在预包装食品微波加热解决方案的设计阶段，可集成无线传感器以实时评估包装内部的温度和压力，从而确保长期的微生物安全性，并减少处理后的二次污染。尽管这种方法可作为一种可靠的传统蒸煮杀菌工艺（即，将包装食品置于密闭容器内进行灭菌）的替代方案，但传感器的几何形状和布置方式可能会影响微波腔体内的电磁功率耗散。

构建 COMSOL^® 模型

为了更好地了解这些传感器可能引入的干扰，来自 GEPEA–Oniris（工艺工程-环境-农业-食品联合研究单位，法国南特国立兽医学院、食品科学与工程学院）和 CTCPA（法国农业食品技术中心）的联合团队开展了一项研究，通过模拟单模微波加热器中不同传感器位置的影响，对包装内微波加热工艺展开评估。这项研究聚焦于实验室规模的 915 MHz 微波加热工艺，研究对象为聚丙烯托盘中的 300g 土豆泥。团队在 COMSOL Multiphysics^® 软件中构建了微波设备的三维几何模型，而聚丙烯托盘的实验测量几何结构则通过自定义 STL 文件导入 COMSOL^®。

图 1. 915 MHz 单模微波装置示意图。

团队构建的模型具有很高的稳健性，充分考虑了微波装置的所有几何细节，包括波导过渡段的完整设计、阻抗匹配元件（膜片）、915 MHz 单模微波加热器以及滑动短路器。微波输入功率源通过微波天线处的同轴端口馈入，波导的所有表面，包括铜制滑动短路器，均被视为理想电导体。土豆泥的介电特性经实验测量，并假设其湿基含水率恒定为 76%。

为了避免微波与金属部件发生干扰，无线传感器使用一个尖拱形 316-L 不锈钢微波屏蔽罩包围，并放置在土豆泥样品的上表面。此外，在聚丙烯托盘顶部表面热封了一层聚丙烯薄膜以封闭系统。这些组件共同构成了一个数值模型，帮助团队获得关于包装内传感器位置的最佳布置方案，以尽可能降低其与电磁场的相互干扰。

图 2. 盛有土豆泥样品的聚丙烯托盘示意图。MW = 微波，PP = 聚丙烯，PTFE = 聚四氟乙烯。

基于仿真的洞见

团队使用 COMSOL Multiphysics^® 的附加产品——RF 模块，预测微波腔体内的电磁场，并将其与土豆泥样品内微波吸收功率相关联。在求解器设置中，首先使用边界模式分析计算从波导输出的端口 2 处的模式（见图 1）；第二步是在 915 MHz 频率下开展 频域-稳态 研究。

当托盘内未放置传感器时，仿真结果显示微波反射功率为 24%（S₁₁ = -6.16 dB），滑动短路器的最佳位置为 790 mm。随后，以 30^° 为增量，评估不同 z 轴旋转角度（从 alpha = 0^° 到 180^°）的 S₁₁（输入端口反射系数，即，端口失配的度量）随微波屏蔽罩位置变化的情况。

图 3. 四种传感器位置对土豆泥内局部微波吸收功率的影响。

结果表明，微波屏蔽罩的位置需要与微波传播方向对齐（alpha = 0^°），才能获得与无传感器食品托盘相近的 S₁₁ 参数（S₁₁≈-6 dB，RF≈25%）。当逆时针旋转 90^°，即，微波屏蔽罩位置朝向与横电平面相同的方向时，S₁₁ 参数降至 -7.8 dB。此外，将微波屏蔽罩的旋转角度从 90^° 改为 180^° 时，仿真结果表明 S₁₁ 从 -7.8 dB 变化至 -4.7 dB。这种从 90^° 到 180^° 的旋转还导致模拟的微波反射功率增加了一倍，90^° 时微波反射功率为 17%，180^° 旋转时为 33%。这些结果表明，传感器的位置至关重要，必须加以考虑，因为这些反射功率变化会影响整体微波功率效率。

团队使用便携式矢量网络分析仪（VNA）完成了数值模型的实验验证。VNA 连接在端口 1，用于根据不同操作条件评估来自负载的微波反射功率。S ₁₁ 参数用于表征天线处相对于入射微波功率的微波反射功率。总体而言，仿真结果与使用 VNA 进行的实验测量结果高度吻合。实验结果与仿真结果之间的少量差异可归因于传感器定位的细微变化，这是由于精确复现土豆泥不平整表面存在难度。

图 4. 微波屏蔽罩不同旋转角度的反射系数。

一项重要发现

这项研究带来了一项重要发现：将传感器位置与微波传播方向对齐时，微波反射系数与无传感器测试结果相近。然而，如果微波屏蔽罩位于波导的横电平面内，则可观察到微波反射功率显著降低。

测试表明，该模型还能够准确预测传感器与食品样品界面处的局部高峰值微波功率密度，这有助于进一步阐明温度与压力（T-and-P）传感器的最佳位置，不过这需要更多实验进行验证，并需要考虑食品可能存在的温度相关介电特性及其对电场分布的耦合影响。

进阶学习

如需了解有关该研究的更多信息，请阅读 GEPEA-Oniris 和 CTCPA 团队的完整论文，其中描述了团队完整的仿真方法和结果。该论文在 COMSOL 用户年会 2025 Amsterdam 上荣获最佳论文奖！

哥伦比亚大学的博士后研究员 Enrico Di Lucente 和助理教授 Michele Simoncelli 作为客座博主，探讨了如何利用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的物理场开发器，开发声子流体动力学自定义物理场接口，用以研究真实几何结构中的非扩散传热现象。

在具有超高热导率的介电材料中，热量传递往往会打破传统扩散规律的限制，表现出类似流体的行为：例如形成涡流、呈现温度波，甚至在局部区域逆着温度梯度回流。在这篇博文中，我们将介绍为 COMSOL Multiphysics^® 软件开发的声子流体动力学自定义物理场接口，并展示连续介质模型如何捕捉超越傅里叶定律的粘性传热现象。

为什么要建立超越傅里叶定律的传热模型？

长期以来，傅里叶定律一直是描述热传导的标准框架，因为它能够准确阐释常温下，毫米及更大尺度内材料和器件中的热传输过程。然而，近期的实验与理论研究表明，对于由金刚石、石墨和六方氮化硼等超高热导率、超纯材料制成的微尺度器件，傅里叶定律的模型可能会失效。

在这些系统中，声子（主要的热载体）在特定的温度范围内（可从极低温约 70 K 延伸至接近室温）会经历频繁的动量守恒碰撞。这一状态被称为 “声子流体动力学（phonon hydrodynamics）”。在此状态下，热传输呈现出集体性和类似流体的特征，并由此催生多种物理现象，例如温度波（即 “第二声”）、类泊肃叶型热流（即在通道中心流动较快，在边界处较慢）、热回流以及热涡流。

要准确捕捉这些效应，所采用的模型不能局限于标准傅里叶扩散理论模型，同时还需能够适用于真实的几何结构开展运算。这正是提出粘性热方程（VHE）（参考文献 1 和 2）并在 COMSOL Multiphysics^® 软件中实现该方程的研究出发点。

粘性热方程的由来

从更深层的物理机制来看，粘性热方程源于对线性化声子玻尔兹曼输运方程（LBTE）的系统粗粒化处理。在这一过程中，复杂的微观声子动力学被投影到一小组局部平衡场上：温度 T(r,t) 和漂移速度 u(r,t) 。产生这种漂移速度是因为：在流体动力学区间内，动量守恒的声子碰撞（即正常过程）占据了主导地位，其作用远大于导致动量弛豫的倒逆（Umklapp）过程，从而使得声子能够集体携带晶体动量。因此，热传输不再仅仅由温度梯度决定，还受到该动量场演化的影响。基于此，粘性热方程由两个耦合的方程组成：

• 关于 T(r,t) 的能量守恒方程
• 关于 u(r,t) 的动量守恒方程（其形式类似于线性化的纳维-斯托克斯方程）

关键在于，基于底层线性化声子玻尔兹曼输运方程的对称性可推导出两个输运系数：热导率（对应声子分布的奇宇称分量）和热粘度（对应声子分布的偶宇称分量）。前者用于描述扩散热流，后者表征声子流体中的动量扩散和粘性应力，能够解释热涡流、热回流以及非局部传热等现象。此外，该框架能够在不同的物理区间内实现自然过渡：当动量被强烈耗散时，它会退化为傅里叶定律；在极限情况下，它也能还原为 Guyer-Krumhansl 方程和双相滞后方程等之前提出的流体动力学模型。同时，该框架完全适用于具有复杂声子色散关系的真实材料。

从微观理论到连续介质模型

在微观层面，声子输运由玻尔兹曼输运方程来描述。尽管该方程具有极高的预测能力，但在复杂几何结构中求解的计算成本极其高昂，因此并不适合用于器件尺度的建模。

粘性热方程提供了一种介观尺度的替代方案。它通过引入一个额外的物理场——声子漂移速度，对傅里叶定律进行了扩展。从这个意义上讲，粘性热方程相当于经典层流流体线性纳维-斯托克斯方程在量子声子流体中的对应形式。在该框架下，温度的演化与声子的动量守恒方程相耦合，使得模型能够在扩散区间和流体动力学区间之间实现自然过渡。

该方法的一个核心优势在于：所有的材料参数（如热导率、粘度和弛豫速率等）均通过第一性原理计算，求解一次线性化玻尔兹曼输运方程即可确定。随后，这些参数被代入连续介质模型中，从而能够在不牺牲物理保真度的前提下，对任意几何结构进行高效模拟，同时完整保留了量子力学和第一性原理（ab initio）的精度。

实现声子流体动力学的粘性热方程

为了让这一框架更易于使用，我们利用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的“物理场开发器”功能，开发了一个自定义物理场接口。安装完成后，该接口将以 粘性热方程（VHE）的形式显示。

该接口的功能：

• 温度-速度耦合传热公式
• 稳态与瞬态仿真
• 适配流体热流的边界条件
• 适用于复杂几何结构与介观尺度器件

安装接口

安装流程遵循物理场开发器的标准操作步骤：

• 在 COMSOL 首选项设置中启用物理场开发器
• 导入开发器文件
• 从 我的物理场接口 中添加 粘性热方程（VHE）接口

点击展开下方板块，获取安装该接口的分步操作说明。

展开或折叠本栏…

示例 1：傅里叶扩散与流体动力学热流的对比

为了直观地展示扩散传热与粘性传热之间的定性差异，我们考虑一个简单的双矩形几何结构。在主区域内施加垂直温度梯度，较小的侧边区域则与之横向连通。

根据傅里叶定律，热量直接从高温区流向低温区，形成平滑的等温线。而当采用粘性热方程时，则会呈现出截然不同的物理现像：热量在较小的区域内发生再循环，形成类似涡流的结构，并产生微小但确切的热回流现象。下图展示了分别使用傅里叶定律（左）和粘性热方程（右）得到的稳态温度分布对比，清晰地呈现了流体动力学的再循环与热回流效应。

