如果您是不确定性量化（UQ）领域的新手，本文将通过一个简单的电阻器示例为您介绍这个概念。我们将结合电阻器的设计，深入探讨不确定性量化模块中的四种研究类型：筛选、灵敏度分析、不确定性传播分析及可靠性分析。
何为不确定性？工程师为何需要关注？
罗伯托·巴乔, 这位顶级足球运动员在1994 年国际足联世界杯（FIFA World Cup®）决赛中罚丢了关键点球。那次戏剧性失误的原因可能在于一些隐性变量：射门力度与角度的随机性、湿度对球体表面的影响以及气流的紊乱。这些微小且不可预测的因素中的每一个都可能改变最终结果。作为人类，我们无法保证动作绝对精准，也无法掌控环境中的所有变量——机器同样如此。
美国加利福尼亚州帕萨迪纳市的玫瑰碗体育场曾承办 1994 年 FIFA World Cup® 决赛。图片通过 Wikimedia Commons 共享，采用 CC BY-SA 2.0 许可。
在工程设计与制造领域，我们经常会遇到一些微小而不可控的变量，这些变量足以影响产品的性能表现。正如巴乔的射门受隐性因素影响一样，电阻器、电路、智能手机——或者几乎任何产品——在制造过程中都可能受到材料、尺寸及环境条件变化的影响。这些不确定性会逐渐累积，最终可能导致产品故障、良率问题，或是出现在你在产品规格表上看到的公差标注（如金属膜电阻器上的那些标注）。
电阻走进实验室…
如果你曾经接触过电子元件，可能见过那些带彩色条纹的小型圆柱形元件：电阻器。这些条纹并非装饰——它们代表着电阻值及其公差，如图1所示。常见公差为 ±10%,、±5%，精密级电阻器甚至采用更严格的公差标准，通常其成本也更高。这些公差值反映了允许的标称值的偏差范围，由制造过程中固有的变异性决定。
图 1. 电阻色环编码包含电阻值与公差信息。图片通过 Wikimedia Commons 共享，采用 Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication 协议发布。
金属膜电阻器的结构比表面看起来更为复杂。图 2 显示的典型电阻器包含一个陶瓷芯体、一层电阻薄膜，通常还带有一个螺旋形切口以精细调节电阻值。电阻值主要取决于薄膜电阻率、导电路径的几何形状以及制造过程中能够精确修整的程度。每个参数——薄膜厚度、螺旋切口宽度，甚至是微小错位——都存在一定的不确定性。图 3 从概念上说明了输入参数是变化如何导致电阻值的分布。（注：此示例为仅用于解释说明的简化示例。）
图 2. 金属薄膜电阻器的结构与组件。
图 3. 输入参数分布差异如何影响电阻分布的示意图。
对制造商而言，严格控制电阻公差意味着要在产品性能与成本之间寻求平衡。这要求最大限度降低材料与工艺的变异性——从电阻薄膜的均匀性到螺旋修整的精度。即使是制造条件中的细微变化（如工具磨损或温度漂移）也会影响电阻值。通过不确定性量化，制造商能够模拟这些微小波动对性能的影响，并识别值得优化的生产因素以提升产品良率和可靠性。
对于将电阻器集成到电路中的工程师而言，关注重点会转移到参数变化对电路性能的影响上。偏差 5% 的电阻器能否使分压器正常工作？依赖精确 RC 常数的时序电路又将如何？不确定性量化（UQ）通过揭示不同结果的概率分布范围，在原型制作前为这些设计问题提供清晰解答。
不确定性量化模块
为了进一步探究这种情况，我们在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用 电流 接口构建了一个电阻器模型，如图 4 所示。在其两端施加电压差，并根据功耗计算电电阻值。将电阻设定为关注量 (QoI)，即 V_0^2/\int qdV， 其中 q 为体积损耗密度。随后，我们通过不确定性量化模块对其执行了一系列不确定性量化研究。
该模块中各类研究的目的如下：
- 筛选： 快速识别影响电阻的关键参数。
- 灵敏度：量化参数的影响程度。
- 传播：观察参数变化对输出结果的影响。基于所有输入参数的分布，电阻将呈现何种分布？
- 可靠性：评估设计可靠性，计算电阻值低于或高于特定阈值的概率分布。
图 4. COMSOL Multiphysics 中的电阻器模型。
筛选分析：识别关键参数
首先进行的 UQ 研究是采用 Morris one-at-a-time (MOAT) 法进行的筛选分析。该研究考虑了多个具有假设分布（主要为正态分布）的输入参数（图5）。
图 5. 输入参数。.
图 6 展示了 MOAT 平均值确定的最关键参数：半径（R）、高度（H）、电导率（Sigma2）以及刻蚀宽度（即碳螺旋切口的宽度，Tcar）。 该结果符合理论预期，使我们可以在后续分析中仅仅关注这些关键变量，从而降低计算成本。
图 6. The MOAT 平均值与参数对关注量（ QOI）的总影响成正比。
灵敏度分析：衡量参数的影响程度
接下来，我们采用稀疏多项式混沌展开（PCE）代理模型进行灵敏度分析，该模型通过自动构建实现输入空间的高效探索。图7展示了量化各参数对电阻方差贡献的 Sobol 指数。结果表明，高度（H）是主导因素，其次为电导率（Sigma2）和蚀刻宽度（Tcar）。
图 7. Sobol 指数与输入参数的关系图。
不确定性传播：理解输出分布
在不确定性传播研究中，我们对输入参数分布进行采样，并生成核密度估计（KDE）图（图 8）。该图展示了电阻值的概率分布。这一结果使制造商能够真实了解电阻值在生产样本中可能产生的变化范围。图中显示，最高概率密度出现在电阻值 50 欧姆左右。根据 QoI 置信区间表，预测电阻值的平均值为 50.099，标准差为 2.5821。
图 8. 核密度估计（KDE）图。
可靠性分析：量化风险
最后，可靠性分析会估算电阻值超出设定阈值的概率，这对任何具有严格公差的设计都至关重要。图9展示了电阻值超过限定阈值的概率分布，这有助于在设计初期量化风险。在本示例中，满足该条件的概率为 0.19，即 19%。
总而言之，这四种不确定性量化研究全面阐释了输入参数的变异性如何影响电阻器性能，涵盖从识别关键参数到估算失效概率的全流程。
图 9. 条件概率分布图。
最终思考：在电阻器设计中应用不确定性量化
不确定性量化为工程师和制造商提供了理解材料、几何结构和工艺变化如何影响产品性能的工具。无论您是在优化电阻器制造工艺，还是评估电路设计的稳定性，不确定性量化模块和 COMSOL Multiphysics® 软件都能帮助您确定最重要的变量、估算输出变化，并做出数据驱动的决策，以平衡产品可靠性和成本。
采用现成的电阻器进行设计的工程师还可以利用制造商提供的，或通过测量得到的电阻分布数据。他们无需将电阻视为固定值，而是可以直接将该分布应用于电路的不确定性量化研究中。这使得对设计鲁棒性的评估得以在早期阶段实现：例如在投入硬件之前，即可确定电阻器特定公差是否会影响时序、增益或信号阈值。
下一步
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- 想要更深入地了解不确定性量化，可参阅 不确定性量化入门课程，其中包含了基于仿真实践的模型案例，如钢支架模型。
- 想要查看更高级的应用案例，请阅读： 使用不确定性量化分析 MEMS 谐振器的频率变化。
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