在预包装食品微波加热解决方案的设计阶段，可集成无线传感器以实时评估包装内部的温度和压力，从而确保长期的微生物安全性，并减少处理后的二次污染。尽管这种方法可作为一种可靠的传统蒸煮杀菌工艺（即，将包装食品置于密闭容器内进行灭菌）的替代方案，但传感器的几何形状和布置方式可能会影响微波腔体内的电磁功率耗散。

构建 COMSOL^® 模型

为了更好地了解这些传感器可能引入的干扰，来自 GEPEA–Oniris（工艺工程-环境-农业-食品联合研究单位，法国南特国立兽医学院、食品科学与工程学院）和 CTCPA（法国农业食品技术中心）的联合团队开展了一项研究，通过模拟单模微波加热器中不同传感器位置的影响，对包装内微波加热工艺展开评估。这项研究聚焦于实验室规模的 915 MHz 微波加热工艺，研究对象为聚丙烯托盘中的 300g 土豆泥。团队在 COMSOL Multiphysics^® 软件中构建了微波设备的三维几何模型，而聚丙烯托盘的实验测量几何结构则通过自定义 STL 文件导入 COMSOL^®。

图 1. 915 MHz 单模微波装置示意图。

团队构建的模型具有很高的稳健性，充分考虑了微波装置的所有几何细节，包括波导过渡段的完整设计、阻抗匹配元件（膜片）、915 MHz 单模微波加热器以及滑动短路器。微波输入功率源通过微波天线处的同轴端口馈入，波导的所有表面，包括铜制滑动短路器，均被视为理想电导体。土豆泥的介电特性经实验测量，并假设其湿基含水率恒定为 76%。

为了避免微波与金属部件发生干扰，无线传感器使用一个尖拱形 316-L 不锈钢微波屏蔽罩包围，并放置在土豆泥样品的上表面。此外，在聚丙烯托盘顶部表面热封了一层聚丙烯薄膜以封闭系统。这些组件共同构成了一个数值模型，帮助团队获得关于包装内传感器位置的最佳布置方案，以尽可能降低其与电磁场的相互干扰。

图 2. 盛有土豆泥样品的聚丙烯托盘示意图。MW = 微波，PP = 聚丙烯，PTFE = 聚四氟乙烯。

基于仿真的洞见

团队使用 COMSOL Multiphysics^® 的附加产品——RF 模块，预测微波腔体内的电磁场，并将其与土豆泥样品内微波吸收功率相关联。在求解器设置中，首先使用边界模式分析计算从波导输出的端口 2 处的模式（见图 1）；第二步是在 915 MHz 频率下开展 频域-稳态 研究。

当托盘内未放置传感器时，仿真结果显示微波反射功率为 24%（S₁₁ = -6.16 dB），滑动短路器的最佳位置为 790 mm。随后，以 30^° 为增量，评估不同 z 轴旋转角度（从 alpha = 0^° 到 180^°）的 S₁₁（输入端口反射系数，即，端口失配的度量）随微波屏蔽罩位置变化的情况。

图 3. 四种传感器位置对土豆泥内局部微波吸收功率的影响。

结果表明，微波屏蔽罩的位置需要与微波传播方向对齐（alpha = 0^°），才能获得与无传感器食品托盘相近的 S₁₁ 参数（S₁₁≈-6 dB，RF≈25%）。当逆时针旋转 90^°，即，微波屏蔽罩位置朝向与横电平面相同的方向时，S₁₁ 参数降至 -7.8 dB。此外，将微波屏蔽罩的旋转角度从 90^° 改为 180^° 时，仿真结果表明 S₁₁ 从 -7.8 dB 变化至 -4.7 dB。这种从 90^° 到 180^° 的旋转还导致模拟的微波反射功率增加了一倍，90^° 时微波反射功率为 17%，180^° 旋转时为 33%。这些结果表明，传感器的位置至关重要，必须加以考虑，因为这些反射功率变化会影响整体微波功率效率。

团队使用便携式矢量网络分析仪（VNA）完成了数值模型的实验验证。VNA 连接在端口 1，用于根据不同操作条件评估来自负载的微波反射功率。S ₁₁ 参数用于表征天线处相对于入射微波功率的微波反射功率。总体而言，仿真结果与使用 VNA 进行的实验测量结果高度吻合。实验结果与仿真结果之间的少量差异可归因于传感器定位的细微变化，这是由于精确复现土豆泥不平整表面存在难度。

图 4. 微波屏蔽罩不同旋转角度的反射系数。

一项重要发现

这项研究带来了一项重要发现：将传感器位置与微波传播方向对齐时，微波反射系数与无传感器测试结果相近。然而，如果微波屏蔽罩位于波导的横电平面内，则可观察到微波反射功率显著降低。

测试表明，该模型还能够准确预测传感器与食品样品界面处的局部高峰值微波功率密度，这有助于进一步阐明温度与压力（T-and-P）传感器的最佳位置，不过这需要更多实验进行验证，并需要考虑食品可能存在的温度相关介电特性及其对电场分布的耦合影响。

进阶学习

如需了解有关该研究的更多信息，请阅读 GEPEA-Oniris 和 CTCPA 团队的完整论文，其中描述了团队完整的仿真方法和结果。该论文在 COMSOL 用户年会 2025 Amsterdam 上荣获最佳论文奖！

AI 技术的进步有望在包括工程、制造和科学研究在内的各个行业带来显著的效率提升。AI 智能体可以自主动作（例如，在软件工具中执行任务，同时让工程师参与重要决策），使其非常适合迭代仿真和设计研究。在这篇博客文章中，我们将讨论如何建立 OpenAI^™ Codex 智能体与 COMSOL Multiphysics^® 软件之间的连接，以及如何利用智能体能力执行非线性求解器调优，加速 CFD 仿真。

智能体循环

直到最近，大多数 AI 辅助工作流都集中在对话式界面上：用户向 AI 工具提出建模相关问题，并接收生成的代码或指导，仍然掌控着每一个单独步骤。COMSOL Multiphysics^® 中的 智能助手 窗口遵循这一范式，使工程师能够在软件内提出建模问题、生成和调试 COMSOL API 代码，并简化重复性任务。

AI 辅助工作流的下一步是从对话转向行动。AI 智能体可以规划任务序列，通过软件工具执行这些任务，检查结果，并决定下一步该做什么。简而言之，智能体可以被视为包裹在大型语言模型（LLM）外层的包装器，也可称之为一套专属的“运行框架”，用于执行由大语言模型推导出的操作。大语言模型编写一段代码，并将其包装成特定格式由执行工具调用，从而触发运行框架，例如，打开命令行并执行命令来运行这段代码。

理解智能体与 COMSOL^® 之间的交互

得益于 COMSOL Multiphysics^® 软件提供了丰富的编程接口 COMSOL API，使其非常适合探索向智能体工作流的转变。本文中，我们将探讨智能体如何利用 COMSOL API 作为助手协助工程师完成仿真工作流。

在 COMSOL Multiphysics^® 中设置智能体工作流有多种方式。对于交互式工作流，建议使用 客户端-服务器设置，以便检查智能体的进度以及存储在 COMSOL Multiphysics^® Server（注意：不要与 COMSOL Server™ 混淆，后者是用于部署仿真 App 的附加产品）中的模型状态。用户和智能体都可以连接到 COMSOL Multiphysics^® Server，查看模型状态并进行更改。

智能体在与运行中的 COMSOL 模型之间的典型交互过程中可以实现：

1. 使用 适配 Java 的 COMSOL API 生成 Java 程序的源代码
2. 使用 COMSOL Multiphysics^® 软件文件夹中附带的 Java 命令编译并运行代码。智能体可以据此：
   1. 连接到 COMSOL Multiphysics^® 服务器
   2. 查询模型属性、运行研究，和/或进行受控更改
   3. 与服务器断开连接
3. 对输出进行推理，规划并执行后续步骤

如何连接 COMSOL^® 与 Codex

我们已经介绍了智能体与 COMSOL^® 模型交互的基础知识。接下来，我们将介绍在软件中设置智能体工作流的步骤。

由于我们已有可用的智能体，因此不必手动完成设置。相反，我们可以根据架构描述向智能体寻求帮助。为此，我们首先启动一个 COMSOL Multiphysics^® Server 实例，连接 COMSOL^® 用户界面并加载一个模型（另请参阅 以客户端-服务器模式运行 COMSOL Multiphysics^®）。然后，我们安装并设置一个智能体。在本例中，我们将使用 OpenAI 的 Codex，由它可以创建一个技能，使我们能够操控位于服务器上的模型对象。技能 将指令和脚本打包在一起，便于复用和共享。

以下是我们用于创建该技能简单版本的提示词：

Create a lightweight, local Codex skill named comsol-api. Install it as a repo-scoped skill. The skill lets Codex inspect and modify a COMSOL Multiphysics model located on a COMSOL Multiphysics server through the COMSOL API *for* use with Java.
 
The skill should work in a client-server configuration. The model is located on an already running COMSOL Multiphysics Server. The main part of the skill is a small wrapper script that compiles Java code using the COMSOL’s bundled Java compiler and API plugin classpath, and runs this program. The Java code should connect to the server, manipulate the model object and disconnect again. Before performing any changes, connect to the server and read the model tag.
 
Save the .java file of each agent interaction with the server in a workspace folder alongside a log of the output of the Java programs and the COMSOL progress log (showing computation time, memory requirement, degrees of freedom) for later reference.
 
Research here to learn more about the COMSOL API.
 
https://www.comsol.com//www.denkrieger.com/support/learning-center/article/overview-of-the-comsol-api-107912
 
Based on that, create an implementation plan and implement it. The skill should be intentionally light and only focus on running Java code against the already running server. No need for tests. Don’t install additional packages. Keep it package free.
 
Test the skill by adding a parameter and reading back the same parameter.

编者注：提示词的中文翻译如下：

创建一个轻量级的本地 Codex 技能，命名为 comsol-api，并将其安装为仓库范围的技能。该技能让 Codex 能够通过与 Java 配合使用的 COMSOL API 检查并修改 COMSOL Multiphysics Server 上的 COMSOL Multiphysics 模型。
 
该技能应在客户端-服务器配置中工作。模型位于已运行的 COMSOL Multiphysics Server 上。该技能的主要部分是一个小型包装脚本，可使用 COMSOL 附带的 Java 编译器和 API 插件类路径编译 Java 代码，并运行获得的程序。Java 代码应连接到服务器，操控模型对象，然后再次断开连接。在执行任何更改之前，需要连接到服务器并读取模型标记。
 
将每次智能体与服务器交互的 .java 文件保存在工作区文件夹中，同时保存 Java 程序输出的日志和 COMSOL 进度日志（显示计算时间、内存要求、自由度），以供后续参考。
 
在下面这个链接可以了解有关 COMSOL API 的更多信息：
 
https://www.comsol.com//www.denkrieger.com/support/learning-center/article/overview-of-the-comsol-api-107912
 
基于此，创建实现计划并实施。该技能应有意保持轻量，仅专注于针对已运行服务器运行 Java 代码。无需测试。不要安装额外的软件包，并保持无软件包依赖。
 
通过添加一个参数并读回同一参数来测试该技能。

Luna——高性价比的新一代 OpenAI 模型，推理设置为 中等——能够在十分钟之内实现一个技能。

Codex 智能体正在实现并验证一个技能。

为了测试该技能，智能体添加了一个全局参数，然后从 COMSOL Multiphysics^® Server 上的实时模型中读回同一参数。在测试期间，该参数出现在了 COMSOL Multiphysics^® 用户界面中。

智能体的可能性与挑战

现在我们已经建立了 COMSOL^® 与 Codex 之间的连接，我们可以用它做什么呢？用户界面中的每一次点击都有对应的 COMSOL API 命令序列。由于 COMSOL API 的全面性（使得可以对任意物理场执行仿真工作流的任意操作），Codex 可以执行任意操作。

API 可以为智能体暴露各种信息以供检查，例如：

• 已加载的模型标记和组件结构
• 参数、表达式、描述和单位
• 特征类型、标签和标记
• 几何与网格序列
• 物理场接口和边界条件设置
• 研究和求解器配置
• 数值结果和求值表达式
• 警告、错误和求解器日志

这些信息可以被提取、推理和操控，使智能体能够根据需要规划、运行和调整实验，并将结果总结为报告。通过这种方式，智能体可以定义参数和设置、添加物理场接口，以及创建绘图或数值计算。此外，这种智能体工作流能够执行通常无法通过 参数化扫描 研究进行的扫描。在正确设置的情况下，还可以让这样的系统长时间运行。