示例 2：不可压缩极限下的热涡流

在粘性热方程的不可压缩流动极限下，热传输的流体动力学本质变得更加清晰。在该区间内，声子漂移速度的散度为零，热传输主要由动量流主导，而非扩散作用。

模拟结果显示，稳态热涡流会自发形成（参考文献 3）——这种现象在纯扩散模型中是完全不存在的。

下图展示了扩散区间（上）与不可压缩流体动力学极限（下）的稳态温度分布，重点突出了涡流的形成与热回流现象（参考文献 3）。

瞬态模拟：运动中的流体动力学热流

该接口同样支持完整的瞬态模拟。通过施加瞬态边界条件（例如振荡的漂移速度或交变的温度梯度），我们可以观察到热涡流随时间推移的形成、运动以及反转过程。

这些模拟结果表明，热量的表现与受驱动的粘性流体十分相似，会对外界作用力产生动态响应。

为什么这个接口很重要

该接口在微观输运理论与连续介质建模之间架起了一座实用的桥梁。它使得在全微观方法无法触及的真实几何结构中，探索非扩散传热成为可能。

通过在 COMSOL Multiphysics^® 中实现流体动力学热传输，该接口为研究下一代材料与器件中的热现象开辟了全新的可能性。

如需了解更多关于该接口的信息并进行下载，请访问其应用交流页面：声子流体动力学接口。

关于客座作者

Enrico Di Lucente 是纽约哥伦比亚大学应用物理与应用数学系的博士后研究员，同时在材料科学与工程系拥有联合任命。他于 2025 年 12 月加入 Michele Simoncelli 教授的研究组，此前他刚刚在瑞士洛桑联邦理工学院（EPFL）的理论与材料模拟（THEOS）课题组完成博士学位，导师为 Nicola Marzari 教授。他的博士论文题目为 Theoretical and Computational Advances in Quantum and Hydrodynamic Thermal Transport。

他的研究方向为超越傅里叶定律的热输运、声子流体动力学，以及凝聚态物质中热输运和其他基本激发、耦合激发（从磁振子到光与物质相互作用）的第一性原理建模。他的工作致力于在微观输运理论与连续介质建模之间架起桥梁，旨在实现对真实材料与器件几何结构中非扩散热输运的预测性模拟；同时为实验研究提供指导，以设计能够探测非标准量子输运现象的创新器件。这些研究在电子学、储能、聚变屏蔽、自旋电子学和高超音速等新兴技术领域具有潜在的应用价值。他更广泛的研究兴趣还包括凝聚态物理、计算物理、量子输运和磁性。

自 2025 年 1 月起担任哥伦比亚大学应用物理与应用数学系助理教授，其研究团队致力于建立理论与计算框架，以理解、定量描述并控制材料中涉及电荷、热、光和自旋等的量子输运现象，探究它们之间可能存在的协同或制衡关系，以及相关的宏观特征。在加入哥伦比亚大学之前，他曾在剑桥大学物理系担任 Crone 研究研究员（2021-2024 年）。任职期间，他围绕基础量子理论与计算方法开展研究，以描述在具有可控原子无序度（例如化学成分、键网络拓扑结构或几何构型）的材料中，晶体-玻璃复合特性的涌现机制。他于 2021 年在 Nicola Marzari 教授的指导下获得瑞士洛桑联邦理工学院（EPFL）博士学位，其博士论文提出了固体热输运的新型微观与介观理论：即推广了半经典佩尔斯-玻尔兹曼方程的维格纳输运方程，以及傅里叶定律的粘性热方程。

致谢

这款自定义物理场接口的开发及其相关基础理论研究工作，得益于与 Zhiyi Wang（Grenoble Alpes 大学；洛桑联邦理工学院 THEOS 课题组）、Nicola Marzari 教授（洛桑联邦理工学院 THEOS 课题组；剑桥大学卡文迪许实验室凝聚态理论组）的深入交流探讨与合作。

参考文献

1. M. Simoncelli, N. Marzari, and A. Cepellotti, Generalization of Fourier’s law into viscous heat equations, Physical Review X 10, 011019 (2020); https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.011019
2. Dragašević, B. Rajkov, and M. Simoncelli, Viscous heat backflow and temperature resonances in extreme thermal conductors. Physical Review Letters 136, 186302 (2026); https://doi.org/10.1103/nbbn-56hr
3. Di Lucente, F. Libbi, and N. Marzari, Vortices and backflow in hydrodynamic heat transport, Physical Review Letters 136(5), 056307 (2026); https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/g9dx-hjyn

在使用 COMSOL Multiphysics^® 这类仿真软件时，长期存在一项难题：如何高效导入并转换来自其他来源的数据。初次接手这类工作时，你或许会手动完成数据转换。但这类工作的数据量往往会不断增加，甚至你可能需要反复处理同一类数据。在本篇博文中，我们将介绍如何将人工智能（AI）工具与 COMSOL^® 软件结合使用，帮助你将这些数据转换方法转化为一套可重复调用的工作流。

理解数据传输的痛点

我们经常会遇到这样的问题：如何将不同格式的数据导入 COMSOL^® 中？这类数据通常存储在文本文件中，且文件格式可能并不常见，没有现成的转换工具可用。我们的客户通常十分熟悉这类文件格式，而我们则精通如何在 COMSOL^® 中调用这类数据。在这种场情况下，AI工具就能大显身手了——AI能够大幅降低搭建数据转换工作流所需的工作量。接下来，我们结合一个具体的应用场景展开详细说明。

一个具体的应用示例

假设现在有一个文本文件，内容为一个集总热模型的相关说明。集总模型与你在 COMSOL Multiphysics® 中熟悉的有限元模型有所不同。集总模型使用代表材料体积的节点，每个体积的密度和比热容均为已知参数，因此每个节点都对应着一个热质量。节点的温度会因施加热载荷而升高，节点之间可以通过传导 或 辐射 进行热量交换，其计算依据是两个节点之间的温差。此外，我们还可以设定恒温节点，这类节点被称为热沉。为了让这个概念更具体，我们来构建一个非常简单的太空卫星的集总模型。

我们将要处理的卫星模型如下图所示。它是一个箱体结构，两侧各伸出一块太阳能电池板。箱体的六个面和两块太阳能电池板各自用一个热节点来表示。箱体的相邻面之间存在传导热通量，箱体侧面与太阳能电池板之间存在辐射热通量。同时，所有的面都会向太空产生辐射热通量。该模型的目标是从一个初始温度出发，计算温度随时间的变化。本次分析将假设太阳和行星的热载荷忽略不计（例如地球同步卫星进入阴影期时），仅考虑单个节点上加热器产生的热载荷。

一张卫星八节点集总热模型的原理图。图中展示了箱体各节点之间的热传导，以及所有节点向深空产生的热辐射。

这类集总模型非常常见，而且业界用来表示它们的文件格式也五花八门。为了让我们的示例不受文件格式的限制，我们将生成一个逻辑思路与各类格式相近（语法细节可能不完全一致）的文件。正如我们接下来会看到的，具体的语法其实并不是重点。下文展示了该示例文件中的一段节选内容：

TSINK, 99, 2.7 # Thermal Sink 99
NODE, 10, 300, 12150 # Node 10
…
NODE, 80, 300, 3220 # Node 80
LOAD, 60, 750 # Load on node 60
CON, 1020, 10, 20, 0.71 # Conductor 10 - 20
…
CON, 5020, 50, 20, 0.71 # Conductor 50 - 20
RAD, 2070, 20, 70, 8.9e-9 # Radiation 20 - 70
…
RAD, 8099, 80, 99, 1.8e-7 # Radiation 80 - 99

这个文件中包含五种类型的数据：TSINK, NODE, LOAD, CON, 和 RAD.。它们分别代表热沉、带质量的热节点、特定节点上的热载荷、节点之间的热传导，以及节点之间或节点与热沉之间的热辐射。符号 # 后面的内容属于注释。如果你熟悉同类文件格式，从计算机科学的角度来说，可以把上述格式看作是一种全新的“语法方言（dialect）”。

再借用几个计算机科学的术语，这个文件中的信息实际上描述了一个“连通图（connected graph）”，其中描述传导和辐射的记录就是 节点 之间的 边。这非常有用，因为 AI 工具非常擅长处理这类数据结构。我们先记住这一点，接下来，我们把注意力转向如何将这些数据导入到 COMSOL^® 中。

COMSOL 中的等效实现

尽管 COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品——传热模块中确实内置了 集总热系统 物理场接口，但对于规模较大的模型，我们需要一种计算成本更低的方法。要表达上述数据，最简便的等效方法是使用 全局方程 接口。由于待导入数据对应的是一个三维结构，而输入文件并未提供关于几何形状和尺寸的足够信息，因此采用抽象格式来搭建模型。

全局方程 接口可将连通图的图形网络转化为一个耦合的常微分方程组，方程形式如下：

 
这些方程可以在用户界面中进行设置，具体如下图所示。此外，我们还可以通过 保存到文件 和 从文件加载 按钮，将这一整套全局方程导出或导入。

截图展示了如何设置一组常微分方程。请注意图中的 保存 和 加载 按钮。

我们这里想要复现的模型包含9组节点与热沉的数据条目，这些内容由手动整理输入。尽管流程略显繁复，但鉴于其仅需一次性操作，投入相应的时间成本仍是值得的。需要注意的是，原始文件是基于预设的单位编写的，因此所有的方程都进行了无量纲化处理。在将这些内容输入到软件界面，模型导出保存为了一个文本文件。截取的其中几行内容如下所示：

NODE10 12150*d(NODE10,t)[s]-((0.71*(NODE20-NODE10)+0.71*(NODE30-NODE10)+0.71*(NODE40-NODE10)+0.71*(NODE50-NODE10))+(4.5e-8*(TSINK99^4-NODE10^4))) 300 0 "Node 10"
...
NODE60 12150*d(NODE60,t)[s]-((750)+(0.71*(NODE20-NODE60)+0.71*(NODE30-NODE60)+0.71*(NODE40-NODE60)+0.71*(NODE50-NODE60))+(4.5e-8*(TSINK99^4-NODE60^4))) 300 0 "Node 60"
...
TSINK99 TSINK99-2.7 2.7 0 "Thermal Sink 99"

借助 AI 打造数据转换器

至此，我们对这两个文件应该已经有了充分的了解。同时我们也清楚，如果一个文件里包含成百上千甚至更多的条目，就必须引入一定程度的自动化处理方法。但有一点可能不太容易察觉：我们实际上是在将图数据从“边列表（edge-list）”表示形式，转换为可利用数据稀疏特性的“关联列表（incidence-list）”表示形式。了解计算机科学的读者会明白，要手动编写这种转换算法绝非易事。

幸运的是，这类工作正是 AI 能够帮助我们实现自动化的。需要澄清的是，我们并不是让 AI 直接去执行数据转换，而是让 AI 为我们编写一个通用的转换工具。那么，我们具体需要提出什么要求？又该如何向 AI 下达指令为我们写出这个转换程序呢？

其实，这两个文本文件中已经包含了我们所需的几乎所有数据。我们要做的，仅仅是将它们上传到选定的 AI 工具中，并输入类似下面这样的提示词：

Here is a file that contains nodes and sinks, representing nodes on a graph network. The connections between the nodes are defined by CON and RAD lines. Everything after a # is a comment. I need to convert the first file into the format of the second file. Please write out the transformation rules between them.

本示例中使用的是 ChatGPT。大约一分钟后，它就给出了一份完整且通俗易懂的转换步骤说明。最让我印象深刻的是，这款 AI 工具不仅识别出该文件描述的是一个热学问题，还准确判断出了其中非线性辐射项的物理性质。

ChatGPT 输出内容节选。

在仔细审阅了这份输出后，我确信这款工具已经完全理解了任务需求。要知道，输入文件使用的是一种描述集总热模型的、独特且未公开说明的“方言”。我只需要再做一步：要求 AI 生成一段我可以独立运行的代码。为此，我又输入了这样一条提示词：


Please write a monolithic piece of Java code that I can use in COMSOL's Method Editor to convert any file of the original type into this format.


