1. 3D 打印物体的结构测试

在采用 3D 打印技术的增材制造中，物体的机械强度取决于制造它的 3D 打印工艺，这给各行各业的快速成型制造带来了更多挑战。BE CAE & Test 是 COMSOL 认证的咨询公司，它开发了一套系统，用于测试各种参数对结构分析的影响，并在 COMSOL Multiphysics^® 软件中开发数值模型。

首先，他们使用结构力学模块和非线性结构材料模块创建了包含不同参数（如填充密度和外部层）的试样模型。研究团队使用了非线性弹性材料模型,因为应力-应变关系是非线性的，即使在无穷小的应变下也是如此；他们也使用了塑性模型，因为在较高的应变下也是非线性的。BE CAE & Test 公司利用收集到的验证数据，根据模型创建样品试样，并按照设定的打印参数进行 3D 打印。

使用 COMSOL Multiphysics^® 建立的 3D 模型被导入到开源切片软件中，并转换成指导 3D 打印机的代码。打印机打印出的试样具有 25%、75% 和 100% 的填充等级，可用于实验和数值测试。

填充等级百分比从 25% 到 100% 不等，在应力测试中差别不大。

对 3D 打印试样进行了拉伸测试和弯曲测试，以了解不同填充等级对测试响应的影响。拉伸测试产生了屈服点和应力函数数据集。拉伸和弯曲测试都进行了数值实验验证。不同填充等级的平均实验应力-应变曲线开始时非常接近，随着应变水平的增加，应力-应变曲线略有分离。

对试样进行了实验和数值测试，直至失效。实验条件下的结构行为与数值预测结果非常吻合。

了解更多有关BE CAE & Test 研究的信息，请阅读:Structural Analysis on 3D Printed Objects Made from Experimentally Characterized Materials

2. 使用红外线激光束模拟熔化金属

Seurat Technologies 开发了一种尖端的金属 3D 打印方法——Area Printing® 技术，它使用强大的激光，通过垂直和水平偏振红外（IR）激光束的分裂来快速熔化金属粉末。在 2024 年的一篇研究论文中，该公司介绍，在近 100 kw 的功率下，红外图案光束可以“逐层”熔化粉末。带有光折变液晶层的光寻址空间光调制器（或光阀）可动态控制激光束的图案。

当使用接近 100 kW 的高功率激光束时，该方法必须考虑热管理，因为设备的温升会影响液晶的关键光学特性以及设备的整体效率。Seurat Technologies 团队使用经过验证的液晶层加热过程数值模型来设计冷却功能，然后模拟冷却设计以确定液晶层的温度分布。

Seurat 技术公司的 Area Printing® 设计，可使用红外线激光快速、精确地熔化金属。

光阀激光加热模型使用有限元仿真确定加热和温度分布。在该模型中，根据设备的实际测量结果，输入激光功率、每厘米功率强度、冷却剂温度和流量。SST 湍流方程和测量的吸收系数作为输入， RANS 考虑冷却剂非等温流动。这些输入与 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加产品——材料库结合使用。研究团队通过比较诱导 E7 液晶向列相变（熔化）的实验激光功率与数值解预测的温度，对该稳态模型进行了验证。在无法进行直接温度测量的情况下，研究团队可以利用这些经过验证的模拟来优化液冷设计。

研究团队发现，由于在 57°C 时发生相变，COMSOL Multiphysics^® 仿真和真实测量产生的熔点看起来是一样的。(测量包括交叉偏振图像，其中熔融转变看起来也像一个黑点，在激光功率为 846 W 的情况下，熔融转变出现在 57°C 的温度下。)

57°C 时发生的 E7 液晶层相变点，在交叉偏振图像中显示为一个黑点，与计算结果非常吻合。

点击此处，阅读 Seurat Technologies 的相关研究论文: Simulation of heating of a beam shaping spatial light modulator in Area Printing metal 3D printing

3. 利用冷喷涂料延长不锈钢的使用寿命

冷喷涂 工艺是将金属粉末高速喷射沉积到不锈钢表面，以增强钢的耐腐蚀性和耐磨损性，从而延长其使用寿命。冷喷涂的高速沉积特性可实现复合材料，以及由金属、合金、复合材料和陶瓷制成的具有定制特性的功能梯度材料（FGM）的致密化。

Triton Systems 公司的一份技术文件中提到，冷喷涂制造技术目前广泛应用于维修和涂料领域，但在航空航天和海军工业的结构承重部件制造中的应用仍在研究之中。

Triton Systems 使用拉瓦尔（de Laval）喷嘴加速气流中的细小颗粒，并在颗粒与基底不锈钢材料（基体）接触时形成热影响较低的冶金结合。

示意图显示了冷喷枪工艺系统。获 CC BY 4.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享 。

定制金属粉末混合物可创建具有特定性能的复合材料。功能梯度材料也是根据特定属性量身定制的。烟气脱硫材料是通过喷雾工艺逐渐改变粉末成分制成的。成分的变化会导致材料性能的逐渐改变，如机械强度、导热系数或热膨胀系数。Triton 系统公司利用建模和仿真技术，根据静态机械测试输入结果预测冷喷涂复合材料和功能梯度材料的疲劳寿命。通过仿真软件测试疲劳寿命可以提高效率，减少实际疲劳测试所需的时间和资金。

借助结构力学模块和疲劳模块，该公司开发了带涂层和无涂层的 1 类飞机拉杆的 3D 模型，并采用了真实的疲劳载荷条件，用于确定冷喷涂层如何提高不锈钢的疲劳寿命。在该模型中，ASTM E290-22 狗骨样品需要接受循环应力测试。力和力矩载荷由载荷组定义，狗骨样品的疲劳行为由实验 S-N 曲线公式计算。在模型中的一个样品上使用了耐腐蚀的冷喷 CrC-Ni。铬碳镍通过用户自定义系统来表示，以定制材料属性。该模型生成了复合材料和功能梯度材料组件每个寿命周期的输出结果。

带冷喷涂层的狗骨样品在循环载荷应力下表现得更好。

研究团队对仿真结果进行了验证，并将疲劳寿命预测结果与实验数据进行了比较。结果表明，喷涂了铬化碳-镍的狗骨样品的疲劳寿命有所提高，在承受循环载荷时受应力的影响较小。仿真结果与寿命预测非常吻合。

Triton System 基于对复合材料冷喷部件，以及循环承载情况下功能梯度材料的研究，对使用冷喷涂层的不锈钢的性能改进提出了自己的见解。

了解更多有关 Triton 系统和这项研究的信息，请查阅相关研究论文：Predicting Fatigue Life of Cold-Sprayed Multi-Materials and Functionally Graded Materials

多物理场仿真推动制造业发展

本文只介绍了制造业的工程师、研究人员和科学家如何使用 COMSOL Multiphysics^® 优化产品和流程，以及提高效率的几个示例。

您可以访问 COMSOL 官网的制造行业应用页面，了解更多建模与仿真实例。

参考文献

1. Global Manufacturing Market Size and Forecast – 2025-2032. (2025, May). Coherent Market Insights. https://www.coherentmarketinsights.com/industry-reports/global-manufacturing-market

Area Printing 是 Seurat Technologies Inc. 的注册商标。

编者注：本文初版发表于2015年7月17日，本次更新包含修订文本及新版本软件制作的模型图。

微泵设计面临的挑战

在微通道中对流体进行混合、分离和输送具有一定的设计挑战。工程师必须设计出满足微尺寸要求且性能优异的微泵。无阀泵凭借设计简单以及对生物材料更加温和的特性，常被选作微泵方案。然而，在没有传统泵的止回阀的情况下，维持单向流体流动具有挑战性。无阀微泵则依靠结构与流体之间的相互作用来实现单向流动。因此，无阀泵设计不适用于雷诺数较低的流体，或涉及黏性流体、小尺度或低流率的应用。COMSOL认证顾问Veryst Engineering 公司开发了一个模拟无阀微泵机理的模型，克服了这一设计限制。

在 Veryst 的模型中，微泵通过往复式驱动机构等方式，产生振荡流体运动。流体进入水平通道，通道两侧以倾斜角度布置可弯曲的微型阀瓣。这些阀瓣随流体运动发生弯曲，从而实现单向流动，无需采用阀门系统复杂的同步驱动机制。

微泵机理模型的几何结构。

通过仿真评估微泵性能

在此模型中，雷诺数设定为16，但也适用于雷诺数远小于1的情况。在 COMSOL Multiphysics^® 软件中，通过 流-固耦合 接口设置输入振荡流以及微型阀瓣的物理属性，随后计算阀瓣的响应及其对流体流动的影响。全局常微分和微分代数方程 接口用于计算2秒泵送周期内随时间变化的净泵送率。

模拟从微泵的下冲程开始，即微泵将流体向下推入垂直腔室时。此操作会导致右侧阀瓣向下弯曲，同时左侧阀瓣向上弯曲。在此位置，左侧阀瓣阻碍流体流向左边，右侧流道被拓宽。这种结构自然地引导大部分流体向右流动，因为这是阻力最小的路径。

在泵的下冲程期间测量流速大小、速度场和 von Mises应力，此时大部分流体被推向通道右侧。

在泵送上冲程期间，流体被泵入垂直腔室。上冲程产生的流动使阀瓣弯曲方向与下冲程时相反。这种变化不会改变净流方向，因为此时大部分流体从左侧入口被吸入流动通道。

在 0.76s 时，流体被吸入，其中大部分流体在泵送上冲程期间从左侧入口流入。

由于流动流体引起的阀瓣自然变形，这两个阶段均产生了从左向右的净流率。但在整个模拟时间内，此微泵机理维持这种流动的效果如何？

随时间变化的从左到右泵送的净流体积。

在为期 2 秒的测试中，从左向右的净泵送体积持续增加，在冲程速度达到峰值时净流率更高。这表明此模拟无阀微泵机理的模型能在如此低的雷诺数下有效工作，克服了许多无阀微泵普遍存在的局限性。

这种无阀微泵机理未来可能有许多应用，其中之一是用作流体输送系统。在这种应用中，微泵的工作机理可以从左侧的液滴储液池中吸取流体，并通过微流体通道将其输送到右侧的出口。

下一节

在这篇博客文章中，我们仅展示了一组模拟结果。通过自己动手实践 Veryst Engineering 提供的教程模型，您可以直观地了解无阀微泵在不同场景下的工作机理。

地下目标探测器（如金属探测器）的应用前景非常广阔。然而，对于非金属物体，如考古挖掘现场的陶器碎片或塑料包裹的地雷，金属探测器就显得力不从心了。如果我们能从埋藏物的反射波谱中提取出丰富的信息，那么地震面波（也许是勘探现场投掷重物产生的）可能适用于这种情况。

地震面波简介

地震面波（也称“瑞利波”）可能是人们最熟悉的地震波。当然，在地震中，地震面波发生的规模要比这里讨论的应用大得多，但了解这些波的特性仍然很重要。

地震中会有几种不同的波传播，比如压力波或纵波、剪切波和面波。地震面波是地震中最后到达但能量最强的地震波，造成的破坏最大。面波在地震中到达较晚，因为它们沿着地表传播（而不是直接穿过地球），速度明显低于直接穿过地球内部的较弱但传播较快的波。