示例演示：散热器模型

为了演示这一能力，我们将使用智能体来试验非线性求解器参数，以减少非线性迭代次数并加速模型计算。以 散热器 教学案例为例，任务是分析可用设置，选择三个最有前景的方案，并分别运行它们。虽然智能体可以遍历模型对象并识别相应节点，或搜索 COMSOL^® 文档，但我们使用 将代码复制到剪贴板子菜单 提取了相关代码，以帮助智能体。这一功能在这里特别有用，因为我们实现的连接相当简陋。我们使用的提示词如下：

I am looking to speed up the computation, specifically reduce the number of nonlinear iterations necessary to achieve convergence. Analyze the parameters of the segregated solver, identify which might be good candidates to tune. Pick the most promising three and run three values each. Analyze the computation time, number of iterations in a report. Make only changes that are meaningful. I extracted the values that can be set in the segregated solver node.（编者注：提示词中文翻译———我希望加速计算，特别是减少达到收敛所需的非线性迭代次数。分析分离式求解器的参数，确定哪些可能是值得调优的候选参数。选择最具潜力的三个，并分别运行。在报告中分析计算时间和迭代次数。只进行有意义的更改。我已经提取了下面这些可在分离式求解器节点中设置的值）。
 
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segterm", "tol");
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("maxsegiter", 200);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("ntolfact", 1);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segtermonres", "auto");
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segreserrfact", 1000);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segstabacc", "segcflcmp");
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segcfltech", "interp");
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("subinitcfl", 5);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("submincfl", 10000);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("subforcecfl", true);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("subkppid", 0.65);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("subkipid", 0.15);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("subkdpid", 0.15);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("subcfltol", 0.2);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("subadaptcfltol", true);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segcflaa", "on");
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segcflaacfl", 9000);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segcflaaset", "pid");
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segcflaadim", 10);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segcflaamix", 1);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segcflaadelay", 0);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segcflaafact", 1);
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("segcfljtech", "off");
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("consistencycheck", "strictinitially");
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("plot", "off");
model.sol("sol1").feature("s1").feature("se1").set("probesel", "none");

当然，您的提示词可以包含其他资源，包括 COMSOL^® 网站上的 学习中心 文章、博客文章 或 知识库 文章。

智能体执行求解器调优研究的结果。

在运行了九次实验后，智能体识别出一个相关设置，将非线性迭代次数减少了 25%，使计算时间加快了 30%！

我们可以运行的另一个测试是尝试 层流 接口中三种不同 可压缩性选项 之间的差异。虽然我们无法在用户界面中使用“参数化扫描”研究直接在下拉菜单中的选项之间切换，但我们可以要求 Codex 测试每个选项，打印芯片中的温度，并列出非线性迭代次数。为了指示 Codex 执行这些任务，以下是我们使用的提示词：

There are three different compressibility options in the Laminar Flow interface. Run a test and compare all of them. I added an Evaluation Group that evaluated the temperature in the chip that you can run with the command:
 
model.result().evaluationGroup("eg2").run();
 
Create a report with the average temperature, computation time and number of iterations for the three different compressibility options.

编者注：提示词的中文翻译如下：

层流接口中有三种不同的可压缩性选项，运行测试并比较所有选项。我添加了一个计算组用于计算芯片中的温度，你可以使用以下命令运行它：
 
model.result().evaluationGroup("eg2").run();
 
创建一份报告，包含三种不同可压缩性选项的平均温度、计算时间和迭代次数。

这些选项之间没有实质性变化，计算时间几乎相同。因此，我们将坚持使用默认选项。请注意，这只是一个关于如何执行扫描的示例，接口中的任何设置都应基于物理考量，而不是单纯基于计算速度。

使用智能体时的注意事项

尽管我们的实验取得了成功，但智能体工作流仍然存在挑战。其中一个挑战是空间感知和空间推理。对于人类用户来说，通过查看几何结构很容易为边界条件选择边界。在底层，边界的编号被指派给相应边界条件的选择。仅通过使用 API 来识别这个编号可能很困难，规避这一挑战的可能方法是严格使用命名的选择。或者，您可以在视图中激活实体编号，并指示智能体自动从不同视角导出图像。只要几何结构不是太复杂，这种方法就很有帮助。

检查输出以确认更改是否真正有意义也很重要。以非线性求解器调优为例，智能体可以简单地将终止技术从 容差 更改为 迭代，并将最大迭代次数设置为 1。这种方法会减少迭代次数，但不会给出数值上可靠的结果。监控关键量（例如芯片温度），并确保它们没有发生实质性变化，是过滤掉此类不良候选方案的一种可能方法。

由于像 Codex 这样的智能体所能做的不仅仅是输出文本，运行它们也存在一定风险。它们可能做出错误假设、删除文件、暴露敏感数据，或读取其爬取网站上的恶意提示。由于智能体本质上是随机系统，本身就有出现错误的可能性。为了更安全地使用这些工具，智能体应在沙箱环境中运行，仅为其开放必要的文件访问权限，并对高风险操作设置人工审批机制。

关于将 Codex 与 COMSOL^® 连接的最终思考

我们在这里展示的是一个将 Codex 连接到 COMSOL Multiphysics^® 以实现智能体工作流的最小工作示例，所获技能和包装脚本可以进一步扩展，实现更稳健的接口处理，这对于识别过长的仿真或网格创建时间以实现稳健恢复尤其有用。

这类技术进步可以改变工程师与仿真软件交互的方式。COMSOL API 的广泛覆盖范围使 COMSOL Multiphysics® 具备极强的适配性，非常适合升级仿真工作流，以迎接 AI 时代。

OpenAI 是 OpenAI, Inc. 的商标。Oracle 和 Java 是 Oracle 和/或其关联公司的注册商标。

在医疗器械设计中，一项关键挑战是如何降低血液损伤的风险。借助建模与仿真技术，工程师可以评估发生血液损伤的概览，在提升医疗器械的安全性和性能的同时降低计算成本。COMSOL 认证咨询机构 Veryst Engineering 公司使用 COMSOL Multiphysics^® 软件，基于美国食品药品监督管理局（FDA）提供的基准喷嘴几何模型（参考文献 1），构建了用于预测血液回流区和血液损伤（具体为溶血现象）的代理模型。

Veryst Engineering 公司的首席专家 Matthew Hancock 博士表示：“随着人工智能（AI）和机器学习被逐步纳入监管申报流程，真正的挑战已不只是代理模型与基准仿真相比有多准确；而在于我们能否通过验证的方式表明，而非仅凭假设推断，源于 AI 模型的预测偏差是否足够小，以维护其所辅助的决策的可靠性。我们将此称为 ‘决策可靠性’。”

使用仿真降低风险

当医疗器械与血液接触时，存在造成非预期血液损伤的风险。这一风险对诸如仪器回路或器械-血管连接装置的设计提出了挑战，这类装置包括起搏器、心脏瓣膜和导管等。

溶血是指红细胞破裂，其中的血红蛋白被释放到周围血浆中的现象。在对医疗器械进行建模时，可以通过测量流经器械的血液中游离血红蛋白的增加量，来评估此类血液损伤。在量化血红蛋白水平的同时，若能综合考虑亚致死性损伤和血栓形成等因素，将有助于做出更科学、更合理的设计决策。

Veryst 的目标是搭建一套仿真模型，帮助医疗器械设计人员理解设备几何结构与血液损伤之间的关系。为了实现这一目标，团队采用了多物理场仿真和代理模型技术，不仅达成了目的，还大幅减少了开展物理实验所需的各类资源。

在 COMSOL 用户年会的一份海报展示 中，Veryst 的工程师分享了他们如何训练并部署代理模型，实时呈现血液损伤的可视化效果。通过这套系统，工程师能够随时调整设计要素和各项运行参数，并直观地观察这些变化带来的影响。这些分析帮助他们找出了最关键的影响参数，并确定了相应的容差范围。

构建与训练代理模型

Veryst 的工程师们在仿真研究中使用了深度神经网络（DNN）代理模型来预测血流速度和溶血情况。这项工作参考并拓展了 Veryst 此前针对 FDA 基准喷嘴中血液损伤的建模研究（参考文献 2），相关成果曾在 2020 年 COMSOL 用户年会特邀演讲 上进行展示。团队利用先前全模型仿真生成的数据，来辅助训练这些 DNN 模型。

此外，FDA 提供了用于验证医疗器械内血流数值模拟结果的基准数据集（参考文献 3）。医疗器械必须满足相关要求，方可获得 FDA 批准。其中一组基准数据集针对一种 喷嘴结构，其管道包含收缩段、喉部和扩张段，即表现为喉部一端呈锥形直径变化，另一端则为直径突变（图 1）。

为将喷嘴模型提交至 FDA，Veryst 工程师选用了符合 FDA 基准方案的流体特性，设置了四项可调整输入参数：

1. 流量
2. 收缩段长度
3. 喉部直径
4. 扩张段长度

代理模型可预测血流速度，并采用以应力为自变量的幂律关系估算溶血程度（参考文献 2）。溶血模型的输出结果用于预测因细胞破裂或渗漏而释放到血液中的血红蛋白总量。

图 1. 展示喷嘴装置以及深度神经网络模型输入参数的示意图。

为了构建溶血模型，团队基于包含 9000 次仿真的试验设计数据样本，计算了流体出口处的平均溶血值。随后，他们构建了一个代理模型，利用原始数据对速度分量 u 和 w 开展训练。该 DNN 代理模型包含 3 个隐藏层，每层 20 个节点，并采用双曲正切激活函数，模型训练迭代周期设置为 5000。速度网络同样采用 DNN，基于 500 次仿真数据进行训练，训练周期为 3500，网络包含其 3 个隐藏层，每层设置 32 个节点。在流体训练数据方面，团队利用了扩展后的所有网格点，并将扩张段长度设为 0，以便重点研究回流区。

预测结果与既往数据高度吻合

在构建了用于训练速度分量 u 和 w 的代理模型后，团队进一步开发了一种改进的带有物理信息无滑移硬约束的深度神经网络。该网络基于轴向速度偏差 w’ 开展训练，其解析层流解为 w’ = w – (2*Q/A)(1–(r/R)²)。其中，Q 代表流量，A 代表横截面积，r 代表径向坐标，R 代表末端半径（图 2）。

无论是基于原始数据训练的深度神经网络，还是带有硬约束的深度神经网络，都能准确复现湍流状态下的流动剖面，而湍流状态恰好构成了基础训练数据的主体。不过，在匹配层流仿真结果或层流向湍流转捩阶段方面，这两种深度神经网络的定量精度相对较弱。

图 2. 雷诺数 Re = 6500 条件下的流速分布。该模型复现了 FDA 几何模型，展示了扩张段后的回流现象。

当溶血预测模型的训练目标设定为匹配溶血值的对数时，其预测结果在宽泛的输入参数范围内误差均能控制在 10% 以内。Veryst 发现，无论是有限元分析（FEA）还是深度神经网络（DNN）预测，改变几何结构的收缩段和扩张段长度对溶血的影响都微乎其微。为了验证该代理模型，团队基于 Herbertson 的实验参数（参考文献 4），对比了 FEA 与 DNN 预测的血红蛋白浓度（图 3）。

图 3. 采用 FDA 几何结构，在不同喉部半径与流量条件下，喷嘴出口处释放的血红蛋白比例。

Veryst 公司的首席工程师 Joseph Barakat 博士表示：“将溶血预测的结果与完整计算流体力学模型的误差控制在 10% 以内，同时将运算时间从数小时缩短至数毫秒，正是实现实时设计探索的关键所在。”

Veryst 的研究是基于公开的 FDA 基准几何结构展开的，未来可扩展应用于更广泛的场景。这套方法有望用于评估各类医疗器械中的血液损伤情况，例如器械管路以及器械与血管的连接处。

Hancock 补充道：“将代理模型的近似误差、数值误差以及验证偏差正式整合为一个总体误差估计值，以此来量化评估决策的可靠性——这一方法以美国机械工程师学会（ASME）验证与确认（V&V）20 和 V&V 40 标准，以及大量有关验证与不确定性量化的文献为理论基础，是极具前瞻性的后续推进方向。尤其是在 FDA 下属的医疗器械与放射健康中心持续为适用于 AI 加速设备仿真构建监管科学工具的背景下，这一步骤显得尤为重要。”

