结构力学模块 – COMSOL 博客

在 COMSOL Multiphysics® 中模拟固态电池

Brianne Christopher — Wed, 15 Oct 2025 07:13:29 +0000

你是否也经历过这些烦恼：正准备出门，却发现忘了给手机充电；或者正在路上，突然想起电动汽车需要充电。固态电池一旦应用于电动汽车、电子设备和储能系统，诸如此类的问题将彻底成为历史。固态电池不仅有望实现充电更快、续航更长，还具备更高的安全性。仿真技术能够帮助电池设计师深入研究固态电池，更准确地预测其在未来应用中的性能表现。

固态电池：一项备受期待的技术

固态电池（Solid-state batteries，SSB）采用固态电解质在电极间传导离子，而传统电池则使用液态电解质或凝胶聚合物。这种差异使得固态电池相较于锂离子电池具备诸多优势，例如更长的使用寿命。当前电动汽车电池的使用寿命通常为 5–8 年，而固态电池可将寿命延长至 15–20 年。此外，常规的锂离子电池在 1000 次充放电后性能衰减明显，固态电池则能在 5000 次充放电循环后仍保持 90% 的初始容量（参考文献 1）。

固态电池应用于电动汽车意味着更短的充电等待时间。照片来自 Haberdoedas，发布在 Unsplash.

固态电池的充电速度也远超其他类型的电池。普通锂离子电池充电至 80% 的电量大约需要 45 分钟，而固态电池充电到相同电量仅需 12 分钟，甚至最短只需 3 分钟。固态电池的安全性也更高——由于不含液态电解质，其可燃性和挥发性远低于其他电池。此外，通过避免使用液态电解质和碳阳极，它们还能提供更高的能量存储密度（参考文献 1）。

跨越数十年的设计挑战

固态电解质最早是由物理学家迈克尔·法拉第于19 世纪 30 年代初发现的，其工作原理与潜在应用从那时起就成为研究焦点。时间快进至21世纪20年代，众多汽车制造商、电子企业和研究机构正将大量研发资源投入到固态电池领域。然而，电池的研究和设计是一个成本高昂且资源密集的过程，仿真技术可协助开发者研究和探索在不同工况和应用场景下的设计难题。

固态电池会受到锂化现象的影响，在这一过程中，电池固态组件内的电极会发生膨胀和收缩，从而产生机械应力。此外，在充放电过程中电池内部离子的迁移同样会导致应力与体积变化。这些问题可能会缩短电池寿命、降低储能效率，甚至导致机械故障。

多物理场建模和仿真可用于分析固态电池的设计。在固态电芯的异构模型教程模型中，我们将带您了解在 COMSOL Multiphysics^® 软件中的建模过程。

在 COMSOL Multiphysics® 中模拟固态电池

固态电芯异质模型的教程模型模拟了固态电池的充放电循环，重点研究了电荷和质量传输与固体力学之间的相互作用。该模型的几何结构由复合正极、锂金属负极以及位于两个电极之间的固态电解质隔膜组成。

固态电池模型的几何结构。

软件中内置的专用物理场接口与功能使模型设置简单直观。通过 锂离子电池，固体传递, 以及 固体力学 接口，可分别实现电荷守恒、质量守恒与动量守恒的建模。此外，软件还提供专门的功能用于模拟：

负极金属锂的沉积与溶解
正极的膨胀与收缩
电极-固态电解质界面处的氧化还原反应

COMSOL Multiphysics^® 中的固态电池模型与物理场的设置。

异质固态电池的模拟对充电结束时的若干物理量进行了评估，包括固态电解质中的电势、离子电势及 von Mises 应力。

固态电解质中的电势（左）、正极浓度（中）以及应力（右）。

模拟结果还包括对全局量的评估，包括电池电压、充电状态以及 z 方向的应力。

为固态电池的发展铺平道路

借助仿真技术研究固态电池的力学特性，可帮助研究人员、汽车制造商及电子企业在未来几年（而非几十年）将固态电池整合到零部件与设备中。

点击下方按钮，亲自动手尝试固态电芯异质模型的建模与仿真。我们也建议您为电池仿真配备以下 COMSOL Multiphysics^® 附加产品：电池模块、CAD导入模块、结构力学模块以及非线性结构材料模块。

尝试建模

扩展阅读

参考文献

Shang et al., “A comprehensive review of solid-state lithium batteries: Fast Charging characteristics and in-operando diagnostics,” Nano Energy, vol. 142, part B, 2025. Doi: 10.1016/j.nanoen.2025.111232

通过仿真研究蝠鲼机器人的“肌肉”

Mackenzie McCarty — Wed, 26 Feb 2025 08:20:19 +0000

软体机器人是工程师越来越感兴趣的一个领域，特别是由于其在生物医学行业的应用正日益增加。随着仿生学的不断发展和进步，软体机器人在如假肢、人造肌肉和手术器械等应用中的潜力巨大。在这一领域，执行器发挥着重要的作用，因为它们实质上充当的是机器人的肌肉。这篇博客，我们将通过一个受蝠鲼启发的软体机器人模型，探讨离子聚合物金属复合材料（IPMC）如何被作为执行器使用。

受蝠鲼启发的软体机器人

传统上机器人是由刚性硬质材料制成的。然而，软体机器人的开发（利用弹性体、凝胶或硅橡胶等柔性材料设计机器人）极大地扩展了机器人的应用方式，尤其是在仿生学和生物医学领域。例如，受蝠鲼启发设计的软体机器人可以被远程控制或在其底部安装传感器，这让科学家可以在不干扰水生生物的情况下收集数据，用于海洋多样性研究。相较于传统的螺旋桨动力水下航行器，软体机器人的机动性更高，不容易被水生植物缠住，并且造成的湍流也更小。

自然环境中的蝠鲼。照片由 Ishan @seefromthesky 拍摄，通过Unsplash 共享。

借助建模和仿真，软体机器人工程师能够研究蝠鲼机器人的设计，来提高其仿生能力。COMSOL 案例库中的机器人蝠鲼中的离子聚合物-金属复合材料执行器模型展示了一种通过建立模型来研究蝠鲼机器人执行器性能的方法。该模型长约 20 cm，翼展宽约 50 cm，与真实建立的蝠鲼机器人大小相当。该模拟使用 IPMC 执行器为机器人提供动力，通过 收缩和膨胀 多物理场耦合节点对流体环境（如海水下）中的运动做出反应。IPMC 是一种电活性聚合物，常用作在电刺激下能产生较大变形的驱动材料。离子电活性聚合物由离子传输产生的膨胀效应提供动力，通常只需要 1 或 2 V 的驱动电压，就能自然产生弯曲运动。这种材料具有质量轻、可操作性强的特点，并且能够在电刺激下产生拍打运动，而不是能效低下的电力传输，因此是人造肌肉的理想材料。

收缩和膨胀 多物理场耦合节点是 COMSOL Multiphysics^® 6.3 版本的新增功能。这种耦合对于模拟因物质进入和溶出材料时分别经历的膨胀和收缩尤为有用。在这类模型中，当物质离开材料时会产生收缩，类似于海绵吸水后膨胀而变干后收缩。在本文示例的模型中，这种物质是水合阳离子，它会导致蝠鲼鳍收缩和膨胀从而产生运动。

蝠鲼机器人模型

模拟离子聚合物-金属复合材料

在示例模型中，鳍的两根悬臂梁由三层 IPMC 材料制成，中间层包含容纳移动离子的聚合物。顶层和底层均由一块薄金属板组成，金属板能够导电并形成电压差，使带电粒子上下移动，产生拍打运动。

驱动力由施加在两个金属电极板上的外部电压提供，上部电极施加正弦电压，下部电极接地。鳍片被牢固地固定在梁上，并且可以被动变形。通过测量变形来检测由于运动导致的形状变化程度。在这个示例中，运动由聚合物中水合阳离子浓度变化产生的膨胀引起。IPMC 通过多物理场效应产生力，其中涉及结构变形、质量传输和电流。该模型通过耦合 固体传递 和 固体力学 接口来考虑由膨胀引起的悬臂梁变形，所使用的与位移、浓度和电势相关的本构方程根据热力学原理推导。

IPMC 悬臂梁如何因粒子位置的改变而弯曲、收缩和膨胀的直观展示。

此外，固体中的电荷守恒 功能用于实现离子聚合物悬臂梁所在的固体域电荷守恒，固体传递 接口用于跟踪由化学势梯度驱动的扩散。

蝠鲼的运动

模拟结果表明，两根 IPMC 悬臂梁的移动可以通过电压控制。这项研究的重点是展示当改变输入电压（例如电池电源）时，蝠鲼可以运动，突出展示了两根 IPMC 悬臂梁可以成功地产生均匀的拍打运动。然而，并未对该模型进行扩展来演示蝠鲼如何在水中响应或是否会游泳。

下图左显示了所施加的正弦输入电压（5 V，0.2 Hz），可以看出两根 IPMC 悬臂梁之间存在相位延迟。下图右显示了 IPMC 梁产生的挠曲，可以看出靠近后缘的梁（绿线表示）由于长度较长，变形更为明显。正阳离子在聚合物中的周期性运动导致悬臂梁膨胀而发生周期性弯曲。

左图显示了两个 IPMC 悬臂梁的施加电压（相位差）。右图显示了悬臂梁因膨胀而发生周期性弯曲。

下图显示了沿整个悬臂梁厚度的粒子浓度分布，左侧为梁底部，右侧为梁顶部。从图中可以看出，电极交界处附近的浓度梯度变化很大，这表明阳离子在厚度上的不均匀分布导致悬臂梁膨胀变形而发生周期性弯曲。当一侧粒子浓度较高时，需要更多的空间来容纳，因此材料发生膨胀以尽可能多地容纳它们。

图中显示了阳离子沿每个悬臂梁厚度的分布不均匀，产生浓度梯度，引起悬臂梁膨胀而导致梁弯曲。

下一步

想亲自动手尝试模拟蝠鲼机器人模型吗？点击下方链接，进入 COMSOL 案例库下载相关的 MPH 文件：

获取模型

使用 COMSOL Multiphysics® 模拟电迁移

Andrzej Bielecki — Fri, 07 Feb 2025 06:41:11 +0000

随着集成电路 (IC) 技术的不断进步，电路性能不断提升，结构也愈发紧凑，识别和预防电路故障的潜在原因也变得至关重要。其中，一个尤为关键的因素是金属互连线中由空位累积引起的电迁移。这篇博客，我们将回顾描述电迁移过程的控制方程，并演示如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件对这一现象进行模拟。

电迁移的影响

我们日常使用的像电脑、智能手机等设备均依赖于集成电路。这些设备中包括 CPU、GPU 和 RAM 芯片等集成电路，其中能包含数百万或数十亿个半导体元件，用于在处理数据时执行各种计算。只有当信号能在半导体元件之间稳定传输时，才能执行这些计算。这项任务是通过互连线完成的，互连线允许电流在元件之间流动的导电通路。

随着时间的推移，由于集成电路的长期使用，互连线可能会因电迁移而损坏，甚至完全失效。虽然电迁移能发生在任何尺寸的金属中，但更易发生在具有纳米级特征的小尺寸元件中。作为参考，每立方纳米铜（一种常用于互连线的材料）包含几十个原子。

当晶格中的空位迁移并累积形成宏观空洞（无原子区域）或凸起（原子累积区域）时，就会发生电迁移，进而导致电阻增加、过热、材料降解以及结构的整体变差。宏观空洞增长和凸起形成将引起电气短路或开路，从而导致互连线故障。

电迁移导致的故障位置图像。图片已进入公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

空位是指晶体结构中缺失一个原子的位置。理想的晶格中不应存在空位，但在实际情况中，任何晶体都会包含一定数量的空位。空位可能在金属（或合金）凝固过程中形成，也可能因原子随机振动而自发产生。超过绝对零度的任何温度都会发生原子随机运动，且在特定温度下，每个晶格中都分布一定数量的空位，并达到某种浓度平衡。

尽管我们提到空位的迁移或移动，但实际上，空位本身并没有移动，而是原子以跃迁至邻近空位的方式移动，称为“替位扩散”。空位的移动方向看似与原子的运动方向相反。在纳米尺度上，即使不存在外场，整个材料中也会发生许多空位跃迁。在宏观尺度上，由于纳米尺度的运动在平衡状态下是各向同性的，因此不会出现整体的空位移动。然而，当存在外部驱动力时，原子会发生运动，从而在某个方向上产生空位迁移。

导致空位通量的因素有哪些

导致互连中空位移动的主要因素之一是流经其中的电流。当在互连器件上施加电势差时，电子会在电场方向的作用力下产生净运动。当电子流经导体时，一些电子会发生碰撞，并将能量和动量传递给原子。这种动量传递导致一些原子获得足够的能量，从而跃迁到邻近的空位。这种效应产生的空位通量由以下式计算：

\mathbf{J}_E =\frac{D_v|z^*| e}{kT} c_v \vec{E}

式中，是空位浓度，是空位扩散率，是有效电荷数，是元电荷，是电场，是波尔兹曼常数，是温度。

由于结构特性和导电率通常是温度的函数，因此准确求解互连线中的温度分布非常重要。

在描述电场导致的空位通量时，我们曾提到电子在导体中流动，并因与原子碰撞而损失能量。因此，还必须考虑这种能量转移所产生的焦耳热。由于互联电路非常小，电流密度会很高，焦耳热也不能忽略。

焦耳热和与周围环境的热量传递所产生的热梯度也会影响原子和空位的移动。温度梯度带来的额外空位通量为:

\mathbf{J}_T = -\frac{D_vQ^*}{kT^2} c_v \nabla T

式中，是传递的热量。

导致空位移动的另一个因素是空位从高浓度向低浓度的扩散，所产生的空位通量与空位浓度梯度成正比：

\mathbf{J}_D = -D_v \nabla c_v

需要注意的是，扩散系数可能取决于材料内部的温度或应力。此外，晶格微结构对扩散系数也有重要影响。原子（和空位）在晶界处迁移时遇到的阻力明显小于其运动；因此，如果制造互连器件时包含许多小晶粒，将会有更多的晶界作为扩散通道，整体有效扩散系数就更高。晶粒相对于电流流动的方向也会对扩散系数产生显著影响。

由于热膨胀和空位累积，材料可能会变形并引起损坏，从而导致互连线故障。因此，需要求解材料内部的应力分布问题。

原子倾向于从高应力区迁移到低应力区；因此，空位的迁移方向正好相反。这种通量通常与电场产生的通量相反，其计算公式为：

\mathbf{J}_\sigma = -\frac{D_vf \Omega}{kT} c_v \nabla \sigma

式中，是特定材料的空位弛豫因子，是原子体积，是静水压力。

现在已知导致空位移动的所有因素，总空位通量即可由这些通量之和得出：

\mathbf{J}_v = \mathbf{J}_D + \mathbf{J}_E + \mathbf{J}_\sigma + \mathbf{J}_T

然后，可求解考虑了总通量的标准传递方程，

\frac{\partial c_v}{\partial t} +\nabla \cdot \mathbf{J}_v = G

式中，是由于域内空位的生成或湮灭而产生的源/汇项。

另一个需要考虑的影响因素是空位累积区域的晶格收缩，以及空位浓度降低区域的晶格膨胀。这种行为通过空位通量的散度和空位生成所导致的体积应变率来描述：

\frac{\partial \epsilon_{vol}}{\partial t} = \Omega \left( f \nabla \cdot\mathbf{J}_v + (1 – f) G \right)

电迁移模拟

要模拟电迁移，我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 同时求解多种不同的物理现象，包括电流、固体力学、传热，当然还有空位传输。

让我们先来看看互连的外观。下图显示了一个互连器件的几何结构示例。铝或铜等材料可用作导电材料。根据具体设计和所选材料的不同，主要互连材料周围可能还会有衬里或阻挡层。添加这些层有几个原因，包括防止原子扩散到周围的电介质中，或改善互连材料与电介质材料之间的黏附性等。

一个典型的互连几何结构。

根据我们定义的边界条件和材料属性，电流接口可用于求解整个域的电势。无论几何细节如何，都会有一个作为接地（V=0）的边界，以及另一个指定了已知电势、电流、电流密度或功率的边界。

固体力学 和 固体传热 接口用于考虑互连的结构和热响应。假设材料为线弹性材料，本例中不考虑材料的非线性特性。

要在 固体传热 接口中定义适当的边界条件，必须考虑周围的热环境。例如，整个芯片可能通过强制对流或自然对流冷却。在此模型中，衬里的外部边界采用对流热通量条件，而互连的两端则采用恒定温度。

