结构 & 声学 – COMSOL 博客 //www.denkrieger.com/blogs 发布博客 Thu, 29 Oct 2026 15:00:32 +0000 en-US hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.7.2 使用 COMSOL® 对卡普兰涡轮叶片进行声固耦合仿真 //www.denkrieger.com/blogs/modeling-acoustic-structure-interaction-in-kaplan-turbine-blades-using-comsol //www.denkrieger.com/blogs/modeling-acoustic-structure-interaction-in-kaplan-turbine-blades-using-comsol#respond Tobias Jonsson Wed, 23 Sep 2026 02:47:04 +0000 声学与振动 结构 & 声学 结构力学 腐蚀与防护 https://cn.staging.comsol.com/blogs?p=391891 在这篇博客文章中，来自 Lightness by Design 的工程师探讨了周围介质对结构振动的影响，并针对如何在仿真中考虑这些影响，提出了一种替代传统“附加质量”方法的新方案。

来自 Lightness by Design 的客座博主 Tobias Jonsson 探讨了如何利用声-结构相互作用（ASI）仿真精准捕捉周围流体对结构振动响应的影响。

结构的振动会受到周围介质的影响。空气就是常见的这样一类介质，由于密度低、可压缩性强，结构工程师在评估设计方案的振动特性时，通常可以忽略其作用，即无需对空气进行物理表征——相当于结构在真空中振动，与周围介质没有任何相互作用。然而，当结构浸没在水中时，由于水的密度是空气的一千倍，且声速（刚度）更高，因此对振动特性的影响通常十分显著。 

分析周围介质的影响

传统上，这种效应被称为“附加质量”，可由以下描述该效应的方程推导得出：

F=\left(m+m_{added}\right)a。

 

方程中， 为结构质量， 为附加质量。后者的值通常通过实验进行经验推导获得，即在空气和水中分别测量结构的特征频率（也称固有频率或共振频率，是结构自然增强振动的频率），然后通过计算两组特征频率的差值计算附加质量。

遗憾的是，这种方法导致了一种误解，即认为周围介质的影响等效为与结构一起振动的附加质量。而实际上，周围介质是以压力形式作用于运动物体的表面，且该压力在表面速度最大时达到最高。因此，压力并非恒定不变，而是根据运动表面的方向在大小和方向上发生变化。

借助 COMSOL Multiphysics® 和声-结构相互作用（ASI）仿真方法，就可以准确捕捉周围流体对振动响应的真实影响。类似的多物理场仿真在博客文章“分析油箱振动的最佳方法是什么”以及我们关于消声器设计的博客文章，例如“评估壳厚度对消声器性能的影响”中已有介绍。

模拟周围介质

本文的重点是突出周围介质的影响，并清晰描述“附加质量”的一种替代方法。本文使用的物理示例是水域中的卡普兰涡轮叶片，研究了叶片与管壁之间不同间隙对其频率响应的影响。下图展示了完整的卡普兰涡轮的几何结构以及所考虑的间隙。请注意，无论间隙大小如何，叶片前缘和后缘处始终可以实现压力平衡。

卡普兰水轮机的灰色模型几何结构，黑色箭头指向水轮机与管壁之间围合的间隙。 卡普兰涡轮的几何结构，箭头显示了叶片与管壁之间的间隙。

声-结构相互作用

声-结构相互作用的核心部分是应用于流体域与结构域之间边界上的多物理场耦合。流体中的压力自由度（DOF）与结构中的三个位移自由度（ x 、 y 和 z 方向）相互耦合，如下所述。

一个图表展示了固体和声学域之间的边界之间的耦合，固体域在顶部为红色，声学域在底部为蓝色，两者之间有一个黑色条作为耦合公式。

外部边界的条件为

\begin{cases} -\mathbf{n}\left(-\dfrac{1}{\rho_d}\left(\nabla p_t-\mathbf{q}_d\right)\right) = -\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}_{tt} \\[6pt] \mathbf{F}_A = p_t\mathbf{n} \end{cases}

 

其中， 为结构加速度（施加于流体）， 为总声压， 为流体密度（下标 c 表示其可为复值，用于模拟流体中的损耗）， 为可选声偶极域源项， 为面法向， 为作用在结构上的（声）载荷（单位面积的力）。

声压施加于结构表面，表面的加速度耦合到声学域。为了在 COMSOL Multiphysics® 中实现声-结构相互作用仿真，需要在模型中添加 压力声学，频域 和 固体力学 接口。此外，上述多物理场耦合需要在结构与流体的体积之间的所有边界上启用并添加（在 多物理场 节点下）。以下是模型开发器树中的显示效果：

COMSOL Multiphysics 中模型生成器树的屏幕截图，以突出显示如何启用多物理场耦合。 构建振动声学仿真。

由于本问题是在频域中求解，我们假设模型为线性，且只能模拟小的结构变形。流体中的损耗可以通过流体模型或更高级的边界条件（如 热黏性边界层阻抗 特征）以多种方式加以分析。运动流体中涡旋引起的阻尼，甚至运动流体本身的效应，需要求解更高级的声学公式，如线性纳维-斯托克斯方程，该功能在 COMSOL® 中也已提供。

卡普兰涡轮叶片示例

接下来，我们将研究管道内半径对通用型卡普兰涡轮机振动响应的影响。利用 COMSOL Multiphysics® 的相关功能，可以施加周期性边界条件，仅对单个叶片进行仿真，同时捕捉重叠叶片的影响。水体积通过偏移顶部和底部的圆形截面来创建，使其连接侧面穿过叶片之间，并在这些侧面上施加周期性边界条件（图中以黄色显示）。

卡普兰水轮机的模型图像，其中水域以黄色突出显示。

水域，黄色部分为周期性边界条件。

涡轮叶片建模为线弹性材料，杨氏模量为 210 GPa，泊松比为 0.3，密度为 7850 kg/m 3。水的相关属性设置为声速 1500 m/s ，密度 1000 kg/m 3。

针对与管壁间隙为 10 mm 的模型，网格由 310,000 个二阶四面体单元组成，并在叶片周围进行了细化，以确保所有工况下的间隙区域至少包含 5 个单元。整个网格连续，模型中不存在接触。

所有外表面设置为 硬声场边界（壁） 边界条件，即，将加速度/速度的法向分量设为零。该条件就是总压力的自然诺伊曼条件，即，压力在边界上的法向导数为零。

\frac{\partial p_t}{\partial{n}}=0

&nbsp。

对于特征频率分析，叶片的轮毂安装面完全约束：

{u}=0

&nbsp。

在确定频域中的激励响应（频率响应函数，即 FRF）时，施加轴向旋转 rad/s2 代替完全约束的边界条件。这样无论频率如何，都能给出 1 rad/s2 的加速度。

声-结构相互作用分析结果

首先，确定了当叶片与水边界之间的垂直距离在叶片上方和下方均超过 10 cm 时，水体积的高度对结果没有影响。因此，本研究将始终使用该水域大小。

在 X 轴上显示从边界到叶片垂直距离最小的水量高度依赖性，在 Y 轴上显示特征频率的图。

其次，周围流体（水或空气）对振动属性的影响可以通过 ASI 方法来确定。下表中，将间隙足够大以至于不影响涡轮叶片的水中前六阶特征频率与自由空气中的前六阶特征频率进行了比较。表格显示，即使间隙没有影响，水对特征频率也有很大的影响。

水中叶片 [Hz] 空气中叶片 [Hz]
104 193
148 262
279 442
753 1120
779 1202
980 1426

最后，可以确定不同间隙大小对特征频率的影响。随着间隙增加，特征频率也增大，直到间隙约为 150 mm。此时，无论间隙大小如何继续增加，特征频率都会收敛到一个恒定值。我们提取了每种间隙大小下的前六阶实部特征频率，如下所示。

展示不同间隙尺寸对本征频率影响的图，间隙尺寸在 X 轴上，频率在 Y 轴上。
"展示不同间隙尺寸对本征频率影响的图，间隙尺寸在 X 轴上，频率在 Y 轴上。
展示不同间隙尺寸对本征频率影响的图，间隙尺寸在 X 轴上，频率在 Y 轴上。
展示不同间隙尺寸对本征频率影响的图，间隙尺寸在 X 轴上，频率在 Y 轴上。
展示不同间隙尺寸对本征频率影响的图，间隙尺寸在 X 轴上，频率在 Y 轴上。
展示不同间隙尺寸对本征频率影响的图，间隙尺寸在 X 轴上，频率在 Y 轴上。

前六阶实部特征频率随间隙的变化。

较小间隙下特征频率的降低可以解释为叶片周围压力平衡阻力的增加。不应将其与黏性效应引起的阻尼相混淆，也不应将其简化为附加质量。相反，我们看到显式建模的水如何影响由涡轮叶片和水域耦合系统的特征频率。

下图左侧显示了间隙为 149 mm 时第五阶特征频率对应的振型。在 COMSOL Multiphysics® 中，可以绘制整个结构，而不仅仅是计算中使用的叶片，从而更好地呈现结构状态全貌，如下图右侧所示。

149mm 间隙的第五本征频率的相应振型。
绘制了整个结构的 149mm 间隙的第五本征频率的相应振型。

间隙为 149 mm 时的第 5 阶振型，显示计算中使用的叶片（左）和整个结构（右）。

卡普兰涡轮机螺旋桨的三维图示。 卡普兰涡轮螺旋桨的三维视图。

当通过在叶片的轮毂安装面上施加频率无关的旋转来激励结构时，得到如下图所示的频域响应。请注意，频域以 1 Hz 为步长进行扫描，因此特征频率的大小可能会因仿真中达到的值与精确值的接近程度而有所不同。无论如何，峰值响应大小并非最受关注，因为在产品开发中，通常希望以一定的安全裕度避开这些频率。

在频域中显示加速度响应的图形。 频域中的加速度响应。

使用 COMSOL Multiphysics® 软件的功能，本示例研究展示了如何通过声-结构相互作用仿真来计算浸没在流体中的结构的频率响应。这是所有以振动响应作为设计准则的产品开发过程中的重要一步，对于水下产品与空气中产品同样如此，而空气中产品的频率分析早已得到广泛应用。

本示例清楚地说明了流体流动阻力如何影响结构的频率响应，以及浸没在水中与空气中的差异。通过分析周围水体的影响并将间隙最小化（至3 mm），特征频率从 165 Hz 降至 71 Hz，降低了 57%。

叶片上的动载荷

COMSOL® 中一个特别实用的功能是 旋转坐标系 特征，可以使网格保持静止来简化转子动力学。通过直接将离心力、科里奥利力和欧拉力作为体载荷施加，可以准确模拟高速旋转效应，如应力刚化。由于现在这个常规应用的转速较低，因此本例未使用此特征，但如果应用场景需要，它将是一个强大的工具。

关于客座作者

Tobias Jonsson 是瑞典斯德哥尔摩 Lightness by Design 的结构力学专家和顾问。Tobias 拥有瑞典皇家理工学院的硕士学位，长期使用数值仿真帮助企业进行仿真驱动的产品开发工作。作为 COMSOL 认证咨询机构的一员，他致力于将高级仿真集成到产品开发的核心流程。

Lightness by Design 的顾问团队合著发表了多篇刊登在科学期刊上的研究论文，为声-结构相互作用领域做出了贡献。此外，他们利用自身在声-结构相互作用仿真和振动设计领域的专业能力，为多家客户提供产品开发全流程的技术支持。

 //www.denkrieger.com/blogs/modeling-acoustic-structure-interaction-in-kaplan-turbine-blades-using-comsol/feed/ 0 在 MEMS 谐振器中应用 mBVD 电路模型 //www.denkrieger.com/blogs/leveraging-the-mbvd-circuit-model-for-mems-resonator-design //www.denkrieger.com/blogs/leveraging-the-mbvd-circuit-model-for-mems-resonator-design#respond Sergey Yankin Mon, 21 Sep 2026 02:24:55 +0000 MEMS & 压电器件 电磁学 https://cn.staging.comsol.com/blogs?p=391841 设计压电谐振器需要高保真多物理场仿真来捕捉其复杂行为，但传统方法计算量巨大。采用等效 mBVD 电路可在保持精度的同时实现近乎即时的仿真。阅读文章，了解详情。

在为现代通信系统设计压电谐振器时，高保真的多物理场仿真对于捕捉复杂的器件行为是不可或缺的。但在实际的射频前端中，通常是多个组件级联，或构建外部匹配网络。在这种情况下，进行完整的有限元（FEM）仿真将带来极大的计算开销。修正型 Butterworth–Van Dyke (mBVD) 等效电路模型正是为解决这一问题而生。通过将有限元数据凝练为紧凑的集总模型，您可以在不牺牲物理准确度的前提下，实现近乎实时的系统级仿真。

谐振器基础：物理机制、导纳、阻尼与机电耦合

在深入讨论等效电路形式之前，我们先从物理层面了解谐振器的基本行为。标准的体声波（BAW）或声表面波（SAW）谐振器利用压电效应，将声能束缚在微尺度腔体内，并使其在固有频率处谐振。为了从电学角度分析这一行为，我们考察端口导纳 ，其中：

  • 实部，即电导 ，代表能量转移
  • 虚部，即电纳 ，追踪能量存储

这种机电相互作用会产生两个主要的谐振频率。在串联谐振频率 处，声学驻波发生相长干涉，器件内部机械阻抗降至最低，导致电导率 出现尖锐峰值。反谐振或并联谐振频率 略高于此。在此频率下，机械应变产生的压电电荷与电极上的静电板电荷相互抵消。器件汲取的净电流极小，使得总导纳幅值降至最低。

与 之间的间隔决定了有效机电耦合系数 的大小，它度量了器件的能量转换效率：。频率间隔越大， 越高，这通常意味着滤波器可以实现更高的带宽。有效机电耦合系数的准确定义取决于所遵循的标准或近似方法。对于 BAW 和 SAW 器件，其表达式可能略有不同；当系统满足弱耦合近似条件时，所使用的公式也可能有所简化。

在理想无损的谐振器中， 处的电导率峰值将趋于无穷大，而 处的导纳谷值将降至绝对零。然而，现实中压电器件会因为材料自身阻尼（机械的、介电的，以及其他机制，如锚点向基板的能量泄露）而产生能量损耗。这种总耗散决定了器件的品质因子，即 。在导纳曲线上，更高的材料阻尼会直接抑制并展平响应，使尖锐的谐振峰和谐振谷变得圆钝，降低 处的最大电导并抬高 处的最小导纳。对于射频滤波器设计人员而言，最小化这种阻尼以实现高 Q 至关重要，这正是确保低插损和高陡降的关键因素。

一个图表，展示了一个方便的导纳幅度草图，其中串联谐振和并联反谐振点以 X 轴上的频率和 y 轴上的 |y| 绘制。

导纳幅值 |Y| 曲线示意图，其中标出了串联谐振和并联反谐振频率点。

用有限元方法表示压电谐振器

您可以在 COMSOL Multiphysics® 中轻松构建一个经典的压电谐振器有限元模型，并充分利用该软件强大的多物理场能力。具体步骤如下：首先选用 压电 接口，耦合 静电 与 固体力学 接口。对于 固体力学 接口，选择 压电材料 材料模型，并通过其子节点（如 机械阻尼 和 介电损耗）指定相关的损耗行为。

进行 频域 研究时，您可以在 静电 接口中添加 终端 条件来给器件施加激励。除了其他优点外，该特征可以自动推出终端导纳，并用于绘图和进一步的结果分析。结果分析则包括上述谐振频率和品质因子 Q 的提取。或者，您也可以选择进行 特征频率 分析以提取谐振频率和 Q。

从有限元到集总参数

集总参数电路模型的优势在于其简洁性：求解由少量电阻、电感和电容组成的网络，仅需不到一秒便可以得到所需的导纳曲线。本文所关注的机电等效框架，其渊源可追溯至 Stephen Butterworth 的滤波器设计以及 Walter Guyton Van Dyke 在 20 世纪初对石英晶体行为的等效工作。“修正型”现代版本 增加了寄生元件，以满足高频 MEMS 谐振器的更为精细的建模要求。

