在这篇博客中，我们将介绍在 COMSOL Multiphysics^® 中利用对称性进行射频和波动光学模拟的典型工作流程。重点介绍最常用的 电磁波，频域 接口中边界条件的正确选择，讨论如何有效地管理模型以验证结果，以及分析结果的各种方法，包括远场计算和集总参数计算。

应用对称条件的一个例子：纳米球对平面波的散射

我们先来看一个基本的波动光学案例：悬浮在自由空间中的纳米球对平面波的散射。具体来说，我们将考虑波长为 500 nm、在 z 方向偏振并沿正 x方向传播的平面波，以及半径为 100 nm、折射率为复值的纳米颗粒，该折射率取自 COMSOL 内置的光学材料库（Raki 等，1998）。

要模拟这种情况，我们将使用 电磁波，频域 接口和 散射场 公式，并使用完美匹配层包裹周围的自由空间域，以确保外部边界没有反射。由于我们感兴趣的输出结果是远场散射，因此将添加 远场域 特征，以获得相应的可视化效果。使用默认的 物理场控制网格，并激活 解析损耗介质中的波 复选框和 波长域 研究。下图中的 COMSOL Multiphysics^® 用户界面显示了部分设置。

纳米球对平面波的散射。设置窗口中突出显示了 散射场 公式。在 图形 窗口中，显示得到的总场（多切面 绘图）以及功率流（体箭头 绘图）。

虽然从计算所需的内存量和求解时间来看，这个示例要求并不算高，但减少这些需求永远不会有坏处。模型越复杂或需要运行的测试越多，如果能够减少需要的自由度（DOF），就能获得越显著的性能提升。利用对称性是最明显且最有效的一种方法。

注：稍后我们将讨论贴片天线模型的性能提升。

从几何图形来看，由于纳米粒子中心与原点对齐，因此有三个可能的对称平面：xy、zy 和 yz。让我们来确定是否任何一个都可用于缩减模型。在这之前，有必要讨论一下电场和磁场在对称平面上的行为，以及相关的控制方程。

物理场和电磁场系统的实现

电磁场对称性的物理原理与实现方法根据麦克斯韦方程组的特性，如果切向电场为零或切向磁场为零，我们就可以使用一个平面对称。如果切向电场为零，则磁场具有镜像对称性，这可以用 来描述。如果切向磁场为零，则电场具有镜像对称性，可描述为 。

好消息是，这些镜像对称性可以在 COMSOL Multiphysics^® 中轻松实现。从 6.1 版本开始，电磁波，频域 接口有一个专门的 对称平面 条件，可在 零切向电场 (PEC) 和 零切向磁场(PMC) 之间进行选择，前者 相当于基本的 理想电导体 条件，后者相当于 理想磁导体 条件。两种情况的示意图如下。

注：AC/DC 模块中也有为处理电场和磁场而设计的具有类似功能的接口。

两张示意图说明了两种可能的 对称平面 条件。左图显示的是磁场的镜像对称性，使用 零切向电场(PEC) 选项模拟。右图显示的是电场的镜像对称性，使用 零切向磁场 (PMC) 选项模拟。

请牢记这些信息，然后，我们再回到上文中的示例，理清在哪里可以应用 对称平面条件。

确定可能的对称性

以下是一个简要的问题清单，可以帮助我们选择合适的对称面:

• 波在给定平面上的传播和散射方向是否允许利用对称性？
• 在可能的对称面上，波的偏振会发生什么？
• 我们能否认为某一平面上的切向电场或切向磁场均为零？
  • 相反，我们是否期望这些场的方向会由于复偏振态（例如圆偏振）而在空间中沿给定平面发生变化？
• 我们是否期望激发出具有不同对称性的高阶模式？

如何回答这些问题取决于具体情况。有时，答案很简单。例如，对于上述测试示例，我们可以立即将 yz 平面排除在外，因为背景场会向它传播，来回的散射在方向和振幅上都会有所不同。

确定是否可以使用其他两个平面可能需要一些推理和/或初步测试。背景场在 z 方向上极化，因此我们可以考虑电场（“E 场”）在 zx 平面上的镜像对称性，以及磁场（“H 场”）在 xy 平面上的镜像对称性。在这种情况下，米氏散射不会影响这些平面上的极化，也不会产生打破所选对称性的模式。既然我们已经有了完整模型几何的解，就可以通过绘制 zx 和 xy 切向平面上的电场和磁场矢量图来轻松确认。可以使用 体箭头 绘图类型来实现，这种绘图在分析任何矢量场时都非常方便。

zy（左图）和 xy（右图）切向平面上的 E 场（红色箭头）和 H 场（蓝色箭头）。

体箭头 绘图证实，对称平面 条件可通过 零切向磁场 (PMC) 选项应用于 zx 平面，以及通过 零切向电场 (PEC)选项 应用于 xy 平面。

现在，是时候在我们的模型中应用这些对称性了。

在几何和物理场中实现对称性

在几何层面，我们应该为每个对称平面创建一个 工作平面，通过 分割对象 操作使用 工作平面 对整个几何图形进行分割，最后使用 删除实体 操作删除不再需要的实体。此处详细介绍了这一工作流程。在我们的案例中，如果手头有完整的模型，那么复制粘贴整个 组件（相当于复制它）并在第二个 组件 中执行所有这些几何体修改操作将非常高效。

在物理场层面，当我们简化几何后，需要做的主要改动是为每个独立平面添加对称 平面条件。最好使用 对称平面 条件，而不是单独的 理想电导体 和 理想磁导体条件；添加 对称平面 条件后，端口、集总端口、截面计算 和 远场域 节点中的某些表达式将自动调整。最后一个节点非常适合处理我们的示例，因为计算远场结果在这里非常重要。

注：您可以使用 图形 窗口中右键并选择 按连续相切分组 选项，一键选择所有需要的边界。

完成物理设置后，我们就可以为第二个 电磁波，频域 接口添加新的 波长域 研究并启动它。然后，我们就进入了仿真中最有趣的部分——可视化和计算结果。

对给定对称条件的简化模型进行分析

从下面的截图中可以看到，当我们使用 对称平面 功能并在 远场计算 子节点的设置中选择 来自对称平面 选项时，远场可视化不需要任何额外设置就能生成完整的辐射模式。

使用两个对称平面实现了从纳米球上散射的平面波简化模型。图中显示了远场图。绘图会自动生成完整几何的辐射模式。

另一方面，标准电场图默认使用简化的几何显示。不过，您可以添加几个额外的 三维镜像 数据集，以便在显示结果时还原完整的几何。这些数据集具有 矢量变换 的高级设置，需要与实现的对称性对齐。在我们的示例中，对于 zx 镜像，需要使用 反对称 选项。提醒一下：只有在绘制向量场时才需要使用反对称 选项；对于标量变量，最好保留默认设置。

在进行任何积分操作（例如计算有损粒子吸收的总功率）时，我们都要考虑到同样的问题；我们可以使用额外的 三维镜像 数据集，或者在使用默认的 解 数据集时手动添加相应的倍增因子。

再举两个例子

我们再来看两个可以利用对称性的例子。我们将更快速地介绍这两个例子，只关注一些无法用纳米球散射模型来演示的方面。这两个例子以及第一个模型可在文末下载。

使用集总端口模拟的贴片天线案例

天线模拟是另一个可以从利用对称性获益的领域。为了演示，我们考虑 COMSOL 案例库中的微带贴片天线教程模型。我们将展示在 yz 平面上对其进行分割，并使用 零切向磁场 (PMC) 选项实施 对称平面 条件会如何影响集总参数的绘制，以及常规频率扫描的一般性能。

这里的关键考虑是，当我们简化模型时，会将辐射集总端口切成两半。对于这种情况，可以选择 通过对称平面调整特性阻抗 选项。选择该复选框意味着，即使将端口面积减小了 2 倍，也能保持完整几何体的特性阻抗 值，这样就有机会直接计算与该值相关的所有变量，如集总端口电压、S 参数、实际增益等。然而，一旦通过基于边界的积分计算出集总端口的功率和阻抗，我们就需要对其进行缩放，以获得正确的数值。这种缩放要求与在第一个例子中的体积损耗积分类似。

另一个需要注意的问题是，切割 集总端口 边界的方向，以及这对输入电压振幅的影响。对于贴片天线模型，厚度保持不变，因此无需缩放电压幅度。但是，如果对称性沿垂直于整个 集总端口 的电场方向切割，就需要在缩小的模型中加入相应的乘数来缩放电压幅度。在 集总端口 内定义功率时也要考虑同样的因素，因为会按照 自动进行转换。

计算结果

当将所有这些结果与完整几何参考进行比较时，可能会发现显著差异。虽然一开始可能会让人感到困惑，但这恰恰表明需要进行网格细化研究。换句话说，对于简化的模型，我们可以看到更高的集总端口分辨率，这一点非常重要，因为它提高了计算的集总参数的准确性。对于其他小几何细节也是如此。实现网格充分细化的一种方法是在简化模型和参考模型的网格中选择 细化传导边 选项。下一张截图显示了最终结果。通过重新进行计算，您可以在简化模型和完整模型之间获得更好的相关性。

注：另一种找到最佳网格分布的方法是运行 频域，RF自适应网格 研究。您可以相应的教程模型中查看详细信息。

使用 对称平面 条件的微带贴片天线模型。在绘图 1（上图）中，您可以看到 细化传导边 功能生成的优化网格配置，以及以对数刻度显示的电场模式。在绘图 1 下方，选定的集总参数表（左）和绘制的 S11 曲线（右）都显示了完整模型和简化模型之间的紧密相关性。

在这个案例中，实施对称性的一个积极作用是：它带来了更好的精度，但对计算过程有什么影响呢？下表显示了两次测试运行的结果，比较了完整模型与简化模型在自由度数、使用的 RAM 和求解时间方面的性能。简而言之，将模型减半后，求解时间减少了 42%，内存使用量减少了 25%。这些数字与硬件有关，对资源要求更高的应用将获得更好的性能提升。

基于修改后的微带贴片天线模型的性能比较。使用的 RAM 和求解时间分别减少了 25% 和 42%。

矩形波导和高阶模式

在实施 对称平面 条件时，还需要仔细考虑系统中涉及多个不同模式的计算。此类应用可能直接涉及特征值计算，也可能是一个在模拟域内或通过一组 端口 条件激励各种模式的频域模型。

举例来说，让我们来看一个矩形波导横截面的简单 模式分析 研究，重点关注对称性的影响。当我们研究感兴趣的模式时会发现，在前六个模式中，TE10、TE11 和 TM11 遵循 零切向磁场 (PMC) 型对称性，而 TE01、TE20 和 TE21 则具有理想电导体 (PEC) 型对称性。也就是说，如果我们要考虑一个同时存在 TE10 和 TE20 模式的多模波导，就需要保留完整的几何结构；否则，我们就会丢失其中一个模式，从而得到不正确的最终结果。

对于每个复杂的多模应用来说，一个好的做法就是像我们在这篇博客中所做的那样，对系统中感兴趣的模式进行初步研究。对于波导模型，明智的做法是执行扩展模式分析 。对于一般情况，一些常识性推理或 特征频率 计算可能很方便。

矩形波导的 TE10（左图）和 TE20（右图）模式。在两种模式的上图中，切向 E 场用红色箭头标出，H 场用蓝色箭头标出。中图显示了 E 场和 H 场分布的大小。如果利用对称性，TE10 模式需要满足零切向磁场（PMC）条件，而 TE20 模式则需要满足零切向电场（PEC）条件。

