人们经常认为圆周率 π 只是一个存在于圆形和三角函数中的数学概念，但实际上，这个著名的常数经常出现在许多意想不到的地方。在本文中，我们将模拟一个看似不起眼、却能用来估算 π 的装置：单摆。在这熟悉的摆动现象之下，隐藏着数学与物理学之间迷人的联系。我们将通过一个简单的仿真 App 将这一想法付诸实践，让您能轻松地调整不同参数，直观感受“运动中的数学”。

圆周率估算史

纵观历史，多个古代文明曾通过各种几何方法来计算圆周率 。后来，在 17 至 18 世纪，格雷戈里-莱布尼茨（Gregory–Leibniz）和梅钦类（Machin-like）公式等无穷级数的出现，推动了圆周率计算的发展，使得数学家能够手工算出数百位有效数字。

借助现代科技，利用高性能计算机和先进的算法， 圆周率的计算已经达到了惊人的精度。在之前的一篇博客文章中，我们曾讨论过如何利用蒙特卡洛方法估算圆周率。如今，借助快速收敛无穷级数的顶尖计算方法——例如斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）和楚德诺夫斯基兄弟推导出的那些公式（参考文献 1），我们已经能够计算出 π 的万亿位数字。

单摆

不过，在这篇博客文章中，我们将暂时抛开那些复杂的高科技手段，转而采用一个您在现实生活中就能轻松复现的实验：单摆。所谓的单摆，是由一个被称为“摆球”的重物（理想情况下被视为质点）系在一根绳子（理想情况下被视为无质量）的一端构成的。这样一个单摆完成一次完整往复摆动所需的时间，也就是它的周期 T ，可以用以下公式来表示：

其中， L为摆长， g 为重力加速度。若已知单摆摆动的周期，便可估算出圆周率的数值：

通过测量单摆摆动的周期，您可以直接通过观测来估算圆周率的值。不过，这个公式是基于简谐运动假设的——这只有在摆角足够小，满足 sin⁡θ ≈ θ 时才成立。所以该方法最适用于小角度释放的情况。您可能已经注意到，摆动周期明显与摆球的质量无关。然而在现实系统中，绳子具有非零质量，摆球也有一定半径（并非质点）。这意味着，当单摆越接近理想情况时，估算出的 π 值就越精确。也就是说，绳子越轻（接近无质量）、质量越集中在质点般的摆球上、且初始摆动角度越小（<15 度），结果就越准确。 一个由长度为 L 的细绳和半径为 R_b 的摆球组成的单摆，从初始角度 θ 处释放。

构建仿真 App

基于 COMSOL 模型开发的仿真 App 可作为一种预测工具，让您在实际开展实验之前，就能探索摆长、质量等不同设计参数是如何影响结果的。为了构建一个简单的单摆模型，我们将使用 COMSOL 的附加产品 多体动力学模块中的 多体动力学 接口，正如双摆示例模型中所展示的。在该模型中，事件 接口通过一个名为 count 的离散状态 变量追踪仿真过程中的摆动次数。这个过程分为两个阶段，由两个隐式事件来表示。当摆球在 x 方向的速度变为负值时，count 会增加一个小于 1 的正分数；当 x 方向的速度再次变为正值时，利用向上取整函数将 count 进位到下一个整数。此外，还设置了一个停止条件作为另一个隐式事件，当 count 达到指定的摆动次数时就会触发。一旦仿真终止，将根据总仿真时间 (T_sim) 和摆动次数 (N)，通过相应方程计算出圆周率。

现在，让我们使用 App 开发器 来创建一个 App，用于估算不同配置下单摆的圆周率数值。借助拖拽式的表单设计功能和用于编写简短代码的方法编辑器，您无需掌握大量的编程知识，就能轻松构建定制化的仿真 App。这款 App 作为一个交互式工具，能够通过计算周期来估算不同摆参数下的圆周率。这种方法在教育场景中尤为实用。例如，教师可以利用该仿真 App 设计尺寸和周期适合课堂演示的单摆，从而帮助学生建立理论预测与实际测量之间的联系。

该仿真 App 的用户界面（ UI）。

该 App 包含多个滑块，可用于控制摆长、摆球半径、初始释放角度以及待求解的摆动次数。此外，它还包含一个输入框，可供输入摆球密度与细绳密度之比的数值。

一旦设定好您想要的单摆参数后，点击 绘制单摆 按钮，软件界面就会根据所选数值显示出单摆的外观。接着，您可以点击 计算 按钮开始仿真，在此期间，图形 窗口和能量曲线图会实时更新。求解完成后，界面会显示估算的圆周率数值以及与真实值的误差，以反映本次求解的结果。欢迎在本文下方的评论区分享让您得到圆周率最佳估算值的参数！

该仿真 App 使用过程中的屏幕录制。

在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用 App 开发器开发此类应用，可通过调用模板实现，而无需具备丰富的编程经验。通过这种方式，工程师与科研人员能够将理论与仿真紧密结合，让那些不熟悉建模操作的用户也可以便捷地使用他们开发的模型。

下一步

欢迎您点击下方按钮，从仿真案例库中下载包含该仿真 App 设计及相关文件的 MPH 文件！

扩展阅读

若您想了解仿真 App 在现实世界中是如何应用的？请查看如下几个示例：

• 阅读一篇基于多物理场仿真开发智能手机应用程序的文章：借助仿真 App 预测水果保质期
• 了解一位大学教授如何在课堂上使用仿真 App：使用仿真 App 进行远程实验课程教学

参考文献

1. Borwein, J.M. and Borwein, P.B., 2004. Ramanujan and Pi. In Pi: A Source Book (pp. 588-595). New York, NY: Springer New York.

在设计开放式办公室时，声学设计师必须考虑的两个关键因素是噪音水平和声音传播。 COMSOL Multiphysics^® 软件提供了对开放式办公空间进行建模并运行模拟以分析其声学特性的专用工具，正如 “开放式办公空间的声学” 教程模型中所展示的那样。COMSOL Multiphysics^® 还为声学模块提供 GPU 支持，显著提高了计算效率。

开放式办公空间：高噪音环境

开放式空间布局的一个常见问题是噪音。如今，建筑、工程和施工行业也越来越重视这个问题，致力于在设计阶段就着手缓解噪音困恼。借助声学模拟，工程师们能够高效模拟噪音水平，在办公空间施工之前，就能提前优化设计方案。

在一间小型开放式办公室的墙壁上所呈现的声压分布，其脉冲是从距离地面1.5 米处的一个点发出的。

打造数字化办公室

在“开放式办公空间的声学” 教程模型中，采用基于波的方法，在时域中分析开放式办公空间的声学特性。系统会释放一个初始脉冲，随后分析房间的响应。为了模拟真实环境，模型使用了一般局部反应（有理近似） 阻抗选项，为房间的各个部分——包括天花板、地毯以及石膏墙——设定了实际频率相关的阻抗条件。接着，利用 部分分式拟合 功能 对输入数据进行拟合，并使用 吸收层 条件对一扇打开的窗户进行了模拟。该模型通过 压力声学，时域显式 接口，并采用了支持在单个或多个 GPU 上运行的加速求解器公式来求解模型。

COMSOL Multiphysics^® 6.4 版本将原有的单 GPU 支持扩展到了多 GPU 配置，可加速时域压力声学的模拟。与使用 CPU 相比，运算速度提升了 25 倍甚至更多。运行该模型需要 12 GB 的 GPU 内存以及 NVIDIA^® GPU 显卡。此处使用的版本为 6.4 版本更新 1（开发版本 6.4.0.343）。

在拥有 12 个内核的 CPU 上求解 20 个周期的 500 Hz 载波信号（网格分辨率高达 750 Hz）大约需要 10 小时（视硬件而定），而在两个 GPU 上求解同样的 20 个周期仅需 9 分钟。这项初步分析展示了前 25 毫秒的声波传播情况，对于可视化脉冲的初始传播过程非常有帮助。

压力分布情况通过红蓝两色直观地展示在开放式办公室的墙壁上。声源脉冲设定在由距离地面 1.5 米高、后墙书架附近的一个点发出。边界采用了频率相关的阻抗条件进行描述。

该模型中包含了多种阻抗条件，这些条件都使用了随频率变化的数据。这些复数阻抗数据是通过声学处理边界计算器生成的——这是一个专门用于分析色散特性的仿真 App。通过这个 App，可以计算出多种属性或边界属性，进而应用到室内声学模拟中。模型中涉及的各种要素数据，比如地毯、天花板以及墙上的石膏板，都是通过这个 App 计算得出的。

此外，模型中还特意包含了左墙上的一扇打开的窗户，旨在展示如何将吸收层与 GPU 加速技术结合使用。您也可以在窗户外部添加一个带有吸收层的半球体，以此来对该空间内的开窗环境进行建模。

一个带有吸收层的半球体，被加装在敞开的窗户外侧。

研究麦克风收音点

这个开放式办公空间声学模型包含两个研究步骤，共求解了 4600 万个自由度。在第一个研究中，模型求解了 500 Hz 载波信号的 20 个周期，每个周期在所有边界上存储两次解。这项研究在双 GPU 上运行耗时 9 分钟（单 GPU 需 15 分钟），主要用于观察脉冲传播初期的声场情况。为了分析系统的脉冲响应，需要运行第二个研究，此时解仅存储在选定的麦克风点上。

在第二个研究中，模型求解时长为 0.4 秒（即 300 个周期），每个周期以更高的分辨率存储解 30次，但仅限于选定的接收器位置。这项研究在双 GPU 上运行耗时 2 小时 56 分钟。信号再次由麦克风接收（见下图）。利用脉冲响应图，可以计算并分析 1/3 倍频程的声压级衰减曲线。这使得我们能够计算通常使用射线声学来获取的房间声学指标，而且采用的是更精确的全波方法（在中低频范围内更精确）。

