在 2020 年 3 月之前，钥匙、手机和钱包是我们出门前必需携带的三件物品。为了控制新冠病毒（COVID-19）的传播，口罩现在成为了第四件必需品。美国疾病控制与预防中心（CDC）的主任 Robert Redfield 博士表示，口罩是“我们减缓和阻止病毒传播的最强大武器之一”（参考文献1）。道理很简单，口罩可以减轻诸如呼吸道飞沫之类的病原体颗粒的扩散。COMSOL 认证咨询机构 Veryst Engineering 公司的研究人员使用计算流体动力学（CFD）模拟分析了两个在室外跑步的人之间的飞沫传播，以进一步了解其复杂行为。
气溶胶：小颗粒与大颗粒
世界各地的研究人员和科学家正在对各种病毒传播方式进行细致地研究，包括呼吸道传播和飞沫传播。在网络上搜索任何一个相关术语，都会出现数百万条新闻报道和科学报告。这些术语到底是什么意思呢？
首先要认识到，科学界关于如何对飞沫进行分类还存在许多争论。其中，大多数争论都集中在这些颗粒的大小。那么，到底该通过什么特征来小颗粒和大颗粒呢？
由于大颗粒体积更大，所以通常比小颗粒下降得更快，并且常降落在距离释放源的几米范围内。但是，如果大颗粒以很快的速度喷向空气，如咳嗽或打喷嚏时，那么它们在落地前会飞向更远的距离。在某些天气条件下，大颗粒会迅速蒸发并转变为小颗粒，其运动就将与小飞沫或飞沫核类似。（参考文献3）
小颗粒和飞沫核的移动速度与周围的空气相似。通常，它们掉落得非常缓慢，并且可以被相当小的气流举起。随着时间的流逝，它们逐渐扩散，其中一些甚至可以在空中停留数小时！
通常可以用微米（μm，相当于百万分之一米）对液滴进行测量。在 Veryst 的工作中，他们着重分析了直径大于 20 µm 且小于200 µm 的飞沫。相比较而言，果蝇的眼睛直径大约为 70 μm。
分级示意图为 Veryst 分析的飞沫尺寸与直径为 70 µm 的果蝇眼睛的对比。
需要注意的是，由于这类颗粒掉落时会污染表面，因此全球的企业和家庭中都需要配备洗手液和自动清洁表面的技术装置。
新冠病毒可以通过飞沫传播吗？
飞沫可以通过呼吸、咳嗽和说话散发到空气中。研究表明，与其他行为相比，某些行为，例如咳嗽、打喷嚏和大声说话，可能会导致更多的微粒喷射。尽管我们目前仍然无法完全了解新冠病毒的工作原理，但美国疾病控制与预防中心仍将飞沫识别为潜在的传播者（参考文献4）。
为了进一步了解颗粒流方法的潜力，Vestst Engineering 的 Nagi Elabbasi 团队使用 COMSOL Multiphysics® 软件对在室外空间慢跑的两个人之间的飞沫传播进行了建模，其中需要考虑一些物理现象，例如空气的流动和湿度、空气温度、作用在颗粒上的力，以及颗粒蒸发。
颗粒流分析：这是一场马拉松赛，而不是短跑赛
由于新冠病毒的大流行，2020 年全球几场最大的马拉松比赛已被取消，包括波士顿马拉松赛，这是有史以来第一次取消这一具有历史意义的赛事。马拉松比赛不仅为数千人提供了工作，还会为他们的主办城市带来数亿美元的收入（参考文献5）。在这个不确定的时期，我们不知道这些马拉松比赛什么时候才能恢复。
马拉松运动员。图片由 MārtiņšZemlickis 通过 Unsplash拍摄。
随着世界各地的比赛每天不断被推迟和取消，许多人开始喜欢独自跑步。实际上，许多街区的慢跑者数量已经激增。由于健身房关闭或限制开放容量，人们开始转向户外活动，例如慢跑以保持身体活跃。跑步还让人能快速获得新鲜空气，称为离开房屋的充分理由。
在新冠病毒大流行期间，人们想知道在户外跑步是否存在传播新冠病毒的潜在风险，以及与一小群人一起跑步时是否应该戴口罩。为了更多地了解跑步者之间的飞沫如何流动，Elabbasi 和他的团队模拟了两个相距 6 英尺（大约 2 m）的慢跑者在室外跑步时的飞沫传播。
模拟两个跑步者之间的飞沫传播
在 Veryst 建立的模型中，跑步者以约 6.4 km/h 的速度（平均慢跑速度）向前移动，后面的跑者位于前面跑者产生的气流中，如下图所示。假定前面的跑者进行深呼吸，并且呼出的颗粒以相对于奔跑者以 2.5 m/s 的初始速度喷出。在模型中，假定逆风、顺风和侧风为零。
跑步者周围的气流。注意：色标代表相对于跑步者的风速，单位为 m/s。
如前所述，我们仅分析直径大于 20µm 的飞沫或颗粒，以节省计算时间。此外，任何直径超过 200 µm 的颗粒都将被忽略，因为这么大的颗粒在到达后面的跑者之前就已经掉落到地面上。
Versyt 基于 2009 年的研究“交谈和咳嗽导致呼出的飞沫”对颗粒大小分布进行建模，该研究分析了受控环境中产生的液滴。
模型中考虑了影响颗粒的相关物理现象，即飞沫上的阻力和重力，以及飞沫的蒸发速率，其中的阻力包括由于空气中的湍流引起的扩散效应。
Veryst 在其模型中将飞沫蒸发速率设置为相对湿度、温度、粒径和颗粒相对于周围空气速度的函数。然后，他们使用韦尔斯蒸发下降曲线（Wells evaporation-falling curve）来校准蒸发速率。该曲线论证了小颗粒缓慢下落并迅速蒸发，而大颗粒迅速下落并缓慢蒸发。例如，在相对湿度为 50％，温度 18 °C 的环境中，直径 50 µm 的飞沫将在 4 s 内完全蒸发，而直径 150 µm 的飞沫将在 4 s 内掉落到地面，直到完全蒸发。
下图中，根据飞沫的直径将研究中的飞沫用各种颜色表示。正如预期的那样，较大的颗粒落在跟跑者的腿附近，而较小的颗粒则倾向于飞向跟跑者脸和上半身。
Veryst 建立的两个跑步者之间呼出颗粒的运动模型（左和中），以及颗粒降落在跟跑步者身上的图像（右）。色标显示的粒径以 µm 表示。注意：出于可视化目的，模型中将颗粒放大。
根据 Elabbasi 的研究，仿真结果对众多变量敏感，因此还需进行全面的敏感性研究。尽管如此，Veryst 分析了模型中湍流动能的变化如何影响其结果。研究小组发现，完全忽略湍流的影响时飞沫没怎么扩散，而显著增加湍流则会导致飞沫大量飞散。两种情况分别代表了湍流影响的理论下限及上限，Versyt 选择通过这种界限来检查模型的敏感性。
这项工作表明，利用仿真技术模拟开放空间中颗粒流动有可能帮助制定准则，用于减慢开放和封闭空间中病原体的传播。
查看演讲视频
如需了解该模型的更多内容，欢迎观看 2020 年北美地区 COMSOL 用户年会上， Nagi Elabbasi 对室外跑步者之间的飞沫流动模拟进行了详细讲解的主题演讲：
扩展阅读
是否还想查看更多Veryst进行的模拟研究？你可以浏览他们的网站查看更多案例研究。
在 COMSOL 博客上了解有关使用模拟帮助减轻流行病传播的更多信息：
参考文献
- “CDC calls on Americans to wear masks to prevent COVID-19 spread,” Centers for Disease Control and Prevention, 2020.
- J. Morgenstern, “Aerosols, Droplets, and Airborne Spread: Everything you could possibly want to know“, First10EM, 2020.
- Medmastery, “COVID 10: Is COVID-19 an airborne disease? Will we all need to wear face-masks against SARS-CoV-2?” YouTube, 27 Mar. 2020.
- “Scientific Brief: SARS-CoV-2 and Potential Airborne Transmission“, Centers for Disease Control and Prevention, 2020.
- P. Stevens, “Marathon racing brings big money to cities across America. Some events may not survive the pandemic“, CNBC, 2020.
