狭窄和血流特征

超声波、CT 和核磁共振成像等医学影像技术通过可视化解剖结构，针对不同患者的肺动脉狭窄提供有价值的见解。这些方法还可用于测量速度和流向等血流特征，例如利用超声波中的 多普勒效应 。计算模拟可以提供整个血管的动态压力、速度和应力的详细情况，是对上述方法的补充。通过将这两种方法相结合，临床医生和研究人员可以获得更加透彻的见解，从而优化诊断和治疗计划。

狭窄是指使血液流动受限的血管收缩，通常由斑块积聚引起。这种狭窄会导致湍流和压力增加。为了更好地理解这些效应，血液动力学研究人员使用数学模型来描述狭窄的形状，并分析其几何结构、位置和血液特性如何影响血流和压力。

理想动脉中的流场，从左到右依次为轻度钟形狭窄、健康部分和严重不对称狭窄动脉。流线显示狭窄造成的湍流，颜色则表示压力水平，显示了狭窄情况下压力显著增加。

血液是一种非牛顿流体，这意味着其黏度会随着流动条件的改变而变化。这种行为受剪切速率和红细胞数量（血细胞比容）的影响，可以用不同的模型来描述：

• Carreau 模型—常用于表征动脉血流的剪切稀化效应，即黏度随剪切速率的增加而降低。
• Casson 模型—适用于低剪切条件，例如毛细血管血流，在这种条件下红细胞往往会聚集，从而使黏度增加
• Herschel-Bulkley 模型—考虑屈服应力，这在高血细胞比容条件下具有重要意义，因为在这种情况下，血液会抵抗流动，直到超过某个阈值才会开始流动。对于肺动脉等大型血管，Carreau 模型是合适的。由于此类血管的剪切速率相对较高，直径较大，血液在其中的表现更像是牛顿流体，尤其是屈服应力的影响很小，因此它计算简便，同时也能很好表征肺动脉中的血液，对二者进行很好地平衡。

将狭窄区域模拟为多孔介质

本文示例的肺动脉模型并非基于患者的真实数据，而是手动创建的（因为我们无法获得 CT 扫描或其他医学影像）。不过，仿真过程基本相同：如果有 CT 数据，可以用专业软件进行处理，并导出为 STL 面网格，然后导入 COMSOL Multiphysics^® 软件进行三维仿真。

将面网格作为网格部分导入软件后，就可以通过在网格内引入新的表面来创建多孔狭窄域，来确定狭窄处的大小和位置。确定好之后，就能生成模拟域。应用四面体网格并沿动脉壁添加边界层，以确保该网格适用于血流仿真。

导入的面网格（左）、引入的表面（中）和准备用于 CFD 分析的网格（右）。

要将血管狭窄描述为多孔介质，孔隙率和渗透率是关键参数。孔隙率代表狭窄区域的空隙比，而渗透率则量化了血液流经狭窄区域的能力。孔隙率和渗透率越低，说明狭窄越严重，进而导致大的压降并增加流动阻力。在上一篇博客中，我们探讨了如何在孔隙尺度上模拟多孔介质中的非牛顿流动，从而得出表观剪切速率的方法。现在，我们以这一想法为基础，应用表观剪切速率法对狭窄区域进行建模。这样，我们可以在表征狭窄对血流的影响的同时，避免解析狭窄的确切几何结构，从而使得在几何模型中改变狭窄区域的大小、严重程度和位置变得更加容易。

将血液模拟为 Carreau 流体

使用 Carreau 模型来描述血液的表观黏度，以反映其在不同流动条件下的剪切稀化行为：

该模型定义了在剪切速率为零 和无限 条件下的黏度，以及弛豫时间 和幂指数 。在自由流动区域，剪切速率为 ，而在狭窄区域则由表观剪切速率 代替，表观剪切速率考虑了多孔结构对血液黏度的影响。 的确切形式取决于多孔介质，必须通过测量或孔隙尺度模拟来确定，例如使用第一节中的数学模型，并遵循上一篇博客中讨论的程序。不过，在此模型中，我们使用毛细管束方法对 进行近似计算，这里可以合理假设狭窄处的形状与毛细管类似：

表观剪切速率取决于孔隙率、渗透率和速度大小 。常数 考虑了迂曲效应，n 是 Carreau 模型中的幂指数。虽然这只是一个简化的近似值，但它能够分析狭窄对血液动力学的影响，并为医学诊断提供有价值的见解。

模型设置

该模型受 参考文献 1 的启发进行设置。为了模拟血流，我们在入口处采用了类似的瞬态速度（(v_in(t))）。脉冲的形状通过插值函数定义，而插值函数又用于解析函数使其具有周期性。在出口处，我们设置了恒压条件。

设置入口速度函数。图形窗口显示几何结构和应用设置。蓝色区域为狭窄区域。

根据之前的模型，我们得到孔隙率 和渗透率 的近似值。这些数值代表了明显的狭窄，也与参考文献 1 中使用的数值一致。

为了给瞬态研究提供一个良好的起点，我们首先使用零时刻的入口速度进行稳态研 究，得到一个真实的初始流场，然后用上图所示的瞬时速度继续研究。为此，我们在入口处使用了v_in(try_catch(t,0)) 表达式。参数 try_catch(t,0)确保函数在瞬态步骤中使用当前时间，在稳态研究步骤中使用零时间。这种方法消除了对单独入口边界条件的需求——一个用于稳态研究（(v_in(0)，其中时间未定义），另一个用于瞬态模拟（(v_in(t))）。

模拟结果

对有和无狭窄的血流模拟进行比较后发现，正如预期，狭窄近端压力明显增加。压力升高会导致动脉壁上的应力增加，可能造成血管损伤。此外，狭窄会引起下游更多的湍流，从而增加血栓形成的风险。

健康动脉（左）和狭窄动脉（右）的流场，用颜色表示压力和最大压力的位置。

量化狭窄严重程度的有效指标是定量肺压比（QPPR），即远端与近端的最大压力之比。QPPR 越低表明压降越大，因此狭窄越严重。该比值有助于评估狭窄对血流的影响程度。在该模型中，QPPR 约为 0.8。

一个心跳周期内狭窄近端和远端的最大压力。

下一步

这篇博客介绍了如何通过将狭窄视为多孔介质域来有效地模拟狭窄肺动脉中的血流。结合 Carreau 模型和表观剪切速率方法，这种模拟方法可以捕捉到压力升高和流动扰动等关键效应。模拟结果突出表明血管狭窄对血液动力学的重大影响。点击下方按钮，下载文中示例的教程模型和分步说明：

参考文献

1. He, Fan, Wang, Xinyu, Hua, Lu, Guo, Tingting, Non-Newtonian Effects of Blood Flow on Hemodynamics in Pulmonary Stenosis: Numerical Simulation, Applied Bionics and Biomechanics, 2023, 1434832, 7 pages, 2023. https://doi.org/10.1155/2023/1434832

章节内容

1. 如何在 COMSOL Multiphysics^® 中实施弱约束？
2. 拉格朗日乘子
3. 有限元约束处理
4. 引入拉格朗日乘子
5. 弱约束
6. Nitsche 约束
7. 术语说明
8. 拉格朗日乘子的解释
9. 使用弱约束时应注意的事项

如何在 COMSOL Multiphysics^® 中实施弱约束？

几乎在所有情况下，COMSOL Multiphysics^® 中默认的约束类型都是逐点约束。逐点约束直接应用于自由度 (DOF)，通常是网格中的一组节点。

在模型开发器的大多数标准约束功能的设置中，都有一个 约束设置 栏。在这个栏，您可以在两个不同的约束之间选择。一些功能的约束列表中可能包含第三个选项，即 Nitsche 约束。

约束设置 栏示例。

不过，默认情况下该栏并不显示。弱约束属于 “高级”功能。您可以在 显示更多选项 对话框中选择 高级物理场选项 来启用该栏。

启用 高级物理场选项。

拉格朗日乘子

由于弱约束是基于 拉格朗日乘子，我们有必要先从该主题的一些基本概念讲起。

拉格朗日乘子的概念是由数学家约瑟夫•路易•拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在变分法研究中提出。在我们的博客诞辰快乐，约瑟夫•路易•拉格朗日中，您可以了解更多关于他的生平和工作。

一般的带约束最小化问题可表述如下：在一组约束条件 的约束下，求函数 的最小值。接下来的问题是，如何以一般的方式满足这些约束条件。对于简单约束（例如线性约束），可以显式地反解约束表达式并将结果代入 ，从而减少未知数的数量。但这只是例外情况，而非普遍规律。

现在可以通过求解以下函数的最小值来解决问题：

式中， 是一组新的未知变量，即拉格朗日乘子。由于 为真解，因此很明显， 的最小值等于受约束 的最小值。但为什么会这样呢？

要找到函数的极值，需要计算所有变量的偏导数，并将它们设为零。在这个示例中，

和

因此，通过对方程组求关于拉格朗日乘子的偏导就可以恢复约束方程，也就是说，约束条件仍然有效。但是，第一组方程更为精妙。要理解对于特定值，为什么它们能确保获得正确的最小值，需要更详细的论证。值得注意的是，新方程现在还涉及约束函数的梯度。

如需完整且详细的解释和举例说明，请参阅：拉格朗日乘子。

有限元约束处理

考虑一个简单的线性静态有限元问题。最终离散矩阵形式可以写为

式中， 是刚度矩阵， 是自由度向量， 是节点载荷向量。为了能够求解此方程组（使刚度矩阵非奇异），必须已知至少一定数量的自由度值。例如，对于传热问题，至少需要一个温度，而对于三维固体力学问题，至少需要知道 6 个位移自由度。最常见的方法是直接输入该自由度的数值。此外还有其他选项，如热量传递分析中的对流边界条件或结构力学中的弹簧条件。