在某些情况下，还需要注意两个额外的修改：如果采用的是根据序列号选择模式的方法，那么当通过对称性缩减模型时，就需要对这一方法进行相应的更新。如果我们使用端口条件，应该记住缩放 端口 的输入功率，并根据其表面减小的比例进行缩减。

关于对称平面条件的总结

在这篇博客中，我们演示了如何遵循一些简单的规则并利用 对称平面 条件，在电磁波，频域 接口中利用 对称 条件。如果使用得当，这种方法可以提升各类散射、辐射和波导问题的计算性能，甚至获得更精确的结果。虽然这些操作几乎是全自动的，但在可视化和计算结果时，某些操作（如体积积分或边界积分）可能需要额外的手动缩放。在简化模型时，我们鼓励大家先运行初步简化模型，并与完整模型进行比较，以确保结果的一致性。

动手尝试

点击下方链接获取本文中讨论的教程模型，尝试自己动手利用对称性，查看所有辅助设置和各种可视化及计算结果的选项。

玻璃是如何着色的

在光学领域，我们经常会看到透射光谱、反射光谱和吸收光谱，大多数情况下，我们并未留意具有特定光谱的材料在人眼中会呈现怎样的外观。但是，当涉及使用色素和染料时，我们必须考虑材料的视觉外观。

考虑到玻璃加工时需要高温，塑料工业中使用的有机染料不能用于玻璃着色，因为这类染料无法承受如此高的温度。虽然有许多其他方法可用于生产不透明或乳白色玻璃，以及通过涂层获得颜色，但获得色调均匀的透明玻璃，主要有两种方法：

• 将在可见光范围内具有吸收带的金属离子溶解到玻璃中（例如，铁 (II) 离子会产生绿色色调）
• 掺杂，即将纳米颗粒分散到玻璃中，在可见光范围内产生强烈的散射和/或吸收

第一种方法要简单得多，但问题在于，并不存在能够稳定吸收绿光（会产生红色色调）的金属离子，因此红色色调必须通过纳米颗粒掺杂产生。生产含有纳米颗粒的玻璃通常是先将一种物质（例如金属）溶解到熔融玻璃中，然后通过精心设计的热处理工艺，使该物质析出为所需尺寸的纳米颗粒。由于散射和吸收在很大程度上取决于颗粒的大小（和形状），如下文所述，通过调整热处理可以在一定程度上调节色调。

由蔓越莓红玻璃（又称“蔓越莓玻璃”）制成的碗。照片由 PetitPoulailler 提供，获 CC BY 2.0 协议授权，通过 Wikimedia Commons 共享。

要获得含纳米颗粒的玻璃，目前最常见的方法是将硒与镉沉淀成纳米颗粒（称为“硒红玻璃”），但历史上唯一已知的方法是使用金元素。接下来，我们将使用 COMSOL Multiphysics^® 软件来研究金纳米颗粒的半径如何影响含纳米颗粒的玻璃的最终色调。

从散射计算中获取光谱

波动光学模块是 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加模块，非常适用于研究含金纳米颗粒的玻璃的透射光谱与颗粒大小的关系。实际上，我们只需对金纳米球的光散射案例模型做一些简单的修改，就可以获得透射光谱。将颗粒周围区域的折射率设定为玻璃的折射率后，需要定义获得透射光谱所需的变量。首先，计算散射和吸收截面

       
    
和

以及二者的总和，即消光截面 ，相当于透射时的总衰减。在上述公式中， 是入射强度， 是散射场的坡印廷矢量， 是耗散功率密度。这两项分别对粒子表面和体积进行积分。这些计算可以方便地通过添加 COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本中新增的 截面计算 功能来实现，该功能可将上述定义的三个散射截面作为预定义变量使用。

截面计算 功能可用于处理计算截面所需的所有设置。

最后的步骤是根据颗粒半径和波长进行扫描，并绘制结果图。消光截面如下图所示。

分散在玻璃中的金（Au）纳米颗粒在一定颗粒半径范围内的消光截面。

从结果可以看出，纳米颗粒尺寸越大，整体效果越强。然而，增大颗粒尺寸需要更多的金，而我们希望用最少的金获得最深的颜色。为此，我们通过计算衰减系数（也称为“光密度”） ，来对结果进行归一化处理 ：

式中, , , 和 分别是金的质量密度、纳米颗粒质量和纳米颗粒半径。最后，根据 的定义，我们可以得到透射率与波长的函数关系，即透射光谱：

式中， 是样品的厚度。从下图中可以看出，存在一个最佳情况：颗粒半径在 25 nm 左右时颜色最浓。

在金质量浓度为 0.02 g/L 的情况下，1 cm 厚的玻璃上分散有不同半径的金纳米颗粒时的透射率。

将透射光谱转换为颜色

假设有一些玻璃样品，透射光谱如上图所示，它们看起来会是什么颜色？要回答这个问题，我们需要计算光谱的三刺激值；本质上，这是一种可以量化人眼中三种视锥细胞对任意透射光谱的反应的标准化方法 。其值如下:

 式中，  是背景光谱（这里我们选择使用CIE 标准光源 D65  ，相当于日光）,, , 和 是不同类型锥细胞的  CIE 颜色匹配函数。这里，将归一化定义为

颜色匹配函数和光源的曲线图如下所示。

显示标准光源 D65（左）和三种配色函数（右）的曲线图。

最后，如果我们希望在电脑屏幕上显示颜色，就需要将三刺激值转换为 sRGB 值，这可以通过以下线性变换来实现：

结合非线性伽马校正

式中， 代表 、 或 。下图显示了玻璃样品的 3D 效果图，以及从上述光谱中提取的颜色。

玻璃样品的 3D 效果图。

此外，作为模型的点睛之笔，将每个光谱的绘图颜色更改为该光谱所转换的颜色。我们可以使用 App 开发器中的一个简单 Java 方法来简化这一过程。最终结果如下图所示。这里，我们可以看到，通过调整金纳米颗粒的大小，确实可以改变含有金纳米颗粒的玻璃的颜色：尺寸较小的颗粒会衰减绿色波长使玻璃呈现红色，而逐渐增大颗粒尺寸则会使衰减向橙色波长转移，从而使玻璃呈现蓝色。

结语

通过将金纳米颗粒分散到玻璃中使其变红的案例研究，我们了解了如何通过标准散射计算获得透射光谱，并将其转换为可在计算机屏幕上显示的 RGB 颜色。

想要亲自动手尝试模拟本文中讨论的模型吗，请单击下面的按钮获取案例模型。

延伸阅读

想了解更多有关光学散射和转换光谱的信息吗？请查看以下学习资源：

• 了解更多有关光学散射计算的信息，请查看 COMSOL 学习中心的这篇文章：光学散射仿真简介
• 探索一个更高级的、使用了相同的颜色理论颜色的过滤器，结构滤色器代理模型演示

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特征模态和重叠积分

小测验：为下一代通信系统设计光缆，优化桥梁设计以尽量减少不必要的机械共振和优化客厅的声学布局，这三者有什么共同之处？

对于上述每一个场景，我们都必须充分了解系统的特征模态。特征模态及其相关特征值（也称为固有频率）描述了线性系统对外部激励的响应方式，因此在设计中起着至关重要的作用。在一些应用中，例如射频通信腔滤波器或扬声器驱动器，我们希望能最大程度地耦合一个或多个特征模态，而在其他应用中，这些共振模态的耦合可能会导致灾难性后果，如桥梁坍塌。

当在参数扫描过程中调整系统参数，如工作频率或几何尺寸时，特征模态和频率自然会发生变化。然而，这些模态通常会保持定性相似性。让我们来看一个简单的示例，像鼓或克拉尼板振动表面一样的二维椭圆形薄膜的波动方程。

具有固定边界的椭圆形薄膜的二维波动方程的前 5 个特征模态解。

特征频率研究显示了前 5 个特征模态，其位移大小如上图所示。现在，假设我们要对椭圆域的垂直高度进行参数扫描。

图中显示了前 5 个模态的特征频率与椭圆域垂直高度的关系。请注意，在高度为 10 cm 时，模态 2 和模态 3 ，模态 4 和模态 5 之间的简并，而此时椭圆域是圆形的。

前 5 个模态的特征频率如上图所示。请注意，当垂直高度为 10 cm 时，模型域是圆形的。这导致模态 2 和 3 之间，模态 4 和 5 之间的简并。事实上，过了简并点，模态 2 和 3 就会在特征值图中互换阶次。这种模态交叉行为在许多特征频率研究中都很常见。当这些模态的阶次发生变化时，如何在特征值图中追踪它们呢？要回答这个问题，让我们仔细观察其中的一个模态。

参数范围两个端点处的模态 2。

高度为 8 cm 和高度为 12 cm 时的模态 2 如上图所示。通过肉眼就可以明显观察到这两个模态的相似性。我们可以用模态重叠积分来量化这种相似性：

变量 和 代表两个任意的特征模态解。这个方程的关键部分在于分子：在两种模态之间进行 内积 。分母将重叠度的值归一化，使其介于 0 和 1 之间。

一个模态与其自身的重叠度为 0，因为它们是相互正交的。对于参数值不同的模态，只要模态在性质上相似，M 接近 1。例如，上述两个模态的重叠度 M = 0.95，证实了我们的直观识别。两个不相似的模态的重叠度接近 0。

利用这一度量标准，我们可以通过对重叠值施加一定的阈值，来建立模态匹配方案。这可用于色散图中过滤或分组模态，甚至在模型方法的帮助下自动生成模态轮廓动画。接下来，让我们看看如何将这一策略应用到多个不同的物理学科。

示例 1：光学各向异性波导

在上一篇关于如何模拟光学各向异性介质的博客中，我们研究了光学各向异性波导的横向模式。这些模式可以按照电场的主要方向以及横向平面上振幅最大值的数量进行分组。 模式的一些示例如下图所示。

光学各向异性波导中前 3 个 特征模式。

由于波导的主要目标是控制光流，因此了解这些传播模式的行为至关重要。在每个频率下，每个模式都有一个相关的有效折射率，该折射率决定了它们的传播速度、有效波长以及衰减程度（如果模型中存在损耗）。我们使用色散图来绘制有效折射率随频率变化的曲线。

波导的色散图如上所示。由于存在大量的模式交叉，因此有必要对特征模式进行分类，以便正确标记。

在模式分析研究的原始输出中，没有以任何有意义的方式有效折射率进行分组或排序，因为求解器没有这些模式的先验知识。我们采用重叠积分计算方法，按模态轮廓对这些特征值进行分类。现在，由于每个有效指数值都与特定的 或 模式相关联，因此我们可以轻松地使用滤波器和绘图选项在绘图图例中为每个模式着色和标注。请注意，这种方法能够正确解析多模式交叉以及特征值非常接近的模式，例如 和 模式的交叉。

示例 2：旋转叶片的特征频率

深入理解风力涡轮机叶片或电动汽车电机等旋转部件的共振模态，对于稳定性分析或最大限度减少噪声和振动等应用至关重要。我们来看 COMSOL应用库中的一个基本示例：旋转叶片的基本特征频率模型 。

当矩形叶片以越来越大的角速度旋转时，预计会出现两种主要的竞争现象：应力刚化和旋转软化。前者由于离心效应产生的静态应力场使叶片变硬，从而对固有频率产生向上的影响。后者则由于运动的径向放大而使叶片软化，导致对固有频率的向下影响。这些效应的平衡在坎贝尔图中得到了最好的体现，即固有频率与旋转角速度的关系图。