短语“上了油的机器”通常用来描述平稳的机械运转，这是因为在系统内的接触零件之间添加润滑（例如润滑油）可以帮助其轻松的运转并减少磨损。然而，添加润滑剂会改变机械行为，这给工程师带来了全新的挑战。SIMTEC 的专家使用数值仿真设计了一种含润滑剂的机械接触，用于快速预测系统内轴承的行为。他们还构建了一个应用程序，用于优化设计中润滑剂的使用。
使用润滑剂以最大限度地减少轴承摩擦
对处于相对运动中的相互作用面进行的研究被称为摩擦学。这一研究领域是许多系统研究的基础，包括力学、机电学以及生物学。摩擦学领域的学者研究摩擦学中涉及的多种物理现象，例如相互作用面的磨损、热传递和润滑。
该领域的实验可以追溯到列奥纳多·达·芬奇(Leonardo da Vinci)，他被认为(基于他为数众多的其他艺术和科学贡献)是奠定两条摩擦定律的“摩擦学之父”。
达芬奇绘制的摩擦学实验草图。该作品在美国属于公有领域，在其原籍国及其他版权期限为作者逝世后不超过 70 年的国家和地区也属于公有领域。通过Wikimedia Commons获取。
轴承是摩擦学中的一个经典的机械部件示例，它可以将两个运动部件之间的摩擦降到最低。滑动轴承和滚动轴承都充当材料之间的屏障。滑动轴承有利于滑动运动，滚动轴承有利于滚动运动。COMSOL 认证顾问 SIMTEC 的仿真专家 Jean-David Wheeler 和 Vincent Bruyère 解释说：“提到滑动轴承和滚动轴承，其作用是在两个运动体之间以最小的摩擦和最小的磨损实现速度的调节。”
轴承及其运动涉及许多复杂的多物理场现象。例如，在滚动轴承的应用中，如果在保持架和滚动元件之间出现滑动接触，那么可能会出现问题，因为它们会产生能量损失。这种设定存在的其他问题是：负载不是纯径向的，以及滚子和法兰接触的几何形状可能会有所不同。正如 Wheeler 和 Bruyère 所指出的：“如果轴承的设计不适合其应用，它可能会受到严重损坏甚至毁坏，从而导致整个机构失效。”
对于这类问题，必须添加润滑。润滑材料通常放置在轴承中，并且会在两个接触表面之间扩散，以薄膜的形式存在，从而避免了材料之间的直接接触。然而，虽然 Wheeler 和 Bruyère 说在接触中添加油和油脂通常很关键，但“很难获得准确的摩擦和磨损预测。”为什么润滑剂的行为这么难以预测，以及如何在设计中加以考虑？
自行车轴承过早失效的示例，部分原因是润滑问题。图片来自 Ben pcc 的私人作品通过 Wikimedia Commons 进入公共领域。
考虑不可预测的润滑剂行为
气候和天气等环境因素会导致润滑油行为不可预测，同样的因素也会影响系统内的热力学系数和能量损耗。添加润滑剂的过程也可能会导致问题：例如，如果润滑油的加入量过少，油膜厚度就会降低，从而导致过早磨损。这种表面破损会导致轴承卡塞。此外，有某些接触，例如对于滚子轴承和法兰滚子端的临界接触，给油操作可能会更加困难，并会产生较高的能量损失。此外，触点的准确位置经常会移动到侧面而不是在中间，这会导致触点截断。这种能量损失会转化为热量，进而改变润滑剂性能，并降低油膜厚度。
一般来说，润滑剂及其运动最终会导致弹性流体动力润滑现象，其与流体流动、固体力学以及由于流体压缩和剪切产热而引起的热效应有关。弹性流体动力润滑现象也是多尺度的，即固体在厘米或分米尺度，接触表面在毫米尺度，薄膜厚度在微米或纳米尺度。当速度场或者接触体的形状比较特殊时（例如前文提及的法兰滚子端接触），上述问题可能会变得更加复杂。受压情况下，润滑剂会从触点流出。同等压力下也会增加润滑油的黏度并降低较高压力下的流量。压力黏性流体在表面之间被拖动，弹性流体动力润滑现象最终会导致润滑油膜与表面分离。
这就是为什么在前期设计过程中预测润滑剂行为很重要的原因。据 SIMTEC 团队称，对接触行为进行建模有助于构建可靠的系统。“通过再现轴承的工作条件，仿真还可以帮助我们更好地了解故障模式。”Wheeler 和 Bruyère 说道。这有助于他们深入了解机制，通常情况下也使得他们能够更好地识别问题。
为了应对这些不可预测的行为，SIMTEC 使用 COMSOL Multiphysics® 多物理场仿真软件创建了一个数值模型和一个仿真应用程序。
将润滑剂加进滚动轴承(左)和滑动轴承中(右)。图片由 SIMTEC 提供。
使用 COMSOL Multiphysics® 对带有润滑垫的滑动轴承进行建模
由于接触之间所涉及的复杂多物理场行为，将计算摩擦学与实验相结合最适合研究润滑接触的行为。工程师必须能够从一开始就预测薄膜的摩擦力和厚度。为了节省时间和资金，SIMTEC 创建了带有润滑机械接触垫的滑动轴承有限元模型。这些组件常见于工业机械中。
“COMSOL Multiphysics 确实是我们在 SIMTEC 中的理想工具， ”该团队成员说，“作为 COMSOL 认证顾问，我们的主要任务是为行业引入该数值模型产生的实验研究成果。因此，我们对有限元软件寄予厚望。实际上，它必须足够灵活以实现非标准的研究功能，但同时还必须易于使用、高效，以满足工程需求。”
为了建立需要仿真知识和摩擦学专业知识的复杂数值模型，SIMTEC 团队首先通过滑动轴承的长度、厚度和楔形形状来定义滑动轴承的几何，并将润滑剂置于两个固体之间。然后将顶部固体设置为静态的（ut= 0 m/s），底部固体以速度 ub 滑动。载荷 (w) 被施加在顶部固体上，在润滑剂中产生流体动压，并传递到底部固体。润滑剂的流动将压力分散在顶部固体的汇聚形状中，使得底部固体的平均压力变为 w /(宽度*长度)。
该团队考虑了工业机械中常见的各种条件。需要考虑这些条件，以预测其对薄膜厚度和摩擦的影响。这些影响包括固体的几何形状和线性变形、散热和薄膜本身。
涵盖这些现象所需的控制方程包括：
- 雷诺方程
- 膜厚表达式
- 固体变形
- 负载均衡
- 热传递
- 本构关系，包括：
- 可压缩性
- 压黏性
- 剪切稀化
滑动轴承示意图。图片由 SIMTEC 提供。
SIMTEC 专家创建的这个数值模型和仿真应用程序涉及复杂的数学和科学知识，但他们尽最大努力让没有深厚摩擦学背景的用户也可以使用它。
评估和验证数值模型结果
通过数值模拟，SIMTEC 团队能够验证其模型的结果并将其与已发表的文献结果进行比较。此外，他们能够对各种工作条件下出现的常见问题进行模拟，用来预测和解决接触、整体轴承和系统的摩擦和磨损问题。这对于了解摩擦学在各个领域的应用非常有用，例如团队所提到的，径向轴承、轮胎、齿轮、人工髋关节、断裂和发动机等方面经常存在摩擦学问题。
作为验证案例，该团队研究了与等黏性且不可压缩的牛顿润滑剂的简单等温刚性接触。如下图所示，结果与参考数据(分析方法)非常吻合。实心方块表示的是模拟的数值结果，轮廓圆圈代表参考结果。
比较数值结果和参考值之间的薄膜厚度(蓝色)和压力(绿色)。图片由 SIMTEC 提供。
该团队还研究了在大速度和大负载条件下（ub = 20 m/s 和 w = 80,000 N）下热效应的影响。他们发现，虽然压力分布并没有真正受到热效应的影响，但当包括热效应时，最小薄膜厚度会减半，如下图所示。这些结果表明，工程师应注意其触点设计中的热效应，否则会大大高估薄膜厚度并低估磨损和使用寿命。
比较相同情况下的薄膜厚度(蓝色)和压力(绿色)，有(实心方块)和没有(轮廓方块)热效应。图片由 SIMTEC 提供。
最终，这些结果，以及针对不同物理现象的类似研究结果帮助他们预测了摩擦和磨损。
虽然极其精确的结果需要复杂的流变学建模，但幸运的是，现在我们通过这里讨论的模型已经能够为实际工业案例提供定量预测了。SIMTEC 团队能够预测由于剪切速率增加导致摩擦增加，又由于热和非牛顿效应而导致摩擦下降，如下图所示。由此，我们获得了滑动轴承摩擦的基本预期行为。
滑动轴承的摩擦预测。图片由 SIMTEC 提供。
至于磨损，仿真结果有助于确定滑动轴承所需的操作条件。该滑动轴承需要以 ub≥ 1 m/s 的速度运行才能有效。
滑动轴承的磨损预测。图片由 SIMTEC 提供。
为了轻松求解所涉及的方程并使客户能够访问模拟，SIMTEC 创建了一个用户界面友好的应用程序，在这个应用程序里用户可以分析润滑垫在多种条件和参数下的行为。他们构建了一个演示应用程序，以方便任何感兴趣的人都可以看到自己运行分析是多么容易。
“我们的滑动轴承演示应用程序专门用于滑动轴承的建模，”SIMTEC 团队说，“用户可以在基本和高级假设下定义各种几何形状、工作条件和润滑剂。在演示应用程序中，可以触发所有参数，但只能同时选择几个参数。当然，完整的应用程序没有这样的限制。”
该应用程序可以模拟如上图所示的润滑垫的几何形状。图片由 SIMTEC 提供。
下一步
想自己动手尝试滑动轴承演示应用程序吗？请联系 SIMTEC，申请免费、安全的访问。
SIMTEC 还可以提供根据您的需求量身定制应用程序。
来自 Lightness by Design 公司的特邀作者 Eric Linvill 分享了如何通过材料建模深入了解纸板的成型抗弯曲特性。
