁化电感是通过开路测试试验得出的，漏感是通过短路测试计算出的。这些测试可以在变压器模型的模拟中进行，用于获得电感值。

开路测试

在这个测试中，变压器的次级线圈是开路的，初级线圈用额定的输入电压激励。在没有任何次级负载电流的情况下，初级线圈汲取的电流主要用于设置铁芯中的磁通量。如果用初级电压和电流来计算初级阻抗，除了相对较小的初级线圈电阻值外，阻抗主要由励磁电感组成。

开路测试时磁通密度集中在变压器铁芯中。

测试发现初级电阻为 76.5 m，是初级线圈阻抗的实部。使用初级线圈阻抗的虚部获得励磁电感，其值为 44.8。

短路测试

传统上，初级线圈是短路的，次级线圈是用一个降低到足够使额定电流通过初级线圈的电压来激励的。在这种情况下，大部分磁通被限制在初级线圈和次级线圈之间的气隙区域。如果由终端电压和电流值计算次级线圈阻抗，它主要由漏电感组成。可以使用匝数比变换将漏电感参考到初级侧。在仿真中，我们可以通过激励初级线圈和短路次级线圈来直接得到初级漏电感。

短路测试时的磁通密度集中在初级和次级线圈之间。

从初级线圈阻抗的虚部可以得到漏电感值为 0.25 。线圈电阻为 19.2 m。

寄生电容的计算

变压器应该是一个纯的电感设备。但是，由于初级和次级线圈是由导电材料制成的，它们之间有一个绝缘层，因此可以将其比作两个导体被电介质分开的情况。这就产生了电容效应。由于这些电容是设计上无意的，因此它们被称为寄生电容。对于低频变压器来说，寄生电容并不发挥主要作用。然而，随着频率的增加，电容效应变得很重要；而且由于匝数比很高，它们开始占主导地位。

之前的博客如何计算电容矩阵解释了如何使用 稳态源扫描 研究步骤获得自电容和互电容。在变压器具有集中绕组的情况下，可以遵循这种方法来提取电容矩阵。

在本例中，初级线圈和次级线圈被分布在各个部分，这也是大多数高压铁氧体磁芯变压器的情况。线圈中的电压分布在截面上呈现出阶跃变化。因此，之前描述的方法不适用于提取电容矩阵。为了计算本例中的初级自电容，我们将一半的电位（5V）施加到下部，将全电压（10V）施加到上部。在次级线圈上施加接地电位，而在铁芯的整个表面施加浮动电位。次级自电容同样是通过对下部施加一半的次级感应电压，和对上部施加全电压来获得。

初级自电容的电位分布（左）与次级自电容的电位分布（右）的比较。

计算得到的初级自电容为 14 pF，次级自电容为 30.5 pF。

等效集总电路分析

现在，有了初级电阻、磁化电感和漏电感、初级自电容和次级自电容，我们可以建立变压器的等效电路模型。

变压器的等效集总电路。

漏电阻抗由一系列和组合表示。磁化阻抗被转换为和的等效并联组合。初级和次级自电容分别由和表示。添加了一个的外部电阻用于模拟次级开路条件。集总电路模型的仿真预测了初级电流的超前角为 82.2°，次级感应电压为 3192 V。需要注意的是，次级感应电压高于使用变压器匝数比时的预期值，即 3000 V。这是由于次级电容与 1:300 的高匝数比相结合而产生的影响。初级电流本身具有超前的功率因数，这意味着变压器吸收了电容电流！

电感和电容效应的耦合分析

变压器的二维轴对称模型是使用横截面 特征由三维模型创建的。为了应用 RLC 线圈组 特征，次级线圈的 300 个单匝被额外绘制在几何图形中，该特征在磁场和电场 接口中可用。次级线圈需要开路，这样可以观察到次级寄生电容的影响。但是如果将线圈电流指定为零，使其开路，则没有电流可以流过次级自电容。为了克服这个问题，使用电路接口将一个 1 电阻连接到次级线圈。这实际上就像一个开路，但允许电流流过次级自电容。

磁通密度和电位分布。

变压器线圈区域的电位分布显示，当径向向外移动时感应电压如何增加。根据该模型，计算的初级电流具有 75° 的超前角和 3055.6 V 的次级感应电压。这与上一节中讨论的等效电路模型一致。

为了建立集总电路（使用从三维模型获得的参数得出）和二维轴对称模型的等效性，由这两种方法获得的初级线圈阻抗的频率响应被绘制在同一张图上。下图显示了初级线圈阻抗的大小和角度如何随励磁频率变化。可以观察到，二维轴对称结果证实了从集总电路分析中获得的结果。集总电路参数是从实际的三维变压器几何结构中提取的。变压器的二维轴对称模型是实际变压器几何形状的近似表示。这些差异导致由这两种方法获得的初级线圈阻抗的频率响应之间存在轻微偏差。

