当你在线上会议上发表演讲时、对智能设备说出语音命令时，或者在电话中交谈时，你的声音很有可能是通过 MEMS 技术被接收的。因此这种固态半导体技术经常被用于制造能产生高品质音效的现代微型扬声器。这篇博客，我们将探讨 MEMS技术为麦克风带来的好处，制造 MEMS 麦克风所面临的挑战，以及如何借助仿真来提高这类麦克风设计过程的效率。此外，我们还将讨论由 MEMS 技术驱动的现代微型扬声器的最新进展。
MEMS 技术的现状
在麦克风中使用MEMS 技术可以提高信噪比（SNR），即所需音频信号与背景噪声之间的比值。由于 MEMS 体积小，因此在笔记本电脑或手机等设备上添加多个麦克风成为可能。由于能够提供高信噪比，加上体积小所带来的优势，MEMS 设备具有滤波和主动降噪（ANC）功能。这使得 MEMS 麦克风能够拾取清晰的语音信号，并过滤掉来自外界的嘈杂环境。此外，MEMS 麦克风的硅结构使其很容易集到成数字产品中、抗技术振动而且批量生产的成本低。
图1 一个 MEMS 麦克风模型。
由于 MEMS 技术所具有的这些优点，因此它越来越多地被应用在智能家居设备、手机、平板电脑、台式机和笔记本电脑，以及助听器等消费类产品的麦克风中。近年来，随着居家办公场景的增多，对 MEMS 麦克风的需求也在增加。
MEMS 麦克风仿真
有了仿真软件，工程师就可以精确模拟这些器件，放大不同的关注区域，也更容易深入探究这种微小尺度技术。对于小尺度（通常是亚毫米尺度）的MEMS麦克风，热边界层和黏性边界层的影响非常重要。边界层对系统中的摩擦损耗和热损耗都有影响，会抑制声学响应。要获得 MEMS 麦克风的正确声学响应，必须将黏性和热效应考虑在内。
随着制造技术的不断进步，制造越来越小的设备成为可能。然而，较小的尺寸会导致较高的克努森数，从而使非连续效应变得非常重要。通过仿真，工程师可以测试多个变量。例如，在 COMSOL 案例库中的 MEMS 麦克风模型中，您可以使用边界条件来考虑 MEMS 麦克风中高克努森数的影响。
麦克风由一个微型穿孔板 (MPP)、一个振膜和一个封闭背腔组成。振膜表面采用了滑移条件，因此壁面的切向速度取决于边界处的流体应力。这会在固体和流体的速度之间产生不连续性。
图 2 由微型穿孔板和振膜组成的 MEMS 麦克风。
接下来，我们将简要介绍该模型的一些模拟结果。您可以在文末下载这个模型模拟的详细分步说明。
结果探讨
在研究的一开始，电场会对振膜施加预应力，使它产生静态变形，就像拉紧吉他弦一样。然后向微型穿孔板上表面施加压力，使振膜振动，并在二者之间的空间产生电信号，如图 3 所示。
图3 在 20 kHz 下所有域的声压。
如图 4 所示，对声速的研究表明，黏滞阻尼区域是通过微型穿孔板上的孔，以及微型穿孔板和振膜之间的挤压流动产生的。
图 4 声速结果。
最后，模型分析了 MEMS 麦克风在 200 Hz 到 20 kHz 的频率响应。较低的频率下显示出下降，由于耦合电路的原因，响应曲线不再平坦。而在较高的频率下，响应则有所下降。由于模型的长度尺度较小，机械共振位于较高频率处，因此频谱在音频范围内接近平坦。
图 5 频率响应。
MEMS 麦克风在日常电子设备中很常见，在仿真的帮助下，其性能不断提升。接下来，我们将探讨 MEMS 技术的一种新应用，其设计过程也能受益于仿真技术。
新的轨迹
MEMS麦克风的优点同样适用于MEMS扬声器，但直到现在这种扬声器技术还没有商业化。跟被发明时的机械系统一样，扬声器技术由磁体、线圈和振膜组成。几十年来，这一系统不断得到改进，但大多数扬声器都会遇到相似的设计难题，尤其是在耳机方面。磁体和线圈系统很容易出现相位不一致的情况，导致每只耳朵听到的声音不同。振膜本身通常不够坚硬，无法在高频时保持活塞式运动：振膜在响应磁体推动时可能会发生翘曲，这就有可能使一些声音变得浑浊。
图 6 采用 MEMS驱动器的耳机。
幸运的是， MEMS 技术为这些问题提供了解决方案。由于采用了固态半导体结构，MEMS 扬声器去除了磁体，因此质量更轻、体积更小且音量更均匀，从而消除了相位偏差。硅振膜更加坚硬，在抽气时系统可保持线性，因此声音能保持清晰、无杂音。此外，与磁体和线圈扬声器相比，MEMS 扬声器的驱动速度更快，这意味着它们能更快地启动和结束声音，从而能更清晰地分离不同的声音。最近，一系列配备 MEMS 驱动器的无线耳机的发布标志着人类首次将 MEMS 技术应用到扬声器系统中。
MEMS 的未来
随着MEMS技术的应用，麦克风和扬声器的性能正在迅速提升。大多数麦克风已经采用了 MEMS 技术，能够解析出音频信号中越来越小的细微差别，耳机中也很可能会采用 MEMS 技术，以播放最高品质的录音。为了帮助这些领域创新，仿真技术提供了一种深入观察微型设计的方法，还能在制作物理原型之前对设计进行精确模拟和优化。
MEM为推动音频制造进步打开了许多新的通道。因此，当您下一次听音乐或进行视频通话时，可以花点时间想一想您的微型扬声器或麦克风里装的是什么，因为它可能就是 MEMS 技术！
下一步
想尝试模拟 MEMS 麦克风模型吗？COMSOL 案例库中提供了相关 MPH 文件和分步说明，欢迎下载:
扩展阅读
- 阅读以下资源，了解有关 MEMS 麦克风和扬声器技术的更多信息：
- 了解有关扬声器和声学仿真的更多信息，请访问 COMSOL 博客：
快速傅里叶变换 (FFT) 是一种有用并且强大的数值方法。COMSOL Multiphysics ® 软件最新 6.0 版本增加了与此方法有关的一项新功能：空间 FFT 特征。在这篇博客中，我们将讨论如何将这一新功能用于光学应用，并展示了一些应用案例。
术语和定义
首先，我们来明确一些术语和定义。需要区分三个术语：傅里叶变换 (FT)、离散傅里叶变换 (DFT) 和快速傅里叶变换。函数 
的傅里叶变换由下式定义
式中，
和 
分别是物理空间和傅里叶空间中的变量。当物理空间变量为时间 
时，变量 称为频率。在光学中， 被称为空间频率，通常与波长和焦距成比例(我们将在后面讨论)，而 是用于描述感兴趣的光学结构附近位置的物理空间坐标。
在之前的博客：如何在 COMSOL Multiphysics 中实现傅里叶变换和如何由计算解实现傅里叶变换中，我们讨论了如何在 COMSOL® 中进行傅里叶变换。我们可以使用一种数值方法，即通过基于辛普森法则的直接数值积分来进行傅里叶变换公式。在这篇博客的稍后部分，我们将其称为“通过数值积分进行的傅里叶变换”。
离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散形式，是对一组离散的点进行运算。它在 COMSOL ® 中定义为
快速傅里叶变换是计算 DFT 的一种有效算法。
请注意，傅里叶变换和离散傅里叶变换的定义是最通用的定义，但符号约定与 COMSOL 的波动方程符号约定 不一致，即
。当使用这些符号定义弗劳恩霍夫和菲涅耳衍射公式时，请注意不要弄错。符号不一致性不影响稳态解。
如何使用空间 FFT 特征
接下来，我们将演示如何在光学应用中使用新的 COMSOL® 空间 FFT 特征。可以通过步骤 1 和 2 分别设置和实现 FFT 特征：
- 步骤1：准备数据集
- 右键单击数据集 → 更多数据集 添加空间 FFT 数据集(定义傅里叶空间)
- 选择合适的源数据集作为物理空间，然后进行变换
- 将空间分辨率 设置为手动
- 将采样分辨率 设置为适当的数字
- 从空间布局 中选择使用补零，并将 x 填充 设置为适当的数字
- 在傅里叶空间变量 中选择频率
- 取消勾选屏蔽 DC
- 步骤2：使用
fft()算子绘图- 在绘图设置中调整 x 轴数据的空间频率比例
矩形函数示例
矩形函数是光学应用中最常用的函数之一，因为它代表了一个硬边光阑。当存在硬边光阑时，总是涉及矩形函数的傅里叶变换。矩形函数的傅里叶变换可以很容易地通过手动计算，如下所示：
\begin{cases}
0 & |x|>a/2 \\
1 & |x|\le a/2
