结构 & 声学 – COMSOL 博客

声阱仿真：热声流和粒子追踪

Eva Poland — Wed, 07 Aug 2024 15:26:26 +0000

声阱为各种生物医学应用提供了一种操控细胞和粒子的无接触式方法。在典型的声阱设备中，压电换能器在流体中产生压力场，从而产生能有效捕获流体中微小悬浮物的声辐射力。这篇博客，我们将深入探讨一个包括热声流和粒子追踪的声阱模型。

声阱简介

1874 年，August Kundt 首次证明了声波可以对暴露粒子施加声辐射力。自 20 世纪 90 年代以来，这一原理就已经被应用在微流体装置和片上实验室系统中，如今，商业化的声阱设备已被全球生命科学实验室和医疗机构广泛采用，用于低浓度样品的富集和纯化，细胞之间的相互作用研究、粒子分选，以及现场即时诊断的细菌、病毒或生物标记物的分离等。

图 1 微流体通道横截面上的声流，可用于生物流体样品中对粒子进行浓缩或分离。

声阱中诱发的声波会产生声流，即在捕获位点周围形成快速移动的涡流。这种声流会对流体中的颗粒产生黏性阻力。同时，颗粒也会受到声辐射力的作用。对于大颗粒，声辐射力占主导地位，对于小颗粒，黏性阻力占主导地位。改变主导力性质的颗粒临界尺寸取决于具体的设备和颗粒的声学特性。在大多数设备中，声辐射力用于捕获或控制颗粒，因此，来自声流场的黏性阻力通常会阻止小于临界尺寸的小颗粒被声阱捕获。

了解这些信息后，让我们深入探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟声阱。您可以从案例库中下载文中讨论的玻璃毛细管中的声阱和热声流三维模型。

声阱仿真

示例的三维声阱几何结构如下图所示。声阱系统的几何沿两个平面对称，因此只需要计算系统的 1/4 几何：装满水（蓝色）的 1/4 玻璃毛细管（黄色）及其下方的 1/4 微型压电换能器（灰色）。实际上，相较于 0.48 mm 的高度和 2.28 mm的宽度，约 5 cm 的玻璃毛细管非常长，因此使用完美匹配层（PML）对其两端进行模拟。完美匹配层是一个可添加到几何体中的域，用于模拟所有出射波的衰减和吸收。下图中绿色显示为包含 1/2 毛细管一端的完美匹配层。在此模型中，完美匹配层在玻璃毛细管和流体中都处于激活状态。

图 2 声阱的 1/4 几何结构。

声阱仿真是一个复杂的多物理场问题，涉及电磁学、固体力学、声学和流体流动等多种现象，某些情况下，还包括传热。压电换能器上的振荡电压差会引起压电材料振动，进而引起玻璃毛细管振动。这种压电效应通过耦合压电传感器域中的静电与压电传感器和玻璃毛细管的固体力学来模拟。为了模拟流体中产生的压力场，在玻璃毛细管和流体之间的边界上使用了声-结构多物理场接口，用于耦合固体力学与压力声学。

此外，压电换能器中的能量耗散会使系统升温，在玻璃毛细管和流体中产生温度梯度，进而在流体的声学特性中产生梯度，影响声流。非等温流动的多物理场耦合考虑了这种温度梯度的影响，将整个几何结构（固体和流体）的传热仿真与流体域中的蠕动流模型相结合。蠕动流和压力声学之间的耦合用于模拟声流。最后，为了验证声阱模型是否按照预期工作，使用了粒子追踪技术来确定流体中两类颗粒的轨迹，即大颗粒硅玻璃和小颗粒聚苯乙烯。

接下来，我们来看看仿真结果！

仿真结果

声场

声场使用频域计算。在频率为 3.84 MHz 的超声状态下激励系统。该频率波长的 1/2 约等于流体腔的高度。压电换能器中的电场、压电效应在压电换能器和玻璃毛细管中产生的位移场，以及由此在流体中产生的声压场如下图所示。在压电换能器上方，声场包含一个最小压力区域，称为压力节点。

图 3 声阱中的位移场（nm）、电场和压力场。

声场中作用在颗粒上的声辐射力可以用 Gor’kov 势能来描述。图 4 显示了模型中计算的小颗粒聚苯乙烯 Gor’kov 势能。悬浮在流体中的颗粒会被推到最小 Gor’kov 势能处，从而被困在玻璃毛细管的中心。有关声辐射力的详细讨论以及如何使用 COMSOL Multiphysics^® 计算声辐射力，请查看我们之前的博客。

图 4 直径为 1 µm 的聚苯乙烯颗粒的 Gor’kov 势能。

热声流

声流的仿真结果如何？下图的模拟结果显示，压电换能器上方有四个涡流，这只能用温度场来解释。压电换能器的升温引起玻璃毛细管和流体产生温度梯度，从而产生流体密度梯度和可压缩性梯度。流体材料参数中的这些梯度与声学相互作用产生热声体积力，热声体积力产生声流，最终形成这种特定的声流模式。

图 5 玻璃毛细管内的热声流和温度梯度。根据对称平面绘制的声阱实际几何。

粒子轨迹

通过粒子追踪，我们还可以了解具有特定性质的颗粒是否会被吸入声阱。下面的动画显示了直径为 10 µm 的大颗粒硅玻璃和直径为 1 µm 的小颗粒聚苯乙烯的计算轨迹。压电换能器上方的硅玻璃颗粒向玻璃毛细管中心移动并被困在那里，而较小的聚苯乙烯颗粒的移动则受流体流动的控制。

图6 大颗粒硅玻璃的运动轨迹。

图 7 小颗粒聚苯乙烯的运动轨迹。

动手尝试

有兴趣自己动手建立文中示例的多物理场模型吗？点击下面的按钮即可下载该模型的 MPH 文件：

获取教程模型

扩展阅读

您也可以在 COMSOL 案例库中找到一些包含声流和声阱的教程模型：

模拟武士刀的局部淬火

Mats Danielsson — Thu, 27 Jun 2024 09:06:30 +0000

武士刀（katana）是几个世纪以前的日本武士使用的一种传说中的兵器，因其弯曲的形状和锋利的单刃而广为人知。这篇博客，我们将讨论如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件建立一个简单的武士刀模型，并通过模拟局部淬火过程来探讨其特性。

内容简介

著名的武士刀
金属加工模块
局部硬化
热处理过程涉及的多物理场
武士刀的材料
武士刀的几何结构
相变仿真
1. 加热
2. 冷却
机械和热性能
传热仿真
1. 加热
2. 冷却
应力和应变仿真
结果
学以致用

著名的武士刀

很少有武器能像日本武士（samurai）的随身武器——武士刀一样闻名于世。武士刀以锋利著称，只有在最后关头才会出鞘，武士刀及其与主人之间近乎神圣的联系激发了多部现代电影、电视剧和书籍的创作灵感。在电影《杀死比尔 I》（2003）和《杀死比尔 II》（2004）中，Uma Thurman 扮演的 “新娘”在现代东京挥舞着武士刀；在 James Clavell 的经典小说《幕府将军》（Shogun，1975）中，James Blackthorne 船长被吹到日本海岸，并被日本武士俘虏。

一名日本武士，照片由摄影师 Felice Beato 拍摄于 1860 年。这张照片在美国属于公有领域，它在日本的版权于 1970 年到期，而且 Uruguay Round Agreements Act 也没有恢复其版权。来源：Britannica。

当然，武士刀的大部分恶名是因其使用者而获得的。但是，日本刀匠是如何为日本武士打造这些武器的呢？他们是如何在刀刃的软硬之间实现微妙的平衡，使武士刀既锋利无比，又有足够的韧性来承受反复的冲击？为什么武士刀的刀刃是弯曲的，而不是笔直的？这篇文章，我们将介绍如何模拟武士刀的局部硬化过程，并研究其中包括的物理效应，来看看能否对这一历史上著名的武器制作过程有所了解。

金属加工模块

金属加工模块是 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加产品，可用于模拟如钢铁等铁合金和 Ti-6Al-4V 等钛合金的相变，以及钢淬火和增材制造等应用。例如，钢淬火可用于汽车变速箱部件的淬火仿真，增材制造则涉及打印过程中出现的反复冷却-加热循环。耦合了固体力学和传热的相变仿真，能够帮助观察塑性和相变潜热等作用。

局部硬化

大多数情况下，仅需要对组件的部分区域进行淬火。例如，感应淬火就是这样一种工艺。它通过线圈施加强交变磁场，从而在组件表面产生感应电流。然后对组件进行淬火，使组件表面区域发生马氏体转变。这种局部淬火工艺通常用于车轴和齿轮等传动组件，以提高耐磨性和抗疲劳性。

火焰淬火是另一种可用于获得组件硬表面的工艺。这种工艺不使用交变磁场，而是通过将气体火焰施加在组件表面进行局部加热，然后进行淬火处理。

当然，感应淬火和火焰淬火是相对新颖的热处理工艺，数世纪以前的日本刀匠根本无法使用。制作传统的日本武士刀使用的是另一种局部淬火工艺。对于武士刀这种类型的兵器来说，最好的状态是刀刃锋利且边缘坚硬（理想情况下是纯马氏体），同时剑脊最好具有韧性，例如珠光体，否则可能会在受到冲击时断裂。对武士刀进行不同程度的局部硬化的传统方法是，通过在刀刃上涂抹绝缘黏土来影响刀浸入水中时钢向周围水体的热量传递。刀身的不同区域会被涂上不同厚度的黏土，刀刃附近涂的黏土层较薄，其他部分涂的黏土层较厚。

热处理过程涉及的多物理场

钢构件的热处理仿真需要确定模型中应包括的相关物理现象。

从根本上说，热处理过程由与外部热交换产生的热量传递驱动。组件（此处为武士刀）内部温度的变化会引起冶金相变（奥氏体分解为铁素体、珠光体等）。在相变过程中，会产生潜热，从而影响温度。与热膨胀和相间密度差异相关的体积变化会导致组件变形，进而产生机械应力和塑性应变。而众所周知，在存在机械应力的情况下发生的相变会导致材料产生非弹性应变，即所谓的相变诱导塑性（TRIP）。淬火过程本质上是多物理场相互作用的过程，并且各个冶金相具有不同的材料属性，因此会产生平均的、与相组成相关的复合材料行为。

对于本文所建立的武士刀热处理模型，我们进行了以下简化：

忽略了相变过程中的潜热
忽略了相变诱导塑性应变

武士刀热处理过程中涉及的多物理场如下图所示。

武士刀热处理过程中涉及的多物理场。

武士刀的材料

传统的武士刀制作是在刀刃的不同部分使用不同类型的钢材。通常，刀刃与刀身内芯材料不同，最显著的区别是碳含量不同。碳含量以及其他合金元素对钢材的热性能和机械性能以及相变特性都有很大影响。在此，我们将其简化为单一钢材，其合金含量如下表所示：

元素	重量百分比（wt%）
C	0.63
Mn	0.9
P	0.04

实际上，钢材中还含有其他合金元素，但为了简单起见，除碳（C）之外，我们只考虑锰（Mn）和磷（P）。

武士刀的几何结构

武士刀的几何结构，刀身长度为 50 cm（左），刀身横截面高度为 2.8 cm（右）。

相变仿真

不同相组成的钢材性能不同，因此需要对各种可能的相变进行表征。在室温下，钢的基本组成为 50% 铁素体和 50% 珠光体。首先加热武士刀，直到其基本组成完全转变为奥氏体。然后在水中淬火，以获得最终的相组成。这种相组成在空间上会有所变化，通常是铁素体、珠光体、贝氏体、马氏体以及可能的残留奥氏体的某种组合，见下图。材料相的空间变化受每个材料点在冷却过程中所经历的温度的影响。

加热和冷却过程中的相组成。铁素体（F）和珠光体（P）的基本组成在加热时转化为奥氏体（A）。奥氏体在冷却过程中分解为铁素体、珠光体、贝氏体 (B) 和马氏体 (M)。

加热

加热模拟不仅是为了模拟铁素体-珠光体钢的奥氏体化，也是为了模拟加热时产生的热应变。请注意，我们本来可以在冷却开始时施加初始应变，以包括热应变的影响，从而省略加热过程，但我们选择在冷却模拟前进行加热模拟。不过，由于我们并不关心奥氏体的形成本身，因此使用 Leblond-Devaux 相变模型来模拟铁素体-珠光体基本组成中奥氏体的形成。相变模型使用了 附加源相 子节点，因此铁素体和珠光体在奥氏体的形成过程中都是源相。奥氏体 (A)、珠光体 (P) 和铁素体 (F) 的相分数速率分别由以下公式给出：

\dot{\xi}^\mathrm{A} = \frac{\xi_\mathrm{eq}^\mathrm{A}-\xi^\mathrm{A}}{\tau_\mathrm{F,P\rightarrow A}}

\dot{\xi}^\mathrm{F} = -\frac{\xi_\mathrm{eq}^\mathrm{A}-\xi^\mathrm{A}}{\tau_\mathrm{F,P\rightarrow A}}\cdot\frac{\xi^\mathrm{F}}{\xi^\mathrm{F}+\xi^\mathrm{P}}