下一步

想要了解更多 Veryst 公司利用代理模型预测血液损伤的相关研究？点击下方按钮，查看该团队在 COMSOL 用户年会上展示的海报：

参考文献

1. A. Spann, J. Barakat, and M. Hancock, “Deep Neural Network Surrogate Model for Blood Damage Modeling in FDA Hemolysis Benchmark,” COMSOL Conference 2024 Boston, 2024; https://www.comsol.com//www.denkrieger.com/paper/deep-neural-network-surrogate-model-for-blood-damage-modeling-in-fda-hemolysis-benchmark-136422
2. A. Kermani, A. Vanegas, and A. Spann, “Blood Damage Modeling of FDA Benchmark Nozzle,” COMSOL Conference 2020 Boston, 2020; https://www.comsol.com//www.denkrieger.com/paper/blood-damage-modeling-of-fda-benchmark-nozzle-93171
3. U.S. Food and Drug Administration, Benchmark dataset for validating computational fluid dynamic (CFD) simulation of blood flow through generalized medical device geometries (RST24CV11.01), 2024; https://cdrh-rst.fda.gov/benchmark-dataset-validating-computational-fluid-dynamic-cfd-simulation-blood-flow-through
4. L.H. Herbertson et al., “Multilaboratory study of flow-induced hemolysis using the FDA benchmark nozzle model,” Artificial Organs, vol. 39, no. 3, pp. 237–248, 2015; https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/25180887/

哥伦比亚大学的博士后研究员 Enrico Di Lucente 和助理教授 Michele Simoncelli 作为客座博主，探讨了如何利用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的物理场开发器，开发声子流体动力学自定义物理场接口，用以研究真实几何结构中的非扩散传热现象。

在具有超高热导率的介电材料中，热量传递往往会打破传统扩散规律的限制，表现出类似流体的行为：例如形成涡流、呈现温度波，甚至在局部区域逆着温度梯度回流。在这篇博文中，我们将介绍为 COMSOL Multiphysics^® 软件开发的声子流体动力学自定义物理场接口，并展示连续介质模型如何捕捉超越傅里叶定律的粘性传热现象。

为什么要建立超越傅里叶定律的传热模型？

长期以来，傅里叶定律一直是描述热传导的标准框架，因为它能够准确阐释常温下，毫米及更大尺度内材料和器件中的热传输过程。然而，近期的实验与理论研究表明，对于由金刚石、石墨和六方氮化硼等超高热导率、超纯材料制成的微尺度器件，傅里叶定律的模型可能会失效。

在这些系统中，声子（主要的热载体）在特定的温度范围内（可从极低温约 70 K 延伸至接近室温）会经历频繁的动量守恒碰撞。这一状态被称为 “声子流体动力学（phonon hydrodynamics）”。在此状态下，热传输呈现出集体性和类似流体的特征，并由此催生多种物理现象，例如温度波（即 “第二声”）、类泊肃叶型热流（即在通道中心流动较快，在边界处较慢）、热回流以及热涡流。

要准确捕捉这些效应，所采用的模型不能局限于标准傅里叶扩散理论模型，同时还需能够适用于真实的几何结构开展运算。这正是提出粘性热方程（VHE）（参考文献 1 和 2）并在 COMSOL Multiphysics^® 软件中实现该方程的研究出发点。

粘性热方程的由来

从更深层的物理机制来看，粘性热方程源于对线性化声子玻尔兹曼输运方程（LBTE）的系统粗粒化处理。在这一过程中，复杂的微观声子动力学被投影到一小组局部平衡场上：温度 T(r,t) 和漂移速度 u(r,t) 。产生这种漂移速度是因为：在流体动力学区间内，动量守恒的声子碰撞（即正常过程）占据了主导地位，其作用远大于导致动量弛豫的倒逆（Umklapp）过程，从而使得声子能够集体携带晶体动量。因此，热传输不再仅仅由温度梯度决定，还受到该动量场演化的影响。基于此，粘性热方程由两个耦合的方程组成：

• 关于 T(r,t) 的能量守恒方程
• 关于 u(r,t) 的动量守恒方程（其形式类似于线性化的纳维-斯托克斯方程）

关键在于，基于底层线性化声子玻尔兹曼输运方程的对称性可推导出两个输运系数：热导率（对应声子分布的奇宇称分量）和热粘度（对应声子分布的偶宇称分量）。前者用于描述扩散热流，后者表征声子流体中的动量扩散和粘性应力，能够解释热涡流、热回流以及非局部传热等现象。此外，该框架能够在不同的物理区间内实现自然过渡：当动量被强烈耗散时，它会退化为傅里叶定律；在极限情况下，它也能还原为 Guyer-Krumhansl 方程和双相滞后方程等之前提出的流体动力学模型。同时，该框架完全适用于具有复杂声子色散关系的真实材料。

从微观理论到连续介质模型

在微观层面，声子输运由玻尔兹曼输运方程来描述。尽管该方程具有极高的预测能力，但在复杂几何结构中求解的计算成本极其高昂，因此并不适合用于器件尺度的建模。

粘性热方程提供了一种介观尺度的替代方案。它通过引入一个额外的物理场——声子漂移速度，对傅里叶定律进行了扩展。从这个意义上讲，粘性热方程相当于经典层流流体线性纳维-斯托克斯方程在量子声子流体中的对应形式。在该框架下，温度的演化与声子的动量守恒方程相耦合，使得模型能够在扩散区间和流体动力学区间之间实现自然过渡。

该方法的一个核心优势在于：所有的材料参数（如热导率、粘度和弛豫速率等）均通过第一性原理计算，求解一次线性化玻尔兹曼输运方程即可确定。随后，这些参数被代入连续介质模型中，从而能够在不牺牲物理保真度的前提下，对任意几何结构进行高效模拟，同时完整保留了量子力学和第一性原理（ab initio）的精度。

实现声子流体动力学的粘性热方程

为了让这一框架更易于使用，我们利用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的“物理场开发器”功能，开发了一个自定义物理场接口。安装完成后，该接口将以 粘性热方程（VHE）的形式显示。

该接口的功能：

• 温度-速度耦合传热公式
• 稳态与瞬态仿真
• 适配流体热流的边界条件
• 适用于复杂几何结构与介观尺度器件

安装接口

安装流程遵循物理场开发器的标准操作步骤：

• 在 COMSOL 首选项设置中启用物理场开发器
• 导入开发器文件
• 从 我的物理场接口 中添加 粘性热方程（VHE）接口

点击展开下方板块，获取安装该接口的分步操作说明。

展开或折叠本栏…

示例 1：傅里叶扩散与流体动力学热流的对比

为了直观地展示扩散传热与粘性传热之间的定性差异，我们考虑一个简单的双矩形几何结构。在主区域内施加垂直温度梯度，较小的侧边区域则与之横向连通。

根据傅里叶定律，热量直接从高温区流向低温区，形成平滑的等温线。而当采用粘性热方程时，则会呈现出截然不同的物理现像：热量在较小的区域内发生再循环，形成类似涡流的结构，并产生微小但确切的热回流现象。下图展示了分别使用傅里叶定律（左）和粘性热方程（右）得到的稳态温度分布对比，清晰地呈现了流体动力学的再循环与热回流效应。

示例 2：不可压缩极限下的热涡流

在粘性热方程的不可压缩流动极限下，热传输的流体动力学本质变得更加清晰。在该区间内，声子漂移速度的散度为零，热传输主要由动量流主导，而非扩散作用。

模拟结果显示，稳态热涡流会自发形成（参考文献 3）——这种现象在纯扩散模型中是完全不存在的。

下图展示了扩散区间（上）与不可压缩流体动力学极限（下）的稳态温度分布，重点突出了涡流的形成与热回流现象（参考文献 3）。

瞬态模拟：运动中的流体动力学热流

该接口同样支持完整的瞬态模拟。通过施加瞬态边界条件（例如振荡的漂移速度或交变的温度梯度），我们可以观察到热涡流随时间推移的形成、运动以及反转过程。

这些模拟结果表明，热量的表现与受驱动的粘性流体十分相似，会对外界作用力产生动态响应。

为什么这个接口很重要

该接口在微观输运理论与连续介质建模之间架起了一座实用的桥梁。它使得在全微观方法无法触及的真实几何结构中，探索非扩散传热成为可能。

通过在 COMSOL Multiphysics^® 中实现流体动力学热传输，该接口为研究下一代材料与器件中的热现象开辟了全新的可能性。

如需了解更多关于该接口的信息并进行下载，请访问其应用交流页面：声子流体动力学接口。

关于客座作者

Enrico Di Lucente 是纽约哥伦比亚大学应用物理与应用数学系的博士后研究员，同时在材料科学与工程系拥有联合任命。他于 2025 年 12 月加入 Michele Simoncelli 教授的研究组，此前他刚刚在瑞士洛桑联邦理工学院（EPFL）的理论与材料模拟（THEOS）课题组完成博士学位，导师为 Nicola Marzari 教授。他的博士论文题目为 Theoretical and Computational Advances in Quantum and Hydrodynamic Thermal Transport。

他的研究方向为超越傅里叶定律的热输运、声子流体动力学，以及凝聚态物质中热输运和其他基本激发、耦合激发（从磁振子到光与物质相互作用）的第一性原理建模。他的工作致力于在微观输运理论与连续介质建模之间架起桥梁，旨在实现对真实材料与器件几何结构中非扩散热输运的预测性模拟；同时为实验研究提供指导，以设计能够探测非标准量子输运现象的创新器件。这些研究在电子学、储能、聚变屏蔽、自旋电子学和高超音速等新兴技术领域具有潜在的应用价值。他更广泛的研究兴趣还包括凝聚态物理、计算物理、量子输运和磁性。

自 2025 年 1 月起担任哥伦比亚大学应用物理与应用数学系助理教授，其研究团队致力于建立理论与计算框架，以理解、定量描述并控制材料中涉及电荷、热、光和自旋等的量子输运现象，探究它们之间可能存在的协同或制衡关系，以及相关的宏观特征。在加入哥伦比亚大学之前，他曾在剑桥大学物理系担任 Crone 研究研究员（2021-2024 年）。任职期间，他围绕基础量子理论与计算方法开展研究，以描述在具有可控原子无序度（例如化学成分、键网络拓扑结构或几何构型）的材料中，晶体-玻璃复合特性的涌现机制。他于 2021 年在 Nicola Marzari 教授的指导下获得瑞士洛桑联邦理工学院（EPFL）博士学位，其博士论文提出了固体热输运的新型微观与介观理论：即推广了半经典佩尔斯-玻尔兹曼方程的维格纳输运方程，以及傅里叶定律的粘性热方程。

致谢

这款自定义物理场接口的开发及其相关基础理论研究工作，得益于与 Zhiyi Wang（Grenoble Alpes 大学；洛桑联邦理工学院 THEOS 课题组）、Nicola Marzari 教授（洛桑联邦理工学院 THEOS 课题组；剑桥大学卡文迪许实验室凝聚态理论组）的深入交流探讨与合作。

参考文献

1. M. Simoncelli, N. Marzari, and A. Cepellotti, Generalization of Fourier’s law into viscous heat equations, Physical Review X 10, 011019 (2020); https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.011019
2. Dragašević, B. Rajkov, and M. Simoncelli, Viscous heat backflow and temperature resonances in extreme thermal conductors. Physical Review Letters 136, 186302 (2026); https://doi.org/10.1103/nbbn-56hr
3. Di Lucente, F. Libbi, and N. Marzari, Vortices and backflow in hydrodynamic heat transport, Physical Review Letters 136(5), 056307 (2026); https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/g9dx-hjyn

在本篇博文中，客座作者 Qinghua Lei 探讨了一种用于分析嵌入裂隙岩体中的衬砌岩洞（LRC）在氢气循环加压条件下性能表现的仿真框架。

地下储氢正成为全球能源转型的关键一环。衬砌岩洞（Lined rock caverns ,LRC）提供了一种灵活且不受地域限制的解决方案，但其安全性取决于氢气、结构衬砌与裂隙岩体之间复杂的相互作用。要深入理解这些多物理场耦合效应，离不开先进的数值仿真技术。本文，我们将展示如何利用 COMSOL Multiphysics^® 软件对氢气加压过程中 LRC 的力学性能进行仿真分析。