从电路模型和二维轴对称模型获得的变压器初级线圈的频率响应。

RLC 线圈组的使用

如果要分析平面内位移电流的影响，可以使用线圈建模功能。换句话说，电容效应将与电感效应一起被建模。可以使用域排序 选项指定匝的连接性。由于变压器的各层匝数径向堆积，因此选择逐列排序。

变压器次级线圈的 域排序选项。

这个示例使用了域排序的内置选项，我们也可以手动指定，如三维电感器模型的轴对称近似分析模型中所示。

结束语

本文这个练习的主要目的是提取变压器的等效电路参数。使用磁场和电场接口提取磁化电感和漏感。使用静电接口提取寄生初级电容和次级电容。

RLC 线圈组 特征支持对包含电感和电容效应的变压器的二维轴对称模型进行分析。等效集总电路和二维轴对称模型的仿真显示了一些特殊的结果。计算出的次级电压高于匝数比的预期值。这类似于在轻载输电线中发现的 Ferranti 效应，由于主导的电容效应，接收端电压高于发送端电压。当以 1:300 极高的匝数比参考到初级电容时，变压器的初级电流也被认为是电容性的，这是由于次级寄生电容占主导地位。

电感和电容对电路电流有相反的影响。电感电路的功率因数滞后，而电容电路的功率因数超前。如果我们试图从终端量中提取这种变压器的等效阻抗，耦合效应将导致误导和错误的结果。在这种情况下，将观察到变压器的行为类似于电容。

综上，本文介绍了如何通过分析由传导电流和感应电流引起的磁场效应，来分别提取变压器的等效电感，同时忽略位移电流。这可以使用 COMSOL 软件的磁场或磁场和电场 接口实现。同样，变压器的寄生电容也可以仅通过电场分析单独获得。这可以通过 COMSOL 软件的静电或电流接口实现。最后，我们演示了如何将提取的量组合成变压器的单个等效集总电路模型。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己模拟高压铁氧体磁芯变压器教程模型：

获取教程模型

通过仿真预测感应加热效果

Alan Petrillo — Fri, 19 Nov 2021 06:58:49 +0000

当我们使用导电材料来传导电流时，通常会寻求将电阻降到最低，但有时也可以将电阻以及电阻效应（例如光和热）加以利用。感应加热就是利用电流通过电阻效应来加热材料的特性。任何加热都可以借助电阻效应实现，无论是在超过 1500°C 的温度下熔化铁，还是在电磁感应炉上煮一壶茶。

无需接触，就可以感应出电流

如上所述，流过导电材料的电流会由于电阻而产生热量。面包机、吹风机、室内电暖器和其他日常使用的电器都利用了这种效应。这种现象在在这些应用中被称为焦耳热 或电阻热，它是通过导电元件和电流源之间的直接物理连接而产生热。

相比之下，感应加热是通过电磁感应加热物体，而不需要直接与电流源进行物理连接。导电物体（或工件）被放置在一个通有交流电的感应线圈 附近。交流电在感应线圈周围产生了一个时变磁场。这个磁场感应涡流，在工件内部产生热量。

通有正弦电流的铜线圈在铝导体中的感应电流密度仿真结果。(点击此处了解如何模拟这类系统。)

为了实现有效的感应加热，必须满足多个条件。工件必须由具有高导电性的材料制成。施加的电流频率应与工件的电导率和磁导率良好匹配。通过仔细选择材料和频率，我们可以在几秒钟内将铁质工件从环境温度加热到 700°C 以上。这是因为含铁材料的高磁导率使涡流和集肤效应 更加明显，其中交流电主要集中在工件表面。通过交流电流对铁晶体的周期性磁化，含铁金属中的感应加热进一步加强。快速变化的交变磁场会导致磁滞损耗，从而产生更多的热量。

感应加热有什么优势？

能够高效并且精确地加热导电材料（无需接触）使感应加热成为许多工艺的重要方法。以感应电磁炉为例，交流电通过隐藏在灶台表面下方的感应线圈在铁锅中产生交变磁场。锅中的电阻效应会产生足够的热量使水烧开，然而炉灶表面和锅底的温度几乎不高于室温。这种有针对性的加热比传统的炉灶烹饪方法更安全、高效。

感应炉将一锅水加热至沸腾，但表面温度不足以点燃锅底部的报纸。图片通过Wikimedia Commons获得许可(CC BY-SA 3.0)。

在工业应用中，感应加热的优势更明显。与其他加热和熔化方法相比，感应炉消耗的能量更少，排放的污染也更少。感应加热的清洁度也使它成为制造半导体和其他电子产品的重要工艺。