要充分认识面波在地下目标探测中的潜在应用，我们必须关注面波行为的另外两个基本特征：

1. 在例如地球土壤层和岩石层等分层介质中，这类波的传播速度取决于波长。回到地震的例子，初始地震扰动中混合了许多不同的波长，因此面波不会一次性传播，而是随着时间的推移逐渐扩散，不同波长的波在不同的时刻以不同的速度到达。
2. 虽然被称为“表面”波，但这些波确实会在表面以下引起一些运动。不过，这些运动会随着深度的增加而减弱，因此使用“表面”这个限定词仍然是有道理的。

尤其值得注意的是，波长越长（沿地表测量），运动随深度衰减的速度越慢。

地震现象的规模可能达到数十公里或数百公里。对于较小的规模，例如以米或数十米为尺度的建筑工地评估，其目标可能是确定地基地层和基岩深度，那么速度随波长的变化（上述第 1 点）就具有重要意义。对于波行为的研究催生了一些勘测方法，即通过考虑最能解释观测到的速度变化的模式来推测地表下未见地层的模式。这种形成性技术被称为“面波频谱分析法”（SASW）。

物体定位研究

受 SASW 用作地层学识别技术的启发，研究团队提出对测量到的面波频谱进行同样的分析，只不过现在是在近地表尺度（可能是几十厘米到一米）上对埋藏物体的反射进行分析，这将有助于确定埋藏物体的位置（参考文献 1）。图 1对这一概念进行了展示。

图 1. 基于面波的近地表埋藏物探测系统的概念示意图。

特别的，研究团队假设频谱中与物体深度有关的某些波长可能比其他波长更强（图 2）。比物体深度短得多的波长在物体深度处只会引起轻微的运动（参考上文第 2 点），因此几乎不会产生反射。那些比物体深度长很多的波长也可能反射很弱，原因很简单，与波的尺度相比，物体的特征太微不足道了。至于中等波长，即当波到达足以“看到”物体的深度，但又不会比物体深度长得多的波长，可能会在反射频谱中出现一个峰值。如果假设正确的话，这个峰值的波长（或频率）可以作为物体深度的指数。

图 2.深度推理方法示意图（摘自参考文献 1）。

我们比较熟悉的定位方法，如利用回波返回时间来确定距离（例如使用声纳），以及将面波发射到首选方向以给出方位角，可以补充上述深度推理，并在柱坐标系中获得物体的位置。这些方法仍未经过测试，但对于完善定位方法来说是可行的建议。然而，深度确定是所设想方法中最不传统和最不确定的部分，值得特别关注：作为测试此方法可行性的第一步，研究团队选择使用 COMSOL Multiphysics^® 软件进行模拟。

COMSOL 深度推理研究

我们创建了一个上表面自由、下边界和侧边界无反射的均质介质，作为均匀土壤近表面区域的粗略表示。图 3 显示了在 COMSOL Multiphysics^® 软件中所创建的均质二维介质，并使用三角形单元划分网格。在这个二维模型中，在接近地表的地方，大约位于从左到右的四分之三处有一个空隙。将此空隙作为埋藏物，埋藏物的反射用于测试深度推理方法。在最左侧接近上表面处，一个点力以载波频率循环数次以产生面波，这些波的振幅被调制成脉冲包络的形式。脉冲足够短，以使其在任何从空隙返回的反射到达之前就已完成，因此可以将反射与传出的波清晰地分开（见图 4）。

图 3. COMSOL^® 中的网格，表征了一个包含空隙（右侧，近表面）和激励源（左侧，近表面）的地表土壤区域（摘自参考文献 1）。

图 4 是使用 COMSOL^® 模型绘制的显示了空隙反射的一种面波图型，此时的面波长接近于产生反射峰值的面波波长。相较之下，图 5 显示了波长短得多的激励情况，虽然大部分从物体上方通过，但与物体的相互作用最小，反射也最小。

图 4.接近最优波长的反射面波（摘自参考文献 1）。

图 5. 较短波长激励产生的最小反射（摘自参考文献 1）。

在上述任一图中，都可以得到反射强度的测量值。这些测量值可以在各种波长-深度比之间进行比较，图 6 是利用 COMSOL^® 仿真导出的数据在 MATLAB^® 中绘制的。据推测，对于土地探测应用，观测峰值所在的波长，可以获得物体深度的最准确估计值。结果证实了这一推测，在深度与波长的比值大约为 0.7 处，反射最大。

图 6. 在 MATLAB^® 中绘制反射强度与波长相对物体深度的函数关系（摘自参考文献 1）。

如前所述，其余的柱坐标（距离、方位角）可使用常规方法找到，例如，通过查找脉冲的回波返回时间（测距）和发射方向聚焦脉冲使反射幅度最大（方位角）等。

如本文所述，借助 COMSOL^® 进行的仿真使研究团队能够将反射峰值的频率与埋藏物的深度联系起来。研究团队计划进一步推进这项工作，例如在大约 10 ~ 100 KHz 的频率下进行比例模型验证，以在大小适中的比例模型中获得极短的波长。在同样的背景下，研究团队基于上述比例模型，计划采用拟议方法来确定方位角和距离以完善深度。此外，团队还将进行实地测量，以测试该方法在偏离理想的实际条件下的稳健性。

扩展阅读

如果您想了解有关地震波的更多信息，可以查阅以下博客和模型：

• Happy Birthday, Inge Lehmann
• 地震波在地球内部的传播
• 地震后的地面运动：一座小山的散射

关于作者

Masoud Zarepoor 是苏必利尔湖州立大学（Lake Superior State University，LSSU）的一名机械工程副教授。他的主要研究方向为振动、智能材料、非线性动力学和声学， 获 Old Dominion 大学博士学位。他于 2016 年 8 月加入 LSSU ，一直从事振动和声学领域的教学和研究工作。他在攻读研究生期间熟悉 COMSOL Multiphysics^® 后，将其介绍给了 LSSU 工程专业的学生。LSSU 工程的专业学生将 COMSOL^® 广泛用于他们的研究和课程中，包括声学研究、结构和模态分析以及 CFD 仿真。

参考文献

1. D. Baumann et al., “Buried Object Localization by Spectral Analysis of Surface Wave Reflections”, 186^th Meeting of the Acoustical Society of America and the Canadian Acoustical Association, Ottawa, May 2024, paper 4pPA5; https://pubs.aip.org/asa/poma/article/54/1/045002/3308041/Buried-object-localization-by-spectral-analysis-of

MATLAB^® 是 MathWorks, Inc. 的注册商标

章节内容

1. 如何在 COMSOL Multiphysics^® 中实施弱约束？
2. 拉格朗日乘子
3. 有限元约束处理
4. 引入拉格朗日乘子
5. 弱约束
6. Nitsche 约束
7. 术语说明
8. 拉格朗日乘子的解释
9. 使用弱约束时应注意的事项

如何在 COMSOL Multiphysics^® 中实施弱约束？

几乎在所有情况下，COMSOL Multiphysics^® 中默认的约束类型都是逐点约束。逐点约束直接应用于自由度 (DOF)，通常是网格中的一组节点。

在模型开发器的大多数标准约束功能的设置中，都有一个 约束设置 栏。在这个栏，您可以在两个不同的约束之间选择。一些功能的约束列表中可能包含第三个选项，即 Nitsche 约束。

约束设置 栏示例。

不过，默认情况下该栏并不显示。弱约束属于 “高级”功能。您可以在 显示更多选项 对话框中选择 高级物理场选项 来启用该栏。

启用 高级物理场选项。

拉格朗日乘子

由于弱约束是基于 拉格朗日乘子，我们有必要先从该主题的一些基本概念讲起。

拉格朗日乘子的概念是由数学家约瑟夫•路易•拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在变分法研究中提出。在我们的博客诞辰快乐，约瑟夫•路易•拉格朗日中，您可以了解更多关于他的生平和工作。

一般的带约束最小化问题可表述如下：在一组约束条件 的约束下，求函数 的最小值。接下来的问题是，如何以一般的方式满足这些约束条件。对于简单约束（例如线性约束），可以显式地反解约束表达式并将结果代入 ，从而减少未知数的数量。但这只是例外情况，而非普遍规律。

现在可以通过求解以下函数的最小值来解决问题：

式中， 是一组新的未知变量，即拉格朗日乘子。由于 为真解，因此很明显， 的最小值等于受约束 的最小值。但为什么会这样呢？

要找到函数的极值，需要计算所有变量的偏导数，并将它们设为零。在这个示例中，

和

因此，通过对方程组求关于拉格朗日乘子的偏导就可以恢复约束方程，也就是说，约束条件仍然有效。但是，第一组方程更为精妙。要理解对于特定值，为什么它们能确保获得正确的最小值，需要更详细的论证。值得注意的是，新方程现在还涉及约束函数的梯度。

如需完整且详细的解释和举例说明，请参阅：拉格朗日乘子。

有限元约束处理

考虑一个简单的线性静态有限元问题。最终离散矩阵形式可以写为

式中， 是刚度矩阵， 是自由度向量， 是节点载荷向量。为了能够求解此方程组（使刚度矩阵非奇异），必须已知至少一定数量的自由度值。例如，对于传热问题，至少需要一个温度，而对于三维固体力学问题，至少需要知道 6 个位移自由度。最常见的方法是直接输入该自由度的数值。此外还有其他选项，如热量传递分析中的对流边界条件或结构力学中的弹簧条件。

实际应用中往往会施加远超稳定性所需的约束，例如在整个边界上应用约束。只要存在一些受约束的自由度，就可以将方程组按如下形式进行划分：

式中，下标 a 表示激活的自由度，下标 c 表示受约束的自由度。矢量 包含受约束节点上未知的反作用力。这一术语来源于固体力学反作用力的概念。例如，在热量传递中，反作用力就是热通量。大多数情况下，约束节点上不施加任何载荷 ，因为它们对解没有影响。

的值是已知的，例如 。在求解有限元方程时，最基本的处理方法是只求解激活的自由度。约束值的影响可以移到方程右侧，得到

求解简化后的方程组后，就可以使用以下方程在结果估计步骤计算反作用力

实际计算时，只需组装 矩阵，其余矩阵乘法运算可以在单元层面更高效地完成。

这种表述反作用力的方法假定问题是线性的，因此矩阵是常数。一种更通用的表述方式是，反作用力是残差计算的结果。对于激活的自由度，收敛解的残差很小。在受约束节点，残差较大，可以解释为反作用力。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，基本上 后验 是可以做到的使用 reacf() 算子计算与节点相关的反作用力。请注意，得到的值是集中的节点值而非连续分布场。根据单元中使用的形函数，这种节点值的分布可能不是很直观。不过，其求和结果在数值舍入误差范围内是精确的。

这种方法的缺点是，如果需要在计算中使用反作用力，它们就无法使用。

注：上述描述基于一般的有限元公式，是对 COMSOL Multiphysics^® 内部实际处理方式的极大简化。实际上约束处理要复杂得多。例如，可能涉及非线性约束，或是连接不同物理场变量的跨场约束。

引入拉格朗日乘子法

现在，继续讨论离散化形式。为了不那么抽象，我们举一个固体力学的例子。对于线性问题，可以证明势能为

将 W 与位移最小化，就能得到之前使用过的普通方程组。现在，将所有约束条件与各自对应的拉格朗日乘子相乘后加入势能表达式：

为清晰起见，自由度向量分为无约束 DOF ( ) 和有约束 DOF ( ) 。关键区别在于：新公式中将受约束自由度同样视为未知量。
为简单起见，假设受约束的自由度无外载作用。对各组变量求导后得到如下方程组：