旋转叶片的坎贝尔曲线图。请注意，模态 2 和 5 的特征频率明显增加。

上图是前 7 个特征模态的坎贝尔曲线图。总体而言，我们观察到固有频率呈上升趋势，这表明应力刚化起了很大作用。这在模态 2 和 5 中更为明显，在所研究的参数范围内，这两个模态的特征值急剧上升，并超过了其他模态的特征值。前 6 个模态的位移和应力如下图所示。

旋转叶片的前 6 个特征模态。

在更复杂的系统中，坎贝尔图中的固有频率可能更多，既有上升趋势，也有下降趋势。了解这些趋势并将其可视化，对于确定如临界转速等至关重要。通过模态重叠积分，可以轻松地对这些模态集的行为进行分类和追踪。

示例 3：带弹性壁的消声器特征模式

多物理场仿真在内燃机消声器的设计中发挥重要作用。除了模拟空气中的压力波外，还必须考虑空气与消声器外壳之间的相互作用，从而可以更加准确地模拟整个频率范围内的传输曲线。

声-结构相互作用的其中一种效应是引入更多的共振模式，这一点可以通过两个相关的示例来说明：消声器中的特征模式 和 带弹性壁消声器中的特征模式。我们来详细探讨后一个模型。在一定频率范围内对消声器横截面进行模式分析，以确定模式轮廓及其相应的截止频率。

带弹性壁的消声器色散图。除平面波模式（蓝色）外，由于空气与消声器壁之间的声-结构相互作用，还存在许多其他模式集。使用模式重叠积分法跟踪了其中的一个子集。

上面的色散图绘制了部分模式及其传播常数与频率的关系。显然，数据集中的趋势很可能与不同的模式系列相对应。例如，平面波模式形成了一条贯穿整个频率范围的对角直线。通过应用重叠积分，我们可以确认平面波模式的预期行为，并追踪整个频率范围内的其他几个模式。模式轮廓图如下所示。

上图显示了带弹性壁的消声器中的部分模式轮廓。

借助模型方法，我们甚至可以自动生成整个频率范围内的模式演变动画。

在模型方法的帮助下，在整个参数范围内对模式 3 的演变进行追踪并用动画演示。

上面的动画演示了模式 3 如何从接近其截止点的 160 Hz 急剧变化到研究的上限 400 Hz，过程中还跨越了其他几个特征模式。在模态重叠积分的帮助下，追踪单个模式集的演变变得更加容易。

下一步

在这篇博客中，我们演示了如何使用模态重叠积分方法在特征频率研究中追踪和分类模态。请点击下面的按钮进入 COMSOL 学习中心，了解相关内容：

此外，这篇博客中讨论的模型可在 COMSOL 案例库中下载：

• 各向异性光学波导
  
• 旋转叶片的基频
  
• 带弹性壁的消声器中的特征模态
  

扩展阅读

• 下一代红外光纤设计的仿真分析
• 通过形状和拓扑优化实现特征频率最大化
  
• 室内设计声学
• 多物理场仿真优化消声器设计
  

超材料简介

超材料是由亚波长组件组成的人工构造结构。这些结构展现出各向异性色散特性，可以通过改变组成单元的形状、几何结构、尺寸、方向和材料特性来控制其电学特性，如介电常数、磁导率和电导率。通过合理选择控制参数，可以将超材料设计为具有金属（负实介电常数）或电介质（正实介电常数）特性。金属或等离激元超材料展现出两种不同的拓扑：双曲型和椭圆型。在双曲拓扑中，正交轴上的介电常数符号相反；在椭圆拓扑中，所有方向上的介电常数均为负。

这种等离激元超材料具有亚波长周期性和尺寸，可以通过周期性排列的金属–电介质层以及嵌入电介质中的金属纳米棒来构建。双曲波在超材料结构内部的传播被高度限制，其波长比自由空间中的波长小 100 倍。这种独特的电磁特性使得双曲超材料在如增强超透镜效应、亚衍射成像、传感、负折射、能量收集，以及量子和热工程等潜在应用中与传统各向同性材料截然不同。

接下来，我们将讨论采用半经典电磁方法计算层状金属-电介质超材料的介电常数张量分量。

计算超材料介电常数：仿真vs.有效介质理论

假设一个线性（垂直）极化电点偶极子源位于双曲超材料附近的空气中，该双曲超材料由周期性定向的亚波长金属–电介质层组成。偶极子辐射的消逝场与超材料结构耦合，激发出两种类型的波：沿金属–空气界面传播的表面等离激元和在超材料内部传播的双曲波。

位于超材料结构附近空气中的电点偶极子示意图。该结构由周期性排列的金属层和具有亚波长厚度与周期性的电介质组成。

超材料的各向异性相对介电张量 可以通过本构关系计算，用电位移场 和电场 表示为

1

假设超材料没有磁性， 的径向和垂直分量可表示为

2

3

在 和 已知的情况下，方程 2 和 3 可用于计算超材料的介电常数张量。为了在 COMSOL Multiphysics^® 软件中计算这些值，需要使用 up 和 down 算子计算平均电位移场和电场分量。然后，使用 平均 算子对本构关系 进行积分，计算有效介电常数。需要强调的是，这些算子是在超材料的金属–电介质内部边界上执行的，用于估算边界两侧不连续的场。

计算超材料介电常数的另一种方法是有效介质理论。在亚波长范围内，对角线分量可通过下列有效介质理论¹ 计算

4

5

式中， 是金属的填充率。 和 分别为金属层和电介质层的厚度； 和 分别为金属和电介质的相对介电常数。

方程 4 和 5 表明，超材料的各向异性色散取决于金属–电介质层的厚度和填充率。 和 的值可正可负，取决于层厚度和材料特性。

为了进一步说明，假设一种由银（金属）和二氧化硅（电介质）组成的超材料，相对介电常数张量对角分量的实部与金属填充率 的关系如下图所示，图中显示了电介质、双曲型和椭圆型三种状态。下图中， 表现出共振行为，因为它取决于相邻金属层之间的电磁耦合； 则显示出平滑的变化。在双曲状态下，介电常数张量的分量符号相反。在 较大的情况下， 的值受金属体积增大的影响，且为负值，产生椭圆拓扑。当 非常小时，金属对超材料特性的影响可以忽略不计，超材料表现为各向异性电介质。

超材料有效相对介电常数对角线分量的实部与金属填充率的函数关系。超材料由具有亚波长厚度和周期性的银层和二氧化硅层组成。

接下来，我们将详细介绍在超材料中激励双曲波的仿真设置。

双曲波激励仿真

本节探讨了 COMSOL Multiphysics^® 软件中利用附近电点偶极子辐射的场模拟超材料中双曲波的传播的能力。模拟的超材料由周期性排列的银和二氧化硅薄层组成，材料属性取自软件的内置材料库。使用 COMSOL 附加产品波动光学模块中的 电磁波，频域 接口和二维轴对称几何进行模拟。如下图所示，使用 电点偶极子 特征模拟线性（垂直）极化偶极子源，完美匹配层用于吸收电波并尽量减少不必要的反射。运行一个波长域研究步骤来求解域场。运行另一个波长域研究步骤来计算超材料的有效介电常数张量与波长的关系。由有效介质理论（方程 4 和 5）和本构关系（方程 2 和 3）计算介电常数张量分量与自由空间波长的关系。

一个线性（垂直）极化电点偶极子被用作光源。波长域研究步骤用于求解域场和超材料色散。

结果

运行模拟研究1后，可以直观地看到超材料中被激励的双曲波。下面的动画显示了光子能量为 2.6eV 时的瞬时电场。如上所述，偶极子激励了在超材料内部传播的双曲波模式，以及在超材料-空气界面从源点向外径向传播的表面等离激元。

超材料中被激励的双曲波的瞬时电场和在超材料–空气界面传播的表面等离激元。

运行模拟研究 2 后，可以计算出超材料的有效相对介电常数。使用有效介质理论计算和使用方程 2 与方程 3 本构关系计算的结果非常吻合，如下图所示。

使用有效介质理论（实线）计算和通过仿真（标记点）模拟的超材料有效介电常数的对角线分量。

为了进一步直观地展示场分布如何随光子能量的变化而变化，下面的动画演示了光子能量从 2.6 eV 变化至 1.4 eV 时双曲波的电场模。模拟结果表明了双曲波的分支如何随光子能量的变化而演变。

超材料内部双曲波的变化与光子能量从 2.6 eV 变化至 1.6 eV 的函数关系。

本文所讨论内容也可用于模拟不同类型的等离激元材料，以及探索相关的光物质相互作用。

动手尝试

想尝试自己动手模拟双曲超材料吗？请单击按钮，下载文中讨论的模型。

参考文献

1. T. Li and J.B. Khurgin, “Hyperbolic metamaterials: beyond the effective medium theory”, Optica 3, pp.1388–1396, 2016

扩展阅读

• 了解有关超材料的更多信息，请阅读以下博客:
  • 使用 COMSOL Multiphysics^® 开发用于设计超透镜的仿真 App
  • 在高频电磁学中模拟石墨烯材料
  • 通过仿真分析特殊多孔超弹性材料

编者注：这篇博客于2024年12月9日更新，以反映现在在该模型中使用的 COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本新增的 电点偶极子 特征。 

理解平面周期性结构的衍射

我们以入射到具有无限周期的平面结构上的平面光波为例来说明。该平面上方和下方的介质可以具有不同的折射率，并假定为无损耗和无限域。在这些介质的交界面，存在材料性质和形状等复杂的周期性结构。入射到周期性结构上的光至少会发生镜面反射，也会发生折射（称为镜面透射），通常还会有一些损耗，因为电磁能会转化为热能。反射角和折射角可以通过斯涅尔定律计算，但入射光在周期性结构中的反射、透射或损耗的部分需要进行数值分析。

以一定角度入射到平面周期性结构上的平面波。突出显示了周期性结构的一个基本单元。

如前所述，也存在高阶衍射的可能性。当周期性结构散射的光被相长干涉到不同的方向时，就会出现这种情况。下面展示了这种结果的一个示例。

入射到周期性基本单元的线性偏振平面波（黄色）示意图。在反射（红色）和透射（蓝色）中，入射光被散射成几个不同强度和偏振的衍射级。

要确定这些进入其他相似方向的光的比例，同样需要建立一个数值模型，但要了解光会散射到哪些方向，可以通过一种被称为埃瓦尔德球结构的纯几何方法来实现。在开始数值分析之前，熟悉这种方法很有帮助，这也是我们将在这篇博客中介绍的内容。埃瓦尔德球几何结构既可用于单向周期性平面结构，也可用于面内双向周期性结构。

单向周期性结构

像光栅这样的平面周期性结构仅在一个方向上具有周期性变化，即该结构沿三维方向没有变化。当入射光在三维空间的法线平面上传播时，模拟可以被简化为沿一个方向具有周期性的二维平面。

以一定角度入射到单向周期性结构上的平面波，在结构或场中沿面外方向没有变化。突出显示了一个基本单元。

对于这些结构，我们只需考虑基本单元间距 ，并首先在 倒易空间中绘制一组晶格点，因此下图中的尺寸单位为逆长度。这些晶格点的连线对应于周期性结构的界面平面。晶格点之间的间距为 ，晶格点的索引从第四个晶格点 开始，可将其视作位于基本单元的中间。然后，在晶格点连线的上方和下方绘制两个半圆。反射侧的半径为 ，透射侧的半径为 ，两侧的折射率分别为 和 ， 为自由空间波长。对于与法线夹角为 的入射光，这些圆的公共中心与晶格的第零个点偏移了 。位于这些半圆内的晶格点对应于可能的衍射级。