除了泡茶和熔化金属这两个极端应用，感应加热也可以用于其他目的。我们熟悉的冶金技术，例如焊接、钎焊等都可以通过感应加热的方式进行。还可以通过精准控制感应电流的热量来硬化含铁金属，下面我们以一个教程模型为例来说明。

一个含铁金属的感应效应模型

金属加工技术是人类文明进步的标志，正如我们常谈论的青铜器时代和铁器时代。当今工业化时代实际上始于 19 世纪钢铁的生产和加工技术的巨大进步。传统的铁匠在铁砧上敲打热铁，一次敲打一小块；而燃煤工厂可以提纯和硬化前所未有的大量含铁金属。20 世纪以来，包括感应淬火工艺在内的金属电加工技术取得了长足的进步，如下面的模拟所示。

一种通过感应线圈移动含铁金属零件来对其进行感应淬火的工艺。线圈中的电流以红色显示。

这个示例模拟了一个通过感应线圈加热移动铁质工件的过程，感应线圈产生的磁场在零件中实现感应加热。该过程通常用于硬化传动轴、安装销和其他类似的部件，这些部件承受强烈的机械应力。该模型利用 COMSOL 软件的 AC/DC 模块中的功能来考虑工件中耦合的电磁和热传导特性以及可能产生的物理变化。

AC/DC 模块支持使用用户选择的本构关系选项分析磁特性。有效 B-H 曲线 选项非常适合这种分析，因为它同时考虑了磁饱和（材料的磁化强度不能被外部磁场提高的点）和工件材料的居里点。当加热超过居里点（以发现并描述该点的皮埃尔·居里的名字命名）时，材料将失去它在较低温度下表现出的磁性。饱和特性与居里点效应都会改变施加的电流与工件产生的变化之间的关系。

B-H 曲线关系图，通过绘制一个交流周期内的磁通密度与磁场的函数来显示滞后行为。图片来自电磁学教程模型，可用于重现测试电磁分析方法 (TEAM) 问题 32。TEAM 问题 32 是评估用于模拟各向异性磁滞的数值方法。

由于这种感应淬火过程依赖于工件通过感应线圈的运动，因此模拟还必须考虑位移。这可以通过使用混合矢量和标量势的 旋转机械，磁 接口的动网格来解决。网格还必须考虑集肤效应，即感应磁特性在工件的表面和内核之间变化。

感应淬火教程模型中两个使用场景的网格：1 kHz(左)和 25 kHz(右)交流频率。

两个使用场景的模拟结果

虽然使用电磁感应加热硬化金属是一种有用的效应，但也可能带来其他效果。金属硬化的热量也会使其变得更脆。为了在成品零件的每个区域实现硬度和延展性的适当平衡，我们可以调整感应淬火工艺的关键参数。下图所示的仿真结果可用于比较两个场景，分析三个不同参数的影响：

交流频率
外部电流大小
工件穿过线圈的速度

比较工件内部在两种不同交流频率下：1 kHz(左)和 25 kHz(右)达到的最高温度。在 f = 25 kHz, v = 10 mm/s 时，通过感应加热线圈的机械接头的位移和温度变化。

仿真结果表明，改变线圈的交流频率不仅会改变峰值温度，还会重塑整个工件的感应热分布。产生的温度场图可以为冶金效果的进一步分析提供依据。例如，我们可以通过金属加工模块，使用仿真得到的温度数据来预测冶金相变。

自己尝试

从 COMSOL 案例库下载教程模型，尝试模拟金属零件中的电磁感应加热效应：

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拓展阅读

使用 COMSOL Multiphysics® 进行微磁仿真

Weichao Yu — Fri, 24 Sep 2021 02:13:56 +0000

磁体中的磁矩动力学可以通过微磁模型描述，即朗道-栗弗席兹-吉尔伯特方程（Landu–Lifshitz–Gilbert equations，LLG）。我们使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的“物理场开发器”开发了一个定制的“微磁模块”，可用于在 COMSOL^® 软件框架内进行微磁建模。这个定制的微磁模块可以直接与其他附加模块耦合进行多物理场微磁仿真，例如磁-偶极耦合、磁-弹耦合、磁-热耦合等。微磁模块软件包以及用户指南可以在文末提供的网址中下载，欢迎试用。