\end{cases}
式中，
代表傅里叶变换算子，
是一个常数，
是 sinc 函数。
让我们看看如何在 COMSOL® 中使用新的空间 FFT 特征计算此傅里叶变换。
矩形函数(左)及其傅里叶变换(右)的数据集设置示例。
矩形函数是定义 >函数 下的内置函数。点击创建绘图 按钮，会在结果下的数据库 节点为该函数自动创建一个新数据集。 默认情况下，范围和分辨率也是自动设置的。在进行快速傅里叶变换时，自己控制这些参数很重要。傅里叶空间分辨率由物理空间范围的倒数和物理空间数据的零填充确定。傅里叶空间范围由物理空间范围和傅里叶空间采样数决定。快速傅里叶变换结果的大小因物理空间范围和傅里叶空间采样数而异。下表是快速傅里叶变换参数表达式的汇总，包括与上图中显示的快速傅里叶变换设置对应的参数值。
| 参数 | 表达式 | 示例值 |
|---|---|---|
| 实际上的总范围 |  | 2 |
| 傅里叶空间采样数 |  | 16 |
| 补零 |  | 8 |
| 傅里叶空间总范围 |  | 8 |
| 傅里叶空间分辨率 |  | 1/4 |
| 傅里叶变换归一化因子 |  | 1/8 |
进行上述设置后，矩形函数 rect1(x) 如下图所示，其傅里叶变换的绝对值 abs(fft(rect1(x)) 由 FFT 特征计算。傅里叶空间总范围是 = 16/2 = 8，即从 -4 到 4。可以看到傅里叶空间的采样点总数为 
= 32。
为什么是 
? 因为在补零中， 零被添加到物理空间数据的两侧。傅里叶空间分辨率为 8/32 = 0.25。在没有归一化的情况下，快速傅里叶变换运算结果因子为 。所以，我们需要将结果乘以 获得一个单位峰值。稍后，我们将对各种公式进行快速傅里叶变换，每个公式都有不同的乘法常数。因此，我们必须将快速傅里叶变换结果归一化。
矩形函数 = 1 及其傅里叶变换的绝对值，由快速傅里叶变换和上述设置确定。
在这个示例中，我们有意将采样数设置为较低的数字，以便可以参考前面的公式。不过，仍然可以看到傅里叶变换，
是用一个较好的近似值计算的。使用更加合适的参数，例如 = 3, = 128， = 512，我们可以得到以下理想的结果。将数值积分的傅里叶变换结果叠加以进行比较。当然，这两种方法的结果应该一致！
=1 时，由高分辨率的快速傅里叶变换确定的矩形函数的傅里叶变换绝对值和由数值积分确定的傅里叶变换绝对值的对比
在光学应用中进行傅里叶变换
现在，我们已经学习了如何为矩形函数(一维解析函数)设置和使用空间 FFT 特征。接下来，我们来看如何在一些实际光学应用示例中使用此特征。
在光学领域，将光电场的时间信号与其光谱(频率或波长)相关联的时频傅里叶变换可能更为大家所熟知。空间傅里叶变换用于从一个平面传播到另一个平面的电场的各种传播(变换)方法。在这个例子中，空间傅里叶变换将一个平面中电场的空间形状与另一个平面中的形状(称为空间频率)相关联。考虑一个入射到平面中扰动上的标量电场或矢量电场的分量，例如一个光圈或透镜，到达另一个平面，例如焦平面或像平面，如下图所示：
光学应用中传播(变换)方法的坐标系。
让我们来表征扰动后平面内的电场 
。然后，根据不同的目标，使用四种传播方法中的一种来计算了另一个平面的电场 
。下表总结了四种方法。这些公式由傅里叶变换的简单相位函数符号 
表示。
| 理论 | 公式（简单符号） | 应用 |
|---|---|---|
| 1. 夫琅禾费衍射理论 |  | 夫琅禾费衍射条件下的标量远场——观察者距离衍射物体*很远，用于孔径、光栅和傅里叶光学等应用。 |
| 2. 菲涅耳衍射理论 |  | 菲涅耳衍射条件**下的标量近场至远场，适用于低数值孔径 (NA) 透镜系统等应用。 |
| 3. 角谱法*** |  | 适用于任何系统（例如高数值孔径透镜系统）的严格单向标量场解决方案(不考虑反射)。 |
| 4. 部分相干理论(Schell 模型)**** |  | 非干扰或低干扰光源，例如 LED 和太阳光，使用在在夫琅禾费或菲涅耳衍射近似下的互相干函数的 Schell 模型假设。 |
脚注：
* 夫琅禾费衍射条件
** 菲涅耳衍射条件
***是方向余弦
****是部分相干强度，
是相干强度，并且
是互相干函数
夫琅禾费衍射
夫琅禾费衍射公式用于计算满足夫琅禾费条件时，从物体衍射的远场。
以下是完整的公式：
(x’,y’,L) = \frac{e^{i k L}}{i \lambda L} \iint_{-\infty}^{\infty}E(x,y,0) e^{-i 2\pi (x’ x+y’ y) / (\lambda L)}dxdy
该公式用于计算孔径、光栅的远场和傅里叶光学焦平面内的场(参考文献 1)。该物体是一个具有均匀光照的方形孔径。孔径出口平面的电场是一个二维矩形函数，远场由快速傅里叶变换计算。这会形成一种熟悉的衍射图案，类似于从网状窗帘后面观察路灯时的景象。请注意，我们需要将图中的 x 轴数据缩放为 
，因为空间频率被缩放为 
。 通过数值积分使用傅里叶变换计算二维傅里叶变换需要的时间较长，但快速傅里叶变换可以非常快速地完成这项工作。
方形孔径(左)及其衍射图案(右)。
模拟方形孔径的设置非常简单：
菲涅耳衍射
第二个应用，菲涅耳衍射公式，可用于计算远场以及近场干扰。这个近似值的完整公式为：
(x’,y’,L) = \frac{e^{ikL}}{i\lambda L}e^{ik(x’^2+y’^2)/(2L)}\iint_{-\infty}^{\infty}E(x,y,0)e^{-ik(x^2+y^2)/(2L)} e^{-i 2\pi (x’ x +y’ y)/ (\lambda L)}dxdy
请注意，x 轴数据需要按因子 进行缩放。菲涅耳透镜模型应用了这种方法，通过波动光学，频域 接口计算透镜内部的电场。基于菲涅耳衍射公式通过数值积分进行傅里叶变换计算焦平面中的场。如下图所示，可以在该模型中使用 FFT 特征，并通过数值积分得到与傅里叶变换相同的结果。
菲涅耳透镜模型焦平面中的电场模。FFT 特征用于计算菲涅耳衍射公式，并与其他方法进行比较。
用于菲涅耳衍射公式的 FFT 特征的后处理设置。请注意，y 轴数据是标准化的，x 轴数据是按比例缩放的。
角谱法
第三个应用，角谱法，实现起来有点麻烦，因为它需要进行两次傅里叶变换，由其完整公式可以看出：
A \left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda},0\right) e^{ikL\sqrt{1-\alpha^2-\beta^2}} e^{i2\pi (\alpha x+\beta y) /\lambda} d\frac{\alpha} {\lambda} d\frac{\beta}{\lambda}
,
式中，
,0\right) = \iint_{-\infty}^{\infty} E(x,y,0) e^{-i2\pi (\alpha x + \beta y)/\lambda} dxdy,
和 
是方向余弦。
在前文提到的博客中，我们介绍了如何模拟大型光学器件；即可以使 用波动光学、频域 接口计算光学元件周围的小域，然后使用 弗劳恩霍夫或菲涅耳衍射公式，或者使用 波束包络 接口模拟整个域。然而，这两种方法仅适用于慢速（低 NA）透镜，因为快速（高 NA）透镜需要大量网格单元，而夫琅禾费和菲涅耳公式无法给出很好的近似值。波矢太陡，波束包络 接口无法对计算域进行网格划分。
模拟大型高数值孔径透镜的唯一方法是使用角谱法(ASM)。这是一种与夫琅禾费和菲涅耳衍射公式属于同一类型的数值传播方法。只要知道一个平面中的场，就可以计算另一个平面中的场。角谱法非常严格，因为它满足亥姆霍兹方程。可以结合波动光学模块使用该方法计算某个域中的场，然后使用角谱法将场传播到更远的平面。