现代射频 MEMS 谐振器需要快速电路模型与现代数值求解器之间的工程协同。电路模型的好坏与输入参数强相关。您无法仅凭猜测就得到复杂多层 SAW 叉指拓扑的等效电容，或者一个新型压电薄膜的动态支路电阻。通过使用 COMSOL Multiphysics® 进行仿真，您可以还原器件的真实几何与材料复杂性，还可以提取填充 mBVD 电路所需的精确集总参数。总而言之，有限元法提供了完全符合物理真实的基准数据，而电路形式等效则实现了系统级的仿真速度。

注：本文讨论的经典 mBVD 形式主要针对单端口谐振器，即具有一个信号端和一个接地端的器件。如果您的设计归结为多端口设计或类似情况，则需要将该框架扩展为更复杂的形式。

同样，为清晰起见，我们将重点讨论单谐振模态。对于需要额外考虑的每一个谐振模态，您都需要添加一条并联的动态支路。

拆解 mBVD 电路模型

传统 mBVD 模型通过将初始串联路径之后的电学行为拆分为两条并联支路，来描述典型的压电谐振器行为：一条 静态支路 描述物理介电层的堆叠关系，另一条 动态支路 描述机电耦合的声学谐振。电路原理图如下所示。

一个单端口 mBVD 电路的示意图，显示了连接到运动和静态分支并联组合的串联电阻，运动分支在顶部，静态分支在底部，每个分支都用虚线突出显示。 单端口 mBVD 电路拓扑示意图，其中串联电阻 与由动态支路和静态支路构成的并联网络相连。动态支路由 、 和 串联组成；静态支路则由 和 二者并联组成。

下表逐一梳理了每个元件的物理含义、这些元件如何影响导纳响应，以及如何从有限元仿真中精准地提取对应参数值。

电路元件 物理含义 对导纳的影响 提取方法
串联电阻， 该元件代表金属电极、母线板以及通向谐振器有源区的互连导线的纯欧姆电阻。 它限制了串联谐振 处导纳幅值的最大峰值。 可直接根据模型中金属布线的电导率和几何形状计算，例如通过辅助的 电流 设置。通常无需在主 压电 仿真中显式包含它。

静态电容，

 代表由重叠电极和中间压电材料形成的电学板电容。 与机械运动无关。 它建立了导纳虚部曲线的基线“底部”，并决定了串联谐振 与并联反谐振 之间的频率间隔。 在远低于 的任意频率点 处运行频域仿真，此时器件在机械上“静止”，动态支路相当于开路。计算导纳的虚部以分离出静态电容：
静态电阻， 代表体介电材料损耗以及穿过压电层的电学泄露路径。 它在低频处为导纳实部曲线引入一条干净、平坦的基线电导。 假设您的模型具有非零介电损耗，在用于求 的同一低频区间（即远低于声学谐振频率），测量导纳的实部，直接分离出平坦的基线介电泄露 。对于小介电损耗的情况， 应得到非常大的值。
动态电容， 该元件代表谐振器结构的机械弹性或柔度，与压电晶体的有效机电耦合系数 密切相关。 它决定了谐振的整体强度。更高的耦合系数会增大 。进而，它拓宽了 与 之间的窗口，这是宽带射频滤波器的关键特性。 可利用提取的 值和谐振频率比，通过 直接求得。
动态电感， 该元件代表振动晶格或薄膜膜片的有效声学质量或惯性。 与 一起，它决定了串联谐振峰的确切频率位置。该计算遵循谐振频率的经典公式 . 一旦已知 并从仿真数据中识别出 ，即可定义动态电感为 。
动态电阻， 该电阻考虑了器件中的总力学和声学能耗。 它决定了谐振处导纳峰的高度和锐度。较低的 值意味着较低的损耗，从而获得更高的品质因子 Q。 在 频域扫描 中， 处的峰值导纳由动态支路主导。峰值电导率简化为 或者，您可以从 特征频率 研究中获取器件的机械品质因子 ，并使用以下关系：.

本文中，我们选择了静态支路中 和 并联的 mBVD 电路形式。行业内也存在将这些元件串联的惯例，如果采用这种形式，其参数提取方法和物理解释也会随之不同。这两种方法是互易的，因为只要能够正确、谨慎地提取集总参数，输出结果将完全一致。

参数提取

既然我们已经掌握了理论知识和提取逻辑，接下来我们就来提取整套集总参数，并在 COMSOL Multiphysics® 中构建 mBVD 电路模型。

请注意，本篇博客文章是该模型的主要参考资料。如果您有兴趣查找利用类似模型和绘制导纳曲线的分步操作说明，请查看我们为 MEMS 模块 提供的配套示例模型。

在这里，我们选择了一个三维层状单端口薄膜体声波谐振器（FBAR），如下所示。我们假设 是已知的，为了便于后续比较，仅将其手动添加到器件导纳中作为贡献。

为了从 频域 研究中准确提取谐振频率和峰值电导率，您可能需要细化频率步长，并使用 图形标记 来绘制 全局 导纳图。如果考虑 ，请不要忘记指定 介电损耗。最后，为了提取 和 ，您有必要新建一个研究，以求解一个比 小几个数量级的频点。

COMSOL Multiphysics® UI 显示了一个三维 FBAR 模型，其导纳是通过频域研究计算的。模型以紫色显示在图像的右侧，下面是导纳计算图。 COMSOL Multiphysics® 用户界面中显示了三维 FBAR 模型，其导纳通过 频域 研究计算得出。

一旦所有参数计算完毕，您可以将这些值直接代入同一模型文件中内置的 电路 接口，以验证提取结果。随后，将新创建的集总 mBVD 电路接入电压源，并将其阻抗频响曲线与原始有限元数据进行叠加对比。顺应当前便捷的 AI 趋势，您不妨利用 COMSOL Multiphysics® 中内嵌的 智能助手 窗口 ，让它生成添加电路及完成各项设置的 COMSOL API 代码，此处的演示就采用了这种方式。

为电路接口提取的 mBVD 参数以及右侧的图，描绘了完整的有限元模型和电路表示之间的良好相关性，其中 X 轴为频率，y 轴为 |y|。 提取的 mBVD 参数用于 电路 接口，绘图描述了完整有限元模型与等效电路之间的良好相关性。

两条曲线结果在工作带宽附近非常吻合。从实际角度来看，两者存下的微小差异可以解释为有限元模型捕捉了系统中存在的高阶模式的贡献。一旦您的 mBVD 电路模型与基于物理场的模型匹配，就不再受限于器件的物理几何形状，并可以在 COMSOL Multiphysics® 中直接扩展电路网络，添加外部调谐电容、电感或传输线，或级联多个相同模块以形成复杂的梯形滤波器。综上，您最终获得了一个经过验证的、运行速度极快的集总模型，它实现了微观多物理场与宏观系统设计的无缝衔接，使您能够在几秒钟内完成大规模参数扫描。

下一步

最后，分享本篇博客文章中展示的模型以及相关示例：

 //www.denkrieger.com/blogs/leveraging-the-mbvd-circuit-model-for-mems-resonator-design/feed/ 0 使用精确吸声边界条件进行基于波动理论的室内声学仿真 //www.denkrieger.com/blogs/wave-based-room-acoustics-modeling-with-accurate-sound-absorbing-boundary-condition //www.denkrieger.com/blogs/wave-based-room-acoustics-modeling-with-accurate-sound-absorbing-boundary-condition#respond Takumi Yoshida Tue, 01 Sep 2026 01:14:00 +0000 声学与振动 结构 & 声学 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=391541 室内声学是设计舒适室内环境的关键。通过基于波动理论的时域声学仿真，探索不同吸声模型对室内声学的影响。

正如我们在本系列博客的第一篇文章中所讨论的，对吸声边界进行正确建模对于高效的室内声学仿真非常重要。上一篇文章主要介绍局部反应和扩展反应模型的理论描述，以及它们在随机入射吸声系数上表现出的差异。作为更具实用性的示例，本篇博客文章将展示在基于波动理论的时域声学仿真中，不同的吸声模型将如何对室内声学响应产生不同影响。

点击 此处 阅读本系列博客的第一篇文章。

会议室声学的重要性

您是否曾在会议中几乎听不清对方说话？这通常是由于房间内的过度混响所致。众所周知，工作场所中糟糕的声场环境会严重影响沟通效率、专注力与工作产出。解决这一问题的最佳方法是在房间内合适的位置安装吸声体，例如悬挂式多孔吊顶或吸声帘幕。这些吸声体背后都设有空气层，可以吸收低频声音，因此具有极强的扩展反应特性。对配备此类扩展反应吸声功能的房间进行仿真时，观察使用不同吸声边界模型所产生的差异，是一件很有参考价值的趣事。

房间模型与吸声设置

我们使用 压力声学，时域显式 接口对下图中的简易房间模型（3.5 m 6.8 2.5 m）进行仿真分析，其倍频带范围为 63 Hz 至 500 Hz（等效覆盖约 40 Hz至 710 Hz）。

一张示意图，显示了会议室的几何结构，标注了音频源、接收器、窗帘材料（墙面）和多孔材料（天花板）。 进行仿真分析的会议室几何结构的示意图。

将高斯脉冲施加于源点（0.7m，4.15m，1.2m），在接收点（2.8m，2.35m，1.2 m）处，以 10000 Hz 的采样频率评估声压响应，时长至 0.8s。

为了在时域中求解声学波动方程，压力声学，时域显式 接口采用间断伽辽金有限元法（dG-FEM），这是一种内存效率高且可扩展的方法。该房间模型具有典型的吸声功能，即配备有悬挂式多孔吊顶和帘幕。在本文中，这些吸声体分别使用局部反应和扩展反应模型进行建模，并考察由此产生的差异。上图对应于扩展反应模型，其中包含了多孔材料的厚度以及吸声材料背后的空气层。在局部反应模型中，材料厚度和空气层不会进行显式建模，而是将法向入射条件下的表面阻抗指派给材料的表面边界。这些吸声体的表面阻抗通过频域中基于二维周期性结构假设的子模型进行计算评估。

悬挂式吊顶由厚度 50 mm 的多孔材料制成。多孔材料背后的空气层厚度为 180 mm，用于吸收低频声音。由于多孔层厚度较大，采用等效流体模型对吊顶吸声体进行建模，其中包括扩展反应效应。采用 Johnson–Champoux–Allard (JCA) 模型 对多孔材料中的流体特性进行模拟。在该模型中，多孔材料的复有效密度和体积模量表示如下：

\rho_{\rm c}=\frac{\tau_{\infty}\rho_{\rm f}}{\epsilon_{\rm p}}\left(1+\frac{R_{\rm f}\epsilon_{\rm p}}{i\omega\rho_{\rm f}\tau_{\infty}}\sqrt{1+\frac{4i\omega\tau_\infty^2\mu\rho_{\rm f}} {R_{\rm f}^2L_{\rm V}^2\epsilon_{\rm p}^2}} \right)

 

K_{\rm c}=\frac{\gamma p_{\rm A}}{\epsilon_{\rm p}}\left(\gamma – (\gamma-1)\left[1+\frac{8\mu}{i\omega L_{\rm th}^2P_{\rm r}\rho_{\rm f}}\sqrt{1+\frac{i\omega L_{\rm th}^2P_{\rm r}\rho_{\rm f}}{16\mu}}\right]^{-1} \right)^{-1}

 

其中，, , 和 分别为多孔材料中流体的绝对压力、密度、比热率和动力黏度。, , , 和 分别代表多孔材料的孔隙率、流阻率、黏性特征长度、热特征长度和曲折因子。 为角频率。下表汇总了示例模型中所用的多孔材料参数。

参数（单位） (1) (Pa·s/m2) (mm) (mm) (1)
值 0.99 17000 0.14 0.15 1.01

示例模型中所用的多孔基体属性，数值取自参考资料 1。

在 压力声学，时域显式 接口中内置的 多孔介质声学 特征，可基于等效流体模型对多孔层进行建模。采用局部和扩展反应近似的多孔吸声体时域仿真 文档是实现时域等效流体模型的良好参考。要使用此特征，需要准备多孔材料随频率变化的复有效密度和可压缩性（体积模量的倒数）的相关数据。在本示例模型中，这些属性是通过与评估局部反应模型表面阻抗相同的子模型计算得到的。下方截图显示了该子模型的 多孔介质声学 设置。

用于会议室图示中多孔材料子建模的 Poroacoustics 功能设置。 用于多孔材料子模型建模的 多孔介质声学 特征的设置界面。

以下截图显示了根据子模型计算结果进一步计算材料属性的过程。

截图显示了从二维频率域分析中计算出的多孔材料有效密度。
截图显示通过二维频率域分析计算多孔材料压缩性。

根据二维频域分析结果计算多孔材料的复有效密度（左）和可压缩性（右）。

根据二维频域分析结果计算多孔材料的复有效密度（左）和可压缩性（右）。

您也可以使用这些材料属性的测量数据。然后，将多孔材料的频率相关属性导入，并使用 部分分式拟合 函数进行解析逆傅里叶变换，将其近似为有理函数形式。

截图展示了如何使用部分分式拟合函数来近似多孔材料的复杂有效密度。
截图展示了如何使用部分分式拟合函数来近似多孔材料的压缩性。

使用 部分分式拟合 函数将复有效密度（左）和可压缩性（右）近似为有理函数形式。

拟合结果进一步导入到 压力声学，时域显式 接口的 多孔介质声学 特征中。

COMSOL Multiphysics 中压力声学、显式时间界面中 Poroacoustics 功能的截图。

压力声学，时域显式 接口中的 多孔介质声学 特征。

另一方面，扩展反应的吸声帘幕采用转移阻抗进行建模，并假设其非常薄。假定帘幕的流阻（转移阻抗）为 416 Pa·s/m。注意，为简化起见，此处忽略质量效应。帘幕置于窗框上，背后空气层厚为 200 mm。建模时使用 内部阻抗 特征。

注意，为了比较不同的边界模型，扩展反应材料背后空间的边界表面均假定为刚性。其他边界假定为石膏板和地板。它们采用频率相关阻抗边界进行建模。所有材料的随机入射吸声系数如下所示：

图示展示了会议室模型中所有材料的随机发生吸收系数。地板以红色线条表示，窗帘为绿色，多孔天花板材料为蓝色，石膏墙为青绿色。 房间模型中所有材料的随机入射吸声系数。

由于这些吸声体具有较高的扩展反应性，吊顶和帘幕在不同边界模型下显示出不同的吸声系数。除 630 Hz 以上频段外，局部反应模型在较宽频率范围内显示出比扩展模型更大的吸声系数值。您可以从 模型文件 中查看吸声材料的角度相关吸声系数。

脉冲响应的归一化与滤波


室内声学指标和可听化技术可用于评估室内声学。这类评估是根据脉冲响应计算得出的，该响应是对具有平坦频谱（覆盖所有频率）的狄拉克 δ 函数的响应。然而，直接调用 δ 函数会导致数值不稳定，因此在实际仿真中都会采用近似源模型。

高斯脉冲是基于波动理论的时域建模中典型的源信号，但其频谱并非平坦，这一点将在后文展示。因此，为了将间断伽辽金有限元法（dG-FEM）结果用于室内声学评估，需要对源频谱进行归一化。接下来，我们将介绍如何在频域中执行归一化。

首先，我们介绍高斯脉冲的频率特性。高斯脉冲以如下的初始声压分布形式激励声场：

p=\exp(\frac{-r_{\rm s}^2}{d^2})

 

其中， 表示声压。是距源点的距离，是表征源频谱的参数。将该初始声压分布函数代入球面波的波动方程，可得到自由场中的如下关系（参考资料 2）。

p({\bm r},t)=\frac{1}{2r_{\rm s}}(r_{\rm s}-ct)\exp(\frac{-(r_{\rm s}-ct)^2}{d^2})

 

其中， 为时间变量， 为坐标矢量， 为声速。利用三维自由场的格林函数，点源的体积加速度 可表示如下（参考资料 3）：

\dot{Q}(t)=\frac{2\pi}{\rho}(r_{\rm s}-ct)\exp(\frac{-(r_{\rm s}-ct)^2}{d^2})

 