磁振子学和微磁学导论

磁振子学 是自旋电子学或磁学的子分支领域（参考文献1），类似的还有声子学和光子学。磁振子学更侧重于研究由磁性体系的元激发，即自旋波（或量子极限中的磁振子）携带的能量和信息传输。自旋波可以携带能量、线性动量、角动量，因此可以用来编码信息。由于具有极小的阻尼和无焦耳热等特性（参考文献2），钇铁石榴石 YIG (Y₃Fe₅O₁₂) 等磁绝缘体是操控自旋波的理想材料。此外，自旋波还可以与磁结构相互作用（参考文献3)，例如磁畴壁、磁涡旋和磁斯格明子等，从而为磁存储器的设计和操控提供了一条新途径。这使得磁振子技术有望成为下一代信息技术的候选者。

在这篇博文中，我们将演示如何在 COMSOL Multiphysics 中使用“微磁模块”对自旋波动力学进行数值微磁仿真。

微磁模型简介

磁性材料中磁矩的动力学由 LLG 方程控制。微磁模型的核心是将一个或多个晶胞中的所有磁矩视为一个半经典的宏自旋，用单位向量定义表示为

\Bigg\{\frac{\textbf{M}(\textbf{r},t)=M_s\textbf{m}(\textbf{r},t)}{\big|\textbf{m}(\textbf{r},t)\big|=1},

其中，是总磁化强度的时空分布函数，是材料的饱和磁化强度。

该单位磁矩向量的时间演化遵循 LLG 方程（参考文献 4）

\dot{\textbf{m}}(\textbf{r},t)=-\gamma \textbf{m}(\textbf{r},t) \times \textbf{H}_{\rm{eff}} + \alpha\textbf{m}(\textbf{r},t) \times \dot{\textbf{m}}(\textbf{r},t),

其中，点表示时间导数，是旋磁比，是吉尔伯特阻尼系数，是施加在局域磁矩上的有效场，可以被定义为

\textbf{H}_{\rm{eff}}=-\frac{1}{\mu_0M_s}\frac{\delta E}{\delta \textbf{m}}

其中，为真空磁导率，为磁系统的自由能，包括所有可能的相互作用。

假设一种最简单的情况：在沿 z 方向施加的静态磁场中的一个宏自旋。有效场很简单，可以表示为。从宏自旋稍微偏离平衡 z 方向的初始状态开始，宏自旋矢量根据 LLG 方程按右手定则围绕有效场进动。在吉尔伯特阻尼（以表示)作用下，系统的动能最终消散，宏自旋驰豫到其能量最小值，即与有效场平行。这种进动的动力学与铁磁共振 (FMR) 相关，其进动角频率与外加场的强度呈线性关系。

当引入非局域相互作用时会出现自旋波，例如，在连续极限中采用以下形式的短程交换相互作用，其中为交换刚度系数。存在交换相互作用的情况下，单个宏自旋的进动模式可以传输到相邻的宏自旋，导致角动量流的传播，即自旋波。

电磁波和弹性波以及自旋波都可以通过纳米结构设计进行空间上的限制或调控。此外，自旋波还可以通过磁结构（磁矩在空间中的非均匀分布）来调控，例如磁畴壁，即具有相反磁化强度的两个磁畴之间的过渡区域。理论和实验都表明，磁畴壁可以作为自旋波的传导通道，用于设计可重构的自旋波电路。

微磁仿真不仅可以帮助解释实验结果，也有很多成功的例子表明，该方法可以预测新现象，并通过实验进行验证。

通过物理场开发器开发微磁模块

市场上有两种主流的开源微磁仿真软件：面向对象的微磁框架（OOMMF）和支持GPU 加速的 Mumax³。

但是，我们更喜欢使用 COMSOL Multiphysics 进行微磁仿真。原因有两个：

COMSOL Multiphysics 基于有限元方法，而不是 OOMMF 和 Mumax³使用的有限差分方法。在对复杂的几何形状和结构进行建模时，有限元方法更加强大。
微磁模块可以直接与 COMSOL Multiphysics 中丰富的物理模块一起使用。例如，通过与 AC/DC 模块（电流和电磁场）或 RF 模块（微波）耦合，我们可以模拟磁性材料中的偶极相互作用；将微磁模块与结构力学模块相耦合，可以对磁弹性效应进行建模；而传热模块可用于对磁体中的热效应进行建模。在软件框架内，用户定制物理场和 COMSOL 附加产品之间的多物理场耦合相当简单明了。

对 COMSOL Multiphysics 的微磁模块感兴趣的用户可以将编译后的模块文件 Micromagnetics Module.jar 安装到本地 COMSOL 归档文件夹中，之后在选择物理场时就会出现一个新的物理场接口 Micromagnetics (mm)。