为何使用 COMSOL Multiphysics^® 进行 LRC 储氢建模？

对储氢衬砌岩洞进行仿真面临着巨大的计算挑战。该系统涉及多种相互作用的介质（氢气、钢材、钢筋混凝土以及裂隙岩体），每种介质都遵循不同的物理规律。周围岩体中存在大量天然裂隙，会产生显著的几何不连续性和本构非线性，极大地影响系统的整体响应。裂隙岩体的变形与岩洞结构紧密交互，决定应力的重新分布和系统的整体稳定性。在高压氢气环境下，钢衬砌可能会发生氢脆现象，而混凝土衬砌则可能产生裂缝，改变应力的分布，进而影响钢衬砌的变形。这些紧密耦合的过程跨越了多个空间和时间尺度，使得对其进行精准分析成为一个极具挑战性的多物理场问题。

COMSOL Multiphysics^® 软件非常适合求解此类多物理场问题，因其具备以下卓越功能：

• 同步求解完全耦合的多物理场方程，实现力学、水力及传输过程之间的直接交互；
• 将模型参数定义为其他场变量的函数，实现间接耦合（例如应力相关的材料属性或损伤驱动的刚度演化）；
• 显式表征岩体中的离散裂隙，并解析复杂裂隙网络中的非线性流体-力学过程；
• 在统一框架内处理多种相互作用的材料，内置丰富的本构模型库并支持灵活的用户自定义材料公式；
• 可自定义控制方程和适配各类应用场景的本构模型，支持将氢脆模型等高级公式直接引入分析中。

接下来，我们将介绍在 COMSOL Multiphysics^® 中搭建用于 LRC 分析的数值模型的流程，并给出一则仿真示例。

仿真流程概述

使用 COMSOL Multiphysics^® 进行仿真时，包含三大核心步骤：

1. 构建几何模型并划分网格
2. 定义参数、材料属性、边界条件等
3. 求解计算

下面我们详细介绍各步骤。

几何模型和网格

首先，采用多尺度建模策略构建模型几何结构。在宏观尺度（图 1a）上，定义了一个二维区域来表示嵌入裂隙岩体中的衬砌岩洞的水平截面。岩洞的几何形状（包括钢衬砌、钢筋混凝土层和周围的喷射混凝土）可以直接在 COMSOL Multiphysics^® 中搭建，也可以从 CAD 软件导入。离散裂隙网络在岩体计算域内以线段形式进行几何表征，既可以在 COMSOL^® 中生成，也可以借助 MATLAB^® 或 CAD 软件等外部工具生成后导出为 DXF™ 格式文件，直接导入 COMSOL^®。在微观尺度上，则构建了专门的钢衬砌模型，以解析氢气的扩散和氢脆过程。这两个模型在钢-混凝土界面处通过位移协调条件进行耦合，从而确保结构变形与材料劣化之间能够保持一致的相互作用。

完成几何模型的定义或导入后，宏观区域采用非结构化三角形有限元网格进行离散化，该网格基于 Delaunay 三角剖分生成（图 2）。在岩洞边界附近和裂隙交叉处进行了网格加密，以准确解析应力集中和损伤演化。为了表征天然裂隙，在相邻有限元之间引入了节理单元（joint elements），从而能够对岩体中的非线性裂隙滑移和张开进行显式分析。为了保持计算效率，在宏观模型中，钢衬砌和喷射混凝土层等薄壁结构构件采用界面单元（interface elements）进行建模。然而，在微观模型中，将显式地表征钢衬砌的厚度（图 1b），并使用实体单元进行离散化，以解析氢气在厚度方向上的扩散和氢脆过程。这种多尺度离散化策略使得在高效捕捉全局结构响应的同时，能够在局部解析钢衬砌内部的材料劣化机制。

图 1. 多尺度模型的结构设计与边界条件示意图，包含：(a) 表征位于裂隙岩体中的衬砌岩洞（LRC）的宏观模型；(b) 用于分析钢衬砌在循环内压、边界位移约束作用下响应行为及氢气扩散过程的微观模型。图中标注的尺寸与比例沿用了本团队前期研究采用的模型参数（参考文献 1），此处展示仅为说明建模策略。实际的模型设置可根据具体应用场景与场地条件调整。

图 2. 衬砌岩洞（LRC）模型的网格离散化（参考文献 2）。钢筋混凝土层采用结构化四边形单元进行离散化，而岩石基质采用非结构化三角形单元进行离散化。钢衬砌和喷射混凝土采用线单元进行离散化，裂隙则采用节理单元进行离散化。

接口和耦合

我们使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 固体力学 接口，模拟裂隙岩体、混凝土衬砌和钢构件在内部氢气加压作用下的变形。岩石基质采用标量损伤公式进行建模，以捕捉裂缝的萌生与扩展；离散裂隙则作为节理单元引入，并赋予非线性法向和剪切本构关系，以表征裂隙的滑移与张开。

钢筋混凝土衬砌采用了 COMSOL^® 中内置的 Mazars 损伤模型 进行模拟，该模型能够有效捕捉拉伸开裂和刚度的渐进式退化。钢筋的影响通过提高弹性模量和残余强度参数来体现，这些参数与所采用的混凝土等级保持一致。

在宏观模型中，由于钢衬砌几何形状较薄，因此采用界面单元进行表征。其力学行为遵循带有指数硬化特征的弹塑性本构规律。为了捕捉氢脆效应，我们构建了一个独立的微观模型，使用实体单元显式地表示钢衬砌的厚度。在该模型中，我们利用 COMSOL^® 中的 “物理场开发器” 开发了自定义接口，以模拟氢气在衬砌中的扩散，并考虑了其与固体力学的耦合。通过将屈服应力定义为随着氢浓度变化的变量，钢材的力学行为与氢浓度实现了耦合，从而能够分析由氢引起的材料强度退化。

若考虑裂隙岩体中的孔隙压力效应，可使用地下水流模块中的 达西定律 接口，模拟流体在岩石基质和裂隙中的流动。此时可启用 多孔弹性 耦合节点，以实现力学变形与孔隙压力演化之间的直接耦合。在这种情况下，渗透率或裂隙开度等水力属性可被定义为随应力变化的变量，从而实现与我们前期建模框架一致的间接流体-力学耦合。

针对岩石基质、裂隙、混凝土和钢材，我们分别定义了其材料属性和本构方程。直接多物理场耦合可确保变形与氢气传输（以及激活时的孔隙压力）之间的一致性交互；同时，通过将模型参数定义为随应力、损伤或氢浓度等演化场变量变化的函数，可引入额外的间接耦合。在力学边界条件方面，外部岩石边界施加了 原位 应力，岩洞内壁则施加了内部氢气压力。

求解计算

本次分析分为两个阶段进行：第一阶段，采用分级加载方案，使宏观模型在给定的原位应力下达到平衡状态。第二阶段，在岩洞边界施加氢气压力（单调递增或循环加载），以模拟储氢库的实际运行工况。随后，将宏观模型计算得出的位移场施加到微观钢衬砌模型上，并在该模型中以随时间变化的方式（瞬态）求解氢气扩散及与浓度相关的力学退化问题。此外，分析中采用了非线性求解方案，以准确解析裂隙的重新活化、损伤演化以及塑性变形问题。

LRC 仿真示例

我们采用多尺度模型对嵌入裂隙岩体中的衬砌岩洞（LRC）在氢气循环加压下的行为展开模拟（参考文献1）。宏观模型的模拟结果显示，混凝土衬砌呈现出循环径向位移，且混凝土与周围岩体中均出现了渐进式的损伤演化（图 3）。损伤主要集中在受拉区域以及裂隙交叉处附近（参考文献 1-2），这表明岩体中裂隙分布对 LRC 的结构响应具有显著控制作用（图 4）。

微观模型捕捉到了钢衬砌内部的氢气扩散与氢脆现象（图 5）（参考文献 1）。氢浓度从内壁表面开始逐渐升高，并随着加载循环不断演化，导致局部强度发生退化，且该退化与应力集中区域高度相关。这些结果充分证明了在不同尺度下，循环加压、裂隙重新活化、应力重新分布以及氢致损伤之间存在着复杂的耦合作用。

图 3. 仿真结果（参考文献 1）展示了在多次氢气加压循环（循环周期 T0 = 24 h）下：(a) 混凝土衬砌的径向位移分布；以及 (b) 混凝土及周围岩体的损伤演化的分布及发展规律。

图 4. 仿真结果（参考文献 1）展示了在循环氢气加压（循环周期 T0 = 24 h）条件下，LRC 周边的损伤分布以及局部最大主应力分布。

图 5. 仿真结果（参考文献 1）展示了不同加载阶段下钢衬的 (a) 氢浓度空间分布、(b) 最大主应力变化，以及 (c) 强度退化。

此外，该框架已进行了扩展，将裂隙岩体中的流体-力学耦合（参考文献 3）以及岩石随时间变化的蠕变（参考文献 4）纳入其中。通过这些扩展，我们能够评估围岩中的流体压力扩散和黏弹性变形对 LRC 长期性能的影响。

参考文献

1. C. Zhao et al., “Modelling lined rock caverns subject to hydrogen embrittlement and cyclic pressurisation in fractured rock masses,” International Journal of Hydrogen Energy, 2025; 152: 150027.
2. C. Zhao, Q. Lei, Z. Zhang, “Impact of fracture networks on the structural deformation of lined rock caverns under high internal gas pressure,” Underground Space, 2025; 21: 252-269.
3. C. Zhao, Z. Zhang, Q. Lei, “Coupled hydro-mechanical simulation of the interaction between adjacent lined rock caverns subject to internal gas pressurisation,” Geomechanics for Energy and the Environment, vol. 43, 2025: 100701.
4. C. Zhao et al., “Influence of rock creep on the performance of lined caverns under cyclic pressurization and hydrogen embrittlement,” International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, vol. 199, 2026; 106401.

关于作者

Qinghua Lei 现任瑞典乌普萨拉大学（Uppsala University）副教授。他先后于 2009 年和 2012 年在中国同济大学获得土木工程专业学士和硕士学位，并于 2016 年在英国帝国理工学院获得岩石力学专业博士学位。2016 年至 2018 年，他在帝国理工学院从事流体力学方向博士后研究；随后于 2018 年至 2023 年在瑞士苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）担任工程地质学高级研究员和讲师。他曾荣获 2025 年欧洲研究委员会基金（ERC Consolidator Grant）、2024 年 Chin-Fu Tsang 耦合过程奖（Chin-Fu Tsang Coupled Processes Award）、2019 年罗哈奖（Rocha Medal）、2016 年 NGW 库克博士论文奖（NGW Cook PhD Dissertation Award）以及 2015 年岩石力学研究奖（Rock Mechanics Research Award）。此外，他还是欧洲青年科学院（Young Academy of Europe）院士，其研究方向包括岩石力学、水文地质学、地球物理学、地质灾害以及岩土工程。
 
MATLAB 是 MathWorks, Inc. 的注册商标。Autodesk、Autodesk 徽标、AutoCAD 和 DXF 是 Autodesk, Inc. 和/或其子公司和/或关联公司在美国和/或其他国家的注册商标或商标。

在使用 COMSOL Multiphysics^® 这类仿真软件时，长期存在一项难题：如何高效导入并转换来自其他来源的数据。初次接手这类工作时，你或许会手动完成数据转换。但这类工作的数据量往往会不断增加，甚至你可能需要反复处理同一类数据。在本篇博文中，我们将介绍如何将人工智能（AI）工具与 COMSOL^® 软件结合使用，帮助你将这些数据转换方法转化为一套可重复调用的工作流。

理解数据传输的痛点

我们经常会遇到这样的问题：如何将不同格式的数据导入 COMSOL^® 中？这类数据通常存储在文本文件中，且文件格式可能并不常见，没有现成的转换工具可用。我们的客户通常十分熟悉这类文件格式，而我们则精通如何在 COMSOL^® 中调用这类数据。在这种场情况下，AI工具就能大显身手了——AI能够大幅降低搭建数据转换工作流所需的工作量。接下来，我们结合一个具体的应用场景展开详细说明。

一个具体的应用示例

假设现在有一个文本文件，内容为一个集总热模型的相关说明。集总模型与你在 COMSOL Multiphysics® 中熟悉的有限元模型有所不同。集总模型使用代表材料体积的节点，每个体积的密度和比热容均为已知参数，因此每个节点都对应着一个热质量。节点的温度会因施加热载荷而升高，节点之间可以通过传导 或 辐射 进行热量交换，其计算依据是两个节点之间的温差。此外，我们还可以设定恒温节点，这类节点被称为热沉。为了让这个概念更具体，我们来构建一个非常简单的太空卫星的集总模型。

