来自 Lightness by Design 的客座博主 Tobias Jonsson 探讨了如何利用声-结构相互作用（ASI）仿真精准捕捉周围流体对结构振动响应的影响。
结构的振动会受到周围介质的影响。空气就是常见的这样一类介质，由于密度低、可压缩性强，结构工程师在评估设计方案的振动特性时，通常可以忽略其作用，即无需对空气进行物理表征——相当于结构在真空中振动，与周围介质没有任何相互作用。然而，当结构浸没在水中时，由于水的密度是空气的一千倍，且声速（刚度）更高，因此对振动特性的影响通常十分显著。
分析周围介质的影响
传统上，这种效应被称为“附加质量”，可由以下描述该效应的方程推导得出：
方程中，m为结构质量，m_{added}为附加质量。后者的值通常通过实验进行经验推导获得，即在空气和水中分别测量结构的特征频率（也称固有频率或共振频率，是结构自然增强振动的频率），然后通过计算两组特征频率的差值计算附加质量。
遗憾的是，这种方法导致了一种误解，即认为周围介质的影响等效为与结构一起振动的附加质量。而实际上，周围介质是以压力形式作用于运动物体的表面，且该压力在表面速度最大时达到最高。因此，压力并非恒定不变，而是根据运动表面的方向在大小和方向上发生变化。
借助 COMSOL Multiphysics®和声-结构相互作用（ASI）仿真方法，就可以准确捕捉周围流体对振动响应的真实影响。类似的多物理场仿真在博客文章“分析油箱振动的最佳方法是什么”以及我们关于消声器设计的博客文章，例如“评估壳厚度对消声器性能的影响”中已有介绍。
模拟周围介质
本文的重点是突出周围介质的影响，并清晰描述“附加质量”的一种替代方法。本文使用的物理示例是水域中的卡普兰涡轮叶片，研究了叶片与管壁之间不同间隙对其频率响应的影响。下图展示了完整的卡普兰涡轮的几何结构以及所考虑的间隙。请注意，无论间隙大小如何，叶片前缘和后缘处始终可以实现压力平衡。
卡普兰涡轮的几何结构，箭头显示了叶片与管壁之间的间隙。
声-结构相互作用
声-结构相互作用的核心部分是应用于流体域与结构域之间边界上的多物理场耦合。流体中的压力自由度（DOF）与结构中的三个位移自由度（x、y和z方向）相互耦合，如下所述。
外部边界的条件为
其中，\bm{u}_{tt}为结构加速度（施加于流体），p_\textrm{t}为总声压，\rho_\textrm{c}为流体密度（下标 c 表示其可为复值，用于模拟流体中的损耗），\bm{q}_\textrm{d}为可选声偶极域源项，\bm{n}为面法向，\bm{f}_\textrm{a}为作用在结构上的（声）载荷（单位面积的力）。
声压施加于结构表面，表面的加速度耦合到声学域。为了在 COMSOL Multiphysics®中实现声-结构相互作用仿真，需要在模型中添加压力声学，频域和固体力学接口。此外，上述多物理场耦合需要在结构与流体的体积之间的所有边界上启用并添加（在多物理场节点下）。以下是模型开发器树中的显示效果：
构建振动声学仿真。
由于本问题是在频域中求解，我们假设模型为线性，且只能模拟小的结构变形。流体中的损耗可以通过流体模型或更高级的边界条件（如热黏性边界层阻抗特征）以多种方式加以分析。运动流体中涡旋引起的阻尼，甚至运动流体本身的效应，需要求解更高级的声学公式，如线性纳维-斯托克斯方程，该功能在 COMSOL®中也已提供。
卡普兰涡轮叶片示例
接下来，我们将研究管道内半径对通用型卡普兰涡轮机振动响应的影响。利用 COMSOL Multiphysics®的相关功能，可以施加周期性边界条件，仅对单个叶片进行仿真，同时捕捉重叠叶片的影响。水体积通过偏移顶部和底部的圆形截面来创建，使其连接侧面穿过叶片之间，并在这些侧面上施加周期性边界条件（图中以黄色显示）。
水域，黄色部分为周期性边界条件。
涡轮叶片建模为线弹性材料，杨氏模量为 210 GPa，泊松比为 0.3，密度为 7850 kg/m3。水的相关属性设置为声速 1500 m/s ，密度 1000 kg/m3。
针对与管壁间隙为 10 mm 的模型，网格由 310,000 个二阶四面体单元组成，并在叶片周围进行了细化，以确保所有工况下的间隙区域至少包含 5 个单元。整个网格连续，模型中不存在接触。