用于确定单向周期性平面结构的衍射级的几何结构，该平面结构被一定角度入射的平面波照射。请注意半圆（白点）的中心是如何偏离第零晶格点的。

这种结构还可用于确定衍射的方向，并为每个方向分配一个索引。从半圆中心投影到晶格点的矢量对应于每个衍射级的 矢量。这些晶格点的索引在两侧的符号相反。指向第零个晶格点的箭头始终存在，代表镜面反射和透射。其他衍射级的存在取决于波长、折射率、间距和入射角度。COMSOL案例库中包含两个建立此类模型的案例：使用 RF 模块的表面等离激元线光栅（RF）和使用波动光学模块的表面等离激元线光栅分析仪（波动光学）。

单向周期性平面结构各种衍射级的波矢量。请注意反射衍射级与透射衍射级之间索引符号的变换。

双向周期性结构

现在，我们来看看在两个方向上具有周期性的平面结构的衍射情况。下图显示了构建平面的矩形、菱形和六边形基本单元。这些单元由两个单元矢量定义： 和 ，它们从一个点开始，沿着相邻的边到达下一个顶点。虽然我们可以自由使用任何坐标和方向，但本文将始终选择 向量与全局笛卡尔 x 轴对齐，并始终从光照方向俯视基本单元。此外，还有两个基向量 和 ，描述了基本单元在平面上的移动方式，用于构建平面。也就是说，要构建整个平面，需要在 的基础上复制基本单元，而 和 的值可以是任意整数。这两个矢量的叉积大小可用于计算基本单元的面积：。

矩形、菱形和六边形基本单元构成了二维平面。单元矢量与单元的两条边相对应，而基矢量则描述了如何移动单元来构建平面。

这些基矢量用于定义两个倒易空间衍射矢量： 和 ，其中 是周期性平面的法向量，即 +z 轴。这些衍射矢量与基矢量垂直，并通过取整数和在周期性平面上创建衍射晶格：，晶格中的每个点对应于 和 方向上 和 的索引对。在基本单元的传输侧，点的位置相同，但索引调换，且符号相反。

在倒易空间绘制的衍射矢量和晶格点。

现在，我们可以在三维空间的周期性平面上将这些衍射点可视化，并在平面上方和下方添加一个半径等于材料中波矢量的半球。通过半球，我们可以得知在反射和透射中存在哪些衍射级。刚开始，我们以点 为半球中心，代表法向入射光线。

平面波光（黄色箭头）通常入射到一个周期性六边形单元上。衍射点绘制在周期性平面上，位于反射半球和透射半球内的突出点表示将出现的衍射级。

接下来，我们来看看入射仰角和入射方位角变化时的情况。考虑到我们习惯上选择保持 向量与球坐标的 +x 轴对齐，增大入射仰角意味着入射波矢量首先绕 –y 轴旋转；然后，入射方位角增大，入射波矢量随之绕 +z 轴旋转。因此，入射仰角从 开始，入射方位角从 开始，如下图所示。入射波矢量和周期性平面的法线定义了入射平面。当光从法线入射：，入射平面被定义为 xz 平面。

入射仰角和入射方位角表示入射波矢量（黄色）的一系列连续旋转，先是绕 –y 轴旋转，然后绕 +z 轴旋转。图中也显式了入射平面。

入射角的变化改变了半球中心的位置。从半球中心到 点的倒易空间距离为 ，该位置在平面内的移动量为 和 ，如下图所示。因此，仰角和方位角的变化往往会导致出现不同的衍射级。

以非零仰角和方位角入射的平面波光会移动半球的中心，从而产生不同的衍射级。

通过这些半球，我们还引导每个衍射级的波矢量。将衍射级点投影到半球上，会得到另一组点，而每个衍射级的波矢量等于从半球中心到这些投影点的矢量。

最后，通过这些矢量，我们还可以知道偏振状态。对于每个衍射级，偏振状态都会根据琼斯矢量的面内和面外分量表示。每个衍射级的平面都是波矢量和周期性平面的法矢量所描述的平面。对于所有衍射级，琼斯矢量的面外分量对应于电场平行于周期平面的波。

结论

综上所述，我们可以得出以下结论：使用埃瓦尔德球的几何构造可以理解平面性周期结构衍射，并且能够得知在反射和透射中会出现哪些较高的衍射级。我们还可以得知波矢量以及用于定义琼斯矢量方向的平面集。在求解数值模型时，会自动得到这些信息，因此这种几何构造并不是必须的，但它有助于我们建立理解和直觉。

进阶学习

如果您想学习高阶衍射建模，下面的示例模型是很好的起点，这些模型可以使用 RF 模块或波动光模块建立。

• 使用RF模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅
  • 菲涅尔方程
  • 电波暗室的锥形吸波器建模
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 六边形光栅
• 使用波动光学模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅分析仪
  • 菲涅尔方程
  • 六边形光栅
  • 六边形等离激元滤色镜
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 石墨烯超材料完美吸收器

什么是超透镜？

近年来，超材料已经成为涉及波动方程求解的光子学和声学等领域的热门研究课题，这是一种具有人工结构（有时被称为“超原子”）的复合材料，通常小于波长。因此，超材料与电磁场的相互作用就像均质材料一样，具有不同于组成材料的材料特性，例如，微波炉门上的光栅——一块充满空气小孔的金属板，就是一个相当常见的例子，这种超材料具有实心金属板和空气都不具有的特性：对短波长可见光基本上透明，而对长波长的微波则完全屏蔽。

除了具有已知“真实”材料所不具备的潜在定性特性外，超材料的主要优势还在于可以通过改变结构的几何参数，对其特性进行定量调制——通常有很大的可调范围。许多为半导体制造而开发的技术，如光刻技术，也适用于制造超材料。由这种超材料制成的光学元件在显微设备和虚拟现实技术等应用中备受青睐。

微波炉门上光栅的特写图。

本文我们将重点介绍反射超透镜：这是一种由金属基板上的玻璃纳米柱组成的平面阵列，其工作原理类似凹面镜。虽然听起来“元镜”这个名字更合适它，但重要的是要明白这种设备的工作原理不仅仅是传统的反射，还有一种会发生与坐标相关的相移的反常反射。与透镜和反射镜等传统光学器件相比，超透镜具有以下优点：

• 超透镜的厚度仅为几分之一微米，实现了光学器件的微型化
• 超表面可以被设计成不仅能聚焦光，也能将多个传统光学器件整合到一个超薄的元器件中
• 超材料在特定波长范围内具有更好的性能，例如紫外线（UV）

具体来说，我们将考虑一个放置在平坦的金属衬底上，由二氧化硅纳米柱组成的二维超透镜，如下图所示，纳米柱的高度 和周期 均匀，但直径 变化。为简单起见，我们只考虑法线入射（沿负 y 方向传输）的平面波，在面外方向偏振。

从数学角度讲，凹面镜是一种能在平面波入射时局部改变波相位，使其成为汇聚于一点（即焦点）的球面波的装置。直观上，我们可以想象，随着纳米柱厚度的增加，由于柱的折射率比周围空气的折射率高，反射波的相位会发生较大的偏移，但如果我们想建造一个正常工作的超透镜，就需要获得直径与相对相位偏移 之间的精确定量关系，这将在下一节中介绍。本文采用的方法基于参考文献 1。

基本单元模拟

获得 的一个有效方法是计算均匀周期晶格引起的相移，所有纳米柱的直径都是，在直径范围内扫描。(您可以在此了解有关周期结构建模的更多信息。）这样我们就可以使用周期性边界条件，从而只需要模拟晶格的基本单元。使用周期性端口边界条件激励入射波意味着我们可以通过复值 S 参数方便地获取波的相移。

要建立一个正常工作的超透镜，我们需要能够将波的局部相位在 和 弧度之间任意移动。因此，我们首先需要找到 H， 的值，以及最小直径 和最大直径 的值，使得 ，同时尽可能保持较高的反射率。这是一个频域优化问题。优化步骤只需要扫描端点的结果，因此我们可以省去中间步骤，使计算速度更快。我们知道，柱越窄，相位偏移的范围就越大， 就尽可能小的受到制造工艺的限制，因此我们不把作为控制参数。相反， 是一个固定参数，对于大多数波长，其值为 。（对于在 左右及以下的波长，应使用 来代替，以获得良好的结果）我们只对相对相位感兴趣，因此目标函数应该如下所示：

不过，这个表达式还不能在用户接口中使用，因为软件使用符号约定 来表示沿正 y 方向传播的平面波，并定义了从复值 到 的相位。当使用 COMSOL^® 的符号约定，并加入所需的运算符来引用 和 的解后，我们最终得到了下图所示的表达式。我们还在 目标函数 中添加了一个涉及从这两个解中获得的反射率的项，有助于避免共振模式并确保高效。如果您想了解有关优化的更多信息，请查看有关电磁学中形状优化的博客或COMSOL Multiphysics^® 学习中心的课程：在 COMSOL Multiphysics® 中执行优化。

用于优化研究的设置（研究 1）。优化步骤使用端点处的扫描结果，因此我们需要将 参数扫描步骤放在 优化步骤之后（如模型开发器树所示），并使用 withsol() 和 setind() 算子实现所需的目标函数。我们还在目标函数 设置中添加了表示反射率的第二个表达式。

剩下要做的就是用优化后的参数值进行全扫描，以获得 和 之间中间值的相移。结果如下图所示：在整个直径范围内，具有较高反射率的相移均匀、单调递增。接下来，就可以根据这些结果制作超透镜了。

波长为 的基本单元扫描结果图，显示相移从 到 单调增加，同时在整个纳米柱直径范围内保持高反射率。

超透镜仿真

在绘制超透镜几何图形之前，我们需要将相移函数 转化为纳米柱直径分布函数 ，其中 是与光轴的距离。我们知道，理想的聚焦镜会对正常入射的平面波产生以下相移：

其中, 和 分别为超透镜的焦距和半径。为方便起见，我们选择将 定义为。 剩下的就是少量的数值处理了：假设相移是单调的，我们可以反转 得到 ，加上周期性，得到 ，并与 形成复合函数，得到 。下图是一个示例。

纳米柱直径分布 与焦距为 、半径为 和工作波长为 的超透镜光轴距离的函数关系。

下一个挑战是将这个函数转换为实际几何体。如果我们在全局定义 节点中定义了上述函数，就可以将纳米柱定义为一个几何部件，并将支柱位置 作为输入，同时将宽度设置为 。然后，我们只需将该部件的 （此处， 为超透镜半径， 为超表面周期）添加到几何序列中即可。更妙的是，我们可以使用App开发器编写一个方法来完成这项工作，这将在下一节讨论。

关于仿真App的使用

首先，我们来看看如何自动生成超透镜几何图形。实际上，在 App 开发器中，我们可以使用 model.component().geom().create(, "PartInstance")方法创建一个几何零件实例，然后使用 model.component(<comp>).geom(<geom>).feature(<name>).setEntry
("inputexpr", <expr-name>, <val>) 方法设置输入参数。将这些命令放在 for 循环中就可以得到整个超表面。 需要注意的是，这种方法适用于小型超透镜
() 和教学目的。对于大型超透镜，必须使用分层子模型法，即使用 COMSOL^® 模型来计算不同几何参数下的基本单元响应，并使用 Java方法或 LiveLink™ for MATLAB^® 将结果用作大型程序的一部分。现在我们已经掌握了编写方法，可以创建一个按钮，使用 model.result().numerical("gev1").getReal() 获取初始优化的输出，并使用 model.param().set() 将模型参数设置为这些值。此外，我们还使用了 setRibbonItemEnabled() 在前一步完成后启用下一步的按钮。