实际应用中往往会施加远超稳定性所需的约束，例如在整个边界上应用约束。只要存在一些受约束的自由度，就可以将方程组按如下形式进行划分：

式中，下标 a 表示激活的自由度，下标 c 表示受约束的自由度。矢量 包含受约束节点上未知的反作用力。这一术语来源于固体力学反作用力的概念。例如，在热量传递中，反作用力就是热通量。大多数情况下，约束节点上不施加任何载荷 ，因为它们对解没有影响。

的值是已知的，例如 。在求解有限元方程时，最基本的处理方法是只求解激活的自由度。约束值的影响可以移到方程右侧，得到

求解简化后的方程组后，就可以使用以下方程在结果估计步骤计算反作用力

实际计算时，只需组装 矩阵，其余矩阵乘法运算可以在单元层面更高效地完成。

这种表述反作用力的方法假定问题是线性的，因此矩阵是常数。一种更通用的表述方式是，反作用力是残差计算的结果。对于激活的自由度，收敛解的残差很小。在受约束节点，残差较大，可以解释为反作用力。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，基本上 后验 是可以做到的使用 reacf() 算子计算与节点相关的反作用力。请注意，得到的值是集中的节点值而非连续分布场。根据单元中使用的形函数，这种节点值的分布可能不是很直观。不过，其求和结果在数值舍入误差范围内是精确的。

这种方法的缺点是，如果需要在计算中使用反作用力，它们就无法使用。

注：上述描述基于一般的有限元公式，是对 COMSOL Multiphysics^® 内部实际处理方式的极大简化。实际上约束处理要复杂得多。例如，可能涉及非线性约束，或是连接不同物理场变量的跨场约束。

引入拉格朗日乘子法

现在，继续讨论离散化形式。为了不那么抽象，我们举一个固体力学的例子。对于线性问题，可以证明势能为

将 W 与位移最小化，就能得到之前使用过的普通方程组。现在，将所有约束条件与各自对应的拉格朗日乘子相乘后加入势能表达式：

为清晰起见，自由度向量分为无约束 DOF ( ) 和有约束 DOF ( ) 。关键区别在于：新公式中将受约束自由度同样视为未知量。
为简单起见，假设受约束的自由度无外载作用。对各组变量求导后得到如下方程组：

利用第二行方程可以很容易地验证，拉格朗日乘子与上文介绍的节点反作用向量 完全相同。最后一行方程简单地说明了 。

如果原始刚度矩阵是对称的（通常是这种情况），那么这个新方程组也是对称的。但此表述存在以下局限：

• 与只求解激活的自由度不同，这种计算方法需要求解激活的自由度、受约束的自由度和拉格朗日乘子。
• 矩阵对角线存在零元素，部分线性方程组解法无法处理
• 出于数值计算考虑，必须对方程组进行适当的比例缩放。原刚度矩阵元素的量级可能与单位值相差甚远。

尽管如此，该方法仍具显著优势：

• 反作用力值本身构成问题表述的一部分，不能仅视作结果量
• 使用拉格朗日乘子时，强非线性约束条件的收敛效果会更好。
• 在逐点约束中无法使用时间导数。如果需要，使用拉格朗日乘子法是唯一的选择。

弱约束

弱约束条件同样基于拉格朗日乘子概念。不过，在离散化之前的数学描述中已经考虑了约束条件。

有限元公式的基础是使用基本方程的弱形式。在固体力学中，这也被称为虚功原理。计算公式如下

式中， 是应力张量， 是应变张量， 是牵引向量， 是位移场。 符号表示变分算子。在 COMSOL Multiphysics^® 中，它由 test() 和 var() 算子表示。符号约定与软件保持一致。

为简单起见，假设载荷（牵引力）只作用于边界。在更一般的情况下，也可能存在体积、边和点载荷。

为了使公式更加完整，需要在边界的某些部分设置位移的指定值，

在用选定的形函数近似位移时，该数学表达式将转化为有限元方程的离散化形式。

基于拉格朗日乘子的思想，现在可以通过添加一个额外项，将约束条件纳入弱表达式中：

式中, 是一个定义在约束边界上的拉格朗日乘子。假设 只是一个指定值（与解无关），那么最后一项可以扩展为三项，即

当使用有限元法将弱形式表达式转换为离散方程时，与位移一样， 使用形函数在单元上近似。原则上，两个场的形函数可以相互独立地选择，但这样会失去刚度矩阵的对称性（甚至会使矩阵变得奇异）。因此，通常使用与位移相同的形函数。组装后的方程组如下所示

矩阵 和 源自上述弱表达式中的第三项和第四项，只要位移和拉格朗日乘子使用相同的形函数，它们就具有对称性。

补充说明：矩阵 实际上与同一边界上单位面积质量分布的质量矩阵贡献相同。在 固体力学 接口中，可以使用 附加质量 节点给出这种质量分布。

为便于比较，我们重复上述对离散化系统应用拉格朗日乘子得到的方程组：

可以看出，结构类似，但单位矩阵被 所取代，右侧现在包含 ，它是 的加权形式。

那么，这种修改会产生什么影响？指定自由度的节点值将不再与指定值完全一致。另一方面，节点之间的值在平均意义上将更接近给定函数 。

为了说明这一点，我们来看一个简单的传热示例，比较用标准逐点约束法和弱约束法得到的结果。

示例一：传热

使用二阶拉格朗日单元在单位正方形上以 2×2 网格求解一个二维传热问题。在最右边的边界上，温度设定为 sin(2*Y)。在相反的边界上，温度设为零。在其余边界上，没有任何边界条件，对应于无通量。温度选择指定正弦函数分布是为了避免二次形函数对其进行精确描述。

带边界条件和计算温度场的模型。

如果我们沿着右边界绘制温度曲线，两种方法之间的差异几乎重合，如下图所示。

右边界的温度分布。

在下图中，我们可以看到温度与其设定值之间的比较，这是一个更有趣的曲线图。

实际温度场与指定温度之间的差异。垂直虚线表示节点位置。

从上图可以看出，在节点点上，逐点约束与指定函数完全一致。而使用弱约束条件时，情况并非如此。

还存在一个或其他更好的解吗？第一个尝试是计算与给定函数相比的平均误差。结果如下表所示。

事实证明，使用弱约束条件时，平均误差要小三个数量级。通过添加拉格朗日乘子场，指定值将在平均意义上尽可能地一致。为了证明这不是巧合，我们进行了一次参数扫描，将边的网格密度从 1 个单元改为 20 个单元。

右边界的平均温度误差与网格密度的函数关系。

需要强调的是，这些误差量级本身已经非常微小。对于任何合理细化的网格而言，上述对比主要具有理论研究价值。

在接下来的案例中，约束类型的选择将产生直观可见的影响。

示例二：杆模型

此例中，我们使用的是一根横截面为正方形的杆，它受到单轴拉伸。这是一个有两个域的装配体。一个域使用六面体单元网格划分，另一个域使用四面体单元网格划分。由于这是一个装配体，因此使用 连续性 条件将两个域连接起来。其结果是，网格在共同边界处 不兼容。

杆模型的网格和载荷。

默认情况下，连续性是通过逐点约束来实现的，因此 目标 侧的每个节点都必须具有与 源 侧相应位置完全相同的位移。根据选择哪一侧作为目标，将得到不同的结果。

使用逐点状约束时杆内的应力分布。在前景中，六面体单元构成目标侧，背景中则为四面体单元。

由于两个域交界处的形函数不一致，应力场中存在明显的局部扰动。随着与连接处距离的增加，扰动会迅速消失。COMSOL博客：“圣-维南原理的应用和解释 ”中详细讨论了这一现象。

如果我们现在改用弱约束，结果会好得多。在下图中，应力采用了另一种标度。误差大约小了一个数量级。

使用弱约束时杆中的应力分布。

结论表明，弱约束法能有效缓解非匹配网格连接时的应力扰动问题。

您可能会问，既然在传热示例中的影响如此之小，为什么在这个示例中两个公式之间的差异如此之大？答案是，指定温度是平滑的，可以用形函数进行合理近似。而在网格不匹配的情况下，每个单元面上的位移场都由各自的形函数表示，并不具有连续导数。现在，弱约束的平均效应变得更加重要。

Nitsche 约束

COMSOL Multiphysics^® 中的一些约束功能允许使用第三种类型的约束实施方法：Nitsche 方法。本文不展开理论细节，它也是一种弱约束类型，但不依赖于拉格朗日乘子的使用。它没有增加额外的自由度。以下是将该方法应用于同一个杆示例时的结果。

使用 Nitsche 约束条件时杆中的应力分布。

Nitsche方法有多种变体可供选择。这里使用的是默认的对称方法。可以看出，源点和终点的选择不再重要，误差甚至比使用弱约束时更小。Nitsche 约束不仅涉及连接边界上的节点，还涉及与边界上一个面的单元相连的所有节点，因此提供了更多的灵活性。

Nitsche 方法的缺点是，在其默认（也是最稳定的）的实现中，会产生一个非对称刚度矩阵，这可能会大大延长求解时间。如果问题中还有其他效应导致非对称贡献，这一缺陷则可忽略，因为对称刚度矩阵的优势已不复存在。

术语说明

在 COMSOL Multiphysics^® 中，当选择使用弱约束时，该功能表示”使用拉格朗日乘子进行约束”。在少数情况下，例如在约束单点或常微分方程 (ODE) 自由度时，拉格朗日乘子只是一个数值而非场量。在这种情况下，情况与上述离散情况相同：没有新的近似值，唯一的影响是可以直接获取约束力。(不过，你可能并不认为这是真正的弱约束）。

在某些情况下，特别是在结构力学接口中，调用拉格朗日乘子的公式时并没有明确提及弱约束。例如，刚性连接件 功能有一个名为 计算反作用力 的选项。

你可能会问为什么需要一个选项来获取反作用力。原因是对于该功能和其他类似功能，除了使用拉格朗日乘子外，没有其他方法可以计算反作用力。另一方面，总是使用这种计算方法可能会导致一些不明显的问题，这将在后文中讨论。因此，需要用户进行交互控制。