我们将要处理的卫星模型如下图所示。它是一个箱体结构，两侧各伸出一块太阳能电池板。箱体的六个面和两块太阳能电池板各自用一个热节点来表示。箱体的相邻面之间存在传导热通量，箱体侧面与太阳能电池板之间存在辐射热通量。同时，所有的面都会向太空产生辐射热通量。该模型的目标是从一个初始温度出发，计算温度随时间的变化。本次分析将假设太阳和行星的热载荷忽略不计（例如地球同步卫星进入阴影期时），仅考虑单个节点上加热器产生的热载荷。

一张卫星八节点集总热模型的原理图。图中展示了箱体各节点之间的热传导，以及所有节点向深空产生的热辐射。

这类集总模型非常常见，而且业界用来表示它们的文件格式也五花八门。为了让我们的示例不受文件格式的限制，我们将生成一个逻辑思路与各类格式相近（语法细节可能不完全一致）的文件。正如我们接下来会看到的，具体的语法其实并不是重点。下文展示了该示例文件中的一段节选内容：

TSINK, 99, 2.7 # Thermal Sink 99
NODE, 10, 300, 12150 # Node 10
…
NODE, 80, 300, 3220 # Node 80
LOAD, 60, 750 # Load on node 60
CON, 1020, 10, 20, 0.71 # Conductor 10 - 20
…
CON, 5020, 50, 20, 0.71 # Conductor 50 - 20
RAD, 2070, 20, 70, 8.9e-9 # Radiation 20 - 70
…
RAD, 8099, 80, 99, 1.8e-7 # Radiation 80 - 99

这个文件中包含五种类型的数据：TSINK, NODE, LOAD, CON, 和 RAD.。它们分别代表热沉、带质量的热节点、特定节点上的热载荷、节点之间的热传导，以及节点之间或节点与热沉之间的热辐射。符号 # 后面的内容属于注释。如果你熟悉同类文件格式，从计算机科学的角度来说，可以把上述格式看作是一种全新的“语法方言（dialect）”。

再借用几个计算机科学的术语，这个文件中的信息实际上描述了一个“连通图（connected graph）”，其中描述传导和辐射的记录就是 节点 之间的 边。这非常有用，因为 AI 工具非常擅长处理这类数据结构。我们先记住这一点，接下来，我们把注意力转向如何将这些数据导入到 COMSOL^® 中。

COMSOL 中的等效实现

尽管 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品——传热模块中确实内置了 集总热系统 物理场接口，但对于规模较大的模型，我们需要一种计算成本更低的方法。要表达上述数据，最简便的等效方法是使用 全局方程 接口。由于待导入数据对应的是一个三维结构，而输入文件并未提供关于几何形状和尺寸的足够信息，因此采用抽象格式来搭建模型。

全局方程 接口可将连通图的图形网络转化为一个耦合的常微分方程组，方程形式如下：

 
这些方程可以在用户界面中进行设置，具体如下图所示。此外，我们还可以通过 保存到文件 和 从文件加载 按钮，将这一整套全局方程导出或导入。

截图展示了如何设置一组常微分方程。请注意图中的 保存 和 加载 按钮。

我们这里想要复现的模型包含9组节点与热沉的数据条目，这些内容由手动整理输入。尽管流程略显繁复，但鉴于其仅需一次性操作，投入相应的时间成本仍是值得的。需要注意的是，原始文件是基于预设的单位编写的，因此所有的方程都进行了无量纲化处理。在将这些内容输入到软件界面，模型导出保存为了一个文本文件。截取的其中几行内容如下所示：

NODE10 12150*d(NODE10,t)[s]-((0.71*(NODE20-NODE10)+0.71*(NODE30-NODE10)+0.71*(NODE40-NODE10)+0.71*(NODE50-NODE10))+(4.5e-8*(TSINK99^4-NODE10^4))) 300 0 "Node 10"
...
NODE60 12150*d(NODE60,t)[s]-((750)+(0.71*(NODE20-NODE60)+0.71*(NODE30-NODE60)+0.71*(NODE40-NODE60)+0.71*(NODE50-NODE60))+(4.5e-8*(TSINK99^4-NODE60^4))) 300 0 "Node 60"
...
TSINK99 TSINK99-2.7 2.7 0 "Thermal Sink 99"

借助 AI 打造数据转换器

至此，我们对这两个文件应该已经有了充分的了解。同时我们也清楚，如果一个文件里包含成百上千甚至更多的条目，就必须引入一定程度的自动化处理方法。但有一点可能不太容易察觉：我们实际上是在将图数据从“边列表（edge-list）”表示形式，转换为可利用数据稀疏特性的“关联列表（incidence-list）”表示形式。了解计算机科学的读者会明白，要手动编写这种转换算法绝非易事。

幸运的是，这类工作正是 AI 能够帮助我们实现自动化的。需要澄清的是，我们并不是让 AI 直接去执行数据转换，而是让 AI 为我们编写一个通用的转换工具。那么，我们具体需要提出什么要求？又该如何向 AI 下达指令为我们写出这个转换程序呢？

其实，这两个文本文件中已经包含了我们所需的几乎所有数据。我们要做的，仅仅是将它们上传到选定的 AI 工具中，并输入类似下面这样的提示词：

Here is a file that contains nodes and sinks, representing nodes on a graph network. The connections between the nodes are defined by CON and RAD lines. Everything after a # is a comment. I need to convert the first file into the format of the second file. Please write out the transformation rules between them.

本示例中使用的是 ChatGPT。大约一分钟后，它就给出了一份完整且通俗易懂的转换步骤说明。最让我印象深刻的是，这款 AI 工具不仅识别出该文件描述的是一个热学问题，还准确判断出了其中非线性辐射项的物理性质。

ChatGPT 输出内容节选。

在仔细审阅了这份输出后，我确信这款工具已经完全理解了任务需求。要知道，输入文件使用的是一种描述集总热模型的、独特且未公开说明的“方言”。我只需要再做一步：要求 AI 生成一段我可以独立运行的代码。为此，我又输入了这样一条提示词：


Please write a monolithic piece of Java code that I can use in COMSOL's Method Editor to convert any file of the original type into this format.


我之所以要求生成 Java 代码，是因为我想完全在 COMSOL Multiphysics^® 中运行这段程序。正如 ChatGPT 能毫不费力地理解输入文件中独特的“方言”一样，它在使用我指定的编程语言编写代码时也同样游刃有余。

最终生成的代码长达数百行，这里就不进行展示了。不过，我大致审阅了一下，发现 ChatGPT 为了提高可读性添加了注释，甚至还加入了错误检查机制——如果输入了无效文件，程序会给出明确的报错信息。这段代码编译和运行都非常顺利，我还通过生成结果进行了初步校验。

通常来说，对转换代码进行核验和确认是非常重要的，具体的方法取决于数据的呈现形式。有时，仅对少量样本进行直观的抽样检查便足够；但在另一些场景下，则可能需要采取更严谨的校验方式。其中一种有效的方法是额外编写一个“逆向转换器（back-converter）”，本质上就是对数据做双向转换，并验证转换后的数据是否仍与原始数据一致。同样，我们也可以借助 AI 来完成这一步。

由输入文件计算得出的输出示例。

到这一步，有些读者可能会问：为什么不干脆把这个转换器直接集成到 COMSOL 产品中呢？我需要着重说明，本文介绍的示例仅仅是一个采用独特“方言”编写的简易热网络文件。而在实际应用中，集总热模型文件可能会包含更多种类的数据记录，需要由多个文件组合而成，甚至还会包含用于实现特定恒温控制算法的自定义代码。如果要开发一款通用的转换程序，需要处理大量极端边界情况，而这些情况几乎不会同时出现在同一个文件内。除此之外，简单的一对一格式转换往往不是最佳选择。有时候我们需要退一步，先去梳理和深入理解原始文件创建者的具体建模意图。对于这类热网络模型来说尤其如此，不过这就是另一个话题了。

关于文件转换与 AI 应用的几点思考

这里，我们有必要再次强调，完成整套流程其实并没有耗费太多精力。我们本身已经有了示例输入文件。虽然确实花费了一些时间研究如何在 COMSOL^® 中合理搭建模型、生成标准语法，但和 AI 工具的交互过程十分简单：只需上传两个文件、输入两条提示词，生成的代码就能直接适用于所有同格式文件。全程与 AI 工具的总交互时长不过短短几分钟。

如果你也需要处理此类结构化数据或文件的转换，可以很快掌握这套工作流程。如果需要加入更多功能怎么办？只需在示例输入和输出中再补充几行内容，然后重新向 AI 工具发送提示词即可。那如果你想把其他数据自动导入 COMSOL 呢？比如，公司可能有一个自定义格式的大型专有材料数据库需要导入。你完全可以利用这套流程来编写转换程序。请记住，你无需向 AI 工具上传专有的原始数据，只需提供数据格式即可。最终你将得到一套完整的转换算法和源代码。

从更宏观的角度来看，正如我们在之前的 COMSOL 博客中讨论过的那样，AI 工具正在持续快速迭代。对于 COMSOL 用户需要解决的各类问题，这些能力正变得日益实用。

最后，我想向大家展示一次最终提示词的运行结果。在这条提示词中，我要求 AI 画出它对该文件所代表的硬件设备的理解。结果如下所示。虽然目前的呈现效果还不算完美，但我几个月后一定会再来回顾，看看它又有了怎样的进步。

AI 对全局方程的解读。

下一步

你会如何利用这套工作流程来辅助你的 COMSOL 建模和仿真工作？欢迎在下方留言分享，或与我们联系！

在往期博客文章中，我曾分享过自己对足球的喜爱，尤其着迷于用脚背外侧踢球这一技巧 —— “特里维拉”（trivela），即贝肯鲍尔式传球。借助马格努斯效应，这种踢法能让足球划出标志性的弧线。内利尼奥（Nelinho）、埃德尔（Éder）、罗伯特·卡洛斯（Roberto Carlos）等球员都曾将这一技术演绎成了一门艺术，这类射门有时也被称作 “外脚背高弧度射门”。此外，我还通过仿真模型探讨过国际足联世界杯（FIFA World Cup^®）、欧锦赛（ UEFA^® European Championship）等官方比赛用球的设计将会如何影响足球的空气动力学表现。

在本届世界杯开赛前夕，我开始更全面地思考建模与仿真技术在足球赛事中能够发挥的作用。事实上，可以拿来分析的不仅仅是足球的物理特性、脚与皮球的接触过程，甚至包括如今内置在足球内部、以及球员身穿的智能运动背心中的运动传感器，方方面面都可以借助相关仿真技术开展研究。

本篇博客，我将详细介绍 2026 年世界杯官方比赛用球阿迪达斯三重浪（Adidas Trionda^®），分析它的空气动力学特性、脚与足球碰撞的动力学原理，并分享几组仿真结果。看完这些内容，相信你们也和我一样，格外期待在本届赛事中欣赏那些精彩的“特里维拉”！

官方比赛用球的空气动力学

自 2010 年南非世界杯启用阿迪达斯 Jabulani^®（普天同庆）比赛用球后，围绕世界杯比赛用球的争议基本销声匿迹。相较于 Jabulani，2014 年的 Brazuca^®（桑巴荣耀）、2018 年的 Telstar^® 18（电视之星 18） 以及 2022 年的 Al Rihla^®（旅程），三者的空气动力学特性都更为相近（参考文献 1）。对比一下包括本届 Trionda 在内的近五届世界杯比赛用球的风阻系数，你也许就能明白当年 Jabulani 为何会引发诸多争议。

图 1. 五款最新世界杯用球在风洞中通过实验测得的阻力系数曲线示意图，测试时球体处于两种无旋转姿态中的姿态 A（参见文献 1）。

正如我在之前的博文中提到的，如果你用球鞋外侧（也就是小脚趾那一侧，美国人可能会习惯叫它“cleat”）大力踢出一记强力的外脚背高弧度球（trivela），球会迅速加速，并且其表面的边界层会从层流转捩为湍流。在这种状态下，旋转的足球两侧的分离点会变得更加对称。由于马格努斯效应依赖于气流和边界层分离的不对称性，因此在高速下，旋转对球的影响反而会被削弱。结果就是，尽管球在旋转，它的飞行轨迹却几乎是直线。