其中， 为介质的密度。通过傅里叶变换，采用高斯脉冲的源信号频谱表示如下：

\dot{Q}(f)=\frac{i\omega\pi^{3\over2}d^3}{\rho c^2}\exp(-(\frac{d^2\omega}{2c})^2)

 

其中， 为频率变量。

示例会议室模型中所用信号源频谱的示意图。 示例模型中所用源信号的频谱。

该声源的设计使得在 500Hz 倍频带的上限频率处，相对于峰值增益为 -3 dB。

因此，我们可以通过将结果除以上述解析频谱，得到源强度为 1 m3/s2 体积加速度（对应空气中约 0.14 mW 的声源功率）的归一化脉冲响应。然而，这种归一化也会放大不需要的频率分量，例如在间断伽辽金（dG）计算中未能解析的高频分量。为移除此类分量，我们还需进行滤波。以下方程表达了归一化过程：

p_{\rm normalized}(t) = \mathcal{F}^{-1}[\frac{\mathcal{F}[p_{\rm dG}(t)]}{\dot{Q}(f)}HP(f)LP(f)]

 

其中， 和 分别表示归一化后的声压和 dG-FEM 计算得到的声压。 为傅里叶变换算子。 和 分别为频域中的高通和低通滤波器。

由于滤波过程可能导致非因果信号，建议在通过离散傅里叶变换将 dG 结果转换到频域之前进行补零。示例模型将 dG-FEM 计算得到的声压波形导出为 WAV 文件，并将其导入为插值函数。然后，在 一维栅格 数据集上执行补零，如下所示：

COMSOL 用户界面截图，显示使用 WAV 文件定义插值函数的过程。 使用从计算结果导出的 WAV 文件定义插值函数。外推值设为 0 以执行补零。

COMSOL 用户界面截图，显示离散傅里叶变换的零填充网格一维图。

用于离散傅里叶变换的补零后的一维栅格数据集。区间的负半轴部分为补零区域。分辨率设置为使采样频率对应 10000Hz。

在本示例模型中，归一化和滤波通过以下 全局常微分和微分代数方程 接口完成。

使用全局 ODEs 和 DAEs 界面进行归一化和滤波后的 COMSOL 用户界面截图。 此处，pE_normalized 表示归一化后的声压，rpE(freq) 和 ipE(freq) 分别表示扩展反应模型下，由 dG-FEM 计算得出的声压傅里叶系数的实部和虚部。pL_normalized、rpL(freq) 和 ipL(freq) 则对应局部反应模型的上述同类物理量。source(freq) 表示使用解析函数定义的源信号频谱。HP(freq) 和 LP(freq) 是使用阶跃函数定义的高通和低通滤波器。您可以从 示例模型 中查看更详细的设置。pE_normalized 和 pL_normalized 的频域数据通过 频域 研究步骤计算得到。然后，通过 频域到时域 FFT 研究步骤重建归一化的脉冲响应。

归一化的另一个好处是，其结果可以与射线声学模型结果相结合，通过 混合方法 获得宽频带脉冲响应。这是通过将射线释放条件设置为全向，并使用以下总源功率 来实现的：

P_{\rm{src}}=\frac{Z_0\dot{Q}_{\rm U}^2}{8\pi c^2}

 

其中， 为单位体积加速度 3/s2。

结果

两种吸声边界模型的归一化带限房间脉冲响应及其频谱（房间传递函数）如下所示。

图示展示了具有局部反应的扩展反应模型和具有局部反应的扩展反应模型的归一化带限房间冲激响应，其中绿色表示局部反应，蓝色表示扩展反应。 扩展反应和局部反应模型的归一化房间脉冲响应。

图示展示了扩展反应模型和局部反应模型的归一化房间传递函数。 扩展反应和局部反应模型的归一化房间传递函数。

两种模型在使用不同吸声模型时的差异是显而易见的。局部反应模型在较宽频率范围内高估了吸声材料的吸声效果，导致脉冲响应衰减更快。从频谱对比结果来看，局部反应模型在 160 Hz 以下和 500 Hz 附近具有更大的吸声量，而在 600 Hz 以上则低估了吸声量。这些趋势与两种吸声边界模型之间随机入射吸声系数的固有差异完全对应。

下图中室内声学指标的比较也显示了两种模型之间的差异。

图示展示了扩展反应模型与局部反应模型的混响参数对比，包括 EDT（蓝色）和 T20（绿色）。 扩展反应和局部反应模型之间的混响参数（EDT 和 T20）比较。

显示扩展反应模型与局部反应模型之间清晰度对比的图表。 扩展反应和局部反应模型之间的清晰度（C50）比较。

从混响参数（EDT 和 T20）的表现来看，两种模型在宽频带范围的差异，已经超过了 5% 可辨差（JND）的两倍。清晰度参数（C50）在绝大多数频率上也显示出大于 JND（1.1 dB）的差异，最大差异达到 11 dB。这些结果表明，局部和扩展模型之间的差异是可听辨的。您可以收听以下不同吸声边界模型的归一化和未归一化房间脉冲响应：

扩展反应（左）和局部反应（右）模型的归一化脉冲响应回放音频波形。

扩展反应（左）和局部反应（右）模型的未归一化脉冲响应回放音频波形。

您可以感受到扩展反应模型具有更长的混响。此外，由于高斯脉冲的频率特性，未归一化的结果听起来会突出高频声音。

这些结果仅针对一个接收点位置，在实际的室内声学评估中，设置更多的接收点位置是很重要的。然而，在可能的接收点位置上出现的明显差异已足以展示吸声边界类型对会议室的声学影响。

基于波动理论的声学仿真方法，因能够完整包含所有声学波动现象，本身就具备极高的计算精度。然而，本文示例模型的结果表明，受吸声体自身特性的影响，简单地使用局部反应模型可能导致错误的结果。为了进行更可靠的仿真，我们应仔细确认吸声体的结构和吸声特性。

结论

作为 上一篇博客文章 的延续，本文考察了使用不同类型的吸声边界对小型会议室的影响。典型的吸声体，如悬挂式吊顶和帘幕，具有高度的扩展反应特性。因此，对这些吸声体采用传统的局部反应模型（阻抗边界）会产生不太精确的结果。本演示表明，扩展吸声边界模型的建模能力对于执行正确的仿真至关重要。当然，阻抗边界因其计算成本远低于扩展模型，仍然具备很高的实用性。为了高效建模，需要根据设计阶段或吸声体特性，灵活选用不同的吸声模型。本文还介绍了从具有高斯脉冲激励的间断伽辽金有限元法（dG-FEM）分析中获取带限脉冲响应的过程。请注意，当使用初始压力分布条件激发声场时，源位置必须远离任何反射声波的边界表面。

COMSOL Multiphysics® 软件的附加产品 声学模块 中内置的 压力声学，时域显式 接口，因具有高内存效率和计算精度，同时支持对局部和扩展反应边界模型（包括频率相关性）进行模拟，非常适合基于波动理论的室内声学仿真。此外，通过使用 GPU 加速公式（目前仅适用于局部反应模型），还可以显著减少计算时间。即使使用入门级 GPU（NVIDIA® T400)，求解包含 1,307,650 个自由度（DOF）和 40,000 个时步的局部反应模型，仅需一小时即可完成。如果使用更高性能的显卡，计算时间的减少幅度预计会更大。关于 GPU 加速带来的性能增益的更多信息，请查阅文档：开放式办公空间的声学。

让我们使用 COMSOL Multiphysics® 提供的卓越精度和高效仿真能力来模拟室内声学吧！

下一步

有兴趣自己尝试本文介绍的示例模型吗？请在下方下载相关的 MPH 文件：

获取模型

参考资料

  1. H. Wang and M. Hornikx, “Extended reacting boundary modeling of porous materials with thin coverings for time-domain room acoustic simulations,” J. Sound Vib., vol. 548, 117550, 2023; https://doi.org/10.1016/j.jsv.2022.117550.
  2. S. Sakamoto, “Phase-error analysis of high-order finite difference time domain scheme and its influence on calculation results of impulse response in closed sound field,” Acoust. Sci. Technol., vol. 28, 295-309, 2007; https://doi.org/10.1250/ast.28.295.
  3. T. Okuzono, T. Otsuru, R. Tomiku, and N. Okamoto, “Application of modified integration rule to time-domain finite-element acoustic simulation of rooms,” J. Acoust. Soc. Am., 1vol. 32, 804–813, 2012; https://doi.org/10.1121/1.4730920.
 //www.denkrieger.com/blogs/wave-based-room-acoustics-modeling-with-accurate-sound-absorbing-boundary-condition/feed/ 0 使用 COMSOL 敲响 “自由钟” //www.denkrieger.com/blogs/modeling-the-acoustics-of-the-liberty-bell-in-comsolmph //www.denkrieger.com/blogs/modeling-the-acoustics-of-the-liberty-bell-in-comsolmph#respond Mark Cops Thu, 02 Jul 2026 01:41:42 +0000 声学与振动 结构 & 声学 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=390911 在本篇博文中，我们使用 COMSOL Multiphysics® 对著名的自由钟展开声学分析，并采用不确定性量化方法，深入探究其材料属性与最优几何外形。

今年是《美国独立宣言》发表 250 周年。作为自由的象征，自由钟（Liberty Bell）以其标志性的裂缝而闻名，而在仿真领域，它也是一个极具历史意义且非常有趣的物理研究案例。在这篇博客文章中，我将使用 COMSOL Multiphysics® 软件对自由钟的几个迷人特性进行仿真分析，包括钟体（有或无裂缝状态）的结构模态。此外，我还将通过不确定性量化方法，对其材料属性提出新的研究见解，并尝试通过形状优化设计一口音调更加完美的钟。

仿真灵感来源：自由钟

最近，我前往费城参加美国声学学会的会议，期间参观了自由钟展区，由此回想起它的一段历史。在会议上，我还惊喜地了解到，过去（参考文献 1）以及目前（参考文献 2–3）一直都有学者对这口钟进行结构声学的相关研究。

历史文物自由钟的照片。 自由钟。图片由 William Zhan 拍摄（个人作品）。基于 CC BY 2.0 协议授权，通过 Flickr Creative Commons提供。

自由钟最初是为宾夕法尼亚州议会大厦订购，由伦敦的白教堂铸钟厂铸造（参考文献 4）。这口原装进口的钟在首次试敲时就出现了裂缝，随后交由当地工匠 John Pass 和 John Stow 进行了重铸。我们今天看到的标志性裂缝，其实是这口重铸钟在后期形成的特征。据美国国家公园管理局记载（参考文献 4），虽然这条裂缝的确切成因已无记录，但很可能是在 19 世纪 40 年代初出现了一道细微裂口，之后为了防止裂缝继续蔓延，工匠们在 1846 年对其进行了人为拓宽。如今，自由钟被作为国家标志备受珍视，目前陈列在宾夕法尼亚州费城独立国家历史公园内的自由钟中心。

对自由钟进行建模仿真

对从事结构声学研究的仿真工程师而言，我们的首要目标是计算自由钟的结构模态。为此，我们需要获取基础的材料属性、几何模型，以及带有边界条件的物理场设置。被称为 “钟用青铜（bell bronze）” 的材料，属性参数差异极大，不过在本次分析中，我们暂且假设其弹性模量、密度和泊松比均为常数（），并采用线弹性材料本构模型。由于钟的设计初衷就是为了鸣响，其结构阻尼非常低，因此在计算模态时我们将忽略阻尼的影响。

钟的几何形状至关重要。事实上，关于教堂钟的声学特性已有过广泛的研究，铸钟厂通常会对前五个模态进行特定比例的调音，以达到最佳的声学效果。调音良好的钟所具有的前五个模态名称及其频率比（参考文献 5）分别为：低音（hum，）、基音（fundamental，又称 prime，）、三度音（tierce，）、五度音（quint，），以及标称音（nominal，）。目前尚不清楚自由钟是否经过调音，或者其调音的精确程度如何，而这正是我们在首次仿真中将要探究的问题之一。

为了获得贴合真实情况的几何模型，我们将利用自由钟复制品的 3D 扫描数据（详见下方图注）。这是一个曲面网格文件，包含了所有的铭文、悬挂结构、钟锤以及扫描过程中产生的一些瑕疵。不过，借助 COMSOL® 软件中的几何工具，我们可以提取出一个具有代表性的截面，并通过将其旋转生成三维实体几何模型。同时，我们还会忽略部分细节特征，因为这些特征不仅会增加模型的复杂性，而且对钟的鸣响模态不会产生显著影响。

自由钟复制品三维扫描模型，以及用于仿真计算、赋予青铜色外观的自由钟实体几何模型。 左图：自由钟复制品的几何模型，基于宾州州立大学比兰德分校（ Penn State Behrend） VAR 实验室的 3D 扫描数据，采用 CC BY 4.0 International 许可协议授权。右图：为便于仿真，几何模型进行了修改和特征简化。

物理场方面，我们选择 固体力学 接口，所有边界均保留默认的自由边界条件。然后采用特征频率研究，仅计算前五阶振型。最终得出的基频为 。与音准完美的钟体相比，采用基准参数时复刻钟的音准略有偏差（详见下方谐振比值）。同时需要注意，上述每阶振型均存在一组正交成对振型（二者频率简并），这一点在后续分析中需重点留意。

自由钟的五阶固有频率。 前五个特征频率及其对应的模态振型。

不确定性量化

到目前为止，我们已经基于一组基准材料属性计算了钟的模态。然而，关于青铜钟材料的弹性和质量特性目前并没有详尽的文献记载。此外，根据铸造时具体合金配方的不同，其成分也会有所差异。这就引出了一个自然而然的问题：材料属性的不确定性会对特征频率产生怎样的影响？这个问题可以通过使用 COMSOL Multiphysics® 的附加产品 不确定性量化模块 来解答。

我们不再定义离散的材料属性，而是为各项属性设定分布范围，即均匀分布在以下区间内：。我们将采用 不确定性传播 研究类型，并结合特征频率参考研究，求解目标模态的 95% 预测区间。其中需要利用代理模型，从而能够高效地计算不确定性。

分析结果显示了特征频率预期范围对应的误差条。从这些结果中可以发现，随着模态阶数的增加，频率的变化幅度也在增大（从低音模态的 +/- 17 Hz，增加到了标称音模态的 +/- 60 Hz）。此外，参考文献 1 中的实验测量数据也恰好落在这些误差条所标示的范围内，这让我们有理由相信，我们已经合理地界定了这口钟的材料属性范围。

质量、弹性材料属性取均匀分布条件下自由钟平均固有频率曲线图。 在质量和弹性材料属性呈均匀分布的情况下，钟的特征频率均值（蓝色）及其 95% 置信区间（黑色误差条）。

裂缝会带来什么影响？

带有裂缝的钟依然能够振动并辐射声音，但裂缝会大幅改变其音色特征。为了探究这一现象，我们在几何模型中添加了一条 1 毫米宽的裂缝，其位置与现实中那道大裂缝大致相似。这条裂缝会局部降低结构的刚度，并破坏原有的轴对称性，导致模态分裂。原本在相同频率下简并的模态对因此发生分裂，在我们所考察的频率范围内产生了 10 个截然不同的特征频率（见下方右图）。显而易见，这会导致其模态特性与设计规范相差甚远，失去原有的音色协调性。

COMSOL Multiphysics 软件中的自由钟几何模型。
含裂缝自由钟计算模态（蓝色）与固有频率基准（红色）曲线图。

结构裂缝模态：带有裂缝的几何模型与标称音（左）；开裂钟与基准钟的所有计算模态（右）。

调整钟的音色

是否可以利用仿真技术打造出一口近乎完美的钟？我们通过设置一个形状优化问题来一探究竟。在优化过程中，允许钟的边界自由变形，以最小化目标函数 —— 当前特征频率与目标频率之间的方差。形状优化迭代运算 20 次后，最终得出了一种全新设计，所有频率与其目标频率的误差均小于 0.02%！本质上，它几乎完美地契合了参考文献 5 中的设计准则。值得一提的是，优化后的新形状与基准形状非常相似，这着实让人惊叹于铸造和加工高品质声学钟体所采用的高精度工艺。

