声学模块 – COMSOL 博客

声阱仿真：热声流和粒子追踪

Eva Poland — Wed, 07 Aug 2024 15:26:26 +0000

声阱为各种生物医学应用提供了一种操控细胞和粒子的无接触式方法。在典型的声阱设备中，压电换能器在流体中产生压力场，从而产生能有效捕获流体中微小悬浮物的声辐射力。这篇博客，我们将深入探讨一个包括热声流和粒子追踪的声阱模型。

声阱简介

1874 年，August Kundt 首次证明了声波可以对暴露粒子施加声辐射力。自 20 世纪 90 年代以来，这一原理就已经被应用在微流体装置和片上实验室系统中，如今，商业化的声阱设备已被全球生命科学实验室和医疗机构广泛采用，用于低浓度样品的富集和纯化，细胞之间的相互作用研究、粒子分选，以及现场即时诊断的细菌、病毒或生物标记物的分离等。

图 1 微流体通道横截面上的声流，可用于生物流体样品中对粒子进行浓缩或分离。

声阱中诱发的声波会产生声流，即在捕获位点周围形成快速移动的涡流。这种声流会对流体中的颗粒产生黏性阻力。同时，颗粒也会受到声辐射力的作用。对于大颗粒，声辐射力占主导地位，对于小颗粒，黏性阻力占主导地位。改变主导力性质的颗粒临界尺寸取决于具体的设备和颗粒的声学特性。在大多数设备中，声辐射力用于捕获或控制颗粒，因此，来自声流场的黏性阻力通常会阻止小于临界尺寸的小颗粒被声阱捕获。

了解这些信息后，让我们深入探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟声阱。您可以从案例库中下载文中讨论的玻璃毛细管中的声阱和热声流三维模型。

声阱仿真

示例的三维声阱几何结构如下图所示。声阱系统的几何沿两个平面对称，因此只需要计算系统的 1/4 几何：装满水（蓝色）的 1/4 玻璃毛细管（黄色）及其下方的 1/4 微型压电换能器（灰色）。实际上，相较于 0.48 mm 的高度和 2.28 mm的宽度，约 5 cm 的玻璃毛细管非常长，因此使用完美匹配层（PML）对其两端进行模拟。完美匹配层是一个可添加到几何体中的域，用于模拟所有出射波的衰减和吸收。下图中绿色显示为包含 1/2 毛细管一端的完美匹配层。在此模型中，完美匹配层在玻璃毛细管和流体中都处于激活状态。

图 2 声阱的 1/4 几何结构。

声阱仿真是一个复杂的多物理场问题，涉及电磁学、固体力学、声学和流体流动等多种现象，某些情况下，还包括传热。压电换能器上的振荡电压差会引起压电材料振动，进而引起玻璃毛细管振动。这种压电效应通过耦合压电传感器域中的静电与压电传感器和玻璃毛细管的固体力学来模拟。为了模拟流体中产生的压力场，在玻璃毛细管和流体之间的边界上使用了声-结构多物理场接口，用于耦合固体力学与压力声学。

此外，压电换能器中的能量耗散会使系统升温，在玻璃毛细管和流体中产生温度梯度，进而在流体的声学特性中产生梯度，影响声流。非等温流动的多物理场耦合考虑了这种温度梯度的影响，将整个几何结构（固体和流体）的传热仿真与流体域中的蠕动流模型相结合。蠕动流和压力声学之间的耦合用于模拟声流。最后，为了验证声阱模型是否按照预期工作，使用了粒子追踪技术来确定流体中两类颗粒的轨迹，即大颗粒硅玻璃和小颗粒聚苯乙烯。

接下来，我们来看看仿真结果！

仿真结果

声场

声场使用频域计算。在频率为 3.84 MHz 的超声状态下激励系统。该频率波长的 1/2 约等于流体腔的高度。压电换能器中的电场、压电效应在压电换能器和玻璃毛细管中产生的位移场，以及由此在流体中产生的声压场如下图所示。在压电换能器上方，声场包含一个最小压力区域，称为压力节点。

图 3 声阱中的位移场（nm）、电场和压力场。

声场中作用在颗粒上的声辐射力可以用 Gor’kov 势能来描述。图 4 显示了模型中计算的小颗粒聚苯乙烯 Gor’kov 势能。悬浮在流体中的颗粒会被推到最小 Gor’kov 势能处，从而被困在玻璃毛细管的中心。有关声辐射力的详细讨论以及如何使用 COMSOL Multiphysics^® 计算声辐射力，请查看我们之前的博客。

图 4 直径为 1 µm 的聚苯乙烯颗粒的 Gor’kov 势能。

热声流

声流的仿真结果如何？下图的模拟结果显示，压电换能器上方有四个涡流，这只能用温度场来解释。压电换能器的升温引起玻璃毛细管和流体产生温度梯度，从而产生流体密度梯度和可压缩性梯度。流体材料参数中的这些梯度与声学相互作用产生热声体积力，热声体积力产生声流，最终形成这种特定的声流模式。

图 5 玻璃毛细管内的热声流和温度梯度。根据对称平面绘制的声阱实际几何。

粒子轨迹

通过粒子追踪，我们还可以了解具有特定性质的颗粒是否会被吸入声阱。下面的动画显示了直径为 10 µm 的大颗粒硅玻璃和直径为 1 µm 的小颗粒聚苯乙烯的计算轨迹。压电换能器上方的硅玻璃颗粒向玻璃毛细管中心移动并被困在那里，而较小的聚苯乙烯颗粒的移动则受流体流动的控制。

图6 大颗粒硅玻璃的运动轨迹。

图 7 小颗粒聚苯乙烯的运动轨迹。

动手尝试

有兴趣自己动手建立文中示例的多物理场模型吗？点击下面的按钮即可下载该模型的 MPH 文件：

获取教程模型

扩展阅读

您也可以在 COMSOL 案例库中找到一些包含声流和声阱的教程模型：

借助 COMSOL Multiphysics® 深入探究 MEMS 技术

Elsa Richardson-Bach — Wed, 17 Apr 2024 03:34:39 +0000

当你在线上会议上发表演讲时、对智能设备说出语音命令时，或者在电话中交谈时，你的声音很有可能是通过 MEMS 技术被接收的。因此这种固态半导体技术经常被用于制造能产生高品质音效的现代微型扬声器。这篇博客，我们将探讨 MEMS技术为麦克风带来的好处，制造 MEMS 麦克风所面临的挑战，以及如何借助仿真来提高这类麦克风设计过程的效率。此外，我们还将讨论由 MEMS 技术驱动的现代微型扬声器的最新进展。

MEMS 技术的现状

在麦克风中使用MEMS 技术可以提高信噪比（SNR），即所需音频信号与背景噪声之间的比值。由于 MEMS 体积小，因此在笔记本电脑或手机等设备上添加多个麦克风成为可能。由于能够提供高信噪比，加上体积小所带来的优势，MEMS 设备具有滤波和主动降噪（ANC）功能。这使得 MEMS 麦克风能够拾取清晰的语音信号，并过滤掉来自外界的嘈杂环境。此外，MEMS 麦克风的硅结构使其很容易集到成数字产品中、抗技术振动而且批量生产的成本低。

图1 一个 MEMS 麦克风模型。

由于 MEMS 技术所具有的这些优点，因此它越来越多地被应用在智能家居设备、手机、平板电脑、台式机和笔记本电脑，以及助听器等消费类产品的麦克风中。近年来，随着居家办公场景的增多，对 MEMS 麦克风的需求也在增加。

MEMS 麦克风仿真

有了仿真软件，工程师就可以精确模拟这些器件，放大不同的关注区域，也更容易深入探究这种微小尺度技术。对于小尺度（通常是亚毫米尺度）的MEMS麦克风，热边界层和黏性边界层的影响非常重要。边界层对系统中的摩擦损耗和热损耗都有影响，会抑制声学响应。要获得 MEMS 麦克风的正确声学响应，必须将黏性和热效应考虑在内。

随着制造技术的不断进步，制造越来越小的设备成为可能。然而，较小的尺寸会导致较高的克努森数，从而使非连续效应变得非常重要。通过仿真，工程师可以测试多个变量。例如，在 COMSOL 案例库中的 MEMS 麦克风模型中，您可以使用边界条件来考虑 MEMS 麦克风中高克努森数的影响。

麦克风由一个微型穿孔板 (MPP)、一个振膜和一个封闭背腔组成。振膜表面采用了滑移条件，因此壁面的切向速度取决于边界处的流体应力。这会在固体和流体的速度之间产生不连续性。

图 2 由微型穿孔板和振膜组成的 MEMS 麦克风。

接下来，我们将简要介绍该模型的一些模拟结果。您可以在文末下载这个模型模拟的详细分步说明。

结果探讨

在研究的一开始，电场会对振膜施加预应力，使它产生静态变形，就像拉紧吉他弦一样。然后向微型穿孔板上表面施加压力，使振膜振动，并在二者之间的空间产生电信号，如图 3 所示。

图3 在 20 kHz 下所有域的声压。

如图 4 所示，对声速的研究表明，黏滞阻尼区域是通过微型穿孔板上的孔，以及微型穿孔板和振膜之间的挤压流动产生的。

图 4 声速结果。

最后，模型分析了 MEMS 麦克风在 200 Hz 到 20 kHz 的频率响应。较低的频率下显示出下降，由于耦合电路的原因，响应曲线不再平坦。而在较高的频率下，响应则有所下降。由于模型的长度尺度较小，机械共振位于较高频率处，因此频谱在音频范围内接近平坦。

图 5 频率响应。

MEMS 麦克风在日常电子设备中很常见，在仿真的帮助下，其性能不断提升。接下来，我们将探讨 MEMS 技术的一种新应用，其设计过程也能受益于仿真技术。

新的轨迹

MEMS麦克风的优点同样适用于MEMS扬声器，但直到现在这种扬声器技术还没有商业化。跟被发明时的机械系统一样，扬声器技术由磁体、线圈和振膜组成。几十年来，这一系统不断得到改进，但大多数扬声器都会遇到相似的设计难题，尤其是在耳机方面。磁体和线圈系统很容易出现相位不一致的情况，导致每只耳朵听到的声音不同。振膜本身通常不够坚硬，无法在高频时保持活塞式运动：振膜在响应磁体推动时可能会发生翘曲，这就有可能使一些声音变得浑浊。

图 6 采用 MEMS驱动器的耳机。

幸运的是， MEMS 技术为这些问题提供了解决方案。由于采用了固态半导体结构，MEMS 扬声器去除了磁体，因此质量更轻、体积更小且音量更均匀，从而消除了相位偏差。硅振膜更加坚硬，在抽气时系统可保持线性，因此声音能保持清晰、无杂音。此外，与磁体和线圈扬声器相比，MEMS 扬声器的驱动速度更快，这意味着它们能更快地启动和结束声音，从而能更清晰地分离不同的声音。最近，一系列配备 MEMS 驱动器的无线耳机的发布标志着人类首次将 MEMS 技术应用到扬声器系统中。

MEMS 的未来

随着MEMS技术的应用，麦克风和扬声器的性能正在迅速提升。大多数麦克风已经采用了 MEMS 技术，能够解析出音频信号中越来越小的细微差别，耳机中也很可能会采用 MEMS 技术，以播放最高品质的录音。为了帮助这些领域创新，仿真技术提供了一种深入观察微型设计的方法，还能在制作物理原型之前对设计进行精确模拟和优化。

MEM为推动音频制造进步打开了许多新的通道。因此，当您下一次听音乐或进行视频通话时，可以花点时间想一想您的微型扬声器或麦克风里装的是什么，因为它可能就是 MEMS 技术！

下一步

想尝试模拟 MEMS 麦克风模型吗？COMSOL 案例库中提供了相关 MPH 文件和分步说明，欢迎下载:

下载模型

扩展阅读

阅读以下资源，了解有关 MEMS 麦克风和扬声器技术的更多信息：
了解有关扬声器和声学仿真的更多信息，请访问 COMSOL 博客：
- 使用哪种耦合特征模拟扬声器驱动器？
- 如何选择 COMSOL 产品进行压电仿真？

使用卷积运算和可听化技术进行室内声学分析

Takumi Yoshida — Tue, 05 Mar 2024 08:24:51 +0000

卷积是一种有用的数学运算，被应用于信号和图像处理、统计学等多个领域。声学工程师经常使用卷积来处理声学信号，以提取所需的信息或更好地解释声音。这篇博客，我们将介绍在 COMSOL Multiphysics^® 软件中实现卷积运算的3种方法。我们将讨论使用这些方法对房间脉冲响应（IR）的低通滤波实现卷积，并通过一个室内声学可听化示例来说明。

卷积的定义和方法

从物理上讲，卷积可以给出在时域、频域或空间域中表示的两个信号之间的重叠量信息。对于时域信号，它的数学定义为

f(t)\ast g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau){\mathrm{d}{\tau}。

式中, 和分别表示时间变量和用于时间积分的虚拟变量，代表卷积算子。

在每个处，此方程将计算函数的原始形式与另一个函数反射和移位后的乘积的时间积分。这个运算是交换运算，即无论哪个函数被反射和移位，运算结果都保持不变。所有的移位值 () 都要进行积分，得出的卷积结果作为的函数。

这里，我们将这种积分形式称为卷积积分，它适用于处理平滑和连续函数。对于离散数据（如数字化声音信号），使用这种方法需要高要求的数值积分方案，这通常会带来巨大的计算量。为了避免这种情况，可以使用下面的离散卷积法来处理离散信号：

f(t)\ast g(t) = \sum_{\tau=-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\Delta t.

式中, 是采样间隔。

通过将积分近似为离散样本的求和，离散卷积的计算速度比卷积积分更快。

如果存在两个信号的傅里叶变换，则可以使用基于卷积定理的快速傅立叶变换 (FFT) 更高效地计算离散卷积：

f(t)\ast g(t) = \mathcal{F}^{-1}\left[\mathcal{F}[f(t)]\times \mathcal{F}[g(t)]\right].