我之所以要求生成 Java 代码，是因为我想完全在 COMSOL Multiphysics^® 中运行这段程序。正如 ChatGPT 能毫不费力地理解输入文件中独特的“方言”一样，它在使用我指定的编程语言编写代码时也同样游刃有余。

最终生成的代码长达数百行，这里就不进行展示了。不过，我大致审阅了一下，发现 ChatGPT 为了提高可读性添加了注释，甚至还加入了错误检查机制——如果输入了无效文件，程序会给出明确的报错信息。这段代码编译和运行都非常顺利，我还通过生成结果进行了初步校验。

通常来说，对转换代码进行核验和确认是非常重要的，具体的方法取决于数据的呈现形式。有时，仅对少量样本进行直观的抽样检查便足够；但在另一些场景下，则可能需要采取更严谨的校验方式。其中一种有效的方法是额外编写一个“逆向转换器（back-converter）”，本质上就是对数据做双向转换，并验证转换后的数据是否仍与原始数据一致。同样，我们也可以借助 AI 来完成这一步。

由输入文件计算得出的输出示例。

到这一步，有些读者可能会问：为什么不干脆把这个转换器直接集成到 COMSOL 产品中呢？我需要着重说明，本文介绍的示例仅仅是一个采用独特“方言”编写的简易热网络文件。而在实际应用中，集总热模型文件可能会包含更多种类的数据记录，需要由多个文件组合而成，甚至还会包含用于实现特定恒温控制算法的自定义代码。如果要开发一款通用的转换程序，需要处理大量极端边界情况，而这些情况几乎不会同时出现在同一个文件内。除此之外，简单的一对一格式转换往往不是最佳选择。有时候我们需要退一步，先去梳理和深入理解原始文件创建者的具体建模意图。对于这类热网络模型来说尤其如此，不过这就是另一个话题了。

关于文件转换与 AI 应用的几点思考

这里，我们有必要再次强调，完成整套流程其实并没有耗费太多精力。我们本身已经有了示例输入文件。虽然确实花费了一些时间研究如何在 COMSOL^® 中合理搭建模型、生成标准语法，但和 AI 工具的交互过程十分简单：只需上传两个文件、输入两条提示词，生成的代码就能直接适用于所有同格式文件。全程与 AI 工具的总交互时长不过短短几分钟。

如果你也需要处理此类结构化数据或文件的转换，可以很快掌握这套工作流程。如果需要加入更多功能怎么办？只需在示例输入和输出中再补充几行内容，然后重新向 AI 工具发送提示词即可。那如果你想把其他数据自动导入 COMSOL 呢？比如，公司可能有一个自定义格式的大型专有材料数据库需要导入。你完全可以利用这套流程来编写转换程序。请记住，你无需向 AI 工具上传专有的原始数据，只需提供数据格式即可。最终你将得到一套完整的转换算法和源代码。

从更宏观的角度来看，正如我们在之前的 COMSOL 博客中讨论过的那样，AI 工具正在持续快速迭代。对于 COMSOL 用户需要解决的各类问题，这些能力正变得日益实用。

最后，我想向大家展示一次最终提示词的运行结果。在这条提示词中，我要求 AI 画出它对该文件所代表的硬件设备的理解。结果如下所示。虽然目前的呈现效果还不算完美，但我几个月后一定会再来回顾，看看它又有了怎样的进步。

AI 对全局方程的解读。

下一步

你会如何利用这套工作流程来辅助你的 COMSOL 建模和仿真工作？欢迎在下方留言分享，或与我们联系！

超快脉冲激光技术的进步使得对极短时间尺度上的热传递的理解变得尤为重要。 在亚纳秒尺度下，传统的传热方程失效，必须采用更精细的模型，例如双曲线传热方程和双温度模型。本文，我们将简要回顾最常用的非傅里叶传热模型的相关理论，并探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 软件中实现这些模型。

重新审视传热方程

首先，我们将简要回顾科学工程领域最常见的偏微分方程之一：固体传热方程。其起点是能量方程，或者说是温度连续性方程 ：

其中 为体积热容， 为热通量， 为体积热源。

该方程本质上是能量守恒表达，因此无论时空尺度如何变化都必须成立。为获得 的闭合形式偏微分方程，需先确定 的表达式。最简单直观的选择是傅里叶定律，该定律指出热通量与温度梯度成正比：

其中比例常数 称为热导率。将其代入连续性方程即可得到经典的热传导方程：

这是一个抛物型偏微分方程，故称为抛物型单步（POS）模型。（”单步”的含义将在本文后续内容中阐明。）

通过考察半无限介质域（ ）可深入了解该方程的特性：当 表面温度保持为 ，而域内其余区域初始温度为 时，该问题存在如下解析解：

其中， 为介质的热扩散率， 表示误差函数。该解的动画演示见下图。由上述表达式可知，边界条件 的影响会立即传递至整个区域，这违反了狭义相对论。此现象源于推导该方程时采用的强假设——傅里叶定律。

尽管名为傅里叶定律，其实质是一种唯象关系，其从第一性原理的严谨推导涉及多重近似。但需注意的是：在常规的时间与长度尺度下，能量的空间传输速度足够快，可视为瞬时过程，因此对于大多数工程应用而言，热方程的这一缺陷在多数工程应用中可安全地忽略不计。

热方程解在简单半无限域中的时域演化动画。

超越傅里叶定律

当我们转向更短的时间尺度时，无法再像前文所述那样假设能量的空间传输是瞬时的。此外，还必须考虑电子与晶格之间能量传递的有限速度。下文将阐明前者如何导致双曲型热传导，后者又如何催生双温模型（参考文献1）。

双曲型传热

我们不再假设热通量能瞬时响应温度梯度，而是提出如下”滞后型”傅里叶定律：

滞后时间 应与电子弛豫时间（即电子平均自由时间）相对应。如果滞后时间足够短时，上述表达式可展开为泰勒级数：

该表达式被称为 Cattaneo–Vernotte 模型（参考文献2）。将其代入连续性方程（在对后者进行时间微分后）可得到双曲型一步（HOS）模型：

该双曲型偏微分方程与波动方程相似，而且正如我们将在下文进行阐述的，热传导的有限速度确实会导致”热波”现象的出现。

双温度模型

若摒弃电子与晶格始终处于局部热平衡的这一假设，则需引入两个独立的温度场（晶格温度 与电子温度 ）及其耦合关系项 。初始阶段，激光能量被电子吸收导致 急剧上升（步骤1），随后与 发生耦合（步骤2）。 在亚纳秒时间尺度下，热量通过晶格的扩散相对于电子输运可忽略不计，因此最终得到以下控制方程：

该模型称为抛物型双步（PTS）模型。虽然可消去 以获得 的闭合形式偏微分方程，但会产生繁琐的交叉项。保留这种耦合的偏微分方程与域常微分方程的形式更为便捷。电子-晶格耦合参数 的估计，可通过对所有可能跃迁的电子-声子能量交换率进行积分获得（参考文献3）。

若考虑电子热能传播的有限速度，可进一步建立双曲型双步（HTS）模型。与上述模型类似，当忽略晶格扩散时，该模型可表示为：

进一步推广

为获得精确结果，我们可能还需要考虑以下若干附加效应，例如：

• 除热通量外，引入温度滞后时间，由此形成双相位滞后（DPL）模型
• 在上述双温度模型中纳入晶格扩散效应，由此衍生出双抛物型双步模型（DPTS）与双曲型双步（DHTS）模型
• 采用双温度漂移-扩散型公式显式建模载流子动力学，即半经典双步（STS）模型
• 考虑辐射传热效应

虽然这超出了本文的讨论范围，但对于许多应用而言，考虑超快加热过程中可能发生的更复杂的过程（如烧蚀和熔化）至关重要。

在 COMSOL Multiphysics^® 中实现非傅里叶传热

默认情况下， COMSOL Multiphysics^® 的传热接口仅支持 POS 模型，但借助偏微分方程（PDE）和常微分方程（ODE）接口，可在软件中轻松实现双曲型热传导与双温度模型。

以示例问题为例：考虑一层厚度为200 nm 的金膜，受到一个激光脉冲的照射，其吸收的激光脉冲通量 （此处假设与其电子温度和晶格温度无关），脉冲具有高斯时间分布，脉宽 和 。 包含激光波长信息，因其同时取决于薄膜反射率。 我们还假设光束半径远大于其穿透深度 ，从而使问题简化为一维模型。因此，由该脉冲产生的体积热源可表示为（参考文献1）：

前置因子确保了总吸收脉冲能量的正确归一化。该脉冲中心位于 ，故模拟起始点设为 以捕捉完整的脉冲。我们采用参考文献3中报道的金的材料参数，并假设其保持恒定。

双曲型传热

为在 HOS 模型中包含时间的二阶导数项，需要使用 一般形式偏微分方程 接口。相关设置如下所示。

在 COMSOL Multiphysics^® 中实现 HOS 模型。为了包含二阶时间导数项，需使用一般形式偏微分方程接口。

双温度模型

为了实现 PTS 模型，可以使用预定义的传热 接口模拟电子温度。由于该模型忽略晶格扩散，仅需一个域常微分方程即可求解晶格温度。所需设置如下图所示。

在 COMSOL Multiphysics^® 中实现 PTS 模型。对于电子温度（左侧），可使用默认的传热接口，并添加因耦合引起的额外源项；对于晶格温度（右侧），则使用分布式常微分方程接口，并将耦合项指定为源项。

与上述设置类似，我们也可以通过替换电子温度的传热 接口为一般形式偏微分方程 接口来实现HTS模型。需要注意的是：本模型中热导率被视为恒定标量，但传热 接口与一般形式偏微分方程 接口均支持例如温度依赖的系数，以及用于模拟各向异性传热的张量形式。

结果与讨论

让我们首先来看下 时的计算结果。下图展示了辐照后晶格温度的空间分布。可以看到，在该脉冲持续时间下，正如预期的那样，不同建模方案的结果基本一致。

脉冲持续时间为 1 纳秒时晶格温度随深度变化的曲线。在此时间尺度下，四种模型的预测结果高度一致。

接下来，我们观察 时的同类图谱（见下图）。 单步模型（POS 和 HOS）与双步模型（PTS 和 HTS）之间出现了明显差异：由于忽略了相对较快的电子热传递，单步模型预测的辐照表面附近晶格温度更高。然而，抛物型模型（POS 和 PTS）与双曲型模型（HOS 和 HTS）之间尚无明显差异。

脉冲持续时间为 100 皮秒时晶格温度随深度变化的曲线。单步模型（POS 和 HOS）预测在辐照表面附近的晶格温度更高。

当脉冲进入飞秒尺度（ ）时，这种差异变得更为显著，如下图所示。

脉冲持续时间为 100 飞秒时晶格温度随深度变化曲线。双曲型模型（HOS 和 HTS）中包含的二阶时间导数的影响开始显现。

此时，单步模型的预测结果要高出数百度，而双曲型模型因电子热传导存在有限速度，在辐照表面附近呈现出高于对应抛物型模型的温度值。

到目前为止，我们只考虑了晶格温度。若将电子温度绘制在同一坐标系（采用不同刻度），可直观展现电子温度与晶格温度的差异。结果如下方动画所示。

动画展示了 100 飞秒脉冲作用下电子温度（左）与晶格温度（右）随时间演变的分布。

接下来，为了进一步阐明包含二阶时间导数的影响，让我们比较双步模型对 条件下预测的电子温度分布。现在可以清晰地观察到热波在薄膜中传播的现象，如下图所示。需要注意的是，在该脉冲长度下，电子温度达到 了足以需要考虑辐射传热的数值，而当前模型中忽略了这一效应。

脉冲持续时间为 10 飞秒时，电子温度随深度变化的曲线图。可以观察到由HTS模型预测的热波传播现象。

最后，为了了解薄膜中热传递的动态过程，可绘制前表面（受辐照表面）与后表面温度随时间的变化曲线。但因尺度差异较大，必须将每组数据按其对应的最高温度进行归一化处理。

下图展示了脉冲持续时间为 100 飞秒时的结果。在此时间尺度下，抛物型模型与双曲型模型的差异尚可接受，但单步模型无法预测后表面温度的定性行为。 单步模型显示温度单调递增，而双步模型预测后表面温度会达到峰值——这是由于电子-晶格弛豫的过程比电子传热更缓慢所致。这些结果与参考文献 3 中的图 3 和图 4 高度吻合。