钟体优化截面剖面图。

形状优化的结果：钟横截面的轴对称视图的一半，展示了基准几何形状（红色）和形状优化后的几何形状（绿色）。

声-结构耦合

最后，我们使用 声-固相互作用，频域 接口，对简化处理后的自由钟复制品的声辐射响应进行模拟。假设损耗因子为 ，并在钟捶敲击到的典型区域施加边界载荷条件，模型可计算出完整的场位移、应力、应变，以及由该激振力引起的声压和声压级（SPL）。

钟旁观测点声压级-频率曲线图。 位于（0,0,-2m）处（紧邻钟体）的观测点的声压级（SPL）随频率变化的曲线。

我们可以将结果在一个完整的声学周期内进行动画演示，从而全面了解其振动声学特性。

更多资源

在本篇博文中，我们展示了 “自由钟” 的多项结构声学仿真分析，但仿真的应用潜力远不止于此。通过仿真，还可以研究这口钟的其他更多特性，包括：声音传播规律及钟声可传播的最远距离、反复撞击将会引起的裂纹动态扩展，以及铸钟工序中熔融金属的凝固现象，等等。

本文中提及的相关技术主题补充信息如下：

参考文献

  1. G.H. Koopmann et al., “Tuning a Replica of the Liberty Bell via Material Tailoring: An Application of a Method for Optimal Acoustic Design.” ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, vol. 35517, American Society of Mechanical Engineers, 2001.
  2. J. Young, S. Collier, A. Stearns, and E. Brown, “Modes of America: Computational Acoustics and the Sound of the Liberty Bell,” Presented at the 190th Meeting of the Acoustical Society of America (ASA), Philadelphia, PA, 2026.
  3. S. Collier, J. Young, A. Stearns, and E. Brown, “Modal Analysis of a Liberty Bell Replica,” Presented at the 190th Meeting of the Acoustical Society of America (ASA), Philadelphia, PA, 2026.
  4. “The Liberty Bell,” June 2025; https://www.nps.gov/inde/learn/historyculture/stories-libertybell.htm.
  5. Thomas D. Rossing and Robert Perrin, “Vibrations of Bells,” Applied Acoustics, vol. 20.1, pp. 41–70, 1987.
 //www.denkrieger.com/blogs/modeling-the-acoustics-of-the-liberty-bell-in-comsolmph/feed/ 0 巨人的回响：阿兹特克体育场的声学仿真 //www.denkrieger.com/blogs/the-sound-of-the-giant-modeling-the-acoustics-of-estadio-azteca //www.denkrieger.com/blogs/the-sound-of-the-giant-modeling-the-acoustics-of-estadio-azteca#respond Ed Fontes Tue, 23 Jun 2026 02:08:34 +0000 声学与振动 结构 & 声学 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=390671 传奇的阿兹特克体育场是仅有的两座曾举办过国际足联世界杯（FIFA World Cup®）决赛的场馆之一。出于趣味研究，我们对这座独一无二的体育场的声学特性进行了仿真分析。

在前两篇关于 2026 年国际足联世界杯（FIFA World Cup®）的博客文章中，我介绍了官方比赛用球阿迪达斯 Trionda®，以及标志性外脚背弧线球（trivela）的空气动力学原理，埃德尔（ Éder）、罗伯特・卡洛斯（ Roberto Carlos）等球员都将这种射门技巧运用到了极致。在第二篇介绍今年投入使用的传感器技术的博客文章的结尾，我展示了一段墨西哥城巴诺特（ Banorte）体育场（更广为人知的名称是阿兹特克体育场）声学仿真的简短动画。

墨西哥队将在这座传奇体育场迎战捷克队，在主场之战打响之际，我们来详细探讨一下这座球场的声学特性。

足球圣地

与巴西里约热内卢的马拉卡纳球场（Maracanã Stadium）一样，阿兹特克体育场（2026 年世界杯期间被国际足联称为“墨西哥城体育场”）是仅有的两座曾举办过两届世界杯决赛的球场之一。不过，2014 年世界杯决赛时的马拉卡纳球场，与 1950 年“马拉卡纳惨案”中近 20 万名球迷见证乌拉圭队击败巴西队的那座球场，本质上已是截然不同的两座建筑。反观1970 年见证贝利登顶的那座阿兹特克体育场，与今天承办世界杯的球场相比，依然能让人一眼认出它昔日的模样。

没有任何一座球场见证过如此多具有历史意义的世界杯时刻。贝利曾在这里第三次捧起世界杯冠军奖杯。1986 年，马拉多纳在这里先后打入了“上帝之手（Hand of God）”与“世纪进球（Goal of the Century)”。前者堪称足球史上最具争议的进球，后者则被公认为球坛最伟大的进球，两粒进球仅仅相隔四分钟。

当阿兹特克体育场承办 2026 年墨西哥队与南非队的揭幕战时，就成为了历史上第一座在三届国际足联世界杯中均举办赛事的球场。这座球场容量巨大，被球迷们尊称为“巨人”（西班牙语原el gigante，阿根廷歌Andrés Calamaro 曾将其写入歌中使其名垂青史），也被叫做“圣乌尔苏拉的巨像（El Coloso de Santa Úrsula）”。对于足球运动而言，阿兹特克体育场是一片神圣之地。

利用 COMSOL Multiphysics 软件搭建的阿兹特克体育场仿真模型。 图 1. 使用 COMSOL Multiphysics® 构建的阿兹特克体育场仿真模型。请注意，这并非体育场的精准复刻，但足以满足本次趣味研究的分析需求。

足球场的声学奥秘

足球场的声音，其意义远不止于声学本身。每一位球迷都知道，当主队进球时，自己主场的欢呼声听起来比世界上任何其他球场都要震撼。而这正是足球狂热中最美妙的体验之一。

然而，作为工程师，我们总是希望能够对球场的声音进行量化。国际足联针对语音传输指数、混响时间、看台声场均匀度等指标提出了明确要求（参考文献 1）。这些指标可通过仪器进行测量，并作为设计球场音响系统的关键依据，以确保观众能够清晰地听到通过公共广播系统（PA）播报的赛事通知及其他重要信息。

国际足联针对上述各项指标制定了以下设计目标：

  • 在 125–4000 Hz 的频率范围内，混响时间不应超过 4 秒。
  • 在球场满座的情况下，语音传输指数（STI）应大于 0.55（推荐值为 0.75）。
  • 声场不均匀度不能超过 ±3 dB。

这些指标同样可以通过仿真进行评估，我们团队正是通过模拟来估算阿兹特克体育场全新公共广播系统的音质表现。我们首先聚焦单组扬声器的发声效果，模拟声音在球场内的传播过程。

你能听见“巨人”的呐喊吗？

阿兹特克体育场的全新音响系统于 2026 年安装完成，据悉大约包含 340 个扬声器。根据翻新工程的现场照片以及社交媒体上发布的信息，该系统由 d&b audiotechnik® 提供。悬挂在顶棚下方的扬声器阵列，看起来由四个全频音箱和两个低音炮组成。从外观特征判断，我们认为这些扬声器可能属于d&b audiotechnik 的 Vi 或 Yi 系列。

本次仿真中，我们选取了其中一组扬声器阵列，将其放置在顶棚下方，如图 1 所示。图 2 为该扬声器阵列的特写视图，以及其在下方看台区域形成的总声压分布情况。

悬挂于阿兹特克体育场顶棚的扬声器阵列所产生声压的模型表征 图 2. 悬挂于阿兹特克体育场顶棚的扬声器阵列，以及在下方看台区域形成的总声压分布。

我们使用 COMSOL Multiphysics® 内置的几何建模工具创建了模型，采用 压力声学，时域显式 接口模拟低频段的声学特性， 射线声学 接口处理高频段的声学问题。

压力声学，时域显式 接口基于四阶间断伽辽金法自动定义数值模型。以100 Hz 的典型频率为例，其所需的网格划分如图 3 所示：在主体区域采用六面体网格单元（这一功能即将在软件后续版本中推出），而在靠近看台、球场草坪及顶棚的区域使用了金字塔和四面体网格。最终生成的方程组包含 9900 万个自由度，借助两块 NVIDIA RTX™ 6000 Ada 系列 GPU 完成计算求解，仅耗时 1 小时 55 分钟。

阿兹特克体育场数值模型所用体网格与面网格的横截面。网格呈现为一个巨大的绿色箱体，覆盖体育场四分之一区域。 图 3. 阿兹特克体育场仿真模型所采用的体网格与面网格的横截面。

图 4 通过一段动画展示了中央扬声器阵列发声后，声波在 0.4 秒内传播至看台时的总声压分布（以表面可视化形式呈现）。根据阿兹特克体育场的现有实拍照片，场馆顶棚大约悬挂有 30 到 40 个这样的扬声器阵列，看台区域和球场两侧还额外布置有若干扬声器阵列。如果在模型中将所有这些扬声器阵列布置在球场的相应位置，就可以估算低频声波在整个看台区域的衍射效应，以及所有声源叠加后的综合声效。

图 4. 悬挂于球场顶棚的中央扬声器阵列所产生的总声压动画效果图。

在低频范围内，衍射等效应至关重要，如上文所示，采用基于波动的方法能够最好地捕捉这些现象。然而，随着分析频率升高，计算成本也会随之增加，此时的通常做法是切换到射线追踪这类高频声学计算方法。

在 射线声学 接口中，我们可以轻松地定义具有特定空间指向性的声源。这些声源数据可以从外部文件导入，也可以直接在模型中创建。在本示例中，我们直接使用了扬声器和低音炮的三维模型。图 5 展示了阿兹特克体育场扬声器阵列的简化模型，其声辐射方向图已通过 压力声学，边界元 接口（基于边界元法，即 BEM）计算得出。

一张简化扬声器阵列的辐射分布图。灰色扬声器位于中心位置，外围球体上采用彩虹色标展示相对声级。 图 5. 采用边界元法计算得出的阿兹特克体育场简化扬声器阵列在 1000 Hz 的声辐射方向图（气泡图）。请注意，图中显示的声压级为相对值。

图 6 的动画展示了扬声器阵列发出的声线传播过程，声源特性如图 5 所示。该动画仅采用了10,000 条射线进行模拟，但在实际应用中，仿真计算可以轻松引入数量庞大得多的射线，并且仅需数分钟即可求解完模型方程组。

图 6. 扬声器阵列的射线传播。

图 7 和图 8 分别展示了采用单组和两组扬声器时，观众席上方水平面内生成的声压级分布图。从这两幅图中均可以看出，声场不均匀度远大于国际足联设定的 ±3 dB 标准限值。不过，仅仅增设一组扬声器，就能有效扩大声音的覆盖范围。在实际的体育场设计中，通常会部署更多的扬声器阵列，以提升球场中央看台区域的声场覆盖。根据阿兹特克体育场现场球迷拍摄的视频可以推断，悬挂在顶棚上的扬声器阵列中，至少有 4 到 5 组能够覆盖图 7 和图 8 所示的区域。

体育场部分看台上方的平面声压级分布图，图中分贝数值最高区域以红色标注，并标注了单台扬声器的输出数据。 图 7. 位于单个扬声器下方的部分看台区域上方的声压级分布图。

体育场部分看台上方的平面声压级分布图，红色标注分贝值最高区域，同时展示两台扬声器的声输出效果。

图 8. 位于两个扬声器下方的部分看台区域上方的声压级分布图。

利用该模型还可计算脉冲响应、混响时间与语言传输指数。若要评估阿兹特克体育场完整的声学覆盖范围，可在模型内设置全部扬声器组。

美丽足球的“交响乐”

在设计体育场的音响系统时，需要综合运用多种不同类型的模型。在本次示例中，我们采用了时域压力声学模型来分析衍射效应和低频段，以及边界元法模型表征扬声器阵列在较高频率下的声辐射特性，并借助射线声学模型估算高频段的最终声压级。这些模型相辅相成，能够准确呈现公共广播系统的音质全貌。

不过，体育场声学中还有一个因素我们没有纳入考量——那就是球迷的呐喊声，这才是“巨人”真正的声音。

在墨西哥对阵南非的揭幕战中，超过 8 万名观众亲身体验了这如雷霆般的声浪。其中一些人或许体会到了阿根廷歌手 Andrés Calamaro 在歌曲“Estadio Azteca”中所吟唱的那种澎湃心绪。在歌里，他将这座体育场形容为一个将他“击溃”的巨人，这种感觉并非恐惧，而是一种发自内心的敬畏。每一个从小热爱足球的人，在第一次踏入如此宏伟的球场时，都能体会到这种直击心灵的震撼。就我而言，那是儿时牵着父亲的手，走进蒙得维的亚世纪球场（Estadio Centenario）时的感受。

或许，球迷的呐喊声将成为我下一篇博客文章的主题。

只为热爱：致美丽足球

尽管本文展示的模型和仿真技术均代表了前沿水平，但其制作初衷完全是出于兴趣。要对阿兹特克体育场进行专业的声学评估，需要获取远比目前公开资料更为详尽的信息，包括体育场的精确几何结构、音响系统参数、建筑材料、观众分布以及实际运行条件等。

本文的仿真中所使用的扬声器系统，是根据公开的照片、媒体报道以及社交媒体上的相关信息搭建而成。因此，我们不保证该模型能够准确还原 2026 年国际足联世界杯实际安装在阿兹特克体育场的真实音响系统。

此外，本文介绍的研究工作完全由我们独立开展，与国际足联（FIFA）、阿兹特克体育场以及 d&b audiotechnik 均无任何关联，也不存在任何合作关系。

参考文献

  1. A. Peretokin et al., “Acoustics Features of Sports Facilities on the Example of FIFA 2018 Football Stadiums in Russia,” Proc. 23rd Int’l Cong. Acoust., Integ. 4th EAA Euroregio (ICA 2019), pp. 811–818, 2019.