利用第二行方程可以很容易地验证，拉格朗日乘子与上文介绍的节点反作用向量 完全相同。最后一行方程简单地说明了 。

如果原始刚度矩阵是对称的（通常是这种情况），那么这个新方程组也是对称的。但此表述存在以下局限：

• 与只求解激活的自由度不同，这种计算方法需要求解激活的自由度、受约束的自由度和拉格朗日乘子。
• 矩阵对角线存在零元素，部分线性方程组解法无法处理
• 出于数值计算考虑，必须对方程组进行适当的比例缩放。原刚度矩阵元素的量级可能与单位值相差甚远。

尽管如此，该方法仍具显著优势：

• 反作用力值本身构成问题表述的一部分，不能仅视作结果量
• 使用拉格朗日乘子时，强非线性约束条件的收敛效果会更好。
• 在逐点约束中无法使用时间导数。如果需要，使用拉格朗日乘子法是唯一的选择。

弱约束

弱约束条件同样基于拉格朗日乘子概念。不过，在离散化之前的数学描述中已经考虑了约束条件。

有限元公式的基础是使用基本方程的弱形式。在固体力学中，这也被称为虚功原理。计算公式如下

式中， 是应力张量， 是应变张量， 是牵引向量， 是位移场。 符号表示变分算子。在 COMSOL Multiphysics^® 中，它由 test() 和 var() 算子表示。符号约定与软件保持一致。

为简单起见，假设载荷（牵引力）只作用于边界。在更一般的情况下，也可能存在体积、边和点载荷。

为了使公式更加完整，需要在边界的某些部分设置位移的指定值，

在用选定的形函数近似位移时，该数学表达式将转化为有限元方程的离散化形式。

基于拉格朗日乘子的思想，现在可以通过添加一个额外项，将约束条件纳入弱表达式中：

式中, 是一个定义在约束边界上的拉格朗日乘子。假设 只是一个指定值（与解无关），那么最后一项可以扩展为三项，即

当使用有限元法将弱形式表达式转换为离散方程时，与位移一样， 使用形函数在单元上近似。原则上，两个场的形函数可以相互独立地选择，但这样会失去刚度矩阵的对称性（甚至会使矩阵变得奇异）。因此，通常使用与位移相同的形函数。组装后的方程组如下所示

矩阵 和 源自上述弱表达式中的第三项和第四项，只要位移和拉格朗日乘子使用相同的形函数，它们就具有对称性。

补充说明：矩阵 实际上与同一边界上单位面积质量分布的质量矩阵贡献相同。在 固体力学 接口中，可以使用 附加质量 节点给出这种质量分布。

为便于比较，我们重复上述对离散化系统应用拉格朗日乘子得到的方程组：

可以看出，结构类似，但单位矩阵被 所取代，右侧现在包含 ，它是 的加权形式。

那么，这种修改会产生什么影响？指定自由度的节点值将不再与指定值完全一致。另一方面，节点之间的值在平均意义上将更接近给定函数 。

为了说明这一点，我们来看一个简单的传热示例，比较用标准逐点约束法和弱约束法得到的结果。

示例一：传热

使用二阶拉格朗日单元在单位正方形上以 2×2 网格求解一个二维传热问题。在最右边的边界上，温度设定为 sin(2*Y)。在相反的边界上，温度设为零。在其余边界上，没有任何边界条件，对应于无通量。温度选择指定正弦函数分布是为了避免二次形函数对其进行精确描述。

带边界条件和计算温度场的模型。

如果我们沿着右边界绘制温度曲线，两种方法之间的差异几乎重合，如下图所示。

右边界的温度分布。

在下图中，我们可以看到温度与其设定值之间的比较，这是一个更有趣的曲线图。

实际温度场与指定温度之间的差异。垂直虚线表示节点位置。

从上图可以看出，在节点点上，逐点约束与指定函数完全一致。而使用弱约束条件时，情况并非如此。

还存在一个或其他更好的解吗？第一个尝试是计算与给定函数相比的平均误差。结果如下表所示。

事实证明，使用弱约束条件时，平均误差要小三个数量级。通过添加拉格朗日乘子场，指定值将在平均意义上尽可能地一致。为了证明这不是巧合，我们进行了一次参数扫描，将边的网格密度从 1 个单元改为 20 个单元。

右边界的平均温度误差与网格密度的函数关系。

需要强调的是，这些误差量级本身已经非常微小。对于任何合理细化的网格而言，上述对比主要具有理论研究价值。

在接下来的案例中，约束类型的选择将产生直观可见的影响。

示例二：杆模型

此例中，我们使用的是一根横截面为正方形的杆，它受到单轴拉伸。这是一个有两个域的装配体。一个域使用六面体单元网格划分，另一个域使用四面体单元网格划分。由于这是一个装配体，因此使用 连续性 条件将两个域连接起来。其结果是，网格在共同边界处 不兼容。

杆模型的网格和载荷。

默认情况下，连续性是通过逐点约束来实现的，因此 目标 侧的每个节点都必须具有与 源 侧相应位置完全相同的位移。根据选择哪一侧作为目标，将得到不同的结果。

使用逐点状约束时杆内的应力分布。在前景中，六面体单元构成目标侧，背景中则为四面体单元。

由于两个域交界处的形函数不一致，应力场中存在明显的局部扰动。随着与连接处距离的增加，扰动会迅速消失。COMSOL博客：“圣-维南原理的应用和解释 ”中详细讨论了这一现象。

如果我们现在改用弱约束，结果会好得多。在下图中，应力采用了另一种标度。误差大约小了一个数量级。

使用弱约束时杆中的应力分布。

结论表明，弱约束法能有效缓解非匹配网格连接时的应力扰动问题。

您可能会问，既然在传热示例中的影响如此之小，为什么在这个示例中两个公式之间的差异如此之大？答案是，指定温度是平滑的，可以用形函数进行合理近似。而在网格不匹配的情况下，每个单元面上的位移场都由各自的形函数表示，并不具有连续导数。现在，弱约束的平均效应变得更加重要。

Nitsche 约束

COMSOL Multiphysics^® 中的一些约束功能允许使用第三种类型的约束实施方法：Nitsche 方法。本文不展开理论细节，它也是一种弱约束类型，但不依赖于拉格朗日乘子的使用。它没有增加额外的自由度。以下是将该方法应用于同一个杆示例时的结果。

使用 Nitsche 约束条件时杆中的应力分布。

Nitsche方法有多种变体可供选择。这里使用的是默认的对称方法。可以看出，源点和终点的选择不再重要，误差甚至比使用弱约束时更小。Nitsche 约束不仅涉及连接边界上的节点，还涉及与边界上一个面的单元相连的所有节点，因此提供了更多的灵活性。

Nitsche 方法的缺点是，在其默认（也是最稳定的）的实现中，会产生一个非对称刚度矩阵，这可能会大大延长求解时间。如果问题中还有其他效应导致非对称贡献，这一缺陷则可忽略，因为对称刚度矩阵的优势已不复存在。

术语说明

在 COMSOL Multiphysics^® 中，当选择使用弱约束时，该功能表示”使用拉格朗日乘子进行约束”。在少数情况下，例如在约束单点或常微分方程 (ODE) 自由度时，拉格朗日乘子只是一个数值而非场量。在这种情况下，情况与上述离散情况相同：没有新的近似值，唯一的影响是可以直接获取约束力。(不过，你可能并不认为这是真正的弱约束）。

在某些情况下，特别是在结构力学接口中，调用拉格朗日乘子的公式时并没有明确提及弱约束。例如，刚性连接件 功能有一个名为 计算反作用力 的选项。

你可能会问为什么需要一个选项来获取反作用力。原因是对于该功能和其他类似功能，除了使用拉格朗日乘子外，没有其他方法可以计算反作用力。另一方面，总是使用这种计算方法可能会导致一些不明显的问题，这将在后文中讨论。因此，需要用户进行交互控制。

拉格朗日乘子的解释

上文提到，对于离散情况，拉格朗日乘子可直接解释为节点反作用力。这一特性更为普遍，并且不局限于有限元方法或固体力学。拉格朗日乘子代表执行约束所需的某种作用。通常，拉格朗日 代表一种能量。在这种情况下，拉格朗日乘子将与约束量在能量上共轭。

拉格朗日乘子的实际单位还取决于受约束物体的尺寸。对于固体力学，采用弱约束边界的拉格朗日乘子单位为 N/m² = Pa。拉格朗日乘子场可以解释为为了保持指定位移而需要施加到边界上的牵引力场。但是，不应期望该域能准确表示约束处的局部应力场。不过，它在综合意义上是非常准确的。

为了说明反作用力的牵引力场，我们对下图中的短悬臂梁进行了研究。在固定端施加了弱约束。

具有 von Mises 应力和外加载荷的悬臂梁。

接下来研究受约束端部的剪应力。根据分析解法，剪应力在横截面上呈抛物线分布。泊松比选择为零，以尽量减少约束效应。在给定的坐标系中，外加载荷会产生剪应力 σ_xy 和弯曲正应力 σ_xx。由于固定表面的法线位于 x 方向，牵引力分量 t_y = σ_xy。因此，它应该用 y 方向上约束条件的拉格朗日乘子来表示。下图对这些结果进行了比较。

计算的剪应力、拉格朗日乘子计算值和解析解的比较。

在所使用的网格分辨率下，应力和拉格朗日乘子均未精确反映真实解。存在一个显著差异：积分后，Y 方向总反作用力的相对误差在使用应力计算时为 3%，而使用拉格朗日乘子时为 2·10^-12。

如果自行编写弱约束，拉格朗日乘数的物理意义可能因约束公式的不同而有强有弱。例如，假设需约束某点，使其变形后位于以原始位置为圆心、半径为 R 的圆周上。

以下展示了两种输入此类约束的不同方式：

在 弱约束 节点的设置中输入同一约束的不同方法。

这两种表达式都能以相似的迭代次数得到相同的解。然而，在第一种情况下，拉格朗日乘子的值很难解释。从量纲角度来看，它的单位是 N/m（因为它乘以单位为 m² 的约束条件）。在第二种公式中，它实际上是对径向位移的约束。计算出的拉格朗日乘子将是作用在支撑结构上的力。反作用力的方向并不明显，但会沿径向作用。因此，在物理上，该结构由一个无摩擦的圆形边界支撑。

不过，这个问题有两种可能的正确解—— 该点可能附着于圆周上的两个位置，本质上代表圆内侧或外侧的接触，最终解取决于初始条件。

使用弱约束时应注意的事项

约束冲突

在使用弱约束时最常见的问题是，若将其与标准逐点约束应用于同一自由度，二者无法共存。这种冲突可能导致”奇异矩阵””发现 NaN 或 Inf”等错误，甚至是完全错误的解。这种情况通常并非用户有意为之，但也可能在不经意间发生。

例如，如果在一条边界上使用弱约束，而在相邻边界上使用逐点约束。那么在公共边上就会出现冲突。通常，最简单的解决方法是将所有相连的约束条件转换为相同的表述（可能是弱约束条件，因为首先在某处选择它是有原因的）。有些约束的设置中还有 排除的边 和 排除的点 的部分。通过将冲突边添加到此类选择中，也可以解决问题。

在某些情况下，发生冲突的可能性并不明显。可能有一些约束条件是你没有想到的，因为它们或多或少是自动添加的。连续性 条件就是这样一种情况。

更微妙的是壳 接口中的情况，在 壳 接口中，每个节点都对旋转自由度（围绕壳表面法线的旋转）具有隐式约束。因此，如果在 壳 接口的任何对象上添加涉及旋转的弱约束（例如 固定约束 ），就会产生冲突。所有旋转约束（包括隐式约束）都必须改为弱约束。