拉格朗日乘子的解释

上文提到，对于离散情况，拉格朗日乘子可直接解释为节点反作用力。这一特性更为普遍，并且不局限于有限元方法或固体力学。拉格朗日乘子代表执行约束所需的某种作用。通常，拉格朗日 代表一种能量。在这种情况下，拉格朗日乘子将与约束量在能量上共轭。

拉格朗日乘子的实际单位还取决于受约束物体的尺寸。对于固体力学，采用弱约束边界的拉格朗日乘子单位为 N/m² = Pa。拉格朗日乘子场可以解释为为了保持指定位移而需要施加到边界上的牵引力场。但是，不应期望该域能准确表示约束处的局部应力场。不过，它在综合意义上是非常准确的。

为了说明反作用力的牵引力场，我们对下图中的短悬臂梁进行了研究。在固定端施加了弱约束。

具有 von Mises 应力和外加载荷的悬臂梁。

接下来研究受约束端部的剪应力。根据分析解法，剪应力在横截面上呈抛物线分布。泊松比选择为零，以尽量减少约束效应。在给定的坐标系中，外加载荷会产生剪应力 σ_xy 和弯曲正应力 σ_xx。由于固定表面的法线位于 x 方向，牵引力分量 t_y = σ_xy。因此，它应该用 y 方向上约束条件的拉格朗日乘子来表示。下图对这些结果进行了比较。

计算的剪应力、拉格朗日乘子计算值和解析解的比较。

在所使用的网格分辨率下，应力和拉格朗日乘子均未精确反映真实解。存在一个显著差异：积分后，Y 方向总反作用力的相对误差在使用应力计算时为 3%，而使用拉格朗日乘子时为 2·10^-12。

如果自行编写弱约束，拉格朗日乘数的物理意义可能因约束公式的不同而有强有弱。例如，假设需约束某点，使其变形后位于以原始位置为圆心、半径为 R 的圆周上。

以下展示了两种输入此类约束的不同方式：

在 弱约束 节点的设置中输入同一约束的不同方法。

这两种表达式都能以相似的迭代次数得到相同的解。然而，在第一种情况下，拉格朗日乘子的值很难解释。从量纲角度来看，它的单位是 N/m（因为它乘以单位为 m² 的约束条件）。在第二种公式中，它实际上是对径向位移的约束。计算出的拉格朗日乘子将是作用在支撑结构上的力。反作用力的方向并不明显，但会沿径向作用。因此，在物理上，该结构由一个无摩擦的圆形边界支撑。

不过，这个问题有两种可能的正确解—— 该点可能附着于圆周上的两个位置，本质上代表圆内侧或外侧的接触，最终解取决于初始条件。

使用弱约束时应注意的事项

约束冲突

在使用弱约束时最常见的问题是，若将其与标准逐点约束应用于同一自由度，二者无法共存。这种冲突可能导致”奇异矩阵””发现 NaN 或 Inf”等错误，甚至是完全错误的解。这种情况通常并非用户有意为之，但也可能在不经意间发生。

例如，如果在一条边界上使用弱约束，而在相邻边界上使用逐点约束。那么在公共边上就会出现冲突。通常，最简单的解决方法是将所有相连的约束条件转换为相同的表述（可能是弱约束条件，因为首先在某处选择它是有原因的）。有些约束的设置中还有 排除的边 和 排除的点 的部分。通过将冲突边添加到此类选择中，也可以解决问题。

在某些情况下，发生冲突的可能性并不明显。可能有一些约束条件是你没有想到的，因为它们或多或少是自动添加的。连续性 条件就是这样一种情况。

更微妙的是壳 接口中的情况，在 壳 接口中，每个节点都对旋转自由度（围绕壳表面法线的旋转）具有隐式约束。因此，如果在 壳 接口的任何对象上添加涉及旋转的弱约束（例如 固定约束 ），就会产生冲突。所有旋转约束（包括隐式约束）都必须改为弱约束。

拉格朗日乘子的单位

在大多数情况下，COMSOL Multiphysics^® 中的拉格朗日乘子不带单位。这使得它们与几乎所有其他量不同。单位是隐含的，只能通过反作用力场的物理意义推断。如果需要在结果评估中频繁使用拉格朗日乘子，建议创建包含单位的中间变量。

添加一个带有单位的变量来表示拉格朗日乘子场。

变量缩放

有时，加入拉格朗日乘子会使非线性问题的迭代次数增加，甚至无法收敛。出现这种情况的最可能原因是容差处理不当。解决这一问题并确保容差得到正确处理的最佳方法是对拉格朗日乘子的自由度进行手动缩放。为此，请转到求解器序列中的 因变量 节点，并添加适当的缩放比例。缩放应提供拉格朗日乘子的数量级，即其代表的反作用力通量。

为变量设置手动缩放。

迭代求解器

如果使用迭代求解器求解线性方程组，拉格朗日乘子可能会引发一些问题。刚度矩阵的对角线上有零点，因此它不再是正定矩阵，大多数标准有限元公式都是如此。

因此，某些线性求解器和前置条件器不能用于求解弱约束问题，即共轭梯度迭代求解器和 SOR 类前置条件器和平滑器。您可以尝试另一种迭代求解器，并使用以拉格朗日乘数作为 Vanka 变量的 Vanka 算法，或者使用不完全 LU 因子化算法作为预处理器。

对于多物理场问题，一种可行方法是采用分离式求解策略；若模型规模允许，还可对涉及拉格朗日乘数的场使用直接求解器。

拉格朗日乘子自由度的奇异性

将标准约束条件转换为弱约束条件时，在数值上会表现良好。但是，如果编写自己的非线性约束条件，或使用约束变量的某些表达式，那么刚度矩阵的拉格朗日乘子部分可能会出现奇异性。

在上文使用的非线性约束示例中，当节点被约束移动到其原始位置周围一圈时，其原始配置实际上会失效。

这里的约束表达式实际上是一个以节点为中心的抛物面，因此当 u = v = 0 时，其梯度为零。

作为替代方案，您可以在拉格朗日乘子的自由度中添加一个人为的”刚度”。在上面的例子中，可以将表达式扩展为：u^2+v^2-R^2+1e-6*lm*(u^2+v^2 < 0.01*R^2)

拉格朗日乘子变量的名称为 lm。由于采用布尔表达式，额外的贡献只对小位移有效，因此不会影响真正的解。其作用是在刚度矩阵的对角线上放置一个小数值，以避免初始奇异性。

我们在下一篇博客的"弱约束条件"部分也使用了同样的方法：如何在仿真中设置边界条件。在该部分中，出现奇异性的原因是边界中只有随时间变化的部分具有指定值。在边界的其余部分，拉格朗日乘子的自由度仍然存在，但没有定义它们的方程。

扩展资源

COMSOL Multiphysics^® 中的弱约束是强大的模拟技术，但要成功运用它们，需从数值角度理解其底层机制。

如果您想了解更多有关弱约束的信息，也可以查看以下博客:

• 弱形式的力量
• 弱形式概述
• 在 COMSOL Multiphysics^® 中实现弱形式
• 弱形式方程的离散化
• 非标准约束和弱贡献的力量

1. 评估细菌致死率

Fortune Business Insights 最近一项研究（参考文献 2）显示，消费者对保质期长且易于储存的罐头食品的需求多年来一直在稳步增加，并且这一趋势预计还将持续。食品灭菌对生产商来说非常重要，因为过程中的任何错误都可能导致有害甚至致命的细菌进入消费者的食品。COMSOL 认证咨询公司 BE CAE & TEST 使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的 App 开发器开发了一款定制仿真 App，用于估计灭菌过程中渗透进罐头食品内部的有效热量，从而评估细菌致死率。该仿真 App 可以帮助食品工程师使用精确的多物理场模型分析罐头食品安全，且无需学习如何使用仿真软件。

在仿真 App 中设置分析时，食品工程师可以轻松地从几种基本形状的容器三维几何中进行选择，或者导入自定义的几何图形；选择豆类、玉米和金枪鱼等各种类型的食品；指定热处理方法。如果没有特定食品热物理性质的参考数据，也可以通过输入其营养成分，包括碳水化合物、蛋白质、脂肪、纤维和灰分（矿物质含量）的百分比来轻松计算。还可以通过该 App 导入实验参考数据，获得随时间变化的蒸馏温度曲线，或通过指定加热坡度、热稳定阶段和最终冷却温度和持续时间来定义温度曲线。

BE CAE & TEST 用于评估罐头食品中细菌致死率的定制仿真 App，其中自定义的几何图形是一个装有金枪鱼的长方形锡罐。

通过在自定义输入框中输入感兴趣的数据，食品工程师可以使用该仿真 App 在瞬态分析过程中计算随时间变化的温度，用于确定热渗透如何影响各种罐头食品中的细菌致死率。有了这些信息的支持，他们就可以优化食品灭菌流程，降低有害细菌进入食品的风险。

了解有关他们的工作和这个仿真 App 的更多信息， 请查阅：分析灭菌过程中细菌致死率的 COMSOL 仿真 App

2. 优化通心粉干燥条件

对于意大利面生产商而言，面食干燥过程需要进行一系列耗时耗力的实验来确定最佳操作参数，从而获得稳定、优质的产品。全球最大的意大利面生产商 Barilla 与意大利 Calabria 大学合作开发了一个模型来预测意大利面干燥过程中的温度、水分分布和结构变化，进而优化干燥过程，确保产品质量并最大限度地减少能源消耗。

烘干意大利面所需的时间差异很大，具体取决于两个参数：

1. 空气温度（ 40^°C ~ 90^°C） 和相对湿度（40% ~ 85%）
2. 气流速度波动

该团队采用双域建模方法开发了一个模型，用于预测在湍流空气条件下干燥过程的温度和水分分布。该研究团队在模拟中使用了一个二维几何图形来表示一根”tortiglione “意大利面。