微磁模块 (V1.33) 的用户界面如下图所示。

微磁模块（V1.33）具有其他开源微磁仿真软件所具有的几乎所有功能，包括但不限于：

基本的 Landau-Lifshitz-Gilbert 动力学方程，包括交换相互作用和单轴各向异性
具有适配边界条件的 Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用（体类型和界面类型）
自旋转移矩（包括场项和力矩项）
可输入任意形式的有效场和自旋力矩（可以同时是时间和空间的函数）
有限温度效应（可通过自定义随机种子引入随机性）
钉扎边界条件和周期性边界条件
能够在一个区域内求解多个独立的 LLG 方程（例如可用来模拟具有多个子晶格的人工反铁磁体）
多物理场耦合能力，包括磁-偶极耦合、磁-弹耦合、磁-电耦合、磁-热耦合等

基于微磁模块，我们展示了许多有趣的自旋波物理并提出了各种自旋波器件，例如自旋波二极管（参考文献5）、自旋波光纤（参考文献6）、自旋波偏振片和波片（参考文献7-8）以及存算一体化的磁逻辑门（参考文献9）等。

与微磁模块的多物理场耦合

如上所述，COMSOL Multiphysics 的一项优势是附加模块之间的多物理场耦合能力。自旋波可以被磁场、晶格形变、温度梯度等操控。将自旋波与其他激发（如电磁波和弹性波）耦合，获得的系统可以结合两者的优点，产生丰富的物理现象，促进信息的产生和传输。下面，我们将演示基于微磁模块可以完成哪些多物理场耦合。

腔磁振子学（Cavity magnonics）（参考文献 10）是磁振子学和腔量子电动力学 (CQED) 的交叉学科，后者的应用之一是通过操控光子-物质相互作用来实现量子信息处理。腔磁振子学的典型构型是内部放置磁体的微波腔。磁体中的磁矩进动模式与微波腔中的驻波模式或行波模式耦合。这样的系统为研究自旋流的操控和磁矩的非线性动力学提供了一个新的选择（参考文献 11-12）。腔磁系统可以通过耦合微磁模块和射频模块来模拟。对于静磁模拟，并不需要考虑电磁波本身的动力学行为，因此将微磁模块和 AC/DC 模块（磁场）相互耦合就足够了。

自旋力学（spin mechanics）包括磁矩和晶格形变之间的相互作用。在具有磁弹耦合（或磁致伸缩）的材料中，磁化强度（自旋波）在空间和时间上的变化对晶格产生等效力，而晶格形变（弹性波）对磁化强度产生等效场。例如，如下面的动画所示，面内磁化的碟状薄膜被磁场激发，进动的磁化引起磁性薄膜及其衬底的弹性形变，从而辐射弹性波。自旋力学问题可以通过耦合微磁模块和固体力学模块来模拟。

电流自适应磁结构

在金属磁体中，自旋极化电流对局域磁矩施加自旋转移矩，使得磁结构能够被电流驱动。由于各向异性磁阻 (AMR)的存在，磁性薄膜内的电导率取决于局域磁化强度和电流方向的相对取向，因此可以使用微磁模块和 AC/DC 模块对电流、自旋转移矩和磁结构之间的相互作用进行建模。

如下面的动画所示，施加在两个电极上的电压通过自旋转移矩改变磁结构的空间分布（上图），进一步改变局域电导率和电流密度分布（下图）。在电流的持续作用下，磁结构最终演化至稳定的构型，使得两个电极之间的电导增加。有研究表明这种正反馈行为可用于类脑计算（参考文献13）。

如何获取微磁模块

您可以通过 COMSOL 模型交流区免费下载微磁模块文件。下载的压缩文件包括：模块安装文件，以及带有安装说明和示例的用户指南。我们非常欢迎和感谢您的任何建议、报告和交流。更多功能将在未来的版本中及时更新。

同时，为了帮助您更好地学习使用该模块，您可以访问作者及其团队更新的案例模型：微磁模块教程示例。

致谢

作者对复旦大学肖江教授的指导和复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院的支持表示感谢。

关于作者

余伟超本科毕业于同济大学物理科学与工程学院应用物理学专业，获理学学士学位，后赴复旦大学物理学系理论物理专业直接攻读博士研究生，获理学博士学位，曾任复旦大学物理学系博士后研究员、日本东北大学金属材料研究所助理教授，现任复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院青年研究员。余伟超博士的研究兴趣包括自旋电子学和磁学基本现象的理论研究、磁结构和自旋波的动力学、以及磁系统与其他多物理系统之间的耦合，如微波腔自旋电子学（磁子和光子之间的耦合）和自旋力学（自旋波和弹性波之间的耦合）等。他提出并设计了新型自旋电子器件和基于磁性体系的非常规计算概念，例如基于磁系统的存算一体逻辑门和具备自主学习功能的类脑计算架构。他还开发了基于有限元方法的微磁仿真模块，具有与其他多物理场系统双向耦合的能力，有助于基础磁学的研究和新型自旋电子器件的设计。