\dot{\xi}^\mathrm{P} = -\frac{\xi_\mathrm{eq}^\mathrm{A}-\xi^\mathrm{A}}{\tau_\mathrm{F,P\rightarrow A}}\cdot\frac{\xi^\mathrm{P}}{\xi^\mathrm{F}+\xi^\mathrm{P}}

其中，奥氏体的平衡相分数为 1（完全奥氏体化），时间常数设为 60 s:

\xi_\mathrm{eq}^\mathrm{A} = 1

\tau_\mathrm{F,P\rightarrow A} = 60s

此外，我们只允许在加热过程中进行这种相变，具体方法是使用 变换条件 子节点，在该节点中输入以下条件 c:audc.Tt>0。

冷却

当完全奥氏体化的武士刀在水中淬火时，奥氏体会分解成铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体的组合。整个刀身不同位置的冷却速度，会形成不同的相含量。这表明，与加热模拟相比，冷却模拟时需要对相变进行更详细的描述。因此，使用 Johnson–Mehl–Avrami–Kolmogorov(JMAK) 相变模型模拟奥氏体分解为铁素体、波来石和贝氏体的过程。该模型适用于扩散相变模拟。它有三个参数：

平衡相分数,
时间常数,
Avrami 指数,

平衡相分数表示目标相的平衡相分数，可视为长期渐近线。例如，对 Fe-C 图中的奥氏体和铁素体两相区域应用杠杆原理，就可以计算和温度之间的铁素体平衡相分数。要确定其余参数，可以利用时间-温度-转变 (TTT) 图。TTT 图通常显示每种冶金相开始形成的时间和每种转变结束的时间。TTT 图假定在等温条件下进行，也就是说如果要通过实验获得 TTT 图，首先应将试样快速冷却到“目标温度” ，然后保持在该温度。在一定温度范围内重复这一过程，该温度范围通常是从奥氏体化温度到马氏体形成温度。

下列示意图的下半部分显示了一个 TTT 图，其中两条曲线分别表示形成 1%和 99% 的目标相所需的时间。这些分数都是相对相分数，表示在每个温度水平下，目标相与该温度下可达到的最大值的比例。相对相分数由给出，其中平衡相分数一般与温度有关。请注意，如果已经通过实验确定了这两条 TTT 曲线，就可以在每个温度下精确拟合 JMAK 相变模型。然后，中间相对相分数将由 JMAK 模型的公式决定。示意图的上半部分显示了在下，由特定相变模型控制的目标相的演变过程。

相对相分数为 0.01 和 0.99 时的 TTT 曲线示例。图中标出了中间相对相分数。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，JMAK 相变模型以速率形式表示，因此适用于非等温条件。不过，在 TTT 意义上，我们可以对 JMAK 模型进行符号积分。目标相随时间的演变过程变为：

\xi(t) = \xi_\mathrm{eq}\left(1-\exp\left(-\left(\frac{t}{\tau}\right)^n\right) \right)

经过一些处理后，可以将这个等式重新写为：

\left(\frac{t}{\tau}\right)^n= -\ln\left(\frac{\xi_\mathrm{eq}-\xi(t)}{\xi_\mathrm{eq}}\right)

如果使用上图中的开始和结束时间以及相分数，假设平衡相分数已知，就可以确定 Avrami 指数 n 和时间常数 :

\left(\frac{t}{\tau}\right)^n= -\ln\left(\frac{\xi_\mathrm{eq}-\xi(t)}{\xi_\mathrm{eq}}\right)

\tau = t_\mathrm{1}/\left(-\ln\left(\frac{\xi_\mathrm{eq}-0.01}{\xi_\mathrm{eq}}\right)\right)^{1/n}

这正是相变节点中 JMAK 相变模型的 TTT 图数据 表述方式。

在当前的武士刀淬火模型中，我们使用了三组虚构但合理的开始和结束 TTT 曲线，用于分别将奥氏体分解为铁素体、珠光体和贝氏体。铁素体数据的一部分如下表所示：


575	2.2	43
580	0.22	2.1
585	0.075	1.42
590	0.076	1.47
595	0.078	1.47
600	0.079	1.49
605	0.081	1.54
610	0.084	1.58
615	0.086	1.63
620	0.090	1.70


730	5.8	110
735	13	254
740	41	820
745	322	6246

为了完成相变模型的定义，还需要确定:

铁素体、珠光体和贝氏体在各自相变过程中与温度相关的平衡相分数。
相变的温度上限和下限。例如，定义了铁素体转变的起始温度，而则是马氏体的起始温度。

平衡相分数和不同的转变温度使用 奥氏体分解 接口下的 钢成分 节点，根据化学成分计算。

我们只允许在冷却过程中发生这些相变，与加热过程一样，使用 相变条件 子节点控制，在该节点输入以下条件 c:audc.Tt<=0。

当结合使用铁素体、珠光体和贝氏体相变的 TTT 曲线时，就可以使用 奥氏体分解 接口计算出 TTT 图。下图显示了计算出的 TTT 图。为了模拟这种情况，我们在零维中使用 奥氏体分解 接口，并通过选择相节点中的 计算转变时间 来获得达到特定相分数的时间。

使用虚构的 TTT 数据计算出的 TTT 图。

马氏体相变由 Koistinen–Marburger 相变模型描述。定义该模型需要两个参数：

Koistinen–Marburger 系数，
马氏体开始温度，

与等温条件下考虑的扩散铁素体、珠光体和贝氏体转变不同，马氏体转变本质上取决于温度速率。根据 Koistinen–Marburger 模型，马氏体的形成速率通过系数与冷却速率成正比。

在定义了所有相变之后，我们还可以计算连续冷却转变（CCT）图。下图所示为 CCT 图，其中奥氏体化温度为 900 ^°C，冷却速度范围为 0.1 K/s 至 1000 K/s。图中的 1% 线表示已形成的铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体相。奥氏体也显示了 1% 线，表示奥氏体分解完成，即几乎所有奥氏体都分解成了其他相。

根据 TTT 数据计算的 CCT 图。

材料的机械和热性能

要建立武士刀这样的钢铁组件的淬火过程的详细模型，需要了解其机械和热性能。这些性能在不同相（如奥氏体和铁素体）之间存在差异，而且还取决于温度。对于弹塑性特性，一般还取决于应变和可能的应变率。通过实验获得一整套材料特性既耗时又昂贵，因此往往难以实现。在实践中，会使用其他来源，包括文献中的实验数据和计算的材料特性。本模拟的目的是演示武士刀的淬火过程，因此我们对模型进行了如下简化：

弹性特性在各相之间保持一致，但其余特性在各相之间有所不同。
导热系数和热容量与温度有关。
初始屈服应力与温度有关。
各相的硬化行为是线性的、各向同性的，并且与温度有关。
热膨胀系数不变，但体积参考温度不同。

各相的材料特性与演变的相组成（相分数）可一起用于计算有效材料属性。这项工作是在金属加工模块中自动完成的，计算出的有效材料属性被收集在 复合材料 中，与其他物理场接口共享，见下图。

计算出的有效材料属性被收集在 复合材料 中。

传热仿真

使用 固体传热 接口来模拟武士刀内的热传递以及与周围环境的热交换。为简化问题，我们忽略了辐射传热，仅通过对流传热来模拟刀刃到周围环境的热传递。在刀片表面指定了一个热通量，并使用与温度相关的热传导系数表征。

加热

加热武士刀是为了使铁素体-珠光体基本组分奥氏体化。为了模拟这一过程，我们使用了一个简化的对流模型，采用恒定的传热系数 300 。在加热的第一分钟内，环境温度从室温跃升至 850^°C，然后在整个加热过程中保持恒定。选择总时间是为了使材料完全转变为奥氏体，并且加热时武士刀内的热梯度要足够低，以防止热致塑性应变。

冷却

为了模拟不同厚度的隔热黏土的效果，刀片边缘附近区域的传热系数与刀片上部的有所不同。

下图显示了表示薄层和厚层黏土随温度变化的传热系数。

薄层（0.2 mm）和厚层（0.75 mm）黏土随温度变化的传热系数。薄层用于刀片边缘，厚层用于刀片其余部位。

应力和应变仿真

使用 固体力学 接口计算武士刀在热瞬态过程中的应力、应变和变形。我们在前面已经指出，热膨胀和各相之间的密度差异会导致组件变形以及机械应力和塑性应变。因此用 奥氏体分解 接口模拟这些效应，并将它们通过 相变应变 多物理场耦合转移到 固体力学 接口。我们预计武士刀会有明显的弯曲。细长结构的弯曲不一定会产生较大的材料应变，但是会涉及有限旋转，因此分析是几何非线性的。预计弯曲也会产生塑性应变，因此使用 线弹性材料 的塑性子节点考虑这一点。

结果

武士刀最显著的特征之一就是刀刃弯曲。有趣的是，这种弧度是在淬火过程中产生的，而不是在热处理之前将刀刃弯曲所致。由于刀刃靠近边缘的部分较薄，隔热黏土也涂得更薄，因此温度迅速下降，刀刃最初会随着奥氏体冷却和收缩而向下弯曲。当温度降至马氏体开始温度以下时，奥氏体开始转变为马氏体。转变为马氏体的过程伴随着体积膨胀，从而在刀片边缘产生压应力。随着冷却向刀脊部位推进，冷却速度降低，其他冶金相也随之形成。刀刃从最初的向下弯曲过渡到最终的传统弧形。下图显示了冶金相的最终组成。值得注意的是，刀刃是马氏体，因此硬度较高，但刀脊主要是珠光体，因此韧性更好。

冷却结束时的轴向应力（上）、等效塑性应变（中）和马氏体相分数（下）。

淬火后的最终组成。刃口具有理想的硬马氏体结构，刃脊大部分为珠光体。

学以致用

在这篇博客中，我们展示了如何使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟武士刀的淬火过程。通过仿真，我们解释了武士刀的弯曲形状是如何形成的，以及使用黏土进行局部淬火的简化传统工艺如何制作出刀刃硬而刀芯软的刀片。当然，对武士刀进行建模只是出于我们的好奇心，但它表明 COMSOL Multiphysics^® 可用于模拟一般的钢淬火，不仅可以计算冶金相的组成，还可以预测变形和残余应力。

动手尝试

想尝试自己建立武士刀的局部淬火模型吗？COMSOL 案例库中提供了相应的模型文件，欢迎下载。

下载模型文件

悬浮桌的张力完整性模拟

Rachel Keatley — Tue, 28 May 2024 08:07:44 +0000

一张桌子可以在不接触地面的情况下保持站立吗？答案是肯定的，张力完整性就可以实现！悬浮桌及其“悬浮的”桌面通过物理的力量，使我们对眼前所看到画面不再怀疑。为了揭示悬浮桌的工作原理，我们先来了解一些其他张拉整体结构，然后再对一个悬浮桌模型展开深入研究。

张力完整性的应用

关于谁最先将张力完整性作为一种结构技术的话题，目前还存在争议，但 “张力完整性”一词由工程师兼建筑师巴克敏斯特·富勒（Buckminster Fuller）在 20 世纪 60 年代首次提出，是“张力的完整性”的简称。张力完整性是基于单个刚性构件（如管或梁）和柔性构件(如电线或电缆)组成的系统建立的结构原理。刚性构件处于持续压缩状态，它们不是通过互相接触连接，而是被处于持续拉伸状态的柔性构件固定在一起，形成一种能够自我支撑的内部稳定性结构，从而无需预期的必要条件，如地基、连接件或支柱。由于张力完整性具有相互关联的性质，因此每一部分对更大的整体功能都至关重要。

在土木工程人员利用张力完整性建造像多面穹顶这样的建筑结构之前，这一原理可以在自行车轮胎这样的简单结构，甚至自然界（如蜘蛛网）中看到。

张拉整体结构使用的材料少，因此质量轻、适应性强，在环境友好型建筑设计中有应用潜力。尽管如此，工程师们暂时还没有将张拉整体结构用于住宅等民用建筑，因为张拉结构难以抵抗地震破坏等。如今，张拉整体结构通常作为一种辅助手段使用，例如德国慕尼黑奥林匹克体育场，它本身并没有采用张拉整体结构，但屋顶采用了这种技术。钢缆和丙烯酸玻璃通过张力完整性被固定在一起，形成了美观的网状结构，可以抵御风雪。

德国慕尼黑奥林匹克体育场，屋顶采用了张力完整性技术。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

为了进一步展示张拉整体结构的功能，我们再来看两个例子。

塔楼和机器人

在华盛顿特区的赫希洪博物馆（Hirshhorn Museum）外，有一座 60 英尺（约 18 m）高的钢铝雕塑，与地面只有 14 英寸的接触（约 35 cm),艺术家肯尼思·斯内尔森（Kenneth Snelson,富勒的学生）将其命名为“针塔”,由于它能够利用张力保持直立，斯内尔森称之为 “悬浮压缩”（Floating Compression）。

华盛顿特区赫希洪博物馆外肯尼思·斯内尔森的针塔（1968 年）。获 Creative Commons Attribution 3.0 Unported 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