脉冲持续时间为100飞秒时，薄膜前表面与后表面归一化电子温度（双步模型）及晶格温度（单步模型）的时间演化曲线。

结论

在本篇博客中，我们通过实现四种简单而重要的非傅里叶传热模型——抛物型单步模型（POS）、双曲型单步模型（HOS）、抛物型双步模型（PTS）和双曲型双步模型（HTS）——展示了如何利用 COMSOL Multiphysics^® 模拟超快传热过程。

下一步

下载本文展示的示例模型文件：

参考文献

1. V.E. Alexopoulou and A.P. Markopoulos, “A Critical Assessment Regarding Two-Temperature Models: An Investigation of the Different Forms of Two-Temperature Models, the Various Ultrashort Pulsed Laser Models and Computational Methods,” Arch Computat Methods Eng, vol. 31, pp. 93–123, 2024. https://doi.org/10.1007/s11831-023-09974-1
2. Y. Zhang, D.Y. Tzou, and J.K. Chen, “Micro- and Nanoscale Heat Transfer in Femtosecond Laser Processing of Metals”, High-Power and Femtosecond Lasers: Properties, Materials and Applications, eds. P.H. Barret and M. Palmerm, Nova Science Publishers, Inc., Hauppauge, NY, ch. 5, pp. 159–206, 2009. https://arxiv.org/abs/1511.03566
3. T.Q. Qiu and C.L. Tien, “Heat Transfer Mechanisms During Short-Pulse Laser Heating of Metals.” ASME J. Heat Transfer, vol. 115, iss. 4, pp. 835–841, 1993. https://doi.org/10.1115/1.2911377

COMSOL Multiphysics^® 软件 6.4 版本扩展了传热模块的表面对表面辐射 功能，在使用射线发射 法时，除镜面反射外还加入了镜面折射。这对于解决涉及准直辐射源（如太阳辐射或激光光源）的辐射传热问题尤为有效。 本文，我们将深入探讨软件中的这些功能及其相关特性。

背景：折射光与折射仿真

首先，让我们来看一个你可能在博物馆里见过的装置：放置在桌面上的形状各异的透明玻璃片与曲面镜，平行光束与之相互作用。 玻璃的折射率高于空气，因此光线穿越这些部件边界时会遵循斯涅尔定律发生偏折，而反射与折射辐射的强度则由菲涅尔方程给出。当光线入射到镜面时，会发生镜面反射。光线折射穿过玻璃元件时，也会照亮桌面——尤其当光线聚焦时效果更为显著。

桌面上放着两个光学元件：一个凸透镜和一个曲面反射镜。一个准直光源以小角度通过一侧的开口处照射桌面及光学元件。

假设我们需要计算入射光导致的桌面温度分布。从概念上讲，该建模问题包含两个部分：

1. 计算入射辐照度
2. 计算所有发射表面与吸收表面间的温升及辐射传递

我们进行如此划分是因为入射辐照度不受解的影响。即假设光源（遥远的太阳或激光光源）不会受到桌面温度的影响。

此外，这类问题通常具有以下特征：外部光源（太阳或激光）的辐射波长与受热部件发出的热辐射波长存在显著差异。即短波红外线或可见光照射结构时，会通过玻璃光学元件折射而不直接加热元件，而其他不透明物体发出的热辐射则主要为长波辐射。 由于玻璃在这些长波波长下通常呈不透明状态，因此会直接吸收这种长波热辐射而被加热。这意味着我们应采用所谓的多波段模型，即在多个（通常是两个）不同波段上计算热辐射。

我们可以使用射线发射 法来建立并求解此类问题。该方法结合了用于计算外部辐射源热负荷的正向射线发射 法，以及用于计算各表面所受周边表面辐射负荷的反向射线发射 法。该方法支持多波段辐射计算，可考虑镜面反射效应，并且从 COMSOL 6.4 版本开始，还可处理介质界面处的镜面折射现象。 为简化概念，我们将使用两个不同的表面对表面辐射 接口处理这两种波段：一个专门用于计算来自外部辐射源的辐射加热，另一个用于计算室温下物体之间的再辐射。

首先，我们观察下模型结果。然后再逐步说明模型的设置。如下图所示，桌面温度在两个点达到峰值：

1. 入射光经透镜聚焦处
2. 反射镜面聚焦光线处

尽管透镜和反射镜均直接承受光源照射，但二者均未出现显著升温。

光线穿透孔径产生的温度分布。透镜与反射镜面聚焦处产生热点。

在 COMSOL Multiphysics^® 中建立模型

构建模型从几何结构开始，由多个对象构成：一个带有凸出侧边的木质桌面，其中一侧开有一个矩形孔洞。另构建两个玻璃对象：一个凸透镜，另一个是背面镀有反射层的曲面玻璃件。

模型中使用了三个物理场接口： 固体传热 接口处理热传导， 外部辐射源产生的热通量则被作为热负荷进行建模。

模型中包含了三个物理场接口：首先， 固体传热 接口用于在所有域内求解桌面与玻璃材料内的热传导；其次，所有暴露在空气中的边界均采用 表面对表面辐射 接口处理中长红外波段的辐射传热，并通过 表面对表面辐射传热多物理场接口的耦合功能与固体传热 接口相耦合。 需注意，玻璃虽然对人眼来说是透明的，但在较长波长下实际为很好的吸收体（因此也是很好的辐射体）。

最后，还有另一个表面对表面辐射接口。该接口被分配至所有固体部件的暴露边界，以及玻璃与桌面的界面。此接口专用于计算来自外部辐射源（太阳）的入射热通量，假设该辐射属于短波长范围。辐射源本身通过外部辐射源 特征进行定义，该功能指定了辐射通量和方向。 计算得到的沉积热量随后作为边界热通量添加至固体传热 接口中。

桌面被建模为一组漫反射表面。

关于辐射模型的设置，木质桌面的大部分边界被定义为漫反射且高吸收性，发射率为 0.85。然而，面向入射太阳辐射的开口表面发射率为 0.05，这意味着它们对入射光具有漫反射特性。

使用 不透明表面 特征对玻璃部件的表面进行建模，意味着这些表面既作为镜面反射体，也作为漫反射辐射体。

不透明度 特征应用于计算外部辐照度的接口中，需与折射域表面的折射界面特征结合使用。

在红外波段辐射接口中，玻璃边界被建模为不透明表面，其发射率为 0.9，漫反射率为 0，这意味着它们的镜面反射率为 0.1。这种建模方式很好地近似了玻璃在较长波长下的热行为。 另一方面，在计算太阳辐射的接口中，玻璃区域被建模为完全透明的，但其折射率由不透明度 特征定义。 自软件 6.4 版本起，新增了透明介质折射率设置用于定义域的折射率。几何模型之外的空域默认折射率为 1。在玻璃与空气交界处，应用折射界面 边界条件，通过菲涅尔方程计算反射与折射效应。

最后，曲面玻璃背面的镜面通过接口中的镜面反射 功能建模，用于求解入射光。该镜面在红外波段未建模，因其在该波段不可见。

在求解过程中，可采用自适应网格细化对加热区域生成更精细的网格。除温度场外，外部辐照度与外部热源的沉积热量等其他有用的可视化结果同样具有重要的参考价值。

温度变化显著区域的自适应网格细化示意图。

结语

本文，我们展示了如何使用传热模块的功能实现对玻璃等折射材料的辐射进行建模仿真，这些材料在光学波长范围内被视为无损耗介质。但需要注意玻璃在较长波长下具有高损耗特性。 我们已经了解到，有一种解决方案是使用两个不同的表面对表面辐射 接口：一个用于短波长辐照，另一个用于环境温度下表面对表面的辐射传热。这两个接口均采用了射线发射 法。

同样值得一提的是，这项新功能与射线光学模块的功能存在差异：后者可追踪光源穿过光学系统的路径，并计算其在表面及域上的沉积热量。 传热模块的射线发射功能同样基于菲涅尔折射和反射定律，但采用所有偏振方向的平均处理方式；而射线光学模块则会额外计算并存储光线的偏振态。射线发射 功能经过了简化，仅适用于折射率恒定且无损耗的域。相较于射线追踪法，射线发射法具有显著的计算效率优势，因为它仅计算射线路径而不存储数据。在实际应用中，该方法既可以计算入射辐射，也能计算系统自身发射的辐射，这对于高保真热辐射仿真至关重要。

另一方面，射线光学模块的射线追踪法仅从指定的光源发射射线。它会计算并存储射线及其强度、偏振、功率和光程等参数。这些量对于基于光程的计算是必不可少的，例如干涉图、光斑图和像差。因此，射线光学模块适用于需要对光学系统性能进行模拟的用户。

两种方法可在单个模型中结合使用：先采用射线发射法计算辐射加热、随时间变化的温度分布以及由此产生的结构变形。再通过射线光学模块计算光学性能。此工作流程对于那些关注设备的结构-热-光学性能（STOP）建模的用户尤为实用，特别是针对设备在瞬态工作状态下的分析。

下一步

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闭环地热换热系统利用电力和地埋管换热器从地下提取和释放能量，为建筑物供暖和制冷。使用地热供暖有助于减少碳排放，尤其是在电力来源为可再生能源的情况下。Renewable Energy 杂志上发表的一篇论文（参考文献 1）探讨了地源热泵系统中倾斜式地埋管换热器的优点。该论文的主要作者 Daniel Deacon 是一位地热交换专家和地热工程师，他向我们讲述了他是如何在这项研究工作中使用多物理场仿真的。

远离天然气

全球都在关注气候危机和减少化石燃料的使用，这促使能源行业开始寻求为建筑物供暖和制冷的替代方法，重点是减少天然气的使用并降低碳排放。使用非碳能源（如地源热泵）供暖是一种可行的替代方案，因为这些能源结合了电能和热能，而非纯粹的电能。地源热泵，或称为地埋管换热器（Borehole Heat Exchangers ），利用的是地下数百米处相对稳定的温度场。地热能源是一种比天然气丰富得多的资源。

地埋管换热器可作为大型地热系统中的关键驱动部件。它们是由高密度聚乙烯制成的大型管道，嵌入在灌浆柱中。它们采用一个闭环系统，流体在钻孔内的管道中循环，以便在地下和建筑物之间传递热量（图 1）。流体从地下几百米的土壤和岩石中提取热量。然后，这些能量被输送到热泵装置，热泵装置利用这些能量，将流体分配到整个建筑物的机械系统中。当建筑物冷却时，能量会被释放回地下。Deacon 将这一过程称为 “能量平衡”。将多个地埋管换热器组合在一起就形成了一个地埋管换热器场，这通常是为大型建筑物提供足够制热和制冷的能量时所必需的。

图 1. 一种垂直式地埋管换热器，它从地下提取热量，并将冷却后的流体送回地下。

在 Deacon 工作的加拿大多伦多，所有新建建筑都必须符合多伦多绿色标准 (参考文献 2），这是一项旨在减少碳排放的倡议。该标准对翻新改造也有要求。这些要求对工程师提出了挑战，因为他们必须找到一种方法来满足地面空间非常有限的现有建筑物的供暖和制冷需求。” Deacon 在论文中解释说：“通过倾斜式钻孔，相邻钻孔在地表处的间距最多可减少 90%。” 图 2 展示了这种钻孔间距的情况。

图 2. 倾斜钻孔可大大减少所需的地面面积。

由于大多数文献都是基于垂直式地埋管换热器的，因此行业内缺乏对倾斜式地埋管换热器的建模，这导致了对倾斜式地埋管换热器传热物理特性的假设。Deacon 使用 COMSOL Multiphysics^® 仿真软件建立了倾斜式地埋管换热器的三维模型，并将其随时间变化的性能与垂直式地埋管换热器模型进行了比较。