下图中是一个高 NA 透镜 (NA=0.66) 的示例，它比 DVD 拾取透镜快得多。透镜半径为 16μm，后焦距(透镜第二面与焦平面之间的距离)为 10μm。结合使用 几何光学 接口与优化模块，对该透镜头进行了优化，使其在 0.66μm 的波长下具有衍射极限。透镜被特意设计得很小，使波动光学，频域 接口可以计算出严格的解以进行比较。我们将演示如何使用角谱法将场从该透镜的出射面传播到焦平面。
使用射线光学模块和优化模块(左)设计的 NA=0.66 透镜。使用 波动光学，频域接口(右)模拟的透镜的全波模拟。注意代表透镜出射平面的线，场从该平面传播到最右边的边缘，即焦平面。
NA=0.66 透镜光斑轮廓模型与使用菲涅耳衍射公式计算的结果比较；由波动光学，频域 接口计算的严格解；和使用角谱法计算的结果。请注意，对于这个透镜，菲涅耳衍射公式不再准确。(为了更好的比较，显示了 11μm 而不是 10μm 处的光斑轮廓。)
为了进行两次傅里叶变换，我们需要将第一次傅里叶变换存储在数据集中。这是因为 fft() 算子只是一个后处理算子，不是可以在物理设置中使用的通用算子，如 integrate算子。目前，在当前版本的 COMSOL Multiphysics 中（在未来版本中，fft() 算子将被提升为通用算子），我们仍然需要在第一次傅里叶变换的物理场设置中通过数值积分来使用傅里叶变换，然后将 fft() 算子用于后处理中的第二次傅里叶变换。边界常微分和微分代数方程 与分布式常微分方程 节点的接口被定义在透镜出射平面上，通过数值积分傅里叶变换执行第一次傅里叶变换，并将结果存储为函数 ，如下图所示：
使用角谱法时，第一个傅里叶变换的 边界常微分和微分代数方程设置的屏幕截图。请注意，我们通过透镜半径 D/2 对傅里叶空间进行了归一化，进行适当的缩放。
使用角谱法时，在后处理中进行第二次傅里叶变换的设置窗口屏幕截图。对于第二次傅里叶变换，注意方向余弦 在 y 轴数据中由归一化的 y 坐标表示，
，x 轴数据中的归一化因子 1/wl 来自变量的微分 
。另请注意，空间频率名称 y2 是在 空间 FFT 数据集中任意选择的。
值得一提的是，第二次傅里叶变换其实就是逆傅里叶变换，但是傅里叶变换的绝对值和逆傅里叶变换到常数之间没有区别。我们已经看到，使用角谱法给出了一个与亥姆霍兹解一样准确的结果，因此可以将这种方法用于其他高 NA 透镜系统，例如大型高 NA 菲涅尔透镜。
结束语
在这篇博客中，我们了解了设置空间 FFT 特征的基础知识，以及如何在一些重要的光学应用中使用此功能的示例。在本系列的下一篇博客中，我们将讨论第四个应用，即部分相干光束计算(使用的公式与文中第三个应用使用的公式相同)。
参考文献
- J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 3rd ed., Roberts and Company Publishers, 2005.
- M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th ed., McGraw-Hill, 1968.
- A. C. Schell, “A technique for the determination of the radiation pattern of a partially coherent aperture,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 15, no. 1, pp. 187–188, 1967.
如今，大多数人在驾车旅行时都会连接 GPS 导航设备。但当车辆进入地下通道或高楼之间时，GPS 信号可能会中断,这就是许多车辆、手机等设备都带有惯性测量单元或惯性传感器的原因。惯性传感器使用的陀螺仪和加速度计非常小巧并且精确度高，用于确定与地球正交轴 x、y 和 z 相关的运动。使用 COMSOL Multiphysics® 软件，我们可以对惯性传感器的组件(包括 MEMS 陀螺仪和加速度计)进行建模。
“你在这里”遇到“就这样结束了”
想象一下，一片暗黑色的天空中布满了成千上万的白点，它们排列成的形状显示出它们正处在银河系。在银河系上方，有一个箭头指向其中一个小点，上面毫无意义的写着几个文字：“你在这里”。
一个没有任何参照系的导航仪示例。
这个古老的笑话可能会出现在许多书呆子的 T 恤和教授的门上，就像天空中的星星一样，它确实隐含了一些关于导航（还有生活）的相对论本质的真理。也许它给我们的主要教训是，一个物体的位置只有在与它周围的空间相关的情况下才能进行有用的描述。在导航中，这个空间就是参考系。
当我们在道路地图上绘制路线时，是在一个二维参考系中导航。仅凭一张地图无法知道我们是在上坡还是下坡，或者我们的车辆是否有翻车的风险。配备惯性传感器的导航系统可以通过测量线加速度和角加速度来计算车辆在三维空间中的轨迹。有了三个分别沿 x 轴、y 轴或 z 轴定向的加速度计，我们就可以跟踪三维空间中的线性运动。同样，用三个分别沿 x 轴、y 轴或 z 轴的定向陀螺仪，我们就可以测量三维空间中的旋转(参考文献 1)。
脑袋里的石头？它们是你的加速度计的一部分
如果你做了一件蠢事，你可能会被问“你脑袋里有石头吗？”如果发生这种情况，你可以如实回答：是的，我们都有！即使是傻瓜也应该知道它们非常重要！每一种脊椎动物的身体里都含有主要由碳酸钙(石灰石的主要成分)组成的微小 耳石 。我们脑袋里的这些石头是身体自然加速度计不可或缺的一部分(参考文献 2)。
加速度计由一个质量块 组成，悬挂在与外壳相连的柔性结构上。当外壳加速时，质量块也会加速，从而对悬架造成可以测量的应变。对于我们耳朵内的加速度计而言，质量块是一束耳石。这束耳石附着在一层薄膜上，薄膜悬挂在细微的毛发和黏附的神经上，当质量发生变化时，这些神经会捕捉到电信号变化。这个有机的加速度计附着在我们的内耳结构上，是人体的参照系。
人的每只耳朵里都有一个水平放置的椭圆囊和一个垂直放置的球囊。每一个微型囊结构都包含一个悬浮的质量块，它会刺激附着的神经对加速度作出响应。(参考文献 3)
当我们的身体突然移动时，质量块的位移会提醒神经有跌倒的可能性。因此，我们的神经可以探测到身体的运动，即使其他感觉器官（例如眼睛或耳朵），失去了它们的参照系。表面微机械加速度计为设备和车辆提供了类似的功能。
MEMS 加速度计仿真“积木”
本文介绍的教程模型演示了如何使用 COMSOL 软件 MEMS 模块的机电 多物理场接口对表面微机械加速度计进行建模。该模型由三个子组件组成：质量块、支撑质量块的锚定弹簧和电极阵列。请浏览下列图片查看所有三个子组件以及完整模型。
为带电极的质量块构建结构。
为锚定弹簧构建几何。
为固定电极阵列构建几何。
表面微机械加速度计模型的完整几何结构。
当器件受到加速度时，质量块将发生位移，从而改变固定电极和移动电极之间的电容。电容的变化与加速度成正比。
施加了 50 个 g 的加速度时的位移。在这个示例中，质量块移动了大约 0.07 μm。
在定义模型时，我们可以指定质量块、弹簧和电极三个核心组件的尺寸、方向和其他属性。还可以通过调整这些模块化积木（也称为子序列）的关键属性值来测试不同的设计选项。这种模块化支持模拟原型机和加速度计的配置和测试。
左侧是加速度计模型的模块化“积木”电极阵列。右侧重新设计的阵列是通过调整关键属性从相同的模块化 子序列 构建出来的。
音叉陀螺仪的起伏
就像大自然为一些动物配备了加速度计一样，另一些动物也自带陀螺仪！家蝇、蚊子和其他飞虫有两个称为 平衡棒 的附件，如下图中鹤蝇的翅膀后面所示：
鹤蝇的俯视图，显示了平衡棒的位置。图片来自Andre Vrijens，通过Wikimedia Commons 获得许可（CC BY 3.0）。
昆虫的平衡棒随着它的翅膀迅速拍动。在水平飞行中，平衡棒的运动沿着向上和向下的路径进行。但是当昆虫倾斜它的身体时，平衡棒的路径会因科里奥利效应而发生变化，向左右移动和上下移动。昆虫通过它们对附着的毛发施加的压力来感知平衡棒的移动，这个信息使它们能够控制相对于它的飞行路径的方向。