从美国国家航空航天博物馆出来的游客会经过一座“针塔”，在那里他们可能会了解到另一种已建成的张拉整体结构：NASA 超级球机器人。

超级球机器人是美国国家航空航天局（NASA）为行星着陆和探索设计的机器人原型，它基于张力完整性原理工作。该机器人由缆线和杆组成，通过改变缆线的长度和拉力，机器人可以向任何方向移动，从而拉动杆使机器人可以穿越不可预知的地形。这种结构的弹性可以吸收撞击力，使其无需安全气囊就能掉落在地面上。

NASA的超级球机器人。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International许可，通过Wikimedia Commons共享。

虽然这些例子都令人赞叹，但张拉整体结构并不一定要涉及 60 英尺高的雕塑和星际探索机器人。张力完整性的基本原理简单易懂，您甚至可以在自己家里做一个张拉整体结构的实例！张力桌，或称为 “悬浮桌”，是张力完整性原理最基本的应用：一个固定部件在张力的作用下被一个柔性部件托起。为了展示悬浮桌的工作原理，我们使用 COMSOL Multiphysics^® 软件制作了一个模型，该软件可以分析作用在保持张力的导线上的应力。接下来，让我们来看看是什么让这张桌子浮起来的！

悬浮桌的构成

最简单的悬浮桌由两块刚体组成：上半部分（桌面和一条向下延伸的弯曲桌腿）和下半部分（桌底和一条向上延伸的桌腿）。两条腿之间用一根金属丝连接，这样当重力将上半部分向下拉时，金属丝的张力可以防止上半部分掉落地面。

悬浮桌中的张力可以抵消重力。

虽然一根中心线就可以将上半部分悬挂在桌子的下半部分，但为了防止桌面倾倒，还需要有几条支撑线将桌面边缘与底座边缘连接起来。当桌面的重量均匀分布时，这些支撑线的张力通常很小。如果在桌面的一边放置一个物体，就会对该区域施加了较大的向下力，对面桌边的钢丝就会承受较大的拉力，来保持桌面水平。

用于稳定悬浮桌的外部钢丝线。

用于平衡上部分的所有力都已标出。

有趣的事实：悬浮桌（如上图所示）的设计通常是对称的，因此可以将其翻转过来用，其工作原理仍然相同。

模拟张力完整性

示例模型中的悬浮桌由密度为 500 kg/m³ 的木材制成。该材料被视为刚性材料。单根中心线和四根外线由钢丝制成。本例中的桌腿相互交错，但并不接触，仅由穿过中心的金属丝固定在一起。

悬浮桌的几何结构。

除了桌子本身的自重载荷外，该模型还分析了两种载荷情况。第一种情况是在桌面上施加不同大小的垂直向下的载荷。第二种情况是施加一个扭转力矩，就好比使桌面像瓶盖一样旋转而在导线中产生拉力。这两种情况都是使用线缆接口对施加的载荷和桌面重量进行模拟，该接口提供了分析线缆系统的功能，既可以单独分析，也可以与其他类型的结构耦合分析。

垂直载荷

第一个载荷为一个垂直向下的压缩力，大小在 0 到 500 N 之间，均匀地被施加在桌面上。中心导线承受载荷，而外侧导线的受力水平为零。除非桌面发生某种倾斜，否则周围的导线将继续保持几乎没有张力的状态。

悬浮桌上的垂直荷载。

扭矩

第二种情况，施加一个 10 N/m 的扭矩。与上一种情况一样，所施加的载荷以及桌子的重量由中心线支撑。由于增加了扭转力矩，而不是直接向下的力，因此外侧弦线也处于拉伸状态，尽管拉伸程度很低。

悬浮桌上的扭矩。

张力完整性的未来应用

既然我们已经看到了张力完整性的最简单形式之一，并理解了其基本原理，就有可能模拟更复杂的结构。张力完整性的复杂应用存在于各种事物中，如体育场、雕塑，甚至是行星探测机器人。展望未来，建筑师和工程师们正在寻找更新、更大的张力完整性应用，例如张力摩天大楼。他们希望张力完整性能提供一种适应性强、坚固耐用、同时使用更少轻质材料的建筑技术，从而提出一种生态友好型建筑方案。在这个愿望实现之前，你可以在自己家客厅里摆上一张个人悬浮桌，享受张力完整性技术带来的乐趣！

下一步

从COMSOL案例库中下载张拉整体桌的模型文件
参阅下列教程模型，尝试在 COMSOL Multiphysics^® 中分析电缆和电线系统的功能：

表面贴装器件预处理过程仿真

Elsa Richardson-Bach — Mon, 20 May 2024 03:07:05 +0000

表面贴装器件（SMD）使设计人员能将大量元件集成在印刷电路板（PCB）上，从而在小尺寸上实现大量功能电路。然而，用于固定表面贴装器件的焊接过程会对器件施加高水平的应力，导致器件变形，进而影响其性能。预处理是一个在可靠性测试之前进行的，以可控和可重复的方式再现这些应力的过程。这篇博客，我们将探讨一个模型，通过三个预处理阶段的仿真来分析由于热膨胀、吸湿膨胀和塑封材料孔隙内蒸汽压力带来的封装应力和翘曲变形。

表面贴装器件

表面贴装器件是一种贴装在印刷电路板或基板表面的无引线或短引线元件。贴装元件的方法称为表面贴装技术（SMT），通过焊接或浸焊工艺固定器件。该技术需要将表面贴装器件置于高温下，这会导致器件变形，从而阻碍其贴装到印刷电路板。为了模拟高温环境对器件的影响，在进行可靠性测试之前需要进行预处理。通过有限元仿真，工程师可以更深入地理解预处理过程对表面贴装器件的影响。

焊接表面贴装器件。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, 2.5 Generic, 2.0 Generic and 1.0 Generic 许可, 通过 Wikimedia Commons共享。

预处理过程模拟

绝缘栅双极晶体管（IGBT）是表面贴装器件的一个典型示例。表面贴装器件可靠性测试的预处理模型模拟了一个绝缘栅双极晶体管模块，即贴装在一个功率半导体基板上的多个绝缘栅双极晶体管。该模型展示了如何利用建模和仿真分析表面贴装器件在电路板组装过程中经历的多次回流焊操作。在焊接过程中，表面贴装器件暴露在高温环境，这可能会造成内部损坏，尤其是当封装内有湿气的情况下。预处理的目的是在可靠性测试之前，以可控和可重复的方式产生电路板组装过程中产生的应力。此模型中使用的是表面贴装器件预处理序列的行业标准测试方法：JESD22-A113I 标准。

预处理过程有三个主要步骤:

烘烤
浸湿
模拟回流焊的温度变化

如果模拟的器件显示出过大的应力和变形，表明需要重新设计回流焊工艺，例如减慢升温速度，或使用吸湿性较低的材料等其他电磁兼容性材料。

绝缘栅双极晶体管模块的几何模型。

烘烤

预处理过程的第一步是烘烤，该步骤通过高温去除结构中的水分。为确保温度分布均匀，逐渐加热绝缘栅双极晶体管，并在 125^°C 温度下烘烤 24 h。这一步骤可最大限度地降低回流焊阶段产生的热冲击。初始水分浓度为 10 mol/m³，塑封件外部边界的浓度设定为 0 mol/m³。如下图所示，该器件在烘烤过程中会变形为凹形。

左：烘烤步骤结束后的应力分布。右：烘烤步骤结束后，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度。

烘烤步骤中的结构变形动画。

浸湿

预处理过程的第二步是测量回流过程中水分的影响，因为塑封材料（ EMC ）层内的水分可能会在回流过程中产生应力，从而导致可靠性问题。烘烤步骤后的浸湿是一种以可控的方式将水分引入塑封材料层的方法，这样可以确保在回流焊过程中可能产生的任何影响都是可重复的。在这个示例中，浸湿过程在 40^°C 下持续了 192h。烘烤后的结构是干燥的，因此初始浓度为 0 mol/m³。塑封件外部边界的浓度保持在 140 mol/m³，假设在该步骤中水分在外部边界达到饱和。最终绝缘栅双极晶体管发生的变形较其在烘烤步骤中的变形要小，变成了微凸形。

浸湿步骤中的结构变形动画。

回流焊

回流或焊接阶段用于将绝缘栅双极晶体管模块的温度提高到所用焊膏的熔点，以使其液化。熔融焊料的回流是将绝缘栅双极晶体管模块连接到印刷电路板的关键。回流焊测试在浸湿步骤后直接进行，初始水分浓度取自上次浸湿过程的最终结果。在该模型中，回流过程在 21 min 内历经三个循环，期间最高温度达到 260^°C。在这一过程中，绝缘栅双极晶体管模块在温度峰值时呈凹变形，而在回流过程呈凸变形。这一步骤对器件造成的压力最大，而仿真模型有助于预测压力的位置和程度。

t= 6 min 达到回流步骤温度峰值时的应力分布（左），以及 t = 6 min 后达到回流步骤温度峰值时，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度（右）。

回流步骤（3 个循环）中结构变形的动画。

进一步的测试

预处理过程中发生的变形仿真，可以帮助工程师更深入地理解变形对绝缘栅双极晶体管模块的影响，从而能够修改设计，避免损坏，同时提高产量和可靠性。还可以对该模型进行扩展，进一步测试到印刷电路板和表面贴装器件结构及其周围环境之间的热量传递，以及扩展为包括焊接材料的黏塑性等因素的更复杂模型。

使用仿真 App 设计和定制复合材料

Amit Patil — Fri, 26 Apr 2024 04:00:44 +0000

复合材料广泛应用于工业领域。与传统的整体材料相比，复合材料因其组分为定制的而具有特殊的材料属性，故用途广泛且适用于许多不同的行业，如航空航天工程和生物医学工程等领域。复合材料的材料属性需要使用均质化技术进行数值计算，该技术也可用于定制和设计多功能材料。这篇博客，我们将介绍一个使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器开发的仿真 App，该应用程序可用于复合材料设计和材料均质化。

这篇博客介绍了一个材料均质化仿真 App。如果您想了解关于材料均质化的技术介绍，请查看 COMSOL 学习中心的文章：材料属性的均质化。

均质化简介

在开始讨论该均质仿真 App 之前，我们先来复习均质化的 4 个重要仿真步骤:

创建重复单元格（RUC）的几何形状
为组分指定材料属性
应用周期性边界条件
读取均质材料属性

现在，我们来仔细看看其中的每一个步骤。

步骤 1：重复单元格

第一步是使用 COMSOL Multiphysics^® 的模型开发器生成重复单元格的几何图形。您可以导入几何图形、构建几何图形或使用 COMSOL Multiphysics^® 零件库中的重复单元格几何图形。

零件库中的重复单元格几何图形示例。

下图所示为 COMSOL 中用于构建不同重复单元格的几何零件。

步骤 2：组份的材料属性

您可以使用 COMSOL Multiphysics^® 模型开发器中的材料节点分配不同组份的材料属性。

步骤 3：周期性边界条件

固体力学 接口中的 单元周期性 功能内置了周期性边界条件，用于计算均质弹性张量、柔度张量、热膨胀系数和吸湿膨胀系数。在 边界条件 设置中，有三个选项可用于计算均质化属性：

自由膨胀 : 给出了均质热膨胀系数或吸湿膨胀系数
平均应变 : 给出了均质弹性张量
平均应力 : 给出了均质柔度张量

周期性条件总是被应用在一对边界上，其中一组边界为源边界，另一组为目标边界。周期性位移边界条件可写成

\mathbf{u}_\textrm{dst} = \mathbf{u}_\textrm{src}+\mathbf{\epsilon}_\textrm{avg} \mathbf{r},

其中，和分别是目标和源边界上某点的位移向量。是宏观应变或平均应变，是源和目标之间的位置向量。周期性牵引力条件与周期性位移条件相同，但是以牵引力的形式书写。

单元周期性特征的 设置窗口

利用固体传热 接口中的周期性条件 特征对温度应用周期性边界条件，可以建立均质导热系数。均质密度和热容量可以根据混合率解析计算。

步骤 4：均质材料属性

计算均质密度和热容量时，不需要周期性边界条件。但是，计算均质弹性张量、热膨胀系数和热导率时需要这些条件。计算均质特性的公式如下：

均质密度 ():

\rho_\textrm{h} = \frac{\sum_{i} \int_\textrm{v} \rho_{i} dV}{V},

式中，是第种组份密度，是总体积。

均质热容量 ():

C_\textrm{h} = \frac{\sum_{i} \int_\textrm{v} \rho_{i} C_i dV}{\sum_{i} \int_\textrm{v} \rho_{i} dV},

式中，是第组份的热容量。

要计算均质弹性张量，需要运行平均应变张量中只有一个分量不为零的6种不同的载荷工况。每个载荷工况下的平均牵引向量用于构建均质弹性张量。

为了计算均质热膨胀系数 ,重复单元格在单位温度上升时发生自由膨胀。由以下公式计算：

\alpha_\textrm{h} = \frac{\epsilon_\textrm{avg}}{T_\textrm{diff}},

式中，是平均应变，是温度变化。

要计算均质导热系数 ,需要运行 3 种不同的载荷工况，其中每个笛卡尔方向的平均温度梯度都不为零。每个载荷工况下的平均热通量用于构建均质导热系数。

均质化仿真 App

现在，让我们来看看周期性微结构的均质材料属性仿真App 。该应用程序的用户界面有 6 个主要单元：功能区以及几何、材料、信息、图形和结果窗口。下面的视频展示了该仿真 App 启动时的情况。