成型是纸张的基本物理特性，可以对纸张的生产和性能产生深远的影响。有限元方法可用于更好地了解成型如何影响机械质量控制测试及其结果。使用 Lorentzen & Wettre (L&W) 抗弯 (15°) 测试方法，我们研究了纸板成型如何影响抗弯曲性。
纸张力学概论
纸张是一种准随机材料，也就是说，在纸张的生产过程中，有一些因素会阻止纸张变得完全均匀。在造纸机上，纸张纤维在平面内随机排列（有时也会略微偏离平面），但还是会倾向于沿着运动的方向排列。然后通过压榨辊将这些方向锁定在适当的位置，从纸浆中去除大量的水。这意味着最终纸产品在生产的面内方向（机器方向）上最坚韧和最硬；在面内垂直于机器方向（横向）的方向上较柔软并且韧度较小；在纸的面外方向（z 方向）上最软且韧度最小。
此外，在生产过程中，纸张纤维往往会以絮状的形式聚集在一起。这些絮状物也将被通过压榨辊，从而最终形成具有相对较高密度和较低密度体积的结构。这些低密度和高密度区域分别对应于低刚度和强度与高刚度和强度的区域。
已有研究检查了成型过程对拉伸测试的影响，并将低密度区域与通过数字图像和热成像测量技术测量的高局部变形区域相关联(参考文献 1)。通常使用透射光来观察成型，如下图所示。
用透射光照射复印纸形成的图案，其中亮区对应于低密度区域，暗区对应于高密度区域。把一张纸放在灯光下自己看看！
纸板与上面显示的纸张类似，只是更厚更硬。在查看纸板质量时，有限元方法可以帮助纸生产商更好地了解机械质量控制测试、加工性能、包装性能和空间材料变化（例如成型）。举例来说，抗弯刚度是影响包装性能的重要材料特性：高抗弯刚度纸板在制成纸箱时往往比低抗弯刚度纸板具有更强的触感。此外，更大的抗弯刚度有助于提高纸箱强度。因此，弯曲刚度通常是纸板生产商和采购商考虑的关键参数。抗弯刚度通常通过 Taber 方法或 L&W 方法测量，但本文只研究使用 L&W 方法测量高达 15° 的抗弯性能(ISO 2943)。
本文特别考虑了一种三层折叠箱纸板，由三层纸板组成。对于折叠箱纸板，外两层通常比内层更轻薄，而且更硬、更坚固和更光滑。形成这种结构通常是为了最大限度地提高抗弯刚度和印刷性能，同时最大限度地降低材料成本。整体抗弯曲性是否受层状结构的影响尚不清楚，尽管有人可能推测较差的成型会导致较低的抗弯曲性。然而，造纸商们有许多方法可以改进成型过程，这些方法都需要大量的资本投资(例如，安装新的流浆箱)。因此，为了进行成本效益分析，必须量化成型过程对抗弯刚度的影响。在下面的小节，我们构建了一个模型，用于量化整体抗弯曲性可能受顶层成型影响的程度，并研究了影响形成的两个因素：密度变化和絮状物的大小。
模拟 L&W 抗弯试样
我们使用的模型是基于标准的 L&W 抗弯曲试验样张构建的。该样张宽度为 38 mm，测试长度为 50 mm，用于横向弯曲。该纸板模型采用三层结构，代表折叠箱板的三层结构：底层和顶层尺寸为 100 μm，中间层尺寸为 200 μm。
L&W 抗弯曲试验样张的三层纸张模型。
将纸板一端（y = 0）固定，在另一端（y = 50 mm）施加面外位移，对应于 L&W 弯曲测试期间的 15° 弯曲旋转。模型的输出是施加变形时的合力。
我们使用了一个纯弹性模型，这是一个极度简化的模型，因为弯曲到 15° 可能会导致样张发生塑性变形。进行这种简化有两个原因：这个模型只是一个演示，弹性弯曲刚度被认为是驱动纸箱刚度和强度的参数。下表显示了每层的平均弹性材料属性。请注意，所有材料属性都是假设的，并不代表实际的商业纸板。
| 材料属性 | 顶层和底层 | 中间层 |
|---|---|---|
| 纵向弹性模量（MPa） | 4000.00 | 2000.00 |
| 横向弹性模量 (MPa) | 2000.00 | 1000.00 |
| Z方向弹性模量 (MPa) | 250.00 | 100.00 |
| 平面内 (纵向-横向) 泊松比 | 0.45 | 0.45 |
| 平面外泊松比 | 0.00 | 0.00 |
| 面内 ((纵向-横向) 剪切模量 (MPa) | 1400.00 | 700.00 |
| 面外剪切模量 (MPa) | 60.00 | 30.00 |
表1. 不同层的材料特性。
将随机变化应用于材料模型的方法相对容易(尤其是与其他商业结构有限元软件相比)，Bjorn Sjodin 在他的博客文章对随机建模进行了逐步描述。本文使用了该文章中介绍的方法和方程，在这里重写了主方程，并根据所需的输出稍作修改，其中 M 是材料特性的合成乘数；A 是空间变化场的大小；N 是空间频率分辨率；g 是随机抽样的高斯分布，均值为 0，标准差为 1；β 是频谱（平滑）指数；D 是空间频率幅度；Φ 是相位角，从 0~ pi 的均匀分布中随机采样：
{k=-N}^{N} \sum_{l=-N}^{N}\sum_{m=-N}^{N}\frac{g(k,l,m)}{(k^2+l^2+m^2)^{\beta}/^2} \cos\Bigg(2 \pi\Big(\frac{kx} {D}+\frac{ly}{D}+\frac{mz} {D}\Big)+\phi(k,l,m)\Bigg)
上述空间变化方程所使用的参数如下表所示：
| 范围 | 描述 | 值 |
|---|---|---|
| N | 空间频率分辨率 | 20 |
| D | 空间频率幅度 | 0.4 |
| β | 谱（平滑）指数 | 0.8 |
| A | 空间变化场的大小 | 0.005 |
表2. 上一篇博文中介绍的用于空间变化方程的参数。
除泊松比之外的所有弹性属性都乘以乘数 M。对于一组随机种子，所得的横向弹性模量空间场如下图所示。
横向弹性模量的空间变化(Pa)，表示形成差异导致的弹性模量变化。
包含材料变化会导致模型中的网格依赖性，因此使用参数扫描来确定模型的网格灵敏度。网格灵敏度研究的结果如图 4 所示。网格最大边长为 1.0 mm 时，百分比误差非常低 (0.01 %)，因此在研究的其余部分中使用该网格尺寸。
模型的网格灵敏度。
此外，随机模型可能对其自身固有的随机性很敏感，因此还必须确定得出结论所需的重复解的数量（随机计算值的不同种子）。下图显示了平均抗弯曲刚度值如何随着额外的重复解收敛，以及置信区间条如何随着重复解数量的增加而减小。下图显示，应至少使用三个重复解来确保获得对 15° 的平均 L&W 弯曲力。因此，本研究将利用四种重复解来确保结论的可信度。为了确保结果可信，可以使用更多重复的解。
带有置信区间条的模型的随机敏感性。
为了自动计算密度差异大小（即空间变化场的大小）的影响，以及絮状物尺寸对 15° 的 L&W 抗弯曲阻力的影响，分别使用了材料和参数化扫描。
仿真结果讨论
变形过程中产生的应力和应变场是不对称的，因为材料属性本身是不对称的。如下图所示，在最大变形时底层表面的压缩横向应变场是不对称的。
其中一个重复解的底层表面的压缩横向应变。注意由材料变化引起的不对称应变模式。
为了研究顶层密度差异大小对抗弯刚度的影响，在不同水平的空间大小变化场参数 ( A ) 下进行材料扫描。下图显示了平均扫描结果（使用不同的随机种子重复四次以确保结果的可信度）以及每个平均点的 95% 置信区间。随着空间变化场大小接近零（零值表示完美形成），15° 抗弯刚度增加。这一结果表明，模拟的最差形成结果得到改进。
密度差异大小对弯曲阻力的影响。
为了研究絮状物尺寸的影响，对顶层的空间频率大小参数 (D)进行了不同水平的材料扫描。这些扫描的结果用不同的随机种子重复了四次，以确保结果的足够置信度，其平均值以及每个平均点的 95% 置信区间如下图所示。与大尺寸絮状物相比，小尺寸絮凝物在 15° 时的 L&W 抗弯曲强度平均更大，这意味着大尺寸絮状物比小尺寸絮状物对 15° 的抗弯阻力更加不利。该结果表明，如果造纸商将絮状物尺寸从本文假设的最大尺寸减小到最小尺寸，则 L&W 抗弯曲性 (15°) 可提高 3.3%-4.2%。
絮状物尺寸对抗弯曲性的影响。
通过量化 15°时 L&W 抗弯曲能力的可能改进，可以对潜在的资本投资进行成本效益分析。例如，可以帮助确定是否值得投资一个新的顶层流浆箱来提高抗弯曲性。
编者注, 2023/3/21: 相应的模型文件已经添加到模型交流库中。您可以在此查找。
Lightness by Design 是 COMSOL 的认证咨询公司，提供纸张力学专业知识以及针对纸张力学高级问题的仿真开发和计算执行。
参考文献
- A. Hagman and M. Nygårds, “Thermographical Analysis of Paper During Tensile Testing and Comparison to Digital Image Correlation,” Experimental Mechanics, vol. 57, 325–339, 2017, doi:10.1007/s11340-016-0240-4
关于特邀作者