压电速率陀螺仪就是根据类似的原理工作的。接下来，我们来探索一个陀螺仪模型，了解它是如何工作的。
模拟的音叉陀螺仪示意图，显示了通过器件中心和关键组件的对称平面。
陀螺仪中心的矩形结构是它的悬架，其中的支撑锚将陀螺仪固定安装在器件上。两对突出的组件是驱动尖齿和感应尖齿，这些尖齿上的电极使它们能够提供有关器件方向的有用数据。
为了解释这个器件是如何工作的，我们来考虑当器件相对于它的参考坐标静止或匀速运动（没有线性或旋转加速度的运动）时尖齿的行为。我们将研究当器件旋转时尖齿的行为如何变化。施加到驱动尖齿的电信号导致感应尖齿在 xy 平面中以它们的谐振频率振动。当设备绕 y 轴旋转时，科里奥利力会导致面外振动，如下图所示。
在左侧的图中，当器件匀速运动时施加电流会导致尖齿沿 xy 平面振动。在右侧图中，器件绕y轴旋转会导致沿z轴的面外振动。
请注意，驱动尖齿和感应尖齿具有不同的谐振频率。当陀螺仪工作时，驱动尖齿中的电极通过反向压电效应刺激它们以共振频率振动。当整个设备绕y轴旋转时，产生的科里奥利力将激发感应尖齿在平面外振动，这种运动将通过直接压电效应在感应尖齿的电极中产生电流。
左图显示了器件匀速运动的两个曲线，没有加速或旋转。请注意，尖齿在 xy 平面中振动。在右侧图中，设备绕 y 轴旋转，导致尖齿在 xy 平面外振动。在这两幅图中，左侧的图表显示的颜色变化用于指示位移的大小，而右侧显示了尖齿在空间中的实际位移。
动画显示了当器件围绕 y 轴旋转时尖齿的行为，导致面外振动。左边的颜色变化表示位移的大小，而右边的图像显示了空间中的运动。
你在这里，是终点，也是起点……
感谢您读完这篇文章！您可以点击下面的链接进入 COMSOL 案例库，继续您的 MEMS 加速度计和陀螺仪建模之旅：
- 模拟加速计：表面微机械加速度计几何？
- 以陀螺仪模型为例：压电速率陀螺仪
更多有关压电器件建模的信息
参考文献
- B. Schweber, “The Autonomous Car: A Diverse Array of Sensors Drives Navigation, Driving, and Performance”, https://www.mouser.com/applications/autonomous-car-sensors-drive-performance/
- D. Purves, G.J. Augustine, D. Fitzpatrick, et al., editors, “The Otolith Organs: The Utricle and Sacculus”, Neuroscience. 2nd edition. Sunderland (MA), Sinauer Associates, 2001; https://www.ncbi.nlm.nih.gov/books/NBK10792/
- T. C. Hain, “Otoliths”, Mar. 2021; https://dizziness-and-balance.com/disorders/bppv/otoliths.html
COMSOL Multiphysics® 软件 6.0 版本新增了一项功能，可以方便地对涉及使用压电器件的应用进行建模。软件内置的压电波，时域显式 接口将现有的间断伽辽金方法（dG 或 dG-FEM）从应用于流体和线弹性材料中的声学扩展到压电介质。对于模拟传播距离相对于波长较远的声波的产生和接收，这是一种高效的可选方案。像对超声成像、无损检测(NDT)、流量计和叉指型声表面波器件等应用进行仿真，均可以使用这项功能。接下来，我们来详细了解这项功能。
压电波，时域显式接口
压电波，时域显式 多物理场接口位于声学 >弹性波 分支下，可用于二维、二维轴对称和三维分析。
如何从 添加物理场向导访问新接口。
使用此接口可以对正、逆压电效应进行建模，并使用应变-电荷或应力-电荷形式来表示压电耦合。因此，当压电设备用作发射器、接收器或同时用作两者时，此接口适用于大型瞬态声学问题。该多物理场接口将弹性波，时域显式 接口和静电 接口使用新的压电效应，时域显式 多物理场耦合结合了起来。弹性波部分使用高阶间断伽辽金公式实现，并使用时域显式求解器求解；静电问题通过使用有限元法(FEM)实现的代数方程系统在每个时间步长求解。这使得我们可以用显式时间步长方法来求解完全耦合问题，并且只有静电方程是用使用基于矩阵的方法来求解的。总的来说，这构成了一种高效内存的方法，也很适合在集群上进行分布式计算。
压电波，时域显式接口的用户界面，此处显示的是角钢梁无损检测教程模型。
添加压电波，时域显式 多物理场接口时，每个物理场都包含两个材料模型，用于解释不同材料中的本构关系。弹性波，时域显式 物理场包含一个用于线弹性材料的弹性波，时域显式模型 材料节点和一个专用于压电域的压电材料 节点。
在两种材料模型中都可以添加瑞利阻尼，以包括机械损失。同时，静电 物理场接口包含用于常规介电材料的电荷守恒 材料节点和用于压电域的电荷守恒，压电 节点。前者支持传导损耗，而后者支持弥散模型用于捕获介电损耗。然后，使用压电效应，时域显式 多物理场特征将两个物理场中的压电材料模型耦合起来。
使用形成装配和一致对
正如“弹性波，时域显式接口简介”这篇博客文章中的“网格和求解”部分所解释的那样，在耦合具有不同属性的域时，使用几何装配体及非共形网格非常重要，这对于涉及压电设备的应用而言，几乎总是正确的。
简而言之，这是为了避免由于特定材料域中不必要的小网格单元而导致内部求解器时间步长过小；时间步长取决于局部网格大小和声速，也称为单元波时间尺度。
正如下图中的角钢梁无损检测教学模型中所显示的，我们使用了不同的网格尺寸来离散具有不同材料属性的实体域，并且网格在材料界面处是不一致的。建议始终使用压印进行装配来提高性能和稳定性。在关于“弹性波，时域显式接口简介”的博客文章中，我们详细讨论了基于间断伽辽金法的物理场的网格划分和求解的一般准则，有兴趣的读者可以阅读这篇博客。
角钢梁无损检测教学模型中使用的非共形网格的放大图像。不同的颜色表示不同的材料。
在 COMSOL Multiphysics 6.0 版本中，我们可以更方便地使用非共形网格设置模型。当几何零件通过形成装配体连接并创建一致对时，连续性 节点会自动被添加到弹性波，时域显式 物理场，并选择所有一致边界对（如下所示）。这确保了法向应力的连续性并提高了建模速度，因此在材料不连续界面处发生的所有现象均可被模拟。
对于装配几何， 连续性节点会被自动添加到弹性 波，时域显式物理场接口。
下面的动画显示了当信号到达测试样品表面时，传感器发送的纵（压缩）波转换为折射的剪切（横向）波。纵波用蓝色显示，剪切波用橙色显示。剪切波被测试对象中的缺陷反射，传输回来，并被换能器接受。这就是角钢梁无损检测的工作原理，因为剪切波具有较低的衰减和较短的波长，所有能够检测到较小的缺陷。
角钢梁无损检测教学模型显示了材料界面处的波折射和反射。
后处理
在后处理时，最重要的事情是要记住因变量是由四阶单元离散的。绘图时，我们可以通过在质量 部分设置高分辨率来查看每个网格单元中包含的空间细节。
现在，我们可以直接在后处理中使用单元波时间尺度 变量 elte.wtc，以及给出全局最小值的最小单元波时间尺度 变量 elte.wtcMin。单元波时间尺度与求解器时间步长直接相关，因此对其数值的检查可以帮助识别模型中有问题的网格单元。绘制这个变量时，将分辨率 设置为无细化，将平滑 设置为无。这两种设置都可以在绘图的质量 部分中找到。
注意：有关来自时域显式接口的后处理结果的其他注意事项，我们在“弹性波，时域显式接口简介”这篇博客文章中进行了讨论。
与基于间断伽辽金法的压力声学接口耦合
当声音传播路径包括流体时，可以添加：
- 压力声学、时域显式 接口，用于流体域中的线性波传播，或
- 非线性压力声学，时域显式 接口，用于捕获波在流体中传播时产生的高次谐波。