视频展示了仿真 App 的用户界面。

下面，我们将介绍这个仿真 App 用户界面中 6 个要素的更多信息。

功能区

功能区有两种不同的选项卡：主页和 基本单元。主页选项卡包括以下按钮：

重置：重置几何体、材料或两者均重置
网格：以普通、精细或 更精细 的离散方式对几何体进行网格划分
计算：计算解
导出材料：将均质材料导出到 XML 文件或 MPH 文件中。(此按钮在解可用前不会激活。）
重置窗口布局：重置用户界面窗口
报告：自动生成均质仿真报告。(此按钮在解可用之前不会激活。）
帮助：链接到帮助文档

功能区中的 主页选项卡。在这个示例中， 导出材料和报告按钮还不可用。

基本单元格 选项卡包含 10 种不同基本单元的几何图形。您可以点击任何一个基本单元的图标来使用它。

功能区中的 基本单元选项卡。

几何窗口

几何窗口显示了基本单元的可更改几何参数以及几何草图，还包括 构建几何 按钮。

材料窗口

通过材料窗口可以为单元格的组成成分选择不同的材料，还可以选择要计算哪种均质属性。COMSOL Multiphysics^® 的 材料库 中有十种不同的内置材料（见下图列表）。此外，还有一个按钮用于创建和编辑用户定义的材料。需要注意的是，它无法计算空气和水的均质力学属性。

该仿真 App 提供以下均质化属性:

密度
弹性矩阵
热膨胀系数
热容量
导热性

仿真 App 的 材料 窗口。

信息窗口

信息窗口显示预计的求解时间和预计的内存使用量。该窗口还显示解、几何体、网格和材料的当前状态。App 中的任何更改都将在此自动更新。

图形窗口

App 中的图形窗口与 COMSOL Multiphysics^® 用户界面中的图形窗口一致。除了包含标准功能外，该窗口还包含一个用于隐藏矩阵的按钮，以便用户检查增强组份。

结果窗口

结果窗口显示了计算出的均质化属性。

结果窗口。

工作流程

使用该仿真 App 的详细流程可以归纳为以下几个步骤:

选择一个合适的基本单元。
选择合适的几何尺寸。构建几何结构。
为复合材料的所有组份分配正确的材料。
选择要计算的不同类型的均质化属性。
选择适当的网格离散化。
检查信息窗口中的几何、网格和材料是否已更新。
计算解。

导出和导入均质化材料属性

该仿真 App 的主要目的是计算复合材料的均质属性，以用于复合材料结构的宏观力学分析。为此，需要导出仿真 App 中计算出的均质属性，然后将其导入 COMSOL Multiphysics^® 仿真中。

要在计算完成后导出结果，只需展开功能区中的导出材料 菜单，然后根据所需的文件格式选择导出为 MPH 文件 或 导出为 XML 文件 即可。(MPH 输出格式可导入任何 COMSOL Multiphysics^®版本；XML 输出格式可导入 COMSOL Multiphysics^® 3.5a 及以后的版本）。在弹出的文件浏览器中，选择目标目录和文件名，然后单击保存。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，按照以下步骤导入自定义材料。您需要打开一个模型来导入材料（可以是新模型，也可以是现有模型）。(在功能区中，首先选择材料选项卡，然后单击 浏览材料。

在打开的 材料浏览器 窗口中，单击 导入材料库 按钮,启动一个文件浏览器，您可以在其中选择之前保存的 MPH 文件或 XML 文件。之后，自定义材料就会出现在 材料浏览器 的列表中。

结语

本文讨论的仿真 App 可用于计算各种周期性微结构的均质材料属性，并将它们导入 COMSOL Multiphysics^® 软件中。对于那些希望利用均质属性而不关注复杂仿真原理的人来说，该仿真 App 非常有用。

如需了解有关均质化技术的通用指南，请单击下面的按钮进入 COMSOL 学习中心学习相应的课程。

学习课程

扩展学习

尝试自己动手使用仿真 App: 周期性微结构的均质材料属性
有关复合材料仿真的更深入的指导，请参阅博客:复合材料模块简介

借助 COMSOL Multiphysics® 深入探究 MEMS 技术

Elsa Richardson-Bach — Wed, 17 Apr 2024 03:34:39 +0000

当你在线上会议上发表演讲时、对智能设备说出语音命令时，或者在电话中交谈时，你的声音很有可能是通过 MEMS 技术被接收的。因此这种固态半导体技术经常被用于制造能产生高品质音效的现代微型扬声器。这篇博客，我们将探讨 MEMS技术为麦克风带来的好处，制造 MEMS 麦克风所面临的挑战，以及如何借助仿真来提高这类麦克风设计过程的效率。此外，我们还将讨论由 MEMS 技术驱动的现代微型扬声器的最新进展。

MEMS 技术的现状

在麦克风中使用MEMS 技术可以提高信噪比（SNR），即所需音频信号与背景噪声之间的比值。由于 MEMS 体积小，因此在笔记本电脑或手机等设备上添加多个麦克风成为可能。由于能够提供高信噪比，加上体积小所带来的优势，MEMS 设备具有滤波和主动降噪（ANC）功能。这使得 MEMS 麦克风能够拾取清晰的语音信号，并过滤掉来自外界的嘈杂环境。此外，MEMS 麦克风的硅结构使其很容易集到成数字产品中、抗技术振动而且批量生产的成本低。

图1 一个 MEMS 麦克风模型。

由于 MEMS 技术所具有的这些优点，因此它越来越多地被应用在智能家居设备、手机、平板电脑、台式机和笔记本电脑，以及助听器等消费类产品的麦克风中。近年来，随着居家办公场景的增多，对 MEMS 麦克风的需求也在增加。

MEMS 麦克风仿真

有了仿真软件，工程师就可以精确模拟这些器件，放大不同的关注区域，也更容易深入探究这种微小尺度技术。对于小尺度（通常是亚毫米尺度）的MEMS麦克风，热边界层和黏性边界层的影响非常重要。边界层对系统中的摩擦损耗和热损耗都有影响，会抑制声学响应。要获得 MEMS 麦克风的正确声学响应，必须将黏性和热效应考虑在内。

随着制造技术的不断进步，制造越来越小的设备成为可能。然而，较小的尺寸会导致较高的克努森数，从而使非连续效应变得非常重要。通过仿真，工程师可以测试多个变量。例如，在 COMSOL 案例库中的 MEMS 麦克风模型中，您可以使用边界条件来考虑 MEMS 麦克风中高克努森数的影响。

麦克风由一个微型穿孔板 (MPP)、一个振膜和一个封闭背腔组成。振膜表面采用了滑移条件，因此壁面的切向速度取决于边界处的流体应力。这会在固体和流体的速度之间产生不连续性。

图 2 由微型穿孔板和振膜组成的 MEMS 麦克风。

接下来，我们将简要介绍该模型的一些模拟结果。您可以在文末下载这个模型模拟的详细分步说明。

结果探讨

在研究的一开始，电场会对振膜施加预应力，使它产生静态变形，就像拉紧吉他弦一样。然后向微型穿孔板上表面施加压力，使振膜振动，并在二者之间的空间产生电信号，如图 3 所示。

图3 在 20 kHz 下所有域的声压。

如图 4 所示，对声速的研究表明，黏滞阻尼区域是通过微型穿孔板上的孔，以及微型穿孔板和振膜之间的挤压流动产生的。

图 4 声速结果。

最后，模型分析了 MEMS 麦克风在 200 Hz 到 20 kHz 的频率响应。较低的频率下显示出下降，由于耦合电路的原因，响应曲线不再平坦。而在较高的频率下，响应则有所下降。由于模型的长度尺度较小，机械共振位于较高频率处，因此频谱在音频范围内接近平坦。

图 5 频率响应。

MEMS 麦克风在日常电子设备中很常见，在仿真的帮助下，其性能不断提升。接下来，我们将探讨 MEMS 技术的一种新应用，其设计过程也能受益于仿真技术。

新的轨迹

MEMS麦克风的优点同样适用于MEMS扬声器，但直到现在这种扬声器技术还没有商业化。跟被发明时的机械系统一样，扬声器技术由磁体、线圈和振膜组成。几十年来，这一系统不断得到改进，但大多数扬声器都会遇到相似的设计难题，尤其是在耳机方面。磁体和线圈系统很容易出现相位不一致的情况，导致每只耳朵听到的声音不同。振膜本身通常不够坚硬，无法在高频时保持活塞式运动：振膜在响应磁体推动时可能会发生翘曲，这就有可能使一些声音变得浑浊。

图 6 采用 MEMS驱动器的耳机。

幸运的是， MEMS 技术为这些问题提供了解决方案。由于采用了固态半导体结构，MEMS 扬声器去除了磁体，因此质量更轻、体积更小且音量更均匀，从而消除了相位偏差。硅振膜更加坚硬，在抽气时系统可保持线性，因此声音能保持清晰、无杂音。此外，与磁体和线圈扬声器相比，MEMS 扬声器的驱动速度更快，这意味着它们能更快地启动和结束声音，从而能更清晰地分离不同的声音。最近，一系列配备 MEMS 驱动器的无线耳机的发布标志着人类首次将 MEMS 技术应用到扬声器系统中。

MEMS 的未来

随着MEMS技术的应用，麦克风和扬声器的性能正在迅速提升。大多数麦克风已经采用了 MEMS 技术，能够解析出音频信号中越来越小的细微差别，耳机中也很可能会采用 MEMS 技术，以播放最高品质的录音。为了帮助这些领域创新，仿真技术提供了一种深入观察微型设计的方法，还能在制作物理原型之前对设计进行精确模拟和优化。

MEM为推动音频制造进步打开了许多新的通道。因此，当您下一次听音乐或进行视频通话时，可以花点时间想一想您的微型扬声器或麦克风里装的是什么，因为它可能就是 MEMS 技术！

下一步

想尝试模拟 MEMS 麦克风模型吗？COMSOL 案例库中提供了相关 MPH 文件和分步说明，欢迎下载:

下载模型

扩展阅读

阅读以下资源，了解有关 MEMS 麦克风和扬声器技术的更多信息：
了解有关扬声器和声学仿真的更多信息，请访问 COMSOL 博客：
- 使用哪种耦合特征模拟扬声器驱动器？
- 如何选择 COMSOL 产品进行压电仿真？

使用 COMSOL Multiphysics® 模拟褶皱

Amit Patil — Mon, 08 Apr 2024 02:40:41 +0000

褶皱研究是一个跨学科的课题，无论是空间工程领域的充气天线，还是生物工程中常见的皮肤褶皱研究均有所涉及。无论从事哪个领域工作的工程师和研究人员，只要涉及薄结构，都熟悉褶皱产生的基本原理：当薄结构受到压应力时，刚度不足或刚度降低将会产生褶皱。这篇博客，我们将探讨如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件模拟褶皱。

引言

在结构仿真中，薄结构通常使用壳单元或膜单元模拟。壳单元会考虑结构的弯曲刚度，而膜单元不会。这一基本差异决定了这两种单元类型处理褶皱仿真的方式。当考虑弯曲刚度时，与壳模拟一样，在以弯曲刚度为特征的临界压应力下，会出现褶皱。另一方面，如果不考虑弯曲刚度，与膜模拟一样，则在一开始产生压应力时就会出现褶皱。

在这两种情况下，褶皱都被认为是一种不稳定特征，也称为 局部屈曲。使用壳单元模拟褶皱时，有必要进行屈曲后分析。值得注意的是，网格离散化和任何几何缺陷都会对最终结果产生重大影响。壳模拟的优势在于可以获得有关波长和振幅等褶皱特征的详细信息。然而，在许多仿真场景中，皱褶的详细特征并不特别重要；相反，主要目标是避免问题区域出现皱褶。在这种情况下，使用膜单元模拟褶皱可能更有优势，因为这种方法计算成本低，而且数值稳定性更好。

接下来，我们将逐一介绍这两种模拟方法。在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳单元和膜单元分别使用壳接口和膜接口模拟。

另一个熟悉的褶皱示例：船帆。照片来自Unsplash，由 Karla Car 提供。原作品经过修改。

使用膜接口仿真

使用 COMSOL 中的膜接口模拟变形的薄结构存在以下三种可能的状态之一:

绷紧的 — 当两个面内主应力均为正值时
松弛的 — 当两个面内主应力均为负值时
褶皱的 — 当面内主应力之一为负值时

常规膜理论采用的是考虑了褶皱区域中压应力的全应变能公式，从而产生了不稳定的解。为了避免由压应力产生的平衡不稳定性，我们提出了（基于张力场理论的）修正膜理论。修正膜理论在褶皱区域返回单轴应力状态，在松弛区域返回零应力状态，从而避免了平衡不稳定性。修正膜理论有两种主要方法：修正的变形张量和修正的本构关系。

修正的变形张量公式

为了理解褶皱动力学，我们来看下面这幅图:

褶皱动力学。弧形表面 ABCD 代表褶皱构型，平面 ABCD 代表平均构型，平面 ABEF 代表加长构型。

对于褶皱膜，上图显示了三种不同的动力学描述:

变形张量将参考构型映射为真正的皱褶构型（弧形表面 ABCD）。

不适合测定褶皱膜中的应变场

变形张量将参考构型映射为平均构型（平面 ABCD）, 其面积小于实际皱褶面积。

不适合测定褶皱膜中的应变场

变形张量将参考构型映射到一个虚构的加长构型（平面 ABEF），其面积等于实际皱褶面积。

适用于测定褶皱膜中的应变场

假设褶皱发生在方向，且为单轴拉伸方向, 为修正的变形张量，记为

\bar{\bf{F}} = \left[ \bf{I} + \beta (\bf{n}_2 \otimes \bf{n}_2) \right] \bf{F},

式中，是拉伸/褶皱参数 (参考文献1)。符号表示两个向量的外（二元）积，产生一个张量。表示绷紧条件。根据正交条件和张力场理论，

\bf{n}_1 \cdot \mathbf{\sigma} \cdot \bf{n}_2 = 0

\text{和}

\bf{n}_2 \cdot \mathbf{\sigma} \cdot \bf{n}_2 =0,

其中，是柯西应力。用第二皮奥拉-基尔霍夫应力表示为

\bf{\sigma} = \frac{1}{\bar{J}} \bar{\bf{F}} \cdot S(\bar{\bf{F}}) \cdot \bar{F}^T

假设平均构型已知 (), 那么未知数就是和。

让我们把这些方程映射到更方便的参考构型中，因为膜动力学和材料特征都在参考构型中。假设是参考构型中与矢量相对应的矢量。因此，虚构的格林-拉格朗日应变张量可写成

\bar{\bf{E}} = \bf{E} + \left(\beta + \frac{\beta^2}{2}\right) \bf{h} \cdot \bf{C} \otimes \bf{C} \cdot \bf{h}

\bar{\bf{E}} = \bf{E} + \beta^* \bf{N}_2 \otimes \bf{N}_2,

式中，是平均右柯西张量, 是参考配置中的单位向量, 是新的皱褶参数。

膜表面有一个坐标系，有两个面内正交单位矢量, 和。和与角度的关系式为

\mathbf{N}_1 = cos (\alpha) \mathbf{e}_1 + sin (\alpha) \mathbf{e}_2

\text{和}

\mathbf{N}_2 = -sin (\alpha) \mathbf{e}_1 + cos (\alpha) \mathbf{e}_2

下列非线性耦合方程用于求解两个未知数和 ,

\bf{N}_1 \cdot \bf{S} \cdot \bf{N}_2 =0

\text{和}

\bf{N}_2 \cdot \bf{S} \cdot \bf{N}_2=0

这两个非线性代数方程可以用牛顿-拉夫森方法求解:

\begin{pmatrix}
f_{1,\alpha} & f_{1,\beta^*}\\
f_{2,\alpha} & f_{2,\beta^*}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\Delta \alpha\\
\Delta \beta^*
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-f_1\\
-f_2
\end{pmatrix}

式中, 和在每个高斯点上应用局部牛顿-拉夫森方法，并在全局范围内进行迭代求解得到的。

褶皱功能

修正的变形张量方法可以通过皱褶子节点实现，该节点内置在膜接口的 线弹性材料 和 超弹性材料 节点下。皱褶子节点有三种不同的局部牛顿-拉夫森方法的终止准则选项，并允许用户调整公差。

线弹性材料 特征下的 皱褶 子节点。

COMSOL 案例库中有几个示例展示了如何使用膜接口的内置功能建立褶皱模型。矩形膜的单轴拉伸模型是一个容易分析验证的简单模型。在这个例子中，将数值结果与分析结果进行了比较，如下图所示:

矩形膜的皱褶区域用暗红色显示。左图使用的是各向同性材料，右图使用的是各向异性材料。这两幅图比较了分析结果与计算（数值）结果。

方形安全气囊的膨胀模型更符合实际情况，因此也更加复杂。该模型展示了使用线弹性材料的方形安全气囊在充气过程中的起皱情况。类似的，方形超弹性气囊的膨胀, 模型使用的是超弹性材料。

使用线弹性材料模拟的方形安全气囊。褶皱区域用暗红色显示。

另一个使用膜接口内置功能分析褶皱的示例是圆形膜的扭转模型。在该模型中，仅在圆形膜的内边施加了扭矩以产生褶皱。在这个示例中，可以观察到不同网格模式和离散度对褶皱模式的影响。

修正的本构关系

如上所述，COMSOL Multiphysics^® 中的褶皱子节点使用的是修正变形张量公式。由于软件的灵活性，也可以使用第二种方法模拟褶皱：修正的本构关系。

第二个公式对皱褶区域的本构关系进行了修改。用于皱褶区域的应变能称为 松弛应变能，而用于绷紧区域的应变能也被称为 完全应变能。这种方法适用于所有各向同性超弹性材料模型，但为了简单起见，这里考虑的是 neo-Hookean 不可压缩材料。用主拉伸和表示的全应变能密度可写成

\hat{W}_\textrm{F} = c_1 (\lambda_1^2+\lambda_2^2+\frac{1}{\lambda_1^2 \lambda_2^2}-3)

主柯西应力的计算公式为

\sigma_i =\lambda_i \frac{\partial{\hat{W}}}{\partial{\lambda_i}},

i = 1, 2, 3

各方向的柯西主应力分别为

\sigma_1 =c_1 \left(2\lambda^2_1-\frac{2}{\lambda^2_1\lambda^2_2} \right),

\sigma_2 =c_1 \left(2\lambda^2_2-\frac{2}{\lambda^2_1\lambda^2_2} \right),

\sigma_3 =0

假设拉伸发生在第一主方向，褶皱发生在第二主方向。那么，在褶皱区域，以下等式必须成立：

n_2 \cdot \sigma \cdot n_2 = 0,

n_1 \cdot \sigma \cdot n_1 >0,

n_1 \cdot \sigma \cdot n_2 = 0

该方程确定了褶皱区域的单轴应力状态，褶皱方向的应力变为零。根据褶皱方向上的零应力，可以得到主拉伸的褶皱条件:

\sigma_2 =c_1 \left(2\lambda^2_2-\frac{2}{\lambda^2_1\lambda^2_2} \right) =0

\lambda_2=\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}

因此，皱褶区域由以下不等式确定: 。在全应变能中插入根据主拉伸得到的褶皱条件，neo-Hookean松弛应变能的计算公式为

\hat{W}_\textrm{R} = c_1 (\lambda_1^2+\frac{2}{\lambda_1}-3)

松弛应变能与褶皱方向的拉伸无关，这意味着该方向的柯西应力将自动变为零。

利用上述褶皱条件和能量密度，绷紧区域和褶皱区域的应变能密度可写成

\hat{W} = \hat{W}_\textrm{F} (\lambda_2 \sqrt{\lambda_1} \geq 1) +\hat{W}_\textrm{R} (\lambda_2 \sqrt{\lambda_1} <1)

可以证明，对于各向同性膜，修正的变形张量和修正的本构关系公式是等价的（详见参考文献1 ）。然而，修正的本构关系法只适用于各向同性膜，而修正的变形张量方法更为普遍，也适用于各向异性膜。

比较 COMSOL Multiphysics^® 中的计算公式

在不同厚度圆筒膜的起皱案例模型中，我们对两种公式进行了比较，发现结果是一致的。在该模型中，圆柱形膜首先被轴向拉伸，然后用水压进行充气。在充气过程中，外边界固定。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，可以通过选择 超弹性材料 特征的 用户自定义 选项来实现修正后的本构关系。请注意，此案例模型中 neo-Hookean 材料的应变能是专为不可压缩的各向同性膜编写的。在这个示例中，不应该使用内置的不可压缩公式，因为它增加了可能导致冲突的额外项。您可以在用户定义的超弹性材料中使用 可压缩 选项，该选项完全按照所编写的内容使用给定的应变能密度。

皱褶 子节点（使用修正后的变形张量公式）和用户定义的超弹性材料模型（使用修正后的本构关系公式)。

下图展示了采用两种方法模拟的不同水位高度下圆柱形膜出现的褶皱区域。结果表明，两种方法基本是等效的，并且得出的结果也相同。

圆柱形薄膜的皱褶区域用深红色显示。左图使用的是修正的变形张量方法，右图使用的是修正的本构关系方法。注释显示了膜中不同的流体高度，膜高 80 mm，半径为 10 mm。

使用壳接口仿真

使用壳接口时，褶皱的处理方法基于分岔分析。由于压应力的作用，褶皱被认为是一种局部屈曲现象，因此需要进行后屈曲分析来模拟褶皱。使用后屈曲分析的优势是可以确定褶皱的波长和振幅。处理褶皱的第一步是进行预应力特征值分析，以确定潜在的屈曲模式。然后，选择几个具有适当比例的屈曲模式，并将其作为后屈曲分析的几何缺陷。

在矩形片材的单轴拉伸模型中，通过使用壳的后屈曲分析来研究矩形薄板中褶皱的产生。下图显示了包含该分析所需节点的模型树。

矩形片材的单轴拉伸模型的 屈曲缺陷节点和所需的研究

该教程模型的第一步是通过静态分析确定潜在的褶皱区域。在此阶段，矩形板受到单轴拉伸。目标是找到第二主应力变为压缩应力的区域。随后，使用稳态和 线性屈曲 研究步骤进行预应力屈曲分析。

对于后屈曲分析，可以使用 屈曲缺陷 节点，如上图所示。在该节点中，可以选择所需的屈曲模式数量及其相应的缩放因子。然后将这些缩放模式组合起来，作为几何缺陷应用于后屈曲分析。通过 屈曲缺陷 节点，还可以创建参数非线性屈曲研究。

下面的动画显示了矩形片材在单轴应变增加时产生的褶皱，第二幅图则显示了沿褶皱方向中心线的褶皱幅度。起初，当矩形片材上的应变增加时，褶皱开始出现。褶皱幅度随着应变的增加而增大，直到达到临界值，之后开始减小。在达到某个应变值时，褶皱幅度变得非常小。

屈曲后分析中的褶皱。颜色方案显示了褶皱振幅，其中蓝色代表负值范围，红色代表正值范围，绿色代表零位移。

后屈曲分析中的皱褶振幅。

结语

如文中所演示的，您可以在 COMSOL Multiphysics^® 中使用膜和壳接口模拟皱褶。可以通过修正变形张量或本构关系对皱褶进行膜分析。这种方法快速且计算效率高，能准确识别皱褶区域和应力分布。但是，它无法提供有关皱褶振幅和波长的信息。另一方面，皱褶的壳分析不仅耗时长，计算量大，还对几何缺陷输入敏感，但它能准确预测应力分布和皱褶区域，并能提供有关皱褶振幅和波长的宝贵数据。这两种分析类型各有优缺点，工程师可根据具体的建模要求选择其中一种分析类型。

参考文献

A. Patil, Inflation and Instabilities of Hyperelastic Membranes, PhD thesis, Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm, 2016.
H. Schoop et al., “Wrinkling of nonlinear membranes,” Computational Mechanics, vol. 29, pp. 68–74, 2002; https://doi.org/10.1007/s00466-002-0326-y

如何评估奇异应力场？

Henrik Sönnerlind — Thu, 21 Mar 2024 03:48:31 +0000

我们经常遇到这样一个问题：当存在奇点时，评估应力的最佳方法是什么？最准确的回答是：尽量避免评估应力。但是，这对实际工程帮助不大。这篇博客，我们将深入探讨奇异应力场的特性，并讨论一些可行的评估方法。

本文是博客：有限元模型中的奇异现象：如何处理模型中的红点的后续内容，介绍了结构力学模型中出现奇异应力的时间和原因，并对奇异现象进行了一般性介绍。如果您是第一次了解该主题，建议先阅读这篇博客。有关如何处理奇异应力场的详细信息，请阅读本文。

进一步了解奇异应力场

首先，我们来详细分析一下奇异应力场及其与应力集中的关系。二者的相似之处是应力集中也出现在几何不连续处。应力集中与奇点的区别在于，前者的最大应力是有边界的。例如，您可以通过在有限元模型中使用足够精细的网格获得精确解。

通常，机械设计人员会通过引入一个半径尽可能大的圆角来减少应力集中。应力集中处的峰值应力通常用应力集中系数与适当选定的名义应力的乘积描述。对于圆角，有时可以通过下列表达式获得：

K_{\mathrm t} = 1+2 \sqrt{\frac{L_\mathrm{char}}{\rho}}.

