低温等离子体中的电子输运在很大程度上取决于电子能量分布函数（EEDF），该函数通常被近似为麦克斯韦分布，但实际上往往处于非平衡状态。将非平衡 电子能量分布函数 行为纳入空间相关模型通常需要预先计算多维查找表，或在模拟过程中对玻尔兹曼方程进行自洽求解。 本文介绍了一种更高效的替代方法：一种基于玻尔兹曼方程解训练的深度神经网络代理模型。这使得在流体近似等离子体模拟中能够准确耦合动力学效应，同时显著降低计算成本。
将动力学数据嵌入空间相关的流体动力学模型的方法
在冷等离子体中，电子传输特性和源项对电子能量分布函数高度敏感。为简单计算，通常会假设采用麦克斯韦分布或其他解析形式的电子能量分布函数。然而，在许多实际情况下，电子远离平衡状态，因此需要更精确地表示电子能量分布函数，以获得准确的模拟结果。
在低温等离子体中计算电子能量分布函数的一种常见且有效的方法是使用两项近似法求解玻尔兹曼方程。 这在博客玻尔兹曼方程，两项近似接口中已有介绍。然后，这些计算出的 电子能量分布函数可以导入到空间相关模型中。这种方法既高效又便捷，但也存在一个主要的局限性：由此得出的 EEDF 仅是电子平均能量的函数。 因此，无法捕捉到气体成分（摩尔分数）和电离度变化产生的差异。
等离子体模块是 COMSOL Multiphysics®的一个附加产品模块，能够求解与空间和时间分辨率等离子体流体模型完全耦合的玻尔兹曼方程（采用两项近似）。正如在GEC ICP 反应器模型中所展示的那样，这种方法可自动考虑气体成分（包括激发态）、电离度和其他因素的变化。然而，这种全耦合方法也会带来更高的计算成本。
第三种方法是开发一种深度神经网络（DNN）代理模型，该模型通过使用两项近似法求解的玻尔兹曼方程生成的数据进行训练， DNN 训练完成后，可直接集成到与空间相关的等离子体模拟中，以接近玻尔兹曼方程的精度重现动力学效应。这种混合方法通过将动力学建模的精确性与流体模型的计算效率相结合，在精确性和性能之间取得了有效平衡。
为代理模型创建数据
第一步是建立一个与空间相关的等离子体模型，该模型可以通过解析EEDF很好地求解。在这个例子中，我们使用一个氩气的电感耦合等离子体反应器模型，在同一个 MPH 文件中，添加一个 0D 组件以及玻尔兹曼方程，两项近似接口，该接口可生成构建代理模型所需的数据。
玻尔兹曼方程，两项近似接口的设置界面。
在玻尔兹曼方程，两项近似接口和等离子体接口中定义的电子碰撞反应保持一致性是很重要，但不一定需要完全相同。例如，求解玻尔兹曼方程时可能会用到一组详细的电子碰撞反应，而等离子体接口则可能包含一个简化的单一反应表示总电离过程。在本示例中，我们采用反应之间一对一的匹配方式。
接下来，添加一项新研究，计算训练代理模型所需的数据.。在这项研究中，包含一个代理模型训练节点。通过该节点可以选择训练设置并定义输出量（或关注量)。实际训练在深度神经网络节点中进行，该节点在运行研究后会自动生成。
对于代理模型训练节点，重要的是：
- 将代理模型类型设定为深度神经网络
- 设置深度神经网络的层数和激活函数
- 定义关注量，并对所有量使用配置研究相关输入
- 设置输入参数和采样策略
关注量与后续在空间相关等离子体模型中使用的代理模型输出量相对应。在本示例中，这些量包括所有电子碰撞反应速率常数、约化电子迁移率、约化有效碰撞频率以及场系数的函数。请注意，约化电子迁移率指的是用于面内电子传输的直流迁移率，而有效碰撞频率和场系数则有助于计算等离子体的电导率（详见参考文献 1) 。
输入参数的选择必须根据具体情况进行调整。在本例中，除了始终需要的电子平均能量参数化之外，我们还对电离度（Beta，定义为电子密度与气体密度的比值）和氩激发态的摩尔分数（xArs）进行了采样。为了有效捕捉这些输入对输出的影响，每个数量级只需几个采样点。我们通过对数域均匀采样来实现这一点。
代理模型训练节点的设置，显示了深度神经网络的层数和关注量。
代理模型训练节点的设置窗口截图，显示了输入参数部分。
训练深度神经网络
使用代理模型训练节点运行研究后，在全局定义下会自动创建一个深度神经网络节点。这就是 DNN 实际训练的地方。 在开始训练之前，需要做一些重要的调整。
在缩放选项下启用对数缩放对许多关注量来说至关重要，因为这些关注量通常会随着输入呈现近似指数级的增长。对这些输出应用对数缩放可有效平衡多个数量级的误差，提高训练性能。训练周期数选择 10,000 到 30,000 之间，以确保足够的训练量。
一旦配置好这些设置后，就可以单击训练模型开始训练神经网络。
深度神经网络节点设置界面的截图，显示了数据列的设置。
评估关注量并可视化拟合质量
要可视化神经网络的输出，只需点击设置窗口中的创建绘图按钮即可。在本例中，我们希望生成以平均电子能量为函数的一维绘图。为此，请按照下图所示修改绘图参数部分的设置，然后单击创建绘图。该操作将生成电子碰撞反应 4 的速率常数曲线，其中氩激发态摩尔分数和电离度均设为 10-6。软件会自动创建一个一维栅格数据集，可用于进一步评估和绘制深度神经网络函数。