如前所述，互连内的主要热源来自焦耳热效应，可通过 电磁热 多物理场耦合轻松考虑。此外，热膨胀可通过 热膨胀 多物理耦合加以考虑。

COMSOL 官网提供了大量使用 COMSOL^® 模拟焦耳热和热膨胀的教程。例如，电-热-机械仿真入门系列文章介绍了设置这些问题的工作流程。

固体传递 接口可用于设置空位传输模型的控制方程。该接口求解相关变量浓度的传递方程，本例中为空位浓度。

默认情况下，传递方程考虑的是浓度梯度引起的扩散通量。但是，为了模拟电迁移引起的总通量，可以添加额外的通量贡献。如下图所示，在 固体传递 接口中使用 外部通量 功能，可以轻松地将这些额外通量纳入控制方程。

外部通量 功能可以将任意额外的通量添加到传递方程中。

可以看到，电场、应力和温度梯度的通量贡献已被添加到该模型中。相应的通量变量在变量部分使用上述表达式进行了定义。

变量包括应变率、温度通量和空位的源/汇项。

要考虑空位累积引起的体积膨胀，我们可以在 线弹性材料 节点添加一个 外部应变 子节点。该功能允许指定任意非弹性应变。热膨胀和蠕变是非弹性应变的典型示例，也可以考虑在内。

结果

利用瞬态分析求解电迁移模型很常见，因为我们通常关心的是需要多长时间才能达到某个临界状态。当然，如果我们求解瞬态研究，解最终会达到稳定状态，而这所需的时间可能也是我们感兴趣的。我们将查看在瞬态研究运行直至解达到稳态时所得到的几个关键结果。

其中，一个需要关注的关键结果是互连内的空位浓度，因为这是我们在传递方程中求解的主要变量。初始空位浓度设定为整个域的恒定平衡值。随着电迁移的发生，阳极附近的空位浓度会降低，而阴极（施加电流的地方）的空位浓度会升高。这种情况一直持续到达到稳定状态为止。电场引起的通量通常与静水压力引起的通量方向相反。空位从阳极迁移到阴极，直到其他通量（流体静通量和扩散通量）与电场导致的通量相平衡。

下图显示了瞬态溶液达到稳定状态后的归一化空位浓度。请注意，归一化浓度的定义是：空位浓度除以初始浓度（因此在 t=0 s 时，归一化浓度等于 1）。

表面图显示了 t=4.5e6 s 时的归一化空位浓度。流线沿电场方向，并用颜色来显示电势。

此外，观察阳极和阴极上的空位浓度如何随时间变化也很有用。从下图中，我们可以观察到空位通量在某一时刻达到了稳定浓度。还可以关注超过临界空位浓度所需的时间。

阳极和阴极的归一化空位浓度与时间的关系。

同样，也可以获得阳极和阴极边界上对空位通量有贡献的静水压力随时间的变化。

阳极和阴极的静水压力与时间的关系。

t=4.5e6 s 时铝互连内的 Von Mises 应力（MPa）。

von Mises 应力可能是宏观空位何时成核的指标。但是要记住，尖角处的应力可能是奇异的，您可能需要引入圆角来避免这种现象。有关结构力学中奇异现象的更多信息，请参阅我们的博客：有限元模型中的奇点。

固体传递

在模拟电迁移时，必须考虑结构响应，尤其是域内的应力和应变。如前所述，应力梯度会导致空位迁移。此外，我们可能希望确保应力不会超过材料的屈服应力。如果变形和旋转较小，可以假设进行几何线性分析。

进一步模拟

至此，我们已经介绍了基本空位传递方程的理论和在 COMSOL Multiphysics^® 中的设置方法。还介绍了相关的物理知识，如热传导、电流和固体力学，因为在建立电迁移模型时必须考虑这些方面。目前讨论的模型适用于描述故障发生前的电迁移初始阶段。

使用 COMSOL 建立的模型可用于预测空位成核的起始。尽管对空位成核的确切条件还没有达成普遍共识，但有人认为，一旦达到临界空位浓度或应力水平，空位就可能形成。一些研究人员还提出，空位可能会在晶格边界或预先存在的自由表面成核，因为在这些地方，空位形成所需的应力水平会降低。

监测这些标准有助于预测空位可能在域内或边界上成核的位置和时间。成核发生后，可能需要追踪空位的移动和增长。虽然这更具挑战性，但 COMSOL Multiphysics^® 同样也可以应对。您可以使用界面追踪方法（如水平集或相场方法）设置此类模拟。下面列举了几个使用这些方法的案例：

结论

这篇博客重点介绍了在预测互连故障时准确模拟空位传递的重要性。通过使用 COMSOL Multiphysics^® 的多物理场仿真功能，我们可以深入理解电迁移现象，更有效地预测空位形成的起始时间并评估其对器件性能的影响。

下一步

点击下方按钮，即可进入 COMSOL 案例库，尝试模拟与本文讨论的模型相似的模型：

获取模型

参考文献

Orio, R. L. de, et al. “Physically Based Models of Electromigration: From Black’s Equation to Modern TCAD Models.” Microelectronics Reliability, vol. 50, no. 6, Elsevier BV, June 2010, pp. 775—89.

理解不同类型的相互作用曲线

Henrik Sönnerlind — Thu, 06 Feb 2025 08:00:09 +0000

在工程学以及其他科学领域，一个常见的问题是：如果将两个或多个独立的源相结合，会产生什么作用。这种效应常常以图形的形式表示为相互作用曲线。这篇博客，我们将介绍一些相互作用曲线的示例，并探讨其背景知识。

内容简介

梁的弯曲和拉伸
幂律
紧固件
Tresca 屈服标准
重新探讨梁柱
剥离
疲劳
安全系数
等值线图
结语

梁的弯曲和拉伸

作为一个入门示例，让我们来研究同时承受轴向力和弯矩作用的梁的极限荷载。假定梁的横截面为矩形，高 2a ，宽 2b。采用屈服应力为的理想塑性作为失效标准。

在极限载荷下，整个截面上的应力（无论是拉伸应力还是压缩应力）均等于屈服应力，应力分布如下图所示：

失效状态下的应力分布。

图中，e 为中心轴到应力反转位置（中线）的距离。

由一侧的应力分布与另一侧施加的轴向力 N 和弯矩 M 平衡，可知

N = 4eb \sigma_{\mathrm y}

和

\displaystyle M =2 \cdot 2b \left (a – e \right) \left (e+ \frac{a-e}{2} \right) \sigma_{\mathrm y} = 2b \left (a^2 – e^2 \right ) \sigma_{\mathrm y}.

可以看出, 当 e = a 和 e = 0 时，可分别获得最大承载力和 :

N_{\mathrm f} = 4ab \sigma_{\mathrm y} = \sigma_{\mathrm y}A

和

\displaystyle M_{\mathrm f} = 2ba^2 \sigma_{\mathrm y} = \sigma_{\mathrm y}} Z_{\mathrm p},

式中，A 为横截面积， Z_p 称为“塑性截面模量”。

这类表达式常常以非量纲的形式书写：

\displaystyle \frac {N}{N_{\mathrm f}} = \frac{e}{a} = \xi

和

\displaystyle \frac{M}{M_{\mathrm f}} = \left (1 – \left (\frac{e}{a} \right )^2 \right ) = \eta.

使用这种形式，可以消除参数 e，从而得到一个简单且明确的关系：

\displaystyle \frac{M}{M_{\mathrm f}} = \left (1 – \left ( \frac {N}{N_{\mathrm f}} \right )^2 \right),

或

\eta = \left (1 – \xi^2 \right ).

此表达式给出了导致梁截面失效的力和力矩组合。这种关系通常以相互作用曲线的形式表示。该方程或相应的图形可用于快速评估允许承载状态。

一个矩形钢梁的相互作用曲线。

对于无量纲相互作用定律，最常见的形式是将失效曲线表示为，因此代表安全区域。以梁弯曲为例，

幂律

许多相互作用定律都是幂律类型。幂律用数学形式可表达为

\xi^\alpha + \eta ^\beta \displaystyle = 1.

指数和不一定是整数，尽管它们的常见值为 1 和 2。通常，。在这种情况下，此定律的两个参数是对称的。但并不是所有的情况都如此；例如，在开始的梁示例中，就出现了的情况。

在幂律中，一个参数的最大值总是出现在另一个参数为零的时候。这直观上似乎是显而易见的，但稍后我们将给出一个反例。

幂律有一个特例，即的情况，其结果是纯加法作用，可以用一条直线表示。如果对一个载荷施加临界值的 40%，就可以对另一个载荷施加临界值的 60%。

紧固件

通过对铆钉的简单分析，可以得到一个的幂律示例。铆钉可能受到拉伸力（N）和剪力（T）的共同作用。铆钉中的拉伸力为

\displaystyle \sigma = \frac {N}{A},

式中，A 为横截面积。在弹性状态下，剪力在横截面上的分布很复杂，但由于我们

这里主要关注的是失效状态，因此可以假定剪力是均匀分布的，

\displaystyle \tau = \frac {T}{A}.

使用 von Mises 等效应力，失效标准为

\displaystyle \left ( \frac{\sigma}{\sigma_{\mathrm y}} \right) ^2 + 3 \left ( \frac{\tau}{\sigma_{\mathrm y}} \right) ^2 = 1.

单个失效载荷为

N_{\mathrm f} = \sigma_{\mathrm y} A

和

\displaystyle T_{\mathrm f} = \tau_{\mathrm y} A = \frac{\sigma_{\mathrm y} A }{\sqrt{3} }.

剪力的失效载荷是假定的 von Mises 标准的影响。

因此，将最终结果用力的形式来表示是

\displaystyle \left ( \frac{N}{N_{\mathrm f}} \right) ^2 + \left( \frac{T}{T_{\mathrm f}} \right) ^2 = 1.

此示例为幂律的一种情况，即。当使用“平方和的平方根”类型的标准来组合不同的影响时，这种定律很常见。

然而，这并不是所有紧固件类型的标准。旧版本的 MIL-HDBK-5H《MILITARY HANDBOOK: METALLIC MATERIALS AND ELEMENTS FOR AEROSPACE VEHICLE STRUCTURES》（参考文献 1）中提出了螺栓的几种相互作用标准。螺栓与铆钉并不完全相同，但在忽略连接部件之间摩擦力的保守假设下，这两种情况是相似的。使用该文件中的符号（t = 拉伸力；s = 剪力），

\displaystyle R_{\mathrm t} = \frac{N}{N_{\mathrm f} }

和

\displaystyle R_{\mathrm s} = \frac{T}{T_{\mathrm f}}.

有趣的是，我们得到以下所有类型的相互作用标准：

R_{\mathrm s}^3 + R_{\mathrm t}^3 = 1 \\

R_{\mathrm s}^3 + R_{\mathrm t}^2 = 1 \\

R_{\mathrm s}^2 + R_{\mathrm t}^2 = 1 \\

R_{\mathrm s}^{1.5} + R_{\mathrm t}^2 = 1 \\

R_{\mathrm s} + R_{\mathrm t}^2 = 1 \\

R_{\mathrm s} + R_{\mathrm t} = 1.

相应的相互作用曲线如下图所示。

不同螺栓相互作用标准的相互作用曲线。红色曲线是由铆钉理论得出的曲线。

目前，螺栓相互作用标准的首选项是

R_{\mathrm s}^3 + R_{\mathrm t}^2 = 1.

如何解释这与铆钉分析（两个项的指数都是 2）的差异？

推荐标准允许的载荷高于铆钉分析所显示的结果。在无法获得底层推理逻辑的情况下，我们只能做出猜测。其中一个重要的差异是，螺栓的作用力不是按失效应力归一化的，而是按“允许力”归一化的。螺栓的允许力来自两个不同的区域：基于螺纹区域的允许拉伸力，基于螺杆的允许剪力。在某种程度上，这是两种不同的失效机制。螺纹区域的横截面积明显较小，减少了约 25%。

考虑到这一点，此示例实际上存在两个相互竞争的标准：

螺纹区域的拉伸力超载导致的失效
螺杆区域的拉伸力和剪力共同作用导致的失效

在纯拉力作用下，螺纹是最薄弱的部分。在纯剪力作用下，则是螺杆。在组合载荷作用下，任何一个位置都可能是关键部分。

在螺杆区域，可以使用 von Mises 标准。在这种情况下，螺栓（在保守假设下）类似于铆钉。

\displaystyle \left ( \frac{N}{\kappa N_{\mathrm f}} \right)^2 + \left( \frac{T}{T_{\mathrm f}} \right)^2 = 1

式中，是螺杆和螺纹区域的横截面积之比。这是因为是针对螺纹区域定义的，而螺杆区域的拉伸失效载荷更高。

螺纹不受任何剪力，其失效标准也很简单：

\displaystyle \frac{N}{N_{\mathrm f} } = 1.

使用 = 1.25，该标准可直观显示为：

推荐的相互作用曲线（蓝色）与螺杆和螺纹失效组合的比较。

可以看出，在剪力占主导的情况下，基于 von Mises 标准和基于标准的曲线非常吻合。对于纯拉伸力和纯剪力之间的所有比值，后一种标准都偏于保守。使用一条简单的分析曲线比使用分段函数（由于面积比 κ 不同，因此对每种螺栓尺寸，该函数都是唯一的）更方便。

下图是 COMSOL Multiphysics^® 软件壳接口 紧固件 下安全子节点的截图。在此接口下，您可以使用任何类型的幂律。

在 COMSOL Multiphysics 中计算紧固件安全系数的设置。

Tresca 屈服标准

之前曾有人指出，使用 von Mises 屈服应力会产生一个幂律，即

\alpha = \beta = 2.

那么，很自然引出一个问题：如果使用 Tresca 失效标准，会对相互作用曲线产生什么影响？标准中使用的往往是更为保守（但在数学上不那么容易接受）的 Tresca 标准。

Tresca 等效应力被定义为最大主应力和最小主应力之差。我们可以利用 Mohr’s circle（莫尔圆）进行分析。对于由单一直接应力和剪力组成的应力状态，莫尔圆的直径（2R）也是两个主应力之差。因此，莫尔圆将失效描述为

\sigma_{\mathrm y} = \displaystyle \sigma_1} – \sigma_2= 2R = \sqrt{\sigma^2 + 4 \tau^2}.

根据 Tresca 失效标准，纯剪力的疲劳应力为

\displaystyle \tau_{\mathrm y} = \frac{\sigma_{\mathrm y} }{2 }.

出人意料的是，我们得到了与 von Mises 标准完全相同的幂律相互作用曲线！

\displaystyle \left ( \frac{N}{N_{\mathrm f}} \right) ^2 + \left( \frac{T}{T_{\mathrm f}} \right) ^2 = 1

唯一的区别是，当使用 Tresca 失效标准时，表达式中使用的剪力疲劳荷载要小 13%。

重新探讨梁柱

梁柱通常由混凝土制成。混凝土是一种压缩强度与拉伸强度相差很大的材料。抗拉强度（）仅为抗压强度（）的10%。

当压缩应力大于拉伸应力时，失效状态下的应力分布。

如果重新对矩形梁进行初始分析，考虑不同的拉伸应力和压缩应力，可以得到

N =2b \left ( (a+e)\sigma_{\mathrm t}- (a-e)\sigma_{\mathrm c} \right)

和

\displaystyle M = b \left (a^2-e^2 \right) \left ( \sigma_{\mathrm t}+\sigma_{\mathrm c} \right).

在继续讨论之前，必须说明一个重要问题：在实际操作中，混凝土结构通常需要通过钢筋进行加固。要进行全面分析，就必须考虑钢筋的数量、钢筋在横截面上的位置以及钢筋的屈服应力。这些因素使得代数分析变得极为复杂。然而，当前的简化分析仍足以说明基本原理。

作为轴向力的参考疲劳载荷，我们可以选择纯压缩应力失效，即

N_{\mathrm f} = 4ab \sigma_{\mathrm c} = \sigma_{\mathrm c} A.

作为弯曲的疲劳载荷，我们选择了可能的最大力矩。很明显，当 e= 0 时会出现最大力矩，因此

\displaystyle M_{\mathrm f} = b a^2( \sigma_{\mathrm t}+\sigma_{\mathrm c} ).

引入一个参数，表示抗拉强度和抗压强度的比值，即。同样，令，将更容易写出无量纲关系式。现在

\displaystyle \frac{M}{M_{\mathrm f}} = 1-\epsilon^2

和

\displaystyle \frac{P}{P_{\mathrm f} } = \frac{1}{2} \left ( 1 -\epsilon- (1+\epsilon) \beta \right).