拉格朗日乘子的单位

在大多数情况下，COMSOL Multiphysics^® 中的拉格朗日乘子不带单位。这使得它们与几乎所有其他量不同。单位是隐含的，只能通过反作用力场的物理意义推断。如果需要在结果评估中频繁使用拉格朗日乘子，建议创建包含单位的中间变量。

添加一个带有单位的变量来表示拉格朗日乘子场。

变量缩放

有时，加入拉格朗日乘子会使非线性问题的迭代次数增加，甚至无法收敛。出现这种情况的最可能原因是容差处理不当。解决这一问题并确保容差得到正确处理的最佳方法是对拉格朗日乘子的自由度进行手动缩放。为此，请转到求解器序列中的 因变量 节点，并添加适当的缩放比例。缩放应提供拉格朗日乘子的数量级，即其代表的反作用力通量。

为变量设置手动缩放。

迭代求解器

如果使用迭代求解器求解线性方程组，拉格朗日乘子可能会引发一些问题。刚度矩阵的对角线上有零点，因此它不再是正定矩阵，大多数标准有限元公式都是如此。

因此，某些线性求解器和前置条件器不能用于求解弱约束问题，即共轭梯度迭代求解器和 SOR 类前置条件器和平滑器。您可以尝试另一种迭代求解器，并使用以拉格朗日乘数作为 Vanka 变量的 Vanka 算法，或者使用不完全 LU 因子化算法作为预处理器。

对于多物理场问题，一种可行方法是采用分离式求解策略；若模型规模允许，还可对涉及拉格朗日乘数的场使用直接求解器。

拉格朗日乘子自由度的奇异性

将标准约束条件转换为弱约束条件时，在数值上会表现良好。但是，如果编写自己的非线性约束条件，或使用约束变量的某些表达式，那么刚度矩阵的拉格朗日乘子部分可能会出现奇异性。

在上文使用的非线性约束示例中，当节点被约束移动到其原始位置周围一圈时，其原始配置实际上会失效。

这里的约束表达式实际上是一个以节点为中心的抛物面，因此当 u = v = 0 时，其梯度为零。

作为替代方案，您可以在拉格朗日乘子的自由度中添加一个人为的”刚度”。在上面的例子中，可以将表达式扩展为：u^2+v^2-R^2+1e-6*lm*(u^2+v^2 < 0.01*R^2)

拉格朗日乘子变量的名称为 lm。由于采用布尔表达式，额外的贡献只对小位移有效，因此不会影响真正的解。其作用是在刚度矩阵的对角线上放置一个小数值，以避免初始奇异性。

我们在下一篇博客的"弱约束条件"部分也使用了同样的方法：如何在仿真中设置边界条件。在该部分中，出现奇异性的原因是边界中只有随时间变化的部分具有指定值。在边界的其余部分，拉格朗日乘子的自由度仍然存在，但没有定义它们的方程。

扩展资源

COMSOL Multiphysics^® 中的弱约束是强大的模拟技术，但要成功运用它们，需从数值角度理解其底层机制。

如果您想了解更多有关弱约束的信息，也可以查看以下博客:

• 弱形式的力量
• 弱形式概述
• 在 COMSOL Multiphysics^® 中实现弱形式
• 弱形式方程的离散化
• 非标准约束和弱贡献的力量

受蝠鲼启发的软体机器人

传统上机器人是由刚性硬质材料制成的。然而，软体机器人的开发（利用弹性体、凝胶或硅橡胶等柔性材料设计机器人）极大地扩展了机器人的应用方式，尤其是在仿生学和生物医学领域。例如，受蝠鲼启发设计的软体机器人可以被远程控制或在其底部安装传感器，这让科学家可以在不干扰水生生物的情况下收集数据，用于海洋多样性研究。相较于传统的螺旋桨动力水下航行器，软体机器人的机动性更高，不容易被水生植物缠住，并且造成的湍流也更小。

自然环境中的蝠鲼。照片由 Ishan @seefromthesky 拍摄，通过Unsplash 共享。

借助建模和仿真，软体机器人工程师能够研究蝠鲼机器人的设计，来提高其仿生能力。COMSOL 案例库中的机器人蝠鲼中的离子聚合物-金属复合材料执行器模型展示了一种通过建立模型来研究蝠鲼机器人执行器性能的方法。该模型长约 20 cm，翼展宽约 50 cm，与真实建立的蝠鲼机器人大小相当。该模拟使用 IPMC 执行器为机器人提供动力，通过 收缩和膨胀 多物理场耦合节点对流体环境（如海水下）中的运动做出反应。IPMC 是一种电活性聚合物，常用作在电刺激下能产生较大变形的驱动材料。离子电活性聚合物由离子传输产生的膨胀效应提供动力，通常只需要 1 或 2 V 的驱动电压，就能自然产生弯曲运动。这种材料具有质量轻、可操作性强的特点，并且能够在电刺激下产生拍打运动，而不是能效低下的电力传输，因此是人造肌肉的理想材料。

收缩和膨胀 多物理场耦合节点是 COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本的新增功能。这种耦合对于模拟因物质进入和溶出材料时分别经历的膨胀和收缩尤为有用。在这类模型中，当物质离开材料时会产生收缩，类似于海绵吸水后膨胀而变干后收缩。在本文示例的模型中，这种物质是水合阳离子，它会导致蝠鲼鳍收缩和膨胀从而产生运动。

蝠鲼机器人模型

模拟离子聚合物-金属复合材料

在示例模型中，鳍的两根悬臂梁由三层 IPMC 材料制成，中间层包含容纳移动离子的聚合物。顶层和底层均由一块薄金属板组成，金属板能够导电并形成电压差，使带电粒子上下移动，产生拍打运动。

驱动力由施加在两个金属电极板上的外部电压提供，上部电极施加正弦电压，下部电极接地。鳍片被牢固地固定在梁上，并且可以被动变形。通过测量变形来检测由于运动导致的形状变化程度。在这个示例中，运动由聚合物中水合阳离子浓度变化产生的膨胀引起。IPMC 通过多物理场效应产生力，其中涉及结构变形、质量传输和电流。该模型通过耦合 固体传递 和 固体力学 接口来考虑由膨胀引起的悬臂梁变形，所使用的与位移、浓度和电势相关的本构方程根据热力学原理推导。

IPMC 悬臂梁如何因粒子位置的改变而弯曲、收缩和膨胀的直观展示。

此外，固体中的电荷守恒 功能用于实现离子聚合物悬臂梁所在的固体域电荷守恒，固体传递 接口用于跟踪由化学势梯度驱动的扩散。

蝠鲼的运动

模拟结果表明，两根 IPMC 悬臂梁的移动可以通过电压控制。这项研究的重点是展示当改变输入电压（例如电池电源）时，蝠鲼可以运动，突出展示了两根 IPMC 悬臂梁可以成功地产生均匀的拍打运动。然而，并未对该模型进行扩展来演示蝠鲼如何在水中响应或是否会游泳。

下图左显示了所施加的正弦输入电压（5 V，0.2 Hz），可以看出两根 IPMC 悬臂梁之间存在相位延迟。下图右显示了 IPMC 梁产生的挠曲，可以看出靠近后缘的梁（绿线表示）由于长度较长，变形更为明显。正阳离子在聚合物中的周期性运动导致悬臂梁膨胀而发生周期性弯曲。

左图显示了两个 IPMC 悬臂梁的施加电压（相位差）。右图显示了悬臂梁因膨胀而发生周期性弯曲。

下图显示了沿整个悬臂梁厚度的粒子浓度分布，左侧为梁底部，右侧为梁顶部。从图中可以看出，电极交界处附近的浓度梯度变化很大，这表明阳离子在厚度上的不均匀分布导致悬臂梁膨胀变形而发生周期性弯曲。当一侧粒子浓度较高时，需要更多的空间来容纳，因此材料发生膨胀以尽可能多地容纳它们。

图中显示了阳离子沿每个悬臂梁厚度的分布不均匀，产生浓度梯度，引起悬臂梁膨胀而导致梁弯曲。

下一步

想亲自动手尝试模拟蝠鲼机器人模型吗？点击下方链接，进入 COMSOL 案例库下载相关的 MPH 文件：

延伸阅读

• 点击此处，了解更多有关软体机器人世界的信息:
  • 了解软体机器人技术的可能性: 软机器人技术让柔性机器人设计初具雏形
  • 了解科学家如何利用机器鱼设计水生机器人: 借助仿真研究鱼类的游动形态

这篇博客，我们将介绍三个梳驱动音叉式速率陀螺仪模型，并重点介绍基于方程建模的优势、如何模拟制造偏差的影响，以及混合有限元公式在设计中的应用。

模型概述

本文展示的陀螺仪模型所采用的几何结构，以及第一个模型使用的基于方程的建模方法，均由 Veryst Engineering, LLC 公司提供。这些模型通过科里奥利力将驱动模式和感应模式耦合在一起。相较于其他 MEMS 陀螺仪设计，其驱动与传感机制（分别采用静电驱动和电容式传感技术）能提供更高的灵敏度水平。该设计包括两个锚定在基板上由弹簧支撑的测量质量块。这两个质量块在驱动力的作用下，以相同的振幅向相反的方向移动。

COMSOL Multiphysics^® 用户界面显示了模型的参数。

陀螺仪设计中基于方程的建模

我们要研究的第一个模型旨在通过求解来确定稳态位移、谐振频率及其对旋转的响应。通过该模型，我们可以深入理解这种 MEMS 陀螺仪的工作原理，以及如何为类似器件建立最优模型。在模型中，梳齿驱动器的直流偏压为 60 V，交流激励为 3 V，感应电极的直流偏压为 5 V。COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品 MEMS 模块中预定义的 机电 接口用于模拟多物理场耦合，同时，该模型也可用于计算单物理场问题中的静电力。

有变形（左）和无变形（右）的陀螺仪模型。

这种方法通过方程近似模拟静电力，然后与固体力学接口进行耦合，从而提高了求解速度。为了进一步节省时间和减小文件大小，网格设置相对较粗。该模型的驱动模式和感应模式频率数值仿真结果与已知解析解的比较如下图所示。

模拟制造偏差的影响

复杂的设计可能会带来制造偏差，导致器件性能差异。因此，大多数工程师都会采用面向制造的设计方法，即对设计中制造商难以稳定复制的部分进行修改。

COMSOL Multiphysics^® 可用于估算制造偏差对设计的影响。通过 变形几何 功能，用户可以使用相同的网格实现因制造缺陷导致的多种器件形状变化。这可以避免使用不同网格求解不同几何结构可能带来的误差。

本文示例的模型为模拟的器件添加了各种制造偏差，包括：

• 过度蚀刻导致临界尺寸 (CD) 变化的影响（50 nm 过度蚀刻）
• 器件层厚度偏差（100 nm 厚度变化）
• 通过垂直方向的最陡角度（θ）和面内角（φ）参数化侧壁倾斜（0.5°）