使用内置的声-结构耦合功能可以将这些接口中的任何一个耦合到弹性波，时域显式 接口。有两种耦合类型：一种是声-结构边界，时域显式 耦合，用于有实体和流体结合的以及使用一致网格离散的几何形状，以及对，声-结构边界，时域显式 耦合，用于使用了非共形网格的装配几何。由于固体和流体之间的巨大性质差异，一致对耦合特征在声-结构相互作用分析中更有利。有关此应用的示例，您可以查看使用压电换能器的超声波流量计教程。该模型使用了换能器-水界面处的对耦合特征来捕获在材料不连续处发生的声音传输和反射。
对 声-结构边界，时域显式多物理场特征被用于压电换能器的超声波流量计教程模型。
自己尝试
- 您可以查看压电波，时域显式接口如何在以下模型中使用：
- 延伸阅读：
对声波进行检测和解释可以揭示物体中隐藏的有价值的信息。通过一些设备我们能够看到波的行为，例如压电 (PZT) 传感器。这些设备必须经过精心设计和校准，这个过程有时被称为测定。一个来自瑞士的研究团队使用多物理场仿真来测定用于材料和产品声学无损检测（NDT）的压电传感器。他们的项目向我们目展示了仿真如何帮助提高测定过程的效率，通过优化几何的网格划分，将模型的内存需求减少了一半，计算时间缩短了 5 倍！
声学无损检测：通过声音揭示隐藏的缺陷
无损检测描述了一种在不损坏物体的情况下揭示其重要属性的过程。这个过程是许多产品和系统的开发与质量控制的一个组成部分。无损检测方法通常通过施加能量脉冲来“检测”结构或材料。能量信号会因结构内部的裂缝或其他物理不规则性而改变，这些变化可以通过安装在结构上或附近的仪器来检测。例如，使用 主动热成像 对物体施加热量。内部不规则会导致热量分布发生意外变化，这些变化可以被测量并用于定位内部缺陷。
声发射 (AE) 分析是另一种重要的无损检测技术。当施加于固体物体时，超声波频率范围内的波会受到内部裂纹和其他不连续因素的影响。压电传感器可以检测到由此产生的声学信号变化，并产生电流作为机械压力的响应。怎样分析产生的信号并从中获取有用的信息是一项持续的挑战。
多物理场仿真是对声发射测试过程的自然补充。通过将实验数据纳入给定材料的模型，波传播模型以及压电传感器响应模型中，研究人员可以建立声学信号行为的模拟基线。基于断裂力学的材料缺陷模型，以及这些缺陷对模拟波行为的影响，可以帮助预测，在进一步测试中压电传感器如何响应这些实际存在的不连续性。随着最近科技的进步，这种模拟的计算需求已经大大减少。
压电传感器：记录球冲击试验的结果
无论是用于绘制地下断层线还是金属板内部的微观缺陷，声发射无损检测都需要对传感仪器进行精确测定。隶属于苏黎世联邦理工学院岩石物理与力学实验室的瑞士地震服务中心的研究人员在 COMSOL Multiphysics® 软件中构建了一个模型，测定用于板材球冲击测试的压电传感器，下图为在这些测试中使用的设备。
瑞士团队用于压电传感器实验测试的装置图（左）。传感器阵列相对于工件的布置（右）。图片由 R. Wu、PA Selvadurai、C. Chen 和 O. Moradian 提供。通过Springer 获得许可（CC BY 4.0）。
当用作测定过程的一部分时，不同大小的金属球将从测试仪器掉落到一个均匀的金属工件上。每个球的撞击都会产生超声频率范围内的声波。通过测量传感器在这些受控条件下的行为，研究人员可以获得用于数值测定过程的数据。
Wu 等人 (2021) 进行的落球测试示例。
间断伽辽金有限元建模：实现压电传感器的数值测定
为了从压电传感器跟踪的波行为中获得有用的信息，研究人员可以将测试结果与在半无限同质各向同性的弹性板内计算出的波传播进行比较。基于广义射线理论计算弹性应力波如何传播的过程被称为“兰姆问题”。对于给定材料的兰姆问题，其解称为“格林函数”，是由点力引起的应力波产生的弹性扰动值。
这些计算有助于建立测定压电传感器的基线，但这种方法的局限性很大。在发表于Journal of Nondestructive Evaluation 上的报告中，瑞士研究团队解释对此作了解释（参考文献 1）：
有两个主要问题限制了广义射线理论在计算格林函数方面的应用。首先，原位AE 事件振幅谱的角频率可能低至数百赫兹到数赫兹。[…] 这需要大量的计算负荷才能获得大量可能的格林函数射线路径。其次，样品的有限性使得与兰姆问题相关的半无限条件对于实验室研究来说是不现实的。因此，来自有限弹性板的侧反射的射线路径不可忽略。
该团队通过 COMSOL Multiphysics 中的时域显式间断伽辽金有限元法 (dG-FEM) 建模解决了这些问题。基于仿真的方法，他们能够获得相当于一个有限的且真实世界里存在的测试案例中的有边界条件的格林函数的值。
优化网格：降低仿真的计算成本
压电测定模型是使用 COMSOL 软件中的 弹性波，时域显式 接口构建的，该接口可用于模拟弹性波在包含许多波长的大间隔传播。该模型在数值上计算了从 1kHz 到1MHz的真实格林函数，由 Heaviside 阶跃的力-时间函数激发。它使用相对精细的网格来寻找高频波的格林函数，并使用较粗的网格来寻找低频的格林函数。下面将进一步解释网格优化过程及其对计算效率的积极影响。
在模拟落球测试中，在一段工件上应用三个网格的图示。三个网格上较密的区域表示将安装 PZT 传感器的点。右图为”弹性波，时域显式”接口的截图，显示了避免过小单元的网格优化工具。
使用时域显式间断伽辽金有限元公式进行建模时，求解器采用的时间步长受相对于最大波速（通常是固体中的压力波速）的网格单元尺寸的最小值控制。这意味着，精细的网格划分对于获得最佳性能很重要。在左上图中，三个网格从上到下显示了优化过程中的渐进步骤。顶部的网格显示了对在实验室进行测试的压电传感器的一个自由四面体网格进行了细化。由于使用了避免过小的单元工具，中心网格显示出轻微的变化（计算时间减少了 2 倍）。在底部的网格中，我们看到了进一步的简化，因为三角形网格扫掠了 11 层水平面。结构化网格导致自由度降低，这有助于将模型的内存需求减少 2 倍，并将计算时间减少 5 倍。
当然，如果简化的网格会影响模型性能，那就没有用了。幸运的是，三个模型在两个测量点对模拟波的响应都显示出几乎相同的结果。通过使用较粗的网格来测量更长波长的模拟波，可以实现进一步的优化，如下图所示。
左侧是用于模拟低频波在模拟钢板上传播的粗网格。高频模拟波的行为是使用右侧显示的更精细的网格捕获的。图片由 R. Wu、PA Selvadurai、C. Chen 和 O. Moradian 提供。通过 Springer 获得许可（CC BY 4.0）。
使用细网格模型模拟的粒子运动速度场的大小，分别为 8.6 纳秒（左）和 25.8 纳秒（右）。图片由 R. Wu、PA Selvadurai、C. Chen 和 O. Moradian 提供。通过 Springer 获得许可（CC BY 4.0）。
后续研究
在基于仿真模型进行实验测试后，该团队确认，他们基于间断伽辽金有限元法的模拟过程使他们能够 “绝对校准压电传感器，从而正确解释声发射监测的地面运动信息” (参考文献1）。展望未来，他们计划改进他们的模型，以便能够进一步研究一系列材料中的裂隙传播。
相关资源
- 尝试模拟这个教程模型：
- 查看这些博客文章和视频：
参考文献
- R. Wu, P. A. Selvadurai, C. Chen, and O. Moradian, “Revisiting Piezoelectric Sensor Calibration Methods Using Elastodynamic Body Waves,” Journal of Nondestructive Evaluation, vol. 40, no. 68, 2021, https://doi.org/10.1007/s10921-021-00799-1
您知道应该使用 COMSOL Multiphysics® 软件的哪些附加产品来模拟压电设备吗？这取决于系统中包含的材料类型以及您要在分析中使用的特定功能。今天我们为您详细介绍一下这些不同的产品，看看它们能提供什么功能。