这里，压缩荷载被视为正值（P = -N）。这是分析梁柱的习惯做法，因为预期荷载主要是压缩荷载。

下图为的相互作用曲线，按照惯例，将力绘制在纵轴上，弯矩绘制在横轴上。

混凝土梁的相互作用曲线。

请注意，在这种情况下，最大允许力矩与零轴向力并不重合。从上述表达式中可以看出，当其变为以下形式时，出现最大弯矩承载力

\displaystyle \frac{P}{P_{\mathrm f} } = \frac{1}{2} \left ( 1-\beta \right ).

由于较小，令人惊讶的是，最大弯矩承载力出现在压缩力几乎为疲劳荷载的 50% 时。从图中还可以推断出，当没有轴向力时，弯矩承载力比最大值降低了 70%！

如果考虑加固因素，相互作用曲线的形状就会发生变化，但不会发生根本性的变化。要查看此类图表，可在网上搜索 “梁柱相互作用曲线”。

剥离

两个粘合表面之间的剥离通常被认为是拉伸失效和剪切失效的综合作用。在这种情况下，承载能力通常由模式 I（拉伸）和模式 II（剪切）的断裂韧性来描述。

最早提出的用于描述混合模式剥离的一个相互作用标准是幂律，

\displaystyle \left ( \frac{G_{\mathrm I}}{G_{\mathrm{Ic}}} \right) ^\alpha +\left ( \frac{G_{\mathrm{II}}}{G_{\mathrm{IIc}}}} \right) ^\beta = 1.

在这种情况下，指数和必须与实验相匹配。没有第一性原理可以依赖，您可以将此模型视为有两个参数（和），而和的值是根据单模式实验确定的。另外，也可以使用全部的四个参数，以尽可能地匹配一组具有不同模式组合的实验数据。在这种情况下，和与纯拉伸或剪切试验的结果并不完全匹配。

大多数情况下，幂律与测量结果并不能很好地匹配。Benzeggagh-Kenane (B-K) 标准提供了另一种常用的相互作用定律：

\displaystyle G_{\mathrm {Ic}} + (G_{\mathrm {IIc}} – G_{\mathrm {Ic}}) \left ( \frac{G_{\mathrm {II}}}{G_{\mathrm {I}} +G_{\mathrm {II} }} \right) ^\eta = G_{\mathrm {I}} + G_{\mathrm {II} }.

这一标准所代表的物理含义并不明显。它指出，应用的模式 I 和模式 II 能量释放率之和等于失效时的有效断裂韧性：

\displaystyle G_{\mathrm {c}} = G_{\mathrm {Ic}} + (G_{\mathrm {IIc}} – G_{\mathrm {Ic}}) \left ( \frac{G_{\mathrm {II}}}{G_{\mathrm {I}} +G_{\mathrm {II} }} \right) ^\eta.

有效断裂韧性是和的加权和，其中权重取决于所施加载荷的比率。显然，对于纯 I 型断裂或纯 II 型断裂，可以使用单模式标准。为了理解 B-K 标准的含义，可以使用相互作用曲线进行解释。

如果已经测量单向强度，则只需一个参数与实验相匹配，即指数。或者，也可以使用所有三个参数以获得更好地曲线拟合。

相互作用曲线可以用一个描述载荷的参数来参数化，

\displaystyle R = \frac{G_{\mathrm {II}}}{G_{\mathrm {I}} +G_{\mathrm {II}}}.

R 将从 0（纯I型）变化到 1（纯II型）。

假设剪切断裂韧性和拉伸断裂韧性之比为，则

G_{\mathrm {Ic}} = \kappa G_{\mathrm {IIc}}.

通常， < 1。重新排列公式，B-K 标准可以写成以下两种无量纲形式

\displaystyle \frac{G_{\mathrm {II}}}{G_{\mathrm {IIc}}}} = R\left (\kappa + (1-\kappa)R^\eta \right)

或

\displaystyle \frac{G_{\mathrm {I}}}{G_{\mathrm {Ic}}}} = \displaystyle \frac{(1-R)\left (\kappa + (1-\kappa)R^\eta \right )}{\kappa}.

这可以看作是以 R 为参数的相互作用曲线的参数化表述。

下表列出了B-K 标准和幂律的四种不同材料的材料参数。数据来自参考文献 2。两种模型的断裂韧性值和并不相同。断裂韧性值是整体曲线拟合的一部分。

材料
1	0.147	1.75	0.17	4.8
2	0.0785	2.35	6.0	6.0
3	0.0182	1.39	0.49	3.9
4	0.783	0.63	2.1	0.62

将这些数据绘制成相互作用曲线，如下图所示。幂律曲线已根据模型之间的断裂韧性差异进行了缩放。这就是为什么幂律曲线的终点不都在值 1 处的原因。

四种不同材料的混合模式剥离相互作用曲线。实线表示 B-K 标准，虚线表示同一材料的幂律。

可以看出，相互作用曲线有一些出人意料的特性，这些特性是其各自数值特性的影响。通过这种方式可以清楚地看出，对同一种材料的预测可能会因使用的模型不同而存在很大差异。

层压复合材料案例模型中的混合模式剥离就是使用 B-K 标准对剥离进行模拟的一个示例。

疲劳

在评估疲劳失效风险时，通常认为允许的应力幅值取决于平均应力。拉伸平均应力越大，允许的应力变化就越小。由于存在多个标准，平均应力和应力幅值之间存在多种不同的相互作用曲线。最常用的三种标准是 Goodman 标准、Gerber 标准和 Soderberg 标准。

如果允许的幅值应力称为，平均应力称为，这些标准可以写为以下形式：

Goodman:

\displaystyle \frac {\sigma_{\mathrm a} }{\sigma_{\mathrm a0}} =1-\frac{\sigma_{\mathrm m}}{\sigma_{\mathrm u}}

Gerber:

\displaystyle \frac {\sigma_{\mathrm a} }{\sigma_{\mathrm a0}} =1-(\frac{\sigma_{\mathrm m}}{\sigma_{\mathrm u}})^2

Soderberg:

\displaystyle \frac {\sigma_{\mathrm a} }{\sigma_{\mathrm a0}} =1-\frac{\sigma_{\mathrm m}}{\sigma_{\mathrm y}}

允许的应力幅值已按平均应力为零时的疲劳极限进行了归一化处理。和分别表示极限应力和屈服应力。如下图所示，可以将这些标准可视化为相互作用曲线。

疲劳评估中应力幅值与平均应力之间的相互作用。平均应力轴已经根据极限应力进行归一化，并假定极限应力比屈服应力大 30%。

安全系数

当你使用一个失效标准时，常见的要求是提出一个单一的安全系数、安全裕度或类似的量。这当然是合理的，但并不总是容易做到的。大多数情况下，安全系数代表的是在达到失效标准之前，载荷可以增加多少。然而，相互作用曲线的整个理念是有两个独立的载荷源。使用由表示失效的符号，让我们考虑一种安全状态。安全系数 s至少有三种合理的定义：

在第二载荷保持不变的情况下，增加第一载荷的安全系数：
在第一载荷保持不变的情况下，增加第二载荷的安全系数：
两个载荷成比例增加时的安全系数：

大多数情况下，根据这三种关系中的任何一种计算安全系数都需要求解一个非线性方程。

举例来说，假设初始示例中的横梁加载到以下水平

\displaystyle \frac{M}{M_{\mathrm f}} = \frac {N}{N_{\mathrm f}} = 0.5.

下图中以图形的形式对三种安全系数进行了解释。相互作用曲线可以轻松地用于图解安全系数，而无需求解方程。

相互作用曲线，以及三种不同的安全系数。

在这种情况下，描述安全系数的三个方程为

0.5 + (0.5 \cdot s )^2 = 1 \; \implies \; s = \sqrt{2} \approx 1.41 \\

0.5 \cdot s + 0.5^2 = \; 1 \implies \; s = 1.5 \\

0.5 \cdot s + (0.5 \cdot s )^2 = 1 \; \implies \; s = \sqrt{5} – 1 \approx 1.24.

等值线图

现在让我们来看看相互作用曲线在结构力学领域之外的应用。等值线图 用于确定医用药物之间的相互作用。

同时服用两种药物可以增强彼此的效果。这就是所谓的“协同作用”。但是，也有可能出现相互抵消的情况，即“拮抗作用”。协同作用可能是有益的，因为它们可以减少剂量，进而减少副作用。

当然，同样的观点也可以应用于毒性研究，当两种有毒物质混合时，其效果会比两种单独效果的总和更强或更弱。

等值线图是两种物质之间的相互作用曲线，显示了产生相同效果的组合。通常，会对曲线进行归一化处理。下图显示了等值线图的主要形状。

三种不同类型药物相互作用的等值线图。

结语

无论是从定性还是定量的角度来看，相互作用曲线图都是了解两个作用综合效果的有力工具。

似乎大多数结构失效曲线都是拮抗型的，通常能够承受两种不同荷载的组合，其承载能力高于单纯叠加所能承受的作用。然而，这种现象是否具有普适性仍需进一步探讨。如果你有一些反例，欢迎留言讨论。事实上，早期的一些剥离曲线图确实在部分范围内表现出协同行为。不过，这可能是曲线拟合时产生的假象。任何指数小于 1 的幂律都会在某种程度上低于叠加线。

参考文献

MIL-HDBK-5H, MILITARY HANDBOOK: METALLIC MATERIALS AND ELEMENTS FOR AEROSPACE VEHICLE STRUCTURES, 1998; http://everyspec.com/MIL-HDBK/MIL-HDBK-0001-0099/MIL_HDBK_5H_1804/
J.R. Reeder, “3-D Mixed Mode Delamination Fracture Criteria – An Experimentalist’s Perspective,” NASA Langley Research Center, 2006; https://ntrs.nasa.gov/citations/20060048260

如何在 COMSOL Multiphysics® 中测试数值材料模型

Amit Patil — Fri, 11 Oct 2024 02:58:52 +0000

材料模型在描述、预测和理解材料的物理行为方面发挥着重要作用，它们描述了材料对力、热或电压等外部激励的响应。大多数材料模型是基于实验数据和观察结果，而非基本物理原理建立的，本质上是唯象的。描述线弹性现象的胡克定律就是一个典型的例子，它被广泛应用于各个领域。为了使唯象的材料模型在计算上可行，必须进行许多简化和假设，但这限制了它们在某些工况条件下的使用。因此，在实际应用中使用材料模型之前，了解其在标准载荷配置下的响应至关重要。这些配置称为 标准材料测试，可作为验证的基准。这篇博客，我们将探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 软件中测试数值模型。

本文是关于数值材料模型应用系列博客的第二部分。在第一部分，我们介绍了如何估算材料模型的参数。点击此处，阅读第一部分。

材料测试和测试材料功能

博客从测量中获取结构力学的材料数据中介绍了在实验室进行的一些常见的材料测试类型。然而，测试某种特定材料与测试其数值材料模型之间存在差异。正如这篇博客中所述，橡胶本身具有弹性，但当其浸入液氮后会变得像玻璃一样脆。相反，天然脆性的玻璃在加热后会变得具有黏弹性。因此，在不同工况条件下，一种材料可能需要使用不同的材料模型才能准确描述其行为。当在实验室测试某种特定材料时，许多因素都会影响测试结果，如试样的尺寸和几何形状、施加的载荷、边界条件、操作条件和时间相关性。然而，特定材料模型的数值测试通常较为简单，使用的操作参数较少。

大多数材料模型本质均属于唯象学范畴，它们是对真实物理行为的数值近似描述。这些模型基于不同标准测试获得的实验测量结果建立。尽管唯象模型并非源自物理定律，但这些定律对材料模型的数学构造和材料属性的可能值施加了限制。因此，即使对成熟的材料模型，也必须谨慎地选择材料属性，并评估它们在不同标准测试中的响应。此外，采用不同测试验证数值材料模型还有其他原因，例如：

通过比较数值结果和实验结果，评估材料属性的正确性
在进行数值模拟之前找到有效的应力和应变范围
检查应力和应变分量的方向依赖性
检查是否存在材料不稳定性，如极限点不稳定性

COMSOL Multiphysics 软件 6.1 版本的 固体力学 接口增加了一项名为 测试材料 的新功能，它提供了一系列标准测试，可用于对不同的材料模型进行验证,这些测试包括

单轴试验
双轴试验
剪切试验
各向同性试验
固结试验
三轴试验

测试材料 功能的设置，选择 单调 选项作为测试设置。

功能设置中的域选择决定测试哪个材料模型。用户可以随时更改 测试材料 功能的域选择，或使用多个 测试材料 功能测试多个材料模型。该功能的 材料测试 部分包含一个名为 自动模型设置 的操作按钮文件夹。该按钮文件夹包括用于设置和删除测试的按钮。单击 设置测试 按钮可执行以下操作：

创建一个新的 3D 组件。
创建预定义大小的 3D 块几何体。其大小由 试样尺寸 定义；默认为 1 m大小的块。
该组件添加了一个新的 固体力学 接口。位移离散化设置为线性。
与所选测试相对应的边界条件和载荷将被添加到新的 固体力学 接口中。
创建一个包含一个单元的网格节点。
新增一个稳态或瞬态研究节点。
在稳态或瞬态研究中添加一个停止条件。当网格完全塌陷时，停止加载。
结果节点中会添加一组默认绘图。

试样大小会影响某些材料模型。在这种情况下，需要更改 3D 块的大小，可以在 试样尺寸 列表中选择用户自定义选项。

用于不同测试的几何结构。数字表示 COMSOL Multiphysics 中的边界选择编号。

材料测试可以是稳态的，也可以是瞬态的。瞬态测试对于测试蠕变、黏弹性等瞬态材料模型非常重要。研究类型可以通过 研究设置 列表选择。选择瞬态选项时，用户界面上还会出现测试时间的输入。除 研究设置 列表外，测试设置 列表也定义了材料测试的设置，其中包括以下选项：

单调:对于没有滞后和耗散效应的材料模型，单调试验足以描述其行为。此类材料模型的常见例子包括弹性材料，加载和卸载材料会产生相同的应力应变响应。通过单调选项，您可以更改所选材料测试的测量点数量。所有六种材料测试均可使用该选项。
循环: 对于包含非弹性效应的材料模型，滞后和耗散是其固有特性。它们的加载和卸载响应是不同的。对于这类材料模型，有必要进行材料循环测试。任何弹塑性材料都属于此类。使用循环选项，除了调整测量点数量外，还可以调整循环次数。该选项只能进行单轴和各向同性试验。
用户定义: 顾名思义，您可以借助以主拉伸或主作用力编写的函数来运行材料测试。与前两个选项相比，该选项具有更大的灵活性。在稳态研究中，需要一个辅助参数作为函数的独立参数，而在瞬态研究中，时间则是函数的独立参数。该选项仅适用于单轴、双轴和各向同性试验。

接下来的部分，我们将讨论每一种材料测试选项的设置。

材料测试选项

单轴试验

测试示意图：边界 6 的指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。

研究金属材料时最常使用拉伸试验。通过这种试验可以获得许多材料属性，如杨氏模量、泊松比、屈服强度等。对于一些承受拉伸载荷能力较弱的材料（如混凝土），单轴压缩试验比单轴拉伸试验更受欢迎。借助 测试材料 功能，您可以通过单轴拉伸或压缩试验获取单轴应力-应变关系、弹塑性模型的应变硬化、材料的滞后性等。为了使用 测试材料 功能进行单轴测试，必须给出拉伸范围。最小拉伸范围表示压缩极限，最大拉伸范围表示拉伸极限。可通过设置实现单轴压缩试验，可通过设置实现单轴拉伸试验。输入值必须满足关系。

在上文提到的博客：从测量中获取结构力学的材料数据中，有一段动画演示了三种不同材料模型的单轴拉伸和压缩试验：线弹性材料、各向同性硬化的弹塑性材料和运动硬化的弹塑性材料。使用 测试材料 功能可以轻松生成类似的结果。测试材料 功能可自动设置运行不同材料测试所需的模型，并将重要结果显示为默认图。这使整个材料测试过程得以简化，用户只需单击鼠标即可执行操作，无需手动设置模型。

材料测试结果计算完成后，可使用 测试材料 的 移除测试 按钮轻松删除模型开发器中的自动生成节点。这可以确保当所选材料模型完成所需的测试，用户可以过渡到主仿真。

使用测试材料 功能对不同材料模型进行单轴拉伸和压缩试验时所产生的应力应变响应。

现在，让我们来探讨对于更复杂的构成定律，数值材料模型测试的重要性。参考文献1 提出了一种九参数 Mooney– (MR) 材料模型，并增加了与应变速率相关的附加项，专门用于聚脲弹性体材料。这种广义的、几乎不可压缩的 MR 材料可使用应变能密度函数表示为

W_\textrm{s} =\sum_{i, j=0}^{m} C_{ij} (\bar{I}_1-3)^i(\bar{I}_2-3)^j+ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2} \kappa (J_\textrm{el}-1)^{2k}.