最靠近人体模型的麦克风位置处的脉冲响应。

如果单纯将模拟时间从20个周期延长到 300 个周期，理论上研究二的求解时间应该是 2 小时 15 分钟，而不是实际花费的 2 小时 55 分钟。造成这种差异的原因是更频繁地存储解会产生额外开销。比如，与每个周期存储 2 次解相比，每个周期存储 30 次解会产生少量额外开销和时间差，同时也会增加 GPU 与 CPU 之间的一些数据通信量。

整个开放式办公空间内麦克风收音点的分布位置。

下图展示了在最靠近人体模型（参见上图）的麦克风位置计算出的（三个 1/3 倍频程的）声压级衰减曲线如图所示。这三个频段的 T20 混响时间约为 0.65 秒。

以 500 Hz 为中心的三个 1/3 倍频程的声压级衰减曲线。

拟合阻抗数据

在某些设置中，部分分式拟合 函数用于有理近似，而不是使用名义近似。在下图所示的频域数据 图表中，包含了大量的数据点以及导纳的实部和复数值。这些数据需要通过近似方法来拟合，而这里采用的正是部分分式拟合。该方程通过分数之和的形式来对数据进行近似。

当使用此公式对频域数据进行近似后，就可以对数据进行解析傅里叶逆变换。借助傅里叶变换，数据就能以更实用的方式应用于时域中。这转化为一个集总系统或一组记忆常微分方程，它们可以与域方程进行联立求解。COMSOL^® 会自动处理这一设置过程。

数据拟合完成后，拟合参数便可用于时域中，以模拟频率相关属性，例如阻抗条件或多孔材料。

频域数据通过公式进行近似，从而得到数据的解析傅里叶逆变换。

下一步

随着开放式办公空间的趋势持续升温，如何在布局设计中有效降低噪音水平，将成为首要的关注点。您可以使用 开放式办公空间的声学教程模型或声学处理边界计算器 仿真 App，亲自动手尝试。

扩展阅读

如果您想了解建模与仿真在改善工作场所声学环境方面的实际应用，可以查看我们的用户文章，来自瑞士咨询公司 Zeugin Bauberatungen 的相关仿真应用案例“协调开放式办公室的声学环境与设计风格”。

建模与仿真已成为科学与工程领域的基石，为描述影响设备与工艺运行的物理行为提供了一个框架——从智能手机设计到核电站的控制均涵盖在内。这些物理行为往往都涉及电磁场、流体流动、热传递和机械应力等多种现象。

仿真依赖于对这些效应的数学描述，将它们转化构建为数值模型，进而可以形成庞大的方程组，其中包含的未知量数量与有限元法或边界元法中使用的自由度数（DOF）直接相关。通过求解这些方程能够预测设备与工艺行为，深入理解并优化各类设计——从智能手机中指纹传感器的布局，到发电厂涡轮叶片的形状与性能。

这种理解、预测和优化设计的能力，将原本需要多轮实验测试的过程转化为以计算为主的过程，大幅减少了实验和制作物理原型的次数。然而，将这种计算能力进行更广泛的应用时，必须求解庞大的方程组是一个绕不过去的障碍，因为这通常需要高性能计算机。因此，传统上大多数仿真工作都局限于由研发部门的专业人员来完成。

GPU 加速技术有望改变这一现状。通过大幅缩短求解时间，可以使仿真专家能够及时为组织内各团队和部门提供仿真见解，推动基于物理原理的决策制定。专家们还能通过提供仿真 App，让非专业同事通过直观、简洁的用户界面运行仿真计算，进一步扩大 GPU 加速仿真结果的使用范围。本文，我们将详细阐述基于 GPU 计算的最新进展将如何拓展建模与仿真的应用边界。

GPU 加速为何对多物理场仿真至关重要

多数仿真问题不仅涉及单一物理现象，更包含多种同时相互作用的物理现象。多物理场仿真通过在单一模型中耦合这些交互作用来捕捉这些复杂的交互关系，例如，传热影响流体流动、电磁场与热膨胀及机械应力相互作用、结构振动产生声波等。这些耦合关系对准确呈现真实世界的行为至关重要，但相较于单物理场分析，其计算需求也大幅增加。

随着多物理场模型的规模与复杂度不断增加，涉及数百万及更多自由度、非线性耦合以及随时间变化的行为，基于 CPU 的求解器可能会成为计算瓶颈。这类工作负载需要进行大量的线性代数运算，尤其是在隐式时间步长和非线性求解器迭代过程中需要反复进行矩阵分解。

随着 COMSOL Multiphysics^® 软件的最新发展以及 NVIDIA^® 提供的 GPU 计算支持，新的解决方案正在形成，物理模型得以更高效地求解，仿真工具也能更深度地嵌入工程与业务流程。在 2025 年 11 月发布的 COMSOL Multiphysics^® 6.4 版本中，新增了对 NVIDIA CUDA^®直接稀疏求解器（NVIDIA cuDSS）的支持，通过利用 GPU 的大规模并行架构加速计算过程。GPU 通常拥有数千个轻量级处理核心和高内存带宽，使其非常适用于物理仿真中常见的高强度数值计算任务。

当使用 NVIDIA cuDSS 求解器时，GPU 可使仿真速度提升数倍。以声学换能器仿真为例——这类多物理场分析对优化微型耳塞和智能手机扬声器至关重要——GPU 加速求解器相较于纯 CPU 计算展现出显著的加速效果。

平衡电枢换能器（常见于入耳式音频设备）耦合结构分析、非线性磁学、声学、电路及运动部件，进行时域仿真。当采用基于 NVIDIA H100 GPU 的新 NVIDIA cuDSS 求解器进行计算时，相较于搭载 Intel^®酷睿™ i9-10920X 处理器的工作站上运行的 CPU 求解器，速度提升了 8 倍。

COMSOL Multiphysics^® 中 GPU 支持范围的扩展

在最近的几个版本中，GPU 计算技术逐步整合到了 COMSOL Multiphysics^® ，带来了更广泛的功能，并提升了可扩展性。2024 年发布的 6.3 版本引入了基于 GPU 加速的显式压力声学求解，通过定制的 NVIDIA CUDA^®算法实现，专为高频和大尺寸域模拟而设计。NVIDIA CUDA-X cuBLAS 库加速了这种 GPU 公式，提升了处理复杂计算任务的性能与效率。该版本还增加了对深度神经网络（DNN）训练的GPU支持，缩短了仿真 App 和数字孪生中数据驱动代理模型的训练时间。在 6.4 版本中，时间显式压力声学功能得到了进一步扩展，可在多卡 GPU 及 GPU 集群上运行。

6.4 版本通过引入 NVIDIA cuDSS 技术，进一步将 GPU 加速扩展至通用多物理场仿真，而且还为采用 NVIDIA cuDSS 的模型新增了多 GPU 支持，用户可在单台计算机上使用多张 GPU 卡并行运行模型。此功能不仅提升了性能，更突破了容量限制：单 GPU 仿真受限于单张显卡的内存容量，而多 GPU 则可以有效地解决此问题，实现大型模型的高效求解。

6.4 版本新增的 NVIDIA cuDSS GPU 加速功能，也可在标准工作站硬件上进行常规结构有限元分析。这个显示有效应力结果的轮辋案例，使用 NVIDIA RTX™ 5000 Ada Generation 工作站 GPU 的加速求解，相较于基于 Intel^® W5-2465X 处理器的 CPU 求解，速度提升了 2 倍。

仿真 App 与代理模型

COMSOL Multiphysics^® 最新版本将 GPU 加速引入了仿真 App：用户可通过“App 开发器”基于物理模型开发定制化的用户界面，其中仅需展示几何结构、材料或运行条件等关键参数，使非仿真专家也能使用经过验证的物理模型。

大量仿真 App 直接在底层的高保真模型上运行，借助 GPU 加速的求解器快速输出结果。还有一些 App 可选配深度神经网络（DNN）代理模型——即基于仿真数据训练的简化表示。训练完成后，这些 DNN 代理模型能在数秒内复现原始模型的行为，而 GPU 加速技术使其能够在海量数据集和参数空间中进行训练。

部署这些高度定制化且拥有直观用户界面的 App，能够使交互式仿真能力覆盖整个组织团队：工程师可以实时测试设计方案；制造团队能在车间现场调整工艺参数；运营人员则可通过基于物理原理的数字孪生监控系统运行状态。

对于依赖完整模型或需基于模型进行验证的仿真 App 而言，GPU 加速求解器能显著缩短复杂分析的周转时间。这种加速效果同样适用于通过 COMSOL Compiler™ 编译的仿真 App——该工具可将用户界面与完整的求解器堆栈打包为独立的可执行文件。编译后的仿真App与桌面版 COMSOL^® 程序一样可受益于 GPU 加速，使高性能仿真工具无需付费软件许可证即可实现分发。

仿真 App、代理模型、GPU 加速求解器与编译的可执行文件共同提供了一种可扩展的解决方案，将基于物理的分析能力推广至更广泛的用户群体。单个经过验证的模型可演变为一系列可部署的工具，从近乎瞬时的代理模型预测器到 GPU 加速的全保真求解器，所有这些工具都建立在相同的多物理场基础之上。

一款基于深度神经网络代理模型的 MEMS 热致动器的仿真 App，能够对温度、位移、电压及应力等参数进行极速的评估。该代理模型在标准工作站上通过 GPU 加速完成训练。

NVIDIA CUDA^® 直接稀疏求解器 (NVIDIA cuDSS)

COMSOL Multiphysics^® 最新 GPU 加速功能的核心，是适用于NVIDIA GPU 的 NVIDIA CUDA^® 直接稀疏求解器（NVIDIA cuDSS），旨在加速多物理场工作流程中计算量最大的步骤之一：反复求解隐式时间步进、非线性分析、参数扫描和特征频率研究中出现的大型稀疏线性方程组。