压电接口
压电 接口将固体力学 和静电 接口与压电现象建模所需的本构关系相结合。它可以模拟正向压电效应和逆向压电效应。压电耦合可以使用应变-电荷或应力-电荷形式来表述。
结构力学 &声学模块 产品分支中的三个模块提供了用于模拟压电性的功能：
- 声学模块
- MEMS 模块
- 结构力学模块
下面的图说明了这些模块提供的与压电建模相关的最常用功能。
用于压电建模的产品概述
声学模块
声学模块包含用模拟波的产生和传播的专用工具：
- 流体
- 线弹性材料
- 多孔介质
- 压电材料
它是唯一可以提供捕获流体和多孔材料中的波行为的内置功能的产品。声学模块允许您使用结合 压力声学、固体力学 和静电学 接口的预定义多物理场耦合对声-压电相互作用的问题进行建模。
这类问题的典型应用通常分为两类：
- 使用压电换能器作为发射器将声音辐射到周围的流体
- 使用压电换能器作为接收器来检测来自周围流体的声音
您可以同时将压电设备建模为发射器和接收器，如下面的教学案例中所示：
用于传输和接收声音的压电换能器。
当流体并非问题主要关注问题的场景下，您可能仍希望在模型中包含流体带来的热视觉损失，方便研究 MEMS 结构的阻尼振动。有关这方面的示例您可以参考下面的几个教程模型：
添加结构效果
当模型中包含非线弹性材料的固体时，您需要使用结构力学模块或MEMS 模块。每个模型本身都支持线性黏弹性材料模型，包括广义 Maxwell、标准线性实体 (SLS) 和 Kelvin-Voigt。黏弹性材料可用作复合压电换能器的背衬层或用于结构的任何部分以阻尼振动，如带约束层的阻尼垫和黏弹性结构阻尼器教学模型中所示。
黏弹性结构阻尼器（左）和压电阀模型（右）的网格和位移结果。
如果材料具有需要考虑的非线性应力-应变关系，那么还需要使用非线性结构材料模块。它是结构力学和 MEMS 模块的附加组件，并通过对非线性材料建模的支持对其进行了扩展，例如超弹性、蠕变、塑性和黏塑性。压电阀教学模型中对此进行了示例说明。
MEMS 模块
MEMS 模块包括一个 终端 功能，允许您将压电设备连接到电路。电路可用于激励换能器以及接收检测到的信号。终端 功能还能够计算压电装置的集总参数，如计算复合压电换能器和散射参数（S 参数）。通过激活手动终端扫描，您可以对终端运行参数化扫描并获得散射参数矩阵。
复合压电换能器的电纳水平（左）和由陶瓷材料制成的致动器的不同值的极化磁滞曲线（右）。
MEMS 模块还提供薄膜阻尼功能，可用于对相对移动的两个结构之间的薄流体层中的阻尼进行建模。它通常被称为挤压膜阻尼或滑膜阻尼，这取决于结构的运动是垂直还是平行于膜平面。这个特征既可作为 固体力学 接口中使用的薄膜阻尼 边界条件，也可以作为独立的薄膜流 接口，与固体力学 物理场接口耦合，如 瞬态弹流润滑挤压油膜相互作用的基准模型所示。
MEMS 模块中包含的另一个相关功能是 铁电弹性 接口。当材料表现出自发极化时，我们可以使用该接口模拟处于铁电相的压电材料。铁电材料表现出非线性极化行为，例如大施加电场下的滞后和饱和。有关这方面的一个例子，可以参看 压电陶瓷的磁滞现象模型。
结构力学模块
结构力学模块包括有效分析薄结构的特征，例如，通过使用壳 或膜 接口。当您想要使用压电、多层壳 特征时，您将需要使用结构力学模块和复合材料模块。此特征将多层壳 接口与多层壳中的电流 接口相结合，从而能够以非常经济的方式对薄层结构中的压电效应进行建模，如多层壳中的压电现象模型教程所示。
中间嵌入压电层的多层外壳。压电层（彩色线框图）和金属层（彩色图）中显了轴向压缩和平面外位移。
总结
总而言之，当单独为压电器件建模并且器件仅包含压电材料和线弹性材料时，您可以使用声学模块、MEMS 模块或结构力学模块。
对于振动和波动问题，只要流体或多孔介质是系统的一部分，或者需要捕获热黏性阻尼以准确模拟 MEMS 器件的振动，就需要使用声学模块。如果包含线性黏弹性材料，则需要 MEMS 模块或结构力学模块。对于由非线性结构材料组成的器件，您需要使用非线性结构材料模块，该模块可以添加到 MEMS 模块或结构力学模块。
MEMS 模块可让您访问 终端 功能并将压电换能器连接到外部电路。薄膜阻尼特征可用于捕获流体薄层中的阻尼，用于移动微结构。它还允许您模拟压电材料的铁电效应。
结构力学模块提供了高效的建模功能，例如壳 和膜 接口。当添加了复合材料模块时，它还提供了压电、多层壳 特征。
如果您已经拥有提供压电特性的声学模块或结构力学模块，那么 AC/DC 模块还可以让您访问端子、电路 和铁电 特征。
当然，这里讨论的内容并未涵盖可以使用压电材料的所有可能场景。例如，使用压电驱动器对可调消失模腔体滤波器进行建模就需要使用 RF 模块。
下一步
想要与技术工程师讨论您的特定应用程序或更深入地了解这些模块中的任何一个吗？欢迎点击下面按钮与我们联系：
2020 年中至年末，备受期待的 5G 智能手机开始向公众推出。射频滤波器是支持这些设备的新型 5G 基础设施的一个关键器件。用于防止信号干扰的滤波器可能会受到明显的温度变化的影响，从而导致结构变形，尤其在极端环境条件下。为 5G 设备设计射频滤波器的工程师必须能够分析温度变化和热应力如何影响其性能。这就是多物理仿真发挥作用的地方。
什么是射频腔？
有许多射频和微波应用都具有射频腔，包括雷达、微波炉和稍后我们将讨论的手机基站。它也存在于粒子加速器中，例如欧洲核子研究中心（European Organization for Nuclear Research，CERN)的大型强子对撞机(Large Hadron Collider，LHC)，包括 16 个射频腔。当粒子被注入空腔时，粒子加速器使用射频信号给它们施加一个电脉冲来加速带电粒子。
左图是欧洲核子研究中心粒子加速器中的射频腔。图片由 MarsPF2 提供。通过 Wikimedia Commons，在CC BY-SA 3.0下获得授权。右图是于 2018 年访问欧洲核子研究中心的本篇博客的作者。
用于 5G 设备的腔体滤波器
智能手机和其他 5G 设备需要能够传输和接收来自各种来源的信号。它们需要能够同时工作在多个频带的天线，是一个多入多出（MIMO）系统。滤波器用于从特定频段选择所需信号，并过滤可能干扰器件性能的不需要的频率。5G 网络基础设施的工作频段比以往任何时候都更新、更高，从几兆赫兹到几十兆赫兹不等，这进一步增加了对优化滤波器设备的需求。
德国哈特施泰特（Hattstedt）附近的一座 5G 塔。图片由 Fabian Horst 提供。通过 Wikimedia Commons 在CC BY-SA 4.0 下获得许可。
由于 5G 是一个全球范围的网络协议，5G 结构和设备需要在具有极端环境条件(如温度突然变化)的地区安装。温度的变化会导致射频滤波器的膨胀和结构变形，从而影响其性能，例如 S 参数。
热分析和应力变形是滤波器设计的重要考虑因素，但这类器件的传统电磁驱动设计方法往往忽略了这些因素。实验室进行的实验也容易忽略这些影响。那么，工程师该怎么做才能考虑这些因素呢？
COMSOL Multiphysics®中腔体滤波器的射频、热和应力分析
在腔体滤波器的热结构效应教程模型中，我们演示了如何使用多物理仿真来分析腔体滤波器设计的谐振频率。
腔体滤波器通常由电介质和金属材料制成。金属的电导率随温度而变化，这会影响器件中的损耗和散热效果。热损耗会导致温度升高，而温度的变化会导致材料膨胀或收缩。因此，当腔体滤波器处于高功率负载或极端热环境时，可能会发生漂移，这使得设计这种滤波器具有挑战性。
腔体滤波器模型几何结构。
本文讨论的教程模型包括三个独立的研究。首先，我们可以对级联腔体滤波器进行频域研究，该滤波器覆盖 5G 通信的两个常见波段:
- 26.5~29.5GHz，日本、韩国和美国使用的 5G 频段
- 24.25~27.5GHz，欧盟和中国使用的 5G 频段