参考文献

A. Barman et al., The 2021 Magnonics Roadmap, J. Phys.: Condens. Matter, vol. 33, no. 413001, 2021.
A. V. Chumak et al., Magnon Spintronics, Nature Physics, vol. 11, no. 453, 2015.
H. Yu, J. Xiao, and H. Schultheiss, Magnetic Texture Based Magnonics, Physics Reports, vol. 905, no. 1, 2021.
V. G. Bar’yakhtar and B. A. Ivanov, The Landau-Lifshitz Equation: 80 Years of History, Advances, and Prospects, Low Temperature Physics, vol. 41, no. 663, 2015.
J. Lan, W. Yu, R. Wu, and J. Xiao, Spin-Wave Diode, Phys. Rev. X, vol. 5, no. 041049, 2015.
W. Yu, J. Lan, R. Wu, and J. Xiao, Magnetic Snell’s Law and Spin-Wave Fiber with Dzyaloshinskii-Moriya Interaction, Phys. Rev. B, vol. 94, no. 140410, 2016.
J. Lan, W. Yu, and J. Xiao, Antiferromagnetic Domain Wall as Spin Wave Polarizer and Retarder, Nature Communications, vol. 8, no. 178, 2017.
W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Polarization-Selective Spin Wave Driven Domain-Wall Motion in Antiferromagnets, Phys. Rev. B, vol. 98, no. 144422, 2018.
W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Magnetic Logic Gate Based on Polarized Spin Waves, Phys. Rev. Applied, vol. 13, no. 024055, 2020.
B. Z. Rameshti, S. V. Kusminskiy, J. A. Haigh, K. Usami, D. Lachance-Quirion, Y. Nakamura, C.-M. Hu, H. X. Tang, G. E. W. Bauer, and Y. M. Blanter, Cavity Magnonics, ArXiv:2106.09312 [Cond-Mat], 2021.
W. Yu, J. Wang, H. Y. Yuan, and J. Xiao, Prediction of Attractive Level Crossing via a Dissipative Mode, Phys. Rev. Lett., vol. 123, no. 227201, 2019.
W. Yu, T. Yu, and G. E. W. Bauer, Circulating Cavity Magnon Polaritons, Phys. Rev. B, vol. 102, no. 064416, 2020.
W. Yu, J. Xiao, and G. E. W. Bauer, A Hopfield Neural Network in Magnetic Films with Natural Learning, ArXiv:2101.03016 [Cond-Mat], 2021.

计算电动机的损耗、温度和效率

Rahul Bhat — Thu, 23 Sep 2021 02:52:51 +0000

在之前的一篇博文中，我们曾以一个直径为 35 毫米、轴向长度为 80 毫米的 12 槽、10 极永磁电机 (PMM) 为例，讨论了如何在 COMSOL Multiphysics^® 软件中分析电动机和发电机设计，包括如何检查旋转机器中的磁通量分布、扭矩、损耗和铁的用量。在今天的博文中，我们将研究铁损耗和铜损耗的变化、由此产生的温升及其对永磁电机效率的影响。在讨论损耗之前，我们先来看看旋转电机仿真的一个基础知识：能量守恒。

本文是讨论如何使用 COMSOL Multiphysics 分析旋转机械设计的系列博客的第二篇。点击此处阅读本系列博客的第 1 部分。

能量守恒验证

可以通过检查相关的功率值来查看能量守恒。为此，我们将通过旋转机器仿真来研究能量守恒现象。在对旋转电机进行建模时，通常将铁制定子和转子设置为零电导率，并使用 Steinmetz 或 Bertotti 等经验模型单独计算铁损耗。这是因为定子和转子铁芯由叠片组成，以最大限度地减少涡流。

如果使用铁的体电导率，数值模型将大大高估损耗并计算出一个低净磁场，相当于使用了非层叠状铁材料的损耗和磁场。这就是为什么需要单独计算铁损耗的原因。使用这种方法，可以用下列公式计算效率式中，选择忽略摩擦和风阻损失，因为它们仅占总损失的一小部分（约 3%）。当认为有必要计算这些损失时，我们也可以很容易地包含这些项目。

上述内容意味着，在电磁有限元模拟中，应该使用输入的电能来激发磁场，在转子上产生扭矩，并产生铜损耗。在能量守恒方面，输入的电能应该等于机械功率输出和铜损耗之和。瞬时电功率由给出，其中，和分别是定子的三相电压和电流。机械输出功率由给出，其中，是转子上的扭矩，是角速度。