App开发器不仅可以实现设计过程中繁琐步骤的自动化，还可以实现更多功能。例如，将模型打包成一个仿真 App 意味着我们可以创建一个自定义用户界面（UI），这非常有益，因为用户可以一目了然地监控整个设计过程。下图显示了App 的用户界面。下一步，您当然可以使用 COMSOL Compiler™ 创建一个独立的应用程序。

超透镜仿真 App 的用户界面设计使设计过程的各个方面都一目了然。

超透镜仿真 App 运行时的屏幕录像。

结束语

在这篇博客中，我们总结了如何构建一个用于设计具有指定尺寸、焦距和工作波长的二维反射超透镜的仿真 App。我们看到，使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器通过用户界面简化相对复杂的设计过程，用户能够方便地监控从开始到结束的设计过程。

不过，在这篇文章中我们仅仅触及了超透镜设计的表面。进一步的扩展研究还包括考虑三维透镜，透镜性能分析（如参考文献1中分析的聚焦尺寸和色散特性），以及用多物理场模拟热配置超透镜（如参考文献2）。我们在今后的博客中将探讨其中一些更高级的主题。

下一步工作

点击下面的按钮，进入案例下载页面，亲自动手尝试运行超透镜仿真 App：

参考文献

1. H. Guo et al., “Design of Polarization-Independent Reflective Metalens in the Ultraviolet–Visible Wavelength Region,” Nanomaterials, vol. 11, no. 5, 2021; https://doi.org/10.3390/nano11051243.
2. A. Archetti et al., “Thermally reconfigurable metalens,” Nanophotonics, vol. 11, no. 17, pp. 3969–3980, 2022; https://doi.org/10.1515/nanoph-2022-0147.

Oracle 和 Java 是 Oracle 和/或其附属公司的注册商标。MATLAB 是 The MathWorks 公司的注册商标。

电磁学中的形状优化系列博客内容分为两部分，这是第一篇文章。第二篇文章将重点讨论射频（RF）应用中的形状优化。

参数优化与形状优化

形状优化与基于梯度的优化是兼容的，因为几何形状的变化是通过变形网格实现的。这可能是以较低的单元质量为代价的，从而限制几何形状的变化程度，特别是在三维中。参数优化与基于梯度的优化不兼容，因为几何形状的变化是通过重新划分网格实现的，请看下面的动画演示。

参数优化涉及重新划分网格，而形状优化则是对网格进行变形处理。

原则上，参数优化是一种比形状优化更通用的技术，但在实践中，由于它与基于梯度的优化不兼容，导致这个方法很慢。这限制了优化变量的数量，从而限制了设计的自由度。我们可以用参数优化来解决本系列博客中的例子。COMSOL^® 确实支持这一点，但是，即使这些例子相对简单，这一方法的计算成本却高得惊人。因此，在很多问题上，形状优化比参数优化更适合。

COMSOL Multiphysics 包括一组内置功能，可以简化形状优化问题的设置。多项式壳 和自由形状壳 功能是专门为壳设计的，通常是用在结构力学建模中。然而，大多数问题是在域(而不是壳)上定义的，多项式边界 和自由形状边界 功能可以用来优化与这些域相邻的边界。就像它的名称所显示的，我们可以选择以多项式或基于自由偏微分方程(PDE)的方法进行正则化处理。变换 功能将形状变化限制在平移、缩放和/或旋转上。这个功能可以在域和边界上使用。该功能将倾向于改变边界的曲率和点的角度，但通过使用一阶多项式或变换 功能可以保持直线。最后，对称/辊支承 功能可以将边限制在平面上，或者将点限制在二维直线上，请看下面的图片示例。

对于改变一个正方形的上边界，使它接近我们的目标边界（橙色）的问题，图中显示了四种不同类型的形状优化。为了优化第一个图的初始设计，将变换 功能与对称性/辊支承功能相结合使用，可以使上边界在 y 方向上移动。第二个图显示的是同时启用了旋转功能的变换，这需要使用一阶多项式，而不是对称性/辊支承功能。最后两个例子分别展示了多项式和自由形状的方法，两者之间没有什么区别。但是请注意，在这些例子中没有与左边边界相关的特征，因此左上角的点是固定的。

与其他功能相比，变换功能与较少的设计自由度有关，但这在将优化设计转换为 CAD 几何图形方面是一个优势。我们的系列博客将重点讨论 2D 中的形状优化，但所有的功能都可以在 3D 中使用。在下面的章节中，我们将举两个波动光学的例子。

示例 1：过滤

第一个例子考虑设计一个有弯曲的光子晶体。这个晶体由砷化镓制成的支柱组成，并使用了变形功能使柱子的位置可以改变。我们的目标是使波长为 1 µm 的光实现高功率传输，而波长为 1.3 µm 的光实现低功率传输。因此，目标函数的表达式将被最大化处理：

 
优化后的几何形状如下图所示，但由于问题的非直观性，我们很难理解它的工作原理。不过，我们可以再看一下输出边界的功率。可以清楚地看到，优化强调的是较大波长处的功率最小化，所以用最小化目标来表达目标函数可能更好。这将在下一个例子中得到证明。

左图：初始设计的几何图形用灰色绘制，优化后的设计用黑色绘制。右图：输出功率与波长的函数关系，优化中考虑了两个波长(以点表示)。

示例 2：分离器

第二个例子也考虑了光子晶体，但这次是用于多路分解。我们想设计一个装置，将两个不同的波长( 和 )路由到两个不同的输出端口，同时隔直其他波长。你可以把隔直和路由 ，的目标表达写作：

 
其中， 和  分别是路由和隔直的最小和最大功率。请注意，路由目标的定义取决于它是为  还是为  计算，因此，信号被激励向所期望的输出端口。如果相关的波长达到了所需的功率，则两个目标都等于-1，而如果没有达到所需的功率，则会得到更高的值，所以目标应该是最小化的。这些目标在最小化公式中被结合起来，也就是说，目标被当作几个目标的最大值。一些目标的不同只是因为它们是在不同的波长下计算的，而其他的不同是因为设备的理想行为取决于波长，因此目标的定义也取决于波长。最后的目标表示为：

 
如果波长在 ，将使用路由目标；如果不在 ，将使用隔直目标。

与第一个例子类似，我们将使用变换 功能来优化光子晶体中支柱的位置。下面的动画说明了优化设计以及 和 的情况。电场也是在 和 的情况下显示的，每次优化迭代共计算了 14 个波长。

电场的 Z 分量被绘制为两个波长，并显示了端口的输出功率。

在这个例子中，我们选择了 ，于是产生了下图所示的频谱，但也可以通过改变参数来优先考虑隔直或路由。

在优化(点)中，使用的波长的输出端口功率被绘制出来，并与在变形配置中重新划分网格后的端口功率图相比较。

端口功率在重新划分网格前后存在小的偏差，但只针对少数波长，而且优化结果似乎没有利用数值效应。此外，我们还可以看到，尽管目标只要求在主端口有较高的输出功率，但我们只在副端口得到一个小的输出功率。最后，值得注意的是，在所有的优化迭代中都考虑了每个支柱的位置对每个波长的敏感性。因此，每次迭代都会向优化求解器提供大量高度相关的信息。因此，只需经过 50 次迭代，就有可能找到 234 个控制变量的值。

在选择用于优化的波长时，有一个试验和错误的因素，最后一个例子使用了 31 个波长，这在计算上代价是很高的。计算时间可以通过使用集群来降低，我们将在本系列博客的第二部分中证明这一点，届时我们将研究射频频谱的优化问题。下一篇文章中所有显示的例子都将使用最小化公式与变换 和多项式边界 功能相结合。

下一步

欢迎下载本博客中介绍的模型，更深入地了解它的设置和结果。

1. 用于信号滤波的光子晶体的优化
2. 用于多路分解的光子晶体的优化

表面等离激元简介

电磁学的控制方程，也就是麦克斯韦方程组，可能看起来很简单，但它们的含义却极为广泛和深刻。因此，传播的电磁波可以以各种众所周知的形式存在，如平面波、球面波、高斯波束，以及一些鲜为人知的形式，包括贝塞尔波束、艾里波束和涡旋波束。还有一些被限制在空间内传播的电磁波，例如在金属或介电波导中传播的波导模式。

此外，还有一种特殊类型的被限制在平面上的电磁波。这种类型的波沿切向表面传播，并在垂直方向上呈指数衰减。与相同频率的自由空间波长相比，它的波长通常更小。因此，这种类型的波为光子的纳米级控制和操作提供了一个潜在的技术平台，从光通信和信息处理到太阳能收集和数字显示，这在许多应用中都是需要的。这种类型的波是在金属-介电界面上发现的，现在被称为表面等离激元(SSP)。等离激元是指金属中电荷的集体振荡。自发现以来，人们已经了解到许多材料系统都支持这种类型的表面波，例如接近其声子共振频率的极性介电材料和接近其激子频率的半导体材料。相应的表面波分别称为表面声子偏振子和表面激子偏振子。

无论支持的介质和微观细节如何，不同类型的表面波背后的宏观物理学是相似的。在下面的章节中，我们将重点讨论介电和金属界面之间的等离激元建模。然而，需要注意的是，本文所涉及的建模技术也可以通过一些适当的修改，以类似的方式应用在其他表面波，如 Sommerfeld-Zenneck 波和 Dyakonov 波。

最简单的表面等离激元色散的推导

为了清楚地了解什么是表面等离激元，让我们研究一下支持表面等离激元的最简单的系统，即体金属-介电界面。想象一个在平面上 的金属-介电界面 。介质区为 ，金属区为 。由于平面内没有首选方向，因此在不丧失一般性的情况下，重点研究在 方向传播的表面波。传播平面被定义为传播方向和表面法线所跨越的平面。在这种情况下，传播的平面就是简单的平面。一般来说，传播的电磁波可以分为 s 偏振和 p 偏振，具体取决于电场或磁场是否垂直于传播平面。我们首先考虑 p 偏振（或 TM 波）的情况。

位于 方向的金属–介电界面。该系统支持沿 方向传播并在 方向上呈指数衰减的表面等离激元。

由于我们对沿 方向传播并沿 方向衰减的 TM 模表面波感兴趣，因此可以将电介质和金属中的电场和磁场写为

(1)

(2)

(3)

(4)

其中 和  上标分别表示 和 的数量。 是复杂的表面等离激元传播常数。 和 都是正实数，描述了远离金属介电界面的场衰减。根据边界条件，我们知道电场和磁场的切向分量以及电位移场的垂直分量在金属-介电边界 上是连续的。因此，, , 。根据麦克斯韦方程组，我们知道 。由于没有外部电荷，并且介电常数在 和 分别是恒定的，因此必须在两种物质中保持 ,将其与等式 2 与等式 4 相结合，得到

(5)

(6)

可以简化为

(7)

从此关系中，我们可以看到为什么表面等离激元只存在于电介质 和金属 之间。要使场在 方向上衰减， 和 都必须是正的，这意味着 和 必须具有相反的符号。为了推导 的表达式，我们使用亥姆霍兹波动方程 ，该方程是从两个麦克斯韦曲线方程导出的。将等式 2 和等式 4 代入亥姆霍兹方程，得到

(8)