一根意大利面的基本几何形状。

他们使用有限元法将传热和传质方程耦合起来，并对模拟进行参数化以反映典型的工业条件。该模型考虑了食品在干燥过程中的收缩。总体而言，研究团队的仿真预测结果与干燥过程的实际结果相比，平均相对误差小于 9%。

收缩的影响和模型验证结果。

了解更多有关该团队工作的信息，请查阅： “Comprehensive analysis of the transport phenomena developing inside a pasta drying chamber

3. 分析液体食品包装的降解情况

液体食品包装必须能安全地保存食品，且不会让包装在接触液体时发生降解。这种包装通常由核心支撑材料纸板、保护食品的聚合物保护层和通过感应加热（IH）密封包装的薄铝层构成。世界领先的食品加工和包装解决方案商利乐公司（Tetra Pak）的一个团队对感应加热过程中的包装材料响应进行了建模和仿真，以了解不同属性如何影响包装的材料性能。

利乐纸盒包装的解剖图。

他们建立了自己的模型并模拟了感应加热-密封过程纸板中热量和质量传递的相互作用。该模型以铝层为边界条件，考虑了通过AC/DC磁场的涡流。他们使用多物理场耦合仿真来确定纸板的干燥如何受到内部气体压力的影响，以及纸板不同区域的干燥程度。仿真结果表明，当纸板的初始含水率较高且密度较低时，由于水分引起的降解较少，蒸汽更容易逸出，这一点在纸板最干燥的顶角处可以观察到。仿真结果还表明，模型预测与实验数据非常吻合。这些发现使利乐公司能够进一步优化其聚合物模型，从而减少材料浪费。

使用不同内压时间进行的三次仿真显示了纸板上表面的水分含量。

了解有关他们工作的更多信息，请查阅：模拟感应加热密封过程中纸板的质量和热量传递耦合。

4.改善烤箱气流

为了以最低的成本精确计算烤箱腔内的气流，烤箱制造商 UNOX SpA 正着手寻找最有效的仿真策略。作为这项工作的一部分，该团队使用 COMSOL Multiphysics^® 软件研究并比较了各种流体动力学仿真策略。

该研究包括三个步骤。首先，他们使用一个管道和带冷冻转子的风扇的简化域进行研究，该研究的计算成本较低，并且可以进行实验验证。接着，他们对实际烤箱风扇的复杂几何形状进行了完整模拟，包括冷冻转子和传热研究。该模拟非常精确，但计算量也很大。最后，他们进行了与前一项类似的分析，但在不模拟旋转风扇的情况下施加了速度曲线，从而降低了计算成本。

烤箱内的气流。

研究团队对这三个步骤的结果进行了分析，发现第三种策略能以最少的计算时间获得非常准确的结果，因此是其工作最有效的方法。

了解更多有关他们工作的信息，请查阅：烤箱中的流体动力学仿真：平衡精度与计算效率

5.应对巴氏杀菌的挑战

含水量低的食品可能会因耐热微生物的污染带来安全问题，因此蒸汽或热空气等典型的巴氏杀菌法无法奏效。微波加热可作为一种替代方法，但由于干燥食品的介电特性较低而面临一定挑战。来自工业微波和射频应用领域的全球领先企业 SAIREM 和法国高等教育机构 Oniris Nantes 的一个团队合作开发了仿真模型来研究这一过程的复杂性。

他们模拟了用 915 MHz 单模微波加热器加热石英管中辣椒粉的过程，并分析了管内的电场分布和局部温度。研究团队模拟了几组不同的介电特性值，结果显示，与损耗因子相比，介电常数的不确定性导致了更大的温度变化。他们还实际测量了辣椒的热物理性质，包括密度、热量和热导率，发现二者结果非常一致。要准确预测生产安全食品所需的温度，精确测量含水量低的食品介电特性非常关键。

在工作频率为 915 MHz 的微波腔内加热的石英管模型中的红辣椒粉末，显示了由于介电常数的不确定性导致的温度差异。

了解有关他们工作的更多信息，请查阅：介电常数对 915 MHz 微波腔中低水分食品巴氏杀菌的影响

多物理场仿真保障食品安全

这篇博客，我们了解了食品和饮料行业的工程师如何使用多物理场仿真和仿真App分析和优化与食品安全相关的产品和流程的5个真实案例。当然，这些案例只是这一领域的简单仿真。如需获取更多灵感，请至 COMSOL 官网查阅 食品和饮料行业的应用专题。

参考文献

1. Consumer confidence in food safety hit a record low in 2024. (2024, September 19). International Food Information Council. https://ific.org/media-information/press-releases/food-safety/.
2. The canned food market in the U.S. is projected to grow significantly. (2025, April 14). Fortune Business Insights. https://www.fortunebusinessinsights.com/canned-food-market-103258

我们为什么需要了解月球表面？

辐射会对载人航天飞行产生不利影响，使宇航员致癌，月球表面的热循环会导致建造的任何栖息地产生热疲劳。因此，对月球热动力学的研究有助于选择合适的着陆点，确定设备和栖息地的稳定热条件，优化发电和热管理系统，从而为任务规划提供帮助。此外，类似的研究在帮助科学家确定水冰等潜在资源的位置，以及制定开采策略方面也发挥着至关重要的作用。这些信息还有助于深入了解月球的地质、月壤特性和内部过程，助力科学研究和我们对天体更广泛的了解。

图 1. 一张满月照片。图片由 Gregory H. Revera 提供，获 CC BY-SA 3.0许可， 通过 Wikimedia Commons 共享。

为了进一步了解月球的温度分布和热行为，Durga Prasad 博士团队着手建立一个全面的三维热物理模型，以帮助预测实际的热行为，模拟地球物理问题，并协助规划未来月球上的实验。

开发月球表面的热物理模型

Durga Prasad 博士于 2022 年发表在 Earth and Space Science 上的一篇论文中详细介绍了随后所做的努力。当时，关于月球热物理行为和热流的现有知识和测量都很有限。已知的信息都只针对赤道和中纬度地区。据了解，月球表面由导热系数较低的多孔层和密度较高的致密层组成，这对地表和地下的温度有显著影响。月球的地形在热量传递中也起着至关重要的作用，本研究也考虑到了这一点。

为了加深理解，Durga Prasad 博士建议采用实验室实验和数值仿真作为可能的研究方法。这项分析旨在通过推导月球表面和地下温度来预测月球的实际热行为，为开发这样一个综合模型迈出第一步。

模型开发过程包括创建两层横截面，用于探索温度和热通量的行为。研究人员在 COMSOL Multiphysics^® 软件环境及其附加产品传热模块中使用了三维有限元方法。这种方法能够准确地表征月球表面的复杂几何形状，并确保模型适用于小尺度到大尺度的模拟。

考虑关键参数和地形的影响

为了准确模拟月球表面和地下的热物理行为，必须考虑适当的参数值和边界条件。密度、热导率和比热容等参数并非恒定不变，而是相互依存的。包括密度在内的关键参数是根据以往研究得出的关系式定义的。导热系数和比热容是通过温度相关函数（理论曲线拟合）推导出的。此外，还使用了一个半正弦函数来表示太阳热通量的昼夜变化。

Durga Prasad 博士模型的一个重要方面是纳入了月球的地形变化及其对热量交换和热物理行为的影响。传统的一维模型提供了一个全球视角，但无法模拟局部和区域尺度的现象。通过数字高程模型（DEM）数据纳入月球表面的实际地形（图 2），可以更真实地反映月球的热行为。

图 2. (a) Taurus–Littrow 山谷和阿波罗 17 号着陆点 (b) 区域尺度模拟所考虑的关注区域 (c) 为局部尺度模拟创建的人工 DEM 几何图形 (d) 划分网格的几何和 y-z 切面。

图 3.基于模型计算的月球日选定时段的局部尺度表面温度三维图。

Durga Prasad 博士开发的模型是独一无二的，也是全球首个此类模型，它成功地考虑了地形变化，从而能够表征月球表面不同位置的温度分布。团队利用实验室实验和阿波罗 17 号的现场数据对模型的结果进行了验证，证实了月球表面热结构（包括最上层的厚度）作为影响月球表面和地下温度变化的关键参数的重要性。

未来的月球研究

Durga Prasad 博士的研究标志着我们在推进对月球局部热物理行为的理解，以及对未来月球探索任务规划的针对性调查方面迈出了重要一步。通过建立一个完整的三维热物理模型，他对月球表面和地下的温度变化提出了宝贵的见解。这项研究对未来的月球探索任务具有实际意义，有助于选择合适的登陆点、优化热管理系统和促进资源利用。此外，该模型还加深了我们对月球地质、月壤特性和内部过程的了解。

参考文献

1. K.D. Prasad, V.K. Rai, and S.V.S. Murty, “A comprehensive 3D thermophysical model of the lunar surface,” Earth and Space Science, vol. 9, 2022; https://doi.org/10.1029/2021EA001968.