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D&B Audiotechnik 是 D&B Audiotechnik GmbH & Co. KG 的注册商标。

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 //www.denkrieger.com/blogs/the-sound-of-the-giant-modeling-the-acoustics-of-estadio-azteca/feed/ 0 追踪绿茵赛场的精彩表现 //www.denkrieger.com/blogs/tracking-performance-in-the-beautiful-game //www.denkrieger.com/blogs/tracking-performance-in-the-beautiful-game#comments Ed Fontes Thu, 18 Jun 2026 08:27:49 +0000 MEMS & 压电器件 RF 与微波工程 声学与振动 电磁学 结构 & 声学 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=390591 2026 年国际足联世界杯（FIFA World Cup®）官方比赛用球中内置了传感器，可实现运动状态的实时追踪与数据分析。本文将带您了解如何在 {:comsol} 中对此类传感器进行仿真分析。

在 上一篇 关于 2026 年国际足联世界杯（FIFA World Cup®）官方比赛用球——阿迪达斯 Trionda® 的博文中，我探讨了这款足球的空气动力学特性，以及大力踢出“特里维拉”（trivela，即，用脚背外侧踢出的标志性弧线球）时的碰撞动力学。在本篇博文中，让我们将把目光转向内置在足球内部，以及球员穿在球衣内的运动背心中的各类传感器。这些传感系统集成了 MEMS 加速度计、陀螺仪、磁力计、心电电极以及射频通信系统，能够为教练团队和视频助理裁判（VAR）团队提供赛事实时追踪与分析支持。同样的，我还将探讨如何利用 COMSOL Multiphysics® 软件对这些传感设备进行建模与仿真。

Trionda 足球中的传感器

今年 5 月 3 日，曼联坐镇老特拉福德球场（Old Trafford），以 3-2 险胜利物浦。比赛第 14 分钟，本杰明·舍什科（Benjamin Šeško）为曼联打入第二粒进球，将比分扩大为 2-0。但这粒进球引发了巨大争议，因为在球越过门线前，舍什科疑似用手触碰到了球。

然而，由于英超联赛并未使用内置惯性测量单元（IMU）芯片的比赛用球，视频助理裁判花了数分钟反复回看转播画面后，最终判定图像证据不足以形成有效定论，进球有效。

这类情况在 2026 年世界杯上发生的概率要小得多。Trionda 足球内置了一枚 500 Hz 、由 MEMS 加速度计和陀螺仪组成的惯性测量单元（IMU）芯片，即便触球仅仅引起非常微小的加速度和角速度变化，也能被实时捕捉并分析相关数据。

Trionda 足球搭载的传感器在本届世界杯中已然起到了决定性作用。6 月 14 日（墨西哥当地时间）瑞典对阵突尼斯的那场比赛里，马蒂亚斯·斯万贝里（Mattias Svanberg）为瑞典打入的第四球将比分改写为 4 比 1，最初被判因越位而进球无效。当时的情况看上去好像是斯万贝里直接拿到了任意球传球，如果是这样，他确实构成了越位。

然而，足球内置的传感器检测到，在任意球开出到斯万贝里最终完成射门期间，他的队友亚历山大·伊萨克（Alexander Isak）用脚尖轻微触碰到了足球。仅凭摄像机画面几乎无法确认伊萨克是否触球，而传感器却能够精准判定触球瞬间！视频助理裁判由此确认，传给斯万贝里完成射门的传球来自伊萨克，并非直接源于这次任意球。伊萨克触球的那一刻，斯万贝里已不再处于越位位置，因此这粒进球最终判定为有效。

更令人兴奋的是，斯万贝里仅仅在事发前几秒钟才替补登场，而这个进球也是他本场比赛的第一次触球。不得不说，无论是教练的换人时机还是球员的登场时机，都堪称完美！

阿迪达斯 Trionda 足球结构示意图，图中剖切展示了内置传感器芯片及足球局部结构。 利用 COMSOL Multiphysics® 软件绘制的阿迪达斯 Trionda 足球原理示意图，传感器芯片安置在四块表皮面板中的其中一块的内部，其余三块面板则配置配重块，使足球具备力学对称性。

使这种判罚反转成为可能的 Trionda 内置芯片，由阿迪达斯与 KINEXON Sports 公司联合开发。双方并未公开披露研发该芯片所采用的惯性测量单元（IMU）产品型号，然而，诸如 TDK® InvenSense® ICM-20649 和 ICM-45686 等商用设备的公开参数，与专为足球应用设计的 IMU 预期性能高度吻合，这些设备支持高达 ±4000 度/秒（ dps）的角速度和高达 ±32g 的加速度。有趣的是，ICM-20649 的数据手册 中明确将“足球射门（soccer ball kicks）”列为目标应用场景。TDK 的 MEMS MotionTracking® 运动跟踪设备将三个 MEMS 加速度计和三个 MEMS 陀螺仪，搭配信号调理电路、模数转换器、温度传感器及通信接口，全部集成在一个尺寸仅为 2.5×3×0.81 mm 的密封小型封装中。

在 COMSOL Multiphysics 中构建的 MEMS 陀螺仪模型效果图。 MEMS 陀螺仪可等效建模为振动式速率陀螺仪，其中科里奥利力将驱动振动模态与检测模态耦合在一起。尽管 Trionda 足球所用的惯性测量单元的几何结构属于专利技术，无法在仿真中对其进行精确复刻，但基于 COMSOL Multiphysics® 建立的梳齿驱动音叉陀螺仪模型，能够很好地阐释这一物理原理。

除了惯性测量单元，Trionda 足球内部的电子元件还包含一个本地定位发射器（用于向球场内的基站发送时间和位置数据）、一根用于与基站基础设施通信的超宽带（UWB）射频天线，以及一块电池。与惯性测量单元一样，这些射频电子元件和电池同样可以使用 COMSOL Multiphysics® 软件进行仿真分析。

惯性测量单元和定位系统的应用远不止于判断潜在的“手球”情况，比如我前面提到的舍什科进球中球是否被触碰过。它们还可以用来精确判定传球瞬间的触球时刻，从而准确判断接球队员在传球发生瞬间是否处于越位的位置。该系统极高的采样频率能够区分禁区等人员密集区域内连续发生的反弹和变线触球，这在复杂的攻防场景中至关重要。此外，定位系统还能确定足球相对于球门线的精确位置（推测是与图像处理技术结合使用的）。

陀螺仪还可以用来实时测量足球在飞行过程中的角速度和旋转轴，这使得我们能够以前所未有的细节来分析弧线球、马格努斯效应轨迹以及低旋转的“电梯球（knuckleball）”。

如果我们坐在电视机前，也能看到比赛中射门速度最快、弧线最明显的球的统计数据，那就更棒了！

运动背心中的传感器

球员穿在球衣里面的智能运动背心中内置的传感器和电子元件甚至比足球中放置的还要多。足球内部的惯性测量单元专为承受大力射门和高速旋转的球体而设计；相比之下，球员背心中的惯性测量单元则专门针对长时间的运动追踪进行了优化，以更好地感知球员在奔跑和改变方向时的动作，并采集相关数据。

如果你在看比赛时仔细观察，可能会注意到球员后背两块肩胛骨之间的球衣下方有一个小凸起。这个小鼓包就是背心的“数据采集盒（pod）”，大部分传感器和电子元件都集中在这里。唯一放置在模块外部的传感装置是用于测量心率及其变异性的心电电极，它们位于背心的前胸下方。

赛后球员交换球衣时，你经常能看到这种智能背心。

身着运动数据追踪背心的足球运动员 AI 生成效果图 。

背心与收纳盒内部传感器的示意图。实际穿戴背心时，收纳盒藏于衣袋内部，心电电极内嵌在背心面料中，因此无法直接看见（将背心翻面后方可看到）。本示意图由 ChatGPT™ 生成。

除了包含加速度计和陀螺仪、可测量三个方向加速度和角速度的惯性测量单元外，该传感器模块还内置了全球导航卫星系统（GNSS）接收器以及类似足球中使用的本地定位系统。此外，它还包含一个用于测量磁场方向以进行姿态校正的三轴磁力计，以及天线、射频发射器、微控制器、电池和其他各类电子元件。

你可以想象，在如此狭小的空间内塞入这么多电子元件，所需的热管理设计有多么重要。这件背心本身可能就会阻碍球员身体散热，如果模块设计不佳，它甚至可能成为一个令人讨厌的额外热源。

消费电子产品中所采用的电容驱动型表面微加工加速度计模型效果图。 对一款 电容驱动式表面微机械加速度计开展的 COMSOL Multiphysics® 仿真，此类器件普遍应用于消费类产品中。

尽管如此，从背心中提取的数据对于长期提升球员的竞技表现具有重要价值。下方示意图展示了一名虚拟球员背心的数据输出，教练团队不仅可以在比赛中实时查看这些数据，还能在赛后进行深入分析。

例如，如果一名球员的冲刺次数减少、加速度下降，并表现出其他疲劳迹象，教练可能会决定将其换下。赛后，球员和教练可以利用热力图分析这名球员在球场上的跑动轨迹，并据此做出战术调整。

这些数据还可以用来验证和强化行之有效的战术。例如，如果热力图显示一名中场球员在球场的某一侧拥有出色的控球数据，并且从该侧发起的进攻型传中成功率很高，教练可能会决定让该球员在进攻时优先在这一侧活动，而在防守时则更多地回撤到中路。比如，对于一名左脚球员来说，这一侧可能就在左路。

自从引入智能背心以来，其统计数据一直作为球队内部机密，并未在电视转播中公开——这让我感到非常遗憾。有时候，当球员被换下场时，我们能看到他们的总跑动距离，但通常也就仅此而已。而且，足球和背心的传感器数据通常也不会被合并处理。诸如球员触球、预期进球和射门等统计数据，往往是通过图像处理技术独立获取的，处理过程独立于背心和足球传感器输出的相关数据。

想象一下，如果我们能在比赛直播中看到足球和背心的全面统计数据，能够实时可视化球员在比赛中表现最好和最差的环节，而不仅仅是看赛后或中场休息时展示的枯燥表格，那绝对会非常引人入胜。

用于同步运动追踪背心与足球数据的人机交互界面 AI 生成效果图。 展示了球员 “John Doe” 背心采集数据的用户界面示意图。热力图显示，由于该球员的高速防守冲刺次数极少，他应该是一名进攻型中场球员。此外，热力图中进攻方向几乎总是从左向右。本图像由 ChatGPT 生成。

球迷与比赛现场

到目前为止，我已经介绍了足球内部的传感器，以及它们是如何让视频助理裁判（VAR）团队的工作变得更轻松，让观众觉得比赛更加精彩。

尽管这项最新技术正在彻底改变观众的观赛体验，但足球赛事之所以从古至今始终令人热血沸腾、极具观赏性的一大核心要素，那就是现场球迷。体验足球魅力的最佳方式，毫无疑问，永远是亲临球场现场观赛。

2026 年世界杯的部分赛事将在墨西哥城标志性的阿兹特克体育场（Estadio Azteca，官方名称为“Estadio Banorte”）举行。这座球场见证了无数经典瞬间：1970 年世界杯决赛，卡洛斯·阿尔贝托（Carlos Alberto）接贝利传球，用一记势大力沉的右脚怒射破门；1986 年世界杯，迭戈·马拉多纳（Diego Maradona）也在此打进了那粒“世纪进球（Goal of the Century）”。

为迎接世界杯，阿兹特克体育场进行了大规模翻新（并被国际足联临时更名为“墨西哥城体育场”）。场馆进行了多项改造，其中一项重要升级是安装了全新的音响系统，以提升现场观赛体验。为增添趣味性，并帮助大家想象球场内的实际音效，COMSOL 团队对其中一组扬声器阵列的声波传播进行了仿真（见下图）。敬请期待本次世界杯系列博客的第三篇文章，届时我将分享更多仿真结果，带大家一起“聆听”这项美妙运动赛场内的声学魅力。

全新翻新的阿兹特克体育场中，悬挂于屋顶的其中一组扬声器阵列的声波传播仿真。体育场屋顶结构共悬挂了约 70 组分布式扬声器阵列，遍布整个体育场，将各组扬声器阵列所产生的声场进行叠加，即可获得完整的声压分布。

在此之前，让我们继续为喜爱的球队加油，期待这届世界杯成为到目前为止最精彩的一届！

只为热爱：致美丽足球

尽管本文展示的模型和仿真技术均代表了前沿水平，但其制作初衷完全是出于兴趣。严谨的科学研究需要对相关参数展开更为详尽的探讨。例如，必须对阿兹特克体育场的几何结构进行高精度的建模，并将仿真结果与实际测量数据进行对比验证。

谨此声明，本文介绍的研究工作均独立开展，与阿迪达斯、Kinexon 和 TDK 公司没有任何关联，也不存在任何合作关系。

Adidas 和 Trionda 是 adidas AG 的注册商标。

Bluetooth 文字商标是 Bluetooth SIG, Inc. 拥有的注册商标。

ChatGPT 是 OpenAI OpCo, LLC. 的商标。

FIFA World Cup 是国际足球联合会（Federation Internationale de Football Association）的注册商标。

InvenSense 和 MotionTracking 是 InvenSense, Inc. 的注册商标。

Kinexon 是 Kinexon GmbH. 的注册商标。

Nike 是 Nike, Inc. 的注册商标。

TDK 是 TDK Kabushiki Kaisha 的注册商标。

COMSOL AB 及其子公司和产品与上述任何商标所有者均无关联，也未得到其担保、赞助或支持。

 //www.denkrieger.com/blogs/tracking-performance-in-the-beautiful-game/feed/ 3 地下储氢衬砌岩洞的建模仿真 //www.denkrieger.com/blogs/modeling-lined-rock-caverns-for-underground-hydrogen-storage //www.denkrieger.com/blogs/modeling-lined-rock-caverns-for-underground-hydrogen-storage#respond Qinghua Lei Mon, 15 Jun 2026 05:31:11 +0000 多孔介质流动 岩土力学 流体 & 传热 结构 & 声学 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=390751 衬砌岩洞（LRC）可用于储存氢气，但其安全性取决于氢气、岩体与结构衬砌之间的相互作用。阅读文章，了解如何使用仿真分析嵌入裂隙岩体中的 LRC 在氢气循环加压条件下的性能表现。

在本篇博文中，客座作者 Qinghua Lei 探讨了一种用于分析嵌入裂隙岩体中的衬砌岩洞（LRC）在氢气循环加压条件下性能表现的仿真框架。

地下储氢正成为全球能源转型的关键一环。衬砌岩洞（Lined rock caverns ,LRC）提供了一种灵活且不受地域限制的解决方案，但其安全性取决于氢气、结构衬砌与裂隙岩体之间复杂的相互作用。要深入理解这些多物理场耦合效应，离不开先进的数值仿真技术。本文，我们将展示如何利用 COMSOL Multiphysics® 软件对氢气加压过程中 LRC 的力学性能进行仿真分析。

为何使用 COMSOL Multiphysics® 进行 LRC 储氢建模？

对储氢衬砌岩洞进行仿真面临着巨大的计算挑战。该系统涉及多种相互作用的介质（氢气、钢材、钢筋混凝土以及裂隙岩体），每种介质都遵循不同的物理规律。周围岩体中存在大量天然裂隙，会产生显著的几何不连续性和本构非线性，极大地影响系统的整体响应。裂隙岩体的变形与岩洞结构紧密交互，决定应力的重新分布和系统的整体稳定性。在高压氢气环境下，钢衬砌可能会发生氢脆现象，而混凝土衬砌则可能产生裂缝，改变应力的分布，进而影响钢衬砌的变形。这些紧密耦合的过程跨越了多个空间和时间尺度，使得对其进行精准分析成为一个极具挑战性的多物理场问题。

COMSOL Multiphysics® 软件非常适合求解此类多物理场问题，因其具备以下卓越功能：

  • 同步求解完全耦合的多物理场方程，实现力学、水力及传输过程之间的直接交互；
  • 将模型参数定义为其他场变量的函数，实现间接耦合（例如应力相关的材料属性或损伤驱动的刚度演化）；
  • 显式表征岩体中的离散裂隙，并解析复杂裂隙网络中的非线性流体-力学过程；
  • 在统一框架内处理多种相互作用的材料，内置丰富的本构模型库并支持灵活的用户自定义材料公式；
  • 可自定义控制方程和适配各类应用场景的本构模型，支持将氢脆模型等高级公式直接引入分析中。

接下来，我们将介绍在 COMSOL Multiphysics® 中搭建用于 LRC 分析的数值模型的流程，并给出一则仿真示例。

仿真流程概述

使用 COMSOL Multiphysics® 进行仿真时，包含三大核心步骤：

  1. 构建几何模型并划分网格
  2. 定义参数、材料属性、边界条件等
  3. 求解计算

下面我们详细介绍各步骤。

几何模型和网格

首先，采用多尺度建模策略构建模型几何结构。在宏观尺度（图 1a）上，定义了一个二维区域来表示嵌入裂隙岩体中的衬砌岩洞的水平截面。岩洞的几何形状（包括钢衬砌、钢筋混凝土层和周围的喷射混凝土）可以直接在 COMSOL Multiphysics® 中搭建，也可以从 CAD 软件导入。离散裂隙网络在岩体计算域内以线段形式进行几何表征，既可以在 COMSOL® 中生成，也可以借助 MATLAB® 或 CAD 软件等外部工具生成后导出为 DXF™ 格式文件，直接导入 COMSOL®。在微观尺度上，则构建了专门的钢衬砌模型，以解析氢气的扩散和氢脆过程。这两个模型在钢-混凝土界面处通过位移协调条件进行耦合，从而确保结构变形与材料劣化之间能够保持一致的相互作用。

完成几何模型的定义或导入后，宏观区域采用非结构化三角形有限元网格进行离散化，该网格基于 Delaunay 三角剖分生成（图 2）。在岩洞边界附近和裂隙交叉处进行了网格加密，以准确解析应力集中和损伤演化。为了表征天然裂隙，在相邻有限元之间引入了节理单元（joint elements），从而能够对岩体中的非线性裂隙滑移和张开进行显式分析。为了保持计算效率，在宏观模型中，钢衬砌和喷射混凝土层等薄壁结构构件采用界面单元（interface elements）进行建模。然而，在微观模型中，将显式地表征钢衬砌的厚度（图 1b），并使用实体单元进行离散化，以解析氢气在厚度方向上的扩散和氢脆过程。这种多尺度离散化策略使得在高效捕捉全局结构响应的同时，能够在局部解析钢衬砌内部的材料劣化机制。