式中, 和分别是傅里叶变换算子和傅里叶逆变换算子。卷积定理利用了时域中两个函数卷积的傅里叶变换等价于信号（频域中的信号）傅里叶变换的乘积这一事实。现代实时卷积技术通常使用 FFT，因为它的计算效率更高。

房间脉冲响应的低通滤波

下面，我们将演示如何在COMSOL Multiphysics^® 中使用卷积积分、离散卷积和卷积定理来实现卷积。我们将通过一个示例来介绍这些方法的基本步骤。在这个示例中，对从小型音乐厅声学分析教学模型中获得的脉冲响应施加一个低通滤波。（声波的空气衰减就是一个常见的例子。）这些脉冲响应数据被加载并存储在一个插值函数中（本例中为插值 1）。数据图如下所示。

房间的脉冲响应图。

数据的持续时间和采样频率分别为 2s 和 44100Hz。

至于低通滤波器，我们使用的是 4 阶 Butterworth 滤波器。滤波器的传递函数定义如下：

TF(f) = \frac{2\pi \omega_c^4}{\Pi_{k=1}^{4}({j\omega-s_k})},

与

s_k=\omega_c \exp{\frac{j(2k+3)\pi}{8}},

其中，和分别代表频率和角频率。是截止频率处的角频率。是表示序列乘积的乘积算子。

在本例中，4 阶滤波器的截止频率为 2kHz，使用 Analytic 1 函数（本例中为解析1）定义。下面的图片显示了函数的定义方式、函数的实部和虚部频率响应，以及由该函数定义的滤波器的增益特性。

4 阶 Butterworth 滤波器的传递函数是用 解析 1定义的。

传递函数实部和虚部的频率响应。

低通滤波器的增益特性。

增益特性表明，低通滤波器在截止频率 2kHz 之前具有平坦的带通（此时滤波器会将输入功率衰减一半或 3dB）。在截止频率以上，滤波器增益以每倍频程 -24dB 的速度递减。

现在，让我们来了解一下在 COMSOL Multiphysics^® 中实现卷积的 3 种方法。

方法1：直接处理卷积积分

先来看直接处理卷积积分方法。这里需要输入两个时域信号。第一个信号是房间脉冲响应信号，已经定义为插值1。第二个信号，即低通滤波器，是在频域中定义的。需要通过对信号进行反离散傅里叶变换 (IDFT) 将其转换到时域。具体步骤如下。

步骤 1

创建 Grid 1D 数据集，并将其命名为 Grid 1D_f。这将生成一个指定频率范围（-22050 Hz，22050 Hz）的频率栅格，与房间脉冲响应数据的频谱相对应。它将被用于绘制频域信号。

Grid 1D_f 数据集的设置。

步骤 2

使用一维绘图组 功能中的函数图，对低通滤波器的 Grid 1D_f 数据集进行 IDFT。在设置窗口的输出部分，从显示列表中选择离散傅里叶变换，从显示列表中选择实部，并勾选逆变换。

低通滤波器 IDFT 的设置和曲线图。

步骤 3

在表1 中添加绘图数据。

步骤 4

利用表1 中的数据定义一个插值函数（插值2）。

插值2 的设置。

现在，我们已经有 2 个可以进行卷积的时域信号。虽然定义中假定了一个无限的时间间隔，，但由于两个输入信号在此时间范围之外都设置为零，因此只需在 0–2 s 的有限时间间隔内计算积分。卷积积分的计算过程如下。

步骤 1

在几何节点定义一个间隔，使其起始值和终止值与积分区间（0–2 s）相对应。

创建间隔。

步骤 2

在间隔上定义积分算子 intop1 。

积分算子的定义。

步骤 3

使用大小等于原始房间脉冲响应数据采样间隔的均匀线网格将间隔离散化。

间隔的离散化。

步骤 4

运行瞬态研究，这样就可以在结果部分使用插值函数和 intop1 算子。

步骤 5

创建 Grid 1D 数据集，并将其命名为 Grid 1D_t。这将生成一个时间网格，用于定义 0–2 s 范围内的时间信号，采样频率为 44 100 Hz。

Grid 1D_t 数据集的设置。

步骤 6

使用 Grid 1D_t 作为源数据集，在一维绘图中进行卷积积分。

使用 dest 算子 的卷积积分表达式。

这里，IR 和 Filter_IDFT 是在 插值1 和 插值2 中定义的房间脉冲响应和低通滤波器脉冲响应的插值函数。
请注意，dest 算子 强制要求在目标点而不是源点对函数进行求值。

方法2：标准离散卷积

离散卷积广泛应于实践中。要在 COMSOL Multiphysics^® 中进行离散卷积，必须使用APP开发器。借助APP开发器中的方法编辑器，可以使用 Java^® 代码来创建方法，运行这些方法可以自动实现或扩展模型树中的操作。本文将举例说明使用表存储数据实现卷积的方法。

下图中显示了实现的代码和设置，下表中列出了代码中定义的变量。

用表格中存储的数据实现离散卷积的 Java方法。

名称	类型	说明
a	双（二维矩阵）	来自第一个输入表的数据
b	双（二维矩阵）	来自第二个输入表的数据
c	双（二维矩阵）	卷积结果
ndata1	整数（标量）	a 的长度
ndata2	整数（标量）	b 的长度
ndata	整数（标量）	c 的长度
dt	双（二维矩阵）	取样间隔
js	整数（标量）	求和指数的起始值
je	整数（标量）	求和指数的终止值

Java^® 程序中定义的变量。

代码对存储在两个输入表中的数据进行离散卷积，并将结果输出到输出表中。以下几点说明可以更好地理解代码：

第2–4行: 从第一个输入表中提取数据和数据长度
第6–8行: 从第二个输入表中提取数据和数据长度
第11–13行: 定义结果的长度，创建存储卷积结果的双精度数组，并定义采样间隔
第18–28行: 执行 for 循环，开始离散卷积，从第一个时步到最后一个时步
第30–33行: 将结果输出到标有 离散卷积结果 的输出表中

请注意，结果数据的长度是两个输入表的长度之和减 1，求和指数的起始值（js）和结束值（je）的定义是使 js 小于第二个表的长度，je 小于第一个表的长度（分别见代码中的第 22 和第 23 行）。

要运行程序，必须将两个时间信号的曲线图存储在表格中。低通滤波器 IDFT 的绘图数据存储在表1 中。对于房间脉冲响应，需要在一维绘图组 功能中使用 Grid 1D_t 数据集创建房间脉冲响应的函数图，并将图中数据复制到表2 中。

可以在添加到模型树中的方法调用 功能的设置窗口中输入表格的标记名称。所有设置完成后，点击方法调用 设置窗口中的运行按钮就可以实现离散卷积。

在方法调用 功能的 设置 窗口中输入表格标记。

方法3：基于卷积定理的离散卷积

最后一种方法是根据卷积定理进行卷积，即使用 DFT。在这种情况下，要使用房间脉冲响应的 DFT 和低通滤波器的传递函数。具体方法如下：

步骤1

在同一个一维绘图组中的两个函数图中绘制房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部（各一个）。在设置中，从显示列表中选择 离散傅里叶变换。然后从显示列表中选择实部或虚部，分别用于绘制房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部。复选框为默认设置。

用一维绘图表示的房间脉冲响应 DFT。

步骤 2

将房间脉冲响应DFT 的实部和虚部数据分别复制到 表 3 和表4 中。

步骤 3

分别用 表 3 和 表 4 中存储的数据定义 插值 3 和 插值 4。

步骤 4

通过计算房间脉冲响应和低通滤波器的 DFT 点乘积的 IDFT 来进行卷积。利用 Grid 1D_f 数据集，在单个函数图中完成点相乘和 IDFT。

房间脉冲响应 DFT 与低通滤波器乘积的 IDFT。选择 设置 窗口中的 逆变换 复选框可实现逆变换。

这里, real_IR 和 imag_IR 是房间脉冲响应 DFT 的实部和虚部，分别在 插值 3 和 插值 4中定义。 Butterworth 是 解析 1中定义的低通滤波器的传递函数。

请注意，卷积定理方法实现的是环形卷积，也就是说，如果网格的间隔长度不够，就会出现环形重叠。

低通滤波器的结果

下图显示了3种方法计算出的低通滤波房间脉冲响应，可以看出，3种方法的计算结果非常一致。

通过卷积积分、离散卷积和卷积定理计算出的卷积结果对比。

卷积结果范围为 0.02–0.07。

下图显示了滤波前后房间脉冲响应频谱的对比。可以确认的是，滤波后的频谱在 2 kHz 以上有所降低，而这正是低通滤波器的截止频率。这一结果证明卷积实现是成功的。

滤波前后的房间脉冲响应频谱。

可听化应用

下面我们来看一个可听化应用的例子。该示例包括房间脉冲响应和在消声室中采集的录音的卷积。假设该系统线性时间不变，可以通过脉冲响应和输入信号的卷积来计算任意输入的响应。根据这一理论，声学专家通过使用计算方法模拟的脉冲响应与消声室声音的卷积，对声场进行可听化评估。这一模拟过程被称为 可听化，包括从创建声音数据到听到声音的整个过程。示例模型（通过下一节中的按钮访问）使用前面介绍的标准离散卷积方法，对小型音乐厅模型中的小号声音进行了可听化处理。您还可以将卷积结果导出为 WAV 音频文件，以在音频或媒体播放器中播放。在下面的两个音频中，您可以比较消声室和混响室小号的声音。

小号在消声室中吹奏时的声音。

小号在小型音乐厅演奏时的声音，使用了可听化技术。

上面的示例中是单声道声音，与我们通常听到的双声道声音不同。不过，可以通过结合与头部相关的传递函数或声场再现技术，如环绕声（参考文献 1），来生成更逼真的声音。在接下来博客主题中，我们将展示这些示例。

下一步

点击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，进一步探索本文讨论的模型。

获取模型

延伸阅读

阅读以下博客，了解有关声学仿真中数据处理的更多信息：

参考文献

M. Vorländer, Auralization: Fundamentals of Acoustics, Modelling, Simulation, Algorithms and Acoustic Virtual Reality, Springer Science & Business Media: Berlin/Heidelberg, 2007.

消声效果由 The Open AIR Library 提供，获 CC BY 4.0 许可。

Oracle 和 Java 是 Oracle 和/或其附属机构的注册商标。

模拟热声发动机中的声能产生

Tsukasa Ishii — Thu, 15 Feb 2024 07:21:29 +0000

热声发动机通过输入的热能产生声能。与往复式发动机和燃气涡轮机等常用发动机相比，热声发动机不含活动部件，因此结构非常简单。这篇博客，我们将介绍如何使用 热黏性声学 接口模拟热声发动机的工作原理。热黏性声学接口是 COMSOL Multiphysics^® 软件中的一个功能强大的接口，用于模拟流体线性化行为。

热声发动机的工作原理

150 多年前，Pieter Rijke 教授发现并报道了一个有趣的现象，可以被看作是热声学的开创性工作。他将金属丝纱布放入一个垂直放置的玻璃圆筒管中，然后用火从底部加热纱布。熄火后，他观察到圆筒在一段时间内持续发出声音（参考文献 1）。这个装置现在被称为 Rijke管，因此有些人可能看到过它被作为解释共振现象的一个例子。然而，抛开共振不谈，声音是如何产生的呢？

Rijke 管装置。

奥秘在于温度变化与管内流体运动之间的相互作用：加热的金属丝网引起空气自然对流，使空气在管道中稳定流动；金属丝网上方的空气温度要高于金属丝网下方的空气温度。在管内的半驻波声共振中，空气将在声周期的不同时间向两个方向流经金属丝网。当空气流过金属丝网时会被加热。由于金属丝网下方的空气比上方的空气更冷，因此当气流向上而不是向下流动时，会传递更多的热量。为了获得持续的声场，热量释放需要与压力场相位一致，这样当声压为正时，流体就会被加热。在驻波中，导致加热的速度场与压力场不同步。然而，由于金属丝网周围黏性边界层的影响，热量释放比速度场滞后。这种相位延迟导致热量释放与压力场部分同相，从而产生持续共振。如果将管横过来，对流停止，共振将不再持续。如果将管翻转过来，当声压为负时，热量传递将最大，因此声场将减弱而不是持续。

这是热能和声能之间能量转换的一个例子。事实上，整个装置展示了热声发动机的工作原理。

热声发动机有一个封闭的管状通道，声音可以在其中传播。通道内有一个热交换器，用于加热或冷却工作流体。热声发动机使用驻波或行波，而 Rijke 管仅使用驻波。由于压力和流体位移之间存在相位延迟，行波发动机有望实现比驻波发动机更好的性能。在这篇博客中，我们将主要介绍行波发动机的模型。

我们来思考一下使用行波的热声发动机的原理。要了解波是如何起作用的，请看下图中小块流体的运动。声波是纵波，因此如果高压行波从左侧传来，小块流体就会被推向右侧。同样，当来自左侧的低压波到达流体块时，它会被拉向左侧。

小块流体如何在来自左侧的行波下移动。用虚线框表示波的假想区域。在邻近板块有适当温度梯度的情况下，如果受到高压波的推动，流体块总是会移动到较热的区域，而如果受到低压波的牵引，流体块则会移动到较冷的区域。

假设沿波的行进路线在管中放置一块加热板。如果加热板的右端，而左端保持中等温度，那么加热板中就会出现温度梯度。当流体块向右移动时，温度梯度会加热块；当流体块向左移动时，温度梯度会吸收流体块的热量。由于流体块向右移动时压力最大，流体块的加热会将压力推至最大值。同样，流体块向左移动时吸收的热量也会降低最小气压。这些周期性的温度起伏使流体块的移动同步，最终增加了波的振幅。所有流体块像链条一样共同传递压力波，并通过热量交换为压力波增加能量。请注意，板中的温度梯度应与波的传播方向一致，否则波将会直接衰减。