稀疏直接求解器通常依赖矩阵分解，特别是高度优化且稳健的高斯消元法。这类运算既需要高浮点运算吞吐量，又需要快速的内存访问——而这些恰恰是 GPU 的优势。GPU 提供的海量内存带宽使 NVIDIA cuDSS 能够以远超 CPU 求解器的速度在内存中传输大型稀疏矩阵。这种带宽优势结合数千个并行计算核心，显著缩短了大规模计算工程模型的实际运行时间。

NVIDIA cuDSS 同时支持单精度与双精度运算，其中单精度是否适用取决于模型细节。网格质量、边界条件、材料属性及载荷定义等因素均会影响待求解线性系统的条件数，由于这些因素难以预先评估，因此用户可能需要测试单精度是否能为特定仿真提供稳定准确的结果。

当单精度可行时，性能提升更显著：内存占用减半，浮点运算吞吐量提升，尤其在计算密集型问题或使用低成本 GPU 时（这类 GPU 单精度性能往往优于双精度），可实现大幅加速。对于内存受限的工作负载，受带宽限制影响，性能提升通常接近两倍。但双精度仍然是需要更高数值精度的模拟的合适选择，因此也是在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 NVIDIA cuDSS 时的默认选项。

由于 NVIDIA cuDSS 可无缝集成至 COMSOL Multiphysics^® 的求解器框架中，因此可应用于从线性分析到完全耦合的非线性多物理场模型等广泛的物理模拟。如今，所有直接求解器的应用场景均可采用这项新技术，包括作为迭代求解法中的部分预条件器。

消声器和声衬的穿孔板声学传递阻抗多物理场模型，采用 NVIDIA cuDSS 在四块 NVIDIA H100 GPU 上进行求解。图中显示了声质点速度分布。三个不同规模（90-240 万自由度）的基准测试表明，相较于双核 Intel^®至强^®铂金 8260 系统上的 CPU 直接求解器，实现了近 5 倍的加速。

推动 GPU 加速仿真的广泛普及

借助 GPU 加速的 NVIDIA cuDSS 求解器，COMSOL Multiphysics^® 能够更快地求解大型稀疏矩阵，将原本需要通宵进行的计算任务缩短至数小时内。对于那些需要在参数扫描中运行数千次的小型及中型模型（例如，生成神经网络代理模型的训练数据），同样能获得加速受益。结合仿真 App，这些功能可将完整的物理模型转化为广泛适用的工具集，将先进的多物理场仿真从孤立的专家工作流程转变为日常工程实践。

更进一步

您可以阅读学习中心的文章“用于 COMSOL 计算的 GPU 选择指南”，进一步了解选择用于COMSOL Multiphysics^® 的 GPU 时需要考虑的关键因素。点击下方按钮，阅读完整文章。

多物理场建模与仿真技术赋能企业、高校及科研机构，助力广大用户以更低的成本、更快捷且智能的方式推动创新。研发团队将 COMSOL Multiphysics^® 仿真技术融入其研发流程，构建准确的仿真模型，有效设计并优化实际工程难题。更进一步，基于这些模型，他们可以开发出可独立运行的仿真 App，使更多团队、部门乃至客户都能从多物理场仿真中受益，让工程师与设计师在研发周期内能更深入地洞察产品特性，预见到潜在问题，并迅速找到解决方案。

今天，COMSOL Multiphysics^® 6.4 版本正式发布。新版本通过引入 GPU 加速求解器提升了所有物理场的仿真速度，新增了用于模拟散料生产过程中固体颗粒运动及相互作用的新产品，并推出了用于时间显式动力学分析的新框架。

为什么选择多物理场仿真？

我们所处的世界本质上是各种物理场相互作用的产物，因此能够成功地将两种或更多物理现象完全整合在一起，对于创建能够精确模拟真实物理情景的数值模型来说，至关重要。

以扬声器为例。在单一物理场模型中，我们仅能分析音圈中的磁场情况，然而，若能同时探讨磁场如何与扬声器的其他组件相互作用，以及力和振动是如何产生的，这样的仿真结果将对扬声器设计提供更加精准的指引。利用 COMSOL Multiphysics^® 软件，我们能够轻松地为模型增添并耦合各种所需的物理现象，构建出精确的仿真模型。例如，在扬声器模型中，我们可以模拟电磁场、结构力学以及声学之间的相互作用，进行全方位、深入的仿真分析。COMSOL 软件在模拟和耦合物理现象的数量及种类上均没有限制。

左：扬声器的单物理场模型，显示了作用在音圈上的电磁力。右：扬声器的多物理场模型，同时考虑了声-结构相互作用。

COMSOL Multiphysics^® 软件是一个集建模与仿真功能于一体的平台，既支持全面的多物理场仿真，也具备单物理场仿真能力。这意味着，无论工程师和科学家来自哪个行业或学科领域，都能在这个统一的软件平台上，通过同一个用户界面，自由开发所需模型。简而言之，多物理场仿真助力企业、高校及科研机构等组织做出更为明智的决策，催生创新设计，同时减少物理原型制作与实验测试的成本，最终加速产品研发流程。

由于模型是对真实世界的反映，其 行为 必须符合物理定律，而 外观 同样不容忽视。通过添加合适的纹理、颜色以及精心设计的照明，我们可以更直观地将模型视作它所代表的真实物体，并深入理解其运作机制。此外，根据用户正在运行的分析类型，绘图类型或颜色表的选择也可能影响对结果的解读。COMSOL Multiphysics^® 软件平台不仅具备构建几何模型、分配材料和划分网格等功能，还包含丰富的可视化工具。

COMSOL^® 仿真软件概述

只有当来自不同团队、部门、组织乃至企业的同事们都能访问并参与到精确仿真模型的开发中，共同为产品设计的创新与优化贡献力量时，仿真驱动的研发工作流程才能取得最大的成功。为此，COMSOL Multiphysics^® 平台包括三个主要工作区：

• 模型开发器
  • 包含仿真专家所需要的基于物理场进行建模、求解、可视化和结果评估的所有功能。
• App 开发器
  • 为仿真专家提供简单、易用的工具，用于为同事和客户开发定制的仿真 App。
• 模型管理器
  • 为管理仿真模型和仿真 App 提供了一个结构化的工作区，具有版本控制、搜索和筛选、高效数据存储，以及从一个模型中复制操作序列以重用于另一个模型的功能。

左：模型开发器显示了一个 IGBT 模组的多物理场模型的设置和结果。中：用于构建仿真 App 的 App 开发器。右：模型管理器，展示了比较两个模型文件的功能。

同一个软件环境，适用于所有工程领域

根据具体任务需求，您或许希望使用专门的产品模块来增强核心仿真功能。COMSOL Multiphysics^® 软件提供了一系列丰富的附加产品，专门用于电磁、结构力学、声学、流体动力学、热传导和化学工程等领域的仿真分析。作为一个 多物理场仿真 平台，COMSOL^® 软件的所有产品模块功能均可无缝集成在平台中。此外，您还可以通过 LiveLink™ 产品轻松地与 CAD 以及其他第三方软件进行交互。

提示：请查阅用户案例库，了解全球的企业和机构使用 COMSOL Multiphysics^® 的应用案例。

可执行的仿真 App 加速产品创新

任何持有 COMSOL Multiphysics^® 软件许可证的用户都可以开发和维护自己的仿真 App，拥有 COMSOL Compiler™ 的用户还能将这些 App 进一步转化为独立的可执行文件，并分发给任何人在全球任何地点运行。无论是组织内部还是外部的同事，都能通过这些独立的仿真 App 来测试设计上的任何变更，而无需占用仿真专家的时间。即使是非仿真专业的用户，也能利用这些仿真应用，根据特定输入预测结果，并基于模拟结果做出决策，而无需了解如何设置和运行底层模型（在很多情况下，他们甚至不会意识到自己正在使用多物理场仿真技术）。

App 开发器提供的拖放功能，让用户能够方便、快捷地在 App 界面中根据特定需求定制输入和输出组件和小窗口。这样 ，App 用户无需投入精力去开发仿真模型，就能受益于仿真的所有优势。只需简单点击一个按钮，您就能将仿真模型编译成独立的仿真 App。至于这些仿真 App，您可以自主决定是收费出售还是免费提供，是添加密码保护还是无限制共享，以及是否设置有效期等。在使用 COMSOL Multiphysics^® 软件开发独立仿真 App 时，您拥有完全的控制权，包括 App 的开发数量、发布对象以及发布方式。

很多情况下，一些组织可能更倾向于完全控制谁有权访问他们的仿真 App，以及哪些版本的 App 可供使用。对于这种情况，他们可以通过自己的 COMSOL Server™ 环境上传、管理和运行他们的 App，而不是将它们编译为独立 App。COMSOL Server™ 提供管理工具，可用于管理用户对 App、用户帐户和组的访问以及多核处理器的利用。

利用代理模型开发实时计算的仿真 App

多年以前，COMSOL Multiphysics^® 就推出了 App 开发器和附加产品 COMSOL Compiler™ 。 2023 年，我们发布了使用机器学习训练代理模型的功能，使得开发快速计算的仿真 App 成为可能。 当您在仿真 App 中嵌入数据驱动的代理模型时，App 用户将根据输入的信息获得近乎实时的仿真结果。代理模型经过训练，能够在不牺牲准确性的前提下，近似于成本更高的完整有限元模型的计算结果。在 6.3 版本的软件中，用户不仅能够借助基于 GPU 的训练快速创建和使用代理模型，还可以将仿真App与外部传感器、数据库和 Web服务相连接，用于构建数字孪生系统。

如今，随着  COMSOL Multiphysics^® 6.4 版本的发布，用户现在可以导出深度神经网络（DNN）代理模型的网络参数，并针对代理模型训练数据开展批处理和集群计算，从而实现大型训练数据集的高效并行计算。