(9)

其中， 是自由空间波数。最后，结合等式 7–9，我们得出表面等离激元传播常数的表达式

(10)

实部 通过 与表面等离激元波长相关，而虚部描述了表面等离激元传播损耗。通常， 和 是频率相关的，因此 也是频率相关的。 和频率的关系通常是我们想要知道的用于在系统中表征表面等离激元。

请记住，上述讨论纯粹基于表面等离激元是 TM 波的假设。对于 TE 波的可能性，可以简单地遵循相同的推导步骤，并证明所有场振幅必须为零。这意味着 表面等离激元 仅以 TM 波的形式存在，这也是表面等离激元的一个显著特征。

模拟表面等离激元的传播和色散

在本节中，我们将讨论如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的仿真和建模功能来可视化上述推导的物理结果。由于表面等离激元是空间受限的传播波，我们可以从其他波导建模示例中得到启发，例如介质平板波导教程模型。为确保我们正确设置了模型，作为有效性检查，将在银（金属）和空气（电介质）的界面中模拟表面等离激元表面等离激元。银的介电函数由等离子体频率值约为 9.6 eV 的 Drude 模型很好地描述。对于此模型，我们可以方便地使用 COMSOL 软件内置材料库中的银材料属性。在模型的左侧和右侧边界上施加一个数值端口。打开激励的左侧端口将启动表面等离激元，而关闭激励的右侧端口将吸收表面等离激元而不反射。为了获取两个端口上的模态场，分别添加了两个边界模式分析 研究步骤和一个频域 研究步骤。

在左右边界分别施加了两个端口，用于表面等离激元的激励和终止。为了获取端口上的模态场，在 频域 研究步骤之前添加了两个边界模式分析 研究步骤。

运行模拟后，我们可以很容易地看到表面等离激元的传播。从左到右，下面的动画分别显示了 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等离激元。正如预期的那样，场沿  方向传播并沿  方向衰减。由于吸收力强，金属侧的衰减更快。值得注意的是，表面等离激元波长（实部 ）和传播损耗（虚部 ）随光子能量或频率而显著变化。为了捕捉频率和  之间的定量关系，我们使用可变频率作为 y 轴和 ewfd.beta_1 作为 x 轴绘制它们（由下面动画中的圆形标记显示）。 ewfd.beta_1 是一个复数，但在绘制它时，默认只考虑它的实部。在研究表面等离激元时，习惯上将品质因数（通常称为 Q 因子）定义为实部和虚部 的比率。当 具有较小的虚部（相当于较大的 Q 因子）时，表面等离激元可以在衰减之前相对于其波长传播很长的距离。对于生物传感器和光开关等实际应用，通常需要较大的 Q 因子。Q 因子可以方便地绘制为色散曲线的颜色表达式。在这里，我们选择较亮的颜色来表示较高的 Q 因子，选择较深的颜色来表示较低的 Q 因子。此外，还添加了一条虚线 ，通常称为浅色线。浅色线是自由空间光子的频率-波数色散关系。最后，将方程 9 中的解析表达式绘制为实线。从动画中可以看出，模拟色散和解析表达式表现出很好的一致性。

模拟 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等离激元传播。箭头表示电场方向和强度。

下面的色散图非常能代表贵金属中的表面等离激元色散。该图有助于深入了解表面等离激元的特征。最重要的是，它表明表面等离激元的色散曲线始终位于光线的右侧。这意味着表面等离激元波长总是小于自由空间光的波长。这就是为什么表面等离激元可以用作压缩光波长以实现光场更集中的方法。此外，自由空间光波数和表面等离激元传播常数之间的不匹配意味着我们不能仅仅通过将光照射到金属表面来激发表面等离激元，还需要一些外部机制来进行波矢量匹配。表面等离激元的激发通常是通过使用棱镜的全内反射，光栅的衍射，散射体的散射或穿过电子束来完成的。使用这些技术的目的是准备电磁场，使其波矢量与相同频率的表面等离激元的波矢量相匹配。

表面等离激元在银和空气界面处的模拟的频率-波传播常数色散图。正如预期的那样，模拟结果（圆）与分析计算（实线）一致。自由空间光色散或光线由虚线表示。颜色表示表面等离激元的 Q 因子。

金属薄膜中的表面等离激元

尽管模拟体金属-介电界面中的表面等离激元可以作为表面等离激元传播和色散的很好的示例，但这是一个相当简单并且在物理上无趣的示例。在本节，我们将介绍一个更有趣的案例，即由介电层覆盖的金属薄膜。在这种系统中，顶面和底面都支持表面等离激元。如果金属膜足够薄，那么顶面的表面等离激元和底面的表面等离激元之间的耦合将导致模式杂化。其结果是形成对称和反对称模式。这种情况下的物理场类似于耦合机械谐波振荡器的物理场。在这种特殊情况下，我们模拟了 12 nm 铝膜，周围环绕着折射率为 2 的 4 nm 介电层。使用边界模式分析 研究步骤，我们在色散曲线中发现了两个表面等离激元分支。Q 因子较大的上分支是对称模式，而 Q 因子较小的下分支是反对称模式。

模拟表面等离激元在两个介电薄膜之间的铝薄膜上的传播。铝膜顶面和底面中表面等离激元的杂化形成对称（左）和反对称（右）模式。

模拟的夹在两个介电薄膜之间的铝薄膜上的表面等离激元色散。两个分支显示了对称（上分支）和反对称（下分支）模式。

虽然在这里没有展示，但我们可以通过仔细匹配每个接口的边界条件来分析推导出这种系统中的表面等离激元色散。随着系统的几何形状变得更加复杂，推导很快就会变得繁琐。使用 COMSOL^® 模拟表面等离激元的优势在于它非常灵活，无论几何组成多么复杂，都可以在软件中计算表面等离激元色散。

新型 2D 材料中的表面等离激元

随着电子行业向小型化发展，2D材料越来越受欢迎。在之前的博客文章中，我们介绍了如何在高频电磁学中对一种2D材料（石墨烯）进行建模。事实证明，2D 材料，如石墨烯，也可以支持表面等离激元。毕竟，具有高导电性的石墨烯表现得像金属。主要区别在于贵金属通常在可见光或紫外范围内具有等离子体频率，这意味着金属在光学频率下支持表面等离激元。另一方面，石墨烯在红外状态下支持表面等离激元，使其成为某些应用独特且有利的材料，例如红外收集和超材料。石墨烯的另一个吸引人的特性是它的导电性可以通过化学掺杂或电调谐来改变。这打开了表面等离激元的可调性，这在传统金属中是无法实现的。

通过模拟表面等离激元传播和色散教学模型，我们可以研究沉积在 SiO₂ 上的石墨烯中的表面等离激元酶作用物。下图显示了石墨烯费米能量设置为 0.2 eV（左）和 0.5 eV（右）时的色散曲线。由于石墨烯电导率的差异，可以观察到明显的差异。与金属中的表面等离激元色散相比，我们可以看到这里的光线非常陡峭，它几乎与 y 轴对齐。这是因为表面等离激元传播常数比自由空间光子波数大得多。换句话说，表面等离激元波长要小得多。在下面的动画中，我们可以看到当费米能量设置为 0.2 eV 时，表面等离激元在 29 THz 的传播。此时，自由空间波长约为 10 m，表面等离激元波长小于 100 nm，实现了神奇的波长压缩！但是，我们确实需要注意，在这种情况下，Q 因子不是很高。等离激元在传播仅几百纳米后就完全衰减了。通过改善石墨烯的晶体质量或将其冷却到低温，可以实现更高的 Q 因子。

费米能量为 0.2 eV（左）和 0.5 eV（右）的石墨烯表面等离激元的色散曲线。

石墨烯表面等离激元在 29 THz 下的传播。石墨烯的费米能量设置为 0.2 eV。

乍一看，在色散图中，在 33 THz 左右的频率范围内没有表面等离激元，这似乎很奇怪。这是由于衬底材料 SiO₂ 的介电常数，由于其声子共振变为负值。这种情况可以通过绘制 SiO₂ 的实部来查看模拟频率范围内的介电常数。

SiO₂ 的实部红外频率的介电常数。由于声子共振，介电常数在 33 THz 左右变为负，其中石墨烯表面等离激元不受支持。

在本文的前面，我们简要提到了可用于激励表面等离激元的不同实验技术。 仿真提供了激励表面等离激元的替代方法。一个例子是使用电点偶极子源。回想一下，由于波矢量不匹配，表面等离激元 不能被自由空间光激发。然而，点偶极子产生的近场包含具有矢量的分量，这使得表面等离激元被激发。还可以通过执行此类模拟并从场分布中提取表面等离激元波长来绘制表面等离激元色散。下图突出显示了这种类型的仿真，可以观察到清晰的场振荡。

石墨烯表面等离激元被在 y 方向上取向的电点偶极子激励。

结束语

如前所述，表面等离激元只是众多特殊类别的表面波之一。电磁表面波仍在进行深入研究，其可观察到的现象超出了本文的范围。例如，一些各向异性材料，如 MoO₃，可支持单向表面声子偏振子。这是因为在某个频率下，只有一个面内方向的介电常数为负。在下面的动画中，我们可以看到这样的情况，其中SiO₂衬底上的MoO₃板坯由电点偶极子激励。表面声子偏振以表面等离激元特有的“蝴蝶”模式传播，例如石墨烯，其中发射的表面等离激元各向同性地传播。

各向异性表面声子偏振子在 MoO₃ 中的传播板坯由电点偶极子激励。

通过利用 COMSOL Multiphysics 中的功能，例如电点偶极子节点和 边界模式分析 研究，我们可以通过多种不同的方式对电磁表面波进行建模，并探索相关的丰富现象。

下一步

• 进一步了解文中讨论的教程模型，请至 COMSOL 案例库下载:
  • 金属-空气表面等离极化激元传播和色散仿真
  • 嵌入介质层的薄金属中表面等离极化激元的色散
• 除了上述示例，您还可以在案例库中找到许多其他表面等离激元的教程模型，包括：
  • 通过 Otto 和 Kretschmann 配置激发表面等离极化激元
  • 金属-介质多层超材料中的色散和双曲波

参考文献

1. S. A. Maier, Plasmonics: fundamentals and applications. Springer, 2007.

术语和定义

首先，让我们来明确一些术语和定义的涵义。有三个术语需要区分：傅里叶变换 (FT)、离散傅里叶变换 (DFT) 和 FFT。函数 的傅里叶变换由下式定义

式中， 和 分别是物理空间和傅里叶空间中的变量。当物理空间变量为时间 时，变量 称为频率。在光学领域， 被称为空间频率，通常与波长和焦距成比例(我们将在下文讨论)，而 是用于描述所关注的光学结构附近位置的物理空间坐标。

在之前的博客：如何在 COMSOL Multiphysics 中实现傅里叶变换和如何由计算解实现傅里叶变换中，我们讨论了如何在 COMSOL^® 中实现傅里叶变换。我们可以使用一种数值方法实现傅里叶变换，即基于辛普森法则的直接数值积分。下文，我们将其称为“通过数值积分实现的傅里叶变换”。

离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散形式，是对一组离散的点进行运算。它在 COMSOL ^® 中的定义为

FFT 是计算 DFT 的一种有效算法。

请注意，上述傅里叶变换和离散傅里叶变换的定义是最通用的定义，但符号约定与 COMSOL 的波动方程，即 的符号约定 不一致，。当使用这些符号定义弗劳恩霍夫和菲涅耳衍射公式时，请注意不要弄错。符号不一致并不影响稳态解。