深度神经网络节点设置界面的截图，显示了绘图参数的设置。
每个关注量都可以使用由代理模型训练节点中定义的函数名构成的函数名进行计算，并以 DNN 名称作为前缀。例如，电子碰撞反应 4 的速率常数可以通过以下方法进行计算：
dnn1_k_4( Argument_1 , Argument_2, Argument_3)
其中，Argument_1 , Argument_2 和 Argument_3分别为氩激发态摩尔分数的对数值（log10）、 电离度的对数值（log10）和平均电子能量。
下图显示了通过玻尔兹曼方程，两项近似接口计算的数据与经过训练的神经网络对两个关注量（电子迁移率和电离速率系数）的相应评估结果的对比。这些结果是xAsr = Beta = 10⁻⁶、 10⁻⁴和 10⁻³三种工况下的平均电子能量的函数。作为参照，图中还包含了采用麦克斯韦 EEDF 假设计算得出的值。总体而言，神经网络在整个参数空间内都能很好地拟合计算数据。
如图所示，使用玻尔兹曼方程，两项近似接口计算出的量与使用麦克斯韦分布计算出的量存在显著差异，尤其是在大多数冷等离子体反应器运行的低能量区域。这不仅突显了精确计算 EEDF 的重要性，还说明了输运特性和反应速率在很多程度上与氩激发态摩尔分数和电离度的显著相关性。
在氩激发态摩尔分数和电离度分别为 10⁻⁶、10⁻⁴和 10⁻³时，基态的电离速率系数与平均电子能量的函数关系。实线（蓝色、红色和绿色）代表代理模型的输出结果。符号（空心圆）代表使用玻尔兹曼方程，两项近似节点计算得到的数据。
在氩激发态摩尔分数和电离度分别为 10⁻⁶、 10⁻⁴和 10⁻³时， 约化电子迁移率与平均电子能量的关系。实线（蓝色、红色和绿色）代表代理模型的输出结果，符号（空心圆）代表使用玻尔兹曼方程，两项近似节点计算得到的数据。
在空间相关模型中使用深度神经网络
要在空间相关的等离子体模型中使用深度神经网络，只需将其作为函数调用即可，就像使用任何用户定义的表达式一样，如下图所示。在本示例中，我们替换了所有电子碰撞速率常数、约化电子迁移率、有效碰撞频率和场系数。一个重要的注意事项是，在训练数据范围外的外推通常是不可靠的，不值得信赖。为防止出现这种情况，我们在参数扫描范围的边界设置硬限制，表达式如下:
betaSpace = log10(if(betaVar> Lmax, Lmax, if(betaVar < Lmin, Lmin, betaVar)))
xArsSpace = log10(if(plas.x_wArs > Lmax, Lmax, if(plas.x_wArs < Lmin, Lmin, plas.x_wArs)))
whereLmin = 1e-6 and Lmax = 1e-3.
深度神经网络的输出，用于设定基态电离速率常数。该速率常数是氩激发态摩尔分数、电离度和平均电子能量的函数。
将深度神经网络代理模型应用于电感耦合等离子体反应器
在这个特定案例中，模型结果之间的差异虽然可察觉但相对细微。这是因为，在等离子体主体区域中，高电离度往往会使电子能量分布函数趋向于麦克斯韦分布形状，如下图所示。最显著的差异出现在电子温度和氩激发态数密度上。
使用麦克斯韦电子能量分布函数计算的电子温度（下图）和使用代理模型计算的电子温度（上图）。
使用麦克斯韦电子能量分布函数（下图）和代理模型（上图）计算的氩激发态数密度。
采用麦克斯韦电子能量分布函数时，电离过程更容易维持，从而使放电保持在较低的电子温度下。 然而，在电离度较低的运行条件下，麦克斯韦假设很可能导致结果与实际情况出现较大偏差。在这种情况下，使用更精确的电子能量分布函数对于可靠的建模而言就变得至关重要。
使用 DNN 和瞬态求解器的 ICP 模型，其计算时间约为 10 分钟。相比之下，求解两项近似玻尔兹曼方程与等离子体流体模型完全耦合大约需要一个小时。这凸显了将DNN融入等离子体流体模型以引入动力学效应的显著优势。即使将创建数据和训练 DNN 所需的时间考虑在内，其优势依然十分明显。这是因为 DNN 可在各种应用中重复使用，从而有效地分摊了时间成本。在本文所介绍的模型中，我们通过使用由解析电子能量分布函数模型结果初始化的稳态求解器，从而进一步降低了计算成本。这种方法对于稳态求解非常高效，计算时间仅需几秒钟。
下一步
若您希望尝试使用本文中介绍的示例模型，请单击下面的按钮进入案例下载页面，下载该模型的 MPH 文件。
参考文献
- G.J.M. Hagelaar and L.C. Pitchford, “Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models,”Plasma Sources Science and Technology, vol. 14, pp. 722–733, 2005
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