式中, 是圆角半径，是圆角结束处缺口的特征长度。

该方程的背景是求解一个大平板中的椭圆孔处应力集中的解析解，其中是椭圆较大的半轴的长度。

含一个椭圆孔的大平板。

对于大多数缺口，该表达式只能用于粗略计算 ,因为很难推导出特征长度。一个重要的事实是：小缺口处的峰值应力基本上是圆角半径平方根的倒数。相信任何尝试过减小局部应力集中的工程师都可能为这一事实而苦恼过，因为适度地增大圆角半径会使峰值应力更适度地减小。

极限应力集中发生在缺口半径无限小的裂纹尖端处。众所周知，在弹性固体中，裂纹尖端附近的应力场和应变场的解，与裂纹尖端距离的平方根成反比。应力场通常用下式表示

\sigma_{ij}(r,\theta) = \frac{K_I}{\sqrt{2 \pi r}}f_{ij}(\theta)+\frac{K_{II}}{\sqrt{2 \pi r}} g_{ij}(\theta)+\frac{K_{III}}{\sqrt{2 \pi r}}h_{ij}(\theta)

式中，，和分别是模式 I（开口）、模式 II（剪切）和模式 III（撕裂）的应力强度因子。函数 , , 和由裂纹尖端周围的极角的三角函数组成。(更详细的定义请参见此处）。

一个令人惊讶的结论是，只要到裂纹尖端足够近，裂纹尖端周围的应力场看起来是一样的，与裂纹的实际形状以及裂纹所在几何的成分无关。

在线性弹性断裂力学的假设条件下，模式的断裂准则为，其中是材料参数（称为断裂韧性）。这样，就可以在不明确使用无限应力的情况下研究这种具有特殊奇异性的几何形状。这个思路将在下文中得到推广应用。

现在，考虑一种几何形状几乎是奇点的情况。也就是说，一个圆角或一个圆角半径很小的裂纹。本文将重点讨论这种情况。在距离较远处，我们无法真正区分缺口和奇点。接下来，我们将使用一个例子来解释这句话。

以一个处于拉伸状态的含缺口的长条几何的二维模型为例。通过在这个模型中沿左侧垂直边添加对称条件，也可以研究内部缝隙。

含缺口的长条几何结构的应力分布。该模型的参数与缺口深度 () 和缺口半径 () 有关。

首先，可以注意到，对于尖锐的裂纹，这种几何形状的应力强度因子可写成

K_I = \sigma \sqrt{\pi a} \; f(a/W)

是裂纹长度；是外加应力（此处为 1 Pa）；是长条宽度。函数有多种表示方法。在此，我们使用以下表达式

\displaystyle f(a/W) = \frac{\sqrt{\frac{\tan(\frac{\pi a}{2W})}{\frac{\pi a}{2W}}}}{\cos(\frac{\pi a}{2W})} \left ( 0.752 + 2.02 (a/W) + 0.37(1-\sin(\frac{\pi a}{2W})^3)\right )

本文将这个表达式称作裂纹解。

沿韧带（从切口尖端向 x 方向延伸）的应力分布图，适用于短切口和几种不同的切口半径。由于对称性，只有一个应力分量 c 不为零。

不同缺口半径下沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。虚线表示相同深度的裂纹的理论值。

一个有趣的现象是，在特定情况下，应力场与裂纹解析解的应力场非常相似，即应力-距离对数图中的直线。在靠近缺口的地方，应力是有边界的，因为它是一个缺口，而不是裂纹。不出所料，峰值应力与成正比。

在远离尖端的地方，裂纹的局部应力场解在任何情况下都是无效的，不管它是裂纹还是缺口。但在非常近和非常远之间的区域，无论是从观察的角度，还是从物理学和数学的角度来看，都无法真正推断出缺口尖端的真实形状。

为什么这一点很重要？如果知道缺口的形状，那么只要观察一定距离外的应力，就可以确定那里的应力。稍后我们将详细探讨这一想法。

下一步，我们将在同一个图表中绘制大量具有不同缺口半径和切口长度的应力图。现在，通过缺口半径对横轴进行归一化处理。

不同缺口深度和半径下，沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。

从图中可以看出，在到缺口尖端的距离小于尖端半径 0.7 时，进入恒定斜率区域。从我们的角度来看，这已经相当接近要求解的问题了。那么这个区域会延伸多长呢？这不是由缺口细节控制的，而是由几何尺寸控制的。通过另一个归一化曲线图，韧带长度 ()，可以得知这一信息。

与上图相同，但通过韧带长度对距离进行归一化处理。

因此得出以下结论，这种情况下的恒定斜率区域延伸到韧带的 10% 左右。再远一些，应力场就不再受裂纹解的控制，而是受更多全局属性控制。对于特定的几何，这一区域的大小取决于该几何特有的长度尺度。

接下来，我们来研究是否可以用裂纹解中的应力场预测缺口尖端的峰值应力。先回到大平板上的椭圆孔。椭圆孔（宽度为，缺口半径为）的峰值应力与裂纹（长度为）的应力强度因子之比为

\displaystyle \frac{\sigma_\mathrm{max}}{K_I} = \frac{1+2 \sqrt\frac{a}{R}}{\sqrt{\pi a}}.

假定，则峰值应力可用应力强度系数表示为

\displaystyle \sigma_\mathrm{max} = \frac{2 K_I}{\sqrt{\pi R}}} \approx \displaystyle \frac{1.13 K_I}{\sqrt R}}.

这样，当计算出应力强度因子时，就可以用以下表达式确定圆形裂纹尖端的应力了。

\displaystyle \sigma_\mathrm{max} = \frac{\beta K_I}{\sqrt R}},

其中，系数是一个与配置相关的数量级为1的数字。我们可以在上面的例子中尝试这一假设。

下面绘图显示的表达式

\beta = \displaystyle \frac{\sigma_\mathrm{max} \sqrt R}{ K_I}}

为缺口半径与缺口深度的函数关系。使用了两种不同的几何形状：边缘缺口和中央狭缝。后一种情况是通过在模型中添加对称条件实现的。

使用有边缘缺口的几何得到的系数。

使用中心狭缝的几何得到的系数。

可以看出，只要缺口半径较小，两种情况下假定的乘数的实际值都接近 1.2。缺口半径大、长度小的情况下，与裂纹的相似度就会降低。使用进行简化是无效的。

为了绘制这些图，我们使用了的解析值。在实际情况中，如果不知道这个值，则可以使用到缺口一定距离的解，通过数值计算确定。

事实上，任何尖角都有一个应力场衰减为的区域，其中是与尖角的距离。到目前为止，我们已经看到理想的裂纹。不同开口角度下的值如下图所示。

不同开口角度下应力奇点衰减的幂次。突出显示了 45^°、90^°和 135^° 的值。

这条曲线是通过求解超越方程绘制的

, 为开口角度。

为了完整起见，我们可以在含内角的长条拉伸有限元模型中检验超越方程的解。该模型使用拐角的开口角度作为参数。

开口角度为 90^°时，含内角的模型中的 von Mises 应力。

沿韧带的垂直应力。到尖角的距离通过韧带长度进行了归一化处理。虚线表示根据上述 p 值得出的理论解。

可以看出，应力-距离图中有一些几乎是直线的区域，在拐角附近与理论斜率非常接近。

另一种奇点是由材料不连续性引起的，在实践中通常与几何奇点同时出现。在此，我们仅研究长条在拉力作用下的纯材料不连续性。

一个下部比上部硬的长条杆的模型几何，绘制了载荷方向的应力。

从第一幅图就已经可以看出一些通用特性：

自由表面出现奇点。
硬质材料的应力高于相应位置的软质材料应力。

为了更深入地研究这个问题，我们可以绘制显示应力衰减与材料界面距离的函数关系的图。

沿自由边界加载方向上的应力与界面距离的函数关系图。实线表示软质材料的应力结果，虚线表示硬质材料的应力结果。参数是软质材料与硬质材料的杨氏模量比值。

同样，可以在应力-距离对数图中发现一些直线，这表明应力随距离的变化而变化，如。在两种材料中，幂 ‘’是相同的（用相同颜色表示的实线和虚线是平行）。奇点的强度受两种弹性模量的比值和泊松比值的控制。

观察上述（放大的）表面图中的变形形状，我们可以从物理角度对此进行解释：在相同载荷下，较软的材料比较硬的材料延伸得更多。也就是说，在软质材料中，载荷方向上的应变变大。这也意味着，在两种材料具有相同泊松比的情况下，横向收缩也会相应增大。不过，这种收缩会在两种材料的界面处受到抑制，从而产生局部应力奇点。

如果选择

\displaystyle \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{E_1}{E_2},

这个奇点就会完全消失。

得出的结论是，在大多数情况下，材料变化会产生奇点。此外，在这种情况下，不连续性附近会存在一个应力随幂律衰减的区域。

现在，我们已经研究了有限元仿真中最常见的奇点类型，并发现它们有一个共同的特性：奇点附近的应力与距离呈幂律关系。

焊缝评估

对焊缝进行设计以使其能够安全地应对失效是工程领域的一项重要功课。尽管在一般情况下不可能精确地进行应力评估，但已有大量研究致力于提供预测失效的系统方法。对于这种情况，造成问题的主要原因是焊缝的实际几何形状未知。根据确切的局部几何形状，焊缝可能会也可能不会引入应力奇点。更为复杂的是，焊缝中往往存在隐性缺陷。除了需要高质量焊缝的情况，在这种情况下可以对焊缝进行打磨，并采用某种无损检测方法进行检查。但大多数情况下，对焊缝进行详细的局部应力分析意义不大。

有三种不同局部几何形状的圆角焊缝。

COMSOL博客：如何预测焊缝的疲劳寿命中介绍了焊缝的应力评估。

与其深入探讨焊缝分析的细节，不如探讨更有意思的焊缝设计理念：

计算指定位置的应力，而不是焊趾本身的应力。
确定该应力的允许值，这通常必须通过实验来完成。
允许的应力值取决于您同意评估应力的方式和位置，因此它不是真正的材料属性。

在使用纸和笔计算的年代，所有的局部效应都被忽略了。允许的应力值必须考虑到这一点，因此往往偏低。现代基于有限元的方法考虑了部分应力集中（由整体几何形状引起的部分，但不包括局部焊缝几何形状），因此允许的应力值可以更高，但仍大大低于纯材料测试所显示的应力值。

在使用有限元计算时，壳模型通常会返回求解应力，而固体力学模型则会计算应力细节，而这些细节在进行焊接疲劳分析时是不需要的。

百分比法

另一种获得允许应力水平的方法是将参考应力定义为在参考体积的给定部分（例如 5%）中超出的值。如果该参考应力低于允许值，则该设计被接受。使用这种方法，可以避免计算接近奇点的问题。只需计算出超过参考应力的体积即可，而该体积的边界在到奇点一定距离处，此处解可以很好地收敛。

这种方法看似简单，但应用起来却需要一定的标准化。其中一个问题就是如何确定参考体积。如果使用结构的总体积，那么只需在低应力区域添加更多材料就可以降低参考应力，这当然是不合理的。参考体积必须与奇点周围特定区域的大小等因素相关。另一个缺点是，优化方法可能会选择重新定位应力，从而使参考应力减小，而峰值应力增大。

同样，我们也只能对类似结构进行比较来确定。

现在，我们来讨论如何使用百分比法计算应力值。在 COMSOL Multiphysics^® 中，无法直接计算 5% 的应力值。下面介绍 3 种替代方法。

方法 1

如果只需要一次求值，最快的方法通常是手动迭代几次。您只需创建一个积分算子（例如，intop1），然后对 intop1(solid.mises>sRef)/intop1(1) 这样的表达式进行求值。通过多次改变参考应力 sRef，很快就能找到与给定百分比相对应的值。

方法 2

使用模型方法自动执行方法 1。

方法 3

可以设置一个额外的方程，求解应力值，下文将对此进行说明。

待解方程如下：

\displaystyle \int_V (\sigma_\mathrm{ref}<\sigma_\mathrm{c}) \;dV = \beta V_\mathrm{ref}.

是计算应力。它可能是如 von Mises 的等效应力、第一主应力或其他应力。当然，也可以使用相同的程序来计算应变或能量标准。用表示参考体积，为百分比。积分内的布尔表达式假定为 1 时为真，定义为 0 时为假。

为了在计算时更容易处理缩放，最好将方程改写为

f(\sigma_\mathrm{ref}) =\displaystyle \frac{1}{ V_\mathrm{ref}} \displaystyle \int_V (\sigma_\mathrm{ref}<\sigma_\mathrm{c}) \; dV – \beta = 0.