接下来，我们可以分析具有规定的均匀温度分布的过滤器装置的热变形，以及它对过滤器性能的影响。研究的这一部分调查了两种不同情况下的过滤器:
- 不同但均匀的环境温度
- 整个器件的不均匀的温度变化(例如，当附近的组件过热时)
教程的后半部分展示了如何计算模型中的非均匀温度分布，而不是使用强加的、固定的均匀温度差，来更准确地表示真实世界的场景。
建模假设
在进入本教程之前，让我们先来回顾一下每种物理场的一些关键建模特性。
- 电磁学
- 使用阻抗 边界条件(IBC)代替需要建模物体的传导壁
- 腔体内金属涂层的电导率具有热敏性
- 使用终端类型为同轴电缆的集总端口作为源
- 结构力学
- 端口处使用的刚性边界允许运动和旋转，但不允许变形
- 弹簧底座用作刚性板上的近似黏合剂
- 使用移动网格定义空腔内空气域的变形
- 传热
- 使用热通量 定义随温度源(非均匀热源)的线性变化(沿x 方向)
频域研究
该模型的结果显示了正常工作条件下两个 5G 频段的电场模和S参数，我们可以使用这些参数与包括热应力和结构变形的模型进行比较。电场分布表明腔体内存在 TE101 模式。
日本、韩国和美国使用的 5G 频段的电场模(左)和 S 参数图(右)
欧盟和中国使用的 5G 频段的电场模(左)和 S 参数图(右)。
热结构分析
热结构耦合分析表明，滤波器底板上均匀和不均匀的热源都会导致结构变形。
左图:高于初始温度 100K 时，腔体滤波器中的热应力。右图:通带外最后一个频率的电场模(输入信号没有到达输出端口)。这些数字是针对均匀热源的。
结果表明，虽然谐振频率受变形和热应力的影响，但S参数没有明显失真，从而验证了设计。
左图:由于底板变形，S 参数略有变化。右图:腔体过滤器铝制外壳因热膨胀而产生的结构变形。这些图是针对不均匀热源的。
温度的表面图。该图显示了铝外壳和同轴连接器的哪些区域变热。
腔体过滤装置的全耦合分析(如下所示)还演示了 COMSOL Multiphysics 5.6 版本的部分透明后处理功能。
通过对 5G 腔体滤波器的电磁、结构和热效应进行耦合分析，我们可以确定热结构现象对滤波器性能的影响。在这种情况下，我们得到的积极结果是，热诱导结构变形不会明显影响电气性能。
后续步骤
自己尝试: 点击下面的按钮，查看腔体滤波器教程模型的热结构效应。
阅读更多关于使用仿真开发 5G 设备的信息
霍尔效应传感器通常用于位置检测，它的基本工作原理是附近的磁场使通过半导体传感器的电流路径发生偏转。电流的这种偏转会导致电位变化，这种变化是可以测量的。尽管这种设备具有多物理场特性，但通过几个假设，我们就可以在 COMSOL Multiphysics® 软件中非常简单地对它进行建模。阅读今天的博客文章，了解更多详细信息。
霍尔效应传感器的基本工作原理
我们从洛伦兹力的定义开始建模准备。洛伦兹力的定义是带电粒子在电场 
和磁场 
中以一定的速度 
移动的总力。粒子电荷 
上的总力为：
假设有一块半导体材料，在其两端施加电势差，产生电流流动。对于一个均匀的平板，电流将在两端之间沿直线流动。然而，由于存在洛伦兹力，半导体材料附近的任何磁场都会使平板中的电流路径发生偏转，从而改变平板内的电势分布，这可以被测量。对于典型的霍尔效应传感器，磁场是由附近的磁铁引起的。
一块半导体材料。通过材料的电流会被磁场偏转，从而改变两个浮动端子之间的电位。
根据上述方程，将通过半导体材料的电流密度和两个额外的材料常数：电导率 
和霍尔系数 
写为与电场和磁场相关的函数，获得在计算模型中使用的方程：
我们可以将上面的等式重写为矩阵向量乘法：
也就是说，我们可以简单地通过定义作为磁场函数的各向异性电导率来模拟霍尔效应。为简洁起见，我们将省略符号约定和对不同材料中霍尔系数推导的讨论。这是我们需要纳入到计算模型中独特的本构关系。
在最简单的情况下，我们可以只假设一个给定的磁场，用它来计算电导率，但我们在这里要做的是计算变化的磁场，并用它来创建一个真正的多物理场模型。
不过，在我们开始任何建模之前，我们将做一些假设来简化建模。假设磁场随时间的变化足够慢，可以忽略不计。也就是说，尽管麦克斯韦-法拉第方程指出：
但我们在此处假设 
可以忽略不计。
这各假设相当于半导体板中没有因磁铁的运动而产生明显的感应涡流。也就是说，材料中的电场仅由施加的电势和上述本构关系引起，而不是直接由任何随时间变化的磁场引起。通过这个假设，我们将问题简化为求解静磁场。
接下来，我们还将假设流过半导体的电流足够小，与磁铁产生的磁场相比，这些电流本身不会产生任何明显的磁场。这就将静磁问题简化为所谓的无电流形式，即我们只需要求解磁标量势。但是请注意，这些假设对于我们将要做的事情不是必需的。我们还可以求解由电流引起的磁场，例如来自附近线圈的磁场，但这只会使我们的模型的计算成本变高。
最后，我们还将假设材料的电导率足够大，使得 RC 时间常数比我们感兴趣的任何时间变化要短得多。也就是说，我们可以在任何时刻将电流模型看作纯静态，因为我们已经假设所有的时间导数项都不重要。因此，电学问题被简化为求解稳态电势方程，尽管随空间变化的电导率是磁场的函数。
到这里，我们已经准备好开始我们的建模了！
在 COMSOL Multiphysics® 中建立模型
假设在下图中，一个小的圆柱形磁铁被安装在一个旋转的铁轮辋上，轮辋下面有一个代表传感器的矩形域。
放置在旋转铁轮下方的霍尔效应传感器示意图，在轮辋上安装有磁铁。
我们首先使用 磁场，无电流 接口求解磁场。除了上图所示的域之外，我们还对围绕这些域的空气空间以及无限元 截断域进行建模。
为了求解这个问题，我们先计算磁场。然后继续研究霍尔效应传感器的模型。在半导体域，我们使用 电流 接口。为材料的两端施加 接地 和终端 条件， 其余边施加了两个 悬浮电位 条件。
有关电流 接口快速使用用法，请参阅我们的电阻设备建模系列教程视频。
电导率可以作为我们刚刚计算的空间变化磁场的函数，同时我们也想考虑车轮的旋转。考虑旋转的最简单方法是执行一个参数化扫描，但这实际上会比我们需要做的要多一点。磁场通过传感器旋转，但我们假设它们不受传感器本身的影响。
这时，根据上一篇博文中的描述，我们可以通过广义拉伸算子，使用旋转映射来改变磁场作为全局参数 Angle 的函数。但是由于我们旋转了一个矢量场，我们也要通过3D 旋转矩阵来旋转矢量本身。下面的两个屏幕截图显示了软件的操作过程，并定义了一组旋转的磁场变量。
通过广义拉伸算子定义绕 y 轴的旋转。
定义旋转磁场分量的变量。
定义完旋转的磁场分量，我们就可以使用它们来定义电流 接口中的电导率张量，如下面的屏幕截图所示。
定义霍尔效应传感器内的各向异性电导率。
定义好电导率，我们就可以求解模型。我们可以分两步求解，首先求解稳态磁场，然后求解稳态电流，但要通过辅助扫使磁场描旋转不同角度，如下面的屏幕截图所示。
求解器的设置。第一步计算磁场，第二步计算不同磁场旋转角度下传感器中的电势。
求解模型后，我们可以为旋转场设置动画，以确认我们的方法，并检查传感器两侧的两个浮动电势边界条件之间的电势差图。
通过霍尔效应传感器的磁铁和磁场旋转动画。
传感器上两个悬浮电位之间的电势随磁场旋转角度的变化。
动手尝试
在今天的文章中，我们展示了一种简单的模拟霍尔效应传感器的方法。能够将各向异性电导率转换为模型中任何其他变量的函数，并输入模型中的能力，使得这种模拟非常容易。通过一组变换手动旋转场，我们还可以大大降低计算成本。文中演示的模型教程可通过以下链接下载。
在这篇博客文章中，我们将给大家展示由 Veryst Engineering 公司的 Riccardo Vietri，James Ransley 和 Andrew Spann 提供的压电微泵模型。我们将介绍如何将压电材料与流固耦合作用结合起来，以及如何使用简单的速度相关公式来描述入口和出口边界处的单向阀的作用。另外，我们还演示了在实体和流体域之间使用不连续网格。
什么是压电微泵？