延伸阅读

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非牛顿流方法

日常生活中某些流体会表现出反直觉特性。一个众所周知的例子就是番茄酱，刚开始它会顽固地附着在瓶壁，然后突然在整个盘子上铺满红色的酱汁。当黏度随着剪切速率的增加而降低时，就会出现这种被称为“剪切稀化”的现象。类似地，大多数聚合物也会出现这种现象。较少见的是剪切增稠流体，即黏度随剪切速率的增加而增加。一个著名的例子是 Oobleck（一种玉米淀粉悬浮液），其黏度会随剪切速率增加，甚至可使人在其表面快速行走时如履平地。

剪切速率表征相邻层间流体的相对运动速度，取决于流体速度场 和流道曲率引起的梯度变化，其数学表达式为：

其中， 为应变率张量 。在多孔介质中，错综复杂的孔隙分叉和汇合导致速度和剪切速率快速变化，从而引起孔隙空间内黏度的显著变化，如下图所示的 Carreau 流体流经不规则孔隙结构的示例。

流线图展示了 Carreau 流体的黏度分布：剪切速率较高的狭窄通道展现出较低的黏度，而剪切速率较低的较宽区域则维持较高的黏度，流线突出显示了孔隙结构对流体行为的影响。

这种动态黏度变化给非牛顿流体流动仿真带来挑战。为实现更大尺度的模拟，我们需要有效的升尺度方法，将孔隙尺度行为转化为宏观流动特征。

孔隙尺度模型的升尺度转换

对于大尺度应用，在孔隙尺度上模拟非牛顿流体的流动是行不通的，因此必须进行升尺度处理。其中一种方法涉及定义表观黏度 ，本质上是会产生与非牛顿流体相同压降的（恒定）黏度（参考文献 1）。

根据达西定律，表观黏度可以表示为 :

(1)

式中， 是多孔介质的渗透率， 是速度， 是压力梯度。这些数值可以通过测量获得，也可以像我们的示例一样，通过代表性体积单元（RVE）的孔隙尺度模型获得。（本征）渗透率是多孔基质的一种性质，仅取决于孔隙大小、形状和连通性，其计算方法可参考这篇博客及相应模型。

在已知结构渗透率的前提下，令 Carreau 流体通过该多孔结构，其表观黏度或有效黏度的定义如下

(2)

其中，参数 和 分别为零剪切速率和无限剪切速率情况下的黏度， 为弛豫时间， 为幂律指数。为了进一步证明升尺度方法的必要性，我们将相同的 Carreau 流体通过具有相同孔隙率和渗透率的不同多孔结构，并施加相同的压降。不出所料，剪切率受流道曲率的影响。由于不同结构的流道不同，剪切速率也不同，因此，我们测量或使用方程(1)中的方法进行计算的结果也不同。

在相同的边界条件下，具有相同孔隙率和渗透率的不同多孔结构展现出不同的表观黏度，这突出表明了流体和结构对剪切速率的影响。

在构建多孔结构的升尺度模型时，需要一个剪切速率的表达式，因为不能仅根据达西速度直接计算剪切速率。我们将这个表达式称为表观剪切速率 ，然后将其用于方程 (2)中。

对于不同应用场景，存在多种计算公式。一种常用的形式是:

(3)

式中，孔隙结构的影响用校正因子 表示。虽然可采用现有经验关系式确定 ，但将 与测量值或模拟数据进行拟合可以获得更精确的结果。

计算和验证校正因子

校正因子可通过 COMSOL^® 系统内置的方法确定。首先，利用方程 (2) 计算表观剪切速率 , 同时计算 项，我们称之为归一化速度。再根据方程 (3) 计算出 。虽然通常可以假定 在一定的压降范围内保持不变，但必须注意的是，它可能会因流动模式的变化（如湍流的发生）而变化。

本案例模拟了 50—5000 Pa/m 压降范围内的流动，COMSOL^® 将计算结果输出到数据表，随后通过 最小二乘 拟合函数 对方程 (3) 进行参数拟合以确定 值。

该方法不仅支持孔隙尺度模拟数据，也可直接采用实验测量数据进行拟合验证。

为了验证这种方法，我们可以根据 Brinkman 方程建立一个均质化模型，并对结果进行比较。如果结果一致，则证明了近似方法的准确性和可靠性。

Brinkman 方程 接口和 达西定律 接口现在支持使用表观剪切速率法（包括热效应）模拟非牛顿流体流动，也就是说您可以在 6 种常用的非牛顿本构关系中进行选择。此外，您还可以输入自定义校正因子或选择毛细管束方法，该方法提供了另一种适用于毛细管束状多孔介质的 描述。下图是 COMSOL Multiphysics^® 用户界面的截图，显示了流体属性设置窗口。

下图显示的结果表明，表观剪切速率法提供了准确可靠的预测。

孔隙尺度模型与均质化方法的表观黏度-归一化速度关系对比。

下一步

由于流体特性与孔隙结构之间存在复杂的相互作用，模拟多孔介质中的非牛顿流体流动具有独特的挑战性。将孔隙尺度模拟或测量结果与升尺度技术相结合，可以得到精确的宏观模型。多孔介质流动接口目前支持表观剪切速率法，提供了一种考虑动态黏度变化和结构影响的可靠方法。

想自己建立非牛顿流体在多孔介质中的流动均质化模型吗？COMSOL 案例库中提供了 MPH 文件和分步说明，欢迎下载：

在后续博客中，我们将以狭窄肺动脉中的血液流动为例，展示表观剪切速率法在真实生物力学场景中的应用。

参考文献

1. N. Zamani, I. Bondino, R. Kaufmann, A. Skauge, “Computation of polymer in-situ rheology using direct numerical simulation”, Journal of Petroleum Science and Engineering, Volume 159, 2017; https://doi.org/10.1016/j.petrol.2017.09.011.

直拉法背后的历史

后来，Czochralski 证明了这种凝固金属是单晶体。将近 110 年后，他的简单失误被公认为直拉法奠定了基础。该方法是制备单晶硅的最重要方法之一，而单晶硅是一种广泛应用于电子产品制造的材料。

如今，直拉法采用的工艺与 Czochralski 意外的钢笔蘸取过程类似。首先，在坩埚中熔化高纯度的半导体级硅。然后，加入掺杂的杂质原子，使硅掺杂变成正型或负型硅。接着，把固定在一根棒上的籽晶浸入到熔化的混合物中，并在氩气的惰性气氛里小心地向上提拉，同时进行旋转。最后，熔融物会在籽晶上形成一根大的圆柱形单晶锭。

直拉法的各个阶段。这张照片已进入公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

Czochralski 探索了使用锡、铅和锌等金属制造晶体的方法，并于 1917 年发表了有关该方法的论文。这篇论文和方法一经发表便引起了人们的极大兴趣，但直到 20 世纪 40 年代末，这种方法才成为如今的主流技术。这在很大程度上要归功于贝尔实验室的研究人员，他们重新发现了这种方法，并利用它生产硅和锗晶体以开发半导体。从那时起，直拉法就成为半导体工业的基石。

波兰化学家Jan Czochralski，1929 年在华沙理工大学担任教授时的照片。这张照片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

直拉法是制备单晶硅（mono-Si）晶锭最常用的方法。该方法可以制备出长达 2 米的晶体锭，之后这种晶体锭可被切割成标准尺寸的晶圆。这些晶圆可用于制造集成电路，在光伏领域则用于制造太阳能电池。在这篇博客中，我们将探讨如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件模拟保护气体流动和对流传热，以维持晶体生长界面所需的温度梯度。

典型晶体生长炉的模型定义

通过精准调控加热功率、拉速和晶体旋转速率，可以有效控制晶锭的形状，尤其是直径。可以在原型阶段对这三个因素进行调整，但必须使用昂贵的物理材料。作为这些实验的补充，建模和仿真可用于虚拟复制、监控和更改设计，从而减少所需的物理实验次数。

查看在软件中建立的热传导（左）和热辐射（右）模型。

直拉法晶体生长炉的热分析教程模型模拟了上述过程。该模型的几何结构包括一个装有熔体的石英坩埚和一根位于熔体表面中间的晶棒，二者均放置在生长炉内。在生长炉内，氩气流冷却晶棒，以维持所需的温度梯度，并将挥发性物质排出炉外。炉内放置了一个石墨加热器，用于维持稳定的温度。坩埚和晶棒均以 5 r/min 的速度旋转，但方向相反。上述过程的整个几何结构具有旋转对称性，因此可以在 COMSOL Multiphysics^® 中使用二维轴对称模型创建。

假设热传导是主要的传热机制，对熔体、晶棒、石墨加热器和炉壁的热传导进行模拟。炉内表面之间的热传导由表面对表面辐射模型计算。炉内氩气的非等温流动采用弱可压缩流假设进行建模，同时将 k-ε 湍流模型和湍流中的热传递相耦合。晶棒和坩埚的旋转则使用滑移壁条件描述。

此模拟的重点是研究保护气流和对流传热，找出维持晶体生长界面所需的温度梯度和最佳参数。

使用COMSOL模拟的晶体生长炉模型。

在模型几何结构内部，石墨加热器的功率为 310 kW，保护性氩气的引入速度为 100 L/min。炉压保持在 2500 Pa。坩埚以 5 r/min 的速度正向旋转，晶体棒以 5 r/min 的速度逆向旋转，从而产生有效晶体生长所需的扭转运动。这种熔炉的旋转速度远高于拉速，因此本模拟忽略了拉速。

标注了各个部件的晶体生长炉几何图形。

结果讨论

在模型中，我们进行了两步研究。第一步是求解稳态流动方程，为随后的瞬态研究步骤建立良好的初始条件。在瞬态研究步骤中，流动方程和传热方程是完全耦合求解的。

流场

仿真计算得出的流场显示，晶棒表面附近的流速最大。热屏和晶棒之间存在一个回流区，该回流区主要由热屏高温产生的浮力驱动形成，来自入口的轻微向下流动也对其产生一定影响。这种高速运动有利于有效散热，从而在晶棒内形成明显的温度梯度。

坩埚和加热器之间的水流向下流动，这与直觉相反，因为人们可能会认为这一区域会产生烟囱效应。但实际上这种效应发生在加热器外部，即加热器和炉壁之间，那里的水流主要是向上流动的。

值得注意的是，炉内自由对流的影响比氩气的入口和出口流动的影响更为显著，后者在图中几乎无法辨别。如果没有模型，预测整个流场将非常困难。

炉内流场图。

温度

我们的研究表明，熔体与晶棒接触面的平均温度在大约 400 分钟后达到稳定状态。熔化温度（Tm=1414 °C）等值线靠近该接触面，见下图中的 1415 °C 等值线。晶棒与熔体接触点的温度在 1403—1407.5°C 变化，最高温度出现在晶棒的中部，接近于 1414 °C 的实际熔化温度。温度沿晶棒高度方向逐渐降低，在 Z 方向上呈现出 500—100 °C/m 的温度梯度。这表明氩气流对单晶棒进行了有效冷却。