如果你想知道是否存在一种与发动机循环相反的装置，答案是肯定的。这种系统被称为 热声热泵 或 热声制冷机，它可以利用声波移动热量。工作原理很简单：当高压波到达块时，块被压缩，温度随之升高，块开始向右移动的同时向邻近物体散热。相反，在低压波的作用下，块会吸收热量并向左移动。

这里给出的解释仅供参考，并不包含热声发动机的所有细节。如果想了解有关热声发动机的更多详细信息，请参阅参考文献 2。

热声仿真中的线性方程

在创建新的仿真时，考虑使用哪些方程和哪个接口是合适的始终非常重要。就我们现在介绍的仿真示例而言，使用声学模块来模拟热声振荡似乎是合理的，因为这个现象与声波有关。由于这种现象在学术领域被称为 热声学，因此 热黏性声学 接口似乎是一个不错的选择。让我们看一下这个接口的方程和功能，以验证我们的选择。

在时域分析中，热黏性声学 接口使用以下方程：

\frac{\partial \rho_{\rm t}}{\partial t}+\nabla\cdot (\rho_0 \bm{u}_{\rm t}) = 0 \\

\rho_0\frac{\partial \bm{u}_{\rm t}}{\partial t} = \nabla\cdot\bm{\sigma} \\

\rho_0C_p\left(\frac{\partial T_{\rm t}}{\partial t} + \bm{u}_{\rm t}\cdot\nabla T_0\right)-\alpha_pT_0\left(\frac{\partial p_{\rm t}}{\partial t} + \bm{u}_{\rm t}\cdot\nabla p_0\right) = \nabla\cdot(k\nabla T_{\rm t})+Q,

式中，, , , 和分别表示密度、速度、温度和压力。下标表示该值属于背景平均流，而带有下标的变量表示声学扰动。热黏性声学 接口的控制方程是根据纳维-斯托克斯方程（流体运动的精确方程）推导出来的，并基于以下假设：模拟中可以忽略每一个二阶扰动项，并且平均背景流的速度为零 ()。

必须注意被忽略的非线性因素，以及线性化方程是否涵盖我们感兴趣的现象。在热声发动机中，流体与热交换器之间的热交换由扩散项表示，声振荡引起的热传递由线性化平流项表示。由高压平流项输送的冷流体在热交换器中被加热，能量通过第三个方程递增。这些项描述了系统中重要的热传递原理，因此线性方程非常适合模拟发动机。

另外还需要注意，没有表示时变温度场与振荡速度耦合的平流项。这种耦合表示法将显示振荡引起的瞬态温度场的传输。平流项对于热泵模拟非常重要，因为平衡时的温度梯度是由振荡决定的，而不是优先的。在这种情况下，我们可以使用 非线性热黏性声学贡献 功能，它允许模型在 热黏性声学，瞬态 接口中将非线性项考虑在内。模拟非线性可能代价高，因此非线性功能仅被添加在相关域中。

在 COMSOL Multiphysics^® 中进行热声仿真

到目前为止，我们已经介绍了热声发动机的基本工作原理和相关的模拟控制方程，下面我们就开始建立模型。您可以在COMSOL 案例库中访问文中示例的模型文件。如上一节所述，我们将使用 热黏性声学 接口来建立行波热声发动机模型。由于稳态背景温度场并不均匀，因此还要使用传热接口。整个研究可分为两个步骤：背景温度场的 稳态步骤 和声场的 瞬态步骤,而不是同时使用两个接口。只需在 热黏性声学模型 节点中将传热接口的解设置为平衡温度，就可以实现耦合。

至于 热黏性声学 接口的边界条件，我们应将热交换器壁设置为等温 ()。这种条件会在压力较高时加热流体温度（由于来自较冷区域的平流，小于零），并在压力较低时冷却流体（大于零）。

示例 1：简单环

首先，我们将模拟一个由简单环组成的发动机。它的右侧通道中有一个热交换器，整个通道形成一个闭合回路。稳态温度如下图所示。热交换器下部区域的温度梯度非常醒目，但我们关注的是热交换器小间隙中的温度梯度。

简单环形发动机的平衡温度（左：整个系统；右：热交换器特写）。热交换器中狭窄通道的底部端在 493 K 的温度下被加热。

在瞬态研究步骤中，驻波被作为压力的初始条件，以便触发环路内部的振荡。随着模拟的继续，振幅不断增大，这可通过 点探针 功能获取（如下图所示）。很明显，振荡不断增强，意味着热能已转化为声能。

设置点探针 功能是为了追踪发动机内的压力。压力数据取自热交换器中的一个点，该点靠近作为初始压力分布的驻波的压力节点。

那么，发动机内的压力是怎样的呢？下面三幅图分别显示了 t = 0.281 s、0.285 s 和 0.289 s 时的压力分布。t = 0 s 时为驻波，但经过一小段时间后，压力分布开始沿顺时针方向旋转。波的传播方向与热交换器中的温度梯度相同，初始驻波的逆时针分量由于缺乏能量供应而减弱。有趣的是，逆时针方向的波的激发可以通过在模拟过程中翻转温度梯度的方向来模拟。在模型文件中，稳态研究步骤在 t = 0.3 s 时再次计算反转后的温度曲线，瞬态研究 反映了自那时起平衡温度的变化。顺时针方向的波一直保持到大约 t = 0.6 s。随后，发动机中出现了类似驻波的分布，波最终沿逆时针方向传播。

压力分布记录（左：t = 0.281 s；中：t = 0.285 s；右：t = 0.289 s）。由于前面讨论的热声效应，高压区和低压区均沿顺时针方向移动。

示例 2：带接头的环

除简单环外，我们再来看看另一种配置。下图显示了下一个具有复杂几何结构的模型示例。该几何结构模仿了参考文献 3 中的实验装置。该模型是二维的并经过简化，与参考文献中讨论的热交换器的水力直径相同。右下角的分支管道（称为接头）是为将来提取声能而添加的。与示例 1 一样，该环路用在发动机中将热能转换为声能，但是在这个示例中，部分能量可以在接头处提取。

带接头的模型中的平衡温度。该几何结构模仿了参考文献 3 中的实验装置。

发动机内的瞬时压力分布如下图所示。在弧长等于 3.6 m时，压力急剧下降，这是由热交换器小间隙中的黏性阻力引起的。值得注意的是，压力的振幅与位置密切相关。这是由于模型的复杂性造成的，例如发动机中持续存在的黏性阻力和驻波分量。图中还绘制了每个位置上绝对压力的时间最大值，标记为 max(|p|)。请注意，尽管振幅看起来有点大，但该模拟假设没有湍流，任何扰动都是线性的。在对空间最大值进行无量纲化处理后，近似振幅 max(|p|) 的分布与参考文献 3 中的实验和分析数据非常吻合。

沿环的瞬时压力分布以及由状态变量计算的近似振幅 max(|p|)。

查看其他示例

自 Rijke 教授演示了热声现象以来，人们对热声学的认识有了显著提高，目前正在积极研究其在能源设备中的应用。在这篇博客中，我们介绍了如何使用 热黏性声学 接口对热声发动机进行模拟，并对发动机的有趣特性进行了可视化展示。

COMSOL 案例库包含许多跨物理学科的模型。下面是与热声学有关的两个模型：

热声发动机简化模型, 这是一个驻波热声发动机模型。有多个模型文件，可对使用 热黏性声学，瞬态 接口的线性扰动方法和 非等温流动 多物理场接口的完全非线性方法建立同一模型进行比较。后一种方法在求解纳维-斯托克斯方程时考虑了非线性因素，但代价是计算时间有所增加。
热声发动机和热泵, 这是一个驻波热泵模型。与热声发动机不同，热声热泵的仿真需要计算非线性平流项，因为温度会因热传导效应而不断降低。在模型中，非线性热黏性声学贡献 节点被添加到 热黏性声学 接口中，以考虑非线性因素。模型还使用了 热黏性声学-热扰动边界 耦合，这是 6.2 版本中的一项新功能。该耦合用于模拟振荡流体与通道中的固体板之间的热交换，因为固体温度会随着热量的泵送而不断降低。

参考文献

P.L. Rijke, “LXXI. Notice of a new method of causing a vibration of the air contained in a tube open at both ends,” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 17, no. 116, 419–422, 1859; https://doi.org/10.1080/14786445908642701
G.W. Swift, Thermoacoustics: A Unifying Perspective for Some Engines and Refrigerators, Springer, 2017; https://doi.org/10.1007/978-3-319-66933-5
M. McGaughy et al., “A Traveling Wave Thermoacoustic Engine—Design and Test,” Letters Dyn. Sys. Control, vol. 1, no. 3, July 2021; https://doi.org/10.1115/1.4049528

小型智能扬声器的完整室内声学脉冲响应仿真

Mads Herring Jensen — Fri, 07 Jul 2023 02:16:40 +0000

最近，我们在 COMSOL 博客中讨论了如何使用有限元-射线混合方法建立室内声学模型。本篇博客，我们将使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中内置的有限元-射线耦合功能，对放置在一个小房间桌子上的小型智能扬声器的响应进行建模。除了使用此功能外，我们还将通过手动耦合来更详细的描述近场源。这个方法结合了详细的换能器有限元模型、全频率范围辐射特性、低频全波有限元模型和高频射线声学模型。此外，我们还模拟了随角度和频率变化的房间吊顶的吸收特性。

如果您想了解关于使用有限元-射线混合方法的博客，请点击查看：“使用混合方法建立室内声学模型”。请注意，这篇博客描述了将脉冲响应的高频和低频部分串联起来的操作，但本文并未明确讨论串联问题。

提出问题

我们以求解放置在一个小房间里的桌子上的小型智能扬声器的声学响应为例。房间的吊顶（也就是“天花板”）由一个背面为空腔的多孔材料构成。墙壁、沙发和地板也具有吸声特性。本模型只选择了一个接收器（传声器）位置，设置如下图所示。

图1.问题的设置。

在当前的设置中，我们采用将压力声学与机电元件的集总表示（Thiele-Small 参数）相结合的方法来模拟小型智能扬声器。使用集总扬声器边界 功能将压力声学、频域接口 与集总电路模型耦合。有关这种建模方法的详细信息，请参阅教程模型：扬声器驱动器集总模型。

小型智能扬声器的示意图如图 2 所示。该模型包括:

前腔和背腔
扬声器振膜与集总元件模型耦合
穿孔的网格
从后部通向外部的通风口
狭窄区域和小型波导中的热黏性边界层损耗

该模型的几何结构还包括三个使用 RCL 模型模拟的麦克风，但此教程并未明确使用这些麦克风。请注意，这只是一个简化的几何体，当然也可以扩展为包含更详细的几何体和物理场的完整的多物理场模型。

图2.小型智能扬声器

图3. 1kHz 时扬声器表面声压实部。

方法组合

这里我们展示的是将最适合全波仿真的结果与高效率求解几何声学的射线追踪相结合的模型设置。在此，我们介绍了计算低频和高频所需解的必要设置。高频和低频响应的串联并不是在此模型中完成的，而是根据之前博客中介绍的模型进行的。

低频问题

对于低频系统，直接使用压力声学、频域接口 和电路接口 来解决房间和换能器的声学问题，可以通过在模型的组件 2 中设置，并在研究 2 中求解。后者用于模拟换能器机电部分。使用多孔介质声学 功能模拟吊顶。使用狭窄区域声学 功能计算扬声器内部波导结构的热黏性损耗。对于音圈和磁铁系统周围的一些损耗也很重要的区域，则使用热黏性边界层阻抗 功能求解。

在本例中，低频系统的求解频率最高可达到 1200Hz。求解的最高频率可能还会进一步提高。为了有效求解高频率，我们改用了基于移位拉普拉斯方法的迭代求解器建议。该模型可求解约 3.8e6 个自由度 (DOF)，需要约 22GB 内存。模型的求解频率从 50Hz 到 1200Hz，步长设置为 10Hz，大约需要 4 小时（具体取决于硬件配置）。需要注意的是，迭代求解器的相对容差需要设置为 1e-6，以确保有限元模型和集总参数模型的收敛性。

图4. COMSOL Multiphysics 的用户界面，其中的多孔介质声学功能用于对吊顶进行明确建模。

图5. 频率为 400Hz 时，房间内的声压级分布。

有关使用迭代求解器的另一个例子，请参阅汽车车厢声学-频域分析教程模型。

高频问题：两种方法

在高频范围内，使用的是射线声学接口，并与全波模拟结果相结合，用于表示扬声器的声源以及与角度和频率相关的吊顶表面阻抗。我们使用了两种声源表示方法，并进行了比较。

第一种辐射源表示法将被称为“点源释放”，从某种意义上说，它是一种经典的射线追踪辐射源。智能扬声器放置在一个立在桌子上的无限隔音板上时的辐射特性在组件 1 中建模。这个例子很好地示范了在 COMSOL Multiphysics^® 中轻松设置子模型的方法。通过根据外场释放 功能，可以直接将这些结果用于定义射线声学模拟中的点声源表示，该功能在组件3 中设置和使用，并在研究3 中求解。就电声参数和物理模型而言，智能扬声器的设置对于声源子模型和完整（低频）室内声学模型是相同的。