COMSOL Multiphysics^® 6.4 新版本更多发布亮点

COMSOL Multiphysics^® 新版本引入了适用于所有物理场的 GPU 加速仿真、时间显式动力学分析、全新的颗粒流模块，以及全面提升软件性能的一系列更新，为用户带来了比以往更出色的建模和仿真功能。

没人喜欢等待，尤其是在获取仿真结果时。我们的开发人员一直致力于提高求解器的速度，以在确保准确性的同时缩短各类模型的求解时间。随着现代硬件架构的多样化发展，性能交付还与充分利用这些平台紧密相关，其中包括 NVIDIA GPU。基于此， COMSOL Multiphysics^® 提供了多种数值求解器和设置选项，用于在 CPU 以及 NVIDIA GPU 上求解各种设计、设备和工程问题。

直接求解器是COMSOL软件广泛使用的一类求解器，能够高度耦合多物理场问题，在结构力学等领域得到广泛应用。

在 6.4 版本中，直接求解器的选择范围得到了扩展，新增了 NVIDIA CUDA^®直接稀疏求解器（cuDSS），为所有物理场带来了 GPU 支持。cuDSS 是一款专为混合CPU–GPU 计算优化的 GPU 加速稀疏直接求解器，支持所有最新的 NVIDIA^® GPU，适用于单 GPU 或多 GPU 配置，能显著提高单物理场和多物理场仿真的速度，特别是对于强耦合非线性问题以及已在使用直接求解器的建模场景尤为有益。基准测试显示，其模拟速度提升达到 5 倍甚至更高。

使用新型 cuDSS 求解器求解的具有 175 万个自由度的穿孔板声学传递阻抗模型。

在软件 6.3 版本中，我们为声学模块中的 压力声学，时间显式 接口新增了一个加速求解器（与 cuDSS 求解器不同），首次引入了 GPU 支持，用于在时域中模拟压力声学，其中借助了 CUDA-X（cuBLAS）库，使从事室内和汽车驾驶室声学研究的用户能够比以往更快地获得模拟结果。在 6.4 版本中，这款求解器现在不仅支持单台机器上的多个 GPU，还支持集群配置中的 GPU。得益于这一进步，房间和汽车驾驶室的声学模拟速度显著提升，并且模型规模在解析波长方面得到了进一步扩大。

为了验证通过多 GPU 运行时间显式压力声学模拟所能实现的加速效率，我们使用 汽车座舱声学—瞬态分析 教程模型进行了一项测试。在这个模型的第一个研究中，使用 6.3 版本的计算和结果分析总时长为 57 分钟。而在 6.4 版本中，使用单块 GPU（NVIDIA^® RTX 6000 Ada）时，这一时长缩短至 50 分钟；当使用两块 GPU 运行模拟时，时长几乎减半，仅为 29 分钟。

注：压力声学，时间显式 接口在使用单个 GPU 时支持所有许可证类型，但在使用多个 GPU 时需要网络浮动许可证。

得益于 COMSOL Multiphysics^® 6.4 版本中的 NVIDIA^® GPU 加速技术，图中展示的汽车座舱内的声学仿真可实现更快速且更具扩展性的分析。

颗粒流模块

COMSOL Multiphysics^® 平台新增一个专用附加模块，可用于模拟颗粒过程，例如，料斗卸料、料仓存储、 溜槽输送、粉末铺展及混合等。新模块具备解析颗粒级相互作用的功能，例如，碰撞、粘附、旋转阻力和热传递等现象，帮助工程师和研究人员深入理解微观粒子的动力学特性和宏观整体行为。

对于那些需要了解散装物料的行为以实现高效且可靠运营的行业和领域而言，颗粒流模块尤为重要，例如，制药、化工、农业、采矿和增材制造等行业。

点击了解更多关于颗粒流模块的信息。

使用螺旋输送机运输谷物，其中通过颜色区分谷物的释放时间。

显式结构动力学

为了说明 6.4 版本中引入的另一项重大改进，我们来看一个手机的例子。触摸屏和按键是协同工作的机械和电子元件，而电池则会发生涉及离子移动和电流等过程的化学反应，这些都是 COMSOL 软件一直以来就能模拟的相互作用。但有一类重要场景，用户直到现在才能够进行模拟。

借助最新版本，用户现在能够进行时间显式结构动力学分析。以手机为例，这项新功能可以模拟跌落测试对手机的影响，识别铝制外壳在测试中受损的区域，并根据手机的跌落高度追踪损伤扩散路径。时间显式结构动力学分析在追踪其他高速、瞬态和高度非线性事件（如冲击、挤压、金属成型和弹性波传播）时也同样重要。

COMSOL Multiphysics^® 6.4 版本的显式结构动力学可以实现一类新的仿真，包括手持消费电子产品的跌落测试。

这种显式算法支持多种非线性结构材料，包括：

• 超弹性
• 塑性
• 粘塑性
• 蠕变

时间显式结构动力学分析功能也可与新的接触仿真功能协同使用。在 6.4 版本中，可执行自动设置多个对象间任意接触条件的接触模拟，使得创建包含大量潜在接触作用的模型成为可能。

一个球撞击一座木块塔的过程。在这个模拟场景中，有 56 个可能会以难以预测的方式相互作用的物体。

下一步

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如果您想详细了解新版本软件的所有更新功能，请访问：
COMSOL Multiphysics^® 6.4 版本发布亮点 

     
NVIDIA 和 CUDA 是英伟达公司在美国和/或其他国家的商标和/或注册商标。

据国际食品信息委员会（参考文献 1）报道，由于食品召回事件和有毒成分报道的增多，消费者对食品安全的信心在 2024 年降到了历史最低点。因此，食品和饮料行业的公司比以往任何时候都更需要保证其产品的安全性。食品行业的公司借助建模和仿真能够优化其食品检测、灭菌、加热和包装流程，同时最大限度地减少浪费。阅读这篇博客，了解在 COMSOL 用户年会2024上展示的5个食品行业的仿真案例。

1. 评估细菌致死率

Fortune Business Insights 最近一项研究（参考文献 2）显示，消费者对保质期长且易于储存的罐头食品的需求多年来一直在稳步增加，并且这一趋势预计还将持续。食品灭菌对生产商来说非常重要，因为过程中的任何错误都可能导致有害甚至致命的细菌进入消费者的食品。COMSOL 认证咨询公司 BE CAE & TEST 使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的 App 开发器开发了一款定制仿真 App，用于估计灭菌过程中渗透进罐头食品内部的有效热量，从而评估细菌致死率。该仿真 App 可以帮助食品工程师使用精确的多物理场模型分析罐头食品安全，且无需学习如何使用仿真软件。

在仿真 App 中设置分析时，食品工程师可以轻松地从几种基本形状的容器三维几何中进行选择，或者导入自定义的几何图形；选择豆类、玉米和金枪鱼等各种类型的食品；指定热处理方法。如果没有特定食品热物理性质的参考数据，也可以通过输入其营养成分，包括碳水化合物、蛋白质、脂肪、纤维和灰分（矿物质含量）的百分比来轻松计算。还可以通过该 App 导入实验参考数据，获得随时间变化的蒸馏温度曲线，或通过指定加热坡度、热稳定阶段和最终冷却温度和持续时间来定义温度曲线。

BE CAE & TEST 用于评估罐头食品中细菌致死率的定制仿真 App，其中自定义的几何图形是一个装有金枪鱼的长方形锡罐。

通过在自定义输入框中输入感兴趣的数据，食品工程师可以使用该仿真 App 在瞬态分析过程中计算随时间变化的温度，用于确定热渗透如何影响各种罐头食品中的细菌致死率。有了这些信息的支持，他们就可以优化食品灭菌流程，降低有害细菌进入食品的风险。

了解有关他们的工作和这个仿真 App 的更多信息， 请查阅：分析灭菌过程中细菌致死率的 COMSOL 仿真 App

2. 优化通心粉干燥条件

对于意大利面生产商而言，面食干燥过程需要进行一系列耗时耗力的实验来确定最佳操作参数，从而获得稳定、优质的产品。全球最大的意大利面生产商 Barilla 与意大利 Calabria 大学合作开发了一个模型来预测意大利面干燥过程中的温度、水分分布和结构变化，进而优化干燥过程，确保产品质量并最大限度地减少能源消耗。

烘干意大利面所需的时间差异很大，具体取决于两个参数：

1. 空气温度（ 40^°C ~ 90^°C） 和相对湿度（40% ~ 85%）
2. 气流速度波动

该团队采用双域建模方法开发了一个模型，用于预测在湍流空气条件下干燥过程的温度和水分分布。该研究团队在模拟中使用了一个二维几何图形来表示一根”tortiglione “意大利面。

一根意大利面的基本几何形状。

他们使用有限元法将传热和传质方程耦合起来，并对模拟进行参数化以反映典型的工业条件。该模型考虑了食品在干燥过程中的收缩。总体而言，研究团队的仿真预测结果与干燥过程的实际结果相比，平均相对误差小于 9%。

收缩的影响和模型验证结果。

了解更多有关该团队工作的信息，请查阅： “Comprehensive analysis of the transport phenomena developing inside a pasta drying chamber

3. 分析液体食品包装的降解情况

液体食品包装必须能安全地保存食品，且不会让包装在接触液体时发生降解。这种包装通常由核心支撑材料纸板、保护食品的聚合物保护层和通过感应加热（IH）密封包装的薄铝层构成。世界领先的食品加工和包装解决方案商利乐公司（Tetra Pak）的一个团队对感应加热过程中的包装材料响应进行了建模和仿真，以了解不同属性如何影响包装的材料性能。