左图：突出显示了 600 分钟时平均温度的模型图。右图：晶棒与熔体接触面的温度分布。

晶体炉模型的扩展

借助上述仿真模型，我们将晶体和熔体模拟为固体，并在设计阶段进行了热分析。该模型既可以实现这一目标，也可以进行扩展。例如，您可以对其他加热方式（如感应加热）进行模拟。更复杂的扩展可能还包括重点模拟熔体中的流动及其内部的自然对流、表面对流（马兰戈尼效应）和强制对流（磁性流体）。您还可以使用 相变 接口查看从熔体到晶体的相变，以及晶体潜热和拉力的凝固过程。虽然本演示中忽略了晶体提拉速度，但您也可以在壁边界条件中设置该速度，即切向的移动壁速度。

动手尝试

想自己亲自动手尝试模拟这个 Czochralski 晶体生长炉吗？COMSOL 案例应库中提供了相关的 MPH 文件和分步说明，欢迎下载。

汽车中的主动空气动力学

长期以来，汽车工程师一直致力于通过微调空气动力学来提高汽车的效率、速度和稳定性。汽车最重要的两个空气动力学指标是阻力和下压力。阻力是一种阻碍汽车向前行驶的力，能够降低速度和燃油效率；下压力则是一种垂直向下的力，它通过将汽车推向地面来增加牵引力，从而提高汽车的稳定性和操控性。下压力通常是有益的，但产生下压力往往会增加阻力，从而在速度和稳定性之间产生权衡，设计师必须进行平衡才能实现汽车的速度、操控性和燃油效率的综合提升。

主动空气动力学通过一种动态移动组件的方法，实时优化阻力和下压力，从而提供更加精细和响应灵敏的驾驶体验，改变了汽车设计。与使用固定组件的传统被动空气动力学设计相比，主动空气动力学的特点是配置了可以改变位置和形状的机翼、襟翼和通风口等组件。在合法上路的汽车中，这些调整由利用实时数据并根据驾驶条件来改变这些组件的车载电脑控制。

Bugatti Veyron^® 的尾翼在高速行驶时会升起，以产生更大的下压力。图片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons共享。

1986 年发布的 Porsche^®959 是第一款配备主动空气动力学系统的合法公路用车。这项技术很快便引起了人们的关注，并在布加迪威龙（Bugatti Veyron^®）、三菱（Mitsubishi^® 3000GT）和帕加尼 （Pagani Huayra^®） 等高性能汽车的设计和性能中发挥了重要作用。如今，许多合法上路的汽车都采用了主动空气动力学设计，部分原因是为了提高燃油效率。汽车可以配备多种主动空气动力学特征，包括：

• 可以根据车速和驾驶模式升高和改变角度的可调式尾翼，用于平衡燃油效率、提高车辆性能和充当空气制动器（参考文献 1）
• 用于提高操控性的可调节式前分流器（参考文献 1）
• 可以根据发动机的冷却需求打开或关闭的前格栅中的主动式挡风板，从而在不需要冷却的情况下减少阻力（参考文献 2）

另一个采用主动空气动力学创新技术的示例是当今最惊险刺激的高性能运动之一—一级方程式赛车中的 DRS。

2015 马来西亚大奖赛（2015 Malaysian Grand Prix）。图片来源于 Wikimedia Commons,获 知识共享署名–相同方式共享 4.0 国际版许可。

赛车运动中的 DRS

DRS 被视为一种主动空气动力系统，因为它涉及对一级方程式赛车的空气动力组件进行实时调整。与前面提到的公路赛车不同，一级方程式赛车的 DRS 可让驾驶员直接控制该系统。

在赛车运动中，DRS 旨在减少追赶赛车的空气阻力，以在比赛中获得超车机会。通过减少空气阻力，DRS 能够使赛车在赛道的指定直线段（也称为“直道”）获得显著的速度优势，从而更容易超越前车。这就为许多观众带来更加激动人心和充满活力的比赛。因此，DRS 已成为大奖赛（Grand Prix^™ ）比赛中关键的战略和战术要素。

红牛赞助的一级方程式赛车上的可调式尾翼。图片来自 Wikimedia Commons, 获 知识共享署名–相同方式共享 4.0 国际版许可。

DRS 的核心组件是可调式车翼，我们在此将其称为 “DRS 襟翼”。DRS 襟翼可在两个位置之间转动，一个用于产生高下压力，另一个用于产生低阻力。当 DRS 启动时，DRS 襟翼上升以减小攻角，即弦线与迎面气流或车辆行驶轨迹之间的夹角。这种变化会降低翼面产生的下压力，进而减小空气阻力。阻力减小后，汽车受到的空气阻力也会减小，从而能在直道上达到更快的速度。赛车工程师估计，DRS 工作期间的车速可提升至 10–12 km/h（6.2–7.5 mph）。

DRS 被设计为仅在最适合超车的指定直道上使用。这是因为下压力减小也意味着赛车的抓地力降低，从而使稳定性降低，最终导致汽车在过弯道时非常不安全。当驾驶员驶出 DRS 区域并关闭系统时，DRS 襟翼会下降，阻力和下压力会恢复到正常水平，从而提高赛车的抓地力。

机翼的攻角，在决定机翼产生的阻力方面起关键作用。

模拟 DRS 效应

在汽车设计中，计算流体动力学（CFD）可用于模拟和分析汽车周围的气流，并预测汽车设计的改变如何影响其空气动力性能。CFD 仿真具有独特的优势，因为它可用于直观地显示气流模式、评估车辆各组件所受到的气动力，以及优化设计参数，同时避免了反复试验所带来的成本和时间问题。CFD 仿真不仅是设计主动空气动力组件的关键步骤，也在汽车制造的其他几个方面发挥着重要作用。

现在，让我们在 COMSOL Multiphysics^® 中建立一个简单的 DRS 襟翼模型，来模拟类似于一级方程式赛车配备的可调式尾翼。模拟目标是对 DRS 运行期间尾翼上的空气阻力和下压力变化进行量化检测，以更好地了解激动人心的超车背后的物理原理。

一级方程式赛车的典型尾翼组件由两个横跨车身宽度的翼板组成。尾翼两侧安装了垂直端板，用于管理气流和减少翼尖涡流造成的阻力。在我们的模型中，为了简化分析，考虑了尾翼组件的二维横截面。这样，我们就可以忽略端板，只考虑两个翼板的横截面几何形状。我们将上翼称为 “DRS 襟翼”，下翼称为“主襟翼”。(注意，只有上翼是可调节的。）两个翼板均使用 NACA 6409 翼面。虽然 NACA 6409 翼面并不能真正代表一级方程式赛车的尾翼，但我们的模型旨在简单演示可调式襟翼对空气阻力和下压力的影响。在 DRS 襟翼的尾端固定了一个格尼襟翼（gurney flap），以在不显著增加阻力的情况下增加下压力。假设翼板是完全刚性的。

由两个 NACA 6409 翼板组成的模型的数值设置。入口和出口分别被定义为左边界和右边界。分别使用开放边界条件和滑移壁条件定义上、下边界。

使用 COMSOL^® 中的 动网格 接口模拟 DRS 襟翼的驱动，使其与主襟翼间距不超过 85 mm。这符合一级方程式的规定，即 DRS 襟翼与主襟翼的最大距离为 85 mm。使用 湍流、k-ε 接口计算域中的气流。由于我们将参考坐标系固定在尾翼上，因此将进气速度定义为 90 m/s 来模拟赛车在赛道上以 323.7 km/h（201 mph）的速度行驶的情况。在 DRS 处于非激活状态（即 DRS 襟翼放下）时，执行稳态研究以获得稳态气流分布。然后，执行瞬态研究来模拟可调式襟翼的瞬态效应。

度量指标

阻力系数是一个无量纲数，用于测量物体在流体中运动时所受到的阻力或流阻。它表示流体（在本文示例中为空气）在物体周围流动的顺畅程度，阻力系数越小，通常表示阻力越小，空气动力学效率越高。阻力系数 可以表示为

式中， 是流体密度， 是速度大小， 是翼上力的 x 分量， 是翼的横截面， 可表述为

和

式中， 是壁面剪切应力， 是切向速度。对机翼边界进行表面积分。

下压力可以使用表达式 ，由牵引力的垂直分量 计算。

模拟结果

下图中的动画演示了 DRS 运行期间的不同指标。本文，DRS 在研究开始后 2s 启动，然后大约持续 3s。在我们的模型中，运行时间有些随意，但这与比赛中真正的 DRS 操作非常相似。

动画 A 显示了网格如何随着 DRS 襟翼的移动而变形。图中显示了 DRS 襟翼从主襟翼上抬起的幅度。DRS 襟翼旋转 19.5˚ 相当于从主襟翼上抬起 84 mm，符合规定。

动画 A：仿真结果显示了使用 动网格 接口模拟的网格单元的变形（左）以及 DRS 襟翼相对于主襟翼的位置（右）。

动画 B 显示了 DRS 运行期间的速度流线。从图中可以看出，当 DRS 启用时，空气的最大速度较低。但不应将这与汽车的速度相混淆，因为当襟翼升起时，汽车的速度会更高。

动画 B：仿真结果显示了速度分布和流线（左）以及域中的最大速度（右）。

动画 C 显示，当启动 DRS 后，尾翼的阻力系数最多可降低 27.1%。同时绘制了襟翼上的下压力，结果显示启动 DRS 后，襟翼上的下压力最多减少 23.6%。