图6. COMSOL Multiphysics^® 用户界面显示了 根据外场释放功能，该功能可以自动将全波有限元模型的辐射模式与射线追踪模型结合起来。

在第二种高频射线追踪方法中，源的特征不是用它的远场辐射特征（作为点源），而是用近场特征表征的，包括最靠近卓面边缘的散射细节。这将被称为 “根据外场计算释放”。在这个示例中，使用压力声学，频域接口 建立的全波有限元模型将在声源周围的球体中求解（在组件 4 中设置，在研究 4 中求解声源）。其原理是，射线从球体表面沿声学强度（“声学坡印廷矢量”）方向释放，大小为局部强度。这种设置是通过射线声学中的从边界释放功能实现的（在组件 4 中设置，在研究 5 中求解声源问题）。设置见下图 7。请注意，释放方向是归一化强度矢量，源总功率（取决于空间）是，其中是总释放面积，是表面法线。在这两种情况下，表达式都包含在 bndenv() 算子中，从而确保有限元求解可以映射到射线上。

图7. 从边界释放功能的 COMSOL Multiphysics 用户界面设置。

图8. 释放球体表面的射线释放方向和强度示例。

压力场释放设置结合了全波方法（近场）和射线追踪的相关假设，这也为使用这种方法设置声源设置了一些限制。例如

当使用从边界释放射线时，射线是同时释放的。因此，应该假定从声源发出的声音会同时到达和离开释放边界的每一部分。然而，要做到这一点，就不能随意设置释放边界。
由于上一点提到的限制，源域中的内部反射就很难考虑在内。根据反射路径的不同，声音确实可以传播不同的距离，这将导致在释放边界和脉冲响应中出现不同的时间事件。
最后，在射线追踪中计算的脉冲响应不包括时间延迟（从源到释放边界的飞行时间）。COMSOL^® 软件假定释放边界处的释放时间为 0。

在这个模型中，近场球半径设置为 0.3 米。选择这个尺寸是为了防止局部全波问题太大而无法求解，同时还能显示最近的桌面边缘的影响。

请注意，这两个射线跟踪模型都包括了吊顶吸收的角度和频率相关性。这些特性是在一个单独的模型中计算得出的，如下图所示。

吊顶的特性

通过对多孔层（使用压力声学，频域接口 中的多孔声学 功能）和空腔进行建模，将吊顶的特性直接纳入模型的低频分析部分。在（高频）射线追踪模拟中，吊顶的吸收特性被包含在与频率和入射角有关的吸收系数中。吸收数据是从吊顶的子模型中提取的。该模型也可在此处下载。该模型采用了与多孔吸声体教程模型类似的方法。一般来说，使用子模型是为射线跟踪模拟获取更详细的边界（和源）条件的一个好方法。

下图显示了模型中吊顶的吸收面。该吊顶由 1cm 的多孔材料制成，流动电阻为 20,000 [Pa-s/m²]，后面是 2cm 的空腔。在射线追踪模型中，通过调用一个带有频率参数和入射角变量 rac2.wall5.thetai（标记为射线声学模型 2 和壁条件 5）的插值函数，包括了角度和频率相关性。

图9.吊顶的吸收系数面。

为简单起见，目前的模型只包括天花板的详细吸收数据。模型完全可以扩展到包括所有边界的角度和频率吸收数据。详细的散射数据也可以通过全波模型计算得出，如施罗德扩散器二维模型教程模型所示。

边界条件考虑

本文讨论的模型有多种用途，可以在边界条件做出各种假设。这些假设取决于重点是压力声学仿真还是射线声学仿真。让我们来详细了解一下建模注意事项和假设是如何根据仿真类型发生变化的。

首先，让我们来看看压力声学仿真的一些注意事项：

这里会模拟相位信息，因此一般最好使用与频率相关的阻抗条件。
在低频情况下，仅使用吸收系数通常并不准确。
表面的法向阻抗取决于入射角。那么，应该使用什么值呢？对于没有明确入射角的室内声学应用，使用有效入射角通常是一个不错的选择。例如，根据阻抗条件中多孔层 选项的定义，在自动设置下以 50° 入射角进行计算法向阻抗。
如有可能避免上述假设，最好像本模型中的吊顶一样，对实际吸收表面进行建模。

在射线声学仿真中，考虑使用

正态与随机入射吸收系数
随角度变化的吸收系数
散射系数

正常（和随机）入射的吸收系数、角度相关吸收系数和散射系数可以是常数，也可以是频率相关系数，但模拟选项也取决于可用的数据。

此外，对于射线声学仿真，如果壁的吸声在一个倍频程内变化很大，可考虑使用更窄的频带表示，如 1/3 倍频程或甚至 1/6 倍频程频带。

结果

图 10—13 展示了从示例模型中选取的一些结果。图 10 显示了 1000Hz 的压力分布，可以清楚地看到解的波形。在图 11 中，描绘了 1000Hz 频段的射线在同一时刻的位置（对两种方法的不同释放时间进行了修正），比较了点源和压力场描述的释放。从图像中可以清楚地看到，这两种方法给出了不同的空间分辨率（射线密度），因为点源只向上半部空间释放射线，而压力场释放射线也会向下释放射线（由于桌面边缘的衍射）。要对这两种方法进行更正式的比较，应考虑到这一事实。

图10. 1000Hz 下的压力分布。

图11. 点声源（左）和压力场释放（右）的射线图。两幅图都显示了在 6ms 时计算的 1k Hz 频带（根据 0 时刻的不同定义进行了近似校正）。请注意色条上不同的射线功率刻度。右图还绘制了声源区域近场的声压。

图 12 和图 13 对这两种方法进行了比较。图 12 描述了声源和接收器之间的传递函数。它绘制了两种射线追踪方法和全波有限元模型的脉冲响应（IR）的快速傅立叶变换（FFT）。这里没有对有限元模型结果进行平滑处理，但对射线追踪结果应用了 1/3 倍频程运行平均滤波器处理。该图显示了相同的整体行为，还显示了即使在预期的施罗德频率（垂直线）之上，房间内也有很强的模态行为。两条射线声学结果（蓝色和红色曲线）之间似乎存在更大的水平差异。这可能是因为两种声源描述的能量传播方式不同。最后，图 13 比较了两种射线追踪结果的一些时间特征。我们对早期衰减时间（EDT）和 T20 混响时间进行了比较，从下图中可以看出，两者之间存在显著差异，这表明两种模型到达接收器的能量的时间分布是不同的。

图12. 全波响应和射线声学脉冲响应的快速傅立叶变换。

图13. 早期衰减时间和 T20 混响时间的室内声学客观指标比较。

这里讨论的一些结论可以加以完善，用于扩展模型中进行的分析。例如，您可以选择使用更多的射线，比较多个接收器位置，在有限元模型中使用更精细的频率分辨率，或在射线跟踪模型中使用 1/6 倍频程波段。这些不同的选项都可以使用当前模型完成。例如，通过改变参数 Nrays 来改变射线数量，或通过改变参数 xr、yr 和 zr 来改变接收器的位置。

下一步

点击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，进一步探索本博客中讨论的模型。

获取教程模型

其他资源

在 COMSOL 博客上了解有关室内声学建模的更多信息：
- 使用混合方法建立室内声学模型
- 验证室内音乐厅的声学射线追踪仿真
查看相关教程模型：
- 施罗德扩散器二维模型

使用混合方法对室内声学进行建模

Mark Cops — Thu, 23 Feb 2023 02:42:16 +0000

室内声学建模和仿真的一个挑战是准确模拟一个房间内全部频率范围内的声学性能。这篇文章讨论了在 COMSOL Multiphysics^® 软件中对室内声学进行建模的一种混合方法，就是将多种方法的结果集成到一个模型中，来提高准确性并确保方法的可行性。接下来，我们来看看如何做到这一点。

室内声学回顾

在上一篇关于使用 COMSOL Multiphysics 对室内声学进行建模的博客中，我们介绍了 COMSOL 软件的声学模块中可用于建立封闭空间的声学模型的多种方法。文章讨论了:

如何使用压力声学 接口模拟模态行为
如何使用射线声学 接口模拟高频行为
如何使用声学扩散方程 接口模拟高频行为

今天，我们将讨论如何结合使用前两种方法获得一个房间内的宽带脉冲响应。

室内脉冲响应

想象一下，在一个房间里弹起一个充满空气的气球，并在房间的某个位置放置一个麦克风记录与时间相关的声压。麦克风将收到来自第一个波前的直接声音，以及从墙壁、地板、天花板和其他物体上传播和反弹的所有波反射信号的叠加。声音通常会被不同的材料吸收，例如地毯、家具和天花板，最终会完全消失。麦克风记录的声压与时间的关系信号被称为该测量位置的室内脉冲响应。这是一个非常重要的室内声学描述量，因为它可以告诉我们很多关于房间内的声学性能。

左：射线声学模型的结果显示了从声源到麦克风位置的一小部分射线的路径。右：室内脉冲响应示例。

对房间进行建模

对一个房间的声学性能进行建模时，为了确定建模方法的准确性和可行性，仿真工程师必须同时关注声学特性和几何尺度。在 COMSOL 声学模块中，可以使用压力声学,频域 接口通过有限元方法对房间的低频模态行为进行建模。然而，由于网格的要求，这种方法在高频下计算成本很高。我们可以通过射线声学 接口的射线追踪方法对房间的高频混响行为进行建模。虽然这种方法通常计算效率高，但射线追踪不是基于波的方法，不会捕获模态行为。为了准确模拟房间的脉冲响应，两种模型都可以在各自的频率范围内运行，并可以结合使用两种方法来获得全部频率范围内的响应。

考虑一个 4.7m x 4.1m x 3.1m 的矩形房间。本例中所有的壁都使用与频率相关的吸收系数进行建模。该模型的目标是确定位于坐标（3，3，2）m 处的麦克风的脉冲响应。事实证明，对于一个考虑“轻微”吸收壁的单极脉冲源，房间内任何一点的压力都有三维解析解。遵循参考文献1和参考文献2中的符号标记，任何一点的压力都可以用格林函数来表示，格林函数由在接收器和源位置计算的无阻尼房间模式形状和一个与频率相关的阻尼项构成。表达式为：

P(r) = i \rho_0 \omega Q G(r,r_0)

G(r,r_0) = \sum_{mnp} \frac{\psi_{mnp}(r)\psi_{mnp}(r_0)}{V \Lambda_{mnp}(k^2_{mnp}-k^2 -i \tau_{mnp})}

式中，是密度，是频率，是单极域源体积速度。格林函数表示三个正交笛卡尔方向上模态的三次求和，指数表示不同的模态。s 表示模态形状，是模态的余弦函数乘积，是体积空间的模态整数因子。波数为。关于分析解的完整说明，请查阅参考文献1和参考文献2。对于这个建模方案，定义解析解的变量已经添加到组件1 定义变量1-解析解 中。

就像我们之前的博客中所讨论的，模态和混响房间行为之间没有明确的过渡频率，但可以根据Schroeder提出的标准（参考文献 3，4）进行估计。在这个案例中，Schroeder 频率接近 370Hz，并通过全局定义 射线参数计算。上面的解析解将作为参考解与数值模型进行比较。

压力声学

理想情况下，我们可能希望在全部频率范围内使用基于波的方法对房间内的声学性能进行建模，但由于网格要求，这在高频下不可行。我们知道低于 Schroeder 频率的单个模态的贡献占室内响应主导地位，因此选择使用略高于 Schroeder 频率的最大频率求解压力声学：在这个案例中，频率高达 500Hz。压力声学模型的设置包括：

含压力声学、频域 接口的 3D 组件
含恒定功率的单极点源
指定壁面的频率相关阻抗条件（吸收系数）
能解析空气中 500Hz 以下的波长的体网格
频域研究

矩形房间三面壁上的声压级（分贝的参考值为 20μPa），频率为 250Hz。

上图示例显示了房间壁上的总声压级分布。使用这种方法，我们已经模拟了房间内声学的低频行为（低于 500Hz）。为了模拟房间内声学的高频行为，我们将切换到射线声学。

射线声学

射线声学模型设置如下：

使用射线声学 接口添加 3D 组件
使用频率相关吸收系数指定壁面条件
使用从栅格释放 条件，按照指定功率从源点释放 8000 条射线
如果功率水平低于阈值，使用射线终止 标准停止追踪射线，从而降低自由度
使用高达 4000kHz 的超过 1/3 倍频程带频率的参数扫描进行射线追踪研究

下图显示了从点光源释放出射线时的屏幕截图。请注意，为了可视化图像，下面仅显示了一小部分光线。（y 坐标上小于源位置的射线被隐藏。）

3 ms 时的射线轨迹显示了从单极点源释放的射线。色阶代表射线压力，单位为 Pa。

射线追踪研究不是以精细步长运行的。那么脉冲响应如何计算的呢？在 COMSOL Multiphysics 中，有一个专用的 接收器 数据集和一维脉冲响应 绘图可用于此计算。该绘图组采用 1/3 倍频程输入，例如射线功率、频率、反射次数和流体特性，并重构频率范围内的脉冲响应。目标是获得一个新信号，当对输入的倍频程频段进行平均时，该信号的能量含量与真实信号相同。这是通过将脉冲信号与选定的红外滤光核（默认是带有 Kaiser 窗口的砖壁）进行卷积，然后将所有频段上所有射线的贡献进行汇总来完成的。有关重构的更多信息，请查看声学模块用户指南。

下图显示了麦克风位置处的声压级。由于单极点源代表一个时间上的脉冲，因此房间的脉冲响应也可以在频域中解释，其中源是频率范围内的一个宽带激励。（狄拉克 δ 函数在时间上的傅里叶变换是一个与频率有关的恒定函数。）

通过压力声学研究、射线追踪研究和解析的公式计算的麦克风声压级。黑色虚线表示施罗德频率。

根据这个图，我们可以得出几个关键的结论。首先，分析结果与高达 500Hz 的压力声学研究结果非常吻合，这是该研究中的最大频率。这个结果可以作为一个良好的基准，表明模型的设置是正确的。

