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计算空间和时间积分

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在 COMSOL Multiphysics^®中，您能够通过多种不同的方法计算空间和时间积分，既可以单纯用于结果计算，也可以为您的模型引入反馈，本文将介绍这些计算方法。请阅读本文，学习如何计算空间或时间上的积分，以及如何在求解模型过程中使用这些积分的结果。

空间积分

最常规的计算积分的方法是在模型树的 定义 分支下添加一个积分组件耦合。这个特征会添加一个可以被当作函数在模型中任意调用的算子名称（intop1）。该算子可以定义很多不同的变量，如下面的截图所示。需要注意的是，（对于三维模型）域上的积分1相当于计算该域的体积，边界上的积分1相当于计算表面积，沿边的积分1相当于计算长度。如果在计算求解后才添加组件耦合，那么必须在算子名称被用于结果计算前，点击研究节点中的更新解按钮。

积分 组件耦合（左）和通过调用 intop1 算子定义的变量集（右）。

如果您只想对一个量进行积分，使用探针可能比使用组件耦合更方便，二者的设置略有不同，探针的结果会自动绘制。每个探针定义一个唯一的变量名，可在模型的其他操作中任意使用。对于瞬态模型，软件默认将对求解器采用的所有时间步长绘制探针。

如果您只是想计算积分，而不在模型中使用积分的结果，那么请在派生值节点下添加积分特征，如下图所示。

通过结果节点下的派生值节点进行积分。

时间积分

对于大多数派生值节点，您都可以在设置窗口中找到控制积分设置的选项。对于瞬态解，选择积分特征可以对结果在时间上进行积分；对于参数解，选择积分特征可以对参数进行积分。此外，选择求和特征可以对每个时间步长或参数值的结果求和。

A screenshot of the Model Builder; Point Evaluation Settings window with the Data, Selection, Expression, Summation, and Data Series Operation sections expanded; and the Graphics window with a gray circle that has 4 blue points.
大多数派生值 节点的设置 窗口中都有积分和求和选项，可通过方法 下拉菜单进行选择。

您还可以在任何结果求值中使用timeint算子。例如，可以使用timeint(1,2,T)来计算表达式T在1-2s 内的积分。 还可以在timeint算子中调用积分算子。有关timeint算子的更多介绍，请参阅COMSOL Multiphysics软件的Reference Manual中的Built-in Operators章节。

另一方面，如果您想在模型中使用时间积分的结果，可以添加域、边界、边、点或全局常微分方程和微分代数方程接口。例如，假设您通过全局变量定义了归一化高斯函数：

G = exp(-((t-0.5[s])/(0.1[s]*sqrt(2)))^2)/(0.1[s]*sqrt(2*pi))

如果您想获取该变量的时间积分，可以通过全局常微分方程和微分代数方程接口实现，如下图所示。定义一个存储时间积分的变量名称TimeInt，将方程定义为d(TimeInt,t)-G，即TimeInt的时间导数等于G. 这个方程是从初始值TimeInt=0开始求解的，因此它计算的是表达式G从t=0到当前时间的积分。请注意，您可以对空间积分的结果进行时间积分，就比如表达式G可以用一个积分算子代替。

A screenshot of the Global Equation Settings window, with the Global Equations and Units sections expanded. 通过全局方程计算时间积分。

拓展学习

有关在 COMSOL Multiphysics^®中进行空间和时间积分的更多信息，请参阅 COMSOL 博客空间与时间的积分方法概述。这篇博客用一个二维传热问题作为示例进行了说明，并在文末提供了几个计算时间和空间积分的案例模型链接，所有这些案例都可在 COMSOL 案例库中找到。