薄膜体声波（BAW）谐振器的有限元和等效电路仿真
薄膜体声波谐振器（BAW，也称 FBAR）是一种射频应用中的窄带滤波器 MEMS 元件。相较于传统的电子谐振器，BAW 的主要优势是体积更小，因此已成为移动设备系统中的重要组成部分。在 BAW 产品的设计阶段，有限元（FEM）仿真可用于计算特征频率和模式，以及频率响应，以最大限度提高主要元件的质量，并减少杂散模式的影响。在之后的电路设计阶段，往往需要使用含集总参数的等效电路来表征这些薄膜体声波谐振器，因为将有限元模型扩展到复杂电路仿真将耗费大量计算成本，且效率低下。这篇文章，我们概述了如何在 COMSOL Multiphysics®中将有限元模型转换为集总参数模型。通过以下关键步骤，可以建立薄膜体声波谐振器的有限元模型，然后进一步推导出用于系统级仿真的紧凑电路模型：
- 创建 3D 薄膜体声波谐振器模型
- 建立集总参数的等效电路模型
- 使用参数估计研究步骤确定集总参数值
薄膜体声波谐振器的有限元模型
为了模拟一个薄膜体声波谐振器（基于锚定五边形切趾式设计的 FBAR 可以最大限度地限制振动能量），我们需要静电、固体力学接口，以及压电耦合特征。在模型向导中选择压电，固体多物理场接口（图 1），即可快速实现上述这些功能，自动添加所需的物理场接口和耦合。
COMSOL 案例库包括本文中讨论的具有等效电路的薄膜体声波谐振器模型的模型文件和教程文档，其中概述了建立模型的步骤，包括创建几何结构、完成参数估计研究以确定集总参数值。
The Select Physics window with the Piezoelectricity, Solid interface highlighted.
图 1. 在模型向导的选择物理场窗口中选择压电多物理场。
由于所模拟器件的结构以及关注的模式具有对称性，因此我们只需模拟 36° 的扇形结构（见图 2），从而显著减少计算时间。我们在博客利用对称性缩减模型尺寸中对此进行了详细讨论。对于此特定模型，这是一个很好的策略，因为它需要使用精细网格来计算特征频率并生成振型的平滑绘图。这个 FBAR 被设计为在频率约 3.25 GHz 附近具有串联谐振，由 0.2 µm 氮化硅支撑层、0.1 µm 钼底电极、1 µm 氮化铝压电层和 0.2 µm 铝顶电极组成。使用有限元模型可以在频域研究中计算器件的频率响应。在接下来的步骤中，这些有限元数据将作为实验数据的参考。
图 2. 五边形薄膜体声波谐振器的 36° 扇形结构。
此案例中模拟的薄膜体声波谐振器以氮化铝为基础，这种材料位于 MEMS 模块材料库的压电分支下，如图 3 所示。将它添加到模型后，就可以在设置窗口中编辑显示的材料属性，如图 4 所示。
图 3.压电材料库。
图 4. 显示氮化铝材料属性的设置窗口。
为了获得薄膜体声波谐振器的频率响应，需要进行频域研究，其设置如图 5 所示。图 6 显示了 2.8-3.8 GHz 范围内，通过频域研究得到的终端电流绝对值随频率变化的函数关系，其中 3.25 GHz 的串联谐振频率对应于厚度延伸模式。
图 5.有限元模型的频域研究设置。
图 6. 有限元仿真获得的频率响应。
改进的 Butterworth–Van Dyke 等效电路模型
像薄膜体声波谐振器（FBAR）这样的机电装置，可以用图 7 所示的具有六个集总元件的改进 Butterworth–Van Dyke（mBVD）电路来表示。这种电路实质上由氮化铝电容 Co 与串联电路 Rm-Lm-Cm（动态支路）的并联组成，用于产生压电效应。电路接口通过表 1 中列出的初始值来指定和激励电路。这些值基于有限元模型的共振频率和反共振频率，以及器件几何形状的 Co 值，并使用参考文献 1 中的公式进行估算。与有限元模型一样，电路模型也使用频域研究计算器件的频率响应。对于合适的初始值，有限元模型和电路模型的频率响应结果应该接近。
图 7. mBVD 电路模型示意图。
电路仿真中使用的初始值
| 名称 | 初始值 | 描述 |
|---|---|---|
| Cm | 62 fF | 电容，动态 |
| Lm | 39 nH | 电感，动态 |
| Rm | 1 ohm | 电阻，动态 |
| Co | 1 pF | 电容 |
| Ro | 500 ohm | 电阻 |
| Rs | 1 ohm | 电阻，串联 |
| Vsrc | 5 V | 电压源 |
表 1.
首先，添加一个电路接口，以定义等效电路模型，如图 8 所示。接下来，添加各个电路元件，定义它们的网络连接，并输入集总参数值，如图 9 所示。
图 8. 在 添加物理场窗口中，选择电路接口创建薄膜体声波谐振器的等效电路模型。
图 9. 电路元件的设置窗口，在此指定其电路连接和集总参数值。
第二个频域研究分析了电路的频率响应，其参数初始值如表 1 所列。本次研究采用与前一项研究相同的频率范围。图 10 展示了电路仿真结果与有限元（FEM）仿真结果叠加在一起的对比图。
图 10. 使用参数初始值进行有限元和电路仿真得出的电流与频率的关系图。
参数估计研究
为了获得模型参数的精确值，需要进行参数估计研究，通过对由六个参数定义的电路模型运行频域研究，计算出模型表达式。为使模型表达式与实验数据相匹配，参数估计将目标函数（定义为模型表达式与实验数据之间的误差）最小化。参数估计研究的设置如图 11 所示。图 12 所示为自动生成的另一张频率响应图，用于直观显示拟合质量。参数估计研究的输出结果是最接近有限元频率响应的电路参数集，如表 2 所示。
图 11. 实验数据与模型表达式的 参数估计研究的输出结果比较。表 2 列出了拟合参数。
图 12. 使用 参数估计研究的最终参数得出的有限元结果和等效电路图。
参数估算研究得出的电路参数值
| 名称 | 初始值 | 描述 |
|---|---|---|
| Cm | 62.486 fF | 电容，动态 |
| Lm | 37.177 nH | 电感，动态 |
| Rm | 0.325 ohm | 电阻，动态 |
| Co | 1.043 pF | 电容 |
| Ro | 500 ohm | 电阻 |
| Rs | 0.866 ohm | 电阻，串联 |
| Vsrc | 5 V | 电压源 |
表 2.
图 13 是固体位移的表面图，显示了有限元特征频率研究得出的 3.25 GHz 处的振型，与图 12 中的峰值相对应。请注意，对于高谐振器件，特征频率研究通常会返回许多非常接近 3.25 GHz 共振频率的解，被称之为杂散模式，需要根据观测予以剔除。作为观测验证的替代方法，可以计算位移相位均匀性并绘制其与频率的关系图。对于真正的共振，其值将接近 1，而杂散模式则将远远小于 1。图 14 显示了位移相位均匀性与频率的关系图。
图 13. 表面图显示了厚度延伸模式的位移模式。
图 14. 位移相位均匀性与频率的关系图。仅在共振频率为 3.2512 GHz 时接近于 1。
参考文献
- J. D. Larson et al., “Modified Butterworth-Van Dyke circuit for FBAR resonators and automated measurement system,”Proc. IEEE Ultrason. Symp., pp. 863–868, 2000.
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