Eric 是 COMSOL 认证咨询公司 Lightness by Design 的一名顾问，他的研究兴趣是纸质包装和航空航天结构。虽然这两个应用方向看起来像是随机的二重奏，但是它们之间的共同联系是均使用了轻质承重结构以及纤维材料。Eric 的航空结构工程背景包括获 Embry-Riddle Aeronautical 大学学士学位，以及担任顾问的项目经验等。在完成航空航天教育后，Eric 在瑞典斯德哥尔摩的 KTH 皇家理工学院攻读固体力学博士学位，专注于纸张力学研究，随后进入了精彩的纸张世界，并在造纸公司 WestRock 从事了 1.5 年的研发工作。此后，他一直担任 Lightness by Design 公司的顾问，除了咨询，他还继续开发有限元仿真工具(全面的用户定义材料和虚拟实验室)，以便对纸制品和工艺进行更高级的仿真。
来自 Noumenon Multiphysics 的客座博主 Mandar Gadgil 讨论了热虹吸管中的相变建模。（译者注：Noumenon Multiphysics 是一家应用物理和数学咨询公司，专门为科学和工程行业提供建模和仿真服务。）
自 19 世纪以来，热虹吸管就一直被用于保持房屋温暖。这些设备使用中央加热器和管网将水和蒸汽输送到不同的房间。最酷的是(形象地说)，流体的输送过程中不需要使用泵，只要利用位于设备底部的加热器加热产生对流就足够了。在今天的博客中，我们将讨论使用具有温度相关特性的“伪流体”来模拟热虹吸管。
为什么热虹吸管能够有效传热？
热虹吸管最初应用于大规模供暖，后来被用于依赖小空间高效传热的各行各业。今天，热虹吸管的应用范围更加广泛，包括太阳能电池板阵列收集热量、加热水和食物、冷却集成电路引擎，甚至冷却电子集成电路。
热虹吸管的一个应用例子。图片由 Gilabrand 提供。通过 Wikimedia Commons 获得 CC BY-SA 3.0 许可。
热虹吸管非常高效的一个原因是，它们可以在传输流体的相变温度附近工作。这意味着流体在将热量从A点传到B点的同时，不仅利用这些热量来提高温度，而且还将它的相从液态变成气态。
热虹吸管中的相变具有显著优势的原因有两个。首先，相变引起的密度变化比温度升高引起的密度变化大得多。在这里流体输送会容易得多。
此外，热虹吸管流体通常发生相变所需要的热量与将温度升高数百度(摄氏度)所需的热量一样多。例如，水的汽化潜热为 2264.7kJ/kg，而水的比热为 4.186kJ/kg。这意味着，当水变成蒸汽时，水吸收的热量是将其温度升高 1℃ 所需热量的 541 倍。这意味着，如果流体正在发生相变，而不是快速升温，那么在特定温度下，可以从热源吸收更多的热量。
模拟相变流:常见的挑战
从一个物体与另一个物体的热量传递速率与它们之间的温差成正比。在热传递较大的过程中，保持在特定温度的流体具有在较长时间内保持相同温差的优点。这意味着传热速率将在较长的时间内保持较高水平，而不是随着热源和流体之间的温差减小而下降。然而，正是这种效率来源使得热虹吸管的建模成为一项挑战。
对涉及相变的流动进行建模在计算上要求很高。常见的相变流体流动模型涉及到:
- 两个独立的域(一种液体，一种蒸汽)
- 两个域之间的“界面跟踪”方法在两个域之间需要使用移动网格
另一个缺点是，这种方法不允许两个域之间的界面处发生拓扑变化。例如，不能发生蒸汽气泡的产生或合并。
由于这些区域之间的界面是一个表面，因此不能对“湿的”、部分液体-部分蒸汽的过渡情况进行模拟。用这种方法模拟热虹吸管将创建一个近似的，在液体和蒸汽之间具有一个单一边界，随着流体发生相变而移动。
用单一伪流体模拟相变的新方法
模拟这种流体流动问题的另一种方法是使用被称为伪流体 的方法。这种伪流体是使用一种材料，其性质可以定义为温度的函数。在被称为相变窗口 的一个小区域内，液体的性质变成为蒸汽的性质。在下图中，我们看到了如何定义跨相密度函数，用于指示从液体到蒸汽的状态转换。
注意：传热模块中的相变材料 节点使用了类似的建模原理。尽管也可以使用该节点以及非等温流动 多物理场耦合选项对相变进行建模，但伪流体 方法允许灵活定义相变函数。伪流体材料基于两个参数模拟相变：温度和压力。蒸汽密度随压力变化的精确建模对于确保质量守恒至关重要。使用COMSOL Multiphysics® 软件中提供的单相、层流 和流体中的传热 物理节点求解流体流动和传热方程。这两个节点共同求解质量、动量和能量守恒方程。
这种建模方法能够在相变之间实现明显的拓扑变化，因为没有任何域边界需要处理。这克服了界面追踪方法的一个主要缺点。该解决方案可以有大量的流体从一个相过渡到另一个相，这与我们日常观察到的液体沸腾是一致的。
伪流体方法有两种固有的近似。它没有考虑表面张力，因此即使处理了拓扑变化，沸腾过程中气泡形成的一个重要因素仍然被忽略；此外，相变发生在很小的温度范围内，而不是特定的值。这个范围越小，相变现象越准确。理想情况下，我们会选择一个能很好地代表中间泥泞阶段的范围。然而，较小的范围导致解的收敛更加困难。
使用热虹吸模型验证伪流体的方法
伪流体方法在建立对流和表示流体的相变过程方面是成功的。在下面的视频中，我们看到一个简单的垂直容器，里面装有正在加热的流体，并使用这种方法建模。最初，容器的顶部充满蒸汽，而底部装有液体。由底部加热容器，我们可以看到逐渐的相变将所有的物体转化为蒸汽。
下图显示了流体不同相的形成(由它们的密度表示)，以及代表热虹吸管的倾斜管中对流的局部速度。
将热虹吸管的伪流体模型的定量性能与实验数据进行比较，数据来自内部实验和文献(参考文献1)。稳态温度与参考文献中垂直热虹吸管不同位置的数据进行了比较。温度随时间的变化与倾斜热虹吸管的实验数据进行了比较。
该模型似乎表现良好，性能偏差在可接受的范围内。
优化热虹吸管设计
我们开发并应用了这种伪流体建模技术来优化真实世界的热虹吸应用。一旦建立了流体流动模型，与界面追踪方法相比，计算时间大大减少。这释放了用来优化热虹吸管的许多其他参数的计算资源。
优化热虹吸管的一个目标是最大化设备的传热速率。使用接近其相变温度的流体会大大减小热虹吸管的尺寸，而这种尺寸是达到一定传热速率所必需的。
另一个优化的重要参数是储存在设备中的流体质量。流体过多时，蒸发流体所需的热量输入会非常高。甚至有可能稳态热输出会完全阻止流体蒸发，这将大大降低热虹吸管的效率。没有足够的流体意味着只有很少的热量会使其蒸发。如果从热虹吸管吸取的热量不够高，流体在稳定状态下会保持蒸发状态，再次失去相变带来的高效率。
基于这篇博文中讨论的流体流动模型，我们还可以优化热虹吸管的尺寸、倾斜角度和吸热表面的设计。
伪流体建模方法的可能优势和局限性
我们相对比较容易能想到的是，可以将伪流体建模技术应用于在凝胶和自由流动流体之间过渡的流体问题。一个值得提出的问题是:一个改进的伪流体模型实际上可以作为一个普适的力学模型吗？换句话说，这个模型能包括从岩石这样的脆性固体到自由流动的蒸汽的整个相谱吗？
模拟伪流体和相变材料特性有助于统一不同的物理模型。一个很好地处理这些转变的数学模型甚至可以改变我们思考“相变”的方式。传统的相变很可能最终被认为是对一系列连续的物质状态的近似描述。虽然准确描述这些相变的数学还没有完全完善，但 Noumenon Multiphysics 可能很快就会有所发展！
请注意，除了前面提到的两种近似方法之外，伪流体模型还有一些其他的限制。这种模型虽然能够预测湍流，但在这种情况下计算成本可能会很高。(对于湍流的空间分辨率，需要在整个域中进行细化网格。对于湍流的时间分辨率，需要更小的时间步长来获得收敛解。因此，网格单元的数量和计算时间都会增加。另一方面，尽管使用湍流模型和这种伪流体材料模型也是可能的，但它给模型增加了额外的方程。就热虹吸管而言，这种限制似乎是可以接受的，因为湍流热虹吸管无论如何都是非常低效的。然而，值得注意的是，对于不同的应用，可以将不同的湍流模型添加到流体流动模型中。
伪流体模型的准确性在很大程度上取决于不同温度和压力条件下所涉及流体的可用数据质量。最重要的是，需要准确了解密度相对于压力变化的变化，以创建有用的伪流体材料模型。对于水和蒸汽来说，这相对容易，但是收集其他流体的类似数据可能是一项更加困难的任务。
关于作者
Mandar Gadgil 是 Noumenon Multiphysics 的副工程师。在 Noumenon Multiphysics，Mandar 在解决工程行业建模和仿真中众多具有挑战性的问题上发挥了重要作用。他致力于研究多相、多物种流体流动模型、生物医学应用的电流模型、电磁学、流固耦合、电池建模等等。Mandar 已经在印度国防先进技术学院应用数学系完成了他的技术硕士学位 (M.Tech.)，专攻建模和仿真。
参考文献
- F. Bandar, L.C. Wrobel, and H. Jouhara, “Numerical modelling of the temperature distribution in a two-phase closed thermosyphon,” Applied Thermal Engineering, 2013.