如何使用空间 FFT 功能

接下来，我们来演示如何在光学应用中使用 COMSOL^® 空间 FFT 功能模拟光学应用。FTT功能可以通过步骤 1 和 2 设置和实现：

• 步骤1：准备数据集
  • 右键单击数据集 → 更多数据集 添加空间 FFT 数据集(定义傅里叶空间)
  • 选择合适的源数据集作为物理空间，然后进行变换
  • 将空间分辨率 设置为手动
  • 将采样分辨率 设置为适当的数字
  • 从空间布局 中选择使用补零，并将 x 填充 设置为适当的数字
  • 在傅里叶空间变量 中选择频率
  • 取消勾选屏蔽 DC
• 步骤2：使用 fft() 算子绘图
  • 在绘图设置中调整 x 轴数据的空间频率比例

矩形函数示例

矩形函数是光学应用中最常使用的函数之一，因为它代表了一个硬边光阑。当存在硬边光阑时，总是涉及矩形函数的傅里叶变换。矩形函数的傅里叶变换可以很容易地通过手动计算，如下所示：

式中， 代表傅里叶变换算子， 是一个常数， 是 sinc 函数。

让我们看看如何在 COMSOL^® 中使用 空间 FFT 功能计算此傅里叶变换。

矩形函数(左)及其傅里叶变换(右)的数据集设置示例。

矩形函数内置于 定义 >函数 下。点击 创建绘图 按钮，结果下的 数据库 节点将为该函数自动创建一个新的数据集。 默认情况下，范围和分辨率也是自动设置的。在进行 FFT 时，自己控制这些参数很重要。傅里叶空间分辨率由物理空间范围的倒数和物理空间数据的零填充确定。傅里叶空间范围由物理空间范围和傅里叶空间采样数决定。FFT 结果的大小因物理空间范围和傅里叶空间采样数而异。下表是 FFT 参数表达式的汇总，包括与上图中显示的FFT 设置对应的参数值。

参数	表达式	示例值
实际上的总范围		2
傅里叶空间采样数		16
补零		8
傅里叶空间总范围		8
傅里叶空间分辨率		1/4
傅里叶变换归一化因子		1/8

进行上述设置后，矩形函数 rect1(x) 如下图所示，其傅里叶变换的绝对值 abs(fft(rect1(x)) 由 FFT 功能计算。傅里叶空间总范围是 = 16/2 = 8，即从 -4 到 4。可以看到傅里叶空间的采样点总数为 = 32。

为什么是 ? 因为在补零中， 零被添加到物理空间数据的两侧。傅里叶空间分辨率为 8/32 = 0.25。在没有归一化的情况下，FFT 运算结果因子为 。所以，我们需要将结果乘以 获得一个单位峰值。稍后，我们将对各种公式进行快速傅里叶变换，每个公式都有不同的乘法常数。因此，我们必须将 FFT 结果归一化。

矩形函数 = 1 及其 傅里叶变换 的绝对值，由 FF 和上述设置确定。

在这个示例中，我们有意将采样数设置为较低的数字，以便可以参考前面的公式。不过，仍然可以看到傅里叶变换， 是通过近似值计算得出的。使用更加合适的参数，例如 = 3, = 128 和 = 512，可以得到理想的结果，如下图所示。将通过数值积分计算的傅里叶变换结果叠加以进行比较。当然，这两种方法的结果应该一致！

=1 时，由高分辨率的 FFT 确定的矩形函数的傅里叶变换绝对值和由数值积分确定的傅里叶变换绝对值的对比

在光学应用中进行傅里叶变换

至此，我们已经了解了如何为矩形函数(一维解析函数)设置和使用 空间 FFT 功能。接下来，我们来看如何在一些实际光学应用示例中使用此功能。

在光学领域，将光电场的时间信号与其光谱(频率或波长)相关联的时频傅里叶变换可能更为大家所熟知。空间傅里叶变换被广泛应用于各种传播(变换)方法中，用于描述电场从一个平面传播到另一个平面的过程。在这个例子中，空间傅里叶变换将一个平面中电场的空间形状与另一个平面中的形状(称为空间频率)相关联。考虑一个入射到平面中扰动上的标量电场或矢量电场的分量，例如一个光圈或透镜，到达另一个平面，例如焦平面或像平面，如下图所示：

光学应用中传播(变换)方法的坐标系。

让我们来表征扰动后平面内的电场 。然后，根据不同的目标，使用四种传播方法中的一种来计算了另一个平面的电场 。下表总结了四种方法。这些公式由傅里叶变换的简单相位函数符号 表示。

理论	公式（简单符号）	应用
1. 夫琅禾费衍射理论		夫琅禾费衍射条件下的标量远场——观察者距离衍射物体*很远，用于孔径、光栅和傅里叶光学等应用。
2. 菲涅耳衍射理论		菲涅耳衍射条件**下的标量近场至远场，适用于低数值孔径 (NA) 透镜系统等应用。
3. 角谱法***		适用于任何系统（例如高数值孔径透镜系统）的严格单向标量场解决方案(不考虑反射)。
4. 部分相干理论(Schell 模型)****		非干扰或低干扰光源，例如 LED 和太阳光，使用在在夫琅禾费或菲涅耳衍射近似下的互相干函数的 Schell 模型假设。

脚注：

* 夫琅禾费衍射条件
** 菲涅耳衍射条件
*** 是方向余弦
**** 是部分相干强度， 是相干强度，并且 是互相干函数

夫琅禾费衍射

夫琅禾费衍射公式用于计算满足夫琅禾费条件时，从物体衍射的远场。

以下是完整的公式：

该公式用于计算孔径、光栅的远场和傅里叶光学焦平面内的场(参考文献 1)。该物体是一个具有均匀光照的方形孔径。孔径出口平面的电场是一个二维矩形函数，远场由 FFT 计算。这会形成一种熟悉的衍射图案，类似于从网状窗帘后面观察路灯时的景象。请注意，我们需要将图中的 x 轴数据缩放为 ，因为空间频率被缩放为 。 通过数值积分使用傅里叶变换计算二维傅里叶变换需要的时间较长，但 FFT 可以非常快速地完成这项工作。

方形孔径(左)及其衍射图案(右)。

模拟方形孔径的设置非常简单：

菲涅耳衍射

第二个应用，菲涅耳衍射公式，可用于计算远场以及近场干扰。这个近似值的完整公式为：

请注意，x 轴数据需要按因子 进行缩放。菲涅耳透镜模型应用了这种方法，通过 波动光学，频域 接口计算透镜内部的电场。基于菲涅耳衍射公式通过数值积分进行傅里叶变换计算焦平面中的场。如下图所示，可以在该模型中使用 FFT 功能，并通过数值积分得到与傅里叶变换相同的结果。

菲涅耳透镜模型焦平面中的电场模。FFT 功能用于计算菲涅耳衍射公式，并与其他方法进行比较。

用于菲涅耳衍射公式的 FFT 功能的后处理设置。请注意，y 轴数据是标准化的，x 轴数据是按比例缩放的。

角谱法

第三个应用，角谱法，实现起来有点麻烦，因为它需要进行两次傅里叶变换，由其完整公式可以看出：

式中，

和 是方向余弦。

在上文提到的博客中，我们介绍了如何模拟大型光学器件；即可以使用 波动光学，频域 接口计算光学元件周围的小域，然后使用 弗劳恩霍夫或菲涅耳衍射公式，或者使用 波束包络 接口模拟整个域。然而，这两种方法仅适用于慢速（低 NA）透镜，因为快速（高 NA）透镜需要大量网格单元，而夫琅禾费和菲涅耳公式无法给出很好的近似值。波矢太陡，波束包络 接口无法对计算域进行网格划分。

模拟大型高数值孔径透镜的唯一方法是使用角谱法(ASM)。这是一种与夫琅禾费和菲涅耳衍射公式属于同一类型的数值传播方法。只要知道一个平面中的场，即可计算另一个平面中的场。角谱法非常严格，因为它满足亥姆霍兹方程。可以结合波动光学模块使用该方法计算某个域中的场，然后使用角谱法将场传播到更远的平面。

下图中是一个高 NA 透镜 (NA=0.66) 的示例，它比 DVD 拾取透镜快得多。透镜半径为 16μm，后焦距(透镜第二面与焦平面之间的距离)为 10μm。结合使用 几何光学 接口与优化模块，对该透镜头进行了优化，使其在 0.66μm 的波长下具有衍射极限。透镜被特意设计得很小，使波动光学，频域 接口可以计算出严格的解以进行比较。我们将演示如何使用角谱法将场从该透镜的出射面传播到焦平面。

使用射线光学模块和优化模块(左)设计的 NA=0.66 透镜。使用 波动光学，频域接口(右)模拟的透镜的全波模拟。注意代表透镜出射平面的线，场从该平面传播到最右边的边缘，即焦平面。

NA=0.66 透镜光斑轮廓模型与使用菲涅耳衍射公式计算的结果比较；由 波动光学，频域 接口计算的严格解；和使用角谱法计算的结果。请注意，对于这个透镜，菲涅耳衍射公式不再准确。(为了更好地进行比较，显示了 11μm 而不是 10μm 处的光斑轮廓。)

为了进行两次傅里叶变换，我们需要将第一次傅里叶变换存储在数据集中。这是因为 fft() 算子只是一个后处理算子，不是可以在物理设置中使用的通用算子，如 integrate算子。在当前版本的 COMSOL Multiphysics 中（在未来版本中，fft() 算子将被提升为通用算子），我们仍然需要在第一次傅里叶变换的物理场设置中通过数值积分来使用傅里叶变换，然后将 fft() 算子用于后处理中的第二次傅里叶变换。边界常微分和微分代数方程 与分布式常微分方程 节点的接口被定义在透镜出射平面上，通过数值积分傅里叶变换执行第一次傅里叶变换，并将结果存储为函数 ，如下图所示：

使用角谱法时，第一个傅里叶变换的 边界常微分和微分代数方程设置的屏幕截图。请注意，我们通过透镜半径 D/2 对傅里叶空间进行了归一化，进行适当的缩放。

使用角谱法时，在后处理中进行第二次傅里叶变换的设置窗口屏幕截图。对于第二次傅里叶变换，注意方向余弦 在 y 轴数据中由归一化的 y 坐标表示，，x 轴数据中的归一化因子 1/wl 来自变量的微分 。另请注意，空间频率名称 y2 是在 空间 FFT 数据集中任意选择的。

值得一提的是，第二次傅里叶变换其实就是逆傅里叶变换，但是傅里叶变换的绝对值和逆傅里叶变换到常数之间没有区别。我们已经看到，使用角谱法给出了一个与亥姆霍兹解一样准确的结果，因此可以将这种方法用于其他高 NA 透镜系统，例如大型高 NA 菲涅尔透镜。

结束语

在这篇博客中，我们了解了设置 空间 FFT 特征的基础知识，以及如何在一些重要的光学应用中使用此功能的示例。在本系列的下一篇博客中，我们将讨论第四个应用，即部分相干光束计算(使用的公式与文中第三个应用使用的公式相同)。

参考文献

1. J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 3rd ed., Roberts and Company Publishers, 2005.
2. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th ed., McGraw-Hill, 1968.
3. A. C. Schell, “A technique for the determination of the radiation pattern of a partially coherent aperture,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 15, no. 1, pp. 187–188, 1967.