在无旋转、侧壁倾斜（左图）和无倾斜（右图）的情况下，器件运行过程中的位移。

模型求解结果显示，模式间距（相邻模式之间的频率差）受临界尺寸控制和 50 nm 过度蚀刻的影响显著，从而导致模式间距发生较大变化。

从结果可以看出，驱动模式受厚度变化和侧壁的影响相对较小，而感应模式由于涉及面外运动，因此受厚度的影响较大。

通过这些模拟结果，设计人员可以了解一种制造工艺是否能够生产出所需性能的器件，或者设计是否需要修改。在生产前获得这种洞察力可以节省时间和资源。

使用混合公式的微机械陀螺仪

上文介绍的两个模型只用到固体力学接口，而第三个模型则包括固体力学和机电效应，并充分考虑了它们之间的相互作用。这个模拟是真正的多物理场仿真，是 COMSOL^® 如何处理多物理场问题的典型示例。

此模型不需要用户定义解析方程，因此设置更加简便。譬如，原模型需要 40 个与用户自定义方程应用相关的选项，而多物理场模型只需要 14 个选项。可以预见的是，此模型的模拟结果与前两个模型不同，多物理场方法计算的梳齿驱动中的固定梳齿和移动梳齿之间的作用力更大，因此谐振频率略低。此模型还使用了 COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本新增的静电接口中的混合有限元公式。该公式同时求解电势 (V) 和电位移场 (D)，使静电力计算更加精确，特别是对于具有许多尖锐边缘和拐角的复杂结构。因此，该计算公式非常适合模拟梳齿驱动致动器的陀螺仪和加速度计。

面外感应模式的模态形状。

自己动手

借助 COMSOL Multiphysics^® ，设计人员能够量化制造偏差对设计的影响，并能使用基于方程的方法提高仿真效率。更进一步，还可以利用多物理场耦合功能提高设计精度。

要模拟文中介绍的示例，请查看以下 COMSOL 案例库中的示例模型，其中包括模型的分步说明和 MPH 文件：

• 第一个示例: 梳驱动音叉式微速率陀螺仪
• 第二个示例: 梳驱动音叉式微速率陀螺仪中制造偏差的影响
• 第三个示例: 使用混合公式模拟微机械陀螺仪

电迁移的影响

我们日常使用的像电脑、智能手机等设备均依赖于集成电路。这些设备中包括 CPU、GPU 和 RAM 芯片等集成电路，其中能包含数百万或数十亿个半导体元件，用于在处理数据时执行各种计算。只有当信号能在半导体元件之间稳定传输时，才能执行这些计算。这项任务是通过互连线完成的，互连线允许电流在元件之间流动的导电通路。

随着时间的推移，由于集成电路的长期使用，互连线可能会因电迁移而损坏，甚至完全失效。虽然电迁移能发生在任何尺寸的金属中，但更易发生在具有纳米级特征的小尺寸元件中。作为参考，每立方纳米铜（一种常用于互连线的材料）包含几十个原子。

当晶格中的空位迁移并累积形成宏观空洞（无原子区域）或凸起（原子累积区域）时，就会发生电迁移，进而导致电阻增加、过热、材料降解以及结构的整体变差。宏观空洞增长和凸起形成将引起电气短路或开路，从而导致互连线故障。

电迁移导致的故障位置图像。图片已进入公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

空位是指晶体结构中缺失一个原子的位置。理想的晶格中不应存在空位，但在实际情况中，任何晶体都会包含一定数量的空位。空位可能在金属（或合金）凝固过程中形成，也可能因原子随机振动而自发产生。超过绝对零度的任何温度都会发生原子随机运动，且在特定温度下，每个晶格中都分布一定数量的空位，并达到某种浓度平衡。

尽管我们提到空位的迁移或移动，但实际上，空位本身并没有移动，而是原子以跃迁至邻近空位的方式移动，称为“替位扩散”。空位的移动方向看似与原子的运动方向相反。在纳米尺度上，即使不存在外场，整个材料中也会发生许多空位跃迁。在宏观尺度上，由于纳米尺度的运动在平衡状态下是各向同性的，因此不会出现整体的空位移动。然而，当存在外部驱动力时，原子会发生运动，从而在某个方向上产生空位迁移。

导致空位通量的因素有哪些

导致互连中空位移动的主要因素之一是流经其中的电流。当在互连器件上施加电势差时，电子会在电场方向的作用力下产生净运动。当电子流经导体时，一些电子会发生碰撞，并将能量和动量传递给原子。这种动量传递导致一些原子获得足够的能量，从而跃迁到邻近的空位。这种效应产生的空位通量由以下式计算：

1

式中， 是空位浓度， 是空位扩散率， 是有效电荷数， 是元电荷， 是电场， 是波尔兹曼常数， 是温度。

由于结构特性和导电率通常是温度的函数，因此准确求解互连线中的温度分布非常重要。

在描述电场导致的空位通量时，我们曾提到电子在导体中流动，并因与原子碰撞而损失能量。因此，还必须考虑这种能量转移所产生的焦耳热。由于互联电路非常小，电流密度会很高，焦耳热也不能忽略。

焦耳热和与周围环境的热量传递所产生的热梯度也会影响原子和空位的移动。温度梯度带来的额外空位通量为:

2

式中， 是传递的热量。

导致空位移动的另一个因素是空位从高浓度向低浓度的扩散，所产生的空位通量与空位浓度梯度成正比：

3

需要注意的是，扩散系数可能取决于材料内部的温度或应力。此外，晶格微结构对扩散系数也有重要影响。原子（和空位）在晶界处迁移时遇到的阻力明显小于其运动；因此，如果制造互连器件时包含许多小晶粒，将会有更多的晶界作为扩散通道，整体有效扩散系数就更高。晶粒相对于电流流动的方向也会对扩散系数产生显著影响。

由于热膨胀和空位累积，材料可能会变形并引起损坏，从而导致互连线故障。因此，需要求解材料内部的应力分布问题。

原子倾向于从高应力区迁移到低应力区；因此，空位的迁移方向正好相反。这种通量通常与电场产生的通量相反，其计算公式为：

4

式中，是特定材料的空位弛豫因子， 是原子体积， 是静水压力。

现在已知导致空位移动的所有因素，总空位通量即可由这些通量之和得出：

5

然后，可求解考虑了总通量的标准传递方程，

6

式中， 是由于域内空位的生成或湮灭而产生的源/汇项。

另一个需要考虑的影响因素是空位累积区域的晶格收缩，以及空位浓度降低区域的晶格膨胀。这种行为通过空位通量的散度和空位生成所导致的体积应变率来描述：

7

电迁移模拟

要模拟电迁移，我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 同时求解多种不同的物理现象，包括电流、固体力学、传热，当然还有空位传输。

让我们先来看看互连的外观。下图显示了一个互连器件的几何结构示例。铝或铜等材料可用作导电材料。根据具体设计和所选材料的不同，主要互连材料周围可能还会有衬里或阻挡层。添加这些层有几个原因，包括防止原子扩散到周围的电介质中，或改善互连材料与电介质材料之间的黏附性等。

一个典型的互连几何结构。

根据我们定义的边界条件和材料属性，电流 接口可用于求解整个域的电势。无论几何细节如何，都会有一个作为接地（V=0）的边界，以及另一个指定了已知电势、电流、电流密度或功率的边界。

固体力学 和 固体传热 接口用于考虑互连的结构和热响应。假设材料为线弹性材料，本例中不考虑材料的非线性特性。

要在 固体传热 接口中定义适当的边界条件，必须考虑周围的热环境。例如，整个芯片可能通过强制对流或自然对流冷却。在此模型中，衬里的外部边界采用对流热通量条件，而互连的两端则采用恒定温度。

如前所述，互连内的主要热源来自焦耳热效应，可通过 电磁热 多物理场耦合轻松考虑。此外，热膨胀可通过 热膨胀 多物理耦合加以考虑。

COMSOL 官网提供了大量使用 COMSOL^® 模拟焦耳热和热膨胀的教程。例如，电-热-机械仿真入门系列文章介绍了设置这些问题的工作流程。

固体传递 接口可用于设置空位传输模型的控制方程。该接口求解相关变量浓度的传递方程，本例中为空位浓度。

默认情况下，传递方程考虑的是浓度梯度引起的扩散通量。但是，为了模拟电迁移引起的总通量，可以添加额外的通量贡献。如下图所示，在 固体传递 接口中使用 外部通量 功能，可以轻松地将这些额外通量纳入控制方程。

外部通量 功能可以将任意额外的通量添加到传递方程中。

可以看到，电场、应力和温度梯度的通量贡献已被添加到该模型中。相应的通量变量在 变量 部分使用上述表达式进行了定义。

变量包括应变率、温度通量和空位的源/汇项。

要考虑空位累积引起的体积膨胀，我们可以在 线弹性材料 节点添加一个 外部应变 子节点。该功能允许指定任意非弹性应变。热膨胀和蠕变是非弹性应变的典型示例，也可以考虑在内。

结果

利用瞬态分析求解电迁移模型很常见，因为我们通常关心的是需要多长时间才能达到某个临界状态。当然，如果我们求解瞬态研究，解最终会达到稳定状态，而这所需的时间可能也是我们感兴趣的。我们将查看在瞬态研究运行直至解达到稳态时所得到的几个关键结果。

其中，一个需要关注的关键结果是互连内的空位浓度，因为这是我们在传递方程中求解的主要变量。初始空位浓度设定为整个域的恒定平衡值。随着电迁移的发生，阳极附近的空位浓度会降低，而阴极（施加电流的地方）的空位浓度会升高。这种情况一直持续到达到稳定状态为止。电场引起的通量通常与静水压力引起的通量方向相反。空位从阳极迁移到阴极，直到其他通量（流体静通量和扩散通量）与电场导致的通量相平衡。

下图显示了瞬态溶液达到稳定状态后的归一化空位浓度。请注意，归一化浓度的定义是 ：空位浓度除以初始浓度（因此在 t=0 s 时，归一化浓度等于 1）。

表面图显示了 t=4.5e6 s 时的归一化空位浓度。流线沿电场方向，并用颜色来显示电势。

此外，观察阳极和阴极上的空位浓度如何随时间变化也很有用。从下图中，我们可以观察到空位通量在某一时刻达到了稳定浓度。还可以关注超过临界空位浓度所需的时间。

阳极和阴极的归一化空位浓度与时间的关系。

同样，也可以获得阳极和阴极边界上对空位通量有贡献的静水压力随时间的变化。

阳极和阴极的静水压力与时间的关系。

t=4.5e6 s 时铝互连内的 Von Mises 应力（MPa）。

von Mises 应力可能是宏观空位何时成核的指标。但是要记住，尖角处的应力可能是奇异的，您可能需要引入圆角来避免这种现象。有关结构力学中奇异现象的更多信息，请参阅我们的博客：有限元模型中的奇点。

固体传递

在模拟电迁移时，必须考虑结构响应，尤其是域内的应力和应变。如前所述，应力梯度会导致空位迁移。此外，我们可能希望确保应力不会超过材料的屈服应力。如果变形和旋转较小，可以假设进行几何线性分析。

进一步模拟

至此，我们已经介绍了基本空位传递方程的理论和在 COMSOL Multiphysics^® 中的设置方法。还介绍了相关的物理知识，如热传导、电流和固体力学，因为在建立电迁移模型时必须考虑这些方面。目前讨论的模型适用于描述故障发生前的电迁移初始阶段。

使用 COMSOL 建立的模型可用于预测空位成核的起始。尽管对空位成核的确切条件还没有达成普遍共识，但有人认为，一旦达到临界空位浓度或应力水平，空位就可能形成。一些研究人员还提出，空位可能会在晶格边界或预先存在的自由表面成核，因为在这些地方，空位形成所需的应力水平会降低。

监测这些标准有助于预测空位可能在域内或边界上成核的位置和时间。成核发生后，可能需要追踪空位的移动和增长。虽然这更具挑战性，但 COMSOL Multiphysics^® 同样也可以应对。您可以使用界面追踪方法（如水平集或相场方法）设置此类模拟。下面列举了几个使用这些方法的案例：

• 化学蚀刻
• 沟槽中镀铜
• 使用水平集方法模拟沟槽中镀铜

结论

这篇博客重点介绍了在预测互连故障时准确模拟空位传递的重要性。通过使用 COMSOL Multiphysics^® 的多物理场仿真功能，我们可以深入理解电迁移现象，更有效地预测空位形成的起始时间并评估其对器件性能的影响。

下一步

点击下方按钮，即可进入 COMSOL 案例库，尝试模拟与本文讨论的模型相似的模型：

参考文献

1. Orio, R. L. de, et al. “Physically Based Models of Electromigration: From Black’s Equation to Modern TCAD Models.” Microelectronics Reliability, vol. 50, no. 6, Elsevier BV, June 2010, pp. 775—89.