今天，来自 COMSOL 认证顾问 Lightness by Design 公司的特邀博主 Björn Fallqvist 讨论了如何使用仿真深入了解细胞的力学行为。
我们都知道，生物细胞是生命所必需的。它们不仅以 DNA 的形式存储和复制遗传信息，在生物过程中也起着重要作用。在大多数这些过程中，细胞的力学行为是确保正常生理功能的主要因素。
生物细胞的重要性
不言而喻，如果没有细胞，我们就不会存在或正常运行。脊椎动物利用红细胞的循环，即红血球向身体组织输送氧气。成纤维细胞利用它们的收缩机制迁移到伤口，并开始愈合过程。我们血管中的内皮细胞充当着过滤屏障，这些细胞不仅依靠生化/运输机制，还依赖它们的力学行为来确保正常的生理功能。
负责细胞硬度的结构性实体是一个被称为细胞骨架的相互连接的网络，如下图所示。这种细胞骨架主要由三种类型的聚合丝组成，每一种都有自己独特的结构和力学特性：
- 肌动蛋白
- 中间丝
- 微管
这种复杂的基础为细胞提供了即时和随时间调整其力学特性以适应环境的能力。
可以看见细胞骨架的成纤维细胞，包括肌动蛋白(蓝色)、中间丝(绿色)和微管(红色)。图片来源于论文 “Oncogenes induce a vimentin filament collapse mediated by hdac6 that is linked to cell stiffness”， 经 Rathje 等人许可使用。
如以下通过原子力显微镜(AFM)进行的细胞压痕实验的弛豫曲线图所示，细胞和细胞骨架网络都是高黏弹性的。
成纤维细胞的力松弛曲线。
大量的例子表明，患病的细胞表现出异常的力学特性，这促进了病理学的发展。在这些细胞中发现的细胞骨架与健康细胞相比，往往表现出不同的行为。例如，与对照组细胞相比，癌细胞表现出明显的硬度变化。在许多情况下，这可能与细胞骨架有关。中间丝网络可能在细胞核周围塌陷，或者细胞扩散增加(通过黏着斑与肌动蛋白细胞骨架紧密相连)。
研究细丝和细胞的力学行为
如前所述，细胞骨架是一个动态实体，具有在几毫秒到几小时的时间尺度上重塑自身的能力。由于它能组成网络，所以会产生明显的黏弹性行为。例如，肌动蛋白丝的溶液在短时间尺度上表现为固体，在较长时间尺度下表现为液体。这是由于半柔性长丝的热波动与其相互滑动的倾向之间的联系；也就是说，它们在短时间尺度上或多或少受到运动学约束。温度也是一个重要因素，部分是因为它影响热行为，还因为能连接溶液中的各种蛋白。
综上所述，很明显对这类底层聚合物网络的力学行为，以及其他细胞成分(例如，细胞核和细胞膜)等所有因素进行详细分析几乎是不可能的。但是，可以通过在宏观层面上考虑细胞来规避这一难题并获得结果。
通过在 COMSOL Multiphysics® 软件中创建有限元模型，我们基本上可以忽略异质细胞内结构，而是将其视为连续体；即，位移场是连续的。如果我们的目标是量化宏观细胞对外部刺激的反应，这是一个可接受的近似值。
本博客中描述的计算模型是松弛测试。测试过程为：将刚性压头压入柔软的黏弹性细胞中，测量由此产生的压头力松弛并与实验数据进行比较。
细胞的计算模型
下面是一个典型尺寸的细胞模型。模型的域是围绕中心线创建的。半圆形的部分是细胞核，也会影响机械响应。我们还在几何形状中创建了一个压头，在分析中忽略了细胞膜。为了简单起见，我们假设细胞是轴对称，进行二维分析。
该模型使用二维单元网格进行划分，并在压头下进行了细化。
细胞质和细胞核材料模型的选择应该同时反映材料的瞬时和长期响应。线性弹性模型太简单了，因为细胞通常可以承受大的应变，并表现出明显的应变硬化。对于细胞质的响应，我们可以选择一个简单的超弹性材料模型，即 neo-Hookean 模型，其中应力和应变是由应变能量密度函数 Ψ 计算出来的，其形式为
{I}_1-3)+{\frac{\kappa}{2}}〖(J_el-1)〗^2
在这种形式中，假定材料(几乎)不可压缩，剪切模量 μ、弹性体积比 Jel、体积模量 κ 和等容第一不变量 被包含在内。为了结合黏弹性行为，还包括两个广义麦克斯韦节点。已发现细胞核主要是弹性的，因此在建模时没有使用黏弹性节点。
所选材料参数如下表所示：
| 域 | 剪切模量 | 体积模量 | 能量因子 1 | 松弛时间 1 | 能量因子 2 | 松弛时间 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 细胞核 | 1.667 kPa | 5000 kPa | N/A | N/A | N/A | N/A |
| 细胞质 | 0.155 kPa | 1000 kPa | 10 | 0.5 s | 10 | 50 s |
细胞的底部受到垂直约束。虽然在现实中，细胞通过黏着斑黏附在基板上，但这应该是局部效应，不会显著影响机械响应。
压头和细胞之间的接触由罚公式强制执行，使用压头作为源边界。指定压头域的速度为 0.1 µm/s，直到总垂直位移为 4.6 µm。随后在分析中保持固定，总时间为 30 s。
仿真结果
受压后细胞的局部变形如下图所示。
压头下的细胞变形。
0.5 s 和 30 s 时的等效 von Mises 应力如下所示。很自然地，由于细胞质材料模型包含黏弹性分支，应力因应力松弛而降低。
0.5 s(左)和 30 s(右)时的应力分布。
可以从 COMSOL Multiphysics 仿真结果中提取压头上的垂直反作用力，并与实验数据进行比较。
细胞受压力的结果，实验(蓝色)结果和计算(红色)结果。
通过实验测量的松弛，通常表现出至少两种不同的状态。这些值可以由简单的 neo-Hookean 模型以及它的两个黏弹性节点合理地预测出来。应该注意的是，在恒定斜率之前，初始受压状态表现出严重的应变硬化(在上图中很明显)。
关于生物力学仿真的最终想法
如前所述，COMSOL Multiphysics 可以很容易地通过(比较)简单的材料模型来复制细胞的黏弹性行为。自然地，也可以通过使用更复杂的材料模型来获得更高级别的复杂性。在这种情况下，使用其他超弹性模型，例如 Mooney-Rivlin 或 Ogden 模型，结合更多的黏弹性节点可能会产生更准确的结果。需要记住的是，由于需要更多的材料参数，因此必须为相关材料提供有更多的实验数据点。
实际上，细胞是一个比模拟的模型要复杂得多的系统。力学和生物化学信号的不断交换，不断改变着细胞内结构、细胞形状和运动行为。可以说，将细胞建模为一个连续体是一个主要的简化，这种近似值在许多情况下可以很好地为我们服务。例如，如果我们要分析转移的细胞，可能只需要描述它们的宏观硬度，用于评估它们挤压组织或动脉的能力。在这种情况下，与障碍物相比，细胞作为一个整体的刚度将是决定性的因素，而不是例如细胞骨架和细胞核这类详细的相互作用。
还应该提到的是，细胞不仅是一个复杂的系统，而且远不是确定性的，也不是由一组几何和材料参数唯一表征的。单个细胞之间的反应取决于它们的健康状况、运动状态和细胞周期状态等因素。为了通过实验正确评估细胞的机械响应，需要探测更多的单个细胞。然而，我们建模时关注的是评估对某一个单个细胞的响应进行建模。
通常，不仅细胞，其他生物材料也可以通过超弹性材料模型来仿真。根据特定的材料和时间尺度，还可以包括黏弹性行为。这为生物力学建模领域开辟了一些有趣的机会。
例如，动脉粥样硬化是一种常见的心血管疾病，白细胞积聚在动脉壁上，减少血流量并增加因血栓而心脏病发作的风险。缓解这种情况的常用方法是采用血管成形术，即将球囊插入动脉并充气，然后使用机械支架来稳定动脉部分。使用 COMSOL Multiphysics，我们可以捕捉动脉壁的超弹性-黏弹性行为，以及由胶原纤维方向引起的复合特性，并计算应力和应变的瞬时和瞬态发展。
2018 年 8 月 20 日，编者注：相应的细胞松弛模型文件已添加到 COMSOL 模型交流页面。您可以点击此处查看。
关于作者
Björn Fallqvist 是 Lightness by Design 的一名顾问，从事基于数值分析的产品开发工作。他于 2016 年从皇家理工学院获得博士学位，致力于开发本构模型以捕捉生物细胞的力学行为。他的主要专业兴趣和专长是材料表征领域和使用各种材料模型来捕捉物理现象。
参考文献
- Rathje et al, “Oncogenes induce a vimentin filament collapse mediated by hdac6 that is linked to cell stiffness”, Proceedings of the National Academy of Sciences, 111, pp. 1515–1520, 2014.
- B. Fallqvist et al., “Experimental and computational assessment of F-actin influence in regulating cellular stiffness and relaxation behaviour of fibroblasts”, Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, Vol 59, pp. 168–184, 2016.