对于九参数 Mooney–Rivlin 材料，, , 和。参考文献1 提出了一种取决于应变速率的修正应变能量密度：

W_\textrm {s\_modified} = W_\textrm{s} \cdot (1+ \mu \;\textrm{ln} (\frac{\dot{\epsilon}}{\dot{\epsilon}_\textrm{ref}})).

式中, 是应变速率参数，是真实应变速率，是参考应变速率。由拉伸测试实验确定的材料属性有：


203	-185	28,146	27,379	-55,745	3264	-7800	14,219	-14,283	3600	0.17

参考文献1的作者提出在原始 MR 应变能密度函数中增加一个乘数因子。在第一种载荷情况下，他们考虑，从而将修正后的应变能密度降低为原始 MR 应变能密度。本文使用 测试材料 功能进行单轴拉伸和压缩试验时考虑了这种情况。单轴拉伸试验的结果与参考文献 1 中的结果在定性层面保持一致。由于数值模拟使用的试样不同，数值上会有一些微小偏差。然而，单轴压缩试验的结果是不合逻辑的，因为在压缩到一定程度后，压缩应变对应的单轴应力变为了正值。此外，只要应力与应变的曲线出现非正斜率，模拟就会失败。这清楚地显示了在测量应变状态范围之外应用曲线拟合材料模型的风险。在这种情况下，材料模型仅适用于拉伸状态。因此，如果您对材料参数的来源不确定，则有必要检查不同相关应变状态下的响应。

左图和右图分别显示了单轴拉伸和压缩试验的应力-应变响应。

COMSOL 案例中的混凝土损伤-塑性材料测试案例使用 测试材料 功能观察损伤–塑性耦合混凝土模型在不同载荷条件下的响应。这个案例运行了三次单轴试验：

单轴单调拉伸和压缩
单轴循环加载（从拉伸到压缩再到拉伸）
单轴循环加载（从压缩到拉伸）

左图：单轴单调拉伸和压缩试验的应力-应变响应。右图:单轴循环加载试验（拉伸-压缩-拉伸）的应力–应变响应。黑色虚线表示单轴单调试验的应力–应变响应。

单轴单调拉伸和压缩试验的结果表明，混凝土在压缩状态下与拉伸状态下具有不同的特性。由于不可逆变形，循环试验的结果与单轴试验相比有很大不同。在循环试验中，所有可用的塑性变形都发生在试样受拉并开始开裂时。因此，当应力反转为压缩时，不会出现塑性硬化；相反，在软化开始之前，反应都是弹性的。

双轴试验

试验示意图：边界 5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受限。

对于各向异性材料，应力-应变关系变得复杂，为了描述其本构定律，必须考虑应力和应变的多轴性。双轴试验可以创建多轴加载状态，从而能够计算材料在拉伸、压缩和剪切综合应力下的响应。与单轴试验一样，双轴试验也需要用户输入和。此外，双轴试验还需要一个双轴率。双轴比决定了第二主方向的载荷大小。

混凝土损伤–塑性材料测试案例使用 测试材料 功能运行了单调双轴压缩试验。一个主方向上的应力与三个主方向上的应变呈现出不同的关系，这比之前讨论的单轴试验结果更能说明问题。

双轴单调压缩试验的应力–应变响应。

COMSOL案例库中的非恒定载荷下的初级蠕变案例展示了如何使用 测试材料 功能评估材料在非恒定单轴和双轴载荷下的蠕变行为。对于 Norton 蠕变模型，可以使用分析公式，因此可以使用 测试材料 功能来设置试验，并将数值结果与分析或实验结果进行比较。

剪切试验

试验示意图：边界 1 和 6 的切向位移为指定值；边界 1、3 和 6 的法向位移为约束值。

剪切试验对于了解材料对剪切加载的响应以及确定材料属性（如剪切模量）非常重要。虽然许多材料对拉伸和压缩载荷响应良好，但由于材料层的内部滑动或滑移，它们在剪切载荷下可能表现不佳。在剪切载荷占主导地位的应用中，有必要在使用前评估材料对此类载荷的响应。测试材料 功能只需用户输入最大剪切角，即可进行简单的剪切测试。

在通过搭接剪切试验估算超弹性材料参数博客中，特邀作者讨论了一个简单的搭接剪切试验。在这篇博客中，通过曲线拟合方法，利用从搭接剪切试验中获得的实验结果来获得 Yeoh 超弹性材料模型的材料属性。几乎不可压缩的Yeoh材料的应变能密度可写成

W_\textrm{s} = c_1 (\bar{I}_1-3) +c_2 (\bar{I}_1-3)^2+c_3 (\bar{I}_1-3)^3 + \frac{1}{2} \kappa (J_\textrm{el}-1)^2,

式中，是弹性右柯西–格林变形张量的第一个等体积不变量，是弹性体积比。优化后得到的材料属性见下表。

材料属性	值（MPa）
	0.656
	0.034
	-0.00072
	656

本文仅转载并介绍该博客中的结果（见下图）。

左图：搭接试验的实验结果和数值模拟的力-位移曲线。右图：根据搭接试验的数值模拟结果得出的基于全域平均值的剪应力–剪切应变曲线。

本文，我们将使用上述博客中的本构定律和材料属性，并使用 测试材料 功能进行简单的剪切试验。测试材料 功能获得的剪切应力-剪切应变响应曲线与上述实际搭接试验获得的曲线非常接近。实际搭接试验中的试样设计尽可能接近于产生均一的纯剪切。这样就可以与 测试材料 功能的响应进行比较。

使用测试材料 功能进行剪切测试时产生的剪切应力-剪切应变响应。

各向同性试验

试验示意图：边界 4、5 和 6 的指定法线位移；边界 1、2 和 3 的法线位移受约束。

土壤、混凝土和岩石的本构定律具有非线性和弹塑性的特点。与金属不同，土壤中的塑性不能归类为 J2 塑性，因为它依赖于静水压力。由于土壤不能承受拉力，各向同性压缩试验是土壤力学中的基本试验。该试验可用于了解土壤对三轴压缩的响应。与单轴试验一样，各向同性试验也需要用户在 测试材料 功能中输入和。

COMSOL 案例库中的使用修正剑桥黏土材料模型模拟各向同性压缩试验教程模型展示了如何使用 测试材料 功能生成修正剑桥黏土材料模型的各向同性压缩响应。空隙比与压力对数之间的关系可以从试验中恢复，这是该本构定律的基本关系。

各向同性试验的空隙率–压力响应。

固结试验

试验示意图：边界 6 的指定法向位移；所有其他边界的法向位移均受约束。

固结试验是一种特殊类型的单轴试验，在这种试验中，一个边界被拉伸或压缩，同时约束其他边界。该试验在土壤力学中也称为 固结试验，用于确定土壤在垂直荷载作用下的固结特性。在 测试材料 功能中，仅需一个用户输入项就可以运行该测试。

三轴试验

试验示意图：第一步为各向同性压缩。第二步，在边界 6 上指定法向位移；边界 1、2 和 3 的法向位移受约束。

三轴试验广泛用于确定土壤和岩石材料在多轴应力条件下的物理性质、应力–应变响应和失效标准。如前所述，土壤的塑性模型取决于剪应力和平均应力；因此，三轴试验对于了解土壤的行为非常重要。三轴试验包括两个步骤：第一步是各向同性压缩，第二步是单轴压缩。第一步使土壤固结，根据固结情况，随后的应力路径会因第二步产生的剪应力而改变。测试材料 功能有两个三轴测试输入：第一个是 原位应力 ，第二个是 轴向拉伸 。

博客：通过仿真分析三轴试验方法讨论了三轴试验及其在地质力学中的重要性。COMSOL 案例中的三轴试验案例详细设置了三轴测试。在该示例中，测试的是具有 Drucker–Prager 塑性材料模型的线弹性材料。如果在现有设置中使用 测试材料 功能进行三轴测试，结果将与示例中的结果一致。 测试材料 功能为现有的详细模型设置提供了一个快速、简便的替代方案。

三轴试验的 von Mises应力-轴向应变响应。

请注意，文中的示意图和说明考虑了拉伸范围的用户输入。但是，当 测试设置 设置为 用户定义 时，会出现一个额外的用户输入，即测试控制。当 测试控制 设置为力驱动时，用户输入可指定为压力。

总结

在大尺度模拟中使用数值材料模型之前，需要通过简单的材料试验对其进行评估和测试。材料测试功能可以帮助实现这一目的。用户使用 材料测试 功能可以方便、快捷地设置多个测试，评估材料响应。如果不需要，还可以清除自动生成的模型节点。

参考文献

D. Mohotti et al., “Strain rate dependent constitutive model for predicting the material behaviour of polyurea under high strain rate tensile loading,” Materials & Design, vol. 53, pp. 830–837, 2014.

扩展学习

了解更多有关材料模型和测试的信息，请查看下列博客:

模拟武士刀的局部淬火

Mats Danielsson — Thu, 27 Jun 2024 09:06:30 +0000

武士刀（katana）是几个世纪前的日本武士使用的一种兵器，弯曲的形状和锋利的单刃是其典型特征。这篇博客，我们将讨论如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件建立一个简单的武士刀模型，并通过模拟局部淬火过程来探讨其特性。

内容简介

著名的武士刀
金属加工模块
局部硬化
热处理过程涉及的多物理场
武士刀的材料
武士刀的几何结构
相变仿真
1. 加热
2. 冷却
机械和热性能
传热仿真
1. 加热
2. 冷却
应力和应变仿真
结果
学以致用

著名的武士刀

很少有武器能像日本武士（samurai）的随身武器——武士刀一样闻名于世。武士刀以锋利著称，只有在最后关头才会出鞘，武士刀及其与主人之间近乎神圣的联系激发了多部现代电影、电视剧和书籍的创作灵感。在电影《杀死比尔 I》（Kill Bill I，2003）和《杀死比尔 II》（Kill Bill II，2004）中，Uma Thurman 扮演的“新娘”在现代东京挥舞着武士刀；在 James Clavell 的经典小说《幕府将军》（Shogun，1975）中，James Blackthorne 船长被吹到日本海岸，并被日本武士俘虏。

一名日本武士，照片由摄影师 Felice Beato 拍摄于 1860 年。这张照片在美国属于公有领域，它在日本的版权于 1970 年到期，而且 Uruguay Round Agreements Act 也没有恢复其版权。来源：Britannica。

当然，武士刀的大部分恶名是因其使用者而获得的。但是，日本刀匠是如何为日本武士打造这些武器的呢？他们是如何在刀刃的软硬之间实现微妙的平衡，使武士刀既锋利无比，又有足够的韧性来承受反复的冲击？为什么武士刀的刀刃是弯曲的，而不是笔直的？这篇文章，我们将介绍如何模拟武士刀的局部硬化过程，并研究其中包括的物理效应，来看看能否对这一历史上著名的武器制作过程有所了解。

金属加工模块

金属加工模块是 COMSOL Multiphysics^® 的一个附加产品，可用于模拟如钢铁等铁合金和 Ti-6Al-4V 等钛合金的相变，以及钢淬火和增材制造等应用。例如，钢淬火可用于汽车变速箱部件的淬火仿真，增材制造则涉及打印过程中出现的反复冷却-加热循环。耦合了固体力学和传热的相变仿真，能够模拟塑性和相变潜热等效应。

局部硬化

大多数情况下，仅需要对组件的部分区域进行淬火。例如，感应淬火就是这样一种工艺。它通过线圈施加强交变磁场，从而在组件表面产生感应电流。然后对组件进行淬火，使组件表面区域发生马氏体转变。这种局部淬火工艺通常用于车轴和齿轮等传动组件，以提高耐磨性和抗疲劳性。

火焰淬火是另一种可用于获得组件硬表面的工艺。这种工艺不使用交变磁场，而是通过将气体火焰施加在组件表面进行局部加热，然后进行淬火处理。

当然，感应淬火和火焰淬火是相对新颖的热处理工艺，数世纪以前的日本刀匠根本无法使用。制作传统的日本武士刀使用的是另一种局部淬火工艺。对于武士刀这种类型的兵器来说，最好的状态是刀刃锋利且边缘坚硬（理想情况下是纯马氏体），同时剑脊最好具有韧性，例如珠光体，否则可能会在受到冲击时断裂。对武士刀进行不同程度的局部硬化的传统方法是，通过在刀刃上涂抹绝缘黏土来影响刀浸入水中时向周围水体传递热量。刀身的不同区域会被涂上不同厚度的黏土，刀刃附近涂的黏土层较薄，其他部分涂的黏土层较厚。

热处理过程涉及的多物理场

钢构件的热处理仿真需要确定模型中应涉及的相关物理现象。

从根本上说，热处理过程由与外部热交换产生的热量传递驱动。组件（此处为武士刀）内部温度的变化会引起冶金相变（奥氏体分解为铁素体、珠光体等）。在相变过程中，会产生潜热，从而影响温度。与热膨胀和相间密度差异相关的体积变化会导致组件变形，进而产生机械应力和塑性应变。而众所周知，在存在机械应力的情况下发生的相变会导致材料产生非弹性应变，即所谓的相变诱导塑性（TRIP）。淬火过程本质上是多物理场相互作用的过程，并且各个冶金相具有不同的材料属性，因此会产生平均的、与相组成相关的复合材料行为。

对于本文所建立的武士刀热处理模型，我们进行了以下简化：

忽略了相变过程中的潜热
忽略了相变诱导塑性应变

武士刀热处理过程中涉及的多物理场如下图所示。

武士刀热处理过程中涉及的多物理场。

武士刀的材料

传统的武士刀制作是在刀刃的不同部分使用不同类型的钢材。通常，刀刃与刀身内芯材料不同，最显著的区别是碳含量不同。碳含量以及其他合金元素的含量对钢材的热性能和机械性能以及相变特性都有很大影响。在此，我们将其简化为单一钢材，其合金含量如下表所示：

元素	重量百分比（wt%）
C	0.63
Mn	0.9
P	0.04

实际上，钢材中还含有其他合金元素，但为了简单起见，除碳（C）之外，我们只考虑锰（Mn）和磷（P）。

武士刀的几何结构

武士刀的几何结构，刀身长度为 50 cm（左），刀身横截面高度为 2.8 cm（右）。

相变仿真

不同相组成的钢材性能不同，因此需要对各种可能的相变进行表征。在室温下，钢的基本组成为 50% 铁素体和 50% 珠光体。首先加热武士刀，直到其基本组成完全转变为奥氏体。然后在水中淬火，以获得最终的相组成。这种相组成在空间上会有所变化，通常是铁素体、珠光体、贝氏体、马氏体以及可能的残留奥氏体的某种组合，见下图。材料相的空间变化受每个材料点在冷却过程中所经历的温度的影响。

加热和冷却过程中的相组成。铁素体（F）和珠光体（P）的基本组成在加热时转化为奥氏体（A）。奥氏体在冷却过程中分解为铁素体、珠光体、贝氏体 (B) 和马氏体 (M)。

加热

加热模拟不仅是为了模拟铁素体-珠光体钢的奥氏体化，也是为了模拟加热时产生的热应变。请注意，我们本来可以在冷却开始时施加初始应变，以包括热应变，从而忽略加热，但我们选择在冷却模拟前进行加热模拟。不过，由于我们并不关心奥氏体的形成本身，因此使用 Leblond-Devaux 相变模型来模拟铁素体-珠光体基本组成中奥氏体的形成。相变模型使用了 附加源相 子节点，因此铁素体和珠光体在奥氏体的形成过程中都是源相。奥氏体 (A)、珠光体 (P) 和铁素体 (F) 的相分数速率分别由以下公式给出：

\dot{\xi}^\mathrm{A} = \frac{\xi_\mathrm{eq}^\mathrm{A}-\xi^\mathrm{A}}{\tau_\mathrm{F,P\rightarrow A}}

\dot{\xi}^\mathrm{F} = -\frac{\xi_\mathrm{eq}^\mathrm{A}-\xi^\mathrm{A}}{\tau_\mathrm{F,P\rightarrow A}}\cdot\frac{\xi^\mathrm{F}}{\xi^\mathrm{F}+\xi^\mathrm{P}}