协作与测试

Deacon 基于 Tolga Ozudogru 在 COMSOL Multiphysics^® 中开发的地埋管换热器模型（参考文献 3）进行了扩展。该模型将地埋管换热器内的流体流动表示为一维管流，并与周围土壤和岩石等固体材料中的三维热传导相耦合。Ozudogru 将这种方法称为“伪管道法”，与建立完整的管道内流体流动三维模型相比，它节省了大量计算资源。伪管道法将 COMSOL Multiphysics^® 中的 管道传热 接口与 固体传热 接口耦合起来。它将流经管道的流动和传热视为瞬态一维过程，并与三维固体域的边界耦合，三维瞬态热传导方程就是在这个边界上求解的。周围固体材料中热传导的三维数值模型采用了有限元法（FEM）。Deacon 使用 COMSOL 的附加产品——传热模块，开发了一个将计算流体动力学（CFD）和三维瞬态热传导相耦合的复合模型。该复合模型可以捕捉到倾斜式换热器中出现的多物理场效应。

这些模拟结果通过 Richard Beier 收集的实验数据（参考文献 4）进行了验证，该实验装置为一个矩形沙箱，其中心装有一个 U 型管换热器。流体在管道中循环，并在回路之间被加热。热敏电阻被放置在周围的沙子中，用于测量不同径向点的瞬态温度。然后，将入口（供水）的质量流量和温度作为数值模型的边界条件。结果表明，COMSOL Multiphysics^® 对流体出口（回水）温度和一系列径向位置处沙子温度的预测值与实验结果非常吻合。

为了模拟 2 小时的断电情况，进行了一项中断试验。对流体施加热通量以模拟断电时的情况，而土壤域的初始条件和边界条件与团队进行的不间断试验中的相同，仅入口流体的温度和流速不同。COMSOL Multiphysics^® 准确预测了断电 2 小时后重新启动循环泵和加热器后的温升，验证了实验数据中使用的瞬态热传导方程的解（图 3）。这些研究使 Deacon 确信，COMSOL^® 能够准确模拟地埋管换热器的传热物理过程。

图 3. 左图：入口（供水）和出口（回水）处的流体温度的实验数据和 COMSOL 模拟结果之间具有高度一致性。右图：五个径向位置的温度实验测量值与 COMSOL 模拟预测值的对比。

倾斜式与垂直式地埋管换热器的性能对比

随后，这项研究分析了三种不同地埋管换热器的配置（图 4）在恒定注热速率下的热响应。本研究对以下几种情况的热性能进行了比较：

1. 单个垂直式地埋管换热器（1V）
2. 2 个平行的垂直式地埋管换热器，相距 5 米（2V）
3. 1 个垂直式地埋管换热器和 1 个倾斜式地埋管换热器的配置，在地表相距 2.75 米，倾斜式地埋管换热器与垂直轴呈 3 度倾斜 （1A1V）

根据工业热响应测试中使用的典型功率，入口处的热功率为 20 KW。本研究模拟的总运行时间为 8760 小时，即 1 年。该研究的地层参数代表了安大略省南部的地面测量结果。在整个研究过程中，入口处的质量流量、热功率、流体的初始温度、比热容以及运行时间等运行条件都是恒定的，因此可以单独对热导率进行分析。

图 4. 用于分析热响应的三种地埋管换热器配置的可视化图。

1V 配置的传热效果被认为是最佳的，因此，通过将其他两种配置的流体温度与 1V 配置的流体温度进行比较，评估了这两种配置的性能。0 K 的温差代表最佳性能。由于地面空间有限，预计 1A1V 中的热相互作用比 2V 开始得更早。热相互作用表现为流体温差的增加（相对于 1V 配置）。不过，一旦 2V 开始产生热相互作用，预计随着时间的推移，1A1V 的效率会越来越高。

在 0–100 小时的运行时间内，两种配置的热性能都类似于 1V 配置，即达到了最佳标准（最大热传递）。在最初的 100 小时之后，1A1V 配置的流体温度比 1V 配置的流体温度高出 0.02°C。最大温差在约 690 小时时达到峰值，然后开始下降，直到 1053 小时，两者的温度曲线在此相交（图 5）。

当两条曲线相交时，2V 的温度曲线会迅速偏离 1A1V，这是因为在 2V 配置中，沿着换热器的整个深度存在热相互作用。1A1V 配置减弱了沿深度方向的热相互作用，导致末端的流体温差比 2V 低约 1.4°C。交汇点标志着 1A1V 的性能从轻微的不利影响向轻微的有利影响转变。该图表明，在更长的时间内，1A1V 配置比 2V 配置表现出更好的传热效果。

图 5. 在恒定热注入速率下，3 种配置的流体温度差。

衡量大型系统的性能

大多数比独栋住宅大的建筑都需要多个地埋管换热器。所需的换热器数量在设计时要考虑许多因素，其中之一就是在一年中最冷或最热的日子里为建筑物供暖或制冷所需的能量。Deacon 使用了4 个地埋管换热器来模拟不同数量换热器的影响，运行条件保持不变（每个地埋管的流量和入口温度相同，以此模拟不同配置下的传热性能）。

额外的地埋管换热器所带来的风险在于，当热源彼此距离更近时，热相互作用会加剧。他的研究使用了 3 种配置（图 6）：

• 4V ：4 个垂直式地埋管换热器的配置
• 3A1V-配置 1：3 个倾斜式地埋管换热器和 1 个垂直式地埋管换热器，且换热器之间有明显间隔
• 3A1V-配置 2：3 个倾斜式地埋管换热器和 1 个垂直式地埋管换热器，且换热器之间的间距极小

两种倾斜式配置都需要不到半平方米的地面面积，而 4V 配置则需要 25 平方米。3A1V-配置 2 最适合对地面面积较小的建筑进行翻新改造，而 3A1V-配置 1 则可能最适合地面面积较大的新建筑。

图 6. 4 个地埋管示例的三种配置的几何结构。

首先，模拟结果表明，当地埋管换热器的数量超过 2 个时，每个地埋管的性能就会下降。与 2 个地埋管的配置相比，每个地埋管的性能有所下降；流体温差尽可能小是最佳状态，但 10 年后的流体温差大于 1 K，而在 2 个地埋管的配置中，这一温差小于 1 K。性能下降的原因是热相互作用增加，以及由于地埋管分布更加密集，每个 地埋管可利用的地下空间减少。

关于 4 个地埋管换热器的配置，模拟结果显示，在 1 年的时间里，两种倾斜式地埋管换热器配置（3A1V-配置 1 和 3A1V-配置 2）的流体温差小于垂直式地埋管换热器配置（4V），这表明倾斜配置仍然具有更好的传热性能。在这两种倾斜式换热器的配置中，配置 1 全年的流体温度明显更低，由于间距增大，其性能更好。配置 1 在10 年后的流体温差约为 1 K，而配置 2 的温差约为 2 K。Deacon 推断，优化倾斜配置的布局将提升系统的整体性能。这些结果进一步证实了在整个模拟和研究过程中不断得出的结论。

通过模拟，Deacon 得出结论：通常来说，倾斜式地埋管换热器系统最适合改造项目，而垂直式地埋管换热器系统更适合新建建筑。当持续注入热量时，倾斜式地埋管换热器和垂直式地埋管换热器的初始性能相似，但随着时间的推移，由于地温场深层的地下体积更大，倾斜式地埋管换热器的性能显著提升。在 10 年的模拟时间内，倾斜式地埋换热器在制冷方面的表现也优于垂直式地埋换热器。根据这些结果可以确定，倾斜式系统更适合处理不平衡的能源负荷，也更善于利用地下体积。

“在地埋管位置和角度方面，如果你遵循几条通用规则，它们的性能实际上与传统系统非常相似。” Deacon 说道。

将供暖系统电气化以及将传统系统改造为地热能系统，历来成本高昂且难以普及，但仿真技术已帮助改变了这一局面。借助 COMSOL Multiphysics^® 多物理场仿真软件，工程师能够逐小时估算地埋管在未来数十年内的性能表现。此外，仿真还能增强设计的可信度，并有助于降低出错的风险。

“现在我们既然有了这种建模仿真能力，就可以恰当地评估一个地埋管场的规模，降低成本，使设计方案更具可行性。” Deacon 总结道。

参考文献

1. D.L. Deacon and M.F. Lightstone, “Three-dimensional analysis of multiple inclined borehole heat exchangers,” Renewable Energy, vol. 237, part B, 2024.
2. Toronto Green Standard for New Low-Rise Residential Development, City of Toronto, Canada, Jan. 2017; https://www.toronto.ca/wp-content/uploads/2017/11/91f2-City-Planning-Toronto-Green-Standard-2017_LowRise_Standard.pdf
3. T. Y. Ozudogru et al., “3D numerical modeling of vertical geothermal heat exchangers,” Geothermics, vol. 51, 2014.
4. R. Beier et al., “Reference data sets for vertical borehole ground heat exchanger models and thermal response test analysis,” Geothermics, vol. 40, issue 1, 2011.

在设计换热器时，必须考虑传热速率、水力阻力和效率，对于某些应用，考虑结构完整性也很重要。然而，如果没有经济可行的制造方法，花费时间和资源来研究这些组件将是徒劳的。在整个设计过程中考虑设计和制造成本使换热器的开发成为一项艰巨的任务。这篇博客文章，我们将探讨使用形状优化和拓扑优化来应对这这类设计挑战的可能性。

形状优化

形状优化的过程与物理场无关，因此比拓扑优化更容易实施。需要注意的是，形状优化和拓扑优化均涉及大量设计变量，无论采用哪种方法，都必须使用梯度优化算法。当涉及大量设计变量时，基于梯度的优化方法显著快于无导数方法，因为它能高效利用敏感性信息指导每次迭代，而不是依赖耗时的采样或穷举所有可能解来寻找最优解的确定性优化方法。本文中示例采用的是移动渐近线（MMA）优化算法以及自动梯度计算方法。

首先，我们来看一个板式换热器的形状优化，然后探讨管壳式换热器中管道的尺寸设计。

对形状优化的更详细介绍感兴趣的读者，可查阅博客：电磁学中的形状优化：第 1 部分。

对于给定的驱动流率，可以通过对压降施加约束来限制换热器的水力阻力，但优化将倾向于对压降的最大允许值进行相应的设计，因此实际应用中的泵送功率和水力阻力是固定的。或者，可以施加压力驱动的流量，让优化过程选择泵送功率和水力阻力，这种方法计算成本更低，我们将重点探讨此选项。

考虑一个层流状态的板式换热器示例，其中通过改变板的形状使传热速率最大化，如下方动画所示。相较于初始的平板设计，优化后的设计将传热效率提高了30%。

优化后的板式换热器迫使流体绕流腔体角落，如根据温度着色的流线所示。请注意，在设计的灰色表面中，变形被放大了两倍。

现在，我们来看第二个示例，湍流状态下的管壳式换热器。同样，使传热速率最大，但这次允许管的尺寸和位置发生变化。在这个示例中，优化只能将传热速率提高 5%，这可能是由于设计自由度比前一个示例低所致。

用根据直径着色的管表示的优化后的管壳式换热器。靠近中心的直径较小的管使管与管之间的流率变化减少。

拓扑优化

使用密度方法进行拓扑优化，通过为每个计算单元指派一个设计变量来实现。在结构力学中，0 对应于空缺，1 对应于固体。

希望对拓扑优化有更深入了解的读者，可阅读博客文章：使用密度方法进行拓扑优化。

换热器拓扑优化的任务是确定哪个区域应该属于哪种流体，因此通常设计变量等于 0 对应一种流体，而 1 对应另一种流体（见参考文献1）。该策略可避免两种流体混合，前提是最终设计中不存在灰度值，即设计变量仅取 0 或 1，不包含中间值。该策略可以扩展用于考虑流体间的固体域，但本文将省略此部分。无滑移边界条件通过达西惩罚项施加，类似于其他流体拓扑优化应用中使用的策略：