来自 Lightness by Design 公司的客座博主 Linus Fagerberg 将继续上一篇博客文章的话题，讨论辐射声音与消声器壳厚度的关系。
在本文中，我们将讨论用于测量消声器性能的各种实体。其中一个很重要的参数是消声器壳厚度，我们将研究该参数对消声器性能的影响。通过执行声-结构相互作用仿真，我们能够看到壳厚度如何影响消声器的性能。
分析壳厚度如何影响消声器的声学性能
我们使用上一篇博客文章中定义的相同模型设置执行参数化研究，来观察壳厚度变化对消声器的影响。先从 1 mm 的基础厚度开始，这是之前研究中使用的初始壳厚度；然后将基础厚度减半，再加倍。消声器模型周围的声学域（见下文）为评估不同壳厚度下的大气声发射提供了一个很好的方法。
图 1. 消声器模型和周围声学域的横截面和等轴测视图。
传输损耗：从消声器入口到出口
从消声器入口到出口的传输损耗（transmission loss，简称 TL）与上一篇博客文章中定义的一样：
其中，Pin是消声器入口的声功率，Pout是消声器出口的声功率。变量 Pin和 Pout 分别取决于入口的压力 pin 和出口的压力pout。
在本研究中，我们计算了壳厚度为 0.5 mm 和 2 mm 的情况下从入口到出口的传输损耗 TL。下面的图 2 比较了这些传输损耗曲线以及壳厚度为 1 mm 时的曲线。
图 2. 壳厚度 t 为 0.5 mm、1 mm 和 2 mm 时从消声器入口到出口的传输损耗。
壳厚度为 1 mm 的模型在 172 Hz 下的壳模式（之前的研究）在壳厚度为 0.5 mm 的模型中出现在 180 Hz 下。在 180 Hz 附近，壳厚度为 0.5 mm 的模型的曲线峰值和谷值远大于该特征模态下壳厚度为 1 mm 的模型。
对于壳厚度为 0.5 mm 的情况，在该模式下，从峰值到谷值的 TL 差值约为 18 dB，频率扩展为 8 Hz，谷值出现在 188 Hz 处。由于激励壳板的压力脉冲会对厚度较小的板产生较大的影响，因此这是意料之中的结果。所以，对于 2 mm 的最大计算壳厚度，在壳厚度为 0.5 mm 和 1 mm 情况下出现峰值的区域，曲线非常平滑。
壳厚度为 2 mm 情况下的 TL 特性接近于纯压力声学仿真，其中消声器的边界被定义为硬声场边界。类似地，壳厚度为 1 mm 的情况下，342 Hz 处出现的壳模式在壳厚度为 0.5 mm 的情况下出现在 338 Hz 处，但是在壳厚度为 2 mm 的情况下，在 TL 曲线中看不到壳模式。
所有三种情况下都存在 386 Hz 处的谐振声学模式，正如在该频率下所有三条曲线都存在急剧下降所表明的情况一样。
所有三条曲线中出现的下一个显著峰值在 610 Hz 到 640 Hz 之间。随着壳厚度的增大，峰的位置向右移动。壳厚度为 0.5 mm、1 mm 和 2 mm 的模型的峰值分别出现在 614 Hz、632 Hz 和 638 Hz 处。这与消声器结构随着壳厚度增大变得更硬，且该特征模态的频率增大有关。
虽然峰的位置随着壳厚度的增大而向右移动，但厚度为 1 mm 时峰值的幅度大于厚度为 2 mm 时的幅度。可以预计的是，壳较厚的结构比壳较薄的结构产生的 TL 更好。不过，前一篇博客文章的压力声学案例中的声学特征频率出现在壳厚度为 1 mm 情况下的特征模态附近。这种声学模式可以与壳厚度为 1 mm 的特征模态同相，这反过来导致这种模式下 TL 的峰值比其他壳厚度情况下的峰值更大。
在这三种情况下观察到的计算频率范围内的最后峰值都出现在 700 Hz 附近。与不同厚度情况下的上一特征模态相比，这种模式的频率间隔对于变化的壳厚度来说是微小的。在壳厚度为 0.5 mm、1 mm 和 2 mm 的情况下，TL 曲线的峰值分别出现在 696 Hz、702 Hz 和 700 Hz 处。因此，可以推断出特征模态发生的频率不受壳厚度变化的影响。这可能是一种声学特征模态，其中壳的刚度不影响消声器内的空气。
传输损耗：从消声器入口到声学域边界
从消声器入口到声学域边界的传输损耗在之前的博客文章中已经定义，本次研究也针对壳厚度为 0.5 mm 和 2 mm 的消声器模型进行计算（如下图所示）。图中绘制了两条曲线（橙色实线和灰色实线），以及上一张图中的两条 TL 曲线，这两条曲线分别表示壳厚度为 0.5 mm 和 2 mm 的情况（橙色虚线和灰色虚线）。
图 3. 壳厚度（t）为 0.5 mm 和 2 mm 的情况下，从入口到出口的传输损耗与从入口到声学域边界的传输损耗比较图。
从图中可以明显地看出，灰色实线比橙色实线更平滑，谷值和峰值更少。橙色实线的峰值和谷值比灰色实线更尖锐。此外，对于大部分计算频率范围，灰色实线比橙色实线的传输损耗更高。鉴于消声器壳厚度为 2 mm 时比 0.5 mm 时更硬，实线的这些差异在意料之中。由于较硬的壳与消声器内的空气相互作用，导致发射到周围大气的壳噪声较小，从而使得结构响应不那么灵敏。
此外，我们也可以将每个厚度的两种类型传输损耗曲线进行比较。可以看出，对于壳厚度为 0.5 mm 的消声器模型，两条橙色曲线的重合度远远超过灰色曲线。在大部分计算频率范围内，两条灰色曲线（壳厚度为 2 mm）比两条橙色曲线（壳厚度为 0.5 mm）相距更远。对于橙色曲线，在 180 Hz 下的壳特征模态附近，从消声器入口到声学域边界的 TL 下降到从消声器入口到出口的 TL 以下。这表明在这种模式下，发射到周围大气中的声音比穿过消声器出口的声音多。
下图用 1/3 倍频带数据给出了三种壳厚度情况下从消声器入口到声学域边界传输损耗的声学方面的对比。
图 4. 以 1/3 倍频带形式绘制的三种壳厚度情况下从消声器入口到声学边界的传输损耗。
通过在分数倍频带中对 TL 进行分级来表示不同壳厚度的传输损耗类似于用声学测量获得的经验数据来满足既定要求。从上图可以清晰地看出，除了最后两个频带，壳厚度为 2 mm 的消声器在大部分频带中表现都是最好的。这可以通过查看本节开头讨论的线图中的灰色实线来验证，在这个线图中，曲线在 600 Hz 后开始下降。
计算消声器效率
除了传输损耗，衡量消声器性能的另一个指标是消声器效率，定义为：
其中 Pin 和 Pout 分别表示消声器入口和出口的声功率。
三种壳厚度的消声器效率如下图所示，可以看出，在计算的频率范围内，每种情况下的效率都非常相似。
图 5. 不同壳厚度情况下从消声器入口到出口的消声器效率。
在所有三种情况下，消声器从大约 200 Hz 的频率开始几乎以 100% 的效率工作，唯一的例外是在 386 Hz 下的谐振声学模式下，此时可观察到效率急剧下降。频率低于 85 Hz 时，计算频率范围内消声器的效率低于 60%，消声器在低频率范围内的不良性能在从入口到出口的 TL 中也很明显，如本文开头所示。
评估归一化辐射声功率
量化消声器性能的第三种方法是声学域边界的归一化辐射声功率，定义为：
其中，Pout_domain是声学域边界处的声功率，该变量取决于声学域边界的压力pout_domain。
针对三种不同壳厚度计算的 P*out_domain 如下面的图 6 所示。
图 6. 三种壳厚度情况下声学域边界的归一化辐射声功率。
正如预期的那样，对于低于 600 Hz 的大部分计算频率范围，壳厚度为 0.5 mm 的消声器声辐射最高，壳厚度为 2 mm 的消声器声辐射最低。图 2 中 188 Hz 处橙色实线的急速下降在图 6 中表现为橙色实线的大尖峰。因此，壳厚度为 0.5 mm 的消声器在出现于 180 Hz 到 188 Hz 之间的特征模态下向大气辐射超过 5% 的入射功率。
虽然三条曲线中存在其他峰值，在接近于特征模态的频率处更是如此，但是与 0.5 mm 情况下 188 Hz 处的峰值相比，其他峰值较小，只有不到 1% 的入射功率辐射到周围域中。
声压级和消声器壳厚度
三种壳厚度情况下的归一化辐射声功率峰值处的声压级如下图所示（用等值面表示）。
图 7. t = 0.5 mm 时，188 Hz 处的声压级。
图 8. t = 1 mm 时，342 Hz 处的声压级。
图 9. t = 2 mm 时，634 Hz 处的声压级。
壳厚度和消声器性能总结
研究表明，壳厚度对消声器的性能有很大影响。当然，壳越厚，结构越硬。因此，随着厚度的增大，传输损耗曲线更接近纯声学分析中的硬声场边界条件（将图 2 与上一篇博客文章的结果进行比较）。
此外，仅仅是将壳厚度从 0.5 mm 增加到 1 mm，辐射到周围空气中的峰值声功率就从高于 5% 降至低于 1%。
除了最大辐射声功率的降低外，值得注意的还有图 3 中的传输损耗曲线。结果说明了所述问题的复杂性：较大传输损耗的位置不是恒定的，而是频率和壳厚度的函数。比如，壳厚度为 0.5 mm 情况下的两条曲线的交点表明进入周围空气的（总）传输损耗大于消声器出口处的传输损耗。正如我们预料的那样，增大壳厚度时，最大的传输损耗差异通常发生在周围空气中。不过，在特定频率（约 630 Hz）下，壳厚度为 2 mm 的模型的传输损耗甚至低于相应的壳厚度为 0.5 mm 的情况。
总的来说，COMSOL Multiphysics® 软件提供了一种非常简单的方法来研究结构单元与气体或流体相互作用的影响。这使得声学工程技术人员能够很容易地确定合适的材料和/或结构参数，以得到所需的部件性能。常见应用包括振动、疲劳特性和部件噪声评估相关分析。
客座作者简介
Lightness by Design 公司的 Linus Fagerberg 是一位经验丰富的顾问，主要从事仿真支持的产品开发工作。他拥有瑞典皇家理工学院博士学位，专攻复合材料结构力学、稳定性和优化。Linus 认为数值仿真是一种非常强大的工具，有助于持续交付高质量产品、提高性能并降低风险。Lightness by Design 公司位于瑞典斯德哥尔摩，是 COMSOL 认证的顾问公司。
来自 Lightness by Design 公司的客座博主 Linus Fagerberg 分享了一种在消声器设计中预测外部噪声产生情况的新方法。