利乐纸盒包装的解剖图。

他们建立了自己的模型并模拟了感应加热-密封过程纸板中热量和质量传递的相互作用。该模型以铝层为边界条件，考虑了通过AC/DC磁场的涡流。他们使用多物理场耦合仿真来确定纸板的干燥如何受到内部气体压力的影响，以及纸板不同区域的干燥程度。仿真结果表明，当纸板的初始含水率较高且密度较低时，由于水分引起的降解较少，蒸汽更容易逸出，这一点在纸板最干燥的顶角处可以观察到。仿真结果还表明，模型预测与实验数据非常吻合。这些发现使利乐公司能够进一步优化其聚合物模型，从而减少材料浪费。

使用不同内压时间进行的三次仿真显示了纸板上表面的水分含量。

了解有关他们工作的更多信息，请查阅：模拟感应加热密封过程中纸板的质量和热量传递耦合。

4.改善烤箱气流

为了以最低的成本精确计算烤箱腔内的气流，烤箱制造商 UNOX SpA 正着手寻找最有效的仿真策略。作为这项工作的一部分，该团队使用 COMSOL Multiphysics^® 软件研究并比较了各种流体动力学仿真策略。

该研究包括三个步骤。首先，他们使用一个管道和带冷冻转子的风扇的简化域进行研究，该研究的计算成本较低，并且可以进行实验验证。接着，他们对实际烤箱风扇的复杂几何形状进行了完整模拟，包括冷冻转子和传热研究。该模拟非常精确，但计算量也很大。最后，他们进行了与前一项类似的分析，但在不模拟旋转风扇的情况下施加了速度曲线，从而降低了计算成本。

烤箱内的气流。

研究团队对这三个步骤的结果进行了分析，发现第三种策略能以最少的计算时间获得非常准确的结果，因此是其工作最有效的方法。

了解更多有关他们工作的信息，请查阅：烤箱中的流体动力学仿真：平衡精度与计算效率

5.应对巴氏杀菌的挑战

含水量低的食品可能会因耐热微生物的污染带来安全问题，因此蒸汽或热空气等典型的巴氏杀菌法无法奏效。微波加热可作为一种替代方法，但由于干燥食品的介电特性较低而面临一定挑战。来自工业微波和射频应用领域的全球领先企业 SAIREM 和法国高等教育机构 Oniris Nantes 的一个团队合作开发了仿真模型来研究这一过程的复杂性。

他们模拟了用 915 MHz 单模微波加热器加热石英管中辣椒粉的过程，并分析了管内的电场分布和局部温度。研究团队模拟了几组不同的介电特性值，结果显示，与损耗因子相比，介电常数的不确定性导致了更大的温度变化。他们还实际测量了辣椒的热物理性质，包括密度、热量和热导率，发现二者结果非常一致。要准确预测生产安全食品所需的温度，精确测量含水量低的食品介电特性非常关键。

在工作频率为 915 MHz 的微波腔内加热的石英管模型中的红辣椒粉末，显示了由于介电常数的不确定性导致的温度差异。

了解有关他们工作的更多信息，请查阅：介电常数对 915 MHz 微波腔中低水分食品巴氏杀菌的影响

多物理场仿真保障食品安全

这篇博客，我们了解了食品和饮料行业的工程师如何使用多物理场仿真和仿真App分析和优化与食品安全相关的产品和流程的5个真实案例。当然，这些案例只是这一领域的简单仿真。如需获取更多灵感，请至 COMSOL 官网查阅 食品和饮料行业的应用专题。

参考文献

1. Consumer confidence in food safety hit a record low in 2024. (2024, September 19). International Food Information Council. https://ific.org/media-information/press-releases/food-safety/.
2. The canned food market in the U.S. is projected to grow significantly. (2025, April 14). Fortune Business Insights. https://www.fortunebusinessinsights.com/canned-food-market-103258

我们邀请了 4 位 COMSOL 同事预测仿真技术在未来一年的发展趋势。虽然他们各自发表了自己的独特见解和理由， 但他们的回答中都提到了三大主题：仿真应用更加广泛，通过代理模型和仿真 App 快速获得结果，以及创建更大的模型。阅读这篇博客，了解他们对仿真在 2025 年及未来发展趋势的看法。

预测 1：返璞归真，但计算技术更好

David Kan 将仿真与时尚进行了类比， “ 趋势是一件有趣的事情，它不仅展望未来， 也会回顾过去。就像在时尚界，旧的潮流往往又会变成新的风尚：复古风、古董风…仿真领域的情况也非常类似，我们正在回归根本，并利用现有的技术解决更困难和更具挑战性的问题。我们通过追本溯源以更严谨的方式创建模型，因为我们现在拥有更好的计算技术。”

这是否意味着他认为仿真技术还停留在过去？不，完全不是。David 澄清说，由于现在的计算能力和 GPU 技术的提高，迭代速度远快于从前。“值得注意的是，我们拥有核心计算技术的坚实基础，这是我们实现这一目标的关键。”他补充说。

自 21世纪初以来，计算机硬件和软件都取得了长足的进步。

同样，Andrew Strikwerda 也发表了自己的看法，“我所看到的仿真技术的最大趋势就是仿真的应用领域越来越广。越来越多的人对获得仿真结果感兴趣，并且越来越多的人意识到仿真对他们所从事工作的价值。”

Ruud Börger 也深有同感，“我认为仿真技术在 2025 年将以多种方式发展。我们看到，在半导体行业有大量资金投入，一些主要的世界大国都希望实现供应链本地化。我们还看到，目前可再生能源领域对仿真有着很大的需求。”他还预测，仿真软件本身将变得更加容易使用，这将有助于它的普及。

预测 2：通过代理模型和仿真 App 更快获得结果

不可否认，当今社会期望一切都能快速发生。我们渴望当日送达、高速网络和即时满足，同样的期望自然也会放到仿真软件上。

Andrew 提到了仿真 App 的概念，以及 COMSOL Multiphysics 软件的用户如何创建易于使用的仿真 App，并将其分发给其他人使用。他接着说道 “我们将看到更多由代理模型驱动的仿真 App。这些模型可以在底层数据集上进行训练，并通过神经网络的强大功能获得即时的结果，你可以基于 COMSOL Multiphysics 生成的数据进一步在软件中对神经网络进行训练。”

利用代理模型快速提供即时结果的仿真 App。

Ed Fontes 对此深表赞同，并进一步阐述了自己的观点。“我认为目前最大的趋势是能够建立高精度的代理模型，就像我们在 COMSOL Multiphysics 中引入的基于深度神经网络的代理模型。这些模型的用途非常广泛：你可以使用它们进行系统模拟、不确定性量化和实验设计。这类研究往往需要大量的模拟，而完整的三维模型由于计算量太大不方便使用。因此，你所要做的基本上就是为这些三维模型的运行做一些基本投资，训练出一个代理模型或集总模型，然后将其用于系统仿真工作或 App 中。”他说道。

根据完整的三维模型训练代理模型的一般工作流程。

“如果你考虑使用仿真 App，肯定会希望立即获得答案，它必须几乎是即时交互式的，”Ed 继续说，“有了在完整三维多物理场模型上训练的代理模型，你能在毫秒内获得答案。要知道，在这个时代，每个人都不希望花十分钟等待结果。这就是最大的趋势：即使你处理的是巨大的三维模型，也能立即得到答案。”

在谈到支持仿真 App 方面，Ruud 说：“越来越多的人正在开发仿真 App，这使得没有数值模拟背景的人也能获得仿真带来的好处。我认为，（2025年）将有更多的仿真 App 被投入使用，让人们共享仿真的好处。”

预测 3：更大的模型

Ruud 还预测，人们将建立更大的模型。他分享说：“过去，人们只对单个组件进行仿真，而最近大家开始对多组件或大的部件进行仿真，例如设备制造机，甚至完整的助听器。”

完整的助听器声学模型。

同样，David 也认为，“这将是一个继续提高计算能力、优化算法、增加产能的问题，让工程师能够进行更多的仿真迭代，从而发现更多事实。”他继续兴致勃勃地说：“人们使用 COMSOL 有很多原因，一个是为了理解新的物理学，还有一个是用于生产、研发和设计。随着时间的推移，我们需要进行越来越多的计算，这就是 2025 年将继续发生的最大变革。”

更长远的预测：展望 2025 年之后

我们还请他们展望了 2025 年之后的长远未来。Ruud 和 Ed 都对未来更广泛的人群将会如何使用仿真进行了设想。

“当然，仿真技术的长期前景很难预测，”Ruud 回答道，“从应用方式来看，我确实看到仿真 App 的使用率正在不断增长。就目前来看，我们看到设计工程师和制造工程师都在使用它们，我认为消费者也会越来越多地使用仿真 App。比方说，当你要粉刷房子时，可能会根据经验来决定每五年粉刷一次向阳的墙面。但也许将来当你购买油漆时，还会附带一个仿真 App，它可以让你拍摄房屋的照片，然后在后台进行模拟，查看哪些区域受到不同程度的阳光照射，接着运行化学仿真，预测这种油漆的寿命有多长，并推荐它的使用条件和位置。”

Ruud 接着描述，“这样的例子有很多。例如，当你购买路由器时，家里每个房间的电磁场会是怎样的？你需要多少台？需要把它们放在哪里？对于扬声器的音响效果来说，也同样如此。我认为将来会有很多消费类仿真 App，现在我们还不知道这是否可行，但确实有很大的需求。而且我认为，这种需求在未来会得到满足。”

Ed 认为，仿真技术的长远未来将与 2025 年的发展趋势一致。他表示，“那些新方法以及能够获得即时反馈的新功能将使仿真更加有用。” 他用一篇关于农民使用仿真 App 预测水果和农产品保质期的文章举例说，“十年前，没人会将仿真应用到这类场景。因为对那时来说，计算量太大了，有谁会在超级计算机上运行这些呢？现在，你只需要在服务器上运行，并不需要很大的算力。”