将射线追踪结果与其他结果进行比较时，很明显低频声压级并不匹配。这些结果是意料之中的，因为射线追踪本质上不是一种基于波的方法，并且不能捕获在低频下占主导地位的模态行为。我们可以得出结论，射线追踪结果在低频下并不准确，尤其是在这个模型中当频率低于 50Hz 时。

压力声学图中的前两个共振峰对应于两种不同的模态，它们被脉冲源激发，但声能还没有被壁强烈吸收。由于我们在模型中考虑了弱吸收，因此这里的模态几乎等于具有硬声场壁的房间的模态。参考文献5推导并计算了考虑刚性边界条件的相同大小房间（4 .7m x 4.1m x 3.1m）的前 20 种模态（参见参考文献5中的表3.1）。前两种模式是 36.17Hz 的（1，0，0）模态和 41.46Hz 的（0，1，0）模态。它们分别对应于 x 方向和 y 方向上的第一种模态，并与上图中的前两个峰值保持一致。

117Hz 以下有 20 种模式，随着频率的增加，越来越多的模态会影响房间的混响行为。在低频下，模态间隔很远，并且模态的带宽也不重叠。在高频下，模态确实会重叠，这会导致嘈杂的频率响应。由于射线追踪不是一种基于波的方法，因此即使高于施罗德频率，射线追踪的结果也不会与解析结果完全一致。然而，射线追踪和解析结果都显示出与施罗德频率以上的声压级相似的特征和范围。这意味着，高于施罗德频率的射线追踪结果可用于准确估计脉冲响应，其标准是根据在输入倍频程频段上取平均值时，保持与真实信号相同的能量含量。

组合方法

我们还可以将压力声学和射线声学模型的结果组合在一起，创建宽带脉冲响应信号。与参考文献6中描述的方法类似，这可以通过采用低通滤波压力声学响应，并将其添加到高通滤波射线声学响应中来完成。这个方法利用了傅里叶变换的线性特性。

使用的滤波器类型和信号过滤位置的名称不是由任何工程标准设定的。可以根据行业具体实践或工程判断选择所实施的数字信号处理技术。这个模型通过简单的理想阶跃滤波器过滤施罗德频率以下的信号，演示了组合的概念。

信号组合的设置如下:

用全局常微分方程和微分代数方程 接口的零维组件
将射线声学 模型的结果导出到文件中，并作为插值曲线导入组件3
使用研究设置中的因变量值 将压力声学 模型的结果传递到研究3

在下图中，全局方程 被添加到了组件3:

添加到 组件3 的全局方程。

这里，P_acpr 是接收器处的体积平均压力。该表达式显示了压力经过低通滤波并随时间偏移（0.25s），以符合脉冲响应 绘图类型的惯例，方便后续进行比较。P_rac 是来自脉冲响应快速傅里叶变换（FFT）的插值函数的压力。表达式 P_rac 使用了插值函数 r_ray 和 i_ray ，即射线追踪研究（研究2）的压力的实部和虚部。通过压力表达式还可以看出射线压力通过了高通滤波并乘 2。系数为 2 是因为在研究3中仅计算了正频率，而插值是针对全频谱的。最后， P_hyb 是低通滤波压力声学响应和高通滤波射线追踪响应的总和（使用的方法与参考文献6中使用的方法类似）。

下图显示了原始信号和仅使用 组件3运行频域研究后组合信号的比较。在这幅图中，我们可以看到，压力声学和射线追踪结果的结合使混合响应具有正确的频率响应。

通过压力声学、射线追踪和混合方法计算的麦克风声压级。

理想的滤波器是使用阶跃函数实现的，对于高通滤波器 hp(freq)，从 0 步进到 1，对于低通滤波器 lp(freq)，从 1 步进到 0。两个功能中都包含一个 50Hz 平滑过渡区，并将阶跃转换的位置设置为施罗德频率。将两个函数都添加到组件3 定义下。下图显示了施罗德频率附近的混合响应。从图中我们可以分析理想滤波器的特性。值得注意的是，理想滤波器在施罗德频率下的增益因数均为 -3dB，这意味着这里的响应是两者的平均值。在其他地方，混合响应是两种响应的加权组合，具体取决于频率。滤波器的总和在所有频率上都是 0dB。

接近施罗德频率的滤波器平均混合压力。

为了从频率分析返回时域分析，我们运行第四个也是最后一个研究，包括一个从频域时间域的 FFT 步骤。在这个步骤中，Tukey 窗口函数用于对逆 FFT（IFFT）进行带限制。混合信号和原始射线追踪信号的比较如下图所示。虽然我们在时域中可以看到一些差异，但通过直接查看频谱更容易发现差异。很明显，在全部频率范围内，这里计算的混合压力与时间信号比纯射线追踪信号更准确。这种精度意味着混合信号可用于计算其他室内声学指标，例如清晰度、混响时间或语音传输指数，或导出用于房间听觉化的外部分析工具。

使用射线追踪和混合方法得到的压力与时间脉冲响应的比较。

动手尝试

这篇文章，我们介绍了一种将射线追踪和有限元方法组合使用来获得宽带脉冲响应的方法。文中显示的所有模拟都是在 COMSOL Multiphysics 中完成的，并且解被集成到单个模型中。这个方法对于在高频下使用全波方法可能并不总是可行，但对于大型室内声学仿真特别有用。单击下面的按钮，尝试自己动手，您可以从 COMSOL 案例库中下载该模型文件：

试用教程模型

参考文献

Morse, Philip McCord, and K. Uno Ingard. Theoretical Acoustics. Princeton University Press, 1986.
Okoyenta, Augustus R., et al. “A Short Survey on Green’s Function for Acoustic Problems.” Journal of Theoretical and Computational Acoustics 28.02 (2020): 1950025.
M. R. Schroeder, New Method of Measuring Reverberation Time, J. Acoust. Soc. Am., 37 (1965).
M. R. Schroeder, Integrated-Impulse method measuring sound decay without using impulses, J. Acoust. Soc. Am., 66 (1979).
Kuttruff, Heinrich. Room Acoustics. CRC Press, 2016.
Aretz, Marc, et al. “Combined broadband impulse responses using FEM and hybrid ray-based methods.” EAA Symposium on Auralization, 2009.

多物理场拓扑优化的实现

Junghwan Kook — Fri, 16 Sep 2022 05:52:27 +0000

来自 Jabra 的特邀博主 Junghwan Kook 介绍了一个多物理场拓扑优化框架，以及它的优势，并演示了如何使用它。Junghwan Kook 是参考文献 1 的论文作者，其论文中的一些插图被用在了这篇博客中。

这篇博客介绍了一个使用 COMSOL API 接口和 LiveLink for MATLAB^® 构建的多物理场拓扑优化框架，此内容已在参考文献 1 上发表。文中通过一个可以使用 COMSOL Desktop^® 解决的声-结构相互作用 (ASI) 问题对该框架进行了演示。这个框架的优势是它能够解决（当前）与 COMSOL Desktop ^® 不兼容的问题。

动机

拓扑优化问题总是使用基于梯度方法来求解，这需要使用伴随灵敏度分析。如果基础方程是稳态的或瞬态的，COMSOL Desktop^® 支持求解此类问题。因此，最常见的问题，包括频域问题，都可以解决。对于上述框架，它在某些情况下提供了一些独特的优势。例如，它能够：

将目标或约束与稳态和瞬态求解器相结合
测试自定义优化求解器
支持灵敏度不一致的情况，可使用包括灵敏度过滤或类似的启发方式
在不重新初始化优化求解器的情况下，更改迭代之间的数值参数的值

虽然这些优势可能与学术研究用户最相关，但也有一些优势会吸引所有用户。例如，该框架可以在以下情况下避免冗余计算：

对于扫描问题（例如多个载荷工况），可以避免计算所有扫描参数值的约束灵敏度
对于扫描参数仅影响某些因变量的情况，可以将解限制为除扫描参数的第一个值之外的所有变量

在迭代求解器的背景下，避免一些冗余计算工作可能不太重要，并且上述框架其实增加了计算和工程时间。尽管如此，该框架确实有可能加快上述列出情况的计算速度。

拓扑优化

COMSOL Multiphysics^® 软件的功能强大，我们可以利用 LiveLinkfor MATLAB^®的功能实现拓扑优化框架，同时利用 MATLAB^® 编程环境的易用性和快速实现的优势。

拓扑优化是一种有效的方法，在满足产品性能目标的同时，针对给定的载荷和边界条件，可以在给定的设计空间内优化材料分布。在早期概念设计阶段使用拓扑优化方法，可以取代昂贵且繁琐的设计迭代，以达到最佳设计效果，从而节省时间。尽管在过去几十年里，拓扑优化不断发展并被广泛采用，将拓扑优化应用于新的应用领域（即将拓扑优化与现有软件包不支持的物理过程相结合）仍然具有挑战性。下面列出了开发多物理场拓扑优化算法或程序的几个难点。

为多物理场问题开发有限元模型
材料插值和设计变量的参数化
目标函数和设计灵敏度分析
后处理和操作拓扑设计结果

上述列出的挑战通常会使普通从业者和研究人员不愿将自己已经发表的一些教学案例和简单框架扩展到多物理场拓扑优化。

这里讨论的拓扑优化算法和程序是使用 COMSOL API 和 LiveLinkfor MATLAB^® 开发的，适合那些希望在多物理场问题中使用拓扑优化设计的用户。

多物理场问题有限元模型的发展

我们可以通过 COMSOL API 使用 模型对象 访问和轻松操作 COMSOL^® 模型的所有特征和数据结构，它提供了多种方法让用户可以执行任务，例如创建几何和网格，以及设置和运行操作序列来求解模型。模型对象的结构符合 Java^® 编程语言环境，并提供了几种方法来执行有限元分析和优化所需的一系列任务。我们可以使用 LiveLink for MATLAB^® 来访问模型对象和实用函数。

采用 ASI 问题的拓扑优化来证明所引入的框架在系统设计多物理场问题方面的有效性（参考文献 1）。两个声域之间的分区结构的设计问题如图 1 所示，该问题被用作求解多个 ASI 拓扑优化的基准问题。我们可以使用拓扑优化来设计分区结构，以使从入口辐射的声压在出口处最小化。

图1. 考虑声-结构相互作用的基准拓扑优化问题的示意图。

在示例中，将位移()和压力()作为状态变量 (a 公式）的混合有限元公式，用于解决 ASI 问题的拓扑优化问题。我们可以对所有结构、声学和完全耦合的 ASI 问题进行模拟，而无需通过更改混合的公式中的材料属性，来明确构建声学和结构域之间的边界条件。因此，对于结构-声学相互作用问题，公式有助于实现基于密度的拓扑优化。

COMSOL^® 支持混合有限元公式，但该框架不限于软件的物理场接口，因为它还包括来自 MATLAB^®编程环境的基于方程的仿真功能。例如，如图 2 所示，图 1 中位移场的域积分项扩展为直观的弱形式（见公式 (A)），我们可以通过弱形式偏微分方程 接口，使用 COMSOL 可解释的语法轻松实现该公式，即

-((test(ux)-test(vy))*G*(ux-vy)+(test(uy)+test(vx))*G*(uy+vx))

+(test(ux)*p+test(vy)*p)+rho*omega^2*(test(u)*u+test(v)*rho*v.

有关在 COMSOL API 中实现弱形式的更多详细信息，请查阅参考文献 2 和 3。此外，我们还可以通过查看图 3 中显示的代码来获得一些灵感，这些代码指示了拓扑优化框架的基本步骤。例如，图 2 中的方程(A)、方程(B)和方程(C)可以使用图 3 所示的模型对象和方法来实现。

图2. 使用混合的公式的声-结构相互作用问题弱形式方程，和用于拓扑优化问题所需的一些基本任务。有限元系统方程包括设计变量和状态变量，例如方程 (E)；目标函数和约束，例如方程（F）; 和设计灵敏度分析，例如公式(G)。

图3. 为拓扑优化过程所需任务选择的 COMSOL API 和 MATLAB^® 代码。COMSOL API 语法可以轻松方便地处理所需的任务，无需多行复杂的代码。

设计变量的材料插值和参数化

拓扑优化最终会在设计域中找到一种材料和另一种材料(或空隙)的最佳分布，用于优化目标函数。在 ASI 问题的优化过程中，通过密度、体积模量和剪切模量取与空气和固体材料对应的两个极值之间的值，以得到优化的设计。这些值由具有设计变量场的材料插值函数引入，如图 2 中的方程(B)所示。

\rho = \rho_\text
{air} + (\rho_\text{solid} – \rho_\text{air}) \gamma

K = K_\text
{air} + (K_\text{solid} – K_\text{air}) (\frac
{\gamma}{1 + (1 – \gamma)p_K})

G = G_\text{air} + G_\text{solid}(\frac {gamma} {1 + (1 – \gamma)p_G})

式中，和是可以控制设计变量场的中间值的参数。使用 COMSOL Multiphysics 中基于方程的仿真，我们可以轻松地将设计变量场作为辅助因变量引入模型中。因此，在设计域中引入了一个额外的控制方程，如图 2 中的方程(D) 所示。在图 3 中看到的代码中，设计域上的域积分项通过设置 test(gamma) 定义，其中设计变量 gamma 在弱形式偏微分方程 接口中设置为因变量。需要注意的是，设计变量的弱形式偏微分方程 接口从未被求解，而仅用于根据优化程序更新设计变量。

COMSOL^® 求解器允许我们使用解耦方法解决部分问题，与此同时修复子集。例如，子集方程可以求解状态变量场，同时将设计变量的值保持在其初始值。设计变量的值在后续迭代步骤中更新。为了访问和更新组装矩阵，我们利用与设计变量和状态变量相对应的自由度(DOF)列表，它是使用 mphxmeshinfo 函数提取的。这种方法的优点是我们在 MATLAB^® 中使用矢量化运算，而不必使用有限元运算，从而提高了代码的可读性和计算性能。由于这种实现方法不依赖于优化器，它可以与任何优化求解器（即任何基于梯度或无梯度的优化器）一起使用。