动画 C：仿真结果显示了 DRS 运行期间的风阻系数和下压力。

虽然这些结果是通过任意几何形状建立的模型得出的，但在现实生活中应用 DRS 可对阻力产生重大影响。例如，在大学生方程式赛车中，DRS 可减少高达 78% 的阻力（参考文献 4）。阻力的减少会根据赛车的速度、空气动力设置、具体的 DRS 设计和赛道布局而有所不同。

仿真的优势

主动式空气动力学技术为高速赛车带来了显著优势，在合法上路的汽车中也越来越受欢迎。文中介绍的模型使用赛车尾翼组件的简单二维横截面表示，展示了可调式襟翼对阻力和下压力的影响。这种简单的模型可以帮助理解 CFD 原理，并展示了空气动力学的精彩应用。文中介绍的模型设置还可以扩展到使用 COMSOL^® 中的 流-固耦合 多物理场接口来模拟襟翼在压力应力作用下的结构变形。

使用 COMSOL 模型研究汽车的空气动力学。

动手尝试

如果您想自己尝试研究可调式襟翼对阻力和下压力的影响，请单击下方按钮，进入 COMSOL 案例库，下载文中的相关模型。

参考文献

1. J. Piechna, “A Review of Active Aerodynamic Systems for Road Vehicles,” Energies, 2021.
2. C. Pfeifer, “Evolution of active grille shutters,” SAE Technical Paper, 2014.
3. W. Yu and G. Wei, “A Review of the influence of active aerodynamic tail on vehicle handling stability,” Journal of Physics: Conference Series, 2021.
4. R. Loução, D. Gonçalo, and M. Mendes, “Aerodynamic study of a drag reduction system and its actuation system for a formula student competition car,” Fluids, 2022.
5. J. Noble, “How F1’s new active aero will work in 2026,” Autosport, 2024.

延伸阅读

阅读下列 COMSOL 博客，了解更多文中讨论的相关主题信息：

• 借助 Ahmed 体研究流过汽车的气流
• 模拟跑车侧门和后视镜上的风荷载
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本文提供的信息与 2024 赛季相关。一级方程式赛车中的 DRS 系统将于 2026 年被更复杂的主动空气动力学系统取代，该系统可进行更多的动态调整（参考文献 5）。一级方程式赛车是一项不断变化和创新的运动，本文所讨论的技术在未来可能会过时。本文旨在展示仿真在理解空气动力学原理方面的功能，而非赛车运动的规则指南。一级方程式是 Formula One Licensing B.V. 的注册商标，大奖赛是其未注册商标。Huayra 是 PAGANI S.p.A. 的注册商标。 Mitsubishi 是 MITSUBISHI JUKOGYO KABUSHIKI KAISHA 的注册商标。Porsche 是 Dr. Ing. h.c. F. Porsche Aktiengesellschaft 的注册商标。

定义半透明介质

半透明介质是指光在其中能传播相当长一段距离，直至在吸收和散射的作用下逐渐消失的任意一种材料。吸收是通过将光能转化为热能，从而导致温度升高的机制。散射是通过将光重新定向到其他方向的机制。光的散射有多种形式：一种极端情况是发生在镜子和电介质表面的镜面反射和折射，而另一种极端情况则是几乎都为各向同性散射，如在非常浑浊的水等浑浊介质中观察到的散射，其中浑浊是由一些形状和方向随机的小悬浮颗粒造成的。

一束准直光入射到半透明介质时,会发生各向同性散射，这意味着光会被等量地重新定向到各个方向。这种散射发生在任一光束路径，而且散射光本身也会立即重新散射，因此这幅图呈现的是这一过程的简化视图。

需要注意的是，基本上所有真实材料都会展现出一定程度的各向异性散射，也就是说，光会被优先定向到某些方向。不过，在一些应用中，散射可以被近似为各向同性，这就是我们今天要讨论的情况。考虑一束入射到材料上的准直光（激光束），其中光强的变化通过各向同性散射系数和各向同性吸收系数量化。

建模方法

为了理解建模方法，我们首先假设材料没有散射只有吸收。对于这种情况，我们可以使用传热模块的 吸收介质中的辐射束 接口模拟，即在材料内部求解比尔-朗伯定律。使用该接口时，假定光束在受照边界的强度已知。也就是说，考虑一束已知功率的光通在自由空间中传播，并基于传播到材料中的光的比例指定光强度。

该接口求解以下方程:

式中， 是描述光束方向的矢量，在垂直于光束路径的平面上测量的 是光的强度，用单位面积上的功率表示。可能存在多种不同空间的重叠入射光束，每个入射光束都需要求解一个以 为指数的方程。 为吸收系数，用于量化这些光束的吸收情况。吸收的能量为所有入射光束的总和 。该接口假设所有吸收的光能都转化为热能，但我们通过简单地修改接口设置，可以将散射也考虑在内。

我们可以将非零散射系数 添加到 吸收介质中的辐射束 接口使用的吸收系数中，因此 。吸收的能量便可以分解为吸收部分 和散射部分 。

接下来，我们需要计算散射部分的光如何在介质中传播，同时考虑光在各处都会被吸收和再散射。这时，可以使用传热模块的 吸收-散射介质中的辐射 接口中的P1 近似解方程求解：

式中， 为每单位立体角的光辐射强度，也就是说它包含所有方向的光，而不仅仅是单一方向的光。光能向热能的转换由等式右边导致辐射强度降低的 量化。源项 导致辐射强度的体积增加，在这种情况下，源项来自 吸收介质中的辐射束 接口计算的散射损耗部分；因此， 。

在求解散射光时，除了控制方程，还需要设置一系列材料的边界条件。鉴于入射激光可以进入建模域，因此可以合理假设散射光能离开建模域。对于这种情况，可以使用 半透明表面 功能求解，该功能允许输入发射率 和漫透射率 。这两个量必须小于或等于 1，并可以定义漫反射率 。如果 ，入射到该边界上的散射光将完全穿过该边界；如果 ，则入射光将部分漫反射回域中。

建模细节

为了在 COMSOL Multiphysics^® 中建立这样的模型，我们可以将 吸收介质中的辐射束 接口和 吸收-散射介质中的辐射 接口耦合使用。前一个接口只需在入射光路径周围的子域中求解。使用 吸收介质中的辐射束 接口，需要对吸收系数进行修改，以同时包含散射和吸收系数。因此，在计算结果时，减去吸收部分的吸收热量非常重要。

通过 吸收介质中的辐射束 接口中的 吸收系数 计算准直光的吸收和散射。

吸收-散射介质中的辐射 接口允许：1) 分别添加吸收系数和散射系数 2)使用 辐射源 功能添加一个源项，用于表征 吸收介质中的辐射束 接口吸收热量的散射部分。

将 吸收介质中的辐射束 接口的散射光与 吸收-散射介质中的辐射 接口相耦合。

在模拟结果方面，计算入射光的热损耗、散射光的热损耗以及入射光和散射光离开建模域的比例的积分有助于深入理解所模拟的现象。下图和表格显示了这些损耗和积分的分布，损耗分布随后可用于传热分析中计算温度的变化。

入射光（左）和散射光（右）的热源分布。这些热源的总和导致温度的升高。

热损耗和辐射损耗的积分表。损耗的总和应该等于入射光的功率。

注意事项和结束语

如上所述，在COMSOL 中建立光的吸收和散射模型非常容易，但需要强调的是，这种方法有两个局限性。首先，材料内部的任何镜面反射或折射（例如由于镜子或透镜引起的反射或折射）都无法求解，因此只能模拟非常均匀的材料。其次，假定介质内部的散射是各向同性的。这些局限可以通过简单计算的优势来弥补：通过求解两个标量方程组计算平行光和散射光的强度，计算成本非常低。此外，还可以轻松地将源项与热分析相结合来计算温度上升。因此，如果您要模拟激光与半透明材料的均匀样品的相互作用，并且可以假设为各向同性散射，这种高效的方法将非常有吸引力。

下一步

点击下方按钮，进入 COMSOL 案例库，尝试自己动手模拟文中介绍的接口功能:

使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟周期性微流体系统

下图为一个具有蛇形通道的微流体装置示例。化学稀物质溶液可通过两个入口进入系统，两股流体汇合后流经蛇形通道。由于微流体系统中的流动是层流，因此化学物质的混合是通过扩散实现的。为了高效地模拟系统，我们可以利用结构的周期性，考虑模拟一个基本单元。

一个典型的微流体装置。图片经过修改。原图由 IX-factory STK — Own work 提供，获 CC BY-SA 3.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。原作品已被修改。

我们在之前的两篇博客中也讨论过这个蛇形通道。第一篇博客，使用广义拉伸算子模拟周期性结构通过求解一个基本单元中的层流减少了计算量，并使用 广义拉伸 算子将速度场映射到包含多个单元的完整几何结构。如下图所示，完整几何结构上的稀物质传递使用映射的速度场求解。

模拟周期性微流体装置的第一种方法。计算一个基本单元中的速度场，并将其映射到完整的几何结构上，以计算完整几何结构中的浓度分布。

在第二篇博客利用含高佩克莱特数模型中的周期性中，该模型得到进一步简化，重点研究具有高佩克莱特数的微流体系统。在这种情况下，物质传递主要依靠对流而不是扩散的方式，下游溶液不会影响上游溶液。因此，没有必要像第一种方法那样计算整个装置上的物质传递。

对于高佩克莱特数，可以逐个单元地按顺序计算物质传递。如下图所示（“方法 2”），计算一个基本单元中的速度场，然后求解浓度场。利用 广义拉伸 功能，将出口处的浓度场映射到入口处。为确保在下一次迭代中使用上一个解进行浓度映射，需要使用 边界常微分和微分代数方程 接口以及 上一个解 功能。

今天这篇博客，我们将介绍能够实现相同目标的另一种方法，即将结果从出口传递回入口，按顺序计算物质传递。使用状态变量代替边界常微分方程。状态变量比边界常微分方程更容易实现，可以降低模型的复杂性。