随着球速减慢、雷诺数降低，边界层会逐渐从湍流转捩回到层流，分离点也随之发生偏移。此时，由旋转引起的不对称性变得非常明显，球的轨迹开始急剧弯曲。以 Jabulani 足球为例，这种被称为“阻力危机（drag crisis）”的转捩行为发生在相对较高的速度，如图 1 中的绿色曲线所示。这意味着往往在球飞行的后半段才会出现弧线，而且是在较高速度下突然变向，使得守门员极难进行预判。

更难预测的是那些几乎没有旋转的射门：在高速状态下，球会像沙滩排球一样在空中飘忽不定、左右摇摆。2010 年世界杯上，迭戈·弗兰（Diego Forlán）使用 Jabulani 对阵加纳时打进的那粒令人难忘的任意球，就是这种现象的典型代表。

最新款世界杯比赛用球稳定性更佳，即使在较低的速度下也能保持湍流边界层，这种特性将低阻力区域进一步推向了低速区间。因此，新球不会像 Jabulani 那样迅速减速，其飞行轨迹也更加符合预期。从图1中可以看出，Trionda 足球即使在极低的速度下依然能够维持湍流边界层。

在2024年欧洲杯开赛前，我曾写过一篇关于该届赛事官方比赛用球 Fussballliebe^®（足球之爱）的博客。人们普遍认为，Fussballliebe 是对 Al Rihla 的改良版，更侧重于提升表面抓地力和飞行的一致性，而不是追求极致的最高球速。在那篇博文中，我分享了将 Fussballliebe 与 Telstar 18 进行对比的仿真结果，结果表明：与 Al Rihla 和 Trionda 一样，Fussballliebe 在相对较低的速度下依然能保持在低阻力的湍流状态。

因此，探究 Trionda 的空气动力学表现，并将其与图 1 中的实验数据以及我们之前对 Telstar 18 和 Fussballliebe 的仿真结果进行对比，将会是一件非常有趣的事情。

图 2. 使用 COMSOL Multiphysics^® 软件构建的阿迪达斯 Trionda 足球模型。

全新阿迪达斯 Trionda 比赛用球

Trionda 仅由四块热熔拼接球皮组成（相比之下，Al Rihla 有 20 块，而 Jabulani 则有 6 块），其接缝总长度约为 2.6 米，相较于 Al Rihla 的 3.5 米和 Fussballliebe 的 4.3 米要短得多。另一方面，备受争议的 Jabulani 接缝长度约为 2.0 米，这或许会让人以为 Trionda 的表现会与它相似。然而，Trionda 采用了更深的凹槽和棱脊纹理，有效地增加了其空气动力学粗糙度。此外，凹槽之间的球面还分布着代表 2026 年世界杯三个主办国的小型凸起图案：代表美国的五角星、代表加拿大的枫叶以及代表墨西哥的金鹰。在表面纹理和抓地力方面，它与 Fussballliebe 非常相似，这也意味着这两款球的空气动力学表现可能十分接近。

这一推断与图 1 中的实验数据相吻合。数据显示，在高速状态下，Trionda 的阻力系数高于往届的世界杯比赛用球。

名字里有什么玄机？ “Trionda” 这个名字致敬了三个东道国。其中， tri– 意为“三”， –onda 意为“波浪”，暗示着能量的浪潮。正如你在图 3 中所见，数字三的元素贯穿了整个设计。每一块拼皮的中心都是一个大致呈三角形的形状——上面压印着一颗波浪形的三星图案；从这个中心向外延伸出三条臂状结构，每条臂上都带有三道压印的阿迪达斯条纹。不仅如此，“特里维拉（trivela）”这项技术在西班牙语和葡萄牙语中也被称为 tres dedos（三根脚趾），指代的正是踢球时用到的外侧三根脚趾。

图 3. 构成足球的四块拼皮之一，它们将通过热熔拼接工艺组合成一个完整球体。

在我和同事们构建的 Trionda 模型中，我们利用 COMSOL Multiphysics^® 软件内置的几何工具，精确地绘制出了接缝和沟槽的形状。相比之下，星形、枫叶形和金鹰形的突起图案被简化处理为了“表面粗糙度”，并没有在纳维-斯托克斯 (RANS) 模型的几何体中被显式地画出来；而在大涡模拟（LES）模型中，这些图案甚至完全没有被纳入考量。

图 4. 以等值面形式绘制出相对于球体的流速。

在高速状态下，Trionda 的实测阻力系数高于 Al Rihla，但其“阻力危机”发生的速度要低得多。这意味着在低速状态下，Trionda 的阻力系数显著低于Al Rihla。这与 Fussballliebe 的情况类似，正如我在之前的博客中分享的，Fussballliebe 在低速下的阻力系数也明显低于 Telstar 18。（我们未对 Al Rihla 进行过建模。）

图 4 展示了通过大涡模拟（LES）获取的 Trionda 的速度等值面。可以看到，球体周围的气流分离线出现在垂直赤道下游相对较早的位置，这与 2024 年 Fussballliebe 的仿真结果一致。作为对比，Telstar 18 的仿真结果显示气流分离发生得更晚。图 5a 和 5b 分别展示了 Trionda 和 Fussballliebe 尾部尾流的动画，两者表现出相似的流体行为。使用 LES 计算得出，Trionda 在 20 m/s 时的阻力系数为 0.17，与第二次模拟球体朝向（朝向 B）的实验值（略低于 0.2，参考文献 1）高度吻合。

这个阻力系数略低于 Fussballliebe 的 0.19（基于 LES）。然而，Trionda 的表面突起纹理比 Fussballliebe 更大，因此可能会增加其阻力系数。当我们将表面粗糙度因素考虑在内时，估算出的阻力系数约为 0.22，与采用基于 RANS 模型并计入表面粗糙度时得出的 Fussballliebe 阻力系数（0.21）非常接近。

图 5a 和 5b：Trionda（左）与 Fussballliebe（右）的尾流动画。

在 2024 年欧洲杯上，禁区外远射破门总数达到了 19 球，创下了历史纪录。所有进球中有 16.2% 都来自这种远距离射门，在一定程度上要归功于 Fussballliebe出色的飞行稳定性，以及它在减速至低速时依然保持的低阻力系数。（正如哈里·凯恩（Harry Kane）所说这款球“吃得住脚”。）基于我们的仿真结果，我认为可以满怀期待地展望 2026 年世界杯上出现更多禁区外的精彩远射，如果它们是由强力的外脚背高弧度轰进去的，那就更完美啦！

完美触球

现代比赛用球与 20 世纪 80 年代、90 年代及 21 世纪初所用足球之间的最大区别之一就是表面纹理。传统 32 块拼皮足球的后期版本通常具有相对光滑的表面，而像 Fussballliebe 和 Trionda 这样的现代足球，摸起来明显更粗糙——但也更具弹性。

现代足球采用热熔拼接技术和先进材料，造就了“弹性更好”的足球，使其在受击打后能保留更高的能量。虽然阿迪达斯官方并未公开其足球的恢复系数（CoR，即衡量“弹性”的指标），但基于近期测量数据的估算（参考文献 2）显示，在 1 bar 的内压下，其数值略低于 0.9。这种相对较高的恢复系数，或许就能解释为什么哈里·凯恩会评价 Fussballliebe “吃得住脚”。

现代足球粗糙的表面，也让球员感觉更容易精准击球。但这仅仅是心理作用吗？根据 Ishii 等人（参考文献 3）针对内脚背弧线球进行的建模仿真与实验研究表明，球鞋鞋面与足球之间的摩擦力对球速和旋转的影响其实十分有限。

为了探究 Trionda 的弹性表现以及脚部与足球碰撞时的动力学特征，我们利用 COMSOL Multiphysics^® 全新的显式动力学功能构建了一个模型，其中采用了包括拉明·亚马尔（Lamine Yamal）在内的众多顶级球星所穿着的 Adidas^® F50 Elite Laceless（无鞋带版）球鞋。这款球鞋能提供极佳的触球反馈，无论是正脚背抽射，还是需要收紧小腿与胫骨肌肉、完全绷紧脚踝的强力外弧线射门，都同样发挥出色。

图 6. 使用阿迪达斯 F50 Elite 无鞋带版球鞋与阿迪达斯 Trionda 足球完成大力外脚背弧线球动作的动画。本次模拟中摩擦系数为 0.5。

图 6 展示了一段动画，模拟了使用完全绷紧的脚踝对阿迪达斯 Trionda 足球踢出强力“特里维拉（trivela）”的过程。可以看到，足球在受到撞击的瞬间发生了明显的形变。这一结果与 Ishii 等人（参考文献 3）的研究结论定性相符，也与 Quintic 咨询公司对欧冠联赛官方比赛用球——阿迪达斯 Finale 系列足球所录制的正脚背抽射的高速摄像结果一致。此外，在动画中还展示了由非对称碰撞所产生的角速度，这正是标志性“弧线球”的明显特征。

充气 1 bar 情况下，计算得出的弹性系数（CoR）为 0.85，这与 Telstar 18 系列足球的数值非常接近（参考文献 2）。2020年欧洲杯所使用的新款比赛用球 Uniforia^® Pro，也采用了大体相同的结构设计。

图 7. 摩擦系数为 0.5 时，采用大力外脚背弧线球动作与球面接触 5.5 毫秒后，Trionda 足球的形变状态。

图 7 展示了在 Trionda 足球在被一记势大力沉的射门动作击中 5.5 毫秒后发生的形变。这种恐怖的球速和力量，堪比当年的罗伯特·卡洛斯（ Roberto Carlos），或者费德里科·巴尔韦德（Federico Valverde）等射门极具爆发力、球路极具弧线威胁的现役球星。

图 8. “特里维拉（trivela）“射门场景与图 6 相同，但此处摩擦系数设定为零。

那么，足球与脚部之间的摩擦系数究竟有何影响呢？事实证明，对于“特里维拉“而言，摩擦力至关重要。图 8 中的动画展示了与图 6 完全相同的射门场景，但这次去除了摩擦力。可以明显看到，球从脚上滑脱了，几乎没有产生任何弧线。

与 Ishii 等人（参考文献 3）研究的用内脚背踢出的弧线球不同，外脚背射门涉及一种强烈的非对称“切削”效果——击球时，脚部的发力方向并不会穿过球心。在这种情况下，脚与球之间的摩擦力就变得极为重要。

图 9 展示了在三种不同的摩擦系数下，足球在撞击前、撞击中和撞击后的速度变化。随着摩擦系数的降低，球的出射速度也随之下降：从基准情况下的约 34 m/s，一路降至无摩擦情况下的约 24 m/s。

图 9. 三种不同摩擦系数下的球体速度。

在仿真中，我们假设的是对静止足球的完美击打。但在真实的比赛场景中，足球往往处于运动状态，此时摩擦系数的重要性便更加凸显。这也是为什么现代足球鞋通常会配备经过精心设计的触球区域，以改进脚部与足球之间的接触效果。

展望世界杯

在这篇博文中，我们深入探讨了官方比赛用球的空气动力学原理，以及大力射门时脚与球之间的相互作用。作为对2026年世界杯的预热，这算是一次趣味十足（虽然可能有点“极客”）的知识铺垫。不过，我们的“硬核”探索还未止步于此。

在下一篇博文中，我将聊聊嵌入足球内部和球员球衣里的传感器。此外，我还会分析足球场的声学效果——这是营造赛场狂热氛围的关键所在。

只为热爱：致美丽足球

尽管本文展示的模型和仿真技术均代表了前沿水平，但其制作初衷完全是出于兴趣。严谨的科学研究需要对相关参数展开更为详尽的探讨，且仿真结果还应该通过实验测量进行验证。

谨此声明，本文介绍的研究工作均独立开展，与阿迪达斯公司不存在任何合作关系。

参考文献

1. J. E. Goff et al., “Trionda: Enhanced Surface Roughness Relative to Previous FIFA World Cup Match Balls,” Applied Sciences, vol.16, no. 6, start p. 2808, 2026; https://doi.org/10.3390/app1606280808.
2. A. Tunçel, N. Özgören, and S. Aritan, “Comparison of Collision Dynamics of Soccer Balls with Energy Dissipation Method,” Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology, vol. 240, advance online publication 2024; https://doi.org/10.1177/17543371241237589.
3. H. Ishii, Y. Sakurai, and T. Maruyama, “Effect of Soccer Shoe Upper on Ball Behaviour in Curve Kicks,” Scientific Reports, vol. 4, no. 1, start p. 6067, 2014; https://doi.org/10.1038/srep06067.