目标函数和设计灵敏度分析

这里提供的示例中，图2 方程(F)积分形式的目标函数可以使用内置函数 mphint2 进行计算(参见图 3 所示的代码行)。

伴随变量法(AVM)常用于设计灵敏度分析，因为它在计算涉及大量设计变量的系统的设计灵敏度方面具有很高的效率。我们可以使用 mphmatrix 函数轻松构建伴随方程和导数，该函数会提取所需的矩阵和向量并以 MATLAB^® 结构格式将它们返回。特别是，在方程(G)中看到的设计灵敏度分析所需的导数项，可以通过指定状态和设计变量的索引直接从组合矩阵中提取，因为设计变量场被视为组合矩阵中的状态变量之一。设计灵敏度分析可以应用于其他问题而无需进行实质性修改。

对生成的拓扑设计进行后处理和操作

LiveLink for MATLAB ^®提供了一种可访问的可视化方法，可以对每次优化迭代的优化分析结果，以及所开发程序的整体操作生成清晰的视图，用于排除和修复优化过程中可能出现的问题。图 4 显示了每次迭代的拓扑设计以及目标函数和体积分数的迭代历史，这些在 MATLAB^® 环境中都可以看见。

图 4. 每次迭代的拓扑设计（参考文献 1）以及目标函数和体积分数的迭代历史都在 MATLAB^® 环境中可以看见。

在仿真软件中求解多物理场问题，需要从拓扑解中获得各种绘图，来解释优化设计。我们可以将在 LiveLink for MATLAB^® 环境中开发的最终模型保存在一个 MPH-文件中，该文件包含 COMSOL^® 模型对象，包括所有方法和数据结构。保存的解可以在 COMSOL Desktop^® 环境中打开，以便在设计工作流程中对产生的拓扑结构进行后处理和操作。然后，我们可以使用模型开发器窗口轻松创建不同的拓扑结果绘图。如图 5 所示，通过使用滤后处理过滤功能，得到了固体和空气之间有明显边界的最终设计。为了显示性能，生成了一个变形结构来说明优化后拓扑设计的受力变形情况。

图5. (a)优化后获得的最终设计。(b)使用阈值过滤得到的具有清晰耦合边界的拓扑。(c)具有位移幅值场的变形结构。(d)导入的网格零件。(e)用于 3D 打印和增材制造的导入网格零件创建的 2D 几何图形。所有图均来自参考文献 1.

优化的设计可以导出为 CAD 模型，用于进一步分析和原型制作。将数据集导入 COMSOL Desktop^® 后，我们可以使用优化结果创建网格文件和 CAD 文件。几何对象可用于进一步分析，也可导出用于 3D 打印。

使用 COMSOL Desktop^® 重现拓扑优化问题

这篇博客深入探讨了使用 COMSOL API 和 LiveLink for MATLAB^® 进行多物理场拓扑优化，并概述了其他相关的主题，包括有限元和设计灵敏度分析以及后处理。COMSOL API 和 LiveLink for MATLAB^® 使初学者能够使用最少的编程实现高级拓扑优化。由于设计变量场的离散化和灵敏度分析方法不限于特定问题，因此本博客中涵盖的通用框架，能够解决其他类型的拓扑优化问题，而无需大量修改。此外，引入的框架提供了与高级语言相同的开发自由，这并不限制我们研究需要访问优化参数以及数值计算中的一些矩阵和向量的新拓扑优化技术和方法。它还提供了一种有效的方法来解决和修复优化过程中可能出现的问题。

注意：要获得使用 LiveLinkfor MATLAB^® 进行优化的详细描述和代码，请查看参考文献 1。

此外，COMSOL Multiphysics 提供了对用户友好的优化模块插件，使我们能够通过其多物理场和用户定义的偏微分方程求解器来求解拓扑优化问题。使用 COMSOL Desktop ^® 进行拓扑优化，我们可以仅使用内置功能重现相同的多物理场拓扑优化问题(见图 6)。该模型使用固体力学(用于优化域)的混合公式选项和压力声学 (用于纯声学域)，并结合了优化模块中的最新优化方法和过滤方案。

图 6. 仅使用内置 COMSOL Desktop®功能重现相同的多物理场拓扑优化问题。

您可以单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库查看图 6 所示的模型。

 
获取教程模型

关于作者

Junghwan Kook (JK)于 2012 年在韩国光州科技大学（Gwangju Institute of Science and Technology）信息与机电一体化学院获得博士学位。之后，他在丹麦技术大学 (DTU) 机械工程系从事博士后研究。2015—2017 年，任 DTU 电气工程系声微机械系统研究中心助理教授。2017 年至今，他一直在 GN Audio A/S 公司从事科研工作，也就是 Jabra，该公司是工程通信和声音解决方案领域的领先品牌，通过创新为消费者和企业提供支持。他目前的研究兴趣包括多学科设计优化、声学和机械设计的数值方法、声音质量、以及声学和振动声学特性的实验分析。JK 一直使用 COMSOL Multiphysics 建模与仿真真实世界的多物理场系统，为用户提供高质量的解决方案。

参考文献

J. Kook and J.H. Chang, “A high-level programming language implementation of topology optimization applied to the acoustic-structure interaction problem,” Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 64, pp. 4387–4408, 2021.
C. Liu, “Implementing the Weak Form in COMSOL Multiphysics,” COMSOL Blog, 2015; //www.denkrieger.com/blogs/implementing-the-weak-form-in-comsol-multiphysics
C. Liu, “Implementing the Weak Form with a COMSOL App,” COMSOL Blog, 2015; //www.denkrieger.com/blogs/implementing-the-weak-form-with-a-comsol-app

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在 COMSOL® 中计算瞬态声压级

Mark Cops — Tue, 13 Sep 2022 06:15:45 +0000

对于瞬态声学问题，有不同的声压级度量，一些文献和测量标准中对它们进行了定义。在将瞬态声学仿真的结果与声级计的测量结果进行比较时，或为了使瞬态仿真结果更容易在对数尺度上解释，了解这些指标非常重要。这篇博客，让我们来看看这些不同的指标是什么，何时以及如何计算它们。

定义声压级

对于稳态谐波噪声，声压级()定义为：

\textrm{SPL}= 10\log_{10}{\frac{p_\textrm{rms}^2}{p_\textrm{ref}^2}},

式中，是均方根(RMS)声压，是参考声压(例如，空气的参考压力为 20 ，也是 RMS 值)。对于一个复振幅为的谐波激励：

p_\textrm{rms} = \sqrt{\frac{1}{2}pp^*} = \frac{|p|}{\sqrt{2}},

式中，表示复共轭。因此，可以很好的定义稳态噪声，这里的表达式可用于 COMSOL Multiphysics ^® 软件中使用压力声学，频域 接口计算。接口中内置了几个变量，便于进行结果分析。

对于瞬态噪声，整个时间段() 内的 RMS 声压可以计算为：

p_\textrm{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T p(t)^2 dt}

由于此表达式在整个区间内取平均值，因此对于比较区间内随时间变化的水平没有用处。为此，我们可以分析其他指标。在这篇博文中，我们将重点关注：

使用频域到时域 FFT 研究中的使用窗函数 功能计算瞬态信号的频率权重 声压
使用时域的卷积计算时间计权声压级
使用参数扫描计算用户定义时间段内的时均声压级

频率权重

人耳不能平等地感知所有频率的声级。例如，耳朵对 1000 音调的感知比 100 音调的更敏感。为了在分析声音测量时从数学上考虑这种敏感性，引入了A 权重作为 IEC 61672-1:2013 标准的一部分。这一功能可以调整正在分析的噪声，用于补偿频率。

其他权重函数包括：

C 权重：这是为了捕捉耳朵的非线性响应，例如高声压级的与频率相关的变化。
Z 权重：这是一个平坦的响应，用于表示零权重。

正常频率范围内的这三个函数(A 权重、C 权重和 Z 权重)如下图所示：

A-权重、C-权重和 Z-权重频率加权函数图。

权重函数的选择很大程度上取决于应用。例如，在美国，职业健康与安全管理局(OSHA)和环境保护署都使用 A 权重指标来衡量职业和环境噪声限值。

A 权重增益函数为：

A(f) = 20 \log_{10} {H(f)}

H(f) = \frac
{f_4^2f^2}
{(f^2+f_1^2)(f^2+f_2^2)^
{1/2} (f^2+f_3^2)^{1/2}
(f^2+f_4^2)}\frac{(1000^2+f_1^2)(1000^2+f_2^2)^
{1/2} (1000^2+f_3^2)^{1/2}
(1000^2+f_4^2)}
{f_4^21000^2}

式中，是频率，常数，，和。该函数被定义为在 1000 具有 0 增益。稍后，我们将使用参数和解析函数来实现这个函数。

请注意，不同类型的权重内置在倍频带图中。该图可用于后处理所有频域数据。您可以在我们的博客文章“用于声学仿真的倍频带图”中详细了解该图。

时间计权声压级

考虑一个瞬态 A 权重声压。可以通过以下方式定义瞬时声压级：

L_{p_A}(t) = 10 \log_{10}{\frac{p_A(t)^2}{p^2_{ref}}}

但是，这其中存在一些问题。首先，当 = 0 时，结果运算涉及取 0 的对数，所以未定义。第二个更实际的问题可以追溯到第一次使用声级计的时候。如下面的 3 个并排图像所示，针形指示器会上下移动以显示变化的信号。但是，如果我们根据瞬时声压级的定义来看待这一点，就会出现一个问题：指针来回移动的太快，以至于操作员很难在任何给定时刻看到读数。（参考文献 1）

声级计指针指示器。

为了克服这个问题，我们引入了时间计权声压级 的概念。其定义为：

L_{A \tau}(t) = 10 \log_{10}{\bigg[\frac{1}{\ p_\textrm{ref}^2}\frac{1}{\tau}\int_0^t p_A(\zeta)^2e^{-(t-\zeta)/\tau}d \zeta} \bigg]

在这个表达式中，是时间常数，是用于积分的中间变量。参数的定义是，慢速时间计权为 1s，快速时间计权为 0.125 s。按照这些规格制造的声级计有可供用户使用的慢速和快速时间权重选项。

时间计权声压为：

p_{A \tau} = \sqrt{\frac{1}{\tau}\int_0^t p_A(\zeta)^2e^{-(t-\zeta)/\tau}d \zeta}

让我们来分解这个表达式。该函数是声压函数的平方和指数衰减函数的卷积。卷积将是两个函数相乘和积分的数学运算。在这个过程中，其中一个函数被翻转并沿中间轴移动，在这个例子中是。假设使用进行快速时间计权，用作为声压，当的瞬间。将通过在轴绘制这两个函数，以周期归一化后进行可视化。

卷积积分中的各个函数(左)和卷积积分的被积函数，在离散时间将它们相乘的结果(右)。

当将两个函数相乘时，剩下用于积分是第三个函数，这个函数只有在由指数函数的当前时间戳计权的时间间隔上为非零。很明显，随着时间的增加，更多的指数函数与压力信号重叠，因此对于这种纯正弦曲线的情况，期望积分会增加到一个点。

回到实际示例中，时间常数有效地减慢了指针移动的速度，因此操作员可以在指针变化时实际读取它。尽管在数字技术之前它的用途是用于声级计，但时间计权声压级今天仍在用于现行标准和声级计。

等效连续噪声级

IEC 61672-1 中还定义了时间平均声压级，也称为等效连续噪声级。它的定义是：

L_{AT} = 10 \log_{10}{\bigg[\frac{1}{p_{ref}^2}\frac{1}{T}\int_{t-T}^T p_A(\zeta)^2d \zeta}\bigg]

平均周期必须参考测量来指定，但可以代表任何时间。该标准建议声级计采用以下积分时间：T = 10 s、1 min、10 min、30 min、1 h、8 h 或 24 h。在这种情况下没有卷积。这只是一个定义的时间段内的 RMS。

时间平均压力为：

P_{AT} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{t-T}^T p_A(\zeta)^2d \zeta}}

使用短平均周期（以秒或更短周期）被称为 短等效连续噪声级 或短 Leq。这对于减少数据存储和传输很有用，同时对于长时间记录的声音，仍然保持相当高的数据保真度。

示例 1：正弦压力信号

频率权重

在这里，我们展示了一个验证示例，该示例考虑了一个具有恒定振幅和恒定频率的简单正弦波形。这可以使用表达式为 P0*sin(2*pi*fdrive*t) 的解析函数来实现。我们将使用参数来定义压力振幅和驱动频率。第一步是计算 A 权重信号。我们将使用前面定义的参数为 A 权重添加第二个解析函数。

A 权重函数的设置 窗口。

频率权重参数的设置窗口。

我们将在全局常微分 和微分代数方程 接口中添加一个 0 维组件并使用全局方程。

全局方程的设置窗口。

接下来，我们可以依次设置三个研究步骤。首先，瞬态研究用于求解上图中定义的方程，它有效地将信号存储为一个因变量。接下来，时域到频域 FFT 研究将信号转换到频域。最后一步(也是涉及频率权重的步骤)是使用频域到时域 FFT 研究步骤。在这里，选择使用窗函数 复选框。对于窗函数，选择来自表达式 并插入我们之前定义的解析函数的表达式。

频域到时域 FFT 研究步骤的设置窗口。

研究结果如下所示，放大到几个周期。A 权重压力与原始信号同相，但振幅减小。这种振幅的降低可以通过查看 A 权重频率增益函数曲线来验证，该曲线在 300 显示为 ~-7 。增益可以通过振幅的对数比来计算，即，这与曲线一致。

对正弦波形使用频率加重后的结果图。

时间权重

现在，已经对信号进行了频率权重，接下来我们将计算时间计权声压和时间计权声压级。首先，我们将新计算的值存储为插值函数，其数据源是一个派生值结果表。这样，我们就得到一个函数，用于计算卷积。

插值函数的设置窗口。

为了计算卷积，添加了一个 1 维网格 数据集。使用的表达式如下所示。在表达式中，是网格定义的积分变量坐标。是为移动指数权重函数而引入的一个新变量。substval() 中的主要表达式是 integrate(P_A_func(zeta)^2*f(t-zeta),zeta,0,t,1e-8)，它定义了 zeta 从 0 到某个变化量的积分，积分容差为 1e-8. substval()。用一个当前值替换，这使得卷积可以被计算出来。

用于计算时间计权声压的设置窗口。

时间计权声压和声压级的结果如下所示。请注意，必须及时解析信号才能使积分准确。当波形是纯正弦波时，可能会发生一些有趣的事情。首先，随着时间的增加，快速计权声压和快速计权声压级分别接近 RMS 和总声压级。对于纯正弦曲线，可以根据卷积积分的解析解来检查结果，卷积积分可以按部分(多次)积分得出。如果 A 权重压力声压振幅为，则解析解为

P_{A \tau} = \sqrt{\frac{P_{0A}^2(4 \tau^2 \omega^2(1 – e^{-t/ \tau})-2 \tau \omega \sin(2 \omega t)-\cos(2 \omega t)+1))}{8 \tau^2 \omega^2 +2}}.