可以像第一种方法那样，使用积分算子计算积分。在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 全局方程 节点实现该方程的直接方法如下所示：

遗憾的是，这样行不通。不等式是不可微的，因此无法形成雅可比矩阵。刚度矩阵将只包含该方程的零点。不过，可以通过手动引入有限差分导数来规避这个问题。该表达式较长，需要您对 COMSOL^® 中基于方程的建模有一定的了解，下面的附加信息部分将给出详细解释。

下图所示是一个修改后的全局方程，它可以解决如何找到能给出预期百分比的应力的问题。

这里，用户定义的参数 dS 是应力增量，在附加信息部分用表示。

我们以上文的缺口板示例来说明这种方法。由于参考体积应与板的尺寸无关，可以在缺口周围选择一个圆。在这种情况下，圆的半径可以根据结构的以下特征长度来选择：

宽度: 1 m
最小裂缝长度: 0.1 m
最小韧带宽度: 0.3 m
最大切口半径: 0.01 m

基于缺口尖端周围半径为 0.05 m 的圆确定的参考体积将远离结构的边界，但也将远离缺口本身的细节。

在不同的狭缝深度和切口半径下，5% 的参考体积所超出的应力水平。

对于所有狭缝深度值，5% 应力基本上与切口半径无关。它只对切口深度敏感。这与基本原理是一致的：避免对局部（可能是奇异的）应力场细节的灵敏性。无论使用尖角还是圆角，都能得到相同的结果。从本质上讲，这种方法提供的信息与应力强度因子相同：它测量的是奇点的强度。如果对具有相同圆角类型的结构进行比较，这种方法可以成为应力奇点处理的标准。

附加信息

该表达式包含两个项：第一个项产生残差，第二个项产生雅可比矩阵。这是一种通常可用于高级建模的解决方案。例如，如果创建精确的雅可比函数成本较高，则可以使用类似的表达式将正确的残差与近似的雅可比函数结合起来。

在多个地方使用 nojac(expr) 算子，用于确保不产生给定表达式的雅可比贡献。

雅可比项乘以系数 (sRef-nojac(sRef))。由于这个表达式的求值总是为零，因此这部分表达式不会产生残差。 sRef 相对于自身的导数就是 1，而表达式的剩余部分就是导数的对称有限差分表达式。

\displaystyle \frac{df}{d \sigma_\mathrm{ref}} \approx \displaystyle \frac{f(\sigma_\mathrm{ref}+ \Delta \sigma) – f(\sigma_\mathrm{ref}- \Delta \sigma)}{ 2\Delta \sigma}}.

式中，是应力的有限变化，应选择尽可能小的变化量，同时还要保证计算出的体积与有明显差异。一个好的水平是，当一个单元上的应力变化在等值面附近为时，将得出参考应力。

结束语

尽管从理论上讲，不可能对奇点处的梯度和通量（应变和应力）进行计算，但还是有一些系统的方法可以解决这个问题。不过，这些方法需要有足够的实验数据来解释所选择的临界量。

点击下面的按钮，下载本文中使用的模型。

获取教程模型

使用卷积运算和可听化技术进行室内声学分析

Takumi Yoshida — Tue, 05 Mar 2024 08:24:51 +0000

卷积是一种有用的数学运算，被应用于信号和图像处理、统计学等多个领域。声学工程师经常使用卷积来处理声学信号，以提取所需的信息或更好地解释声音。这篇博客，我们将介绍在 COMSOL Multiphysics^® 软件中实现卷积运算的3种方法。我们将讨论使用这些方法对房间脉冲响应（IR）的低通滤波实现卷积，并通过一个室内声学可听化示例来说明。

卷积的定义和方法

从物理上讲，卷积可以给出在时域、频域或空间域中表示的两个信号之间的重叠量信息。对于时域信号，它的数学定义为

f(t)\ast g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau){\mathrm{d}{\tau}。

式中, 和分别表示时间变量和用于时间积分的虚拟变量，代表卷积算子。

在每个处，此方程将计算函数的原始形式与另一个函数反射和移位后的乘积的时间积分。这个运算是交换运算，即无论哪个函数被反射和移位，运算结果都保持不变。所有的移位值 () 都要进行积分，得出的卷积结果作为的函数。

这里，我们将这种积分形式称为卷积积分，它适用于处理平滑和连续函数。对于离散数据（如数字化声音信号），使用这种方法需要高要求的数值积分方案，这通常会带来巨大的计算量。为了避免这种情况，可以使用下面的离散卷积法来处理离散信号：

f(t)\ast g(t) = \sum_{\tau=-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\Delta t.

式中, 是采样间隔。

通过将积分近似为离散样本的求和，离散卷积的计算速度比卷积积分更快。

如果存在两个信号的傅里叶变换，则可以使用基于卷积定理的快速傅立叶变换 (FFT) 更高效地计算离散卷积：

f(t)\ast g(t) = \mathcal{F}^{-1}\left[\mathcal{F}[f(t)]\times \mathcal{F}[g(t)]\right].

式中, 和分别是傅里叶变换算子和傅里叶逆变换算子。卷积定理利用了时域中两个函数卷积的傅里叶变换等价于信号（频域中的信号）傅里叶变换的乘积这一事实。现代实时卷积技术通常使用 FFT，因为它的计算效率更高。

房间脉冲响应的低通滤波

下面，我们将演示如何在COMSOL Multiphysics^® 中使用卷积积分、离散卷积和卷积定理来实现卷积。我们将通过一个示例来介绍这些方法的基本步骤。在这个示例中，对从小型音乐厅声学分析教学模型中获得的脉冲响应施加一个低通滤波。（声波的空气衰减就是一个常见的例子。）这些脉冲响应数据被加载并存储在一个插值函数中（本例中为插值 1）。数据图如下所示。

房间的脉冲响应图。

数据的持续时间和采样频率分别为 2s 和 44100Hz。

至于低通滤波器，我们使用的是 4 阶 Butterworth 滤波器。滤波器的传递函数定义如下：

TF(f) = \frac{2\pi \omega_c^4}{\Pi_{k=1}^{4}({j\omega-s_k})},

与

s_k=\omega_c \exp{\frac{j(2k+3)\pi}{8}},

其中，和分别代表频率和角频率。是截止频率处的角频率。是表示序列乘积的乘积算子。

在本例中，4 阶滤波器的截止频率为 2kHz，使用 Analytic 1 函数（本例中为解析1）定义。下面的图片显示了函数的定义方式、函数的实部和虚部频率响应，以及由该函数定义的滤波器的增益特性。

4 阶 Butterworth 滤波器的传递函数是用 解析 1定义的。

传递函数实部和虚部的频率响应。

低通滤波器的增益特性。

增益特性表明，低通滤波器在截止频率 2kHz 之前具有平坦的带通（此时滤波器会将输入功率衰减一半或 3dB）。在截止频率以上，滤波器增益以每倍频程 -24dB 的速度递减。

现在，让我们来了解一下在 COMSOL Multiphysics^® 中实现卷积的 3 种方法。

方法1：直接处理卷积积分

先来看直接处理卷积积分方法。这里需要输入两个时域信号。第一个信号是房间脉冲响应信号，已经定义为插值1。第二个信号，即低通滤波器，是在频域中定义的。需要通过对信号进行反离散傅里叶变换 (IDFT) 将其转换到时域。具体步骤如下。

步骤 1

创建 Grid 1D 数据集，并将其命名为 Grid 1D_f。这将生成一个指定频率范围（-22050 Hz，22050 Hz）的频率栅格，与房间脉冲响应数据的频谱相对应。它将被用于绘制频域信号。

Grid 1D_f 数据集的设置。

步骤 2

使用一维绘图组 功能中的函数图，对低通滤波器的 Grid 1D_f 数据集进行 IDFT。在设置窗口的输出部分，从显示列表中选择离散傅里叶变换，从显示列表中选择实部，并勾选逆变换。

低通滤波器 IDFT 的设置和曲线图。

步骤 3

在表1 中添加绘图数据。

步骤 4

利用表1 中的数据定义一个插值函数（插值2）。

插值2 的设置。

现在，我们已经有 2 个可以进行卷积的时域信号。虽然定义中假定了一个无限的时间间隔，，但由于两个输入信号在此时间范围之外都设置为零，因此只需在 0–2 s 的有限时间间隔内计算积分。卷积积分的计算过程如下。

步骤 1

在几何节点定义一个间隔，使其起始值和终止值与积分区间（0–2 s）相对应。

创建间隔。

步骤 2

在间隔上定义积分算子 intop1 。

积分算子的定义。

步骤 3

使用大小等于原始房间脉冲响应数据采样间隔的均匀线网格将间隔离散化。

间隔的离散化。

步骤 4

运行瞬态研究，这样就可以在结果部分使用插值函数和 intop1 算子。

步骤 5

创建 Grid 1D 数据集，并将其命名为 Grid 1D_t。这将生成一个时间网格，用于定义 0–2 s 范围内的时间信号，采样频率为 44 100 Hz。

Grid 1D_t 数据集的设置。

步骤 6

使用 Grid 1D_t 作为源数据集，在一维绘图中进行卷积积分。

使用 dest 算子 的卷积积分表达式。

这里，IR 和 Filter_IDFT 是在 插值1 和 插值2 中定义的房间脉冲响应和低通滤波器脉冲响应的插值函数。
请注意，dest 算子 强制要求在目标点而不是源点对函数进行求值。

方法2：标准离散卷积

离散卷积广泛应于实践中。要在 COMSOL Multiphysics^® 中进行离散卷积，必须使用APP开发器。借助APP开发器中的方法编辑器，可以使用 Java^® 代码来创建方法，运行这些方法可以自动实现或扩展模型树中的操作。本文将举例说明使用表存储数据实现卷积的方法。

下图中显示了实现的代码和设置，下表中列出了代码中定义的变量。

用表格中存储的数据实现离散卷积的 Java方法。

名称	类型	说明
a	双（二维矩阵）	来自第一个输入表的数据
b	双（二维矩阵）	来自第二个输入表的数据
c	双（二维矩阵）	卷积结果
ndata1	整数（标量）	a 的长度
ndata2	整数（标量）	b 的长度
ndata	整数（标量）	c 的长度
dt	双（二维矩阵）	取样间隔
js	整数（标量）	求和指数的起始值
je	整数（标量）	求和指数的终止值

Java^® 程序中定义的变量。

代码对存储在两个输入表中的数据进行离散卷积，并将结果输出到输出表中。以下几点说明可以更好地理解代码：

第2–4行: 从第一个输入表中提取数据和数据长度
第6–8行: 从第二个输入表中提取数据和数据长度
第11–13行: 定义结果的长度，创建存储卷积结果的双精度数组，并定义采样间隔
第18–28行: 执行 for 循环，开始离散卷积，从第一个时步到最后一个时步
第30–33行: 将结果输出到标有 离散卷积结果 的输出表中

请注意，结果数据的长度是两个输入表的长度之和减 1，求和指数的起始值（js）和结束值（je）的定义是使 js 小于第二个表的长度，je 小于第一个表的长度（分别见代码中的第 22 和第 23 行）。

要运行程序，必须将两个时间信号的曲线图存储在表格中。低通滤波器 IDFT 的绘图数据存储在表1 中。对于房间脉冲响应，需要在一维绘图组 功能中使用 Grid 1D_t 数据集创建房间脉冲响应的函数图，并将图中数据复制到表2 中。

可以在添加到模型树中的方法调用 功能的设置窗口中输入表格的标记名称。所有设置完成后，点击方法调用 设置窗口中的运行按钮就可以实现离散卷积。

在方法调用 功能的 设置 窗口中输入表格标记。

方法3：基于卷积定理的离散卷积

最后一种方法是根据卷积定理进行卷积，即使用 DFT。在这种情况下，要使用房间脉冲响应的 DFT 和低通滤波器的传递函数。具体方法如下：

步骤1

在同一个一维绘图组中的两个函数图中绘制房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部（各一个）。在设置中，从显示列表中选择 离散傅里叶变换。然后从显示列表中选择实部或虚部，分别用于绘制房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部。复选框为默认设置。

用一维绘图表示的房间脉冲响应 DFT。

步骤 2

将房间脉冲响应DFT 的实部和虚部数据分别复制到 表 3 和表4 中。

步骤 3

分别用 表 3 和 表 4 中存储的数据定义 插值 3 和 插值 4。

步骤 4

通过计算房间脉冲响应和低通滤波器的 DFT 点乘积的 IDFT 来进行卷积。利用 Grid 1D_f 数据集，在单个函数图中完成点相乘和 IDFT。

房间脉冲响应 DFT 与低通滤波器乘积的 IDFT。选择 设置 窗口中的 逆变换 复选框可实现逆变换。

这里, real_IR 和 imag_IR 是房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部，分别在 插值 3 和 插值 4中定义。 Butterworth 是 解析 1中定义的低通滤波器的传递函数。

请注意，卷积定理方法实现的是环形卷积，也就是说，如果网格的间隔长度不够，就会出现环形重叠。

低通滤波器的结果

下图显示了3种方法计算出的低通滤波房间脉冲响应，可以看出，3种方法的计算结果非常一致。

通过卷积积分、离散卷积和卷积定理计算出的卷积结果对比。

卷积结果范围为 0.02–0.07。

下图显示了滤波前后房间脉冲响应频谱的对比。可以确认的是，滤波后的频谱在 2 kHz 以上有所降低，而这正是低通滤波器的截止频率。这一结果证明卷积实现是成功的。

滤波前后的房间脉冲响应频谱。

可听化应用

下面我们来看一个可听化应用的例子。该示例包括房间脉冲响应和在消声室中采集的录音的卷积。假设该系统线性时间不变，可以通过脉冲响应和输入信号的卷积来计算任意输入的响应。根据这一理论，声学专家通过使用计算方法模拟的脉冲响应与消声室声音的卷积，对声场进行可听化评估。这一模拟过程被称为 可听化，包括从创建声音数据到听到声音的整个过程。示例模型（通过下一节中的按钮访问）使用前面介绍的标准离散卷积方法，对小型音乐厅模型中的小号声音进行了可听化处理。您还可以将卷积结果导出为 WAV 音频文件，以在音频或媒体播放器中播放。在下面的两个音频中，您可以比较消声室和混响室小号的声音。

小号在消声室中吹奏时的声音。

小号在小型音乐厅演奏时的声音，使用了可听化技术。

上面的示例中是单声道声音，与我们通常听到的双声道声音不同。不过，可以通过结合与头部相关的传递函数或声场再现技术，如环绕声（参考文献 1），来生成更逼真的声音。在接下来博客主题中，我们将展示这些示例。

下一步

点击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，进一步探索本文讨论的模型。

获取模型

延伸阅读

阅读以下博客，了解有关声学仿真中数据处理的更多信息：

参考文献

M. Vorländer, Auralization: Fundamentals of Acoustics, Modelling, Simulation, Algorithms and Acoustic Virtual Reality, Springer Science & Business Media: Berlin/Heidelberg, 2007.