Adidas、Al Rihla、Brazuca、 Fussballliebe 和 Trionda 是 adidas AG 的注册商标。 Jabulani 和 Telstar 是 adidas International Marketing B.V. 的注册商标。

COMSOL AB 及其子公司和产品与上述任何商标所有者均无关联，也未得到其担保、赞助或支持。

MEMS 麦克风广泛应用于手机、笔记本电脑、智能手表等各类消费电子产品中。虽然这些小巧的声学传感器能够处理在音调、音色和应用场景方面差异巨大的声源，但风噪声引起的失真自该技术问世之初，便一直是其设计中的一大难题。

攻克风噪频谱

微机电系统（MEMS）技术以其高信噪比著称，这使得一些环境噪声能被过滤掉，比如暖通空调系统的微弱嗡嗡声，或是办公场所的背景交谈声。然而，风噪声往往会引入一定程度的失真，导致原本清晰的录音变得难以辨认。对于那些依赖语音助手的电子设备（如智能手机和扬声器系统）而言，这种失真会是一个更棘手的问题，因为风造成的干扰甚至会引发设备的功能性故障。

为了扫除这一障碍，Sonos 公司的音频工程团队专门为 MEMS 麦克风开发了一套仿真工作流程，以预测横向气流速度如何影响风噪频谱，并评估不同入口的几何结构在抗风噪方面的有效性。

一个用于分析风噪影响的麦克风入口模型。

Sonos 的仿真方法

麦克风的作用是将声能转换为电信号，但为了准确完成这一转换，麦克风振膜必须保持足够的“开放”状态，以便声波能够顺利抵达。而入口的几何结构，直接决定了麦克风与周围潜在流动的空气之间的相互作用方式。为了观察气流流经麦克风系统时的频谱特性，Sonos 团队在 COMSOL Multiphysics^® 软件中构建了一个麦克风模型。

该模型由直接影响麦克风声学性能的基本组成——其中麦克风本体、粘合剂以及电路板厚度在整个测试过程中保持一致。团队利用软件的 气动声学流动源 多物理场耦合功能，将流体动力学（采用大涡模拟，即 LES）与声学（采用压力声学）分析相结合，计算流致噪声。该模型能够根据流经麦克风入口处的气流速度以及端口几何形状的变化，预测麦克风振膜处的总声压级和压力频谱。

团队使用软件模拟了风从入口流入，流经麦克风，最后从出口排出的全过程。在每次测试中，团队都会改变不同圆柱形和圆锥形麦克风端口的直径。结果表明，麦克风入口的形状确实会影响麦克风腔体内的风噪，尽管与其他因素（如声学网罩）相比，端口形状对风噪性能的影响并没有那么大。结果还证实，在优化后的设计中，麦克风处的压力降低，从而捕捉到的风噪也更少。

此外，该团队评估了噪声频谱如何随以下风速变化：

• 2.4 m/s
• 3.0 m/s
• 4.0 m/s
• 5.0 m/s

正如预期的那样，2.4 m/s风速下的仿真结果产生的噪声水平最低，而 5.0 m/s风速下产生的噪声水平最高。仿真结果与团队基于缩放定律的解析方法做出的预测非常吻合，因为模拟成功捕捉到了由流速驱动的拐点频率偏移。

麦克风腔体在风速为 5.0 m/s 时的声压级。

实验验证

将预测结果与实验原型进行对比验证是开发过程中至关重要的一步。Sonos 团队开展了一系列物理实验室测试，以确认模拟结果的准确性。

团队在原型入口处产生了层流，以建立一种稳定且可重复的风流评估环境。麦克风堆叠组件被安装成使其外表面与周围的硬平面齐平，同时让单一角度的气流垂直吹向麦克风。在此装置中，团队测试了多种端口的几何结构。

结果对比

仿真与实验测试的综合结果提供了极具价值的宝贵见解——两种方法均证实，风速在很大程度上决定了风噪频谱的范围。更具体地说，研究确认了高流速会导致涡脱落频率发生偏移。两者结果的高度一致性，也验证了 COMSOL^® 模型具备捕捉风致噪声中主要物理机制的能力。

圆柱形入口在四种风速下的归一化声压级。

然而，在分析不同入口几何结构的影响时，团队意识到，与仿真结果相比，实验室测量结果显示，在相似但不完全相同的条件下，不同几何结构之间的差异微乎其微（例如，仿真为了简化建模采用了滑移壁面条件，而实验室实验则采用无滑移条件）。这种不一致表明，虽然该模型能够可靠地反映由流速驱动的频谱趋势，但未能完全捕捉到几何结构如何影响气动声学耦合的细节。一个可能能够阐明模型与实验结果之间差异的因素是，COMSOL^® 模型中麦克端口上方未包含声学网罩。研究发现，在实际的系统中加入声学网罩能显著减少气流引起的波动，这表明在未来的研究中，对声学网罩进行建模可能是提高模型与实验之间预测精度的必要补充。

最终，Sonos 的音频工程师得出结论：该仿真框架有利于为 MEMS 麦克风的设计提供早期指导，有助于识别最坏情况，并能减少对昂贵原型制作的需求。这项研究不仅深入揭示了流速与风噪频谱之间的关系，还为验证模拟结果和建模假设的重要性提供了一个鲜明的例子。

进一步学习

想要了解这项研究的更多信息，请阅读 Sonos 团队的完整论文，该论文在2025年 COMSOL 用户年会（波士顿站）上荣获了最佳论文奖！这篇论文详细阐述了该团队的仿真方法和研究成果。

想要亲手实践如何在 COMSOL Multiphysics^® 中对空腔流致噪声进行模拟，请查看“案例下载” 中的 腔内流噪 教程模型。想要在下次 COMSOL 用户年会上展示您的研究成果吗？请访问 COMSOL 用户年会 2026 。

超快脉冲激光技术的进步使得对极短时间尺度上的热传递的理解变得尤为重要。 在亚纳秒尺度下，传统的传热方程失效，必须采用更精细的模型，例如双曲线传热方程和双温度模型。本文，我们将简要回顾最常用的非傅里叶传热模型的相关理论，并探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 软件中实现这些模型。

重新审视传热方程

首先，我们将简要回顾科学工程领域最常见的偏微分方程之一：固体传热方程。其起点是能量方程，或者说是温度连续性方程 ：

其中 为体积热容， 为热通量， 为体积热源。

该方程本质上是能量守恒表达，因此无论时空尺度如何变化都必须成立。为获得 的闭合形式偏微分方程，需先确定 的表达式。最简单直观的选择是傅里叶定律，该定律指出热通量与温度梯度成正比：

其中比例常数 称为热导率。将其代入连续性方程即可得到经典的热传导方程：

这是一个抛物型偏微分方程，故称为抛物型单步（POS）模型。（”单步”的含义将在本文后续内容中阐明。）

通过考察半无限介质域（ ）可深入了解该方程的特性：当 表面温度保持为 ，而域内其余区域初始温度为 时，该问题存在如下解析解：

其中， 为介质的热扩散率， 表示误差函数。该解的动画演示见下图。由上述表达式可知，边界条件 的影响会立即传递至整个区域，这违反了狭义相对论。此现象源于推导该方程时采用的强假设——傅里叶定律。

尽管名为傅里叶定律，其实质是一种唯象关系，其从第一性原理的严谨推导涉及多重近似。但需注意的是：在常规的时间与长度尺度下，能量的空间传输速度足够快，可视为瞬时过程，因此对于大多数工程应用而言，热方程的这一缺陷在多数工程应用中可安全地忽略不计。

热方程解在简单半无限域中的时域演化动画。

超越傅里叶定律

当我们转向更短的时间尺度时，无法再像前文所述那样假设能量的空间传输是瞬时的。此外，还必须考虑电子与晶格之间能量传递的有限速度。下文将阐明前者如何导致双曲型热传导，后者又如何催生双温模型（参考文献1）。

双曲型传热

我们不再假设热通量能瞬时响应温度梯度，而是提出如下”滞后型”傅里叶定律：

滞后时间 应与电子弛豫时间（即电子平均自由时间）相对应。如果滞后时间足够短时，上述表达式可展开为泰勒级数：

该表达式被称为 Cattaneo–Vernotte 模型（参考文献2）。将其代入连续性方程（在对后者进行时间微分后）可得到双曲型一步（HOS）模型：

该双曲型偏微分方程与波动方程相似，而且正如我们将在下文进行阐述的，热传导的有限速度确实会导致”热波”现象的出现。

双温度模型

若摒弃电子与晶格始终处于局部热平衡的这一假设，则需引入两个独立的温度场（晶格温度 与电子温度 ）及其耦合关系项 。初始阶段，激光能量被电子吸收导致 急剧上升（步骤1），随后与 发生耦合（步骤2）。 在亚纳秒时间尺度下，热量通过晶格的扩散相对于电子输运可忽略不计，因此最终得到以下控制方程：

该模型称为抛物型双步（PTS）模型。虽然可消去 以获得 的闭合形式偏微分方程，但会产生繁琐的交叉项。保留这种耦合的偏微分方程与域常微分方程的形式更为便捷。电子-晶格耦合参数 的估计，可通过对所有可能跃迁的电子-声子能量交换率进行积分获得（参考文献3）。

若考虑电子热能传播的有限速度，可进一步建立双曲型双步（HTS）模型。与上述模型类似，当忽略晶格扩散时，该模型可表示为：

进一步推广

为获得精确结果，我们可能还需要考虑以下若干附加效应，例如：

• 除热通量外，引入温度滞后时间，由此形成双相位滞后（DPL）模型
• 在上述双温度模型中纳入晶格扩散效应，由此衍生出双抛物型双步模型（DPTS）与双曲型双步（DHTS）模型
• 采用双温度漂移-扩散型公式显式建模载流子动力学，即半经典双步（STS）模型
• 考虑辐射传热效应

虽然这超出了本文的讨论范围，但对于许多应用而言，考虑超快加热过程中可能发生的更复杂的过程（如烧蚀和熔化）至关重要。

在 COMSOL Multiphysics^® 中实现非傅里叶传热

默认情况下， COMSOL Multiphysics^® 的传热接口仅支持 POS 模型，但借助偏微分方程（PDE）和常微分方程（ODE）接口，可在软件中轻松实现双曲型热传导与双温度模型。

以示例问题为例：考虑一层厚度为200 nm 的金膜，受到一个激光脉冲的照射，其吸收的激光脉冲通量 （此处假设与其电子温度和晶格温度无关），脉冲具有高斯时间分布，脉宽 和 。 包含激光波长信息，因其同时取决于薄膜反射率。 我们还假设光束半径远大于其穿透深度 ，从而使问题简化为一维模型。因此，由该脉冲产生的体积热源可表示为（参考文献1）：

前置因子确保了总吸收脉冲能量的正确归一化。该脉冲中心位于 ，故模拟起始点设为 以捕捉完整的脉冲。我们采用参考文献3中报道的金的材料参数，并假设其保持恒定。

双曲型传热

为在 HOS 模型中包含时间的二阶导数项，需要使用 一般形式偏微分方程 接口。相关设置如下所示。

在 COMSOL Multiphysics^® 中实现 HOS 模型。为了包含二阶时间导数项，需使用一般形式偏微分方程接口。

双温度模型

为了实现 PTS 模型，可以使用预定义的传热 接口模拟电子温度。由于该模型忽略晶格扩散，仅需一个域常微分方程即可求解晶格温度。所需设置如下图所示。

在 COMSOL Multiphysics^® 中实现 PTS 模型。对于电子温度（左侧），可使用默认的传热接口，并添加因耦合引起的额外源项；对于晶格温度（右侧），则使用分布式常微分方程接口，并将耦合项指定为源项。

与上述设置类似，我们也可以通过替换电子温度的传热 接口为一般形式偏微分方程 接口来实现HTS模型。需要注意的是：本模型中热导率被视为恒定标量，但传热 接口与一般形式偏微分方程 接口均支持例如温度依赖的系数，以及用于模拟各向异性传热的张量形式。