近年来，欧盟对道路车辆实行了更严格的噪声排放限制，在这些限制条件下，消声器设计人员必须创造更高效的方式来开发和评估所设计的消声器的性能。在 Lightness by Design 公司，我们开发了一种新的方法来实现这个目标。
基于之前的消声器模型进行建模
一篇 2016 年的博客文章通过列举在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用汽车消声器几何结构的例子，说明了在纯声学模型中包含结构效应的影响，其中建立了纯压力声学消声器模型和多物理场模型，比较了对两个模型的传输损耗预测值的影响。
图 1. 消声器模型包含在声学域中，其周围是完美匹配层。
Lightness by Design 公司扩展了消声器模型的声-结构耦合，来评估消声器向周围环境的声泄漏。为了便于评估，我们添加了一个半径为 0.35 m、长度为 1.4 m 的圆柱形声学域，该声学域环绕消声器，域的中心位于消声器的中心（如图 1 所示）。厚度为 50 mm 的外部域层能够定义完美匹配层（perfectly matched layer，简称 PML），该完美匹配层代表非反射条件。
在 COMSOL Multiphysics® 中模拟消声器设计
消声器几何结构保留上一个研究的几何结构外观，材料属性和应用于消声器几何结构的边界条件也保持不变。因此，穿过声学域的消声器的拉伸入口和出口管截面的表面被模拟为硬声场边界，如下图所示。在管的两端应用平面波辐射 边界条件，在消声器的入口面应用 1 Pa 入射平面波。有关示意图，请参见图 2。
图 2. 显示所应用边界条件的消声器模型。
声学域采用 20°C 环境温度下的空气的声学特性进行建模。这些特性与消声器内空气的声学特性一致。
平面波辐射 条件引入了对所有输出压力波的人工阻尼（将反射最小化），因此复制了一个无界或“无限”的管。在以前的研究中定义并应用于消声器几何结构的相同网格大小设置，在这里应用于消声器和所研究的声学域。外部 PML 区域在整个厚度上用六个单元进行扫掠。声-壳多物理场耦合的设置与先前研究的设置相似。
传输损耗定义
传输损耗是衡量消声器性能的一个很好的指标。在之前的研究中，从消声器入口到出口的传输损耗 TL定义为：
其中，Pin是消声器入口处的声功率，Pout 是消声器出口处的声功率。
对于当前模型，从消声器入口到目标消声器出口的传输损耗，以及从消声器入口到声学域边界的传输损耗对于评估来说都非常重要（图 3 显示了这些边界）。后者提供了以数值方式评估消声器向周围环境声泄漏的方法。辐射功率通过对外部物理表面（PML 内部）的声强进行积分得到。
图 3. 消声器模型和声学域。图中显示传输损耗计算中包含的边界。
消声器传输损耗仿真结果的比较
当前模型针对 10 到 750 Hz 频率范围和 1 mm 壳厚度进行谐波分析。下面的图 4 包含之前的研究得到的传输损耗曲线（橙色点线和灰色虚线）以及本研究中计算的传输损耗曲线（橙色实线）。
图 4. 壳厚度为 1 mm 时，从消声器入口到出口的传输损耗。
不出所料，灰色虚线与橙色实线非常一致，微小的差异也在意料之中，这是壳两侧的空气导致的。计算结果是从消声器入口到消声器出口的传输损耗，两个模型唯一的区别是本研究的模型中包含了声学域。这表明，与周围空气域的耦合在本质上是单向的。消声器上的外部空气负载不会显著影响传输损耗。如果外部声学域更硬或更重，它对传输损耗的影响将更显著。图 5 显示本研究中计算的两种传输损耗。
图 5. 从消声器入口到出口的传输损耗与从消声器入口到声学域边界的传输损耗的比较图。
值得注意的是，在 10 Hz 的最低计算频率下，从消声器入口到声学边界的传输损耗曲线（灰色实线）达到峰值，在低于 100 Hz 的频率范围内继续保持较高的传输损耗，这意味着在此频率范围内，这个区域泄漏到周围域的声音少于计算频率范围的其余部分。
然而，从图 5 所示的橙色实线可以看出，消声器性能在低于 100 Hz 的频率范围内较弱，相对于计算频率范围的其余部分，传输损耗非常低。这表明声音穿过消声器时没有太多衰减，也没有过度激励消声器壳，这导致向周围域的声发射非常低。
灰色实线在 172 Hz 和 342 Hz 频率时急剧倾斜，在之前的研究中，这两个位置出现壳特征模态。因此，在这两个频率下，有更多的声音传输到周围域，特别是在 342 Hz 时（其中灰色实线比橙色实线代表的传输损耗低）。这实际上表明，更多的声音被发射到周围声学域，而不是穿过消声器出口。
灰色实线的第三处明显下降出现在 386 Hz 处，在之前的研究中，此处出现声特征频率。值得注意的是，在 386 Hz 下，从消声器入口到消声器出口几乎没有传输损耗。橙色曲线在 y = 0 轴附近倾斜，但灰色曲线在 386 Hz 处的传输损耗仍然高于 342 Hz 处的传输损耗。这意味着 386 Hz 处的声模式为谐振模，空气在消声器腔中来回振荡，而不会显著激励消声器壳，也不会导致更多的声音发射到周围环境中。
在关注灰色实线的两个下降位置（172 Hz 处和 386 Hz 处）以便更好地了解这两个特征模态如何影响消声器辐射的声音时，我们针对一半声学域创建了声压级（sound pressure level，简称 SPL）的等值面图，如下面的图 6 所示。
图 6. 计算的模型在 172 Hz（左）和 386 Hz（右）下的表面图和体积图。
左图显示的是 172 Hz 时的壳模式下，消声器壳的总位移以及声学域 SPL 的等值面。172 Hz 下最大壳位移出现在消声器腔的两个短端，这产生了关于 z 轴几乎对称的 SPL 分布。右图为声学域 SPL 的等值面以及 386 Hz 时谐振模下消声器内部空气的 SPL 图。从图中可以明显地看出，消声器内的空气来回振荡，产生驻波。由于消声器右端的 SPL 较高，消声器内的驻波在 z 轴周围的声学域中产生不均匀的声发射。
特征频率研究仅指出存在特征模态的频率。要确定结构在特定特征模态下的响应，消声器内的空气在相关特征频率下的特性或声学模式和壳模式的相互作用，我们需要执行谐波分析，从而生成传输损耗曲线。本研究和先前研究中获得的从消声器入口到消声器出口的传输损耗能够满足这一需求。此外，新定义的从消声器入口到声学域边界的传输损耗通过预测泄漏到周围空气中的声音使人们对消声器性能的理解更加深入。
对消声器设计中声发射预测的思考
本文的研究通过将消声器模型耦合到周围声学域，推进了之前博客文章中的研究，还描述了评估消声器性能的新的量，即从消声器入口到周围环境的传输损耗。这里描述的新技术使消声器设计人员能够更好地预测外部噪声的产生情况，从而符合强制性噪声排放标准。
在即将发表的博客文章中，这个模型将被用来评估壳厚度的变化如何影响消声器的性能。敬请关注！
请注意，除了简单地改变壳的厚度以外，你还可以通过其他方式进行壳-强化分析。另一种分析壳刚度的方法是通过模压加工改变壳的拓扑结构，然后将模压加工后的壳的性能与加工前消声器几何结构的性能进行比较。
客座作者简介
Lightness by Design 公司的 Linus Fagerberg 是一位经验丰富的顾问，主要从事仿真支持的产品开发工作。他拥有瑞典皇家理工学院博士学位，专攻复合材料结构力学、稳定性和优化。Linus 认为数值仿真是一种非常强大的工具，有助于持续交付高质量产品、提高性能并降低风险。Lightness by Design 公司位于瑞典斯德哥尔摩，是 COMSOL 认证的顾问公司。
今天，来自 COMSOL 认证咨询机构 EMC3 咨询公司的特邀作者 Thomas Clavet 会在文章中与我们讨论如何模拟相控阵和几何聚焦探头。
超声聚焦广泛应用于各类工业设备与技术中，例如我们熟悉的无损检测（NDT）和医学成像。高强度聚焦超声（HIFU）是此技术的一项临床应用，它利用探头将大部分能量集中到目标组织区域，使组织发生凝固性坏死。本篇博客文章将重点对超声聚焦的仿真过程进行探讨。
设计无创超声设备的换能器
超声波拥有一大优势：无需贯穿发射信号与目标之间的传播路径，就能够到达金属、人体器官或生物组织内部。与外科医生使用的医疗手术刀不同，超声波不会在患者皮肤上留下任何疤痕，它能精准地对目标组织进行治疗，周围的健康组织受损伤的风险也很低。聚焦超声波已用于或可用于治疗前列腺癌和乳腺癌、高血压，甚至是青光眼等疾病。
根据不同的换能器设计，超声波有几种聚焦方式。COMSOL Multiphysics® 软件是模拟和优化换能器的有力工具。设计一款能够有效制造出可到达靶区的超声场的换能器可能是一项棘手的任务。它依赖于发射信号的频率和功率；超声波传播介质的衰减和吸收；当然还有换能器本身的位置和尺寸。
图 1：超声换能器产生的声场示意图。
临床应用中的超声换能器（上图）几个重要因素包括：
- 近场距离 N，计算公式为：
(1)
- D 是换能器直径
- f 是频率
- c 是介质中的声速
- 焦距 F，即换能器与相当于目标区的聚焦点之间的距离
- 场深或聚焦区，它表示 -6dB 信号的幅度与最高幅度之间的差距，计算公式为：
(2)
换能器发射的信号有两种聚焦方式：
- 修改换能器元件的曲率半径，使其等于焦距（参考上方示意图）
- 对平面阵列换能器施加电压时引入相位延迟（参考下方示意图）
图 2：用于集中声信号的超声探头示意图，它带有压电换能器阵列（相控阵）。换能器由背衬材料、压电元件以及测试样品（此图中为生物组织）的匹配层组成。
很多人选择使用 COMSOL Multiphysics 对上述两种方法进行研究。它不仅能模拟超声传播，还可以将超声聚焦仿真与传热仿真，甚至是生物组织的损伤规律耦合在一起。利用这种方式，我们可以快速直观地观察聚焦效应是否能够治愈适量的组织，并检查凝固性坏死的位置和体积，且所有操作只在一个建模界面内完成。
模拟几何聚焦探头
发射器的形状直接决定了超声聚焦方式。“声学模块”中的一个相关教学案例对此现象与传热现象进行了良好的耦合。虽然其声学仿真采用了一些假设，比如忽略了非线性效应和剪切波，但是它在聚焦区对探针参数的敏感性方面提供了有价值的信息。