消声效果由 The Open AIR Library 提供，获 CC BY 4.0 许可。

Oracle 和 Java 是 Oracle 和/或其附属机构的注册商标。

模拟热声发动机中的声能产生

Tsukasa Ishii — Thu, 15 Feb 2024 07:21:29 +0000

热声发动机通过输入的热能产生声能。与往复式发动机和燃气涡轮机等常用发动机相比，热声发动机不含活动部件，因此结构非常简单。这篇博客，我们将介绍如何使用 热黏性声学 接口模拟热声发动机的工作原理。热黏性声学接口是 COMSOL Multiphysics^® 软件中的一个功能强大的接口，用于模拟流体线性化行为。

热声发动机的工作原理

150 多年前，Pieter Rijke 教授发现并报道了一个有趣的现象，可以被看作是热声学的开创性工作。他将金属丝纱布放入一个垂直放置的玻璃圆筒管中，然后用火从底部加热纱布。熄火后，他观察到圆筒在一段时间内持续发出声音（参考文献 1）。这个装置现在被称为 Rijke管，因此有些人可能看到过它被作为解释共振现象的一个例子。然而，抛开共振不谈，声音是如何产生的呢？

Rijke 管装置。

奥秘在于温度变化与管内流体运动之间的相互作用：加热的金属丝网引起空气自然对流，使空气在管道中稳定流动；金属丝网上方的空气温度要高于金属丝网下方的空气温度。在管内的半驻波声共振中，空气将在声周期的不同时间向两个方向流经金属丝网。当空气流过金属丝网时会被加热。由于金属丝网下方的空气比上方的空气更冷，因此当气流向上而不是向下流动时，会传递更多的热量。为了获得持续的声场，热量释放需要与压力场相位一致，这样当声压为正时，流体就会被加热。在驻波中，导致加热的速度场与压力场不同步。然而，由于金属丝网周围黏性边界层的影响，热量释放比速度场滞后。这种相位延迟导致热量释放与压力场部分同相，从而产生持续共振。如果将管横过来，对流停止，共振将不再持续。如果将管翻转过来，当声压为负时，热量传递将最大，因此声场将减弱而不是持续。

这是热能和声能之间能量转换的一个例子。事实上，整个装置展示了热声发动机的工作原理。

热声发动机有一个封闭的管状通道，声音可以在其中传播。通道内有一个热交换器，用于加热或冷却工作流体。热声发动机使用驻波或行波，而 Rijke 管仅使用驻波。由于压力和流体位移之间存在相位延迟，行波发动机有望实现比驻波发动机更好的性能。在这篇博客中，我们将主要介绍行波发动机的模型。

我们来思考一下使用行波的热声发动机的原理。要了解波是如何起作用的，请看下图中小块流体的运动。声波是纵波，因此如果高压行波从左侧传来，小块流体就会被推向右侧。同样，当来自左侧的低压波到达流体块时，它会被拉向左侧。

小块流体如何在来自左侧的行波下移动。用虚线框表示波的假想区域。在邻近板块有适当温度梯度的情况下，如果受到高压波的推动，流体块总是会移动到较热的区域，而如果受到低压波的牵引，流体块则会移动到较冷的区域。

假设沿波的行进路线在管中放置一块加热板。如果加热板的右端，而左端保持中等温度，那么加热板中就会出现温度梯度。当流体块向右移动时，温度梯度会加热块；当流体块向左移动时，温度梯度会吸收流体块的热量。由于流体块向右移动时压力最大，流体块的加热会将压力推至最大值。同样，流体块向左移动时吸收的热量也会降低最小气压。这些周期性的温度起伏使流体块的移动同步，最终增加了波的振幅。所有流体块像链条一样共同传递压力波，并通过热量交换为压力波增加能量。请注意，板中的温度梯度应与波的传播方向一致，否则波将会直接衰减。

如果你想知道是否存在一种与发动机循环相反的装置，答案是肯定的。这种系统被称为 热声热泵 或 热声制冷机，它可以利用声波移动热量。工作原理很简单：当高压波到达块时，块被压缩，温度随之升高，块开始向右移动的同时向邻近物体散热。相反，在低压波的作用下，块会吸收热量并向左移动。

这里给出的解释仅供参考，并不包含热声发动机的所有细节。如果想了解有关热声发动机的更多详细信息，请参阅参考文献 2。

热声仿真中的线性方程

在创建新的仿真时，考虑使用哪些方程和哪个接口是合适的始终非常重要。就我们现在介绍的仿真示例而言，使用声学模块来模拟热声振荡似乎是合理的，因为这个现象与声波有关。由于这种现象在学术领域被称为 热声学，因此 热黏性声学 接口似乎是一个不错的选择。让我们看一下这个接口的方程和功能，以验证我们的选择。

在时域分析中，热黏性声学 接口使用以下方程：

\frac{\partial \rho_{\rm t}}{\partial t}+\nabla\cdot (\rho_0 \bm{u}_{\rm t}) = 0 \\

\rho_0\frac{\partial \bm{u}_{\rm t}}{\partial t} = \nabla\cdot\bm{\sigma} \\

\rho_0C_p\left(\frac{\partial T_{\rm t}}{\partial t} + \bm{u}_{\rm t}\cdot\nabla T_0\right)-\alpha_pT_0\left(\frac{\partial p_{\rm t}}{\partial t} + \bm{u}_{\rm t}\cdot\nabla p_0\right) = \nabla\cdot(k\nabla T_{\rm t})+Q,

式中，, , , 和分别表示密度、速度、温度和压力。下标表示该值属于背景平均流，而带有下标的变量表示声学扰动。热黏性声学 接口的控制方程是根据纳维-斯托克斯方程（流体运动的精确方程）推导出来的，并基于以下假设：模拟中可以忽略每一个二阶扰动项，并且平均背景流的速度为零 ()。

必须注意被忽略的非线性因素，以及线性化方程是否涵盖我们感兴趣的现象。在热声发动机中，流体与热交换器之间的热交换由扩散项表示，声振荡引起的热传递由线性化平流项表示。由高压平流项输送的冷流体在热交换器中被加热，能量通过第三个方程递增。这些项描述了系统中重要的热传递原理，因此线性方程非常适合模拟发动机。

另外还需要注意，没有表示时变温度场与振荡速度耦合的平流项。这种耦合表示法将显示振荡引起的瞬态温度场的传输。平流项对于热泵模拟非常重要，因为平衡时的温度梯度是由振荡决定的，而不是优先的。在这种情况下，我们可以使用 非线性热黏性声学贡献 功能，它允许模型在 热黏性声学，瞬态 接口中将非线性项考虑在内。模拟非线性可能代价高，因此非线性功能仅被添加在相关域中。

在 COMSOL Multiphysics^® 中进行热声仿真

到目前为止，我们已经介绍了热声发动机的基本工作原理和相关的模拟控制方程，下面我们就开始建立模型。您可以在COMSOL 案例库中访问文中示例的模型文件。如上一节所述，我们将使用 热黏性声学 接口来建立行波热声发动机模型。由于稳态背景温度场并不均匀，因此还要使用传热接口。整个研究可分为两个步骤：背景温度场的 稳态步骤 和声场的 瞬态步骤,而不是同时使用两个接口。只需在 热黏性声学模型 节点中将传热接口的解设置为平衡温度，就可以实现耦合。

至于 热黏性声学 接口的边界条件，我们应将热交换器壁设置为等温 ()。这种条件会在压力较高时加热流体温度（由于来自较冷区域的平流，小于零），并在压力较低时冷却流体（大于零）。

示例 1：简单环

首先，我们将模拟一个由简单环组成的发动机。它的右侧通道中有一个热交换器，整个通道形成一个闭合回路。稳态温度如下图所示。热交换器下部区域的温度梯度非常醒目，但我们关注的是热交换器小间隙中的温度梯度。

简单环形发动机的平衡温度（左：整个系统；右：热交换器特写）。热交换器中狭窄通道的底部端在 493 K 的温度下被加热。

在瞬态研究步骤中，驻波被作为压力的初始条件，以便触发环路内部的振荡。随着模拟的继续，振幅不断增大，这可通过 点探针 功能获取（如下图所示）。很明显，振荡不断增强，意味着热能已转化为声能。

设置点探针 功能是为了追踪发动机内的压力。压力数据取自热交换器中的一个点，该点靠近作为初始压力分布的驻波的压力节点。

那么，发动机内的压力是怎样的呢？下面三幅图分别显示了 t = 0.281 s、0.285 s 和 0.289 s 时的压力分布。t = 0 s 时为驻波，但经过一小段时间后，压力分布开始沿顺时针方向旋转。波的传播方向与热交换器中的温度梯度相同，初始驻波的逆时针分量由于缺乏能量供应而减弱。有趣的是，逆时针方向的波的激发可以通过在模拟过程中翻转温度梯度的方向来模拟。在模型文件中，稳态研究步骤在 t = 0.3 s 时再次计算反转后的温度曲线，瞬态研究 反映了自那时起平衡温度的变化。顺时针方向的波一直保持到大约 t = 0.6 s。随后，发动机中出现了类似驻波的分布，波最终沿逆时针方向传播。

压力分布记录（左：t = 0.281 s；中：t = 0.285 s；右：t = 0.289 s）。由于前面讨论的热声效应，高压区和低压区均沿顺时针方向移动。

示例 2：带接头的环

除简单环外，我们再来看看另一种配置。下图显示了下一个具有复杂几何结构的模型示例。该几何结构模仿了参考文献 3 中的实验装置。该模型是二维的并经过简化，与参考文献中讨论的热交换器的水力直径相同。右下角的分支管道（称为接头）是为将来提取声能而添加的。与示例 1 一样，该环路用在发动机中将热能转换为声能，但是在这个示例中，部分能量可以在接头处提取。

带接头的模型中的平衡温度。该几何结构模仿了参考文献 3 中的实验装置。

发动机内的瞬时压力分布如下图所示。在弧长等于 3.6 m时，压力急剧下降，这是由热交换器小间隙中的黏性阻力引起的。值得注意的是，压力的振幅与位置密切相关。这是由于模型的复杂性造成的，例如发动机中持续存在的黏性阻力和驻波分量。图中还绘制了每个位置上绝对压力的时间最大值，标记为 max(|p|)。请注意，尽管振幅看起来有点大，但该模拟假设没有湍流，任何扰动都是线性的。在对空间最大值进行无量纲化处理后，近似振幅 max(|p|) 的分布与参考文献 3 中的实验和分析数据非常吻合。

沿环的瞬时压力分布以及由状态变量计算的近似振幅 max(|p|)。

查看其他示例

自 Rijke 教授演示了热声现象以来，人们对热声学的认识有了显著提高，目前正在积极研究其在能源设备中的应用。在这篇博客中，我们介绍了如何使用 热黏性声学 接口对热声发动机进行模拟，并对发动机的有趣特性进行了可视化展示。

COMSOL 案例库包含许多跨物理学科的模型。下面是与热声学有关的两个模型：

热声发动机简化模型, 这是一个驻波热声发动机模型。有多个模型文件，可对使用 热黏性声学，瞬态 接口的线性扰动方法和 非等温流动 多物理场接口的完全非线性方法建立同一模型进行比较。后一种方法在求解纳维-斯托克斯方程时考虑了非线性因素，但代价是计算时间有所增加。
热声发动机和热泵, 这是一个驻波热泵模型。与热声发动机不同，热声热泵的仿真需要计算非线性平流项，因为温度会因热传导效应而不断降低。在模型中，非线性热黏性声学贡献 节点被添加到 热黏性声学 接口中，以考虑非线性因素。模型还使用了 热黏性声学-热扰动边界 耦合，这是 6.2 版本中的一项新功能。该耦合用于模拟振荡流体与通道中的固体板之间的热交换，因为固体温度会随着热量的泵送而不断降低。

参考文献

P.L. Rijke, “LXXI. Notice of a new method of causing a vibration of the air contained in a tube open at both ends,” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 17, no. 116, 419–422, 1859; https://doi.org/10.1080/14786445908642701
G.W. Swift, Thermoacoustics: A Unifying Perspective for Some Engines and Refrigerators, Springer, 2017; https://doi.org/10.1007/978-3-319-66933-5
M. McGaughy et al., “A Traveling Wave Thermoacoustic Engine—Design and Test,” Letters Dyn. Sys. Control, vol. 1, no. 3, July 2021; https://doi.org/10.1115/1.4049528

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