左：转子速度为 3250rpm 和定子电流为 10A 时的瞬时功率平衡。右：平均功率平衡（输入功率与输出功率和铜损耗之和的相对误差）。

瞬时功率平衡可以通过观察机械功率输出、铜损耗、它们的总和以及输入得电功率如何随时间变化来研究。为了进一步研究能量守恒，对于不同的转子速度和定子电流组合，可以得到输入电功率和输出功率及铜损之和的时间平均值。计算输入功率和输出功率加损耗之间的相对误差。在整个变化范围内，最大的相对误差评估为小于1%。验证能量守恒确保了没有意外的损失存在，并使我们对使用数值分析作为开发旋转机器的工具充满信心。

研究铁和铜损耗

损耗的计算很重要，因为它们在效率计算和温升评估方面具有重要意义。铁损耗包括转子和定子铁中，随时间变化的磁通密度产生的磁滞和涡流损耗。铜损耗是由于传导电流在定子线圈中产生的欧姆损耗。

使用 参数扫描 功能，我们可以研究铁损耗和铜损耗随转子速度和定子电流的变化。也可以使用自 COMSOL Multiphysics 5.6 版本起提供的损耗计算 子功能来计算损耗。对于叠层铁，使用经验 Steinmetz 和 Bertotti 模型。它们为我们提供了由于磁滞和涡流造成的总损耗。Bertotti 损耗模型允许用户指定层压厚度。也可以使用完全由 用户定义 的材料模型，以及自己定制的 B-H 曲线。更高级的效果，例如各向异性，也可以包含在模拟中。可以使用损耗计算 子功能（基于欧姆定律）中的电阻损耗 选项获得铜损耗。

随转子速度变化的铁损耗（左），随定子电流变化的铜损耗（中），随定子电流变化的转子转矩（右）。

铁损耗

铁损耗随转子速度线性变化，与定子电流无关。这可以通过将其与经验损失模型相关联来理解。可以使用 Steinmetz 方程计算铁损耗，该方程由下式给出，其中是单位体积的铁损，是最大磁通密度，是磁通密度变化的频率。

这个表达式表明铁损耗随频率线性变化，而频率又与转子速度成正比。此外，铁中的磁通密度主要由磁铁决定。定子电流仅具有边际效应。因此，铁损耗与转子速度呈线性关系，几乎不依赖于定子电流。

铜损耗

另一方面，我们观察到铜损耗随定子电流呈二次方变化。当查看由下式给出的欧姆损耗公式时，可以很容易地理解这种二次变化，其中是线圈电流，是线圈电阻。在这种情况下，由于使用了均匀多匝线圈 特征，线圈中的集肤效应和邻近效应被忽略了——当导线相对于集肤深度较细时，这一假设是有效的——因此，的有效值不依赖于转子速度。

转子扭矩

我们还可以查看转子转矩随定子电流的变化，以提取给定电机设计的扭矩常数。扭矩与定子电流成正比，与速度相对无关。扭矩是由定子电流和转子磁场的相互作用产生的。对于永磁电机，转子的磁场由永磁体产生。对于许多典型的设计，它可以被认为是基本不变的。因此，我们很容易理解电磁扭矩只随定子电流而变化。

转子转矩、铁损耗和铜损耗与转子速度和定子电流的关系图可用来获得经验关系并生成电机效率图。转子扭矩常数、铁损耗、铜损耗和电机效率的对应表达式为：

\begin{align*}T_r & =k_1 I\\
W_i & =k_2 {\omega}_r\\
W_c &=k_3 I^2 \\
\eta & = \frac{T_r \omega_r}{T_r \omega_r + W_i + W_c}
\end{align*}

式中， N.m/A, W/rps 是平均斜率，并且 W/A ² .

如果我们将分析生成的效率图(使用经验系数 ) 与从我们的电机模型的参数分析中获得的结果相比较，会发现这非常有意思。

使用 COMSOL Multiphysics^® 研究温升

温度上升会影响电机性能的几个方面。对于永磁体来说，温度从 20℃ 上升到 120 ℃，会导致磁通密度下降，最高可达 30%。这将导致转子扭矩和由此产生的效率的相应减少，并且也可能达到 30%。允许的最大温升通常是根据定子绕组的绝缘等级和永磁材料的退磁极限来确定的。经验发现，温度每上升 10 度，超过允许的极限，绝缘寿命就大约会减少一半。如果在极端的负载条件下，温度超过了绝缘极限，其后果可能是绝缘失效，匝间短路，最终导致定子线圈烧毁。