内容简介

1. 梁的弯曲和拉伸
2. 幂律
3. 紧固件
4. Tresca 屈服标准
5. 重新探讨梁柱
6. 剥离
7. 疲劳
8. 安全系数
9. 等值线图
10. 结语

梁的弯曲和拉伸

作为一个入门示例，让我们来研究同时承受轴向力和弯矩作用的梁的极限荷载。假定梁的横截面为矩形，高 2a ，宽 2b。采用屈服应力为 的理想塑性作为失效标准。

在极限载荷下，整个截面上的应力（无论是拉伸应力还是压缩应力）均等于屈服应力，应力分布如下图所示：

失效状态下的应力分布。

图中，e 为中心轴到应力反转位置（中线）的距离。

由一侧的应力分布与另一侧施加的轴向力 N 和弯矩 M 平衡，可知

和

 
可以看出, 当 e = a 和 e = 0 时，可分别获得最大承载力 和 :

 
和
 

 
式中，A 为横截面积， Z_p 称为“塑性截面模量”。

这类表达式常常以非量纲的形式书写：

 
和
 

使用这种形式，可以消除参数 e，从而得到一个简单且明确的关系：

或

此表达式给出了导致梁截面失效的力和力矩组合。这种关系通常以相互作用曲线的形式表示。该方程或相应的图形可用于快速评估允许承载状态。

一个矩形钢梁的相互作用曲线。

对于无量纲相互作用定律，最常见的形式是将失效曲线表示为 ，因此 代表安全区域。以梁弯曲为例，

幂律

许多相互作用定律都是幂律类型。幂律用数学形式可表达为

指数 和 不一定是整数，尽管它们的常见值为 1 和 2。通常， 。在这种情况下，此定律的两个参数是对称的。但并不是所有的情况都如此；例如，在开始的梁示例中，就出现了 的情况。

在幂律中，一个参数的最大值总是出现在另一个参数为零的时候。这直观上似乎是显而易见的，但稍后我们将给出一个反例。

幂律有一个特例，即 的情况，其结果是纯加法作用，可以用一条直线表示。如果对一个载荷施加临界值的 40%，就可以对另一个载荷施加临界值的 60%。

紧固件

通过对铆钉的简单分析，可以得到一个 的幂律示例。铆钉可能受到拉伸力（N）和剪力（T）的共同作用。铆钉中的拉伸力为

式中，A 为横截面积。在弹性状态下，剪力在横截面上的分布很复杂，但由于我们

这里主要关注的是失效状态，因此可以假定剪力是均匀分布的，

使用 von Mises 等效应力，失效标准为

单个失效载荷为

和

剪力的失效载荷是假定的 von Mises 标准的影响。

因此，将最终结果用力的形式来表示是

此示例为幂律的一种情况，即 。当使用“平方和的平方根”类型的标准来组合不同的影响时，这种定律很常见。

然而，这并不是所有紧固件类型的标准。旧版本的 MIL-HDBK-5H《MILITARY HANDBOOK: METALLIC MATERIALS AND ELEMENTS FOR AEROSPACE VEHICLE STRUCTURES》（参考文献 1）中提出了螺栓的几种相互作用标准。螺栓与铆钉并不完全相同，但在忽略连接部件之间摩擦力的保守假设下，这两种情况是相似的。使用该文件中的符号（t = 拉伸力；s = 剪力），

和

 
有趣的是，我们得到以下所有类型的相互作用标准：

相应的相互作用曲线如下图所示。

不同螺栓相互作用标准的相互作用曲线。红色曲线是由铆钉理论得出的曲线。

目前，螺栓相互作用标准的首选项是

如何解释这与铆钉分析（两个项的指数都是 2）的差异？

推荐标准允许的载荷高于铆钉分析所显示的结果。在无法获得底层推理逻辑的情况下，我们只能做出猜测。其中一个重要的差异是，螺栓的作用力不是按失效应力归一化的，而是按“允许力”归一化的。螺栓的允许力来自两个不同的区域：基于螺纹区域的允许拉伸力，基于螺杆的允许剪力。在某种程度上，这是两种不同的失效机制。螺纹区域的横截面积明显较小，减少了约 25%。

考虑到这一点，此示例实际上存在两个相互竞争的标准：

1. 螺纹区域的拉伸力超载导致的失效
2. 螺杆区域的拉伸力和剪力共同作用导致的失效

在纯拉力作用下，螺纹是最薄弱的部分。在纯剪力作用下，则是螺杆。在组合载荷作用下，任何一个位置都可能是关键部分。

在螺杆区域，可以使用 von Mises 标准。在这种情况下，螺栓（在保守假设下）类似于铆钉。

式中， 是螺杆和螺纹区域的横截面积之比。这是因为 是针对螺纹区域定义的，而螺杆区域的拉伸失效载荷更高。

螺纹不受任何剪力，其失效标准也很简单：

使用 = 1.25，该标准可直观显示为：

推荐的相互作用曲线（蓝色）与螺杆和螺纹失效组合的比较。

可以看出，在剪力占主导的情况下，基于 von Mises 标准和基于 标准的曲线非常吻合。对于纯拉伸力和纯剪力之间的所有比值，后一种标准都偏于保守。使用一条简单的分析曲线比使用分段函数（由于面积比 κ 不同，因此对每种螺栓尺寸，该函数都是唯一的）更方便。

下图是 COMSOL Multiphysics^® 软件 壳 接口 紧固件 下 安全 子节点的截图。在此接口下，您可以使用任何类型的幂律。

在 COMSOL Multiphysics 中计算紧固件安全系数的设置。

Tresca 屈服标准

之前曾有人指出，使用 von Mises 屈服应力会产生一个幂律，即

那么，很自然引出一个问题：如果使用 Tresca 失效标准，会对相互作用曲线产生什么影响？标准中使用的往往是更为保守（但在数学上不那么容易接受）的 Tresca 标准。

Tresca 等效应力被定义为最大主应力和最小主应力之差。我们可以利用 Mohr’s circle（莫尔圆）进行分析。对于由单一直接应力和剪力组成的应力状态，莫尔圆的直径（2R）也是两个主应力之差。因此，莫尔圆将失效描述为

 
根据 Tresca 失效标准，纯剪力的疲劳应力为

 
出人意料的是，我们得到了与 von Mises 标准完全相同的幂律相互作用曲线！

唯一的区别是，当使用 Tresca 失效标准时，表达式中使用的剪力疲劳荷载 要小 13%。

重新探讨梁柱

梁柱通常由混凝土制成。混凝土是一种压缩强度与拉伸强度相差很大的材料。抗拉强度（）仅为抗压强度（）的10%。

当压缩应力大于拉伸应力时，失效状态下的应力分布。

如果重新对矩形梁进行初始分析，考虑不同的拉伸应力和压缩应力，可以得到

 
和

在继续讨论之前，必须说明一个重要问题：在实际操作中，混凝土结构通常需要通过钢筋进行加固。要进行全面分析，就必须考虑钢筋的数量、钢筋在横截面上的位置以及钢筋的屈服应力。这些因素使得代数分析变得极为复杂。然而，当前的简化分析仍足以说明基本原理。

作为轴向力的参考疲劳载荷，我们可以选择纯压缩应力失效，即

作为弯曲的疲劳载荷，我们选择了可能的最大力矩。很明显，当 e= 0 时会出现最大力矩，因此

引入一个参数，表示抗拉强度和抗压强度的比值，即 。同样，令 ，将更容易写出无量纲关系式。现在

和

这里，压缩荷载被视为正值（P = -N）。这是分析梁柱的习惯做法，因为预期荷载主要是压缩荷载。

下图为 的相互作用曲线，按照惯例，将力绘制在纵轴上，弯矩绘制在横轴上。

混凝土梁的相互作用曲线。

请注意，在这种情况下，最大允许力矩与零轴向力并不重合。从上述表达式中可以看出，当其变为以下形式时，出现最大弯矩承载力

由于 较小，令人惊讶的是，最大弯矩承载力出现在压缩力几乎为疲劳荷载的 50% 时。从图中还可以推断出，当没有轴向力时，弯矩承载力比最大值降低了 70%！

如果考虑加固因素，相互作用曲线的形状就会发生变化，但不会发生根本性的变化。要查看此类图表，可在网上搜索 “梁柱相互作用曲线”。

剥离

两个粘合表面之间的剥离通常被认为是拉伸失效和剪切失效的综合作用。在这种情况下，承载能力通常由模式 I（拉伸） 和模式 II（剪切） 的断裂韧性来描述。

最早提出的用于描述混合模式剥离的一个相互作用标准是幂律，

在这种情况下，指数 和 必须与实验相匹配。没有第一性原理可以依赖，您可以将此模型视为有两个参数（ 和 ），而 和 的值是根据单模式实验确定的。另外，也可以使用全部的四个参数，以尽可能地匹配一组具有不同模式组合的实验数据。在这种情况下， 和 与纯拉伸或剪切试验的结果并不完全匹配。

大多数情况下，幂律与测量结果并不能很好地匹配。Benzeggagh-Kenane (B-K) 标准提供了另一种常用的相互作用定律：

这一标准所代表的物理含义并不明显。它指出，应用的模式 I 和模式 II 能量释放率之和等于失效时的有效断裂韧性：

有效断裂韧性是 和 的加权和，其中权重取决于所施加载荷的比率。显然，对于纯 I 型断裂或纯 II 型断裂，可以使用单模式标准。为了理解 B-K 标准的含义，可以使用相互作用曲线进行解释。

如果已经测量单向强度，则只需一个参数与实验相匹配，即指数 。或者，也可以使用所有三个参数以获得更好地曲线拟合。

相互作用曲线可以用一个描述载荷的参数来参数化，

R 将从 0（纯I型）变化到 1（纯II型）。

假设剪切断裂韧性和拉伸断裂韧性之比为 ，则

通常， < 1。重新排列公式，B-K 标准可以写成以下两种无量纲形式

 
或

这可以看作是以 R 为参数的相互作用曲线的参数化表述。

下表列出了B-K 标准和幂律的四种不同材料的材料参数。数据来自参考文献 2。两种模型的断裂韧性值 和 并不相同。断裂韧性值是整体曲线拟合的一部分。

材料
1	0.147	1.75	0.17	4.8
2	0.0785	2.35	6.0	6.0
3	0.0182	1.39	0.49	3.9
4	0.783	0.63	2.1	0.62