展示衬砌岩石洞库多尺度模型的模型设计与边界条件的详细示意图。 图 1. 多尺度模型的结构设计与边界条件示意图，包含：(a) 表征位于裂隙岩体中的衬砌岩洞（LRC）的宏观模型；(b) 用于分析钢衬砌在循环内压、边界位移约束作用下响应行为及氢气扩散过程的微观模型。图中标注的尺寸与比例沿用了本团队前期研究采用的模型参数（参考文献 1），此处展示仅为说明建模策略。实际的模型设置可根据具体应用场景与场地条件调整。

通过全景视图与局部放大视图展示衬砌岩石洞库模型在 COMSOL® 软件中的网格离散情况，并附带图例说明图中内容。 图 2. 衬砌岩洞（LRC）模型的网格离散化（参考文献 2）。钢筋混凝土层采用结构化四边形单元进行离散化，而岩石基质采用非结构化三角形单元进行离散化。钢衬砌和喷射混凝土采用线单元进行离散化，裂隙则采用节理单元进行离散化。

接口和耦合

我们使用 COMSOL Multiphysics® 中的 固体力学 接口，模拟裂隙岩体、混凝土衬砌和钢构件在内部氢气加压作用下的变形。岩石基质采用标量损伤公式进行建模，以捕捉裂缝的萌生与扩展；离散裂隙则作为节理单元引入，并赋予非线性法向和剪切本构关系，以表征裂隙的滑移与张开。

钢筋混凝土衬砌采用了 COMSOL® 中内置的 Mazars 损伤模型 进行模拟，该模型能够有效捕捉拉伸开裂和刚度的渐进式退化。钢筋的影响通过提高弹性模量和残余强度参数来体现，这些参数与所采用的混凝土等级保持一致。

在宏观模型中，由于钢衬砌几何形状较薄，因此采用界面单元进行表征。其力学行为遵循带有指数硬化特征的弹塑性本构规律。为了捕捉氢脆效应，我们构建了一个独立的微观模型，使用实体单元显式地表示钢衬砌的厚度。在该模型中，我们利用 COMSOL® 中的 “物理场开发器” 开发了自定义接口，以模拟氢气在衬砌中的扩散，并考虑了其与固体力学的耦合。通过将屈服应力定义为随着氢浓度变化的变量，钢材的力学行为与氢浓度实现了耦合，从而能够分析由氢引起的材料强度退化。

若考虑裂隙岩体中的孔隙压力效应，可使用地下水流模块中的 达西定律 接口，模拟流体在岩石基质和裂隙中的流动。此时可启用 多孔弹性 耦合节点，以实现力学变形与孔隙压力演化之间的直接耦合。在这种情况下，渗透率或裂隙开度等水力属性可被定义为随应力变化的变量，从而实现与我们前期建模框架一致的间接流体-力学耦合。

针对岩石基质、裂隙、混凝土和钢材，我们分别定义了其材料属性和本构方程。直接多物理场耦合可确保变形与氢气传输（以及激活时的孔隙压力）之间的一致性交互；同时，通过将模型参数定义为随应力、损伤或氢浓度等演化场变量变化的函数，可引入额外的间接耦合。在力学边界条件方面，外部岩石边界施加了 原位 应力，岩洞内壁则施加了内部氢气压力。

求解计算

本次分析分为两个阶段进行：第一阶段，采用分级加载方案，使宏观模型在给定的原位应力下达到平衡状态。第二阶段，在岩洞边界施加氢气压力（单调递增或循环加载），以模拟储氢库的实际运行工况。随后，将宏观模型计算得出的位移场施加到微观钢衬砌模型上，并在该模型中以随时间变化的方式（瞬态）求解氢气扩散及与浓度相关的力学退化问题。此外，分析中采用了非线性求解方案，以准确解析裂隙的重新活化、损伤演化以及塑性变形问题。

LRC 仿真示例

我们采用多尺度模型对嵌入裂隙岩体中的衬砌岩洞（LRC）在氢气循环加压下的行为展开模拟（参考文献1）。宏观模型的模拟结果显示，混凝土衬砌呈现出循环径向位移，且混凝土与周围岩体中均出现了渐进式的损伤演化（图 3）。损伤主要集中在受拉区域以及裂隙交叉处附近（参考文献 1-2），这表明岩体中裂隙分布对 LRC 的结构响应具有显著控制作用（图 4）。

微观模型捕捉到了钢衬砌内部的氢气扩散与氢脆现象（图 5）（参考文献 1）。氢浓度从内壁表面开始逐渐升高，并随着加载循环不断演化，导致局部强度发生退化，且该退化与应力集中区域高度相关。这些结果充分证明了在不同尺度下，循环加压、裂隙重新活化、应力重新分布以及氢致损伤之间存在着复杂的耦合作用。

查看衬砌岩石洞室模型混凝土衬砌中径向位移分布和演变的模拟结果，以及混凝土和岩石在一段时间内的损伤发展。 图 3. 仿真结果（参考文献 1）展示了在多次氢气加压循环（循环周期 T0 = 24 h）下：(a) 混凝土衬砌的径向位移分布；以及 (b) 混凝土及周围岩体的损伤演化的分布及发展规律。

图 4. 仿真结果（参考文献 1）展示了在循环氢气加压（循环周期 T0 = 24 h）条件下，LRC 周边的损伤分布以及局部最大主应力分布。

三个不同的模拟结果显示了 LRC 钢衬中氢浓度、最大主应力变化和强度退化的空间分布。 图 5. 仿真结果（参考文献 1）展示了不同加载阶段下钢衬的 (a) 氢浓度空间分布、(b) 最大主应力变化，以及 (c) 强度退化。

此外，该框架已进行了扩展，将裂隙岩体中的流体-力学耦合（参考文献 3）以及岩石随时间变化的蠕变（参考文献 4）纳入其中。通过这些扩展，我们能够评估围岩中的流体压力扩散和黏弹性变形对 LRC 长期性能的影响。

参考文献

  1. C. Zhao et al., “Modelling lined rock caverns subject to hydrogen embrittlement and cyclic pressurisation in fractured rock masses,” International Journal of Hydrogen Energy, 2025; 152: 150027.
  2. C. Zhao, Q. Lei, Z. Zhang, “Impact of fracture networks on the structural deformation of lined rock caverns under high internal gas pressure,” Underground Space, 2025; 21: 252-269.
  3. C. Zhao, Z. Zhang, Q. Lei, “Coupled hydro-mechanical simulation of the interaction between adjacent lined rock caverns subject to internal gas pressurisation,” Geomechanics for Energy and the Environment, vol. 43, 2025: 100701.
  4. C. Zhao et al., “Influence of rock creep on the performance of lined caverns under cyclic pressurization and hydrogen embrittlement,” International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, vol. 199, 2026; 106401.

关于作者

Qinghua Lei 现任瑞典乌普萨拉大学（Uppsala University）副教授。他先后于 2009 年和 2012 年在中国同济大学获得土木工程专业学士和硕士学位，并于 2016 年在英国帝国理工学院获得岩石力学专业博士学位。2016 年至 2018 年，他在帝国理工学院从事流体力学方向博士后研究；随后于 2018 年至 2023 年在瑞士苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）担任工程地质学高级研究员和讲师。他曾荣获 2025 年欧洲研究委员会基金（ERC Consolidator Grant）、2024 年 Chin-Fu Tsang 耦合过程奖（Chin-Fu Tsang Coupled Processes Award）、2019 年罗哈奖（Rocha Medal）、2016 年 NGW 库克博士论文奖（NGW Cook PhD Dissertation Award）以及 2015 年岩石力学研究奖（Rock Mechanics Research Award）。此外，他还是欧洲青年科学院（Young Academy of Europe）院士，其研究方向包括岩石力学、水文地质学、地球物理学、地质灾害以及岩土工程。
 
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 //www.denkrieger.com/blogs/modeling-lined-rock-caverns-for-underground-hydrogen-storage/feed/ 0 解析魅力足球：从球型设计到“特里维拉” //www.denkrieger.com/blogs/modeling-the-beautiful-game-from-ball-design-to-power-trivelas //www.denkrieger.com/blogs/modeling-the-beautiful-game-from-ball-design-to-power-trivelas#respond Ed Fontes Mon, 08 Jun 2026 07:02:03 +0000 流体 & 传热 结构 & 声学 结构力学 结构动力学 计算流体力学 (CFD) https://cn.staging.comsol.com/blogs?p=390371 阅读文章，共同探究 2026 年世界杯官方比赛用球阿迪达斯三重浪（Trionda）足球的构造、空气动力学特性，以及外脚背高弧线射门（Trivelas）这项独特技术。

在往期博客文章中，我曾分享过自己对足球的喜爱，尤其着迷于用脚背外侧踢球这一技巧 —— “特里维拉”（trivela），即贝肯鲍尔式传球。借助马格努斯效应，这种踢法能让足球划出标志性的弧线。内利尼奥（Nelinho）、埃德尔（Éder）、罗伯特·卡洛斯（Roberto Carlos）等球员都曾将这一技术演绎成了一门艺术，这类射门有时也被称作 “外脚背高弧度射门”。此外，我还通过仿真模型探讨过国际足联世界杯（FIFA World Cup®）、欧锦赛（ UEFA® European Championship）等官方比赛用球的设计将会如何影响足球的空气动力学表现。

在本届世界杯开赛前夕，我开始更全面地思考建模与仿真技术在足球赛事中能够发挥的作用。事实上，可以拿来分析的不仅仅是足球的物理特性、脚与皮球的接触过程，甚至包括如今内置在足球内部、以及球员身穿的智能运动背心中的运动传感器，方方面面都可以借助相关仿真技术开展研究。

本篇博客，我将详细介绍 2026 年世界杯官方比赛用球阿迪达斯三重浪（Adidas Trionda®），分析它的空气动力学特性、脚与足球碰撞的动力学原理，并分享几组仿真结果。看完这些内容，相信你们也和我一样，格外期待在本届赛事中欣赏那些精彩的“特里维拉”！

官方比赛用球的空气动力学

自 2010 年南非世界杯启用阿迪达斯 Jabulani®（普天同庆）比赛用球后，围绕世界杯比赛用球的争议基本销声匿迹。相较于 Jabulani，2014 年的 Brazuca®（桑巴荣耀）、2018 年的 Telstar® 18（电视之星 18） 以及 2022 年的 Al Rihla®（旅程），三者的空气动力学特性都更为相近（参考文献 1）。对比一下包括本届 Trionda 在内的近五届世界杯比赛用球的风阻系数，你也许就能明白当年 Jabulani 为何会引发诸多争议。

一张展示五款最新世界杯用球阻力系数曲线的图表，纵轴为阻力系数，横轴为球速。 图 1. 五款最新世界杯用球在风洞中通过实验测得的阻力系数曲线示意图，测试时球体处于两种无旋转姿态中的姿态 A（参见文献 1）。

正如我在之前的博文中提到的，如果你用球鞋外侧（也就是小脚趾那一侧，美国人可能会习惯叫它“cleat”）大力踢出一记强力的外脚背高弧度球（trivela），球会迅速加速，并且其表面的边界层会从层流转捩为湍流。在这种状态下，旋转的足球两侧的分离点会变得更加对称。由于马格努斯效应依赖于气流和边界层分离的不对称性，因此在高速下，旋转对球的影响反而会被削弱。结果就是，尽管球在旋转，它的飞行轨迹却几乎是直线。

随着球速减慢、雷诺数降低，边界层会逐渐从湍流转捩回到层流，分离点也随之发生偏移。此时，由旋转引起的不对称性变得非常明显，球的轨迹开始急剧弯曲。以 Jabulani 足球为例，这种被称为“阻力危机（drag crisis）”的转捩行为发生在相对较高的速度，如图 1 中的绿色曲线所示。这意味着往往在球飞行的后半段才会出现弧线，而且是在较高速度下突然变向，使得守门员极难进行预判。

更难预测的是那些几乎没有旋转的射门：在高速状态下，球会像沙滩排球一样在空中飘忽不定、左右摇摆。2010 年世界杯上，迭戈·弗兰（Diego Forlán）使用 Jabulani 对阵加纳时打进的那粒令人难忘的任意球，就是这种现象的典型代表。

最新款世界杯比赛用球稳定性更佳，即使在较低的速度下也能保持湍流边界层，这种特性将低阻力区域进一步推向了低速区间。因此，新球不会像 Jabulani 那样迅速减速，其飞行轨迹也更加符合预期。从图1中可以看出，Trionda 足球即使在极低的速度下依然能够维持湍流边界层。

在2024年欧洲杯开赛前，我曾写过一篇关于该届赛事官方比赛用球 Fussballliebe®（足球之爱）的博客。人们普遍认为，Fussballliebe 是对 Al Rihla 的改良版，更侧重于提升表面抓地力和飞行的一致性，而不是追求极致的最高球速。在那篇博文中，我分享了将 Fussballliebe 与 Telstar 18 进行对比的仿真结果，结果表明：与 Al Rihla 和 Trionda 一样，Fussballliebe 在相对较低的速度下依然能保持在低阻力的湍流状态。

因此，探究 Trionda 的空气动力学表现，并将其与图 1 中的实验数据以及我们之前对 Telstar 18 和 Fussballliebe 的仿真结果进行对比，将会是一件非常有趣的事情。

在 COMSOL Multiphysics 软件中建立的阿迪达斯 Trionda 足球模型图，图中突出展示了足球沟槽与熔合接缝。 图 2. 使用 COMSOL Multiphysics® 软件构建的阿迪达斯 Trionda 足球模型。

全新阿迪达斯 Trionda 比赛用球

Trionda 仅由四块热熔拼接球皮组成（相比之下，Al Rihla 有 20 块，而 Jabulani 则有 6 块），其接缝总长度约为 2.6 米，相较于 Al Rihla 的 3.5 米和 Fussballliebe 的 4.3 米要短得多。另一方面，备受争议的 Jabulani 接缝长度约为 2.0 米，这或许会让人以为 Trionda 的表现会与它相似。然而，Trionda 采用了更深的凹槽和棱脊纹理，有效地增加了其空气动力学粗糙度。此外，凹槽之间的球面还分布着代表 2026 年世界杯三个主办国的小型凸起图案：代表美国的五角星、代表加拿大的枫叶以及代表墨西哥的金鹰。在表面纹理和抓地力方面，它与 Fussballliebe 非常相似，这也意味着这两款球的空气动力学表现可能十分接近。

这一推断与图 1 中的实验数据相吻合。数据显示，在高速状态下，Trionda 的阻力系数高于往届的世界杯比赛用球。

名字里有什么玄机？ “Trionda” 这个名字致敬了三个东道国。其中， tri– 意为“三”， –onda 意为“波浪”，暗示着能量的浪潮。正如你在图 3 中所见，数字三的元素贯穿了整个设计。每一块拼皮的中心都是一个大致呈三角形的形状——上面压印着一颗波浪形的三星图案；从这个中心向外延伸出三条臂状结构，每条臂上都带有三道压印的阿迪达斯条纹。不仅如此，“特里维拉（trivela）”这项技术在西班牙语和葡萄牙语中也被称为 tres dedos（三根脚趾），指代的正是踢球时用到的外侧三根脚趾。

Trionda 球体四块面板中其中一块的几何结构 图 3. 构成足球的四块拼皮之一，它们将通过热熔拼接工艺组合成一个完整球体。

在我和同事们构建的 Trionda 模型中，我们利用 COMSOL Multiphysics® 软件内置的几何工具，精确地绘制出了接缝和沟槽的形状。相比之下，星形、枫叶形和金鹰形的突起图案被简化处理为了“表面粗糙度”，并没有在纳维-斯托克斯 (RANS) 模型的几何体中被显式地画出来；而在大涡模拟（LES）模型中，这些图案甚至完全没有被纳入考量。