“有了这些新技术和代理模型等，建模和仿真将更多地被扩展应用到消费类应用中，在这些应用中你可以提前了解和预测事情。如果你有验证模型，仿真就能更好地发挥作用。虽然我们不会开发这类消费类应用，但我们的客户会。因此，他们是二级仿真 App 用户，这正是我们二十年前就已经预见到的。”

如果说有一个数字可以统治所有的数学和科学，那就是圆周率。π 这个小小的符号有着悠久的历史，可以追溯到数千年以前。从对圆进行粗略近似的古代文明，到计算万亿位数的现代超级计算机，圆周率一直吸引着数学家和好奇者的想象力。这篇博客，我们将通过COMSOL Multiphysics^®仿真软件提供的功能，以一种有趣和流行的方法来计算圆周率。

历史上对圆周率的近似计算

已知最早的圆周率近似值出现在古代文明中。巴比伦的数学家将圆周率近似为 3，这个数值在当时的建筑工程中是合理的，后来又被精确为 3.125¹。埃及的数学家和印度的学者分别通过比较圆形和八边形的面积² ，和通过巨量的计算³得出了近似的数值。包括阿基米德在内的一些希腊学者利用几何方法将圆周率的近似值精确到 3 个数量级以内⁴，使圆周率的计算取得了重大突破。

 

左图：Domenico Fetti 于 1620 年创作的 Archimedes Thoughtful（又名：Portrait of a Scholar）。图片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。右图：Leonardo Fibonacci 的肖像。图片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

如今我们普遍使用的 3.14 近似值来自中国数学家刘徽，他提出这个近似值的目的是为了实用⁵。圆周率计算的后续发展涉及无穷级数估算和三角关系的利用。数学家们利用微积分推导出了无穷级数，可用于计算高精度的圆周率，其中 Fibonacci 和 Al-Khwarizmi 做出了重要贡献。

这些发展为我们使用的现代方法奠定了基础，包括计算机中使用的算法，即通过先进的数学工具和计算能力计算万亿位数的算法，以极高的精度计算圆周率。一些著名的计算方法包括 Chudnovsky 算法、Gauss–Legendre 算法、Machin 公式，以及 Monte Carlo（蒙特卡罗）方法。

通俗易懂的蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法是一种依靠随机抽样来估计数值结果的计算技术，特别适用于包含大量变量的问题。对于这种情况，可以利用内在的随机性来解决确定性问题。想象这样一个场景，你正在为一场聚会计算需要订购多少个披萨。这里的确定性问题是计算每个人要吃多少片披萨。与其询问每个人要吃多少片披萨，然后求和得出结果（这对一个大型聚会来说可能相当麻烦），不如随机挑选几个朋友，询问他们要吃多少片披萨，然后求平均值来解决问题。这有点像蒙特卡罗方法，即使用随机样本来估计一个值。蒙特卡洛法被广泛用于模拟复杂现象，如流体、统计力学、生物化学、密码学、社会学和心理学。

这种思维可以扩展到现在流行的一种有趣的估计圆周率的方法。这种方法是在一个正方形内随机放置一些点，然后计算有多少点位于正方形内切圆内。圆内的点数与总点数之比可以用来近似计算圆周率。由于内嵌在边长为 2r 的正方形中的圆的面积为 πr^² ，而正方形的面积为 (2r)^² = 4r^² ，因此它们的面积之比为 π/4。也就是说一个点落在圆内的概率是 π/4。因此，如果我们将圆内点数与总点数之比乘以 4，就可以得到 π 的估计值。这是因为随着点数的增加，比率会趋近于实际值 π/4。

估计圆周率的基础。

在 COMSOL Multiphysics^® 中使用蒙特卡罗方法估算圆周率

为了进行这个简单的蒙特卡罗模拟，我们将使用 数学粒子追踪 接口。在 COMSOL Multiphysics^® 软件平台中添加粒子追踪模块就可以使用这个接口。虽然该模块的用户通常不会使用它来随机生成点，但出于可视化和美观的目的，我们决定在这个有趣的示例中使用它。

现在，我们来举例说明。一些粒子被随机释放到一个正方形区域并保持静止。对位于正方形内切圆区域内的粒子数量进行追踪，来获取圆周率的实时估计值。可以看到，随着点数的增加，估计值（蓝色实线）逐渐接近真实值（绿色虚线）。值得注意的是，估计值的精确度并不随点的数量呈线性变化。蒙特卡罗近似的统计误差通常与 1/sqrt(n) 成正比。这意味着，要将误差减少 10 倍，通常需要将点数增加 100 倍。

在随机放置的点数不断增加的情况下，圆周率的实时估计值（蓝色实线）与真实值（绿色虚线）的比较。

接下来，我们使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器创建了一个基于多物理场仿真模型的仿真 App。在这个 App 中，我们可以使用一个滑块改变点的数量，并获得圆周率在不同点数的估计值以及与真实值的误差。该 App 还将随机放置的点可视化，并通过颜色协调来识别位于圆内的点。

使用仿真App根据不同的点数估算圆周率，并获得对结果的可视化解读。

下一步

欢迎从 COMSOL 案例库下载包含 App 设计和相关文件的 MPH 文件：使用蒙特卡洛法估算圆周率值。

• 更多使用蒙特卡罗方法的模型:
  • 演示如何直接对 Ishigami 函数进行蒙特卡罗模拟的示例
  • 使用蒙特卡洛法评估自由分子流动体系中简单涡轮分子泵性能的模型
  • 使用蒙特卡洛法计算通过 S 形弯曲几何结构的传输概率的模型
  • 有关 App 开发器的信息:
    • 阅读博客：App 开发器让更多人受益于多物理场仿真，了解 COMSOL 用户对 App 开发器的使用评价。
    • 阅读用户案例：借助仿真 App 预测水果保质期，了解一款基于多物理场仿真模型开发的智能手机应用程序
    • 阅读用户案例：使用仿真 App 进行远程实验课程教学，了解一位大学教授如何使用仿真 App 进行教学

  参考文献

  1. P. Beckmann, A History of π. New York: St. Martin’s Press, 1971
  2. C. Rossi, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press, 2004
  3. C. Krishna, A profile of Indian culture. Indian Book Company, 1975
  4. D.B. Damini & A. Dhar, How Archimedes showed that pi is approximately equal to 22/7. arXiv e-prints, 2020
  5. Y. Lam & T.S. Ang, Circle measurements in ancient China, Historia Mathematica, 1986
  //www.denkrieger.com/blogs/estimating-pi-using-the-monte-carlo-method-and-particle-tracing/feed/ 0 //www.denkrieger.com/blogs/new-course-on-building-simulation-apps-with-the-application-builder //www.denkrieger.com/blogs/new-course-on-building-simulation-apps-with-the-application-builder#respond Amelia Halliday Wed, 01 May 2024 07:04:11 +0000 仿真 App 通用 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=365251 对构建仿真App 感兴趣吗?那么我们新的8部分学习中心课程就是为你准备的!阅读这篇博客，浏览课程概述。

  COMSOL 学习中心新增了一个由 8 部分组成的新课程，概述了如何基于仿真模型构建自定义仿真 App。该课程简要介绍了 COMSOL Multiphysics^® 软件中的一个核心功能：App 开发器。在课程的指导下，您无需任何编程经验，就可以自主学习如何构建和定制您的第一个仿真 App。完成课程学习后，您可以立即开始为自己的模型开发简单的仿真 App。

  以下内容为课程概述，阅读完后请点击文末按钮，进入COMSOL学习中心开始学习课程。

  工作区和工作流程

  App 开发器提供了一个直观、易用的交互式工具，允许您创建自定义仿真 App，无论定制的 App 级别是简单还是复杂。课程的第 1 部分首先介绍了一个快速分步演示视频，演示了如何使用 App 开发器和COMSOL软件的附加产品 COMSOL Compiler™ ，构建、测试仿真 App 和编译部署仿真 App。第 2 部分展示了软件中的多个内置布局模板 ，并介绍如何使用它们快速构建 App。接着，展示了在 App 开发器中编辑仿真 App 的多种方法。

  各部分课程亮点

  • 增加环境反射，使电机模型栩栩如生。
  • 结合不同的绘图类型，在搅拌器结果图中创造动感。
  • 引入逼真材质，展示扬声器驱动器的内部机制。

  结构和设计

  在整个课程中，您将继续基于课程第 2 部开发的仿真 App，对 App 的设计和结构进行修改。当用户在编辑框中输入无效数据时，您将学习如何自定义一个错误消息来提示用户。课程还将展示如何允许用户访问模型开发器的多个设置。例如，课程将演示如何让用户访问模型几何的不同级别的网格密度。

  课程其他亮点

  自定义仿真 App

  此外，课程中还将探讨如何通过命令序列和方法扩展和定制仿真 App 功能，为您提供无级别限制的自定义功能。您将亲自体验如何使用 App 开发器中的这些工具实现自定义 App 操作，并了解如何在没有任何编程知识的情况下实现这些操作。我们还将概述应用程序树节点中包含的设置和功能，重点介绍在使用 App 开发器时可获得的大量帮助资源和文档。

   

  课程的第 7部分讲解了如何逐步设计一个仿真 App 的开发和构建。用户可以通过选择使用低保真或高保真模型，分别对应几何体选择更粗或更精细的网格。当模型完成计算时，系统会有提示声音。

  动手尝试

  单击下面的按钮开始学习课程，包括 MPH 文件和视频，并开始使用仿真 App 在您的组织中高效、灵活的开展工作。

  开始学习课程

  此外，课程还将增加新的部分，详细介绍使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器创建自定义仿真 App 的更多方法，敬请关注。