\dot{\xi}^\mathrm{P} = -\frac{\xi_\mathrm{eq}^\mathrm{A}-\xi^\mathrm{A}}{\tau_\mathrm{F,P\rightarrow A}}\cdot\frac{\xi^\mathrm{P}}{\xi^\mathrm{F}+\xi^\mathrm{P}}

其中，奥氏体的平衡相分数为 1（完全奥氏体化），时间常数设为 60 s:

\xi_\mathrm{eq}^\mathrm{A} = 1

\tau_\mathrm{F,P\rightarrow A} = 60s

此外，我们只允许在加热过程中进行这种相变，具体方法是使用 变换条件 子节点，在该节点中输入以下条件 c:audc.Tt>0。

冷却

当完全奥氏体化的武士刀在水中淬火时，奥氏体会分解成铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体的组合。整个刀身不同位置的冷却速度，会形成不同的相含量。这表明，与加热模拟相比，冷却模拟时需要对相变进行更详细的描述。因此，使用 Johnson–Mehl–Avrami–Kolmogorov(JMAK) 相变模型模拟奥氏体分解为铁素体、波来石和贝氏体的过程。该模型适用于扩散相变模拟。它有三个参数：

平衡相分数,
时间常数,
Avrami 指数,

平衡相分数表示目标相的平衡相分数，可视为长期渐近线。例如，对 Fe-C 图中的奥氏体和铁素体两相区域应用杠杆原理，就可以计算和温度之间的铁素体平衡相分数。要确定其余参数，可以利用时间-温度-转变 (TTT) 图。TTT 图通常显示每种冶金相开始形成的时间和每种转变结束的时间。TTT 图假定在等温条件下进行，也就是说如果要通过实验获得 TTT 图，首先应将试样快速冷却到“目标温度” ，然后保持在该温度。在一定温度范围内，通常是从奥氏体化温度到马氏体形成温度范围内重复这一过程。

下列示意图中，下半部分显示了一个 TTT 图，其中两条曲线分别表示形成 1% 和 99% 的目标相所需的时间。这些分数都是相对相分数，表示在每个温度水平下，目标相与该温度下可达到的最大值的比例。相对相分数由给出，其中平衡相分数一般与温度有关。请注意，如果已经通过实验确定了这两条 TTT 曲线，就可以在每个温度下精确拟合 JMAK 相变模型。然后，中间相对相分数将由 JMAK 模型的公式决定。示意图的上半部分显示了在下，由特定相变模型控制的目标相的演变过程。

相对相分数为 0.01 和 0.99 时的 TTT 曲线示例。图中标出了中间相对相分数。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，JMAK 相变模型以速率形式表示，因此适用于非等温条件。不过，在 TTT 意义上，我们可以对 JMAK 模型进行符号积分。目标相随时间的演变过程变为：

\xi(t) = \xi_\mathrm{eq}\left(1-\exp\left(-\left(\frac{t}{\tau}\right)^n\right) \right)

经过一些处理后，可以将这个等式重新写为：

\left(\frac{t}{\tau}\right)^n= -\ln\left(\frac{\xi_\mathrm{eq}-\xi(t)}{\xi_\mathrm{eq}}\right)

如果使用上图中的开始和结束时间以及相分数，假设平衡相分数已知，就可以确定 Avrami 指数 n 和时间常数 :

\left(\frac{t}{\tau}\right)^n= -\ln\left(\frac{\xi_\mathrm{eq}-\xi(t)}{\xi_\mathrm{eq}}\right)

\tau = t_\mathrm{1}/\left(-\ln\left(\frac{\xi_\mathrm{eq}-0.01}{\xi_\mathrm{eq}}\right)\right)^{1/n}

这正是相变节点中 JMAK 相变模型的 TTT 图数据 表述方式。

在当前的武士刀淬火模型中，我们使用了三组虚构但合理的开始和结束 TTT 曲线，分别将奥氏体分解为铁素体、珠光体和贝氏体。铁素体数据的一部分如下表所示：


575	2.2	43
580	0.22	2.1
585	0.075	1.42
590	0.076	1.47
595	0.078	1.47
600	0.079	1.49
605	0.081	1.54
610	0.084	1.58
615	0.086	1.63
620	0.090	1.70


730	5.8	110
735	13	254
740	41	820
745	322	6246

为了完成相变模型的定义，还需要确定:

铁素体、珠光体和贝氏体在各自相变过程中与温度相关的平衡相分数。
相变的温度上限和下限。例如，定义了铁素体转变的起始温度，而则是马氏体的起始温度。

平衡相分数和不同的转变温度使用 奥氏体分解 接口下的 钢成分 节点，根据化学成分计算。

我们只允许在冷却过程中发生这些相变，与加热过程一样，使用 相变条件 子节点控制，在该节点输入以下条件 c:audc.Tt<=0。

当结合使用铁素体、珠光体和贝氏体相变的 TTT 曲线时，就可以使用 奥氏体分解 接口计算出 TTT 图。下图显示了计算出的 TTT 图。为了模拟这种情况，我们在零维中使用 奥氏体分解 接口，并通过选择相节点中的 计算转变时间 来获得达到特定相分数的时间。

使用虚构的 TTT 数据计算出的 TTT 图。

马氏体相变由 Koistinen–Marburger 相变模型描述。定义该模型需要两个参数：

Koistinen–Marburger 系数，
马氏体开始温度，

与等温条件下考虑的扩散铁素体、珠光体和贝氏体转变不同，马氏体转变本质上取决于温度速率。根据 Koistinen–Marburger 模型，马氏体的形成速率通过系数与冷却速率成正比。

在定义了所有相变之后，我们还可以计算连续冷却转变（CCT）图。下图所示为 CCT 图，其中奥氏体化温度为 900 ^°C，冷却速度范围为 0.1 K/s 至 1000 K/s。图中的 1% 线表示已形成的铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体相。奥氏体也显示了 1% 线，表示奥氏体分解完成，即几乎所有奥氏体都分解成了其他相。

根据 TTT 数据计算的 CCT 图。

材料的机械和热性能

要建立武士刀这样的钢铁组件的淬火过程的详细模型，需要了解其机械和热性能。这些性能在不同相（如奥氏体和铁素体）之间存在差异，而且还取决于温度。对于弹塑性特性，一般还取决于应变和可能的应变率。通过实验获得一整套材料特性既耗时又昂贵，因此往往难以实现。在实践中，会使用其他来源，包括文献中的实验数据和计算的材料特性。本模拟的目的是演示武士刀的淬火过程，因此我们对模型进行了如下简化：

弹性特性在各相之间保持一致，但其余特性在各相之间有所不同。
导热系数和热容量与温度有关。
初始屈服应力与温度有关。
各相的硬化行为是线性的、各向同性的，并且与温度有关。
热膨胀系数不变，但体积参考温度不同。

各相的材料特性与演变的相组成（相分数）可一起用于计算有效材料属性。这项工作是在金属加工模块中自动完成的，计算出的有效材料属性被收集在 复合材料 中，与其他物理场接口共享，见下图。

计算出的有效材料属性被收录在 复合材料 中。

传热仿真

使用 固体传热 接口来模拟武士刀内的热传递以及与周围环境的热交换。为简化问题，我们忽略了辐射传热，仅通过对流传热来模拟刀刃到周围环境的热传递。在刀片表面指定了一个热通量，并使用与温度相关的热传导系数表征。

加热

加热武士刀是为了使铁素体-珠光体基本组分奥氏体化。为了模拟这一过程，我们使用了一个简化的对流模型，采用恒定的传热系数 300 。在加热的第一分钟内，环境温度从室温跃升至 850^°C，然后在整个加热过程中保持恒定。选择总时间是为了使材料完全转变为奥氏体，并且加热时武士刀内的热梯度要足够低，以防止热致塑性应变。

冷却

为了模拟不同厚度的隔热黏土的效果，刀片边缘附近区域的传热系数与刀片上部的有所不同。

下图显示了表示薄层和厚层黏土随温度变化的传热系数。

薄层（0.2 mm）和厚层（0.75 mm）黏土随温度变化的传热系数。薄层用于刀片边缘，厚层用于刀片其余部位。

应力和应变仿真

使用 固体力学 接口计算武士刀在热瞬态过程中的应力、应变和变形。我们在前面已经指出，热膨胀和各相之间的密度差异会导致组件变形以及机械应力和塑性应变。因此用 奥氏体分解 接口模拟这些效应，并通过 相变应变 多物理场耦合转移到 固体力学 接口。我们预计武士刀会有明显的弯曲。细长结构的弯曲不一定会产生较大的材料应变，但是会涉及有限旋转，因此分析是几何非线性的。预计弯曲也会产生塑性应变，因此使用 线弹性材料 的塑性子节点考虑这一点。

结果

武士刀最显著的特征之一就是刀刃弯曲。有趣的是，这种弧度是在淬火过程中产生的，而不是在热处理之前将刀刃弯曲所致。由于刀刃靠近边缘的部分较薄，隔热黏土也涂得更薄，因此温度迅速下降，刀刃最初会随着奥氏体冷却和收缩而向下弯曲。当温度降至马氏体开始温度以下时，奥氏体开始转变为马氏体。转变为马氏体的过程伴随着体积膨胀，从而在刀片边缘产生压应力。随着冷却向刀脊部位推进，冷却速度降低，其他冶金相也随之形成。刀刃从最初的向下弯曲过渡到最终的传统弧形。下图显示了冶金相的最终组成。值得注意的是，刀刃是马氏体，因此硬度较高，但刀脊主要是珠光体，因此韧性更好。

冷却时的马氏体相分数（上）、轴向应力（中）和温度（下）。

淬火后的最终组成。刃口具有理想的硬马氏体结构，刃脊大部分为珠光体。

学以致用

在这篇博客中，我们展示了如何使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟武士刀的淬火过程。通过仿真，我们解释了武士刀的弯曲形状是如何形成的，以及使用黏土进行局部淬火的简化传统工艺如何制作出刀刃硬而刀芯软的刀片。当然，对武士刀进行建模只是出于我们的好奇心，但它表明 COMSOL Multiphysics^® 可用于模拟一般的钢淬火，不仅可以计算冶金相的组成，还可以预测变形和残余应力。

动手尝试

想尝试自己建立武士刀的局部淬火模型吗？COMSOL 案例库中提供了相应的模型文件，欢迎下载。

下载模型文件

表面贴装器件预处理过程仿真

Elsa Richardson-Bach — Mon, 20 May 2024 03:07:05 +0000

表面贴装器件（SMD）使设计人员能将大量元件集成在印刷电路板（PCB）上，从而在小尺寸上实现大量功能电路。然而，用于固定表面贴装器件的焊接过程会对器件施加高水平的应力，导致器件变形，进而影响其性能。预处理是一个在可靠性测试之前进行的，以可控和可重复的方式再现这些应力的过程。这篇博客，我们将探讨一个模型，通过三个预处理阶段的仿真来分析由于热膨胀、吸湿膨胀和塑封材料孔隙内蒸汽压力带来的封装应力和翘曲变形。

表面贴装器件

表面贴装器件是一种贴装在印刷电路板或基板表面的无引线或短引线元件。贴装元件的方法称为表面贴装技术（SMT），通过焊接或浸焊工艺固定器件。该技术需要将表面贴装器件置于高温下，这会导致器件变形，从而阻碍其贴装到印刷电路板。为了模拟高温环境对器件的影响，在进行可靠性测试之前需要进行预处理。通过有限元仿真，工程师可以更深入地理解预处理过程对表面贴装器件的影响。

焊接表面贴装器件。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, 2.5 Generic, 2.0 Generic and 1.0 Generic 许可, 通过 Wikimedia Commons共享。

预处理过程模拟

绝缘栅双极晶体管（IGBT）是表面贴装器件的一个典型示例。表面贴装器件可靠性测试的预处理模型模拟了一个绝缘栅双极晶体管模块，即贴装在一个功率半导体基板上的多个绝缘栅双极晶体管。该模型展示了如何利用建模和仿真分析表面贴装器件在电路板组装过程中经历的多次回流焊操作。在焊接过程中，表面贴装器件暴露在高温环境，这可能会造成内部损坏，尤其是当封装内有湿气的情况下。预处理的目的是在可靠性测试之前，以可控和可重复的方式产生电路板组装过程中产生的应力。此模型中使用的是表面贴装器件预处理序列的行业标准测试方法：JESD22-A113I 标准。

预处理过程有三个主要步骤:

烘烤
浸湿
模拟回流焊的温度变化

如果模拟的器件显示出过大的应力和变形，表明需要重新设计回流焊工艺，例如减慢升温速度，或使用吸湿性较低的材料等其他电磁兼容性材料。

绝缘栅双极晶体管模块的几何模型。

烘烤

预处理过程的第一步是烘烤，该步骤通过高温去除结构中的水分。为确保温度分布均匀，逐渐加热绝缘栅双极晶体管，并在 125^°C 温度下烘烤 24 h。这一步骤可最大限度地降低回流焊阶段产生的热冲击。初始水分浓度为 10 mol/m³，塑封件外部边界的浓度设定为 0 mol/m³。如下图所示，该器件在烘烤过程中会变形为凹形。

左：烘烤步骤结束后的应力分布。右：烘烤步骤结束后，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度。

烘烤步骤中的结构变形动画。

浸湿

预处理过程的第二步是测量回流过程中水分的影响，因为塑封材料（ EMC ）层内的水分可能会在回流过程中产生应力，从而导致可靠性问题。烘烤步骤后的浸湿是一种以可控的方式将水分引入塑封材料层的方法，这样可以确保在回流焊过程中可能产生的任何影响都是可重复的。在这个示例中，浸湿过程在 40^°C 下持续了 192h。烘烤后的结构是干燥的，因此初始浓度为 0 mol/m³。塑封件外部边界的浓度保持在 140 mol/m³，假设在该步骤中水分在外部边界达到饱和。最终绝缘栅双极晶体管发生的变形较其在烘烤步骤中的变形要小，变成了微凸形。

浸湿步骤中的结构变形动画。

回流焊

回流或焊接阶段用于将绝缘栅双极晶体管模块的温度提高到所用焊膏的熔点，以使其液化。熔融焊料的回流是将绝缘栅双极晶体管模块连接到印刷电路板的关键。回流焊测试在浸湿步骤后直接进行，初始水分浓度取自上次浸湿过程的最终结果。在该模型中，回流过程在 21 min 内历经三个循环，期间最高温度达到 260^°C。在这一过程中，绝缘栅双极晶体管模块在温度峰值时呈凹变形，而在回流过程呈凸变形。这一步骤对器件造成的压力最大，而仿真模型有助于预测压力的位置和程度。

t= 6 min 达到回流步骤温度峰值时的应力分布（左），以及 t = 6 min 后达到回流步骤温度峰值时，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度（右）。

回流步骤（3 个循环）中结构变形的动画。

进一步的测试

预处理过程中发生的变形仿真，可以帮助工程师更深入地理解变形对绝缘栅双极晶体管模块的影响，从而能够修改设计，避免损坏，同时提高产量和可靠性。还可以对该模型进行扩展，进一步测试到印刷电路板和表面贴装器件结构及其周围环境之间的热量传递，以及扩展为包括焊接材料的黏塑性等因素的更复杂模型。

使用 COMSOL Multiphysics® 模拟褶皱

Amit Patil — Mon, 08 Apr 2024 02:40:41 +0000

褶皱研究是一个跨学科的课题，无论是空间工程领域的充气天线，还是生物工程中常见的皮肤褶皱研究均有所涉及。无论从事哪个领域工作的工程师和研究人员，只要涉及薄结构，都熟悉褶皱产生的基本原理：当薄结构受到压应力时，刚度不足或刚度降低将会产生褶皱。这篇博客，我们将探讨如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件模拟褶皱。

引言

在结构仿真中，薄结构通常使用壳单元或膜单元模拟。壳单元会考虑结构的弯曲刚度，而膜单元不会。这一基本差异决定了这两种单元类型处理褶皱仿真的方式。当考虑弯曲刚度时，与壳模拟一样，在以弯曲刚度为特征的临界压应力下，会出现褶皱。另一方面，如果不考虑弯曲刚度，与膜模拟一样，则在一开始产生压应力时就会出现褶皱。

在这两种情况下，褶皱都被认为是一种不稳定特征，也称为 局部屈曲。使用壳单元模拟褶皱时，有必要进行屈曲后分析。值得注意的是，网格离散化和任何几何缺陷都会对最终结果产生重大影响。壳模拟的优势在于可以获得有关波长和振幅等褶皱特征的详细信息。然而，在许多仿真场景中，皱褶的详细特征并不特别重要；相反，主要目标是避免问题区域出现皱褶。在这种情况下，使用膜单元模拟褶皱可能更有优势，因为这种方法计算成本低，而且数值稳定性更好。