压电微泵能够精确输送非常少量的流体或气体，因而被广泛用于医疗领域中。在本文的示例模型中，流体腔被环形压电执行器驱动的柔性膜覆盖。由于物理场的对称性，模型仅包含一半的几何形状。下图用黄颜色来突出显示膜，环形执行器位于膜上方，流体域在下方（为清楚起见，没有显示腔壁）。
压电微泵模型的几何形状。柔性膜用黄颜色突出显示。
压电材料的上表面和膜的四周是机械固定的。因此，当压电材料在施加的偏压下膨胀时，柔性膜被推入流体腔，迫使一些流体流出。在执行周期的另一半期间，当压电材料收缩时，膜被拉起，将一些流体吸入膨胀室。单向阀安装在位于流体腔下方的两条管道中，以引导流体通过左侧的管道流入，并通过右侧的管道流出。
压电材料堆叠层
在实际的微泵中，将使用具有许多单独的压电层和电触点的堆叠式压电执行器。对于此模型，我们忽略了薄金属层的刚度，并将执行器建模为压电的整体式模块。例如，假设层厚为 100µm，有 75 层，电场为 0.2V/µm，如下列参数表所示，我们在整个压电材料上施加了 1500V 的等效电势差。实际设备中所需的实际电压将取决于所需的电场和堆叠执行器中每一层的厚度。
| t0 | 0.1 [毫米] | 1E-4 m | 压电层厚度 |
| ñ | 75 | 75 | 执行器中的层数 |
| E0 | 0.2 [V/um] | 2E5 V/m | 电场强度 |
| V0 | E0 * t0 * n | 1500V | 施加电压 |
这些参数用于说明模型中使用的等效整体压电体的层厚度、层数、电场强度和施加电压之间的关系。
单向阀
入口和出口通过使用止回阀来确保单向流动。在这个模型中，阀由基于 K 因子管道损失的简单边界条件表示，其中，当逆向阀流动时，损失较高，而沿操作方向流动时，损失较低。阀产生的背压由以下公式表示：
(1)
其中，
是垂直于边界的流体的平均速度，
是流体密度，并且 
是一个无量纲常数，它根据 的标识改变量级。
在短管的末端将施加一个法向应力作为背压。这确保了腔室中的流体流动是真实的，尽管存在近似边界条件。该边界条件可以用来表示简单的流体阀。出口边界的常数相对于入口的常数是相反的，代表了类似阀门的不同方向。这将引导流体沿所需方向流过泵。为了表示低阻力阀（例如简单的挡板阀），我们将 设置为 5000 作为关闭状态，打开状态设置为
0.1。在实际应用中，需要仔细调整这些值并对该模型进行潜在的优化。
在模型中， 的两个值被指定为参数，并且它们之间的值由 if 操作切换完成，如下面的屏幕快照所示。
| 高压 | 5e3 | 5000 | 边界应力（高） |
| 低压 | 1e-1 | 0.1 | 边界应力（低） |
A 的两个参数值，由等式 1 计算的入口和出口边界条件。
几何和网格
为了展示 COMSOL® 软件在处理不连续网格时的灵活性，我们将实体域和流体域分别形成并集，然后在几何序列的最后一步中使用 形成装配 ，如下面的屏幕快照所示。另请注意，我们启用了 创建压印 复选框，以便于在膜下方的液固界面处创建边界对。
固体和流体域在几何序列中分别形成并集。形成装配并勾选创建压印。
现在，我们可以灵活地独立划分实体和流体域，如下面的网格图所示。注意，在固-液界面上，实体侧的网格节点与流体侧的网格节点没有对齐。流体室壁突出显示，其中三层边界网格用于解析壁附近的流动模式。为了节省计算时间，本示例使用了相对较粗的网格。
流体域和固体域中的网格相互独立。
多物理场耦合
使用软件中内置的多物理场耦合，我们可以轻松地包括压电效应和流固耦合。下面的屏幕截图显示了后者使用了流-固耦合的对版本，因为在几何序列中使用了形成装配。创建压印 选项可确保自动生成的边界对的正确位置，如屏幕截图中的粉红色突出显示。
使用了流-固耦合，对。
仿真结果
下图显示了入口和出口流速，并确认了装置内流体体积的守恒。在启动周期的前 3/4 期间，驱动电压会升高。之后，快速建立一致的时间周期流。入口和出口流量之间的差异与由于压电行程引起的膜片偏转所位移的流体量相匹配，从而确认了体积守恒。
流速和体积守恒。
使用全局方程计算流入和流出的时间积分流，如下图所示。在 0.05s 内通过泵的净流量为 1.44µL，相当于 28.8µL/s 或 1.728ml/min。对于这种非谐振设计，这是典型的流速。
使用全局常微分方程计算的，随着时间流经入口和出口的净流体流量。
为了可视化每半段行程的流体流动模式，我们在下面显示了两组图形，一组用于速度场（流体和固体），另一组用于流体流线。
微泵流入方向（左）和流出方向（右）的速度场。
流体沿微泵的流入方向（左）和流出方向（右）的流线化。
结语
在今天的博客文章中，我们使用 COMSOL Multiphysics 的一个附加产品—— MEMS 模块演示了压电微泵模型。由于篇幅有限，我们没有讨论使用选择来帮助设置材料、物理场和网格的问题。我们也没有描述用于计算累积流量的全局方程和用于在求解过程中监视流量的全局探针。所有这些主题在示例附带的 PDF 文档中进行了详细讨论。祝您阅读（和建模）愉快！
自己尝试
单击以下按钮，获取压电微泵模型的 MPH 文件和文档：
我们在 COMSOL 官网上发布了一个由5部分组成的视频课程，内容是关于使用 COMSOL Multiphysics® 软件进行焦耳热和热膨胀仿真。在这 5 个视频中，我们提供了如何开始这一领域的仿真工作的完整教程，对于任何有兴趣学习 COMSOL 软件的人来说，该系列课程是一个很好的资源。这篇博客，我们来回顾一下这些课程，同时介绍一些相关资源。
焦耳热和热膨胀简介
许多常见的工程问题都涉及焦耳热，即当电流通过导电材料时，材料的温度会升高。在课程得开始，我们将介绍一个与连接芯片和电路板的焊线加热相关的问题。在这个示例中，我们只关注这些焊线。
芯片上的焊线。当电流因外加电势差通过导线时，会产生焦耳热，从而导致温度变化，产生结构膨胀和热应力。
点击此处，观看电-热-机械仿真课程。
第一部分
第一个视频首先演示了如何导入芯片的 CAD 几何结构。在这个例子中，我们使用的是 COMSOL 生成的 CAD 文件，当然也可以使用其他 CAD 文件。
接下来，我们设置了一个问题，即通过施加电势差来计算通过导线的电流。然后，我们检查了网格，使用虚拟操作移除一些小的几何特征以简化网格，最后求解并将结果可视化。
第二部分
第二个视频以第一个视频为基础。我们使用积分从模型中提取数值数据，并研究模型的网格细化，这是建立任何有限元模型的必要步骤。在此基础上，我们对模型进行了扩展，以求解焊线内部的温度场。我们使用基于坐标和布尔选择的方法来定义热边界条件，以指定温度和辐射，并近似自由对流。
第三部分
在第三个视频中，我们通过建立电导率和热导率与温度场的函数来引入材料非线性。这会产生一些令人惊讶的结果，我们将在视频中详细讨论。此外，我们还将介绍更多用于电激励和评估结果的选项。
第四部分
在第四个视频中，我们将简单介绍求解器算法以及如何解释软件报告的信息。我们还讨论了稳态假设的局限性，以及何时应该切换到瞬态分析，并演示了如何计算随时间变化的温升。最后，我们对模型进行了扩展以包括热膨胀，并讨论不同的求解方法。
第五部分
最后，在第五个视频中，我们继续模拟了变形，并结合用户自定义网格划分以及自适应网格细化，来获得对解的信心。接下来，我们考虑了其他几何结构，并展示如何呈现具有视觉吸引力的结果。最后，我们使用 App 开发器将模型文件转化为独立的应用程序。
结束语
电-热-机械仿真课程不仅了介绍焦耳热和热膨胀的主题，还全面概述了 COMSOL 软件的使用方法，因此对刚开始学习软件的人很有帮助。
文中选择的示例与我们在 Introduction to COMSOL Multiphysics 用户指南中使用的示例非常相似，如果你更喜欢通过阅读的方式来学习软件入门，该指南是另一个很好的资源。这些资料将为你在学习 COMSOL Multiphysics 的使用方面打下坚实的基础，并为解决更具挑战性的问题做好准备！
动手尝试
此课程中使用的几何结构文件和模型文件都可以在学习中心的课程中获取，欢迎下载。