  扩展阅读

  欢迎阅读以下用户案例,了解各个领域中构建和应用的真实仿真 App 案例：

  • 借助仿真 App 预测水果保质期
  • 多物理场仿真进驻施工现场
  • 仿真 App 助力增材制造工厂的精准调控
  //www.denkrieger.com/blogs/new-course-on-building-simulation-apps-with-the-application-builder/feed/ 0 //www.denkrieger.com/blogs/design-and-customization-of-composite-materials-using-a-simulation-app //www.denkrieger.com/blogs/design-and-customization-of-composite-materials-using-a-simulation-app#respond Amit Patil Fri, 26 Apr 2024 04:00:44 +0000 仿真 App 结构 & 声学 通用 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=364631 均质化可用于多用途材料的设计。在这篇博客中，我们介绍了一个仿真App，可用于复合材料的设计和材料均质化。

  复合材料广泛应用于工业领域。与传统的整体材料相比，复合材料因其组分为定制的而具有特殊的材料属性，故用途广泛且适用于许多不同的行业，如航空航天工程和生物医学工程等领域。复合材料的材料属性需要使用均质化技术进行数值计算，该技术也可用于定制和设计多功能材料。这篇博客，我们将介绍一个使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器开发的仿真 App，该应用程序可用于复合材料设计和材料均质化。

  这篇博客介绍了一个材料均质化仿真 App。如果您想了解关于材料均质化的技术介绍，请查看 COMSOL 学习中心的文章：材料属性的均质化。

  均质化简介

  在开始讨论该均质仿真 App 之前，我们先来复习均质化的 4 个重要仿真步骤:

  1. 创建重复单元格（RUC）的几何形状
  2. 为组分指定材料属性
  3. 应用周期性边界条件
  4. 读取均质材料属性

  现在，我们来仔细看看其中的每一个步骤。

  步骤 1：重复单元格

  第一步是使用 COMSOL Multiphysics^® 的模型开发器生成重复单元格的几何图形。您可以导入几何图形、构建几何图形或使用 COMSOL Multiphysics^® 零件库中的重复单元格几何图形。

  
  零件库中的重复单元格几何图形示例。

  下图所示为 COMSOL 中用于构建不同重复单元格的几何零件。
  

  步骤 2：组份的材料属性

  您可以使用 COMSOL Multiphysics^® 模型开发器中的 材料 节点分配不同组份的 材料 属性。

  步骤 3：周期性边界条件

  固体力学 接口中的 单元周期性 功能内置了周期性边界条件，用于计算均质弹性张量、柔度张量、热膨胀系数和吸湿膨胀系数。在 边界条件 设置中，有三个选项可用于计算均质化属性：

  1. 自由膨胀 : 给出了均质热膨胀系数或吸湿膨胀系数
  2. 平均应变 : 给出了均质弹性张量
  3. 平均应力 : 给出了均质柔度张量

  周期性条件总是被应用在一对边界上，其中一组边界为源边界，另一组为目标边界。周期性位移边界条件可写成

  \mathbf{u}_\textrm{dst} = \mathbf{u}_\textrm{src}+\mathbf{\epsilon}_\textrm{avg} \mathbf{r},

  其中， 和 分别是目标和源边界上某点的位移向量。 是宏观应变或平均应变， 是源和目标之间的位置向量。周期性牵引力条件与周期性位移条件相同，但是以牵引力的形式书写。

  
  单元周期性特征的 设置窗口

  利用固体传热 接口中的周期性条件 特征对温度应用周期性边界条件，可以建立均质导热系数。均质密度和热容量可以根据混合率解析计算。

  步骤 4：均质材料属性

  计算均质密度和热容量时，不需要周期性边界条件。但是，计算均质弹性张量、热膨胀系数和热导率时需要这些条件。计算均质特性的公式如下：

  均质密度 ():

  \rho_\textrm{h} = \frac{\sum_{i} \int_\textrm{v} \rho_{i} dV}{V},

   

  式中， 是第 种组份密度， 是总体积。

  均质热容量 ():

  C_\textrm{h} = \frac{\sum_{i} \int_\textrm{v} \rho_{i} C_i dV}{\sum_{i} \int_\textrm{v} \rho_{i} dV},

   

  式中， 是第 组份的热容量。

  要计算均质弹性张量 ，需要运行平均应变张量中只有一个分量不为零的6种不同的载荷工况。每个载荷工况下的平均牵引向量用于构建均质弹性张量。

  为了计算均质热膨胀系数 ,重复单元格在单位温度上升时发生自由膨胀。 由以下公式计算：

  \alpha_\textrm{h} = \frac{\epsilon_\textrm{avg}}{T_\textrm{diff}},

   

  式中， 是平均应变， 是温度变化。

  要计算均质导热系数 ,需要运行 3 种不同的载荷工况，其中每个笛卡尔方向的平均温度梯度都不为零。每个载荷工况下的平均热通量用于构建均质导热系数。

  均质化仿真 App

  现在，让我们来看看周期性微结构的均质材料属性仿真App 。该应用程序的用户界面有 6 个主要单元：功能区以及几何、材料、信息、图形 和 结果 窗口。下面的视频展示了该仿真 App 启动时的情况。
  

   

  视频展示了仿真 App 的用户界面。

  下面，我们将介绍这个仿真 App 用户界面中 6 个要素的更多信息。

  功能区

  功能区有两种不同的选项卡：主页 和 基本单元。主页 选项卡包括以下按钮：

  • 重置：重置几何体、材料或两者均重置
  • 网格： 以 普通、精细 或 更精细 的离散方式对几何体进行网格划分
  • 计算： 计算解
  • 导出材料： 将均质材料导出到 XML 文件或 MPH 文件中。(此按钮在解可用前不会激活。）
  • 重置窗口布局：重置用户界面窗口
  • 报告： 自动生成均质仿真报告。(此按钮在解可用之前不会激活。）
  • 帮助： 链接到帮助文档

  
  功能区中的 主页选项卡。在这个示例中， 导出材料和 报告按钮还不可用。

  基本单元格 选项卡包含 10 种不同基本单元的几何图形。您可以点击任何一个基本单元的图标来使用它。

  
  功能区中的 基本单元选项卡。

  几何窗口

  几何 窗口显示了基本单元的可更改几何参数以及几何草图，还包括 构建几何 按钮。

  材料窗口

  通过材料 窗口可以为单元格的组成成分选择不同的材料，还可以选择要计算哪种均质属性。COMSOL Multiphysics^® 的 材料库 中有十种不同的内置材料（见下图列表）。此外，还有一个按钮用于创建和编辑用户定义的材料。需要注意的是，它无法计算空气和水的均质力学属性。

  该仿真 App 提供以下均质化属性:

  • 密度
  • 弹性矩阵
  • 热膨胀系数
  • 热容量
  • 导热性

  
  仿真 App 的 材料 窗口。

  信息窗口

  信息 窗口显示预计的求解时间和预计的内存使用量。该窗口还显示解、几何体、网格和材料的当前状态。App 中的任何更改都将在此自动更新。

  图形窗口

  App 中的图形 窗口与 COMSOL Multiphysics^® 用户界面中的图形 窗口一致。除了包含标准功能外，该窗口还包含一个用于隐藏矩阵的按钮，以便用户检查增强组份。

  结果窗口

  结果 窗口显示了计算出的均质化属性。

  
  结果窗口。

  工作流程

  使用该仿真 App 的详细流程可以归纳为以下几个步骤:

  1. 选择一个合适的基本单元。
  2. 选择合适的几何尺寸。构建几何结构。
  3. 为复合材料的所有组份分配正确的材料。
  4. 选择要计算的不同类型的均质化属性。
  5. 选择适当的网格离散化。
  6. 检查信息 窗口中的几何、网格和材料是否已更新。
  7. 计算解。

  导出和导入均质化材料属性

  该仿真 App 的主要目的是计算复合材料的均质属性，以用于复合材料结构的宏观力学分析。为此，需要导出仿真 App 中计算出的均质属性，然后将其导入 COMSOL Multiphysics^® 仿真中。

  要在计算完成后导出结果，只需展开功能区中的导出材料 菜单，然后根据所需的 文件格式选择导出为 MPH 文件 或 导出为 XML 文件 即可。(MPH 输出格式可导入任何 COMSOL Multiphysics^®版本；XML 输出格式可导入 COMSOL Multiphysics^® 3.5a 及以后的版本）。在弹出的文件浏览器中，选择目标目录和文件名，然后单击保存。

  在 COMSOL Multiphysics^® 中，按照以下步骤导入自定义材料。您需要打开一个模型来导入材料（可以是新模型，也可以是现有模型）。(在功能区中，首先选择 材料 选项卡，然后单击 浏览材料。
  

  在打开的 材料浏览器 窗口中，单击 导入材料库 按钮,启动一个文件浏览器，您可以在其中选择之前保存的 MPH 文件或 XML 文件。之后，自定义材料就会出现在 材料浏览器 的列表中。

  

  

  结语

  本文讨论的仿真 App 可用于计算各种周期性微结构的均质材料属性，并将它们导入 COMSOL Multiphysics^® 软件中。对于那些希望利用均质属性而不关注复杂仿真原理的人来说，该仿真 App 非常有用。

  如需了解有关均质化技术的通用指南，请单击下面的按钮进入 COMSOL 学习中心学习相应的课程。

  学习课程

  扩展学习

  • 尝试自己动手使用仿真 App: 周期性微结构的均质材料属性
  • 有关复合材料仿真的更深入的指导，请参阅博客:复合材料模块简介
  //www.denkrieger.com/blogs/design-and-customization-of-composite-materials-using-a-simulation-app/feed/ 0 //www.denkrieger.com/blogs/building-a-metalens-design-app-with-comsol-multiphysics //www.denkrieger.com/blogs/building-a-metalens-design-app-with-comsol-multiphysics#comments Ville Paasonen Thu, 21 Sep 2023 08:39:19 +0000 仿真 App 优化 波动光学 电磁学 通用 优化模块 波动光学模块 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=348601 这篇博客，我们将探讨如何构建一个用于反射超透镜设计的仿真App，它可以很容易地编译成一个独立的应用程序。