第二种和第三种方法仅使用一个单元模拟周期性微流体装置。这两种方法的不同之处在于步骤 3。从出口到下一个基本单元入口的浓度分布映射，可以使用边界常微分方程或状态变量来实现。(下文我们将解释第三种方法）。

广义拉伸和状态变量

首先，在出口边界上定义广义拉伸 算子 genext1。该算子可在 定义>非局部耦合 节点下找到，它通过指定 x 轴上的位移，将一个表达式（在本例中为浓度）从出口映射到入口。

通过在 x 轴方向偏移 6 mm，广义拉伸算子将变量从一个边界映射到另一个边界。

第二步，在入口边界上定义状态变量 。状态变量 功能位于 定义>变量实用程序 节点。在模型中，状态变量被视为因变量。与物理场接口中常见的因变量不同，状态变量可以设置为在每个收敛的参数步或时步之前与之后更新，或者仅在初始化时更新。状态变量的设置如下图所示，状态变量名为 c_b。作为一个初始值，阶跃函数用于显示入口处的初始浓度梯度。阶跃函数位于 x = 0.5 mm 处，根据其在 x 轴位置的不同，初始浓度在 0 ~ 1 mol/m³ 之间变化。状态变量总是在参数阶跃开始时更新，这意味着，上一步出口处的浓度将被映射到下一步迭代的入口处。

状态变量的 设置 窗口。

状态变量 c_b 作为 稀物质传递 接口中 流入 边界的浓度。状态变量的数据被存储在高斯点，而不是网格节点。因此，选择 通量 (Danckwerts) 作为 边界条件类型 ，而不是 浓度约束。在网格节点施加浓度条件，Danckwerts 条件则在高斯点施加通量。

状态变量 c_b 被设置为流入边界的浓度。

为尽量减少外推误差，在入口和出口边界使用了 相同网格 功能。

相同网格 功能的 设置窗口。边界 2 和边界 7分别为入口和出口边界。

与之前的博客类似，我们分两步计算模型。研究步骤设置如下图所示。在第一个研究步骤中，只对一个基本单元计算 层流 接口。无论基本单元重复多少次，流场都是相同的，但物质传递并非如此。第二步，计算 稀物质传递 和 状态变量。此外，我们还引入了一个参数 n_unit_cells，按顺序计算重复单元。该参数用于辅助扫描，并从 1 开始以 1 为增量扫描至最大单元数，本例中为 15。每次计算结束后，都会更新状态变量，并将出口处的浓度场映射到后续基本单元的入口处。为了正确更新状态变量，将 运行继续运算 设置为 无参数，并将 重用上一步的解 设置为 是。

启用 辅助扫描 功能后的研究步设置。参数 n_unit_cells 代表基本单元的数量。

最终，我们得到所有重复单元的浓度分布图。下图显示了前三个基本单元。

前三个基本单元的浓度分布。

本文介绍的模拟结果可用于确定混合程度和所需的通道长度。采用辅助扫描方法，我们能够高效地任意扩大混合器的规模。为了进一步衡量系统的混合程度，可以考虑混合指数（MI）。混合指数是在整个通道横截面上计算得出的，其定义如下：

其中， 表示出口边界的平均浓度， 表示其标准偏差。

混合指数与基本单元数量的函数关系。

图中显示了重复 15 次后每个基本单元出口处的混合指数。重复 5 个基本单元后，混合指数已达到 0.98。

结束语

本文讨论的方法与博客利用具有高佩克莱特数模型中的周期性中讨论的方法非常相似。这些方法简化了模型，节省了计算资源。它们与之前方法的主要区别在于，使用状态变量保存出口浓度并将其传递到下一次迭代，而不是使用 常微分方程。使用状态变量的方法更容易实施，因为不需要改变求解器的配置。因此，我们建议使用状态变量法模拟具有高佩克莱特数的系统。这种方法也可以用于更复杂的应用，例如物质之间会发生反应的多种化学物质的混合。

延伸阅读

想了解更多文中提到的有用功能吗？请阅读以下博客：

• 深入学习如何使用高斯点功能：数值积分与高斯点简介
• 了解有关 状态变量 功能的更多信息：如何在 COMSOL Multiphysics^® 中使用状态变量
• 查看如何使用 广义拉伸 算子：用广义拉伸算子映射变量
• 了解更多关于 广义拉伸 算子的用法：广义拉伸算子的一些示例

声阱简介

1874 年，August Kundt 首次证明了声波可以对暴露粒子施加声辐射力。自 20 世纪 90 年代以来，这一原理就已经被应用在微流体装置和片上实验室系统中，如今，商业化的声阱设备已被全球生命科学实验室和医疗机构广泛采用，用于低浓度样品的富集和纯化，细胞之间的相互作用研究、粒子分选，以及现场即时诊断的细菌、病毒或生物标记物的分离等。

图 1 微流体通道横截面上的声流，可用于生物流体样品中对粒子进行浓缩或分离。

声阱中诱发的声波会产生声流，即在捕获位点周围形成快速移动的涡流。这种声流会对流体中的颗粒产生黏性阻力。同时，颗粒也会受到声辐射力的作用。对于大颗粒，声辐射力占主导地位，对于小颗粒，黏性阻力占主导地位。改变主导力性质的颗粒临界尺寸取决于具体的设备和颗粒的声学特性。在大多数设备中，声辐射力用于捕获或控制颗粒，因此，来自声流场的黏性阻力通常会阻止小于临界尺寸的小颗粒被声阱捕获。

了解这些信息后，让我们深入探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟声阱。您可以从案例库中下载文中讨论的玻璃毛细管中的声阱和热声流三维模型。

声阱仿真

示例的三维声阱几何结构如下图所示。声阱系统的几何沿两个平面对称，因此只需要计算系统的 1/4 几何：装满水（蓝色）的 1/4 玻璃毛细管（黄色）及其下方的 1/4 微型压电换能器（灰色）。实际上，相较于 0.48 mm 的高度和 2.28 mm的宽度，约 5 cm 的玻璃毛细管非常长，因此使用完美匹配层（PML）对其两端进行模拟。完美匹配层是一个可添加到几何体中的域，用于模拟所有出射波的衰减和吸收。下图中绿色显示为包含 1/2 毛细管一端的完美匹配层。在此模型中，完美匹配层在玻璃毛细管和流体中都处于激活状态。

图 2 声阱的 1/4 几何结构。

声阱仿真是一个复杂的多物理场问题，涉及电磁学、固体力学、声学和流体流动等多种现象，某些情况下，还包括传热。压电换能器上的振荡电压差会引起压电材料振动，进而引起玻璃毛细管振动。这种压电效应通过耦合压电传感器域中的静电与压电传感器和玻璃毛细管的固体力学来模拟。为了模拟流体中产生的压力场，在玻璃毛细管和流体之间的边界上使用了声-结构多物理场接口，用于耦合固体力学与压力声学。

此外，压电换能器中的能量耗散会使系统升温，在玻璃毛细管和流体中产生温度梯度，进而在流体的声学特性中产生梯度，影响声流。非等温流动的多物理场耦合考虑了这种温度梯度的影响，将整个几何结构（固体和流体）的传热仿真与流体域中的蠕动流模型相结合。蠕动流和压力声学之间的耦合用于模拟声流。最后，为了验证声阱模型是否按照预期工作，使用了粒子追踪技术来确定流体中两类颗粒的轨迹，即大颗粒硅玻璃和小颗粒聚苯乙烯。

接下来，我们来看看仿真结果！

仿真结果

声场

声场使用频域计算。在频率为 3.84 MHz 的超声状态下激励系统。该频率波长的 1/2 约等于流体腔的高度。压电换能器中的电场、压电效应在压电换能器和玻璃毛细管中产生的位移场，以及由此在流体中产生的声压场如下图所示。在压电换能器上方，声场包含一个最小压力区域，称为压力节点。

图 3 声阱中的位移场（nm）、电场和压力场。

声场中作用在颗粒上的声辐射力可以用 Gor’kov 势能来描述。图 4 显示了模型中计算的小颗粒聚苯乙烯 Gor’kov 势能。悬浮在流体中的颗粒会被推到最小 Gor’kov 势能处，从而被困在玻璃毛细管的中心。有关声辐射力的详细讨论以及如何使用 COMSOL Multiphysics^® 计算声辐射力，请查看我们之前的博客。

图 4 直径为 1 µm 的聚苯乙烯颗粒的 Gor’kov 势能。

热声流

声流的仿真结果如何？下图的模拟结果显示，压电换能器上方有四个涡流，这只能用温度场来解释。压电换能器的升温引起玻璃毛细管和流体产生温度梯度，从而产生流体密度梯度和可压缩性梯度。流体材料参数中的这些梯度与声学相互作用产生热声体积力，热声体积力产生声流，最终形成这种特定的声流模式。

图 5 玻璃毛细管内的热声流和温度梯度。根据对称平面绘制的声阱实际几何。

粒子轨迹

通过粒子追踪，我们还可以了解具有特定性质的颗粒是否会被吸入声阱。下面的动画显示了直径为 10 µm 的大颗粒硅玻璃和直径为 1 µm 的小颗粒聚苯乙烯的计算轨迹。压电换能器上方的硅玻璃颗粒向玻璃毛细管中心移动并被困在那里，而较小的聚苯乙烯颗粒的移动则受流体流动的控制。

图6 大颗粒硅玻璃的运动轨迹。

图 7 小颗粒聚苯乙烯的运动轨迹。

动手尝试

有兴趣自己动手建立文中示例的多物理场模型吗？点击下面的按钮即可下载该模型的 MPH 文件：

扩展阅读

您也可以在 COMSOL 案例库中找到一些包含声流和声阱的教程模型：

• 微通道横截面中的声流
• 带偏流的玻璃毛细管中的声阱
• 声流体阱中的光-声泳效应