接下来，我们将逐一介绍这两种模拟方法。在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳单元和膜单元分别使用壳接口和膜接口模拟。

另一个熟悉的褶皱示例：船帆。照片来自Unsplash，由 Karla Car 提供。原作品经过修改。

使用膜接口仿真

使用 COMSOL 中的膜接口模拟变形的薄结构存在以下三种可能的状态之一:

绷紧的 — 当两个面内主应力均为正值时
松弛的 — 当两个面内主应力均为负值时
褶皱的 — 当面内主应力之一为负值时

常规膜理论采用的是考虑了褶皱区域中压应力的全应变能公式，从而产生了不稳定的解。为了避免由压应力产生的平衡不稳定性，我们提出了（基于张力场理论的）修正膜理论。修正膜理论在褶皱区域返回单轴应力状态，在松弛区域返回零应力状态，从而避免了平衡不稳定性。修正膜理论有两种主要方法：修正的变形张量和修正的本构关系。

修正的变形张量公式

为了理解褶皱动力学，我们来看下面这幅图:

褶皱动力学。弧形表面 ABCD 代表褶皱构型，平面 ABCD 代表平均构型，平面 ABEF 代表加长构型。

对于褶皱膜，上图显示了三种不同的动力学描述:

变形张量将参考构型映射为真正的皱褶构型（弧形表面 ABCD）。

不适合测定褶皱膜中的应变场

变形张量将参考构型映射为平均构型（平面 ABCD）, 其面积小于实际皱褶面积。

不适合测定褶皱膜中的应变场

变形张量将参考构型映射到一个虚构的加长构型（平面 ABEF），其面积等于实际皱褶面积。

适用于测定褶皱膜中的应变场

假设褶皱发生在方向，且为单轴拉伸方向, 为修正的变形张量，记为

\bar{\bf{F}} = \left[ \bf{I} + \beta (\bf{n}_2 \otimes \bf{n}_2) \right] \bf{F},

式中，是拉伸/褶皱参数 (参考文献1)。符号表示两个向量的外（二元）积，产生一个张量。表示绷紧条件。根据正交条件和张力场理论，

\bf{n}_1 \cdot \mathbf{\sigma} \cdot \bf{n}_2 = 0

\text{和}

\bf{n}_2 \cdot \mathbf{\sigma} \cdot \bf{n}_2 =0,

其中，是柯西应力。用第二皮奥拉-基尔霍夫应力表示为

\bf{\sigma} = \frac{1}{\bar{J}} \bar{\bf{F}} \cdot S(\bar{\bf{F}}) \cdot \bar{F}^T

假设平均构型已知 (), 那么未知数就是和。

让我们把这些方程映射到更方便的参考构型中，因为膜动力学和材料特征都在参考构型中。假设是参考构型中与矢量相对应的矢量。因此，虚构的格林-拉格朗日应变张量可写成

\bar{\bf{E}} = \bf{E} + \left(\beta + \frac{\beta^2}{2}\right) \bf{h} \cdot \bf{C} \otimes \bf{C} \cdot \bf{h}

\bar{\bf{E}} = \bf{E} + \beta^* \bf{N}_2 \otimes \bf{N}_2,

式中，是平均右柯西张量, 是参考配置中的单位向量, 是新的皱褶参数。

膜表面有一个坐标系，有两个面内正交单位矢量, 和。和与角度的关系式为

\mathbf{N}_1 = cos (\alpha) \mathbf{e}_1 + sin (\alpha) \mathbf{e}_2

\text{和}

\mathbf{N}_2 = -sin (\alpha) \mathbf{e}_1 + cos (\alpha) \mathbf{e}_2

下列非线性耦合方程用于求解两个未知数和 ,

\bf{N}_1 \cdot \bf{S} \cdot \bf{N}_2 =0

\text{和}

\bf{N}_2 \cdot \bf{S} \cdot \bf{N}_2=0

这两个非线性代数方程可以用牛顿-拉夫森方法求解:

\begin{pmatrix}
f_{1,\alpha} & f_{1,\beta^*}\\
f_{2,\alpha} & f_{2,\beta^*}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\Delta \alpha\\
\Delta \beta^*
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-f_1\\
-f_2
\end{pmatrix}

式中, 和在每个高斯点上应用局部牛顿-拉夫森方法，并在全局范围内进行迭代求解得到的。

褶皱功能

修正的变形张量方法可以通过皱褶子节点实现，该节点内置在膜接口的 线弹性材料 和 超弹性材料 节点下。皱褶子节点有三种不同的局部牛顿-拉夫森方法的终止准则选项，并允许用户调整公差。

线弹性材料 特征下的 皱褶 子节点。

COMSOL 案例库中有几个示例展示了如何使用膜接口的内置功能建立褶皱模型。矩形膜的单轴拉伸模型是一个容易分析验证的简单模型。在这个例子中，将数值结果与分析结果进行了比较，如下图所示:

矩形膜的皱褶区域用暗红色显示。左图使用的是各向同性材料，右图使用的是各向异性材料。这两幅图比较了分析结果与计算（数值）结果。

方形安全气囊的膨胀模型更符合实际情况，因此也更加复杂。该模型展示了使用线弹性材料的方形安全气囊在充气过程中的起皱情况。类似的，方形超弹性气囊的膨胀, 模型使用的是超弹性材料。

使用线弹性材料模拟的方形安全气囊。褶皱区域用暗红色显示。

另一个使用膜接口内置功能分析褶皱的示例是圆形膜的扭转模型。在该模型中，仅在圆形膜的内边施加了扭矩以产生褶皱。在这个示例中，可以观察到不同网格模式和离散度对褶皱模式的影响。

修正的本构关系

如上所述，COMSOL Multiphysics^® 中的褶皱子节点使用的是修正变形张量公式。由于软件的灵活性，也可以使用第二种方法模拟褶皱：修正的本构关系。

第二个公式对皱褶区域的本构关系进行了修改。用于皱褶区域的应变能称为 松弛应变能，而用于绷紧区域的应变能也被称为 完全应变能。这种方法适用于所有各向同性超弹性材料模型，但为了简单起见，这里考虑的是 neo-Hookean 不可压缩材料。用主拉伸和表示的全应变能密度可写成

\hat{W}_\textrm{F} = c_1 (\lambda_1^2+\lambda_2^2+\frac{1}{\lambda_1^2 \lambda_2^2}-3)

主柯西应力的计算公式为

\sigma_i =\lambda_i \frac{\partial{\hat{W}}}{\partial{\lambda_i}},

i = 1, 2, 3

各方向的柯西主应力分别为

\sigma_1 =c_1 \left(2\lambda^2_1-\frac{2}{\lambda^2_1\lambda^2_2} \right),

\sigma_2 =c_1 \left(2\lambda^2_2-\frac{2}{\lambda^2_1\lambda^2_2} \right),

\sigma_3 =0

假设拉伸发生在第一主方向，褶皱发生在第二主方向。那么，在褶皱区域，以下等式必须成立：

n_2 \cdot \sigma \cdot n_2 = 0,

n_1 \cdot \sigma \cdot n_1 >0,

n_1 \cdot \sigma \cdot n_2 = 0

该方程确定了褶皱区域的单轴应力状态，褶皱方向的应力变为零。根据褶皱方向上的零应力，可以得到主拉伸的褶皱条件:

\sigma_2 =c_1 \left(2\lambda^2_2-\frac{2}{\lambda^2_1\lambda^2_2} \right) =0

\lambda_2=\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}

因此，皱褶区域由以下不等式确定: 。在全应变能中插入根据主拉伸得到的褶皱条件，neo-Hookean松弛应变能的计算公式为

\hat{W}_\textrm{R} = c_1 (\lambda_1^2+\frac{2}{\lambda_1}-3)

松弛应变能与褶皱方向的拉伸无关，这意味着该方向的柯西应力将自动变为零。

利用上述褶皱条件和能量密度，绷紧区域和褶皱区域的应变能密度可写成

\hat{W} = \hat{W}_\textrm{F} (\lambda_2 \sqrt{\lambda_1} \geq 1) +\hat{W}_\textrm{R} (\lambda_2 \sqrt{\lambda_1} <1)

可以证明，对于各向同性膜，修正的变形张量和修正的本构关系公式是等价的（详见参考文献1 ）。然而，修正的本构关系法只适用于各向同性膜，而修正的变形张量方法更为普遍，也适用于各向异性膜。

比较 COMSOL Multiphysics^® 中的计算公式

在不同厚度圆筒膜的起皱案例模型中，我们对两种公式进行了比较，发现结果是一致的。在该模型中，圆柱形膜首先被轴向拉伸，然后用水压进行充气。在充气过程中，外边界固定。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，可以通过选择 超弹性材料 特征的 用户自定义 选项来实现修正后的本构关系。请注意，此案例模型中 neo-Hookean 材料的应变能是专为不可压缩的各向同性膜编写的。在这个示例中，不应该使用内置的不可压缩公式，因为它增加了可能导致冲突的额外项。您可以在用户定义的超弹性材料中使用 可压缩 选项，该选项完全按照所编写的内容使用给定的应变能密度。

皱褶 子节点（使用修正后的变形张量公式）和用户定义的超弹性材料模型（使用修正后的本构关系公式)。

下图展示了采用两种方法模拟的不同水位高度下圆柱形膜出现的褶皱区域。结果表明，两种方法基本是等效的，并且得出的结果也相同。

圆柱形薄膜的皱褶区域用深红色显示。左图使用的是修正的变形张量方法，右图使用的是修正的本构关系方法。注释显示了膜中不同的流体高度，膜高 80 mm，半径为 10 mm。

使用壳接口仿真

使用壳接口时，褶皱的处理方法基于分岔分析。由于压应力的作用，褶皱被认为是一种局部屈曲现象，因此需要进行后屈曲分析来模拟褶皱。使用后屈曲分析的优势是可以确定褶皱的波长和振幅。处理褶皱的第一步是进行预应力特征值分析，以确定潜在的屈曲模式。然后，选择几个具有适当比例的屈曲模式，并将其作为后屈曲分析的几何缺陷。

在矩形片材的单轴拉伸模型中，通过使用壳的后屈曲分析来研究矩形薄板中褶皱的产生。下图显示了包含该分析所需节点的模型树。

矩形片材的单轴拉伸模型的 屈曲缺陷节点和所需的研究

该教程模型的第一步是通过静态分析确定潜在的褶皱区域。在此阶段，矩形板受到单轴拉伸。目标是找到第二主应力变为压缩应力的区域。随后，使用稳态和 线性屈曲 研究步骤进行预应力屈曲分析。

对于后屈曲分析，可以使用 屈曲缺陷 节点，如上图所示。在该节点中，可以选择所需的屈曲模式数量及其相应的缩放因子。然后将这些缩放模式组合起来，作为几何缺陷应用于后屈曲分析。通过 屈曲缺陷 节点，还可以创建参数非线性屈曲研究。

下面的动画显示了矩形片材在单轴应变增加时产生的褶皱，第二幅图则显示了沿褶皱方向中心线的褶皱幅度。起初，当矩形片材上的应变增加时，褶皱开始出现。褶皱幅度随着应变的增加而增大，直到达到临界值，之后开始减小。在达到某个应变值时，褶皱幅度变得非常小。

屈曲后分析中的褶皱。颜色方案显示了褶皱振幅，其中蓝色代表负值范围，红色代表正值范围，绿色代表零位移。

后屈曲分析中的皱褶振幅。

结语

如文中所演示的，您可以在 COMSOL Multiphysics^® 中使用膜和壳接口模拟皱褶。可以通过修正变形张量或本构关系对皱褶进行膜分析。这种方法快速且计算效率高，能准确识别皱褶区域和应力分布。但是，它无法提供有关皱褶振幅和波长的信息。另一方面，皱褶的壳分析不仅耗时长，计算量大，还对几何缺陷输入敏感，但它能准确预测应力分布和皱褶区域，并能提供有关皱褶振幅和波长的宝贵数据。这两种分析类型各有优缺点，工程师可根据具体的建模要求选择其中一种分析类型。

参考文献

A. Patil, Inflation and Instabilities of Hyperelastic Membranes, PhD thesis, Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm, 2016.
H. Schoop et al., “Wrinkling of nonlinear membranes,” Computational Mechanics, vol. 29, pp. 68–74, 2002; https://doi.org/10.1007/s00466-002-0326-y

如何评估奇异应力场？

Henrik Sönnerlind — Thu, 21 Mar 2024 03:48:31 +0000

我们经常遇到这样一个问题：当存在奇点时，评估应力的最佳方法是什么？最标准的回答是：尽量避免评估应力。然而，这对实际工程帮助不大。这篇博客，我们将深入探讨奇异应力场的特性，并讨论一些可行的评估方法。

本文是博客有限元模型中的奇异现象：如何处理模型中的红点的后续内容，该博客介绍了结构力学模型中出现奇异应力的时间和原因，并对奇异现象进行了一般性介绍。如果您是第一次了解这个主题，建议先阅读这篇博客。有关如何处理奇异应力场的详细信息，请阅读本文。

进一步了解奇异应力场

首先，我们来详细分析一下奇异应力场及其与应力集中的关系。二者的相似之处是应力集中都出现在几何不连续处。应力集中与奇点的区别在于：前者的最大应力是有边界的，可以通过在有限元模型中使用足够精细的网格获得精确解。

通常，机械设计人员会通过引入一个半径尽可能大的圆角来减少应力集中。应力集中处的峰值应力通常用应力集中系数与适当选定的名义应力的乘积描述。对于圆角，有时可以通过下列表达式获得：

K_{\mathrm t} = 1+2 \sqrt{\frac{L_\mathrm{char}}{\rho}}.

式中, 是圆角半径，是圆角缺口处的特征长度。

该方程的背景是求解一个大平板中的椭圆孔处应力集中的解析解，其中是椭圆较大的半轴的长度。

含一个椭圆孔的大平板。

对于大多数缺口，该表达式只能用于粗略计算 ,因为很难推导出特征长度。但事实上，对于小缺口，峰值应力基本上是随圆角半径平方根的倒数变化。相信任何尝试过减小局部应力集中的工程师都可能为这一事实而苦恼过，因为适度地增大圆角半径会使峰值应力相应地减小。

极限应力集中发生在缺口半径无限小的裂纹尖端处。众所周知，在弹性固体中，裂纹尖端附近的应力场和应变场的解，与到裂纹尖端的距离的平方根成反比。应力场通常用下式表示

\sigma_{ij}(r,\theta) = \frac{K_I}{\sqrt{2 \pi r}}f_{ij}(\theta)+\frac{K_{II}}{\sqrt{2 \pi r}} g_{ij}(\theta)+\frac{K_{III}}{\sqrt{2 \pi r}}h_{ij}(\theta)

式中，，和分别是模式 I（开口）、模式 II（剪切）和模式 III（撕裂）的应力强度因子。函数 , , 和由裂纹尖端周围的极角的三角函数组成。(更详细的定义请参见此处）。

由此得出结论，只要到裂纹尖端的距离足够近，裂纹尖端周围的应力场看起来都是一样的，与裂纹的实际形状以及存在裂纹的成分无关。

在线性弹性断裂力学的假设条件下，模式的断裂准则为，其中是材料参数（称为断裂韧性）。这样，就可以在不明确使用无限应力的情况下研究这种具有特殊奇异性的几何形状。下文，我们将对这一思路进行推广应用。

现在，考虑一种几何形状几乎是奇点的情况：一个圆角或一个圆角半径很小的裂纹，本文将重点讨论这种情况。在距离较远处，我们无法真正区分缺口和奇点。接下来，我们将使用一个例子来解释这句话。

以一个处于拉伸状态的含缺口的长条几何的二维模型为例。通过在这个模型中沿左侧垂直边添加对称条件，同一模型也可用于研究内部缝隙。

含缺口的长条几何结构的应力分布。该模型的参数与缺口深度 () 和缺口半径 () 有关。

对于尖锐的裂纹，这种几何形状的应力强度因子可写成

K_I = \sigma \sqrt{\pi a} \; f(a/W)

是裂纹长度；是外加应力（此处为 1 Pa）；是长条宽度。函数有多种表示方法。在此，我们使用以下表达式

\displaystyle f(a/W) = \frac{\sqrt{\frac{\tan(\frac{\pi a}{2W})}{\frac{\pi a}{2W}}}}{\cos(\frac{\pi a}{2W})} \left ( 0.752 + 2.02 (a/W) + 0.37(1-\sin(\frac{\pi a}{2W})^3)\right )