  这篇博客，我们将为您介绍如何构建一个简单的教学仿真 App，用于设计金属基底上由不同直径的玻璃纳米柱阵列组成的二维反射超透镜。这个使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的 App 开发器构建的仿真应用程序，首先将根据给定波长找到最佳超表面参数，然后计算纳米柱直径与相对相移之间的关系。最后，在此基础上，自动构建超透镜的几何结构，并对最终确定的几何结构进行频域研究，计算焦点周围的电场。

  什么是超透镜？

  近年来，超材料已经成为涉及波动方程求解的光子学和声学等领域的热门研究课题，这是一种具有人工结构（有时被称为“超原子”）的复合材料，通常小于波长。因此，超材料与电磁场的相互作用就像均质材料一样，具有不同于组成材料的材料特性，例如，微波炉门上的光栅——一块充满空气小孔的金属板，就是一个相当常见的例子，这种超材料具有实心金属板和空气都不具有的特性：对短波长可见光基本上透明，而对长波长的微波则完全屏蔽。

  除了具有已知“真实”材料所不具备的潜在定性特性外，超材料的主要优势还在于可以通过改变结构的几何参数，对其特性进行定量调制——通常有很大的可调范围。许多为半导体制造而开发的技术，如光刻技术，也适用于制造超材料。由这种超材料制成的光学元件在显微设备和虚拟现实技术等应用中备受青睐。

  
  微波炉门上光栅的特写图。

  本文我们将重点介绍反射超透镜：这是一种由金属基板上的玻璃纳米柱组成的平面阵列，其工作原理类似凹面镜。虽然听起来“元镜”这个名字更合适它，但重要的是要明白这种设备的工作原理不仅仅是传统的反射，还有一种会发生与坐标相关的相移的反常反射。与透镜和反射镜等传统光学器件相比，超透镜具有以下优点：

  • 超透镜的厚度仅为几分之一微米，实现了光学器件的微型化
  • 超表面可以被设计成不仅能聚焦光，也能将多个传统光学器件整合到一个超薄的元器件中
  • 超材料在特定波长范围内具有更好的性能，例如紫外线（UV）

  具体来说，我们将考虑一个放置在平坦的金属衬底上，由二氧化硅纳米柱组成的二维超透镜，如下图所示，纳米柱的高度 和周期 均匀，但直径 变化。为简单起见，我们只考虑法线入射（沿负 y 方向传输）的平面波，在面外方向偏振。

  

  从数学角度讲，凹面镜是一种能在平面波入射时局部改变波相位，使其成为汇聚于一点（即焦点）的球面波的装置。直观上，我们可以想象，随着纳米柱厚度的增加，由于柱的折射率比周围空气的折射率高，反射波的相位会发生较大的偏移，但如果我们想建造一个正常工作的超透镜，就需要获得直径与相对相位偏移 之间的精确定量关系，这将在下一节中介绍。本文采用的方法基于参考文献 1。

  基本单元模拟

  获得 的一个有效方法是计算均匀周期晶格引起的相移，所有纳米柱的直径都是，在直径范围内扫描。(您可以在此了解有关周期结构建模的更多信息。）这样我们就可以使用周期性边界条件，从而只需要模拟晶格的基本单元。使用周期性端口边界条件激励入射波意味着我们可以通过复值 S 参数方便地获取波的相移。

  要建立一个正常工作的超透镜，我们需要能够将波的局部相位在 和 弧度之间任意移动。因此，我们首先需要找到 H， 的值，以及最小直径 和最大直径 的值，使得 ，同时尽可能保持较高的反射率。这是一个频域优化问题。优化步骤只需要扫描端点的结果，因此我们可以省去中间步骤，使计算速度更快。我们知道，柱越窄，相位偏移的范围就越大， 就尽可能小的受到制造工艺的限制，因此我们不把作为控制参数。相反， 是一个固定参数，对于大多数波长，其值为 。（对于在 左右及以下的波长，应使用 来代替，以获得良好的结果）我们只对相对相位感兴趣，因此目标函数应该如下所示：

  \left| \mathrm{arg} \left[ \frac{S_{11}
  ( D_\mathrm{max} )}
  {S_{11}( D_\mathrm{min} )} \right]-2\pi\right|。

   

  不过，这个表达式还不能在用户接口中使用，因为软件使用符号约定 来表示沿正 y 方向传播的平面波，并定义了从复值 到 的相位。当使用 COMSOL^® 的符号约定，并加入所需的运算符来引用 和 的解后，我们最终得到了下图所示的表达式。我们还在 目标函数 中添加了一个涉及从这两个解中获得的反射率的项，有助于避免共振模式并确保高效。如果您想了解有关优化的更多信息，请查看有关电磁学中形状优化的博客或COMSOL Multiphysics^® 学习中心的课程：在 COMSOL Multiphysics® 中执行优化。

  
  
  用于优化研究的设置（研究 1）。优化步骤使用端点处的扫描结果，因此我们需要将 参数扫描步骤放在 优化步骤之后（如模型开发器树所示），并使用 withsol() 和 setind() 算子实现所需的目标函数。我们还在目标函数 设置中添加了表示反射率的第二个表达式。

  剩下要做的就是用优化后的参数值进行全扫描，以获得 和 之间中间值的相移。结果如下图所示：在整个直径范围内，具有较高反射率的相移均匀、单调递增。接下来，就可以根据这些结果制作超透镜了。

  
  波长为 的基本单元扫描结果图，显示相移从 到 单调增加，同时在整个纳米柱直径范围内保持高反射率。

  超透镜仿真

  在绘制超透镜几何图形之前，我们需要将相移函数 转化为纳米柱直径分布函数 ，其中 是与光轴的距离。我们知道，理想的聚焦镜会对正常入射的平面波产生以下相移：

  \Delta \phi = – \frac{2\pi}{\lambda_0}\sqrt{f^2+x^2}+\frac{2pi}{\lambda_0}\sqrt{f^2+R^2}。

   

  其中, 和 分别为超透镜的焦距和半径。为方便起见，我们选择将 定义为。 剩下的就是少量的数值处理了：假设相移是单调的，我们可以反转 得到 ，加上周期性，得到 ，并与 形成复合函数，得到 。下图是一个示例。

  
  纳米柱直径分布 与焦距为 、半径为 和工作波长为 的超透镜光轴距离的函数关系。

  下一个挑战是将这个函数转换为实际几何体。如果我们在全局定义 节点中定义了上述函数，就可以将纳米柱定义为一个几何部件，并将支柱位置 作为输入，同时将宽度设置为 。然后，我们只需将该部件的 （此处， 为超透镜半径， 为超表面周期）添加到几何序列中即可。更妙的是，我们可以使用App开发器编写一个方法来完成这项工作，这将在下一节讨论。

  关于仿真App的使用

  首先，我们来看看如何自动生成超透镜几何图形。实际上，在 App 开发器中，我们可以使用 model.component().geom().create(, "PartInstance")方法创建一个几何零件实例，然后使用 model.component(<comp>).geom(<geom>).feature(<name>).setEntry
("inputexpr", <expr-name>, <val>) 方法设置输入参数。将这些命令放在 for 循环中就可以得到整个超表面。 需要注意的是，这种方法适用于小型超透镜
  () 和教学目的。对于大型超透镜，必须使用分层子模型法，即使用 COMSOL^® 模型来计算不同几何参数下的基本单元响应，并使用 Java方法或 LiveLink™ for MATLAB^® 将结果用作大型程序的一部分。现在我们已经掌握了编写方法，可以创建一个按钮，使用 model.result().numerical("gev1").getReal() 获取初始优化的输出，并使用 model.param().set() 将模型参数设置为这些值。此外，我们还使用了 setRibbonItemEnabled() 在前一步完成后启用下一步的按钮。

  App开发器不仅可以实现设计过程中繁琐步骤的自动化，还可以实现更多功能。例如，将模型打包成一个仿真 App 意味着我们可以创建一个自定义用户界面（UI），这非常有益，因为用户可以一目了然地监控整个设计过程。下图显示了App 的用户界面。下一步，您当然可以使用 COMSOL Compiler™ 创建一个独立的应用程序。

  
  超透镜仿真 App 的用户界面设计使设计过程的各个方面都一目了然。

   

  超透镜仿真 App 运行时的屏幕录像。

  结束语

  在这篇博客中，我们总结了如何构建一个用于设计具有指定尺寸、焦距和工作波长的二维反射超透镜的仿真 App。我们看到，使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器通过用户界面简化相对复杂的设计过程，用户能够方便地监控从开始到结束的设计过程。

  不过，在这篇文章中我们仅仅触及了超透镜设计的表面。进一步的扩展研究还包括考虑三维透镜，透镜性能分析（如参考文献1中分析的聚焦尺寸和色散特性），以及用多物理场模拟热配置超透镜（如参考文献2）。我们在今后的博客中将探讨其中一些更高级的主题。

  下一步工作

  点击下面的按钮，进入案例下载页面，亲自动手尝试运行超透镜仿真 App：

  下载仿真 App

  参考文献

  1. H. Guo et al., “Design of Polarization-Independent Reflective Metalens in the Ultraviolet–Visible Wavelength Region,” Nanomaterials, vol. 11, no. 5, 2021; https://doi.org/10.3390/nano11051243.
  2. A. Archetti et al., “Thermally reconfigurable metalens,” Nanophotonics, vol. 11, no. 17, pp. 3969–3980, 2022; https://doi.org/10.1515/nanoph-2022-0147.

  Oracle 和 Java 是 Oracle 和/或其附属公司的注册商标。MATLAB 是 The MathWorks 公司的注册商标。

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