将这些数据绘制成相互作用曲线，如下图所示。幂律曲线已根据模型之间的断裂韧性差异进行了缩放。这就是为什么幂律曲线的终点不都在值 1 处的原因。

四种不同材料的混合模式剥离相互作用曲线。实线表示 B-K 标准，虚线表示同一材料的幂律。

可以看出，相互作用曲线有一些出人意料的特性，这些特性是其各自数值特性的影响。通过这种方式可以清楚地看出，对同一种材料的预测可能会因使用的模型不同而存在很大差异。

层压复合材料案例模型中的混合模式剥离就是使用 B-K 标准对剥离进行模拟的一个示例。

疲劳

在评估疲劳失效风险时，通常认为允许的应力幅值取决于平均应力。拉伸平均应力越大，允许的应力变化就越小。由于存在多个标准，平均应力和应力幅值之间存在多种不同的相互作用曲线。最常用的三种标准是 Goodman 标准、Gerber 标准和 Soderberg 标准。

如果允许的幅值应力称为 ，平均应力称为 ，这些标准可以写为以下形式：

Goodman:

 
Gerber:

 
Soderberg:

允许的应力幅值已按平均应力为零时的疲劳极限 进行了归一化处理。 和 分别表示极限应力和屈服应力。如下图所示，可以将这些标准可视化为相互作用曲线。

疲劳评估中应力幅值与平均应力之间的相互作用。平均应力轴已经根据极限应力进行归一化，并假定极限应力比屈服应力大 30%。

安全系数

当你使用一个失效标准时，常见的要求是提出一个单一的安全系数、安全裕度或类似的量。这当然是合理的，但并不总是容易做到的。大多数情况下，安全系数代表的是在达到失效标准之前，载荷可以增加多少。然而，相互作用曲线的整个理念是有两个独立的载荷源。使用由 表示失效的符号，让我们考虑一种安全状态 。安全系数 s至少有三种合理的定义：

1. 在第二载荷保持不变的情况下，增加第一载荷的安全系数：
2. 在第一载荷保持不变的情况下，增加第二载荷的安全系数：
3. 两个载荷成比例增加时的安全系数：

大多数情况下，根据这三种关系中的任何一种计算安全系数都需要求解一个非线性方程。

举例来说，假设初始示例中的横梁加载到以下水平

下图中以图形的形式对三种安全系数进行了解释。相互作用曲线可以轻松地用于图解安全系数，而无需求解方程。

相互作用曲线，以及三种不同的安全系数。

在这种情况下，描述安全系数的三个方程为

等值线图

现在让我们来看看相互作用曲线在结构力学领域之外的应用。等值线图 用于确定医用药物之间的相互作用。

同时服用两种药物可以增强彼此的效果。这就是所谓的“协同作用”。但是，也有可能出现相互抵消的情况，即“拮抗作用”。协同作用可能是有益的，因为它们可以减少剂量，进而减少副作用。

当然，同样的观点也可以应用于毒性研究，当两种有毒物质混合时，其效果会比两种单独效果的总和更强或更弱。

等值线图是两种物质之间的相互作用曲线，显示了产生相同效果的组合。通常，会对曲线进行归一化处理。下图显示了等值线图的主要形状。

三种不同类型药物相互作用的等值线图。

结语

无论是从定性还是定量的角度来看，相互作用曲线图都是了解两个作用综合效果的有力工具。

似乎大多数结构失效曲线都是拮抗型的，通常能够承受两种不同荷载的组合，其承载能力高于单纯叠加所能承受的作用。然而，这种现象是否具有普适性仍需进一步探讨。如果你有一些反例，欢迎留言讨论。事实上，早期的一些剥离曲线图确实在部分范围内表现出协同行为。不过，这可能是曲线拟合时产生的假象。任何指数小于 1 的幂律都会在某种程度上低于叠加线。

参考文献

1. 1. MIL-HDBK-5H, MILITARY HANDBOOK: METALLIC MATERIALS AND ELEMENTS FOR AEROSPACE VEHICLE STRUCTURES, 1998; http://everyspec.com/MIL-HDBK/MIL-HDBK-0001-0099/MIL_HDBK_5H_1804/
2. 2. J.R. Reeder, “3-D Mixed Mode Delamination Fracture Criteria – An Experimentalist’s Perspective,” NASA Langley Research Center, 2006; https://ntrs.nasa.gov/citations/20060048260

温度梯度引起的声音折射

后来我才知道，造成这种声音现象的原因是大气中温度分布的变化。温度通常随海拔高度的增加而降低。在这个示例中，由于声速与温度相关，空气中的声速随着高度的上升变得越来越慢。例如，空气中的声速 可以用以下理想气体模型很好地描述。

式中，, , 和 分别代表比热容比、普适气体常数、温度和摩尔质量。理想气体模型假定空气是干燥的，但一般来说，空气中的声速也取决于相对湿度。例如，校准耦合器模型就是潮湿空气中声速的典型示例。根据斯涅耳定律，当声波从声速较慢的区域入射到声速较快的区域时，会产生一个折射角小于入射角的折射波，如下图所示。

声速较慢区域和声速较快区域交界处的声音折射。

因此，在标准大气条件下的连续渐变温度场中，声音会向上折射，如下图所示。

声线在白天传播的示例。线条代表声线，背景颜色代表温度向地面逐渐升高的温度场。

在大气层中传播的声音通常会消失在天空中。然而，有时会出现逆温现象——当地表的热辐射超过太阳辐射的热量时，例如在夜间。这种反常现象会使声音向下折射，如下图所示。

声线在夜间传播的示例。

由于声音传播方向相反，在夜间可以听到更远的声音。准确模拟这种现象对于室外声学分析至关重要，因为声音传播特性的差异会极大地影响室外噪声水平和语言清晰度等因素的计算结果。

射线追踪法适用于模拟大型室外空间中的声音传播，因为它不像基于压力或波的方法那样需要精细的空间网格来解析波长。不过，在标准的射线追踪方法中，只有当光线遇到具有反射或折射条件的边界时，光线方向才会发生变化。为了计算大气中平滑的折射声线路径，必须手动设置多个边界，其中每个边界都描述了折射条件。这一过程可能会耗费大量时间，而且用户往往不清楚什么是合适的设置。在 COMSOL Multiphysics^® 中实现的基于哈密顿的射线追踪方法非常适用于室外声学分析，因为它可以准确、固有地模拟渐变折射率介质中的射线轨迹。

进一步了解 COMSOL Multiphysics^® 中使用的射线追踪算法功能，请参阅 COMSOL 博客：射线追踪算法的选择如何影响求解？这种方法也适用于模拟海洋声学问题，例如二维轴对称几何水下射线追踪教程模型中声速取决于深度的问题。

接下来，我们将使用 COMSOL 软件中的射线声学接口来计算白天和夜晚室外发生的不同的声线轨迹。

模拟长程回声

让我们使用 COMSOL Multiphysics^® 来模拟我的小号从 500 米外的教学楼发出的长程回声。为了确认回声是否只在夜间才能被探测到，我们在两种温度条件下进行了模拟。

一把小号，与本博客作者高中时练习的那把小号相似。图片由 Ballista 提供，获 CC BY-SA 4.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

我们的模拟包括下步骤：

1. 使用 流体传热 接口计算温度场
2. 使用 压力声学，频域 接口计算小号喇叭口的辐射指向性
3. 使用 射线声学 接口计算声音在室外的传播

模型的几何形状和放大的源区域。

上图显示了模型的几何形状。白色开放矩形空间代表教学楼。地面的形状利用高程数据创建。

模拟假设声音从小号的喇叭口发出，演奏者位于喇叭口附近（演奏者位置用于计算脉冲响应）。图中还显示了步骤 2 中描述的放大的声源区域。

步骤 1：传热分析

第一步，设定了地面的两个温度条件：白天 25^°C，夜间 9^°C，而天空温度保持在 19^° C。将包括教学楼表面在内的其他边界设定为 隔热 边界条件。下图显示了白天和夜间的温度场。

白天和夜间的温度场。

在白天，可以看到垂直方向上的标准温度分布——上部较冷。在夜间，气温会出现逆转现象——上部较热。

步骤 2：压力声学分析

第二步是模拟小号喇叭口的声辐射指向性。在示例中，只考虑了喇叭口形状所产生的指向性，没有模拟任何损失。喇叭口形状被模拟为一个指数曲线形喇叭，使用 内部硬声场边界（壁） 条件，截止频率为 1200 Hz。指数曲线形喇叭的横截面半径 按下式增长：

式中

是截止频率， 是声速。空间变量用 表示。请注意，上式为二维形式（假设面外方向厚度均匀）。在实际的三维指数曲线形喇叭中，横截面积随 的增长而增长。

在这一步骤中，只对圆的内部区域使用有限元法（FEM）进行模拟，并使用完美匹配层（PML）进行截断。在喇叭口的入口处设置了 1 m/s² 的 法向加速度 边界条件作为激励。为了转换在步骤 1 中获得的温度场，使用了含转换参数 “Ns” 的 参数扫描 研究步骤。下列截图显示了 频域 研究步骤和 参数扫描 研究步骤的设置。

频域 研究步骤（左）和 参数扫描 研究步骤（右）的设置。

分别在白天（左）和夜间（右）条件下计算出的指数曲线形喇叭的辐射模式。

步骤 3：射线声学分析

第三步，分别在步骤 1 和步骤 2 中获得的温度场和喇叭口辐射指向性的基础上进行声线追踪。 COMSOL Multiphysics^® 中的射线追踪方法可以轻松计算渐变折射率介质中的脉冲响应。从 射线声学 接口的 强度计算 列表中选择 计算渐变折射率介质中的强度和功率，如下图所示。

射线声学 接口中 强度计算 的设置。

将 壁 节点的 混合漫反射和镜面反射 条件施加在地面和建筑物上的边界，壁 节点的 消失 条件则指派给其他边界来模拟非反射边界。所有反射边界的镜面反射概率均设定为 0.95。假设地面很厚，使用以下近似 Wilson 阻抗模型模拟地面的声吸收。

式中， 是地面的归一化表面阻抗。 和 分别表示空气密度和流动电阻率。 和 分别表示虚数单位和角频率。在此模拟中，流动电阻率被设定为 440 kPa s/m²。地面的法向入射吸收系数如下图所示。

地面的法向入射吸收系数。

教学楼表面的吸收系数设定为 0.05。模拟中使用了 从边界释放 功能以将喇叭口辐射指向性考虑在内。

设置 从边界释放功能。

要了解 从边界释放 功能，请参考博客：小型智能扬声器的全声学室内脉冲响应。值得注意的是，这篇博客讨论了 从压力场释放 功能，它代表了在三维模型中设置声源的一种更加自动化的方法。本文使用了 从边界释放 功能进行手动设置。为了使用源计算研究的结果，将射线追踪 研究步骤和 参数扫描 研究步骤进行如下设置。

射线追踪 研究步骤（左）和 参数扫描 研究步骤（右）的设置。

射线追踪结果

下图显示了白天条件下的声线轨迹和脉冲响应。脉冲响应由设置在演奏者位置（靠近喇叭口）的接收器捕获。

白天条件下 500 Hz 的射线轨迹；射线颜色代表射线传播时间。

白天条件下演奏者位置的脉冲响应。

为了提高可视性，我们从射线轨迹图中剔除了反射次数为 0 的射线。可以看到，有些射线撞击到建筑物表面并消失在天空中，没有返回到演奏者的位置。这一现象在其他频率下也得到了证实。相应地，演奏者位置的脉冲响应没有捕获到来自建筑物的回声。下图显示了夜间条件下的声线轨迹和演奏者位置处的脉冲响应。