相对球体流速的模型图像，球体位于左侧，其尾流在右侧以蓝色呈现。 图 4. 以等值面形式绘制出相对于球体的流速。

在高速状态下，Trionda 的实测阻力系数高于 Al Rihla，但其“阻力危机”发生的速度要低得多。这意味着在低速状态下，Trionda 的阻力系数显著低于Al Rihla。这与 Fussballliebe 的情况类似，正如我在之前的博客中分享的，Fussballliebe 在低速下的阻力系数也明显低于 Telstar 18。（我们未对 Al Rihla 进行过建模。）

图 4 展示了通过大涡模拟（LES）获取的 Trionda 的速度等值面。可以看到，球体周围的气流分离线出现在垂直赤道下游相对较早的位置，这与 2024 年 Fussballliebe 的仿真结果一致。作为对比，Telstar 18 的仿真结果显示气流分离发生得更晚。图 5a 和 5b 分别展示了 Trionda 和 Fussballliebe 尾部尾流的动画，两者表现出相似的流体行为。使用 LES 计算得出，Trionda 在 20 m/s 时的阻力系数为 0.17，与第二次模拟球体朝向（朝向 B）的实验值（略低于 0.2，参考文献 1）高度吻合。

这个阻力系数略低于 Fussballliebe 的 0.19（基于 LES）。然而，Trionda 的表面突起纹理比 Fussballliebe 更大，因此可能会增加其阻力系数。当我们将表面粗糙度因素考虑在内时，估算出的阻力系数约为 0.22，与采用基于 RANS 模型并计入表面粗糙度时得出的 Fussballliebe 阻力系数（0.21）非常接近。

图 5a 和 5b：Trionda（左）与 Fussballliebe（右）的尾流动画。

在 2024 年欧洲杯上，禁区外远射破门总数达到了 19 球，创下了历史纪录。所有进球中有 16.2% 都来自这种远距离射门，在一定程度上要归功于 Fussballliebe出色的飞行稳定性，以及它在减速至低速时依然保持的低阻力系数。（正如哈里·凯恩（Harry Kane）所说这款球“吃得住脚”。）基于我们的仿真结果，我认为可以满怀期待地展望 2026 年世界杯上出现更多禁区外的精彩远射，如果它们是由强力的外脚背高弧度轰进去的，那就更完美啦！

完美触球

现代比赛用球与 20 世纪 80 年代、90 年代及 21 世纪初所用足球之间的最大区别之一就是表面纹理。传统 32 块拼皮足球的后期版本通常具有相对光滑的表面，而像 Fussballliebe 和 Trionda 这样的现代足球，摸起来明显更粗糙——但也更具弹性。

现代足球采用热熔拼接技术和先进材料，造就了“弹性更好”的足球，使其在受击打后能保留更高的能量。虽然阿迪达斯官方并未公开其足球的恢复系数（CoR，即衡量“弹性”的指标），但基于近期测量数据的估算（参考文献 2）显示，在 1 bar 的内压下，其数值略低于 0.9。这种相对较高的恢复系数，或许就能解释为什么哈里·凯恩会评价 Fussballliebe “吃得住脚”。

现代足球粗糙的表面，也让球员感觉更容易精准击球。但这仅仅是心理作用吗？根据 Ishii 等人（参考文献 3）针对内脚背弧线球进行的建模仿真与实验研究表明，球鞋鞋面与足球之间的摩擦力对球速和旋转的影响其实十分有限。

为了探究 Trionda 的弹性表现以及脚部与足球碰撞时的动力学特征，我们利用 COMSOL Multiphysics® 全新的显式动力学功能构建了一个模型，其中采用了包括拉明·亚马尔（Lamine Yamal）在内的众多顶级球星所穿着的 Adidas® F50 Elite Laceless（无鞋带版）球鞋。这款球鞋能提供极佳的触球反馈，无论是正脚背抽射，还是需要收紧小腿与胫骨肌肉、完全绷紧脚踝的强力外弧线射门，都同样发挥出色。

图 6. 使用阿迪达斯 F50 Elite 无鞋带版球鞋与阿迪达斯 Trionda 足球完成大力外脚背弧线球动作的动画。本次模拟中摩擦系数为 0.5。

图 6 展示了一段动画，模拟了使用完全绷紧的脚踝对阿迪达斯 Trionda 足球踢出强力“特里维拉（trivela）”的过程。可以看到，足球在受到撞击的瞬间发生了明显的形变。这一结果与 Ishii 等人（参考文献 3）的研究结论定性相符，也与 Quintic 咨询公司对欧冠联赛官方比赛用球——阿迪达斯 Finale 系列足球所录制的正脚背抽射的高速摄像结果一致。此外，在动画中还展示了由非对称碰撞所产生的角速度，这正是标志性“弧线球”的明显特征。

充气 1 bar 情况下，计算得出的弹性系数（CoR）为 0.85，这与 Telstar 18 系列足球的数值非常接近（参考文献 2）。2020年欧洲杯所使用的新款比赛用球 Uniforia® Pro，也采用了大体相同的结构设计。

一张模型图像，采用由红至蓝的色阶标注出大力外脚背抽射时Trionda 球的形变情况。 图 7. 摩擦系数为 0.5 时，采用大力外脚背弧线球动作与球面接触 5.5 毫秒后，Trionda 足球的形变状态。

图 7 展示了在 Trionda 足球在被一记势大力沉的射门动作击中 5.5 毫秒后发生的形变。这种恐怖的球速和力量，堪比当年的罗伯特·卡洛斯（ Roberto Carlos），或者费德里科·巴尔韦德（Federico Valverde）等射门极具爆发力、球路极具弧线威胁的现役球星。

图 8. “特里维拉（trivela）“射门场景与图 6 相同，但此处摩擦系数设定为零。

那么，足球与脚部之间的摩擦系数究竟有何影响呢？事实证明，对于“特里维拉“而言，摩擦力至关重要。图 8 中的动画展示了与图 6 完全相同的射门场景，但这次去除了摩擦力。可以明显看到，球从脚上滑脱了，几乎没有产生任何弧线。

与 Ishii 等人（参考文献 3）研究的用内脚背踢出的弧线球不同，外脚背射门涉及一种强烈的非对称“切削”效果——击球时，脚部的发力方向并不会穿过球心。在这种情况下，脚与球之间的摩擦力就变得极为重要。

图 9 展示了在三种不同的摩擦系数下，足球在撞击前、撞击中和撞击后的速度变化。随着摩擦系数的降低，球的出射速度也随之下降：从基准情况下的约 34 m/s，一路降至无摩擦情况下的约 24 m/s。

球体速度曲线图，展示了三种不同摩擦系数对应的变化情况，横轴为时间，纵轴为球体速度。 图 9. 三种不同摩擦系数下的球体速度。

在仿真中，我们假设的是对静止足球的完美击打。但在真实的比赛场景中，足球往往处于运动状态，此时摩擦系数的重要性便更加凸显。这也是为什么现代足球鞋通常会配备经过精心设计的触球区域，以改进脚部与足球之间的接触效果。

展望世界杯

在这篇博文中，我们深入探讨了官方比赛用球的空气动力学原理，以及大力射门时脚与球之间的相互作用。作为对2026年世界杯的预热，这算是一次趣味十足（虽然可能有点“极客”）的知识铺垫。不过，我们的“硬核”探索还未止步于此。

在下一篇博文中，我将聊聊嵌入足球内部和球员球衣里的传感器。此外，我还会分析足球场的声学效果——这是营造赛场狂热氛围的关键所在。

只为热爱：致美丽足球

尽管本文展示的模型和仿真技术均代表了前沿水平，但其制作初衷完全是出于兴趣。严谨的科学研究需要对相关参数展开更为详尽的探讨，且仿真结果还应该通过实验测量进行验证。

谨此声明，本文介绍的研究工作均独立开展，与阿迪达斯公司不存在任何合作关系。

参考文献

  1. J. E. Goff et al., “Trionda: Enhanced Surface Roughness Relative to Previous FIFA World Cup Match Balls,” Applied Sciences, vol.16, no. 6, start p. 2808, 2026; https://doi.org/10.3390/app1606280808.
  2. A. Tunçel, N. Özgören, and S. Aritan, “Comparison of Collision Dynamics of Soccer Balls with Energy Dissipation Method,” Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology, vol. 240, advance online publication 2024; https://doi.org/10.1177/17543371241237589.
  3. H. Ishii, Y. Sakurai, and T. Maruyama, “Effect of Soccer Shoe Upper on Ball Behaviour in Curve Kicks,” Scientific Reports, vol. 4, no. 1, start p. 6067, 2014; https://doi.org/10.1038/srep06067.

Adidas、Al Rihla、Brazuca、 Fussballliebe 和 Trionda 是 adidas AG 的注册商标。 Jabulani 和 Telstar 是 adidas International Marketing B.V. 的注册商标。

FIFA World Cup 是国际足球联合会（Federation Internationale de Football Association）的注册商标。

UEFA 是欧洲足球协会联盟（Union des Associations Européennes de Footbal）的注册商标。

COMSOL AB 及其子公司和产品与上述任何商标所有者均无关联，也未得到其担保、赞助或支持。

 //www.denkrieger.com/blogs/modeling-the-beautiful-game-from-ball-design-to-power-trivelas/feed/ 0 管道超声检测的降阶建模 //www.denkrieger.com/blogs/reduced-order-modeling-of-ultrasonic-pipe-measurements //www.denkrieger.com/blogs/reduced-order-modeling-of-ultrasonic-pipe-measurements#respond Anja Diez Thu, 07 May 2026 01:13:45 +0000 声学与振动 结构 & 声学 结构力学 https://cn.staging.comsol.com/blogs?p=390321 来自挪威科技工业研究院（SINTEF）的客座博主，分享了一种利用二维轴对称对脉冲回波检测进行建模仿真的简化方法，可有效缩短计算耗时。

客座博主 Anja Diez 是挪威科技工业研究院声学小组的研究员，她分享了一种能更高效地对输油管道脉冲回波检测进行建模仿真的方法。 

脉冲回波测量是石油行业用于检测管道后方材料特性的标准技术。测量装置本身并不复杂，但由于超声脉冲频率高，且这类应用的三维建模难度大，仿真建模极具挑战。采用二维轴对称简化模型是一种非常有效的手段，可大幅缩短计算时间，并支持开展参数化研究。本文，我们将介绍如何通过这种简化方法优化管道仿真。

管道中的脉冲回波测量

在石油行业中，超声脉冲回波测量对于获取油管后方材料特性、材料与管道的粘接状态至关重要。典型关注点包括：

  • 管道后方水泥质量
  • 管道后方页岩与管道是否紧密粘结
  • 管道与外部固体材料之间是否存在充液间隙

这些信息在油气生产前、生产中，以及油田封堵废弃阶段都非常关键。

脉冲回波测量通过在管道内部测量，来反推管道外部的材料特性。

从圆形换能器向管壁垂直发射短高斯脉冲（图 1）。信号到达管壁后，一部分反射回流体并返回换能器，另一部分穿过管壁继续向外传播。脉冲会在管壁内部来回反射，每次在内壁反射时，都会有部分能量传回换能器。

这些回波信号由同一个发射换能器接收记录。管壁内信号的衰减强度取决于材料参数，具体为管内介质、管道本身及管外材料的声阻抗。若已知管道与管内介质特性，通过换能器测得的信号衰减速率，即可估算管外材料特性。

管道脉冲回波检测的相关概念。

图 1. 管道脉冲回波检测原理（左）。演示发射信号与反射信号的动画（右）。

对这类管道脉冲回波测量进行建模，难点在于换能器与管道之间的距离、超声脉冲频率高，以及长管道内圆形换能器的三维几何结构。我们围绕换能器对称轴进行了二维轴对称简化，事实证明这对参数化研究极为有效。

借助简化模型，我们显著缩短了计算时间，得以构建包含约 1400 组模拟的数据库，覆盖管道厚度、曲率、材料参数、换能器与管道间距等多种变量。这些仿真数据为脉冲回波方法的进一步研究、灵敏度分析及数据解译改进提供了有力支撑。

COMSOL 模型

要准确建模脉冲回波测量装置，理论上需要三维模型。换能器为圆的，相对 x 轴呈轴对称；管道相对 z 轴呈轴对称（图 1）。因此我们可利用两个对称面，将计算域缩减为 1/4。图 2 展示了采用两个对称面的三维模型在四个时间点的结果。超声脉冲从换能器表面（12 μs）传播到管壁（36 μs），在管壁中激发声波（52 μs），反射脉冲返回换能器并被记录（73 μs）。在 73 μs 时刻的快照中，可看到管壁振动能量在初始脉冲后方传回换能器。计算域外围设置了吸收层，以确保边界处不会产生波反射。xy 平面与 xz 平面为对称面。

管道内脉冲回波装置的三维建模结果，展示了四个不同时间步的计算结果。 图 2. 借助两条对称轴得到的三维建模在四个时间节点的结果。

图 2 所示的模型采用了工业应用中常用的标准管道与换能器几何参数，具体如下：

管道尺寸及材料参数
  • 管道外径：9.625 英寸
  • 管道厚度：13 mm
  • 材料： AISI 4340 钢，声阻抗 45.5 MRayl
管道内介质
  • 油基泥浆，声阻抗 1.5 MRayl
换能器参数
  • 焦距：20 cm
  • 换能器直径：25 mm
高斯脉冲
  • 频率： 250 kHz
  • 脉冲带宽：0.7
换能器距离
  • 换能器距离管道： 45 mm

该瞬态分析步的计算时长设为 0 到140 微秒，以保证超声脉冲能够传播至管道并返回，同时也可采集到管道大部分的混响信号。

时域显式求解域的使用

管道内通常充满流体，本研究采用油基泥浆，纵波声速为 1301 m/s。管道为钢材，纵波声速 5800 m/s。网格单元尺寸按以下公式计算：

h_{el}=v/f_{max}/1.5

 

其中 为单元尺寸， 为材料声速，为­­­­­­最高频率。由于钢材与油基泥浆的声速差异巨大，两者所需网格尺寸相差悬殊。图 3 展示了二维平面的网格尺寸。最高效的建模方式是采用时域显式求解。通过将对应接触面设置为一致对，并借助 对，声-结构边界 多物理场耦合节点，实现充液管道的声学域与管道及其周边介质的弹性波域之间的耦合。

计算域外围设置了两类吸收层，分别对应声学域与弹性波域，以避免计算域边界发生反射。

几何结构降维

若要开展包含上百种变化的参数化研究，使用耗时短的模型进行计算至关重要。在我们的设备上，单个三维模型计算耗时超过 7 小时，显然无法支撑批量参数扫描。因此，我们尝试探索简化模型几何结构的可行方案。

缩短计算时长最常见的方法是将三维仿真转为二维仿真。截取 xy 平面的截面，并利用管道的镜像对称，可大幅简化模型。这种二维结构假设在第三个维度上无限延伸，因此可以准确还原管道形态。但是相应地，声源在第三个维度上也会被视为无限延伸，导致建模出现偏差。针对该测量结构，二维仿真与三维仿真的结果由此产生明显差异（参考文献 1）。

另一种降低几何维度的方式是采用二维轴对称模型。如前文所述，换能器相对 x 轴对称，管道相对 z 轴对称（图 1）。本文选用轴对称模型，并将对称轴与换能器对称轴保持一致（图 3），从而准确构建圆形换能器的几何模型。若继续选取 xy 平面对二维轴对称区域进行建模，便可还原管道的曲面形态。而基于 x 轴设置对称条件后，即假定管道曲面为轴对称结构，因此管道被等效建模为球壳的一部分（图 4）。

采用显式时间步算法对脉冲回波装置的二维轴对称模型开展研究。 图 3. 对二维轴对称模型进行建模和划分网格。本模型采用时间显式求解，声学域与固体域通过一致对相互耦合。

图 4 展示了二维轴对称模型的波传播结果。本次建模基于图 3 所示的计算域展开，图 4 中的结果是通过旋转延伸绘制而成。所展示的四个时间点下的结果与三维模型保持一致。图 5 绘制了二维轴对称模型和三维模型中换能器表面积分得到的测量信号。（关于三维模型、二维模型与二维轴对称模型的对比分析，以及选用二维轴对称模型的依据，详见参考文献 1）。