使用损耗计算 子功能计算的铁和铜损耗可以耦合到传热 (HT)接口以分析热性能。COMSOL Multiphysics 中的传热接口提供了多种研究机器冷却的方法。自然对流或强制对流可以隐式建模——通过使用外表面的传热系数——或显式建模，简单的说就是通过对电机外表面上的层流或湍流流体流动进行建模。可以在不同冷却条件下对稳态温度进行比较研究，以确定最适合特定电机应用的冷却方法。在下一篇博客文章中，我们将更多地讨论电机冷却，例如水冷却套的优化设计。

自然空气对流（左）、流速为 1m/s 的强制空气对流（中）和流速为 50mm/s 的强制水冷（右）的温升。

表面图显示了转子速度为 3000rpm 和定子电流为 2A 时的温度（以度为单位）。在这种情况下，只需通过检查，我们就可以确定如果使用自然对流，就需要 180 (H) 的绝缘等级。如果使用强制对流，绝缘要求将降低到 130 (B) 级；如果采用水冷，使用 105 (A) 级绝缘就足够了。在这里，我们假设已考虑到热退磁效应，因此选择了合适的永磁体材料。

研究电动机效率

归根结底，对电机设计的分析是为了计算它效率。通过效率我们可以知道输入功率的多少部分可以作为机械输出获得。旋转机器的效率随产生的电磁扭矩和转子速度而变化。理想情况下，我们希望以最大效率运行机器，但在实践中，还必须考虑电机驱动的负载的扭矩-速度曲线。因此，我们将在一定的工作范围内使用电机。另一个好方法是选择一个在运行状态下具有最高效率值的电机。

这就是效率图的用武之地。电机的效率图是效率与转子速度和电磁扭矩变化的关系图。换句话说，它也可以被描述为扭矩和速度状态空间中的效率图。负载特性曲线可以叠加在效率图上，用来确定给定负载曲线下系统的整体效率。

例如，电动汽车的负载是以扭矩和速度驱动循环为特征。驱动循环包括负载扭矩和随时间变化的速度。在每个时刻，扭矩和速度值的组合决定了负载的行为。所有这些扭矩-速度数据点在效率图上的散点图有助于确定电机对特定驱动循环提供的总体效率。这使得我们能够估计电机在整个驱动循环期间消耗的总能量，并随后预测电动汽车在单次充电后的续航能力。

COMSOL Multiphysics 提供了内置的建模功能，让我们能够轻松地为电机设计生成效率图。通过力计算 特征可以计算电磁转矩。通过损失计算 子特征可以计算铁损耗和铜损耗。可以使用传热接口来计算由于损耗产生的温度上升，也可以使用多物理场 节点，将该接口完全地耦合到 旋转机械，磁 接口，以包括温度上升的电磁效应。最后，我们还可以通过表图特征们绘制效率图。

使用经验系数（左）和从参数模拟获得的效率图分析生成的效率图。

这里，所有效率图都显示了百分比效率。第一个效率图是通过分析生成的，如第一部分所述。第二个效率图是直接从参数分析中获得的。图顶部的水平线显示最大扭矩对应于 5 A 的定子电流。可以看出，解析效率图和数值效率图具有合理的一致性。

从模拟获得的效率图，包括温升的影响（左）和电机温度图（右）。

与前两张效率图不同，第三张图包括了自然空气对流冷却对温度升高的影响。我们可以观察到，在考虑温升的影响后，在相同的定子电流值范围内，平均转子扭矩值有所下降。此外，随着温度在较高速度下升高（由于损耗增加），由于转子永磁体中的剩余磁通减少，扭矩将进一步降低。这可以通过沿着图顶部对应于“I=5A”的线观察到。最终的结果是，由于温度升高而导致效率分布发生变化。这有助于更好地评估给定电机设计对相关应用的适用性。温度图显示了定子的平均温度。

结束语

综上，首先我们简要地了解了电机模拟过程中的能量守恒。对这类能量守恒进行验证可以帮助我们对从任何有限元仿真工具中获得的结果进行完整性检查。

之后讨论了参数分析，用于研究电磁转矩以及铁损耗和铜损耗随转子速度和定子电流的变化。通过这种分析，可用于提取转矩常数和经验系数，来估计给定电机设计在任何速度和电流值下的损耗。

我们还研究了电机损耗引起的温升，它会对永磁体的电磁转矩、效率、所需的绝缘等级和材料产生重大影响。对不同冷却条件下的温升进行比较研究，可以方便地选择合适的冷却方法。

最后，我们讨论了效率图，这是确定给定电机设计是否满足应用需求的关键工具。考虑温升后检查效率图使我们能够在预期应用的背景下对机器的性能进行精确判断。

动手尝试

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编者注，2025/2/5: 对于 COMSOL Multiphysics 6.2 和 6.3 版本的用户，永磁电机效率图教程模型中示例了一种生成效率图的更简化方法。