夜间条件下 500 Hz 的射线轨迹。

夜间条件下演奏者位置的脉冲响应。

与白天的情况不同，很多射线在夜间撞击教学楼后又返回到演奏者所在的位置。演奏者所在位置的脉冲响应还包括来自教学楼的回声。这些结果表明，教学楼在夜间接收到的声音更大。为了确认声音到底有多大，下图显示了演奏者侧教学楼表面的平均声压级 (SPL)。

演奏者侧教学楼表面的平均 SPL。

在这里，使用有限元（基于波的方法）耦合模拟的喇叭口辐射特性（在 1200 Hz 处截止）在很大程度上影响了上述声压级图的频率特性。渐变温度场中声音路径的精确模拟清楚地表明，与白天相比，声音在夜间更容易传播到远处的建筑物。在夜间条件下，建筑物表面接收到的 125 Hz-2000 Hz 的声音比白天大 5.5 分贝以上。如果声源不是小号，而是位于噪声管制地界的工厂冷凝器等设备，这种差异可能会很大。

最后，我想通过可听化来分享我的经验。在第一个示例音频中，您可以听到演奏者所在位置在白天和夜晚的声音差异。在第二个示例音频中，您将听到夜间教学楼的回声。有关可听化的更多信息，请参阅博客：使用卷积运算和可听化技术进行室内声学分析。

白天的小号声。

夜间的小号声。

调节和控制声音的重要性

这篇博客，我们解释并模拟了众所周知的现象，即声音在夜间传播得更远。文中还展示了 COMSOL Multiphysics^® 中的射线追踪算法如何用于模拟大型室外声场，以及如何适用于模拟渐变折射率介质的声音折射。噪声法规通常要求夜间的声级低于白天，因此必须考虑夜间大气中声音的折射特性。COMSOL Multiphysics^® 中的 射线声学 接口可用于准确地预测和控制室外声音，以及评估室外公共广播系统的语音清晰度。

动手尝试

想亲自动手尝试模拟文中展示的示例，请至 COMSOL 案例库中下载，其中包含有关该模型及其 MPH 文件的介绍：

 
编者注：这篇博客更新于 2025 年 4 月 28 日，以包含至 COMSOL 案例库下载示例模型的链接。
 

地面高程数据来自 Geospatial Information Authority of Japan提供的彩色高程图。

消声效果由 The Open AIR Library 提供，获 CC BY 4.0许可。

吸声性能

为了理解吸声边界条件，我们首先来讨论吸声系数。使用以下三个量来描述吸声体的吸声特性（参考文献 1）:

• 吸声系数，: 非反射声能与入射声能之比
• 比声阻抗，: 声压与吸声体表面法向粒子速度之比
• 复压力反射系数，: 反射声压与入射声压之比

以平面波进入多孔吸声体的理想情况来分析这些参数，具体如下图所示。

入射到多孔材料上的平面波。

这里，假定空气和多孔材料的波数分别为 和 。入射、反射和透射声压分别为 ， 和 。入射角、反射角和透射角分别为 ， 和 。入射声和反射声的振幅用 和 表示， 多孔介质中的正向声波和反向声波用 和 表示。假定厚度为 m 的多孔吸声体为等效流体（更多信息请参见 Multiphysics Cyclopedia）。具有刚性边界的终端设置为 。

根据线性声波方程， 入射声、反射声和透射声在 x 方向上的粒子速度分别为 ， 和 ， 可表示为以下形式：

式中， 和 分别代表空气和多孔材料的特性阻抗。根据定义，反射系数可表示为:

在空气层和多孔层（x=0）的界面边界上，存在以下两个连续条件:

根据这些连续条件和费马原理 ，比声阻抗可由下式表示:

故，

吸收系数可通过下式确定。

因此，可以通过为边界施加三个量中的一个来模拟边界的吸声情况。同样，上述公式表明 本质上与入射角相关， 和 是包含相位信息的复值参数， 是能量参数。相位信息对于准确模拟室内模型非常重要。因此，复值参数通常是基于波的室内声学仿真的较好的输入参数。另一方面，吸声系数有利于直观地读取吸声体的性能，它是吸声测试的主要输出。随机入射吸声系数，即立体角的平均值，被视为吸声体的实际性能。

在下列公式中，我们将进一步研究多孔材料的声阻抗。

处的传输压力和速度如下:

 
处的传输压力和速度如下:

有了这些公式，我们就可以使用下列矩阵形式来表示入口处的参数和终端值:

式中， 是流体层的转移矩阵，已被广泛用于利用转移矩阵法（TMM）建立吸声和隔声模型（参考文献 2）。利用斯涅耳规则 ，可以将 改写为下列形式:

式中，。在终端 ( ) 的刚性边界条件下，可以计算出多孔吸声体的比声阻抗:

上式表明，特定声阻抗本身与角度有关。因此，要对边界上吸声进行完整仿真，应考虑吸声阻抗的角度依赖性。

局部反射和扩展反射模型

在建立边界吸声模型时，通常会采用两种吸声边界模型：局部反射模型和扩展反射模型。局部反射模型是室内声学仿真的标准模型，它使用与角度无关的阻抗（通常使用正常入射条件下的阻抗值）来描述边界的吸声特性。该模型假定吸声体表面某点的粒子速度与表面其他点的行为无关。扩展反射模型采用与角度相关的阻抗。当然，局部反射模型是近似模拟，但能准确高效地模拟声阻抗与角度关系不大的吸声体，如具有高流阻的刚性背衬多孔材料和带蜂窝芯的吸声体。扩展反射模型虽然精确，但通常需要对吸声体内部进行额外模拟。要实现准确高效的室内声学模拟，应为室内安装的吸收体选择合适的吸收边界模型。下文，我们将分别从理论和数值上来证明吸收边界类型对随机入射吸收系数的影响。

不同的表面模式如何影响吸声性能

我们计算了钢性背衬多孔吸声器和背部有空气层的隔音帘的吸声性能。将多孔材料视作厚度为 100 mm 的等效流体。采用经验 Miki 模型模拟流体特性，流阻为 13,900 Pa s/m²。由于所使用的隔音帘相对于研究频率的波长非常薄，我们使用了渗透膜模型，并将其与空气层耦合。使用渗透膜模型，可按下式计算吸声帘幕的传递阻抗:

式中， 和 分别代表流阻和表面密度分别设置为 416 Pa s/m 和 0.5 kg/m²。在理论研究中，我们使用了转移矩阵法，并将统计吸收系数作为随机入射值计算。统计吸收系数 的定义如下:

薄材料 的传递矩阵表示如下:

根据上述传递矩阵，可以得出含空气层的隔音帘的特定声阻抗:

对于转移矩阵法，可通过代入 来计算局部反射模型。

在数值研究中，我们计算了混响室吸声系数，即在混响室中测得的吸声系数。该系数值取决于测量的房间和样本大小。吸声系数早在 ISO:354 中就被作为一种标准测量程序，广泛应用于实际的室内声学设计中。

为了利用 COMSOL Multiphysics^® 有效模拟混响室吸声系数的测量，我们对带嵌入式吸声体的唯一硬质地板进行了二维模拟，如下图所示。

用于计算混响室吸声系数的嵌入式吸声器模型。

参考文献 3 中的验证研究表明，这一简化模型非常接近混响系数的测量结果。

我们使用 压力声学，边界元 接口模拟入射压力场和刚性地板，使用 压力声学，频域 接口模拟吸声体内部的压力。 多孔介质声学 功能用于模拟多孔材料。借助 声学 FEM-BEM 边界 功能，可以同时设置隔音帘的传递阻抗。对于局部反应模拟，禁用了吸声体域，将相应的法向入射声阻抗施加到吸声体表面。按照以下步骤计算混响室吸声系数:

1. 对于入射角为 的平面波，计算吸声体表面入射的 和吸收的能量 。
2. 使用下式计算总吸收能量与总入射能量之比。

混响室吸声系数 如下所示。

式中， 是入射角数。在数值试验中，使用 背景压力场 模拟平面波入射场， 和 由下式定义:

 
式中， 是入射压强的振幅， 和 是吸收体表面法线矢量和入射角 的声强矢量。

下图比较了多孔吸声体的随机入射吸收系数。局部反射和扩展反射之间的差异很小， 但可以观察到，尤其是在高频下。因此，如上所述，对于具有高流阻和刚性终端的多孔材料来说，局部反射模型似乎是一个很好的近似。

多孔吸声体的随机入射吸收系数。

另一方面，如下图所示，隔音帘的随机入射吸收系数的比较显示出局部反射模型和扩展反射模型之间存在巨大差异。这是由于空气层具有很强的入射角度依赖性。这也符合传统规则，即对于含空气层的吸声体，扩展反射模型非常重要。

隔音帘的随机入射吸收系数。

混响室吸收系数与统计值的比较

由上文的吸收系数图中可以看出，无论采用哪种吸声体和吸收边界模型，混响室的吸收系数都大于统计值，并超过 1（理想吸收以上）。这种现象被称为“边缘效应”，是实际测量中的典型现象，它是由刚性地板到吸声体表面的能量流动引起。下图入射角为 60^° 、频率为 500 Hz 的隔音帘扩展模型即显示了这种情况。此案例中的能量流动是由样本边缘周围的声压梯度引起的：地板附近的声压由于反射声的作用而变大，而吸声体前面的声压由于吸声效应而变小。能量流动发生在样品边缘，通过增大样本面积可以减小其对吸声系数的影响。因此，ISO:354 规定了测量混响室吸声系数的样本尺寸。

入射角为 60^°，频率为 500 Hz 时的振幅和用箭头表示的声强视图。

结论

这篇博客介绍了边界吸声的理论知识，并探讨了吸声边界模型的类型如何影响吸声性能。对于室内声学仿真，COMSOL^® 中的 射线声学、压力声学、频域 和 压力声学、时域显式 物理场接口非常适用。射线声学 接口基于几何声学，无法准确模拟声波的行为。然而，我们的模拟可以表征表面吸声器的入射-角度依赖性行为，有助于提高室内声学仿真的准确性。

基于波的方法可以准确模拟边界的吸声特性。多孔介质声学 和 内部阻抗 功能可用于模拟吸声边界的扩展反射。压力声学，频域 接口可以轻松处理这些条件， 因为该方法本身与频率相关。另一方面，扩展反射边界条件的时域建模非常具有挑战性，因为很难在时域中模拟吸声特性的频率依赖性。不过，我们可以在时域中使用 多孔介质声学 功能，模拟具有扩展反射的多孔吸声体。该功能的时域版本使用高效的辅助微分方程方法来考虑多孔材料的频率依赖性。因此，我们可以根据吸声体的配置灵活选择吸声边界模型。

在接下来的博客中，我们将使用时域 多孔介质声学 功能来探讨吸声边界类型的选择如何影响会议室的声学效果。

参考文献

1. Z. Maekawa, J. H. Rindel and P. Lord. Environmental and Architectural Acoustics. CRC Press, 2010.
2. J.F. Allard and N. Atalla. Propagation of Sound in Porous Media: Modelling Sound Absorbing Materials. Wiley, 2009.
3. T. Sakuma, S, Sakamoto and T. Otsuru. Computational Simulation in Architectural and Environmental Acoustics: Methods and Applications of Wave-Based Computation. Springer, 2014.