光学计算简介

摩尔定律

在过去的几十年里，计算机的能力一直呈指数级增长。这种增长遵循摩尔定律，即集成电路中的晶体管数量每两年翻一番，而计算机的成本将降低。这使得我们今天享有的大部分现代技术成为可能。例如，主流计算机芯片完全基于晶体管等电子元件，每块芯片的晶体管数量几乎每两年就会翻一番。为了跟上这种增长，并在可控的功率效率下提高计算机芯片的性能，芯片上的电子元件(包括晶体管)的小型化既关键又不可避免。尽管工程师们在这方面做了出色的工作，将晶体管从厘米尺度缩小到纳米尺度，但重要的是要认识到，最终基本的限制将阻碍这类设备的发展。例如，当一个电子元件的尺寸接近原子水平时，量子效应将导致其功能不稳定。科学和工程界长期以来一直在考虑电子计算机的替代形式。最近引起广泛关注的一种替代是光学计算——指用光(光子)而不是电流(电子)进行计算。

虽然光学计算是一项新兴技术，但光学在信息技术中的应用已经有相当长的一段时间了，特别是利用光进行信息传输。损耗极低的光纤可以以光速长距离传输信息。光纤网络设备常用于数据中心甚至普通家庭。然而，在商业化方面，利用光进行计算仍处于起步阶段。

光学中的数学计算

众所周知，某些光学过程对应于数学计算。例如，考虑光的衍射。当光通过衍射介质时，本质上是在进行傅里叶变换积分（这个概念我们会在下一篇博客文章中详细地探讨）。然而，光学系统是否可以像我们今天拥有的计算机一样进行通用数学计算，可能还不是很清楚。目前，光学计算有许多不同的形式。已经证明，我们可以使用不同的机制进行简单的算术运算、矩阵乘法、积分和微分，等等。一般来说，模拟计算可以在专门设计的系统中以光的衍射、散射或传播形式发生。

左图：自由空间马赫–曾德尔调制器(MZI)中场分布的模拟。右图：一个集成的马赫–曾德尔调制器网络。

这里，我们并不笼统地讨论光学计算，而是深入探讨一个特殊的模拟光学计算系统：基于马赫-曾德尔调制器网络的矩阵乘法设备。这个系统非常有趣和有用，因为以不需要大量能耗的方式快速进行矩阵乘法，对于解决实际问题而言是可行的，这包括与机器学习有关的问题。大多数现代机器学习算法，如深度神经网络，都依赖于大量的矩阵乘法。如果我们可以建立一个能快速进行矩阵乘法的光学系统，就能充分利用机器学习的力量。

光学矩阵乘法

马赫-曾德尔调制器

首先，我们需要了解具有两个输入和两个输出的单个马赫-曾德尔调制器如何进行 2×2 酉矩阵乘法。从由两个 50:50 分束器 (BS)和三个移相器组成的经典 马赫-曾德尔调制器配置开始，如下图所示。当光通过移相器时，相移以 , 和 的方式移动。我们将输入光束的复振幅标记为 和 ，输出光束的振幅度标记为 和 。

接下来，我们将得到，其中

和 是任意酉矩阵，由 , 和 . 控制。 这里，上标 2 表示矩阵的维数。我们将在整篇文章中遵循这个符号约定。通过控制 , 和 我们可以让这个光学系统以光速进行任何单一的 2×2 矩阵乘法。

具有两个 50:50 分束器和三个移相器的经典马赫-曾德尔调制器，可将光的相位移动 , 和 。M 表示反射镜。

当光束 通过一个对称的 50:50 分束器，传输的光束是 ，反射光束是 。反射光束中虚数 的出现是由于反射相移 ，因为 。 对于通过分束器的光，比如说第一个分束器，它会拾取一个相位因子 。 根据以上讨论的信息，我们可以对经过不同路径的光求 和 ，得出和：

经过一些代数计算，可以得到

以矩阵形式表示为

可以看到，矩阵

是一般复酉 2×2 矩阵的形式。可以很容易地检查到 ， 式中 是单位矩阵。从几何上讲，这个矩阵可以解释为输入向量的旋转。那么，我们如何在 COMSOL Multiphysics 中为这样的光学系统建模呢？

我们使用 COMSOL 软件的波动光学模块进行建模的原因有很多。乍一看，射线光学模块似乎也很合适，因为系统的大小比波长大几个数量级。然而，对于马赫-曾德尔调制器，我们主要关注的是干涉效应。射线光学模拟通常不会自动考虑干涉，因此不是理想的方法。

通过使用波动光学模块，干涉将被自动考虑。使用这个模块，我们就可以采用电磁波，波束包络 接口，它非常适合处理这种大小的模型。波束包络法特别适用于模拟长距离光束传播问题，如我们之前的博客文章所述。 通过将场分离为缓慢变化的包络函数和快速变化的相位因子的乘积，我们只需要根据包络函数变化的速度对模型进行网格剖分。这在很多模拟中为我们节省了大量的计算资源，例如上图所示的马赫-曾德尔调制器，因为光束大部分时间都在自由空间中传播，包络函数没有变化。在这个系统中，有两个光束传播方向——水平和垂直。波束包络法的双向公式是完美的选择。我们使用以下设置来设定波矢量：

• 第一个波：
  • x = ewbe.k
  • y = 0
• 第二个波：
  • x = 0
  • y = -ewbe.k

如果固定 和 ，同时 在 0 到 内逐渐变化，就可以研究输出场振幅和。这是通过在输出边界计算 ewbe.Ez 来完成的。然后我们可以在复平面上绘制 和 ，如下图所示。该路径描绘了一个闭环为 的变化。这是我们之前展示的推导所预期的。图中的星号是使用前面提到的矩阵方程计算的，与输出边界的 ewbe.Ez 一致，正如前面预期的那样。

 

​

​​​左图：经典马赫–曾德尔调制器的二维模型，具有两个 50:50 分束器 (BS) 和三个移相器，可将光的相位移动 , 和 。M 表示反射镜。右图：模拟 从 0 到 变化的场分布。 输入振幅度 和 。

电磁波、波束包络的设置。

当 从 0 到变化 时，复数 (左图)和 (右图)。实线表示模拟结果，星号表示使用上述解析推导计算的期望值。横轴和纵轴分别是实部和虚部，颜色代表 的变化。

n×n 酉矩阵乘法

我们现在知道如何实现 2×2 酉矩阵乘法是很有成效的，但是要注意，在大多数情况下，我们将使用维数大得多的矩阵。现在，我们来了解如何使用马赫-曾德尔调制器网络执行任意 n×n 酉矩阵乘法。在这里，我们将调用一个定理，即任何 n×n 酉矩阵都可以写成 2×2 酉子矩阵。例如，一个 4×4 酉矩阵 可以写成 ，其中

这里， 是一个 2×2 酉矩阵，由一个具有三个相移的马赫-曾德尔调制器控制，如前所述。通过将 n 维矢量空间中的一般旋转看作低维中的旋转序列，可以直观地理解这种矩阵分解。从物理上讲，这意味着我们可以按照每个马赫-曾德尔调制器 代表的特定顺序构建马赫-曾德尔调制器网络。 因此，整个系统在光通过时对输入进行任意 n×n 酉矩阵乘法。在 4×4 酉矩阵的情况下，我们总共需要 6 个马赫-曾德尔调制器。

​

 

​

马赫–曾德尔调制器相当于一个光学 2×2 酉矩阵乘法核心。它对输入矢量进行 2×2 酉矩阵乘法。矩阵 可以通过使用电光效应或热光效应通过施加电压在马赫–曾德尔调制器中引起相移来进行编程。在右图中，马赫–曾德尔调制器中的第一个移相器是连续调谐的，这会在输出中引起矢量旋转。

原则上，这个系统可以使用自由空间光学技术来实现，如上图所示的经典马赫-曾德尔调制器。然而，自由空间光学技术的可扩展性相当差。分束器和反射镜都很笨重，而且不方便携带。如果我们想构建一个包含大量组件的光网络，就需要一种更具可扩展性的方法。基于目前互补金属氧化物半导体（CMOS）制造平台的集成硅光子学是一个很有前途的候选方案，适合大规模生产高度小型化的光学元件。与自由空间的马赫-曾德尔调制器类似，基于波导耦合器的集成马赫-曾德尔调制器具有相同的光学功能，但体积要小4个数量级。这使得设计光学芯片成为可能。设计一个具有光束 50:50 分割和足够相移的马赫-曾德尔调制器需要进行几何调整和优化。我们在这里不做详述，但您可以阅读这篇博客：如何设计一个使用电光效应作为相移机制的波导马赫-曾德尔调制器。

类似地，热光效应也常用于引起折射率调制，从而引起相移。

一个光学 4×4 酉矩阵乘法核心。该设备由 6 个马赫–曾德尔调制器网络组成。它对输入矢量进行 4×4 酉矩阵乘法。可以通过使用电光效应或热光效应在每个马赫–曾德尔调制器中引起相移来对矩阵进行编程。

第一个马赫–曾德尔调制器中的第一个移相器是连续调谐的。这会在第一和第二输出中引起矢量旋转。

广义 n×m 矩阵乘法

到目前为止，我们已经建立了使用马赫-曾德尔调制器 的光网络来进行任意 n×n 酉矩阵乘法。显然，n×n 酉矩阵是一类非常特殊的矩阵。为了使系统普遍适用，我们需要求解广义的 n×m 矩阵乘法，这不仅限于酉矩阵和方阵的情况。这是可能的，因为有奇异值分解 (SVD)。SVD 表明任何 n×m 矩阵 可以分解为 ， 式中 是一个 n×n 酉矩阵， 是一个 n×m 对角矩阵， 是一个 m×m 酉矩阵。 表示复共轭。因此，当计算 时，我们只需要一个用于 的光网络，一个用于 的光网络, 并用代表对角线矩阵 的衰减器阵列连接它们，因为对角矩阵仅表示每个元素按常数缩放。衰减器也可以由具有单输入和单输出的马赫-曾德尔调制器制成。

一个光学 n×m 矩阵乘法装置由两个酉矩阵乘法核心和一个衰减器阵列组成。

总之，我们拥有构建用于一般 n×m 矩阵乘法的光学系统所需的所有要素。文末将提供一个 n×n 矩阵乘法系统的建模示例链接。该模型可用作构建更复杂的 n×m 矩阵的灵感。

结束语

在这篇博客中，我们为您展示了任何 n×m 矩阵都可以分解为多个 2×2 酉子矩阵和一个对角矩阵的乘积。这样就能够使用一系列马赫-曾德尔调制器构建用于一般矩阵乘法的光网络。另外，我们还介绍了使用集成低损耗硅光子进行光学计算的优势。

未来的手机和电脑会由光学或光子处理器驱动吗？这有待观察，沿途还有许多技术难关需要攻克。可以肯定的是，多物理场仿真是复杂光学计算系统设计和优化的重要组成部分。如本文案例所示，COMSOL Multiphysics 中的波束包络法功能特别适用于模拟时间快速和存储效率良好的大型光学模型。它还能够模拟整个光学系统，这在考虑其它物理效应时至关重要，例如不均匀的温度梯度或机械变形。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己模拟自由空间马赫-曾德尔调制器和光学酉矩阵乘法设备教程模型：

拓展资源

• 想了解更多关于摩尔定律、光计算和马赫-曾德尔调制器网络的信息吗？请查看以下这些相关资源。
  • The Register
  • The Next Platform
  • MIT News

参考文献

1. J. Cheng, H. Zhou, and J. Dong, “Photonic Matrix Computing: From Fundamentals to Applications”, Nanomaterials, 11(7), 1683, 2021.