式中， 和 分别表示热域和冷域的流速，通过不同的偏微分方程（PDE）求解。 表示抑制流速的最大阻尼系数，用于确保两个流速在同一时刻不会同时过大。 决定了设计变量场 中间值的阻尼系数，较小的值通常与灰度设计最优相关，而较大的值则会产生更多离散的明确分离的区域，从而获得物理上可实现的设计。

能量守恒通过对流-扩散方程求解，其中对流项取决于总速度场，由 的和给出。尽管该和式不明确依赖于设计变量，但在实际中，每个速度场在其对应的流体区域内占主导地位，因此流速仅在流体之间的过渡区域内具有可比性。

换热器通常在湍流状态下运行，但本文展示的拓扑优化结果仅限于层流状态，因为湍流模型需要解析边界层，而对于拓扑优化中使用的均匀网格，这会导致计算成本极高。

大通道具有较低的流体阻力，小通道则能提供良好的热交换效果。因此，理想的换热器拓扑结构应由交错排列的管道组成，这些管道在实际热交换发生的狭小区域内分支为细小管道。但是由于混合约束有效地固定了拓扑结构，这种结构在二维空间中无法实现。

在二维拓扑优化中，通过使两种流体之间的热交换最大，可以得到两根弯曲的平行管道。

在三维中进行拓扑优化的计算成本很高，因此在本文最后的示例模型中，通过施加镜面对称性将设计域缩小至原来的二分之一。此外，对流场施加旋转对称性，这样只需计算其中一种流体的流动。最后，目标函数同时考虑了传热速率和水力耗散。这两个变量均需最大化，因为对于压力驱动的流体，最大化水力耗散将使水力阻力最小。目标函数可通过极大极小值公式组合，但该方法计算成本过高，因此改用 p-范数代替：

式中，权重 用于控制各目标函数的相对重要性， 用于控制近似精度。这里展示的结果未将效率纳入目标函数（因为它会妨碍离散化设计），但初期可引入效率参数以引导设计趋向效率更高的极值点。

通过五个截面切片动态演示原始设计变量场，用于说明随着设计变量 的增加，优化结果逐渐趋向离散化的过程。

对优化后的结果进行平滑处理，以便能够通过显式几何表示对设计进行验证。如下方动画所示。相机位置固定，但设计结构略微透明，因此可以观察到结构内部的细节。 或者，您也可以探索下方的交互式模型文件，其中设计结构固定，相机位置可自由调整。图中仅显示了设计结构的一半，以便更清晰地观察内部的复杂细节。

优化后的换热器由两个相互交错的流体域构成，通过分支管道实现高强度热耦合，同时避免引入过大的水力阻力。

优化功能概述

这篇博客重点讨论了稳定流态换热器的优化设计，但其底层功能具有高度灵活性——基于梯度的优化方法同样适用于其他物理场问题，甚至可以将不同的物理现象结合起来，同时自动计算梯度以满足自定义的目标和约束条件。形状优化和拓扑优化接口可用于设置设计变量，探针可以简化约束和目标的设置。然而，约束和目标函数高度取决于具体的应用场景，因此建模过程的这一部分可能需要进行一些调试。最后，也可以执行考虑特征频率或瞬态问题的梯度优化。

对特征频率优化示例感兴趣的读者，可查阅博客文章: 通过形状和拓扑优化实现特征频率最大化。

关于热管理系统优化的网络研讨会

想要了解更多关于如何使用优化技术自动生成高性能的换热器和流体流动系统设计吗？欢迎参加 COMSOL 即将举行的热管理系统优化网络研讨会。此次网络研讨会将于美国东部时间 9 月 3 日星期三 15:00-15:45 举行。

参考文献

1. P. Papazoglou, Topology Optimization of Heat Exchangers, master’s thesis, Delft University of Technology, 2015.

在 COMSOL Multiphysics^® 软件的大多数功能中，都包含 弱约束 选项。这篇博客，我们将深入探讨什么是弱约束、为什么要使用弱约束，以及使用弱约束时需要特别考虑的事项。

章节内容

1. 如何在 COMSOL Multiphysics^® 中实施弱约束？
2. 拉格朗日乘子
3. 有限元约束处理
4. 引入拉格朗日乘子
5. 弱约束
6. Nitsche 约束
7. 术语说明
8. 拉格朗日乘子的解释
9. 使用弱约束时应注意的事项

如何在 COMSOL Multiphysics^® 中实施弱约束？

几乎在所有情况下，COMSOL Multiphysics^® 中默认的约束类型都是逐点约束。逐点约束直接应用于自由度 (DOF)，通常是网格中的一组节点。

在模型开发器的大多数标准约束功能的设置中，都有一个 约束设置 栏。在这个下列菜单栏中，您可以在两个不同的约束之间进行选择。一些功能的约束列表中可能包含第三个选项，即 Nitsche 约束。

约束设置 栏示例。

不过，默认情况下该栏并不显示。弱约束属于 “高级”功能。您可以在 显示更多选项 对话框中选择 高级物理场选项 来启用该栏。

启用 高级物理场选项。

拉格朗日乘子

由于弱约束是基于 拉格朗日乘子，我们有必要先从该主题的一些基本概念讲起。

拉格朗日乘子的概念是由数学家约瑟夫•路易•拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在变分法研究中提出。在我们的博客诞辰快乐，约瑟夫•路易•拉格朗日中，您可以了解更多关于他的生平和工作。

一般的带约束最小化问题可表述如下：在一组约束条件 的约束下，求函数 的最小值。接下来的问题是，如何以一般的方式满足这些约束条件。对于简单约束（例如线性约束），可以显式地反解约束表达式并将结果代入 ，从而减少未知数的数量。但这只是例外情况，而非普遍规律。

现在可以通过求解以下函数的最小值来解决问题：

式中， 是一组新的未知变量，即拉格朗日乘子。由于 为真解，因此很明显， 的最小值等于受约束 的最小值。但为什么会这样呢？

要找到函数的极值，需要计算所有变量的偏导数，并将它们设为零。在这个示例中，

和

因此，通过对方程组求关于拉格朗日乘子的偏导就可以恢复约束方程，也就是说，约束条件仍然有效。但是，第一组方程更为精妙。要理解对于特定值，为什么它们能确保获得正确的最小值，需要更详细的论证。值得注意的是，新方程现在还涉及约束函数的梯度。

如需完整且详细的解释和举例说明，请参阅：拉格朗日乘子。

有限元约束处理

考虑一个简单的线性静态有限元问题。最终离散矩阵形式可以写为

式中， 是刚度矩阵， 是自由度向量， 是节点载荷向量。为了能够求解此方程组（使刚度矩阵非奇异），必须已知至少一定数量的自由度值。例如，对于传热问题，至少需要一个温度，而对于三维固体力学问题，至少需要知道 6 个位移自由度。最常见的方法是直接输入该自由度的数值。此外还有其他选项，如热量传递分析中的对流边界条件或结构力学中的弹簧条件。

实际应用中往往会施加远超稳定性所需的约束，例如在整个边界上应用约束。只要存在一些受约束的自由度，就可以将方程组按如下形式进行划分：

式中，下标 a 表示激活的自由度，下标 c 表示受约束的自由度。矢量 包含受约束节点上未知的反作用力。这一术语来源于固体力学反作用力的概念。例如，在热量传递中，反作用力就是热通量。大多数情况下，约束节点上不施加任何载荷 ，因为它们对解没有影响。

的值是已知的，例如 。在求解有限元方程时，最基本的处理方法是只求解激活的自由度。约束值的影响可以移到方程右侧，得到

求解简化后的方程组后，就可以使用以下方程在结果估计步骤计算反作用力

实际计算时，只需组装 矩阵，其余矩阵乘法运算可以在单元层面更高效地完成。

这种表述反作用力的方法假定问题是线性的，因此矩阵是常数。一种更通用的表述方式是，反作用力是残差计算的结果。对于激活的自由度，收敛解的残差很小。在受约束节点，残差较大，可以解释为反作用力。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，基本上 后验 是可以做到的使用 reacf() 算子计算与节点相关的反作用力。请注意，得到的值是集中的节点值而非连续分布场。根据单元中使用的形函数，这种节点值的分布可能不是很直观。不过，其求和结果在数值舍入误差范围内是精确的。

这种方法的缺点是，如果需要在计算中使用反作用力，它们就无法使用。

注：上述描述基于一般的有限元公式，是对 COMSOL Multiphysics^® 内部实际处理方式的极大简化。实际上约束处理要复杂得多。例如，可能涉及非线性约束，或是连接不同物理场变量的跨场约束。

引入拉格朗日乘子法

现在，继续讨论离散化形式。为了不那么抽象，我们举一个固体力学的例子。对于线性问题，可以证明势能为

将 W 与位移最小化，就能得到之前使用过的普通方程组。现在，将所有约束条件与各自对应的拉格朗日乘子相乘后加入势能表达式：

为清晰起见，自由度向量分为无约束 DOF ( ) 和有约束 DOF ( ) 。关键区别在于：新公式中将受约束自由度同样视为未知量。
为简单起见，假设受约束的自由度无外载作用。对各组变量求导后得到如下方程组：

利用第二行方程可以很容易地验证，拉格朗日乘子与上文介绍的节点反作用向量 完全相同。最后一行方程简单地说明了 。

如果原始刚度矩阵是对称的（通常是这种情况），那么这个新方程组也是对称的。但此表述存在以下局限：

• 与只求解激活的自由度不同，这种计算方法需要求解激活的自由度、受约束的自由度和拉格朗日乘子。
• 矩阵对角线存在零元素，部分线性方程组解法无法处理。
• 出于数值计算考虑，必须对方程组进行适当的比例缩放。原刚度矩阵元素的量级可能与单位值相差甚远。

尽管如此，该方法仍具显著优势：

• 反作用力值本身构成问题表述的一部分，不能仅视作结果量。
• 使用拉格朗日乘子时，强非线性约束条件的收敛效果会更好。
• 在逐点约束中无法使用时间导数。如果需要，使用拉格朗日乘子法是唯一的选择。

弱约束

弱约束条件同样基于拉格朗日乘子概念。不过，在离散化之前的数学描述中已经考虑了约束条件。

有限元公式的基础是使用基本方程的弱形式。在固体力学中，这也被称为虚功原理。计算公式如下：

式中， 是应力张量， 是应变张量， 是牵引向量， 是位移场。符号 表示变分算子。在 COMSOL Multiphysics^® 中，它由 test() 和 var() 算子表示。符号约定与软件保持一致。

为简单起见，假设载荷（牵引力）只作用于边界。在更一般的情况下，也可能存在体积、边和点载荷。

为了使公式更加完整，需要在边界的某些部分设置位移的指定值，

在用选定的形函数近似位移时，该数学表达式将转化为有限元方程的离散化形式。

基于拉格朗日乘子的思想，现在可以通过添加一个额外项，将约束条件纳入弱表达式中：

式中, 是一个定义在约束边界上的拉格朗日乘子。假设 只是一个指定值（与解无关），那么最后一项可以扩展为三项，即

当使用有限元法将弱形式表达式转换为离散方程时，与位移一样， 使用形函数在单元上近似。原则上，两个场的形函数可以相互独立地选择，但这样会失去刚度矩阵的对称性（甚至会使矩阵变得奇异）。因此，通常使用与位移相同的形函数。组装后的方程组如下所示