本文将这个表达式称作裂纹解。

沿韧带（从切口尖端向 x 方向延伸）的应力分布图，适用于短切口和几种不同的切口半径。由于对称性，只有一个应力分量 c 不为零。

不同缺口半径下沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。虚线表示相同深度的裂纹的理论值。

一个有趣的现象，在特定情况下，应力场与裂纹解析解的应力场非常相似，即应力-距离对数图中的直线。在靠近缺口的地方，应力是有边界的，因为它是一个缺口，而不是裂纹。峰值应力与成正比。

在距离尖端较远处，裂纹的局部应力场解在任何情况下都是无效的，不管它是裂纹还是缺口。但在非常近和非常远之间的区域，无论是从观察的角度，还是从物理学和数学的角度来看，都无法真正推断出缺口尖端的真实形状。

为什么这一点很重要？如果知道缺口的形状，那么只要观察一定距离外的应力，就可以确定那里的应力。稍后我们将详细探讨这一想法。

下一步，我们将在同一个图表中绘制大量具有不同缺口半径和切口长度的应力图。现在，通过缺口半径对横轴进行归一化处理。

不同缺口深度和半径下，沿韧带的垂直应力与到缺口尖端的距离的函数关系。

从图中可以看出，在到缺口尖端的距离小于尖端半径 0.7 时，进入恒定斜率区域。从我们的角度来看，这已经相当接近要求解的问题了。那么这个区域会延伸多长呢？这不是由缺口细节控制的，而是由几何尺寸控制的。通过另一个归一化曲线图，韧带长度 ()，可以得知这一信息。

与上图相同，但通过韧带长度对距离进行归一化处理。

因此得出以下结论，这种情况下的恒定斜率区域延伸到韧带的 10% 左右。再远一些，应力场就不再受裂纹解的控制，而是受更多全局属性控制。对于特定的几何，这一区域的大小取决于该几何特有的长度尺度。

接下来，我们来研究是否可以用裂纹解中的应力场预测缺口尖端的峰值应力。先回到大平板上的椭圆孔。椭圆孔（宽度为，缺口半径为）的峰值应力与裂纹（长度为）的应力强度因子之比为

\displaystyle \frac{\sigma_\mathrm{max}}{K_I} = \frac{1+2 \sqrt\frac{a}{R}}{\sqrt{\pi a}}.

假定，则峰值应力可用应力强度系数表示为

\displaystyle \sigma_\mathrm{max} = \frac{2 K_I}{\sqrt{\pi R}}} \approx \displaystyle \frac{1.13 K_I}{\sqrt R}}.

这样，当计算出应力强度因子时，就可以用以下表达式确定圆形裂纹尖端的应力了。

\displaystyle \sigma_\mathrm{max} = \frac{\beta K_I}{\sqrt R}},

其中，系数是一个与配置相关的数量级为1的数字。我们可以在上面的例子中尝试这一假设。

下图显示的表达式

\beta = \displaystyle \frac{\sigma_\mathrm{max} \sqrt R}{ K_I}}

为缺口半径与缺口深度的函数关系。使用两种不同的几何形状进行计算：边缘缺口和中央狭缝。后一种情况是通过在模型中添加对称条件实现。

使用有边缘缺口的几何形状得到的系数。

使用有中心狭缝的几何形状得到的系数。

可以看出，只要缺口半径较小，两种情况下假定的乘数的实际值都接近 1.2。缺口半径大、长度小的情况下，与裂纹的相似度就会降低。使用进行简化是无效的。

为了绘制这些图，我们使用了的解析值。在实际情况中，如果不知道这个值，可以使用到缺口一定距离的解，通过数值计算确定。

事实上，任何尖角都有一个应力场衰减为的区域，其中是到尖角的距离。到目前为止，我们已经看到理想的裂纹。不同开口角度下的值如下图所示。

不同开口角度下应力奇点衰减的幂次。突出显示了 45^°、90^°和 135^° 的值。

这条曲线是通过求解超越方程绘制

, 为开口角度。

为了完整起见，我们可以在含内角的长条几何拉伸有限元模型中检验超越方程的解。该模型使用拐角的开口角度作为参数。

开口角度为 90^°时，含内角的长条几何中的 von Mises 应力。

沿韧带的垂直应力。到尖角的距离通过韧带长度进行了归一化处理。虚线表示根据上述 p 值得出的理论解。

可以看出，应力-距离图中有一些几乎是直线的区域，这些区域在拐角附近，与理论斜率非常接近。

另一种奇点是由材料不连续性引起的，在实践中通常与几何奇点同时出现。在此，我们仅研究长条在拉力作用下的纯材料不连续性。

一个下部比上部硬的长条几何模型，其中绘制了载荷方向的应力。

从这幅图中的第一个图就已经可以看出一些通用特性：

自由表面出现奇点。
硬质材料的应力高于相应位置的软质材料应力。

为了更深入地研究这个问题，我们可以绘制显示应力衰减与材料界面距离的函数关系图。

沿自由边界加载方向上的应力与界面距离的函数关系图。实线表示软质材料的应力结果，虚线表示硬质材料的应力结果。参数是软质材料与硬质材料的杨氏模量比值。

同样，可以在应力-距离对数图中发现一些直线，这表明应力随距离的变化而变化，如。在两种材料中，幂 ‘’是相同的（用相同颜色表示的实线和虚线是平行）。奇点的强度受两种弹性模量的比值和泊松比值的控制。

观察上述（放大的）表面图中的变形形状，可以从物理角度对此进行解释：在相同载荷下，较软的材料比较硬的材料延伸得更多。也就是说，在软质材料中，载荷方向上的应变变大。这也意味着，在两种材料具有相同泊松比的情况下，横向收缩也会相应增大。不过，这种收缩会在两种材料的界面处受到抑制，从而产生局部应力奇点。

如果选择

\displaystyle \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{E_1}{E_2},

这个奇点就会完全消失。

得出的结论是：在大多数情况下，材料变化会产生奇点。此外，在这种情况下，不连续性附近将存在一个应力随幂律衰减的区域。

至此，我们已经研究了有限元仿真中最常见的奇点类型，并发现它们有一个共同的特性：奇点附近的应力与距离呈幂律关系。

焊缝评估

对焊缝进行设计以使其能够安全地应对失效是工程领域的一项重要功课。虽然在一般情况下无法进行精确的应力评估，但已有大量研究提供了预测失效的系统方法。对于这种情况，造成问题的主要原因是焊缝的实际几何形状未知。根据确切的局部几何形状，判断焊缝是否需要引入应力奇点。更为复杂的是，焊缝中往往存在隐性缺陷。除了需要高质量焊缝的情况外，在这种情况下可以对焊缝进行打磨，并采用某种无损检测方法进行检查。但大多数情况下，对焊缝进行详细的局部应力分析意义不大。

有三种不同局部几何形状的圆角焊缝。

COMSOL博客：如何预测焊缝的疲劳寿命中介绍了焊缝的应力评估。

与其深入了解焊缝分析的细节，不如探讨更有趣的焊缝设计理念：

计算指定位置的应力，而不是焊趾本身的应力。
确定该应力的允许值，这通常必须通过实验来完成。
允许的应力值取决于您同意评估应力的方式和位置，因此它不是真正的材料属性。

在使用纸和笔计算的年代，所有的局部效应都被忽略了。允许的应力值不得不考虑到这一点，因此往往偏低。现代基于有限元的方法考虑了部分应力集中（由整体几何形状引起的部分，但不包括局部焊缝几何形状），因此允许的应力值更高，但仍远远低于纯材料测试所显示的应力值。

在使用有限元计算时，壳模型通常会返回求解所需的应力，而固体力学模型则会计算应力细节，而这在进行焊接疲劳分析时是不需要的。

百分比法

另一种获得允许应力水平的方法是将参考应力定义为在参考体积的给定部分（例如 5%）中超出的值。如果该参考应力低于允许值，则该设计被接受。使用这种方法，可以避免计算接近奇点的问题。只需计算出超过参考应力的体积即可，而该体积的边界在到奇点一定距离处，此处解可以很好地收敛。

这种方法看似简单，但应用起来却需要一定的标准。其中一个问题就是如何确定参考体积。如果使用结构的总体积，那么只需在低应力区域添加更多材料就可以降低参考应力，这当然是不合理的。参考体积必须与奇点周围特定区域的大小等因素相关。另一个缺点是，优化方法可能会选择重新定位应力，从而使参考应力减小，而峰值应力增大。

同样，我们也只能对类似结构进行比较来确定。

现在，我们来讨论如何使用百分比法计算应力值。在 COMSOL Multiphysics^® 中，无法直接计算 5% 的应力值。下面介绍 3 种替代方法。

方法 1

如果只需要一次求值，最快的方法通常是手动迭代几次。您只需创建一个积分算子（例如，intop1），然后对 intop1(solid.mises>sRef)/intop1(1) 这样的表达式进行求值。通过多次改变参考应力 sRef，很快就能找到与给定百分比相对应的值。

方法 2

使用模型方法自动执行方法 1。

方法 3

可以设置一个额外的方程，求解应力值，下文将对此进行说明。

待解方程如下：

\displaystyle \int_V (\sigma_\mathrm{ref}<\sigma_\mathrm{c}) \;dV = \beta V_\mathrm{ref}.

是计算应力。它可能是如 von Mises 的等效应力、第一主应力或其他应力。当然，也可以使用相同的方法来计算应变或能量标准。用表示参考体积，为百分比。积分内的布尔表达式假定为 1 时为真，定义为 0 时为假。

为了在计算时更容易处理缩放，最好将方程改写为

f(\sigma_\mathrm{ref}) =\displaystyle \frac{1}{ V_\mathrm{ref}} \displaystyle \int_V (\sigma_\mathrm{ref}<\sigma_\mathrm{c}) \; dV – \beta = 0.

可以像第一种方法那样，使用积分算子计算积分。在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 全局方程 节点实现该方程的直接方法如下所示：

遗憾的是，这种方法行不通。不等式是不可微的，因此无法形成雅可比矩阵。刚度矩阵将只包含该方程的零点。不过，可以通过手动引入有限差分导数来规避这个问题。该表达式较长，需要您对 COMSOL^® 中基于方程的建模有一定的了解，下面的附加信息部分将给出详细解释。

下图所示是一个修改后的全局方程，它可以解决如何找到能给出预期百分比的应力的问题。

这里，用户定义的参数 dS 是应力增量，在附加信息部分用表示。

我们以上文的缺口板示例来说明这种方法。由于参考体积应与板的尺寸无关，可以在缺口周围选择一个圆。在这种情况下，圆的半径可以根据结构的以下特征长度来选择：

宽度: 1 m
最小裂缝长度: 0.1 m
最小韧带宽度: 0.3 m
最大切口半径: 0.01 m

基于缺口尖端周围半径为 0.05 m 的圆确定的参考体积将远离结构的边界，但也将远离缺口本身的细节。

在不同的狭缝深度和切口半径下，5% 的参考体积所超出的应力水平。

对于所有狭缝深度值，5% 应力基本上与切口半径无关。它只对切口深度敏感。这与基本原理是一致的：避免对局部（可能是奇异的）应力场细节的灵敏性。无论使用尖角还是圆角，都能得到相同的结果。从本质上讲，这种方法提供的信息与应力强度因子相同：它测量的是奇点的强度。如果对具有相同圆角类型的结构进行比较，这种方法可以成为应力奇点处理的标准。

附加信息

该表达式包含两个项：第一个项产生残差，第二个项产生雅可比矩阵。这是一种通常可用于高级建模的解决方案。例如，如果创建精确的雅可比函数成本较高，则可以使用类似的表达式将正确的残差与近似的雅可比函数结合起来。

多个地方使用了 nojac(expr) 算子，用于确保不产生给定表达式的雅可比贡献。

雅可比项乘以系数 (sRef-nojac(sRef))。由于这个表达式的求值总是为零，因此这部分表达式不会产生残差。 sRef 相对于自身的导数就是 1，而表达式的剩余部分就是导数的对称有限差分表达式。

\displaystyle \frac{df}{d \sigma_\mathrm{ref}} \approx \displaystyle \frac{f(\sigma_\mathrm{ref}+ \Delta \sigma) – f(\sigma_\mathrm{ref}- \Delta \sigma)}{ 2\Delta \sigma}}.

式中，是应力的有限变化，应选择尽可能小的变化量，同时还要保证计算出的体积与有明显差异。一个好的水平是，当一个单元上的应力变化在等值面附近为时，将得出参考应力。

结束语

理论上，索然无法计算奇点处的梯度和通量（应变和应力），但还是有一些系统的方法可以解决这个问题。不过，这些方法需要有足够的实验数据来解释所选择的临界量。

点击下面的按钮，下载文中使用的模型。

获取教程模型

复合材料模块简介

Amit Patil — Wed, 24 Jan 2024 03:20:36 +0000

复合材料是指至少由两种材料构成的异质材料。在不同类型的复合材料中，层状复合材料非常常见，被广泛用于飞机、航天器、风力发电机、汽车、船舶、建筑物和安全设备等领域。COMSOL Multiphysics^® 软件的附加产品复合材料模块内置了专用于研究层压复合材料结构的特征和功能。一些常见的层压复合材料有纤维增强聚合物、颗粒增强聚合物、层压板和夹层板等。

编者注:原博客最初由 Pawan Soami 撰写，发布于 2018 年 12 月 6 日。现已更新，以反映最新版本软件的特征与功能。

内容简介

什么是复合材料？
细观力学分析
宏观力学分析
经典层压板理论和物理场接口
材料模型
复合材料仿真的结果计算工具
复合层压板的多物理场分析
复合层压板的优化
多尺度分析

什么是复合材料？

由于复合材料具有特定的力、热、电和磁性能，因此在不同的领域具有许多潜在的应用。例如，一些行业正在开发具有传感、驱动、计算、通信和其他功能的“智能”复合材料。在结构工程领域，复合材料较传统的整体式材料更加坚固和轻盈，因此得到了广泛的应用。在使用这种材料设计复合结构之前，工程师必须充分了解它们的性能。

使用复合材料的优势和面临的挑战

相较于传统材料，复合材料具有多种优势，例如：

高强度重量比
强耐冲击性
高抗疲劳性和抗腐蚀性
摩擦性和磨损性增强
低导热系数和低热膨胀系数
高耐热性

复合材料由多种材料混合而成，因此使用这些材料也会遇到一些挑战，包括：

各向异性特性
复杂的损伤和失效模式
原材料和加工成本高
难以重复利用和处置
不同组件的连接性差

复合材料的应用领域

由于具有以上优点，复合材料被广泛用于以下领域：

航空航天工程（如卫星的机翼、机身和结构板）
国防安全（例如，坦克和潜艇）
风力发电机(例如，叶片)
建筑和施工 (例如，门、面板、框架和桥梁)
化学工程（例如，压力容器、储存罐、管道和反应堆）
汽车和运输工具（例如，自行车和汽车零部件）
海洋和铁路运输（例如，船体和铁路部件）
消费品和体育用品（例如，网球拍和高尔夫球杆）
电子产品（例如，配电柱和连接箱）
矫形辅助工具
安全设备

复合材料的类型及其分类

复合材料有多种分类方法，其中一种方法是根据构成类型（即基体和加强件）进行分类。根据基体材料的类型，可以将复合材料分为以下几类：

聚合物基复合材料 (PMC)
金属基复合材料 (MMC)
陶瓷基复合材料 (CMC)
水泥基复合材料 (CeMC)

根据加强件类型，可以将复合材料分为以下几类:

纤维复合材料
晶须复合材料
颗粒复合材料

纤维、晶须和颗粒复合材料示例

纤维增强复合材料

相较于其他层压复合材料，纤维增强聚合物（FRP）是当今非常流行的一种复合材料。这些材料通常由作为主要承载元件的长纤维和周围用于支撑纤维并传递载荷的基体组成。纤维以指定的方向排列在材料的每一层（或薄层）。大量这样的薄层铺设在一起就形成了可用于构建结构部件的层压复合材料。工业用纤维通常由碳、玻璃、芳纶或硼制成。根据纤维材料的类型，目前业界最常用的两种纤维增强聚合物是碳纤维增强聚合物（CFRP）和玻璃纤维增强塑料（GFRP），也称为玻璃纤维。