在旋转几何体中设置的二维轴对称模型在四个时间步下的计算结果。 图 4. 旋转几何模型下四个时间点的二维轴对称模拟结果，模拟区域外围设置了吸收层。

搭建数据库

二维轴对称模型的求解时长约为 13 分钟，相较于三维模型数小时的计算时间，计算速度大幅提升。这使得我们能够建立包含数百种模型变化的数据库（参考文献 2）。除几何结构的改动外，我们还在管道外壁与外围固体材料之间设置了厚度介于 10 至 1000 微米的充液环形间隙。该操作依托时间显式算法的优势实现，并添加 对，声–结构边界 多物理场耦合节点，实现流体域与固体域之间的过渡处理。针对每一个完成计算的模型，我们提取换能器处的压力数据，并在换能器表面进行积分运算，最终得到脉冲回波仿真的检测信号结果，以供后续分析与研究（图 5）。

以 X 轴为时间、Z 轴为归一化幅值，绘制传感器表面压力随时间变化的模型计算结果。三维结果曲线采用蓝色绘制，二维结果曲线采用橙色绘制，二者拟合度近乎一致。 图 5.  换能器表面压力的 COMSOL 仿真结果。

为简化所有模型的计算工作，我们使用了 LiveLink™ for MATLAB®。借助这一工具，能够将 COMSOL Multiphysics® 与 MATLAB® 联用，自动调控所有目标参数进行计算，并导出换能器表面的压力数据。随后，我们将输入信息以及换能器表面的平均压力数据写入 JSON 文件。这些数据共同构成数据库，可用于后续分析工作。

访问数据与模型

想要深入探究本文所介绍的模型，可通过下方模型交流平台的入口进行下载：脉冲回波超声数据建模。

本项目产生的数据，以及二维轴对称和三维 COMSOL® 模型（6.2 版本），均可在 Mendeley data 平台获取（DOI:10.17632/3bs65nzpv2.1）。

参考文献

  1. A. Diez, T.F. Johansen, E.M. Viggen, “From 3D to 1D: Effective numerical modelling of pulse-echo measurements in pipes,” Proc. 46th Scandinavian Symposium on Physical Acoustics, pp. 1–23, 2023; ISBN 978-82-8123-023-1.
  2. A. Diez, E.M. Viggen, T.F. Johansen, “Ultrasonic pulse-echo dataset from numerical modelling for oil and gas well integrity investigations,” Sci Data 12, 544, 2025; https://doi.org/10.1038/s41597-025-04851-x

致谢

本研究由创新超声解决方案研究中心（Centre for Innovative Ultrasound Solutions）委托 A. Diez, T.F. Johansen （挪威科技工业研究院，SINTEF）和 E.M. Viggen （挪威科技大学）合作完成。该中心由挪威 Research Council 资助，项目编号 237887。

关于作者

Anja Diez 是挪威科技工业研究院（SINTEF）声学研究组的研究员，拥有地球物理学专业背景。在职业生涯初期，她依托地震波勘探与探地雷达技术，对南极及斯瓦尔巴群岛的冰盖开展勘测工作，以测定冰川底部的冰层物性与环境状态。近年来，她将工作重心转向了工业应用与无损检测相关的声学项目，将信号处理、数据分析与 COMSOL® 建模仿真相结合，针对流体与固体内部的波传播问题展开研究。

 //www.denkrieger.com/blogs/reduced-order-modeling-of-ultrasonic-pipe-measurements/feed/ 0 液滴内声表面波诱导声流的建模仿真 //www.denkrieger.com/blogs/modeling-surface-acoustic-wave-induced-streaming-in-a-droplet //www.denkrieger.com/blogs/modeling-surface-acoustic-wave-induced-streaming-in-a-droplet#respond Tsukasa Kawamura Fri, 10 Apr 2026 02:19:54 +0000 声学与振动 结构 & 声学 https://cn.staging.comsol.com/blogs?p=389731 声表面波（SAW）能够在液滴内部产生声流，从而实现非接触式混合。阅读文章，了解该过程的仿真方法。

声表面波能够在液滴内部产生声流，从而实现非接触式混合——这是微流控领域一项非常实用的应用。由于液滴声流涉及多个物理场，数值研究通常会做一些假设，仅捕捉该现象的部分特征。在本文中，我们将使用 COMSOL Multiphysics® 软件，从施加的电势开始，一直到声流的产生，对整个过程进行建模仿真，从而完整地呈现这一物理过程。

利用声表面波驱动声流

当在压电材料表面施加交流电压时，会产生由电场决定的应变，进而使波开始在表面传播。这些波被称为声表面波（SAW），可依据材料相对于传播方向和法向的变形方式进行分类，主要有两种类型：瑞利波（Rayleigh waves）和勒夫波（Love waves）。本文将重点关注瑞利波，它会使材料表面产生法向变形。为了在基底上产生声表面波，通常会使用一组梳状电极，即叉指换能器（IDT），来施加交变电势。叉指换能器既能产生也能接收声表面波。当其作为电子元件中的滤波器使用时，会在产生的声表面波传播路径上再放置一组电极。接收端叉指换能器的两个电极会根据基底所受的应变产生不同的电势，从而可以确定振荡信息。

我们不在表面放置第二个叉指换能器作为接收器，而是在声表面波的传播路径上放置一个液滴。液滴会与声表面波相互作用并吸收其能量。声表面波在液滴下方传播时会发生衰减，这种行为被称为“泄漏型声表面波”。能量以体波的形式辐射到液滴中，入射角被称为瑞利角。入射波在液滴的自由表面发生反射，同时因黏性耗散而不断损失能量，最终形成一种稳定的循环流动分量，即声流。我们可以仅通过振荡来诱导稳定流动。这一现象在微流控领域起着重要作用——无需在流体中物理放入搅拌物即可增强液滴内部的混合。这种方法是非侵入式的。由此产生的声流在液滴内部可能具有不同的循环模式，具体取决于波的能量、系统的尺寸、液滴的材料属性等因素。

展示压电材料表面叉指换能器、声表面波从叉指换能器传出并传播至液滴处的示意图。 声表面波诱导流动示意图。声表面波（蓝色波浪线）从叉指换能器发出。当其到达液滴时，能量传递至液滴内部（黄色实心箭头），最终形成流动现象（黄色虚线箭头）。

截至目前我们可以发现，液滴声流涉及多个物理场。由于其复杂性，人们通常会将该过程分解为几个步骤，从而对这些影响因素分别进行建模。需要注意的是，在当前条件下，液滴声场的分析会占用大量内存，而其他场的分析通常不会。我们将使用 COMSOL Multiphysics® 来处理这种复杂性，并创建一个涵盖系统中能量传递全过程的模型。在该模型中，液滴的润湿直径约为 2 毫米，与固体表面的接触角为 78°。声表面波（SAW）器件的激励频率为 20.37 MHz。假设液滴为甘油-水混合物，压电晶体的材料属性则取自“压电材料库”中的铌酸锂材料。作为参考，相关数值和设置均参照如下论文中的取值：On the Influence of Viscosity and Caustics on Acoustic Streaming in Sessile Droplets: An Experimental and a Numerical Study with a Cost-Effective Method”（参考文献 1）。

二维构型中的声流模型设置

首先，我们将查看模型在二维情况下的呈现形式。我们知道，由于液滴呈半球形，声流具有三维结构，但创建一个二维模型始终是一个很好的起点，借此可以验证必要的设置和物理场是否完备，并确认我们希望模拟的现象在二维假设下是否会出现。对于二维模拟，我们将使用与上图示意图相同的切平面。我们将使用 静电、固体力学、压力声学 和 蠕动流 物理场接口来激发表面声波，并使用 声流域耦合 多物理场接口来捕捉声流现象。鉴于振荡和声流之间的时间尺度差异较大，仿真将分两步进行：频域 研究和 稳态 研究。

在压电分析中，我们需要关注压电材料的晶体切割方向。本模型使用 128° YX 切型铌酸锂（LiNbO3）作为基地，因此需要在材料属性中体现该旋转角度。 COMSOL Multiphysics® 的功能使我们能够通过定义坐标系，例如使用 旋转系统 功能，并在 固体力学 接口的 压电材料 节点中指定该坐标系，来考虑晶体切割的角度。我们在案例库中有一个条目对坐标设置进行了解释：SAW 模型中的欧拉角旋转。请注意，在案例库的模型中，二维组件（XY 矢状面）与三维组件（XZ 矢状面）的角度设置有所不同。在下文中，我们将创建一个以 XZ 平面为矢状面的三维模型。

二维模型旋转系统功能的设置界面截图。 二维模型中 旋转坐标系 功能的设置。在三维模型中， β 的取值设定为 -38°。

我们还需要确保在 压力声学 节点中考虑合适的损耗机制。在当前设置下，驱动液滴内部流动的主要是 Eckart 声流。因此，需要对声波的体衰减进行建模以捕捉这一效应。压力声学 节点中的 流体模型 用于指定声波将经历何种类型的衰减，此处我们直接选择 黏性。若保持默认选中的 线弹性选项，计算结果中将不会看到任何声流现象。

最后需要检查的一点是 稳态 求解步骤中对于 不求解变量的值 的设置。在流动分析中，声流场耦合 功能会将 频域 研究与 稳态 研究进行耦合。当该耦合功能在 稳态 研究中被激活时，它会调用 频域 研究中求解得到的变量，以计算对流动产生作用的各项。由于我们使用了多个研究节点，耦合功能无法确定哪个解包含所需的频域数据，因此需要在该求解步的设置中进行指定。

现在，我们依次运行频域 和 稳态研究。计算结果应呈现出与下图类似的分布形态。叉指换能器（IDT）置于液滴左侧，位于图像视野之外。压电材料上会产生声表面波并向右传播。借助搭载 动态数据扩展 功能的 动画工具，可更清晰地查看波的传播方向。当表面波行进至接触区域一半以上的位置后，波形几乎变得不可见。与之相对，液滴中的体波则朝右上方向传播，进而形成复杂的压力分布场。不出所料，稳态计算结果也证实了环流流场的存在。整个计算域内形成一个大型涡旋，但需注意这一现象可能仅为二维模型特有。在二维构型下，我们无法模拟旋转轴不垂直于屏幕的涡旋结构。不过，我们已成功搭建出能够产生预期声流效应的声表面波模型，这是一个不错的开端。接下来，我们转向三维模型的研究。

压电基底上方半球形液滴模型，用于演示应力分布与声压分布。
压电基底上方半球形液滴模型，展示基底位移与速度分布情况。

二维模型计算结果。左图为基底应力与液滴内声压；右图为基底位移与液滴内流动速度分布。

解决三维构型下的内存问题

尽管建模维度从二维变为三维存在差异，但仿真的原理不变。我们采用相同的接口与相同的多物理场耦合设置。与二维模型相比，唯一的区别在于对计算资源的需求。三维模型的几何尺寸远大于波长，极有可能面临内存不足的问题。我们不仅会遇到计算耗时更长的情况，还需要降低内存消耗，使模型能够适配计算机的内存容量。

首先，我们可以在不对结果产生显著影响的前提下对几何结构进行一定程度的简化。在三维模型中，叉指换能器被建模为多组平行布置的简易矩形二维终端。此外，通过中平面将液滴与基底对半分割，以此将自由度数减半。对压电材料的横向方向采用周期性边界条件，而对液滴施加对称边界条件。这一处理方式在物理层面上是较为合理的近似，尤其当我们关注液滴内部流场时效果更佳。若模型表现出对横向长度的强依赖性，则需要扩大基底的计算域的范围。

其次，考虑到液滴与基底中捕捉波动所需的分辨率水平不同，我们将对二者采用不同的网格类型及网格尺寸。这一目标通过在几何序列中使用 形成装配 法而非 形成联合体 法来实现。该功能可使模型在一个组件中包含多个几何对象，对每个对象单独划分网格，并通过所谓的 配对 功能对非共形网格进行耦合处理。请记得在适用场景下使用 并集 运算操作，以便使软件能够识别部分几何实例归属于同一对象。属于同一对象的区域将生成匹配网格，彼此之间无需使用配对特征。

三维模型中对液滴边缘处灰色非共形网格的放大视图。 液滴前缘附近非共形网格的放大视图。

最后，我们需要在频域研究中采用迭代求解器以降低内存占用。在 声学模块用户指南文档 中的 Solving Large Acoustics Problems Using Iterative Solvers 章节，提供了针对声学问题设置迭代求解器的通用指导原则。在本模型中， 静电 与 固体力学 接口的自由度数量远小于 压力声学 接口，直接求解器能够很好地求解电势与固体位移场。因此，我们启用混合预处理器，并对 静电 和 固体力学 接口的因变量采用 直接预条件器。借助该功能，我们可以对小型场域使用直接求解器，同时对其他大型场域采用高效求解器。若模型不含压电域，我们还可使用分离式求解器来进一步降低内存占用。但正如 声学模块用户指南文档 中 Solving Large Acoustic–Structure Interaction Models 章节所述，含压电效应的声-结构耦合模型需使用 全耦合 求解器，因此线性求解器是我们唯一可调整的部分。方程中的声学部分采用移位拉普拉斯方法，将其作为多重网格预处理器的一种高效形式。

三维模型中直接预条件器设置窗口的截图。 三维模型中 直接预条件器 的 设置 窗口。请注意，通过在混合设置区域选择 多重预条件器 可启用混合功能。

目前，在我们的环境中，频域 研究需占用 130GB 内存，耗时约 1 小时 10 分钟可完成求解。不过，完成运行研究后，仍有一点需要注意：渲染操作。在大型模型中，渲染计算结果可能会耗费大量时间。为简化大型模型的处理工作，建议在 结果 节点的 设置 窗口中勾选 仅当请求时绘制 复选框。

下方结果清晰地展现了三维几何结构的影响。相较于二维的计算结果，此处中间截面的压力分布峰值更为突出。此外，尽管单张图片较难分辨，但在液滴前缘附近形成了一个小型涡旋，其余区域则被一个大型涡旋占据。上述现象与参考文献中的结论高度吻合，该文献通过将计算分解为二维子问题的方式开展了三维仿真。在本模型中，我们采用了较为简洁直接的方法，因此只需对参数设置稍作调整，即可完成多物理场建模。采用非共形网格与迭代求解器的方案，同样适用于复杂 MEMS 器件等其他大型问题的求解。

用于呈现基底表面应力以及透明半球形液滴声压的三维模型。
用于展示透明半球形液滴基底流动与位移流线的三维模型。

基于三维模型计算得到的结果。左图为基底表面的应力及液滴内的声压；右图为由速度大小着色的流动流线。

亲自动手尝试

在本篇博文中，我们探讨了利用二维与三维模型对液滴内的流动现象进行建模的复杂性，以及其中涉及的多物理场问题。我们观察到即便采用求解速度较快的二维模型，物理场界面之间依然存在相互作用。将二维模型拓展至三维模型有时颇具挑战性，往往需要通过反复试错来确定适用于各模型的参数配置。我们希望本文所采用的仿真思路能为您解决多物理场相关问题提供参考。相关模型可通过以下链接获取：

如上所述，压电材料常被用于激发声表面波，但其性能参数的定义在坐标系选取方面需要特别注意。此外，叉指换能器（IDT）的设计与待激发的波速密切相关，因此确认声表面波是否按预期产生也十分重要。在构建复杂模型之前，下述模型可作为测试声表面波装置的有效参考依据：

这篇博文并未提及流动流体中的颗粒运动。若要对颗粒运动这类对象的声学操控进行建模，可能还需要考虑施加在颗粒上的声辐射力。 流体流动颗粒追踪接口在 声泳辐射力节点中包含了该功能，可与 曳力 节点配合使用。这种组合使用方式能够同时考虑由稳态流动分量所产生的作用力。以下模型可作为此类应用的建模起点：

参考文献

  1. A. Riaud et al., “On the Influence of Viscosity and Caustics on Acoustic Streaming in Sessile Droplets: An Experimental and a Numerical Study with a Cost-Effective Method,” Journal of Fluid Mechanics, vol. 821, pp. 384–420, 2017. DOI: https://doi.org/10.1017/jfm.2017.178
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