矩阵 和 源自上述弱表达式中的第三项和第四项，只要位移和拉格朗日乘子使用相同的形函数，它们就具有对称性。

补充说明：矩阵 实际上与同一边界上单位面积质量分布的质量矩阵贡献相同。在 固体力学 接口中，可以使用 附加质量 节点给出这种质量分布。

为便于比较，我们重复上述对离散化系统应用拉格朗日乘子得到的方程组：

可以看出，结构类似，但单位矩阵被 所取代，右侧现在包含 ，它是 的加权形式。

那么，这种修改会产生什么影响？指定自由度的节点值将不再与指定值完全一致。另一方面，节点之间的值在平均意义上将更接近给定函数 。

为了说明这一点，我们来看一个简单的传热示例，比较用标准逐点约束法和弱约束法得到的结果。

示例一：传热

使用二阶拉格朗日单元在单位正方形上以 2×2 网格求解一个二维传热问题。在最右边的边界上，温度设定为 sin(2*Y)。在相反的边界上，温度设为零。在其余边界上，没有任何边界条件，对应于无通量。温度选择指定正弦函数分布是为了避免二次形函数对其进行精确描述。

带边界条件和计算温度场的模型。

如果我们沿着右边界绘制温度曲线，两种方法之间的差异几乎重合，如下图所示。

右边界的温度分布。

在下图中，我们可以看到温度与其设定值之间的比较，这是一个更有趣的曲线图。

实际温度场与指定温度之间的差异。垂直虚线表示节点位置。

从上图可以看出，在节点点上，逐点约束与指定函数完全一致。而使用弱约束条件时，情况并非如此。

还存在一个或其他更好的解吗？第一个尝试是计算与给定函数相比的平均误差。结果如下表所示。

事实证明，使用弱约束条件时，平均误差要小三个数量级。通过添加拉格朗日乘子场，指定值将在平均意义上尽可能地一致。为了证明这不是巧合，我们进行了一次参数扫描，将边的网格密度从 1 个单元改为 20 个单元。

右边界的平均温度误差与网格密度的函数关系。

需要强调的是，这些误差量级本身已经非常微小。对于任何合理细化的网格而言，上述对比主要具有理论研究价值。

在接下来的案例中，约束类型的选择将产生直观可见的影响。

示例二：杆模型

此例中，我们使用的是一根横截面为正方形的杆，它受到单轴拉伸。这是一个有两个域的装配体。一个域使用六面体单元网格划分，另一个域使用四面体单元网格划分。由于这是一个装配体，因此使用 连续性 条件将两个域连接起来。其结果是，网格在共同边界处 不兼容。

杆模型的网格和载荷。

默认情况下，连续性是通过逐点约束来实现的，因此 目标 侧的每个节点都必须具有与 源 侧相应位置完全相同的位移。根据选择哪一侧作为目标，将得到不同的结果。

使用逐点状约束时杆内的应力分布。在前景中，六面体单元构成目标侧，背景中则为四面体单元。

由于两个域交界处的形函数不一致，应力场中存在明显的局部扰动。随着与连接处距离的增加，扰动会迅速消失。COMSOL博客：“圣-维南原理的应用和解释 ”中详细讨论了这一现象。

如果我们现在改用弱约束，结果会好得多。在下图中，应力采用了另一种标度。误差大约小了一个数量级。

使用弱约束时杆中的应力分布。

结论表明，弱约束法能有效缓解非匹配网格连接时的应力扰动问题。

您可能会问，既然在传热示例中的影响如此之小，为什么在这个示例中两个公式之间的差异如此之大？答案是，指定温度是平滑的，可以用形函数进行合理近似。而在网格不匹配的情况下，每个单元面上的位移场都由各自的形函数表示，并不具有连续导数。现在，弱约束的平均效应变得更加重要。

Nitsche 约束

COMSOL Multiphysics^® 中的一些约束功能允许使用第三种类型的约束实施方法：Nitsche 方法。本文不展开理论细节，它也是一种弱约束类型，但不依赖于拉格朗日乘子的使用。它没有增加额外的自由度。以下是将该方法应用于同一个杆示例时的结果。

使用 Nitsche 约束条件时杆中的应力分布。

Nitsche方法有多种变体可供选择。这里使用的是默认的对称方法。可以看出，源点和终点的选择不再重要，误差甚至比使用弱约束时更小。Nitsche 约束不仅涉及连接边界上的节点，还涉及与边界上一个面的单元相连的所有节点，因此提供了更多的灵活性。

Nitsche 方法的缺点是，在其默认（也是最稳定的）的实现中，会产生一个非对称刚度矩阵，这可能会大大延长求解时间。如果问题中还有其他效应导致非对称贡献，这一缺陷则可忽略，因为对称刚度矩阵的优势已不复存在。

术语说明

在 COMSOL Multiphysics^® 中，当选择使用弱约束时，该功能表示”使用拉格朗日乘子进行约束”。在少数情况下，例如在约束单点或常微分方程 (ODE) 自由度时，拉格朗日乘子只是一个数值而非场量。在这种情况下，情况与上述离散情况相同：没有新的近似值，唯一的影响是可以直接获取约束力。(不过，你可能并不认为这是真正的弱约束）。

在某些情况下，特别是在结构力学接口中，调用拉格朗日乘子的公式时并没有明确提及弱约束。例如，刚性连接件 功能有一个名为 计算反作用力 的选项。

你可能会问为什么需要一个选项来获取反作用力。原因是对于该功能和其他类似功能，除了使用拉格朗日乘子外，没有其他方法可以计算反作用力。另一方面，总是使用这种计算方法可能会导致一些不明显的问题，这将在后文中讨论。因此，需要用户进行交互控制。

拉格朗日乘子的解释

上文提到，对于离散情况，拉格朗日乘子可直接解释为节点反作用力。这一特性更为普遍，并且不局限于有限元方法或固体力学。拉格朗日乘子代表执行约束所需的某种作用。通常，拉格朗日 代表一种能量。在这种情况下，拉格朗日乘子将与约束量在能量上共轭。

拉格朗日乘子的实际单位还取决于受约束物体的尺寸。对于固体力学，采用弱约束边界的拉格朗日乘子单位为 N/m² = Pa。拉格朗日乘子场可以解释为为了保持指定位移而需要施加到边界上的牵引力场。但是，不应期望该域能准确表示约束处的局部应力场。不过，它在综合意义上是非常准确的。

为了说明反作用力的牵引力场，我们对下图中的短悬臂梁进行了研究。在固定端施加了弱约束。

具有 von Mises 应力和外加载荷的悬臂梁。

接下来研究受约束端部的剪应力。根据分析解法，剪应力在横截面上呈抛物线分布。泊松比选择为零，以尽量减少约束效应。在给定的坐标系中，外加载荷会产生剪应力 σ_xy 和弯曲正应力 σ_xx。由于固定表面的法线位于 x 方向，牵引力分量 t_y = σ_xy。因此，它应该用 y 方向上约束条件的拉格朗日乘子来表示。下图对这些结果进行了比较。

计算的剪应力、拉格朗日乘子计算值和解析解的比较。

在所使用的网格分辨率下，应力和拉格朗日乘子均未精确反映真实解。存在一个显著差异：积分后，Y 方向总反作用力的相对误差在使用应力计算时为 3%，而使用拉格朗日乘子时为 2·10^-12。

如果自行编写弱约束，拉格朗日乘数的物理意义可能因约束公式的不同而有强有弱。例如，假设需约束某点，使其变形后位于以原始位置为圆心、半径为 R 的圆周上。

以下展示了两种输入此类约束的不同方式：

在 弱约束 节点的设置中输入同一约束的不同方法。

这两种表达式都能以相似的迭代次数得到相同的解。然而，在第一种情况下，拉格朗日乘子的值很难解释。从量纲角度来看，它的单位是 N/m（因为它乘以单位为 m² 的约束条件）。在第二种公式中，它实际上是对径向位移的约束。计算出的拉格朗日乘子将是作用在支撑结构上的力。反作用力的方向并不明显，但会沿径向作用。因此，在物理上，该结构由一个无摩擦的圆形边界支撑。

不过，这个问题有两种可能的正确解—— 该点可能附着于圆周上的两个位置，本质上代表圆内侧或外侧的接触，最终解取决于初始条件。

使用弱约束时应注意的事项

约束冲突

在使用弱约束时最常见的问题是，若将其与标准逐点约束应用于同一自由度，二者无法共存。这种冲突可能导致”奇异矩阵””发现 NaN 或 Inf”等错误，甚至是完全错误的解。这种情况通常并非用户有意为之，但也可能在不经意间发生。

例如，如果在一条边界上使用弱约束，而在相邻边界上使用逐点约束。那么在公共边上就会出现冲突。通常，最简单的解决方法是将所有相连的约束条件转换为相同的表述（可能是弱约束条件，因为首先在某处选择它是有原因的）。有些约束的设置中还有 排除的边 和 排除的点 的部分。通过将冲突边添加到此类选择中，也可以解决问题。

在某些情况下，发生冲突的可能性并不明显。可能有一些约束条件是你没有想到的，因为它们或多或少是自动添加的。连续性 条件就是这样一种情况。

更微妙的是壳 接口中的情况，在 壳 接口中，每个节点都对旋转自由度（围绕壳表面法线的旋转）具有隐式约束。因此，如果在 壳 接口的任何对象上添加涉及旋转的弱约束（例如 固定约束 ），就会产生冲突。所有旋转约束（包括隐式约束）都必须改为弱约束。

拉格朗日乘子的单位

在大多数情况下，COMSOL Multiphysics^® 中的拉格朗日乘子不带单位。这使得它们与几乎所有其他量不同。单位是隐含的，只能通过反作用力场的物理意义推断。如果需要在结果评估中频繁使用拉格朗日乘子，建议创建包含单位的中间变量。

添加一个带有单位的变量来表示拉格朗日乘子场。

变量缩放

有时，加入拉格朗日乘子会使非线性问题的迭代次数增加，甚至无法收敛。出现这种情况的最可能原因是容差处理不当。解决这一问题并确保容差得到正确处理的最佳方法是对拉格朗日乘子的自由度进行手动缩放。为此，请转到求解器序列中的 因变量 节点，并添加适当的缩放比例。缩放应提供拉格朗日乘子的数量级，即其代表的反作用力通量。

为变量设置手动缩放。

迭代求解器

如果使用迭代求解器求解线性方程组，拉格朗日乘子可能会引发一些问题。刚度矩阵的对角线上有零点，因此它不再是正定矩阵，大多数标准有限元公式都是如此。

因此，某些线性求解器和前置条件器不能用于求解弱约束问题，即共轭梯度迭代求解器和 SOR 类前置条件器和平滑器。您可以尝试另一种迭代求解器，并使用以拉格朗日乘数作为 Vanka 变量的 Vanka 算法，或者使用不完全 LU 因子化算法作为预处理器。

对于多物理场问题，一种可行方法是采用分离式求解策略；若模型规模允许，还可对涉及拉格朗日乘数的场使用直接求解器。

拉格朗日乘子自由度的奇异性

将标准约束条件转换为弱约束条件时，在数值上会表现良好。但是，如果编写自己的非线性约束条件，或使用约束变量的某些表达式，那么刚度矩阵的拉格朗日乘子部分可能会出现奇异性。

在上文使用的非线性约束示例中，当节点被约束移动到其原始位置周围一圈时，其原始配置实际上会失效。

这里的约束表达式实际上是一个以节点为中心的抛物面，因此当 u = v = 0 时，其梯度为零。

作为替代方案，您可以在拉格朗日乘子的自由度中添加一个人为的”刚度”。在上面的例子中，可以将表达式扩展为：u^2+v^2-R^2+1e-6*lm*(u^2+v^2 < 0.01*R^2)

拉格朗日乘子变量的名称为 lm。由于采用布尔表达式，额外的贡献只对小位移有效，因此不会影响真正的解。其作用是在刚度矩阵的对角线上放置一个小数值，以避免初始奇异性。

我们在下一篇博客的"弱约束条件"部分也使用了同样的方法：如何在仿真中设置边界条件。在该部分中，出现奇异性的原因是边界中只有随时间变化的部分具有指定值。在边界的其余部分，拉格朗日乘子的自由度仍然存在，但没有定义它们的方程。