虽然我们可以使用复合材料模块分析任何各向异性层压复合材料，但在这篇博客中，我们将重点讨论单向纤维增强聚合物。

层压板类型

复合材料层压板是指由两个或多个单向层/层/薄片按照指定的方式，以一致或变化的纤维取向铺设而成。薄片可以由相同或不同的材料制成，并且可以具有各自的厚度。铺设顺序由各层纤维相对于层坐标系第一轴的取向定义。

反对称平衡层压板的铺设顺序（0/45/90/-45/0）。

根据铺设顺序，复合材料层压板被分为以下几种类型:

斜角层压板 (例如， 45/30/-45/-30)
交叉层压板 (例如， 0/90/0/90)
对称层压板 (例如， 45/30/30/45)
反对称层压板 (例如， 45/30/-30/-45)

由于纤维、板层和层压板的几何比例完全不同，因此分析复合材料层压板相当困难。这也是我们要在细观力学、宏观力学，以及两种（或多种）不同尺度上执行分析的原因。

细观力学

细观力学分析侧重于复合材料的组成层水平。它考虑了组成材料、材料界面以及材料的内部排列。细观力学分析不仅可以计算均质化的材料特性，还有助于了解细观层面的应力、应变、非线性、失效和损伤等。基于细观力学的均质化分析方法主要有两种：

分析法（例如，混合规则）
数值方法（例如，使用代表性体积单元 (RVE) 或重复单元 (RUC) 进行有限元分析）

在模型开发器树的材料节点下，多相材料 和 有效材料 节点包含多个用于分析计算有效性的混合规则。有效材料 节点内置于复合材料模块，包含以下混合规则：

体积平均
质量平均
谐波体积平均
谐波质量平均
幂律
Heaviside 函数
Voigt–Reuss 模型
修正的 Voigt–Reuss 模型
Chamis 模型
Halpin–Tsai 模型
Halpin–Tsai–Nielsen 模型
Hashin–Rosen 模型

显示了 混合规则选项的 有效材料特征设置窗口

要使用有限元方法数值计算均质材料特性，需要使用 RVE 或 RUC。对于周期性材料，RVE 与 RUC 相同，但对于非周期性材料，RUC 的概念无效，因此必须使用 RVE 材料子体积。

60％纤维体积分数的纤维复合材料层的晶胞。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，使用 固体力学 接口中的 单元周期性 节点进行基于细观力学的均质化。该接口有两种不同的边界条件：周期性 和均质。周期性 边界条件适用于周期性材料，需要使用 RUC 材料子体积。对于非周期性材料，可以通过 RVE 材料子卷应用均质边界条件。在这篇博客中，我们将重点讨论周期性单向纤维复合材料的均质材料特性。

我们从一个包含纤维和基体的晶胞几何结构开始分析。首先需要给出纤维和基体的材料属性。然后，使用单元周期性 节点中的操作按钮设置所需的模型节点和研究。自动创建的研究将计算均质材料的材料数据。

6 种不同载荷下，晶胞中的 von Mises 应力分布和变形。

了解更多内容，请查看纤维复合材料的细观力学模型和复合材料气瓶的细观力学和应力分析案例模型。

宏观力学分析

宏观力学分析基于均质材料确定复合结构的响应。层压板的均质材料特性可通过细观力学分析或实验方法获得。宏观力学分析的目的是计算层状结构在各种载荷和边界条件下的整体响应。宏观力学分析包括以下几个不同步骤。

复合材料仿真的预处理方法

模拟复合层压板, 需要指定以下几个特性:

层数
每一层的均质材料特性
层压板主要材料方向的定向
每一层厚度
铺设顺序

复合材料层压板的横截面显示了每一层的纤维厚度和取向。

要定义层压材料的属性，需要使用 多层材料 节点。在该节点中，可以添加所需的层数，输入内容可以直接输入表格，也可以从文本文件中加载。指定输入后，就可以预览层压材料的横截面和铺设顺序。您可以将包含层压板定义的多层材料保存在材料库中，方便后续加载使用。

多层材料节点示例。

使用 多层材料 节点定义层压材料后，就可以通过 多层材料链接 或 多层材料堆叠 节点将其连接到几何边界。在此过程中，层压材料坐标系以及几何表面相对于层压材料的位置也会被定义。层压坐标系还能进一步用于解释铺设顺序，创建多层局部坐标系。多层材料链接 和 多层材料堆叠 节点还具有可以将多层材料转换为对称、非对称或重复层材料的更多选项。还包括模拟厚度在空间上变化的模型选项。多层材料堆叠 节点可用于区域建模，在不同的几何选择中，复合材料的铺设顺序会有所不同。

多层材料链接和多层材料堆叠 功能的应用示例。

请注意 单层材料 功能是为单层材料设计的特殊的 多层材料 功能。

经典层压板理论和物理场接口

现在，我们已经定义了层压板并将其添加到几何边界上。接下来，我们来介绍经典层压板理论。通常，我们会使用下列三种理论之一分析层压复合壳：

等效单层理论
- 经典层压板理论
- 一阶剪切变形层压板理论
- 高阶剪切变形层压板理论
三维弹性理论
- 三维弹性理论
- 分层理论
多模型方法

一阶剪切变形等效单层理论: 壳接口

在一阶剪切变形等效单层理论（ESL-FSDT）中，计算整个层压板的均质材料特性，并仅在中面上求解方程。该理论采用类壳公式，自由度为网格边界上的三个位移和三个旋转。该理论适用于薄至中等厚度的层压板，可用于计算总挠度、特征频率、临界屈曲载荷和面内应力等全局响应。相较于分层理论，ESL-FSDT 计算成本较低；但对于较厚的层压板，它需要一个剪切修正系数。

ESL-FSDT 理论中的自由度节点。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳接口的 线弹性材料，多层；超弹性材料，多层 和 压电材料，多层 等多层材料特性都是基于 ESL-FSDT 理论。此外，膜接口中的线弹性材料，多层功能也是基于等效单层理论，可用于对弯曲刚度忽略不计的极薄复合薄膜进行建模。

在风力发电机复合材料叶片的应力和模态分析案例模型中，风力涡轮机复合叶片是使用壳接口模拟的。目标是找出在重力和离心力作用下叶片的表层和隔板的应力分布情况。

风力涡轮机复合叶片示例。叶片的表层和隔板的应力分布情况。

了解更多内容，请查看以下案例:

分层理论: 多层壳接口

在这个理论中，方程也在厚度方向上求解。因此，它可用于非常厚的层压板，包括分层区域。该理论采用类似固体的表述方式，其中自由度以三个位移的形式分布在厚度方向上。该理论适用于中等厚度到较厚的层压板，可用于预测正确的层间应力和分层，并进行详细的损伤分析。与 ESL-FSDT 理论相比，它支持非线性材料模型，并且不需要剪切校正因子。

分层理论中的自由度节点。

从公式的角度来看，分层理论与三维弹性理论非常相似。但是，相较于后一种理论，它具有以下优点：

层压板坐标系和层局部坐标系容易定义
面内和面外形函数可以具有不同的阶次
无需构建具有许多薄层的三维几何结构
面内有限元网格划分独立于面外网格划分
分层和界面数据容易处理

在 COMSOL Multiphysics^® 中，多层壳 接口基于分层理论。简支复合材料层压板的弯曲案例模型中使用 多层壳 接口和壳接口对简支复合材料板进行了弯曲分析，目标是将两种接口得到的厚度应力与给定基准的三维弹性解进行比较。

简支复合板示例。左图：使用 多层壳 接口模拟的板中的 von Mises 应力分布。右图：厚度横向剪应力对比图。

基于此理论的另一个示例，请查看复合材料层压板的强迫振动分析案例模型。

多模型法: 壳接口与多层壳接口耦合

多模型法是将等效单层理论与分层理论相结合，应用于复合材料几何结构的不同部位或不同层，以获得可接受的结果，并优化利用计算资源。除了 多层壳 和壳接口外，还需要使用 多层壳-壳连接 多物理场耦合节点将这两个不同的物理场接口在厚度方向上进行耦合。

使用多模型方法分析复合材料叶片案例模型中通过耦合 多层壳 和壳接口模拟了一个复合材料叶片，旨在对比不同方法的求解时间。

使用不同方法计算的复合材料叶片中的 von Mises 应力分布。

选择合适的层压板理论

基于上述方法，您可以选择合适的层压板理论。一个简单的经验法则是选择基于层压长宽比，即层压板长度与层压板厚度的比值的层压板理论。

基于层压长宽比的两种层压理论的有效性范围。

材料模型

下表列出了不同物理场接口中用于分析复合材料的材料模型和非弹性效应。

材料模型	非弹性效应	物理场接口
线弹性材料	黏弹性热膨胀吸湿膨胀塑性蠕变黏塑性损伤阻尼	多层壳壳膜
超弹性材料	黏弹性热膨胀吸湿膨胀塑性马林斯效应阻尼	多层壳壳
压电材料	热膨胀机械阻尼耦合损耗介电损耗	多层壳壳

您也可以查看正交材料压力容器 – 壳版本和含压电材料的多层壳案例模型，了解更多内容。

损伤、脱层和首层失效理论

许多复合材料都是准脆性材料，在达到临界应力或应变水平后，初始弹性阶段随后进入非线性断裂阶段。当达到该临界值时，裂纹会逐渐扩展，直至材料断裂。裂纹增长导致的材料刚度下降可以通过多层壳和壳接口中的损伤功能进行模拟。目前有两种损伤模型可供选择：标量损伤模型和 Mazars 混凝土损伤模型。此外，还有几种应变软化损伤演变定律可供选择。为避免网格敏感性，可以选择裂纹带或隐式梯度选项来使用空间正则化方法。

脱层或层间分离是层压复合材料的一种常见失效模式。包括载荷、材料缺陷和环境条件在内的各种因素都可能引发层间分离的发生和传播。要模拟脱层现象，可以使用 多层壳 接口中的脱层功能。脱层理论以内聚力模型（CZM）为基础，并包含多个牵引分离定律。要了解更多信息，请查看 COMSOL 案例库中的复合材料层压板的混合模式脱层和层压壳中的渐进脱层案例模型。

多层壳 接口和壳接口的安全功能中提供了多种首层失效理论。具体来说，像 Tsai-Wu、Tsai-Hill、Hoffman、Hashin、Hashin-Rotem、Puck 和 LaRC03 等理论在复合材料仿真中非常有用。要了解更多信息，请参阅层压复合壳的失效预测案例模型。

屈曲

使用这两种层压理论中的任何一种都可能产生线性屈曲；不过，与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论在寻找临界屈曲载荷系数方面更有效。它可以优化层叠结构，以使临界屈曲载荷最大化。更多信息，请参阅复合材料气瓶的屈曲分析案例模型。

多层材料连续性

如果在多层壳 接口所选的几何结构上激活了一个以上的单层材料、多层材料链接 或 多层材料堆叠，那么默认情况下，这些不同多层材料之间的自由度是断开的。使用 连续性 功能可以连接相邻的两个层状材料。利用该功能，您可以对层叠脱落情况进行建模。了解相关建模示例，请参阅 COMSOL 案例库中的复合板的削层模型。

当使用壳或膜接口时，自由度只存在于中面上，因此它们在分层材料之间总是连接的。

在并排放置的两块层压板之间设置连续性的不同方法。

A, B, D 矩阵计算

标准刚度和柔度矩阵可通过壳接口中的 线性弹性材料，多层 节点进行计算。可用的四个刚度矩阵包括拉伸刚度矩阵 (A)、弯曲-拉伸刚度矩阵 (B)、弯曲刚度矩阵(D)和剪切刚度矩阵(As)。更多详情，请查看层压复合壳的材料特性案例模型。

有时，复合材料层压板的材料特性由 A、B 和 D 矩阵提供。在这种情况下，可以使用壳接口中的 截面刚度 材料功能。

复合材料仿真的结果计算工具

在进行宏观力学分析时，COMSOL Multiphysics® 中有多种功能可用于结果计算。下面我们将讨论其中的一些功能。

多层材料数据

由于几何结构只包含表面，多层材料 数据集用于显示有限厚度几何结构的模拟结果。使用该数据集，可以在法线方向上缩放层压板厚度，非常适合分析薄层压板。 多层材料 数据集还提供在以下位置进行计算的选项：

网格节点
界面
层中面

多层材料 数据集包括选择和取消选择多层材料链接或多层材料堆叠中的不同层的选项。其他一些数据集，如镜像、数组、三维截线，三维截点 和旋转，也可以与 多层材料 数据集一起使用。

体绘图和表面绘图

多层材料 数据集可直接使用不同的体图、表面图、切面图等。

使用多层材料 数据集绘制的各种结果图。

多层材料切面图

对于复合材料层压板，多层材料切面 绘图在制作切面时提供了更大的自由度。一些有用实例包括创建切面绘图：

通过一个或两个层
穿过多个（或所有）层（请注意，不需要在厚度方向上放置切面）
在层的特定位置，但不在中面上

使用多层材料切面绘图创建的层压板每一层中面上的 Von Mises 应力。

全厚度图

该绘图用于确定不同量通过层压板厚度上的变化。您可以在边界上选择一个或多个几何点，也可以选择创建切截点数据集或直接输入点坐标。

层压板上某一点横向剪切应力在厚度方向的变化。

线图或点图

要创建特定变量的线图，需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截线 数据集。同样，要创建特定变量的点图，也需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截点 数据集。另一种解决方案，可以将包含特殊算子的变量与 多层材料 或解数据集一起使用。

复合层压材料的多物理场分析

结构连接

在大多数情况下，系统的结构分析需要使用不同的单元类型或物理场接口。下表列出了可用于连接不同结构物理场接口的多物理场耦合。

请查看多层壳与实体和壳的连接案例模型，了解连接壳和结构单元的示例。

热膨胀

可以使用下列物理场接口模拟复合结构中的热膨胀：

壳传热
壳或者多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

热膨胀，多层

有关建模示例，请查看案例库中的层压复合壳的热膨胀模型。

焦耳热和热膨胀

复合结构中的焦耳热和热膨胀可以使用以下物理场接口模拟：

多层壳中的电流
壳传热
多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

电磁热，多层壳
热膨胀，多层

声 – 复合材料的相互作用

声–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟:

压力声学
壳或者 多层壳

声-结构边界 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

流体–复合材料的相互作用

流体–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟：

层流
壳或者多层壳

流-固耦合 多物理场节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

压电 – 复合材料的相互作用

压电 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

多层壳中的电流
壳 > 压电材料，多层 或者 多层壳压电材料

压电，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口的耦合。了解更多内容，请参见含压电材料的多层壳教程模型。

压阻 – 复合材料的相互作用

压阻 – 复合材料的相互作用可以使用以下物理场接口模拟:

多层壳中的电流压阻壳
多层壳

压阻，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

集总机械系统 – 复合材料的相互作用

集总机械系统 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

集总机械系统
多层壳

集总结构连接 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

复合层压板的优化

复合层压板是一种合成结构，总是有可能在每层材料、每层厚度和铺层顺序等方面对设计进行优化。利用优化模块的功能，可以对复合层压板的不同要素进行优化。要了解此类优化，请查看铺层顺序的优化案例模型，其中根据 Hashin 失效准则对复合层压板的铺层顺序进行了优化。

优化后的复合层压板示例。原始布局（线框）和优化布局（实体）的位移。

多尺度分析

复合材料既可以在宏观尺度上进行分析，也可以在细观尺度上进行分析，无论哪种分析都有其优点和局限性。通过宏观和细观分析，可以深入了解复合材料结构及其成分对宏观加载荷的响应。完整的多尺度分析包括宏观分析和每个材料点的细观分析，计算成本高昂。如果我们将分析限制为只包括几个关键材料点，就可以通过使用 固体力学 接口中的 单元周期性 功能和 多层壳 接口进行多尺度分析。

要查看多尺度分析的实际效果，请参阅失效的细观力学：复合材料结构的多尺度分析案例模型。在这个示例中，首先进行细观力学分析以获得均质材料属性，然后使用分层理论进行宏观力学分析以获得全局响应。最后一步是进行细观力学分析，计算局部应力场和应变场以及基于全局平均应变的失效风险。

多尺度分析示例。左图：基于宏观力学分析的复合材料圆柱体应力。右图：使用细观力学分析法测量不同材料点的应力。

下一步

使用复合材料模块，您可以设计、分析和优化由线性或非线性材料组成的多层复合材料结构。要了解有关复合材料模块的更多信息，请点击以下按钮联系 COMSOL。

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传热仿真

加热

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结果

学以致用

动手尝试

表面贴装器件预处理过程仿真

表面贴装器件

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引言

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