此外，时间常数也可以解释为达到约 63% 等效水平的所需的时间。例如，以 dB 为单位的 63% 是。所以，在，时间计权声压级应比等效声压级低约 2 dB（在这个示例中约为 84-82 dB）。

时间计权声压(左)和声压级(右)的结果图。

时间平均

最后一步是计算时间平均声压级。我们将定义参数，包括平均持续时间、平均数以及积分的移动上限和下限。添加了一个新的瞬态研究，其中包含对平均值数量的参数化扫描。这个参数化研究的目标是创建可用于后处理的移动上限和下限。请注意，这里实际上没有解决任何物理场接口问题。

用于时间平均计算的 参数(左)和 研究(右)设置窗口。

线图可与参数解数据集一起使用，来绘制时间平均值。在这个图中，解参数 更改为手动，参数选择 更改为全部，时间选择 更改为最后。线段将从较低时间跨越到较高时间（x 坐标），表达式（y 坐标）是时间平均声压的计算值，并使用 timeint() 算子。

用于绘制时间平均声压的 线段设置窗口。

在这种情况下，平均时间远大于周期，因此时间平均声压是 RMS 声压。我们可以将所有结果绘制在一起进行比较。

正弦波的声压与时间(左)和声压级与时间(右)的结果。

示例 2：变速箱中的噪声

在之前的博客文章中，我们描述了如何对变速箱振动和噪声进行建模。使用这里描述的方法，我们可以对噪声进行后处理并绘制其他有用的指标。首先，我们将从位于坐标处的虚拟麦克风获取随时间变化的声压：

x = 0.75
y = 0
z = 0

该数据被加载并存储在插值函数中。这些指标的计算方法与正弦验证的示例相同。

动态变速箱周围的声压场。时间 = 0.0020735 s。

在这个例子中，我们将使用快速加权常数。平均周期为。结果表明，与原始信号相比，A 权重声压被放大。这是因为大部分声能在 1000-3000 频率范围。

变速箱噪声的声压与时间（左）和声压级与时间（右）的结果。

这里显示的结果是 A 权重、时间权重和时间平均声压和声压级。这些指标很有用，例如，如果你想使瞬态模拟的结果更容易在对数尺度上解释，将结果与声压级计的测量结果进行比较，或者对瞬态信号将如何被人耳感知感兴趣。

动手尝试

这篇博客，我们介绍了如何计算各种瞬态声学指标，包括频率权重、时间权重和时间平均。这里概述的定义和主要后处理步骤可用于任何瞬态声学仿真。单击下面的按钮，进入 COMSOL “案例库”。尝试自己动手建模：

获取教程模型

参考文献

E.H. Berger, The Noise Manual, AIHA, 2003.

用于声学仿真的倍频带图

Mads Herring Jensen — Fri, 09 Sep 2022 05:32:32 +0000

倍频带 图提供了一种简单灵活的方式来表现仿真结果，包括频率响应、传递函数、灵敏度曲线、传输损耗和插入损耗，这在模拟声学应用时非常重要。今天这篇博客，我们来详细了解倍频带图，重点介绍它在 COMSOL 中的各种选项和设置。

编者注：这篇文章最初发布于 2016 年 1 月 21 日。现已经更新，用于反映声学模块中提供的新特性和功能。

倍频程的重要性

当讨论倍频程时，通常指的是一个频带，其中高频是低频的两倍。使用这个概念会使对数频率轴上产生等宽的频带。

对于声学和音频工程师来说，通过将信号能量分成倍频程或分数倍频程来表示声学响应，是非常常见的。这种可视化技术与标准中的规范密切相关，例如测量设备的工作方式(如声级计)。从生理学上讲，使用这种表示是源于人耳(通过听觉滤波器)在对数频率尺度上能够过滤和感知声音这一事实。同样，人耳对声音的大小也有对数敏感性，因此使用分贝(dB)来表示声压级。

接下来，您将会看到，绘制倍频带 图比简单地在倍频程中绘制声学响应包括更多的功能。

倍频带图，一个简单而通用的声学专用图

COMSOL Multiphysics ^®的附加产品——声学模块的倍频带 图包括专用于声学仿真的内置功能，可以帮助表示和分析频域数据。倍频带图是以 dB 为单位自动输出的，并带有多种格式选项。对于绘图的数据，我们可以使用任何全局量，或者轻松地在某一个点处获取它，或者在线、表面或体积上取平均值。

对于图表，我们可以选择结果的表示形式，使它们以频带（倍频程、1/3 倍频程或 1/6 倍频程）或连续曲线的形式呈现。频带形式可以表示频带功率或频带平均功率谱密度(PSD)，而连续曲线可以表示 PSD 数据。我们还可以轻松地为响应曲线添加权重，可选择 Z-权重、A-权重、C-权重或用户定义的权重。对于绘图的输入，可以对其进行修改来表示振幅(例如，压力的绝对值)、功率(例如，端口处入射或出射模式的功率或在一个表面上积分的强度)或者一个通用传递功能。

所有这些选择都可以帮助大大简化后处理。此外，使用这种绘图类型可以更轻松地将结果与测量数据进行比较，测量数据通常以倍频程或 1/3 倍频程给出。

下面的屏幕截图显示了 倍频带 图的用户界面。下一节，我们将详细解释它的不同选项和设置。

倍频带图的用户界面(UI)。

不同选项和设置概述

几何实体层

通过几何实体层 下拉菜单，能够选择如何从模型中获取输入数据。如果数据可以直接从模型中的某一个点获取，那么也许在某一特定位置可以测量灵敏度。选择边、边界或域，输入数据会被自动平均化。在平均过程中，压力或功率在转换为 dB 标尺之前就被平均化了。例如，当计算仿真耳中的响应时，这种方法很有用。这里，测量麦克风表面上的平均压力很容易被拾取。因此，无需在计算组中设置积分或平均算子，也无需执行表面平均化。

几何实体层 选择也可用于评估全局数量。例如，可以使用外场计算 算子来评估计算域之外的点的压力。

表达式类型

使用表达式类型 选择（在 y 轴数据部分），可以决定如何解释倍频带 图中的输入数据。这里共有三个可用的选项：大小、功率和传递函数。

默认的选项是大小选择 这个选项时，表达式 字段中的输入将被视为复振幅，在声学应用中最常见的是压力。然后使用输入的值将声压级评估为

L = 10 \log_{10} \left( \frac{p_\textrm{rms}^2}{p_\textrm{ref}^2} \right)

其中有效声压(RMS)由计算。将参考压力输入到 参考幅值 字段中，并假定为 RMS 量。在大多数声学接口中，默认值为 phys.pref_SPL 在物理场接口级别的声压级设置中定义。默认值通常为 20 。例如，在定义传递函数时，参考幅值可以设置为入射平面波的 RMS 幅值，，该平面波的峰值幅值为，并且在表达式 字段中的输入值可以是在表面上测量的平均压力。

第二个选项是功率。选择这个选项时，输入到表达式 字段中的绘图的输入值被假定为一个功率。例如，可以由表面上声学强度的积分来计算该值。其计算公式为

L = 10 \log_{10}\left( \frac{P}{P_\textrm{ref}} \right)

其中参考功率，被输入参考功率 字段中。默认为phys.Pref_SWL，其值为。

最后一个选择是 传递函数。这时，可以输入用户定义的任何传递函数和参考水平。其计算公式为

L = 10 \log_{10}\left( |H| \right)+L_\textrm{ref}

当结果绘制为倍频程、1/3 倍频程或 1/6 倍频带时，输入数据用于对频段内的功率进行积分，具体取决于您选择的形式。

绘制物理量和权重

在绘图选项下，有两个下拉菜单提供了不同的数据格式选择，即物理量 和权重下拉菜单。

使用物理量 下拉菜单，可以将频域数据绘制为连续功率谱密度、频带功率 或 频带平均功率谱密度。频带功率与频带平均谱密度的选择决定了频带功率求和及平均的执行方式。使用不同频段绘图时，可以选择 带类型 作为倍频，1/3 倍频 或1/6 倍频。最后一个选项仅使用带内数据，可以选择(默认)或取消选择。选择此选项时，只有位于给定频带内的数据点被用于数据的积分和插值。这个选项通常会影响低分辨率数据的结果(即每个频带中只有几个点)。

下图突出显示了三种不同的绘图样式。红色线条表示 1/3 倍频带功率数据，绿色线条表示倍频带功率数据，蓝色实线表示 1/3 倍频带平均功率谱密度(PSD)数据。(可以通过颜色和样式 部分更改条形图的格式。)该图是扬声器驱动教程模型中的一个修改版本。

描绘不同绘图形式的图表。

最后，使用权重选项，可以确定应用于数据的权重。这些选项包括：

Z 权重(平面)：应用平均权重(默认选项)。
A 权重：将 IEC 61672-1 标准 A 权重应用于数据。此权重用于解释人耳的感知响度。
C 权重：将 IEC 61672-1 标准 C 权重应用于数据。此权重也可以解释人耳的感知响度，通常是非常响亮的噪声水平。
表达式：用户定义的值或表达式用于权重。在表达式 字段中，输入将增益定义为频率函数的表达式 freq。以 dB 为单位提供的增益为 20·log10(expression)。

下图中的两条曲线表示应用于一个平面的 0-dB 响应的 A-权重和 C-权重。用户定义的线性加权为用 1/3 倍频带表示(以红色显示)。

显示不同权重选项的图。

使用倍频带图：一个吸收式消声器示例

吸收式消声器教程模型（位于COMSOL案例库中的声学模块 > 汽车文件夹中）使用倍频带 图来描绘消声器系统的传输损耗。在这个版本的模型中，为表达式类型 选择传递函数选项。该图的输入是总入射功率与总出射功率的之比。这些单元是通过使用端口条件 下入射和出射模式的功率内置变量来计算的。

对于纯平面波传播(低于约 2500 Hz)，还有另一种方法可以在不使用端口功率变量的情况下绘制传输损耗。为此，需要将几何实体层 设置为边界并选择出口边界编号 28。在表达式 字段中，输入 p_in（入射平面波的振幅），并在 参考幅值 字段中，输入 sqrt(0.5)*acpr.p_t。由于假设参考是 RMS 值，因此需要 sqrt(0.5) 系数（如下面的屏幕截图所示）。选择 连续功率谱密度 绘图样式并单击绘图按钮，就可以得到如下所示的带有衬垫的消声器的结果。

吸收式消声器的 倍频带图的绘图设置。

吸收式消声器的传输损耗比较图。

拓展资源

除了上面介绍示例模型之外，您还可以在 COMSOL 案例库中找到许多其他使用倍频带 图的教程模型。我们在下方列出了其中的一些教程模型，所有这些模型都可以从 COMSOL 案例库中下载。

参考文献

IEC 61672-1 Electroacoustics — Sound level meters — Part 1: Specifications.