扩展资源

COMSOL Multiphysics^® 中的弱约束是强大的模拟技术，但要成功运用它们，需从数值角度理解其底层机制。

如果您想了解更多有关弱约束的信息，也可以查看以下博客:

• 弱形式的力量
• 弱形式概述
• 在 COMSOL Multiphysics^® 中实现弱形式
• 弱形式方程的离散化
• 非标准约束和弱贡献的力量

过去 50 年间，人类探索和机器人探测极大地扩展了我们对地球伴星的了解。然而，我们对月球仍有许多需要探索的地方，月球科学的一个重要方面就是了解月球的热行为。印度物理研究实验室的 Durga Prasad 博士通过建立首个此类热物理模型，将仿真与实验室实验相结合，在理解月球表面和地下温度的空间和时间变化方面取得了重大进展。

我们为什么需要了解月球表面？

辐射会对载人航天飞行产生不利影响，使宇航员致癌，月球表面的热循环会导致建造的任何栖息地产生热疲劳。因此，对月球热动力学的研究有助于选择合适的着陆点，确定设备和栖息地的稳定热条件，优化发电和热管理系统，从而为任务规划提供帮助。此外，类似的研究在帮助科学家确定水冰等潜在资源的位置，以及制定开采策略方面也发挥着至关重要的作用。这些信息还有助于深入了解月球的地质、月壤特性和内部过程，助力科学研究和我们对天体更广泛的了解。

图 1. 一张满月照片。图片由 Gregory H. Revera 提供，获 CC BY-SA 3.0许可， 通过 Wikimedia Commons 共享。

为了进一步了解月球的温度分布和热行为，Durga Prasad 博士团队着手建立一个全面的三维热物理模型，以帮助预测实际的热行为，模拟地球物理问题，并协助规划未来月球上的实验。

开发月球表面的热物理模型

Durga Prasad 博士于 2022 年发表在 Earth and Space Science 上的一篇论文中详细介绍了随后所做的努力。当时，关于月球热物理行为和热流的现有知识和测量都很有限。已知的信息都只针对赤道和中纬度地区。据了解，月球表面由导热系数较低的多孔层和密度较高的致密层组成，这对地表和地下的温度有显著影响。月球的地形在热量传递中也起着至关重要的作用，本研究也考虑到了这一点。

为了加深理解，Durga Prasad 博士建议采用实验室实验和数值仿真作为可能的研究方法。这项分析旨在通过推导月球表面和地下温度来预测月球的实际热行为，为开发这样一个综合模型迈出第一步。

模型开发过程包括创建两层横截面，用于探索温度和热通量的行为。研究人员在 COMSOL Multiphysics^® 软件环境及其附加产品传热模块中使用了三维有限元方法。这种方法能够准确地表征月球表面的复杂几何形状，并确保模型适用于小尺度到大尺度的模拟。

考虑关键参数和地形的影响

为了准确模拟月球表面和地下的热物理行为，必须考虑适当的参数值和边界条件。密度、热导率和比热容等参数并非恒定不变，而是相互依存的。包括密度在内的关键参数是根据以往研究得出的关系式定义的。导热系数和比热容是通过温度相关函数（理论曲线拟合）推导出的。此外，还使用了一个半正弦函数来表示太阳热通量的昼夜变化。

Durga Prasad 博士模型的一个重要方面是纳入了月球的地形变化及其对热量交换和热物理行为的影响。传统的一维模型提供了一个全球视角，但无法模拟局部和区域尺度的现象。通过数字高程模型（DEM）数据纳入月球表面的实际地形（图 2），可以更真实地反映月球的热行为。

图 2. (a) Taurus–Littrow 山谷和阿波罗 17 号着陆点 (b) 区域尺度模拟所考虑的关注区域 (c) 为局部尺度模拟创建的人工 DEM 几何图形 (d) 划分网格的几何和 y-z 切面。

图 3.基于模型计算的月球日选定时段的局部尺度表面温度三维图。

Durga Prasad 博士开发的模型是独一无二的，也是全球首个此类模型，它成功地考虑了地形变化，从而能够表征月球表面不同位置的温度分布。团队利用实验室实验和阿波罗 17 号的现场数据对模型的结果进行了验证，证实了月球表面热结构（包括最上层的厚度）作为影响月球表面和地下温度变化的关键参数的重要性。

未来的月球研究

Durga Prasad 博士的研究标志着我们在推进对月球局部热物理行为的理解，以及对未来月球探索任务规划的针对性调查方面迈出了重要一步。通过建立一个完整的三维热物理模型，他对月球表面和地下的温度变化提出了宝贵的见解。这项研究对未来的月球探索任务具有实际意义，有助于选择合适的登陆点、优化热管理系统和促进资源利用。此外，该模型还加深了我们对月球地质、月壤特性和内部过程的了解。

参考文献

1. K.D. Prasad, V.K. Rai, and S.V.S. Murty, “A comprehensive 3D thermophysical model of the lunar surface,” Earth and Space Science, vol. 9, 2022; https://doi.org/10.1029/2021EA001968.

延伸阅读

• 对清晰度的追求：在 3 种望远镜设计中追踪射线
• 涡街之美
• 使用 COMSOL 理解地震波的行为
• 利用 Dzhanibekov 效应解释网球拍为什么会翻转

Jan Czochralski 在研究金属结晶的速度时，将装满熔融锡的热坩埚放在桌子上冷却。他专心致志地工作，不小心把笔插入了熔融的锡里，而不是墨水瓶中。注意到自己的失误后，Czochralski 把笔拔了出来，却发现笔尖上挂着一条凝固的金属丝……

直拉法背后的历史

后来，Czochralski 证明了这种凝固金属是单晶体。将近 110 年后，他的简单失误被公认为直拉法奠定了基础。该方法是制备单晶硅的最重要方法之一，而单晶硅是一种广泛应用于电子产品制造的材料。

如今，直拉法采用的工艺与 Czochralski 意外的钢笔蘸取过程类似。首先，在坩埚中熔化高纯度的半导体级硅。然后，加入掺杂的杂质原子，使硅掺杂变成正型或负型硅。接着，把固定在一根棒上的籽晶浸入到熔化的混合物中，并在氩气的惰性气氛里小心地向上提拉，同时进行旋转。最后，熔融物会在籽晶上形成一根大的圆柱形单晶锭。

直拉法的各个阶段。这张照片已进入公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

Czochralski 探索了使用锡、铅和锌等金属制造晶体的方法，并于 1917 年发表了有关该方法的论文。这篇论文和方法一经发表便引起了人们的极大兴趣，但直到 20 世纪 40 年代末，这种方法才成为如今的主流技术。这在很大程度上要归功于贝尔实验室的研究人员，他们重新发现了这种方法，并利用它生产硅和锗晶体以开发半导体。从那时起，直拉法就成为半导体工业的基石。

波兰化学家Jan Czochralski，1929 年在华沙理工大学担任教授时的照片。这张照片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

直拉法是制备单晶硅（mono-Si）晶锭最常用的方法。该方法可以制备出长达 2 米的晶体锭，之后这种晶体锭可被切割成标准尺寸的晶圆。这些晶圆可用于制造集成电路，在光伏领域则用于制造太阳能电池。在这篇博客中，我们将探讨如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件模拟保护气体流动和对流传热，以维持晶体生长界面所需的温度梯度。

典型晶体生长炉的模型定义

通过精准调控加热功率、拉速和晶体旋转速率，可以有效控制晶锭的形状，尤其是直径。可以在原型阶段对这三个因素进行调整，但必须使用昂贵的物理材料。作为这些实验的补充，建模和仿真可用于虚拟复制、监控和更改设计，从而减少所需的物理实验次数。

查看在软件中建立的热传导（左）和热辐射（右）模型。

直拉法晶体生长炉的热分析教程模型模拟了上述过程。该模型的几何结构包括一个装有熔体的石英坩埚和一根位于熔体表面中间的晶棒，二者均放置在生长炉内。在生长炉内，氩气流冷却晶棒，以维持所需的温度梯度，并将挥发性物质排出炉外。炉内放置了一个石墨加热器，用于维持稳定的温度。坩埚和晶棒均以 5 r/min 的速度旋转，但方向相反。上述过程的整个几何结构具有旋转对称性，因此可以在 COMSOL Multiphysics^® 中使用二维轴对称模型创建。

假设热传导是主要的传热机制，对熔体、晶棒、石墨加热器和炉壁的热传导进行模拟。炉内表面之间的热传导由表面对表面辐射模型计算。炉内氩气的非等温流动采用弱可压缩流假设进行建模，同时将 k-ε 湍流模型和湍流中的热传递相耦合。晶棒和坩埚的旋转则使用滑移壁条件描述。

此模拟的重点是研究保护气流和对流传热，找出维持晶体生长界面所需的温度梯度和最佳参数。

使用COMSOL模拟的晶体生长炉模型。

在模型几何结构内部，石墨加热器的功率为 310 kW，保护性氩气的引入速度为 100 L/min。炉压保持在 2500 Pa。坩埚以 5 r/min 的速度正向旋转，晶体棒以 5 r/min 的速度逆向旋转，从而产生有效晶体生长所需的扭转运动。这种熔炉的旋转速度远高于拉速，因此本模拟忽略了拉速。

标注了各个部件的晶体生长炉几何图形。

结果讨论

在模型中，我们进行了两步研究。第一步是求解稳态流动方程，为随后的瞬态研究步骤建立良好的初始条件。在瞬态研究步骤中，流动方程和传热方程是完全耦合求解的。

流场

仿真计算得出的流场显示，晶棒表面附近的流速最大。热屏和晶棒之间存在一个回流区，该回流区主要由热屏高温产生的浮力驱动形成，来自入口的轻微向下流动也对其产生一定影响。这种高速运动有利于有效散热，从而在晶棒内形成明显的温度梯度。

坩埚和加热器之间的水流向下流动，这与直觉相反，因为人们可能会认为这一区域会产生烟囱效应。但实际上这种效应发生在加热器外部，即加热器和炉壁之间，那里的水流主要是向上流动的。

值得注意的是，炉内自由对流的影响比氩气的入口和出口流动的影响更为显著，后者在图中几乎无法辨别。如果没有模型，预测整个流场将非常困难。

炉内流场图。

温度

我们的研究表明，熔体与晶棒接触面的平均温度在大约 400 分钟后达到稳定状态。熔化温度（Tm=1414 °C）等值线靠近该接触面，见下图中的 1415 °C 等值线。晶棒与熔体接触点的温度在 1403—1407.5°C 变化，最高温度出现在晶棒的中部，接近于 1414 °C 的实际熔化温度。温度沿晶棒高度方向逐渐降低，在 Z 方向上呈现出 500—100 °C/m 的温度梯度。这表明氩气流对单晶棒进行了有效冷却。

左图：突出显示了 600 分钟时平均温度的模型图。右图：晶棒与熔体接触面的温度分布。

晶体炉模型的扩展

借助上述仿真模型，我们将晶体和熔体模拟为固体，并在设计阶段进行了热分析。该模型既可以实现这一目标，也可以进行扩展。例如，您可以对其他加热方式（如感应加热）进行模拟。更复杂的扩展可能还包括重点模拟熔体中的流动及其内部的自然对流、表面对流（马兰戈尼效应）和强制对流（磁性流体）。您还可以使用 相变 接口查看从熔体到晶体的相变，以及晶体潜热和拉力的凝固过程。虽然本演示中忽略了晶体提拉速度，但您也可以在壁边界条件中设置该速度，即切向的移动壁速度。

动手尝试

想自己亲自动手尝试模拟这个 Czochralski 晶体生长炉吗？COMSOL 案例应库中提供了相关的 MPH 文件和分步说明，欢迎下载。