所有外表面设置为硬声场边界（壁）边界条件，即，将加速度/速度的法向分量设为零。该条件就是总压力的自然诺伊曼条件，即，压力在边界上的法向导数为零。
。
对于特征频率分析，叶片的轮毂安装面完全约束：
。
在确定频域中的激励响应（频率响应函数，即 FRF）时，施加轴向旋转1/\left(2\pi f\right)^2rad/s2代替完全约束的边界条件。这样无论频率如何，都能给出 1 rad/s2的加速度。
声-结构相互作用分析结果
首先，确定了当叶片与水边界之间的垂直距离在叶片上方和下方均超过 10 cm 时，水体积的高度对结果没有影响。因此，本研究将始终使用该水域大小。
其次，周围流体（水或空气）对振动属性的影响可以通过 ASI 方法来确定。下表中，将间隙足够大以至于不影响涡轮叶片的水中前六阶特征频率与自由空气中的前六阶特征频率进行了比较。表格显示，即使间隙没有影响，水对特征频率也有很大的影响。
| 水中叶片 [Hz] | 空气中叶片 [Hz] |
|---|---|
| 104 | 193 |
| 148 | 262 |
| 279 | 442 |
| 753 | 1120 |
| 779 | 1202 |
| 980 | 1426 |
最后，可以确定不同间隙大小对特征频率的影响。随着间隙增加，特征频率也增大，直到间隙约为 150 mm。此时，无论间隙大小如何继续增加，特征频率都会收敛到一个恒定值。我们提取了每种间隙大小下的前六阶实部特征频率，如下所示。
前六阶实部特征频率随间隙的变化。
较小间隙下特征频率的降低可以解释为叶片周围压力平衡阻力的增加。不应将其与黏性效应引起的阻尼相混淆，也不应将其简化为附加质量。相反，我们看到显式建模的水如何影响由涡轮叶片和水域耦合系统的特征频率。
下图左侧显示了间隙为 149 mm 时第五阶特征频率对应的振型。在 COMSOL Multiphysics®中，可以绘制整个结构，而不仅仅是计算中使用的叶片，从而更好地呈现结构状态全貌，如下图右侧所示。
间隙为 149 mm 时的第 5 阶振型，显示计算中使用的叶片（左）和整个结构（右）。
卡普兰涡轮螺旋桨的三维视图。
当通过在叶片的轮毂安装面上施加频率无关的旋转来激励结构时，得到如下图所示的频域响应。请注意，频域以 1 Hz 为步长进行扫描，因此特征频率的大小可能会因仿真中达到的值与精确值的接近程度而有所不同。无论如何，峰值响应大小并非最受关注，因为在产品开发中，通常希望以一定的安全裕度避开这些频率。
频域中的加速度响应。
使用 COMSOL Multiphysics®软件的功能，本示例研究展示了如何通过声-结构相互作用仿真来计算浸没在流体中的结构的频率响应。这是所有以振动响应作为设计准则的产品开发过程中的重要一步，对于水下产品与空气中产品同样如此，而空气中产品的频率分析早已得到广泛应用。
本示例清楚地说明了流体流动阻力如何影响结构的频率响应，以及浸没在水中与空气中的差异。通过分析周围水体的影响并将间隙最小化（至3 mm），特征频率从 165 Hz 降至 71 Hz，降低了 57%。
叶片上的动载荷
COMSOL®中一个特别实用的功能是旋转坐标系特征，可以使网格保持静止来简化转子动力学。通过直接将离心力、科里奥利力和欧拉力作为体载荷施加，可以准确模拟高速旋转效应，如应力刚化。由于现在这个常规应用的转速较低，因此本例未使用此特征，但如果应用场景需要，它将是一个强大的工具。
关于客座作者
Tobias Jonsson 是瑞典斯德哥尔摩Lightness by Design的结构力学专家和顾问。Tobias 拥有瑞典皇家理工学院的硕士学位，长期使用数值仿真帮助企业进行仿真驱动的产品开发工作。作为 COMSOL 认证咨询机构的一员，他致力于将高级仿真集成到产品开发的核心流程。
Lightness by Design 的顾问团队合著发表了多篇刊登在科学期刊上的研究论文，为声-结构相互作用领域做出了贡献。此外，他们利用自身在声-结构相互作用仿真和振动设计领域的专业能力，为多家客户提供产品开发全流程的技术支持。
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