使用哪种耦合特征对扬声器驱动器进行建模？

Jinlan Huang — Tue, 26 Apr 2022 08:16:15 +0000

扬声器驱动器是利用电磁力产生振动并辐射声音的电声换能器。市场上各种类型的驱动程序根据不同的原理工作。在这篇博文中，我们介绍了 COMSOL Multiphysics^® 软件中内置的多物理场耦合特征，用于对扬声器驱动器进行建模。

扬声器驱动器的类型

下面列出了四种常见的驱动器类型，它们是基于不同的物理原理设计的扬声器驱动器代表：

传统的动态换能器，利用施加在载流音圈上的洛伦兹力来移动音圈和附属的振膜。它们也被称为动圈换能器，是当今最流行的扬声器驱动器类型。
主要用于助听器和入耳式设备的平衡电枢接收器，其运动是由磁体之间存在的麦克斯韦应力引起的。它们属于动铁扬声器类别，是最早发明的电动扬声器类型。
使用压电材料的压电驱动器，例如某些类型的晶体，在外加电场产生的内部产生的机械应力下变形。它们经常用于电子设备中产生声音，并且在一些较便宜的扬声器系统中也用作高音扬声器。
静电驱动器，利用施加在悬挂在两个穿孔金属片之间的又大又薄的导电隔膜板上的静电力。由于具有低失真度和高质量清晰度，它们一直受到发烧友的欢迎，并且通常比其他类型更昂贵。

尽管这些扬声器背后的驱动力都属于电磁力的范畴，但每种类型都有其独特的物理性质。动态换能器和平衡电枢接收器在磁场中工作，因此在 COMSOL Multiphysics^® 软件中对它们进行建模需要将固体力学 接口与磁场接口耦合。另一方面，压电驱动器和静电驱动器在电场中工作，因此需要将固体力学 接口与静电接口耦合。

COMSOL Multiphysics 内置的多物理场耦合特征，可以对所有这 4 种类型的扬声器驱动器进行建模。接下来，我们来详细了解每一种类型驱动器的建模。

洛伦兹耦合

当导体置于磁场中并通电时，一个电磁力，指定为洛伦兹力 会被施加在导体上并使其移动。另一方面，导体通过磁场的运动会引起感应电压，这种现象称为反电动势，反过来会影响磁场。这就是使用动圈的传统电动扬声器驱动器的工作原理。

这些动圈换能器包含用于产生磁场的永磁体和放置在磁场中的线圈。当向线圈施加交流电压时，由于洛伦兹力的变化，它们会来回移动，导致连接的膜片振动并发出声音。

动圈换能器使用洛伦兹力来触发振动。

COMSOL 软件的洛伦兹耦合 特征通过计算洛伦兹力和反电动势来捕获这种双向效应。它是磁场接口和固体力学 接口之间的多物理场耦合特征，用于将洛伦兹力从磁场接口传递到固体力学 接口，并将感应电场从固体力学 接口传递到磁场接口。洛伦兹力和感应电场使用下面的公式计算：

\textbf J=\sigma(\textbf E+\textbf v\times \textbf B)

\textbf F=\textbf J\times \textbf B

其中，是电导率，是施加的电场，是动圈的速度，是磁通密度，是感应电场。总电流密度，包括来自外加电场和感应电场的贡献，用于计算洛伦兹力。

在对扬声器驱动器进行建模时，通常会在音圈域中添加耦合，如扬声器驱动器-频域分析和扬声器驱动器-瞬态分析教程案例所示。

在扬声器驱动器-频域分析教程示例中，使用 洛伦兹耦合特征对动态动圈换能器进行建模。

磁力作用力

平衡电枢接收器也由磁铁、线圈和隔膜制成。但是，它是在完全不同的机理下运行的。在这类设备中，线圈是固定的，根本不会移动。

单个平衡电枢接收器包含一个小电枢(臂)，它被放置在一个音圈内，在两个磁铁之间保持平衡。当交流电流通过线圈时，电枢被磁化并处于麦克斯韦应力 下，即磁体之间存在的电磁力。该电磁力导致电枢振动并从一个磁铁移动到另一个磁铁。由于电枢连接到隔膜，其振动会传递到隔膜上，从而产生声波。

平衡电枢接收器，利用磁体之间的麦克斯韦应力来触发振动。

这个物理现象可以用 COMSOL 软件中的磁力耦合 特征捕获。该特征是磁场接口和固体力学 接口之间的另一个多物理场耦合，用于计算施加在磁化可变形固体上的麦克斯韦应力，以及结构变形对材料磁化的影响。应力包括导致固体变形的两个分量：磁化体内存在的应力，以及与周围磁场相互作用产生的应力。前者被建模为体载荷，后者被当作一个实体外部边界上的边界载荷施加。

对于有限变形，固体中电磁应力和材料磁化强度的表达式可以使用下面被称为磁焓的热力学势导出：

W_
{\textup E \textup M}=W_s(\textup C)+\frac{1}{2}(\mu_0 \mu_r J)^{-1}\textup C: (\textbf B \otimes \textbf B)

其中，和分别是自由空间和相对磁导率。磁通量矢量的分量, 必须在材料框架上取值，右柯西-格林变形张量为

，

和，其中，是位移场，是单位张量。机械能函数取决于使用的实体模型。

总第二类皮奥拉-基尔霍夫应力张量由下式给出

\textup S=2 \frac{\partial W_{\textup E \textup M}} {\partial \textup C}

磁通密度矢量由下式计算

\textbf H= \frac{\partial W_{\textup E \textup M}} {\partial \textbf B}

磁应力张量由下式计算

\sigma_{\textup E \textup M}
=(\textbf B \otimes \textbf H)-\frac
{1}{2}(\textbf B \cdot \textbf H) \textup I

也就是所谓的 Minkowski 磁应力张量，它将被当作实体载荷施加到固体上。

对应的电磁体力可以写为

\textbf f=\nabla \cdot \sigma_{\textup E \textup M}=\textbf J \times \textbf B-\frac{1} {2}(\textbf H \otimes \textbf H) : \nabla \chi

有时也被称为 Korteweg-Helmholtz 磁力，其中是电流，是磁化率，它可以是材料中机械应变的函数。这表明体力包括洛伦兹力和来自磁极化的力贡献。感应电流效应被考虑包括在内，并且是在没有施加外部电流存在时，对洛伦兹力的唯一贡献量。

由周围磁场引起的边界应力被施加在表面，可以由下式计算

\sigma_{\textup E \textup M}^\textup{(out)} \textbf n=-p\textbf n -\frac{1}{2}
\mu_0(\textbf H \cdot \textbf H)\textbf n+\mu_0(\textbf n \cdot \textbf H)\textbf n

其中，和是固体边界外侧的磁场和环境压力。

COMSOL Multiphysics 并未明确在耦合特征中包含环境压力定义。但是，如果压力已知或由另一个物理场接口（例如声学模型）计算，则可以向相应的 固体力学 接口添加额外的表面力。

如下图所示，在平衡电枢传感器教程模型中，可以看到磁机械力耦合 特征的使用。

磁机械力耦合 特征用于平衡电枢传感器的完整振动电声仿真。

压电效应

压电驱动器的工作原理是压电效应，这是一种存在于某些被称为压电材料的晶体材料中的独特物理现象。直接压电效应包括当压电晶体变形时沿固定方向的电极化。极化与变形成正比，并在晶体上产生电位差。另一方面，逆压电效应与直接效应相反。它描述了施加电场时晶体中产生的变形，这是压电驱动器运行的原理。

一种由四个三角形膜片组成的压电 MEMS 扬声器，利用压电效应产生振动。在厚度方向上应用较大的比例以进行可视化。

正向和逆向压电效应由 COMSOL 软件的静电接口和固体力学 接口之间的多物理场耦合特征压电效应 捕获。每个物理场都包含一个专用的压电材料模型，在固体力学 接口中命名为压电材料，在静电接口中命名为电荷守恒，压电，用于解释压电域中的特定本构关系。两个物理场中的两个压电材料模型通过压电效应 多物理场特性耦合。可以用应力-电荷形式或应变-电荷形式来表达应力、应变、电场和电位移场之间的关系。

压力电荷：

\sigma=c_E\epsilon-e^T\textup E

\textbf D=e\epsilon+\epsilon_0 \epsilon_{rS}
\textup E

应变电荷：

\epsilon=s_E\sigma+d^T\textup E

\textbf D=d\sigma+\epsilon_0 \epsilon_{rT}
\textup E

其中，是应变，是压力，是电场，是电位移场。材料参数和对应材料的弹性和柔顺性，和是耦合属性，和是自由空间和相对介电常数。

压电 MEMS 扬声器教程示例演示了如何使用压电效应 耦合特征对压电驱动器进行建模。

压电 MEMS 扬声器教程中使用了 压电效应 耦合特征。

当需要对来自压电驱动器的声辐射进行瞬态分析时，可以选择使用间断伽辽金（dG 或 dG-FEM）方法对压电设备的振动和流体中的波传播进行建模。在这种情况下，压电波，时域显式 多物理场接口用于对驱动器进行建模，它结合了弹性波，时域显式 接口和静电接口以及压电效应，时域显式 多物理场耦合。间断伽辽金公式允许使用显式时间步进方法解决完全耦合的问题，因此提供了一种有效的替代方法，用于模拟相对于波长的远距离的声音生成和传播。在使用间断伽辽金方法模拟压电效应博客文章中，我们对此进行了解释，并在使用压电换能器的超声波流量计案例教程中进行了演示。

机电力

虽然静电驱动器也在电场中工作，但它的振动源是带电体之间的麦克斯韦应力。这类驱动器中的隔膜是一种薄而平的导电材料，通常在其表面上提供恒定电荷。隔膜被夹在两个称为格栅或定子的导电片之间。当音频信号异相施加到格栅上时，在带电的振膜和两侧的格栅之间会产生静电力。一个格栅推动隔膜，另一个格栅则拉动隔膜，从而移动空气并产生声音。

静电扬声器驱动器由位于两个穿孔金属板之间的薄塑料隔膜组成，利用带电体之间存在的麦克斯韦应力来触发振动。

这种类型的传感器可以使用机电力 耦合特征进行建模，这是静电接口和固体力学 接口之间的另一种多物理场耦合。它计算带电体之间的介电力，以及结构变形对材料极化的影响。

磁机械力 耦合的理论非常相似，该力是在电场中而不是磁场中产生的。此外，还有两个贡献分量：在极化电介质体内产生并建模为体载荷的应力，以及由周围电场感应并作为边界载荷施加在表面上的应力。

对于有限变形，介电应力和材料极化的表达式可以使用下面被称为电动焓 的热力学势导出：

H_\textup{eme}=W_s(\textup C)-\frac{1}{2}\epsilon_0 \epsilon_r J\textup C^{-1}: (\textbf E \otimes \textbf E)

式中，和是自由空间和相对介电常数。电场的组成部分 , 必须在材料框架上取值，右柯西-格林变形张量为

，其中，是位移场，是恒等张量。机械能函数取决于使用的实体模型。

总第二类皮奥拉-基尔霍夫应力张量由下式给出

\textup S=2 \frac{\partial H_\textup {eme}}{\partial \textup C}

电位移由下式计算

\textbf D=- \frac{\partial H_\textup {eme}}{\partial \textbf E}

介电应力张量由下式计算

\sigma_{\textup E \textup M}=(\textbf D \otimes \textbf E)-\frac{1} {2}(\textbf D \cdot \textbf E) \textup I

也就是所谓的 Minkowski 电应力张量，被施加在实体。

对应的电磁体力可以写为

\textbf f=\nabla \cdot \sigma_{\textup E \textup M}=\rho_e \textbf E-\frac{1}{2}
(\textbf E \otimes \textbf E) : \nabla \chi

有时，也被称为 Korteweg-Helmholtz 电力，其中是电荷，是电磁化率，它可以是材料中机械应变的函数。

在表面上施加由周围电场引起的应力，可以由下列公式计算

\sigma_
{\textup E \textup M}
^\textup{(out)}
\textbf n=-p\textbf n -\frac{1} {2}
\epsilon_0(\textbf E \cdot \textbf E)\textbf n+\epsilon_0(\textbf n \cdot \textbf E)\textbf n

其中，和是固体边界外侧的电场和环境压力。

静电扬声器驱动器教程案例演示了如何使用机电力 耦合特征来模拟静电感应的振动。

静电扬声器驱动器教程中使用机电力耦合特征来模拟静电驱动膜片的振动。

添加声学接口模拟声辐射

评估扬声器驱动器的性能通常需要分析对周围流体的声音辐射。在 COMSOL 中可以添加声学接口并使用以下耦合特征将其耦合到固体振动模型：

声–结构边界：这个功能用于将压力声学模型耦合到任何结构组件。包括基于 FEM 的声学接口和基于 BEM 的声学接口。前面提到的案例教程，即扬声器驱动器-频域分析、扬声器驱动器-瞬态分析和平衡电枢传感器都是使用基于 FEM 的压力声学接口的示例。我们可以在敞开式扬声器教程模型中的看到将基于 BEM 的压力声学接口与结构振动耦合的示例。
声–结构边界，时域显式：这个特征专用于使用间断伽辽金法和时域显式求解器求解的瞬态声-结构相互作用问题。它与 压电效应、时域显式 耦合功能兼容，用于对来自压电扬声器驱动器的声辐射进行瞬态分析。有关演示，请参阅使用压电换能器的超声波流量计教程模型。
热黏性声–结构边界：这项功能用于将热黏性声学 接口与任何结构组件耦合。当黏性损失和热传导由于边界层的存在而变得重要时，需要热黏性声学模型来准确模拟狭窄流体通道中的声学。这在压电 MEMS 扬声器和静电扬声器驱动器教程模型中得到了例证。

三个耦合特征中的每一个都有一个对版本：对，声学–结构边界 耦合；对，声–结构边界，时域显式 耦合；对，热黏性声–结构边界 耦合。这些特征用于将声学接口耦合到已创建一致对的装配几何体中的固体力学 接口。这允许在声-结构边界使用非一致性网格。由于固体和流体中的波速不同，计算网格在解析波时可以利用这一点。通过这种方式，可以在求解时节省自由度。声–结构边界对，时域显式耦合选项对于基于间断伽辽金法的模型特别有用，因为需要避免由于特定材料域中不必要的小网格单元导致的小内部求解器时间步长，如间断伽辽金法这篇博客文章中所述。

为大变形添加移动网格特征

在结构变形很大并且会显著影响电磁场（无论是电的还是磁的）的情况下，可以使用移动网格 特征来解释由于结构变形而导致的拓扑变化对电磁场分布的影响。这在静电扬声器驱动程序教程示例中进行了演示。

移动网格也可以用来捕获由于声场拓扑变化引起的非线性效应，该效应由具有大变形的扬声器振膜产生。扬声器驱动器-瞬态分析模型使用移动网格 特征和自动重新划分网格 来捕获拓扑变化和音圈的移动。

下一步

这篇博文讨论了 4 种 COMSOL 软件中可用的耦合特性，用于对市场上最常见的扬声器驱动器进行建模。点击下列链接进入 COMSOL 案例库，下载相应文档和 MPH 文件探索文中提到的模型：

如果你想了解访问这些耦合特征需要哪些模块，请联系我们。

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