结果与讨论

让我们首先来看下 时的计算结果。下图展示了辐照后晶格温度的空间分布。可以看到，在该脉冲持续时间下，正如预期的那样，不同建模方案的结果基本一致。

脉冲持续时间为 1 纳秒时晶格温度随深度变化的曲线。在此时间尺度下，四种模型的预测结果高度一致。

接下来，我们观察 时的同类图谱（见下图）。 单步模型（POS 和 HOS）与双步模型（PTS 和 HTS）之间出现了明显差异：由于忽略了相对较快的电子热传递，单步模型预测的辐照表面附近晶格温度更高。然而，抛物型模型（POS 和 PTS）与双曲型模型（HOS 和 HTS）之间尚无明显差异。

脉冲持续时间为 100 皮秒时晶格温度随深度变化的曲线。单步模型（POS 和 HOS）预测在辐照表面附近的晶格温度更高。

当脉冲进入飞秒尺度（ ）时，这种差异变得更为显著，如下图所示。

脉冲持续时间为 100 飞秒时晶格温度随深度变化曲线。双曲型模型（HOS 和 HTS）中包含的二阶时间导数的影响开始显现。

此时，单步模型的预测结果要高出数百度，而双曲型模型因电子热传导存在有限速度，在辐照表面附近呈现出高于对应抛物型模型的温度值。

到目前为止，我们只考虑了晶格温度。若将电子温度绘制在同一坐标系（采用不同刻度），可直观展现电子温度与晶格温度的差异。结果如下方动画所示。

动画展示了 100 飞秒脉冲作用下电子温度（左）与晶格温度（右）随时间演变的分布。

接下来，为了进一步阐明包含二阶时间导数的影响，让我们比较双步模型对 条件下预测的电子温度分布。现在可以清晰地观察到热波在薄膜中传播的现象，如下图所示。需要注意的是，在该脉冲长度下，电子温度达到 了足以需要考虑辐射传热的数值，而当前模型中忽略了这一效应。

脉冲持续时间为 10 飞秒时，电子温度随深度变化的曲线图。可以观察到由HTS模型预测的热波传播现象。

最后，为了了解薄膜中热传递的动态过程，可绘制前表面（受辐照表面）与后表面温度随时间的变化曲线。但因尺度差异较大，必须将每组数据按其对应的最高温度进行归一化处理。

下图展示了脉冲持续时间为 100 飞秒时的结果。在此时间尺度下，抛物型模型与双曲型模型的差异尚可接受，但单步模型无法预测后表面温度的定性行为。 单步模型显示温度单调递增，而双步模型预测后表面温度会达到峰值——这是由于电子-晶格弛豫的过程比电子传热更缓慢所致。这些结果与参考文献 3 中的图 3 和图 4 高度吻合。

脉冲持续时间为100飞秒时，薄膜前表面与后表面归一化电子温度（双步模型）及晶格温度（单步模型）的时间演化曲线。

结论

在本篇博客中，我们通过实现四种简单而重要的非傅里叶传热模型——抛物型单步模型（POS）、双曲型单步模型（HOS）、抛物型双步模型（PTS）和双曲型双步模型（HTS）——展示了如何利用 COMSOL Multiphysics^® 模拟超快传热过程。

下一步

下载本文展示的示例模型文件：

参考文献

1. V.E. Alexopoulou and A.P. Markopoulos, “A Critical Assessment Regarding Two-Temperature Models: An Investigation of the Different Forms of Two-Temperature Models, the Various Ultrashort Pulsed Laser Models and Computational Methods,” Arch Computat Methods Eng, vol. 31, pp. 93–123, 2024. https://doi.org/10.1007/s11831-023-09974-1
2. Y. Zhang, D.Y. Tzou, and J.K. Chen, “Micro- and Nanoscale Heat Transfer in Femtosecond Laser Processing of Metals”, High-Power and Femtosecond Lasers: Properties, Materials and Applications, eds. P.H. Barret and M. Palmerm, Nova Science Publishers, Inc., Hauppauge, NY, ch. 5, pp. 159–206, 2009. https://arxiv.org/abs/1511.03566
3. T.Q. Qiu and C.L. Tien, “Heat Transfer Mechanisms During Short-Pulse Laser Heating of Metals.” ASME J. Heat Transfer, vol. 115, iss. 4, pp. 835–841, 1993. https://doi.org/10.1115/1.2911377

混合坚果、早餐麦片，以及小行星，三者看似风马牛不相及，却共享着一个令多学科研究者困惑不已的谜题 ——颗粒材料振动过程中的尺寸分离现象。这一现象俗称”巴西坚果效应”（有时也称为麦片效应），可使用 COMSOL Multiphysics^® 仿真软件及其颗粒流模块对其展开详细研究。

何为巴西坚果效应?

巴西坚果效应指的是当不同尺寸的颗粒混合物受到振动时被观察到的一种反直觉现象：在振动过程中，较大颗粒会持续向上移动，最终聚集在混合物顶部，尽管它们的质量远大于周围的小颗粒。这种看似矛盾的现象既存在于工程问题中，也常见于日常生活，例如打开一罐混合坚果时。

混合坚果是巴西坚果效应的典型展示。图片来自 Wikimedia Commons，属于公有领域。

理解这种效应背后的机制一直是一个备受关注的话题，因为它对于那些必须强化或避免颗粒按尺寸大小分离的系统具有重要的现实意义。

本文将通过剖析巴西坚果效应，揭示受扰动颗粒材料的运动规律。借助 COMSOL Multiphysics^® 6.4 版本新增的 颗粒流模块，我们得以运用离散元法对颗粒材料进行此类模拟。

使用离散元法进行颗粒流分析

离散元法（DEM）是一种通过计算系统中每个颗粒的牛顿运动定律（包括平动与转动）来追踪独立交互颗粒运动与碰撞的仿真技术。这使我们能够研究每个颗粒与其邻近颗粒及整个系统的相互作用。

离散元法能够捕捉微观碰撞与运动如何形成宏观流动模式，尤其适用于模拟颗粒材料、粉末及散装固体——这些材料中微观颗粒间的相互作用主导着宏观行为。该方法是理解颗粒流态、测试颗粒尺寸或操作条件的变化如何影响颗粒系统中质量传递的强大工具。

颗粒材料的示例图。从左上顺时针依次为：塑料球、砾石、芝麻籽和扁豆。图片来自 Wikimedia Commons，属于公有领域。

使用颗粒流模块可进行离散元法仿真，模拟粉末、颗粒或散装固体（如碎石、种子、药片等）的动力学行为。颗粒被建模为接触时会变形的柔性粒子，其位置和速度在每个时间步长中更新，同时考虑颗粒间碰撞、颗粒与壁面碰撞及外力，从而预测系统的整体运动。

模拟巴西坚果效应

让我们使用颗粒流模块模拟单个大颗粒置于小颗粒群中的情形。在一个由边长 1 米构成的正方形二维模型中，我们释放一颗直径 80 毫米的大颗粒，以及若干直径 20 毫米的小颗粒，这些颗粒以微小的、随机的初始速度分布于不同位置。

模型设置示意图。

在所有刚性边界上，均定义 y 方向正弦平移，振幅 20 毫米，周期 0.1 秒。重力方向设定为 y 轴负方向。采用Hertz-Mindlin-Deresiewicz (Hertz-MD) 接触力模型。 除 Hertz-MD 接触力模型外，颗粒流模块还支持线弹性接触力模型、Hertz-MD（含黏附）接触力模型和范德华力。为简明起见，本文省略了颗粒间以及颗粒与壁面间接触动力学细节的讨论。下方动画展示了 0 到 17 秒时长的计算结果。

大颗粒的位置（左图）及运动轨迹（右图）显示其最终上升至堆积体的顶部。

在上述模型中，由于尺寸差异，大颗粒比小颗粒重 64 倍。为进一步强调这一点，设定大颗粒密度比小颗粒大 50%，这表明大颗粒在密度更大、质量更重的情况下仍能上升。这种看似违背直觉的行为正是巴西坚果效应的典型体现。接下来，让我们深入剖析这一现象。

理解颗粒对流

我们已成功建立了巴西坚果效应模型，并通过模拟将其行为可视化。有趣的是，研究人员至今仍无法给出统一的物理与数学描述来解释该现象的驱动机制。

普遍共识认为，该现象由以下几种关键机制共同作用形成：

1. 渗透效应： 较小颗粒会渗流过颗粒群，即在振动载荷作用下落入颗粒之间的间隙中。
2. 惯性效应：较大颗粒因惯性作用及其与周边颗粒的相互作用，能够抵抗向下运动的趋势。
3. 对流气流：振动在中心区域形成上升气流，在壁面附近形成下降气流，将大颗粒向上输送。

渗透现象可视化：观察其中一颗颗粒（蓝色高亮显示）如何 “坠落” 至大颗粒下方形成的空隙中，即蓝色颗粒的质心位置相对于红色大颗粒的质心位置会随着时间的推移而“下降”。

虽然前两种机制看起来很直观，但要可视化系统中对流气流的形成过程却有些困难。让我们构建另一个模型来探究这些气流是如何形成并驱动巴西坚果效应的。

在相同的二维模型中，我们消除颗粒尺寸差异，构建由均匀尺寸颗粒（直径 20 毫米）组成的颗粒群，并进行 40 秒的瞬态计算。我们观察发现，颗粒开始形成有规律的流动循环：容器中心区域通常出现向上的流动，而容器壁面则出现向下的流动。由此我们可以直观地看到在振动颗粒系统中形成的对流流场。

通过观察若干颗粒的位置（左图，按初始高度着色）与轨迹线（右图，按时间着色），可揭示系统中形成的循环流动区域。

这种环流会形成类似于流体热对流中的 Rayleigh-Bénard 对流单元，这一现象已被一个研究团队通过磁共振成像证实（参考文献 2）。当前活跃的一个研究领域是逆巴西坚果效应，该效应会导致大颗粒下沉（参考文献 3）。由于这些机制高度依赖颗粒尺度的几何形状、碰撞及非线性摩擦相互作用，因此离散元法对捕捉其本质至关重要。颗粒流模块提供了准确模拟这些相互作用所需的功能。

关于颗粒流仿真的总结性思考

颗粒对流是一种广泛存在的现象：砂粒、谷物、粉末等离散颗粒组成的物质会产生整体运动，这种运动类似于受热流体的对流循环，尽管物质本身并非连续流体。

颗粒流模块为模拟和理解颗粒流中的复杂粒子的相互作用提供了强大的框架。在那些颗粒分离可能影响产品质量的行业中，理解颗粒对流至关重要。颗粒对流存在于多个研究领域，包括农业谷物的处理和分选（参考文献 4）、行星及其形成（参考文献 5）以及考古学（参考文献 6）。

使用 颗粒流 接口进行建模仿真时，其操作界面仍然保持与 COMSOL 相同的用户界面。

工程师和研究人员可利用颗粒流模块研究各类应用场景，包括：

• 料斗卸料
• 筒仓储存
• 斜槽输送
• 粉末铺展
• 混合过程
• 堆积密度
• 谷物压实
• 分离效应

颗粒流模块可用于模拟使用螺旋输送机（左图）输送颗粒的过程，以及在带挡板的转鼓（右图）中搅拌颗粒的过程。

颗粒流模块通过解析单个颗粒的运动，可预测搅拌效率、堵塞及流动不均等整体行为，对制药、化工、农业和采矿等行业具有重要价值。

下一步

点击下方按钮亲自尝试颗粒对流建模。请注意，使用该模型需安装 COMSOL Multiphysics^® 软件的颗粒流模块：

参考文献

1. A. Kudrolli, “Size separation in vibrated granular matter”, Reports on Progress in Physics, vol. 67, no. 3, p. 209, 2004
2. E.E. Ehrichs et al., “Granular convection observed by magnetic resonance imaging”, Science, vol. 267, no. 5204, pp. 1632–1634, 1995.
3. F. Ludewig and N. Vandewalle, “Reversing the Brazil nut effect”, The European Physical Journal E, vol. 18, no. 4, pp. 367–372, 2005.
4. S. Zhang et al., “A calibration method for contact parameters of agricultural particle mixtures inspired by the Brazil nut effect (BNE): The case of tiger nut tuber-stem-soil mixture”, Computers and Electronics in Agriculture, vol. 212, p. 108112, 2023.
5. V. Perera et al., “The spherical Brazil Nut Effect and its significance to asteroids”, Icarus, vol. 278, pp. 194–203, 2016.
6. D. Luria et al., “Identifying the Brazil nut effect in archaeological site formation processes”, Mediterranean Geoscience Reviews, vol. 2, no. 2, pp. 267–281, 2020.