本教程适用于大多数装置配置，且可用作仿真的起点。举例来说，在计算传热场之前，我们可以分析频率对聚焦区域大小的影响，从而确定传递到该区域的能量。在下文的例子中，我们对 0.5 MHz、0.7 MHz 和 1 MHz 三个频率进行了计算。图 3~5 分别显示了超声压力波的波形、以最大值（声压级）-6dB 为标准绘制的聚焦区的大小，以及使组织加热凝结的能量。
图 3：模拟超声波（红蓝色波形信号）发射后，由弧形换能器（带橙色箭头的底部表面）进行聚焦。超声波在组织中传播，其强度在聚焦区域达到最大。组织吸收能量后温度升高。
当换能器的直径和曲率保持不变时，频率增加会导致聚焦区减小。绘图清晰显示，频率越高，波长越小，对聚焦的影响越小。
图 4：以最大值（声压级）- 6dB 为标准绘制的聚焦区的大小。它证实了上方压力绘图显示的信息。所绘制的三个频率的 dB 单位各不相同。
图 5：绘图显示了三个频率各自对应的声强，单位为 W/cm2，采用同一颜色标度。频率为 1 MHz 时累积的最大强度比 0.5 MHz 时高 10 倍以上，二者的其他参数均始终相同。虽然频率增加导致聚焦区变小，但也意味着更多能量被传输到该区域，使组织区域温度更高。
相位延迟聚焦探头
第二种超声聚焦方法是在压电元件阵列中加入若干换能器，利用相位延迟控制每个元件的电压输入。我们必须计算出每个阵列配置的相位延迟，因为它取决于频率、压电元件、尺寸、位置，当然还有焦距。
针对线性单元阵列，一个有效的方法是计算每个单元的中心 i 与焦点之间的距离 di，并将相位应用于方程：
(3)
为了说明这一点，我们为 16 单元的阵列探头建立了一个几何模型，并使用 COMSOL Multiphysics 的“声学模块”和“传热模块”耦合了下列接口：
- 压力声学，频域
- 固体力学
- 静电
- 生物传热
图 6 显示了几何模型的二维横截面，其中匹配层和背衬层分别位于压电元件前后两侧。背衬层的作用是防止过度振动。匹配层是压电材料和生物组织的中间材料，是保证超声波高效进入组织的必要条件。它与回声图像诊疗中医生在探头和皮肤之间涂抹的凝胶具有相同的效用。
图 6 还使用不同颜色和变形图绘制了基于 (3) 计算出的相位延迟，它从最边上的 0 逐渐增大为最中间的 434°。
对元件施加电压时，压电材料振动并产生超声波，由于相位延迟，超声波会集中在期望焦距处。
至于几何聚焦探头，其仿真可以与传热和损伤定律模拟相结合，以评估生物组织中的温度升高和凝固体积。在平面波极限中给出的来自声学信号的热源计算如下：
(4)
其中 αabs 是组织的吸声系数，Iac 是声强大小。
对于不同的组织，能量吸收 αabs 差别巨大。因此，一定要检查计算的聚焦信号是否损伤了阵列探头和聚焦区之间的其他组织。如果这些组织不应遭受损伤，那么应当调整焦点。针对这种情况，仿真能够帮助我们快速地修改阵列探头的设计和操作参数，并验证阵列配置，或者决定放弃。
图 7 和 8 分别显示了超声压力波的波形及其集中的能量。
图 6：根据频率、焦距以及换能器元件的大小和位置计算得出的延迟。
图 7：1.5 MHz 频率下的波形图。如果超声波不够集中，我们可以修改几何设计、相位延迟，甚至是装置频率。
图8：单位为 W/cm2 的声强绘图。在此例中，16 个压电换能器元件发射的低强度超声信号在聚焦区延伸了若干毫米。在这个阶段，我们可以运行传热和损伤仿真，以确定不可忽略的强度是否导致聚焦区和换能器（ W/cm2）之间温度过高，还是可以在手术中进行使用。
相关资源
- 阅读发布于 COMSOL 用户年会 2013 年鹿特丹站的论文：
参考文献
- Zhenya Yang, Jean-Louis Dillenseger. Phase estimation for a phased array therapeutic interstitial ultrasound probe. Conference proceedings: Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. Annual Conference, Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), 2012, 2012, pp. 472-5.
- “Phased Array Tutorial”, Olympus, http://www.olympus-ims.com/en/ndt-tutorials/phased-array/.
- “Basic principle of medical ultrasonic probes (transducer)”, Nihon Dempa Kogyo Co., Ltd., http://www.ndk.com/en/sensor/ultrasonic/basic02.html.
作者简介
Thomas Clavet 是毕业于法国国立高等工程技术学校（Arts etMétiersParis Tech）和瑞典皇家理工学院（KTH）的机械工程师。他曾在核工业领域担任应力工程师，后来在 COMSOL 英国分公司和爱尔兰分公司担任应用工程师，为多位 COMSOL Multiphysics 用户培训流体流动、传热、声学和结构力学仿真。
Thomas 于 2014 年在法国南部创立了 EMC3 咨询公司，作为 COMSOL 认证咨询机构为客户提供专业的 COMSOL Multiphysics 使用技巧以及 CFD、传热、声学和结构力学仿真专业知识。
欢迎访问 www.emc3-consulting.com，了解 EMC3 咨询公司如何使用 COMSOL Multiphysics 帮助企业设计更优秀的产品。
今天的特约作者，是来自 COMSOL 认证咨询机构 — Boffin Solutions 有限责任公司的 Ionut Prodan，他将会和我们一起讨论运用混合方法计算薄层结构中的裂隙流动建模。
当在三维多孔基体中对薄层裂隙进行建模时，您可以通过裂隙流接口将它们模拟为二维对象，以有效地描述其压力场。然而，很多时候，我们对裂隙通量的计算更感兴趣，例如非常规储层中的水力压裂。让我们来看看混合方法是如何攻克这些难题的。
从三维到二维：薄层裂隙建模
为了运用“地下水流模块”建立真实裂隙的二维对象模型。首先，需要求解位于内表面的压力场（通过 Darcy 定律的切向形式），以表征裂隙沿切向的伸展。然后将速度场沿某一边界的法向分量和裂隙厚度相乘（确定二维裂隙对象边界），便可计算通过实际裂隙横截面的流体通量。这种方法具有更高的计算效率，我们只需要将它绘制成表面网格，就可以将超薄但足够宽的三维对象简化描述为二维对象。
您创建的二维裂隙模型应具有以下特征：
- 具有一条位于多孔基体内部的边缘。
- 该区域比周围结构具有更高的渗透性。
- 其侧面和横截面具有较大长宽比。
在这样一个系统中，裂隙通量的计算往往会发生误差。让我们看看下面这个例子。
注意：借助 COMSOL Multiphysics® 软件最新的 — version 5.2a 版本，您也可以对薄层裂隙中的传热进行建模，这是通过裂隙传热接口实现的。
解决裂隙通量计算误差：以储层块为例
在下图所示的系统中，一条三维硬币形压裂裂缝包含在储层中，并与水平井相连。这个简化系统的入口由两个位于贮槽块顶部和背部的贮槽边界（图中绿色部分）组成。唯一的出口位于裂隙盘与井筒相连接的狭窄边界处。入口和出口都设置为压力边界条件，值分别为 ΔP 和 0。因其具有对称性，所有只需对实际系统几何形状的四分之一部分进行考虑。
一条三维硬币形裂隙（图中蓝色部分）被嵌入储层中，并与水平井（图中红色部分）液压连接。两个储层入口边界用绿色突出显示。
请注意，上述系统的尺寸不代表实际尺寸。我们将尺寸按比例缩小了，以便提供充足的盘状裂隙进行三维网格剖分，缩小后的半径为 7.62 米（25 英尺），厚度 为 1.27 厘米。（如果按照实际应用中那样，以百英尺数量级的半径来精确绘制三维裂隙网格剖分，这会使计算成本过高。）井筒半径为 12.7 厘米（5 英寸），而贮槽块的尺寸约为 8 米 × 15 米 × 15 米（25 英尺 × 50 英尺 × 50 英尺）。 整个网格由 2,246,298 个四面体单元组成，其中 657,720 个仅用于盘状裂隙区域。后者的最小单元质量及平均单元质量值分别为 0.148 和 0.700，而整个网格的平均质量为 0.673。
真实水力压裂中厚度为 dHF 的出口边界的三维(图中绿色部分)及二维(图中红色部分）表示方法。
在不可压缩、单相、定常流动参数的情况下对不同水位降低 ΔP 取值进行研究时，可用 Darcy 定律 求解压力场 。该液体是一种轻质液态烃，其动力粘度值
为 0.26 cP。贮槽基体的渗透率为 1 mD，水力压裂的渗透率为 45.6 Darcy。
上文所述的裂隙通量计算问题如下图所示。当水力压裂（HF）被描述为三维或二维对象时，图中显示的入口和出口流速为水位降低 ΔP 的函数。如预期一样，前三条曲线（入口流速曲线和三维出口流速曲线）重叠，二维表示法下的出口流速只代表入口流速的四分之一。前三条曲线的通量通过流体速度矢量 在入口和出口表面法向分量的积分进行计算 (
) 。同时，二维裂隙的出口流速描述为沿出口边缘的的积分
，并与裂隙厚度 dHF 相乘：
。
无论运用哪种网格剖分，以及无论以何种方式探测 ， 都会存在
通量计算问题，其被积函数表达式为：(dl.nx*dl.u + dl.ny*dl.v + dl.nz*dl.w)，(sys1.e_n1*dl.u + sys1.e_n2*dl.v + sys1.e_n3*dl.w)，dl.bndflux/dl.rho，或者为 (root.nx*dl.u + root.ny*dl.v + root.nz*dl.w)。“dl.”标识符代表应用接口(Darcy 定律接口);{nx,ny,nz} 指垂直于边缘 的法向矢量的笛卡尔坐标分量
；{u,v,w} 指流体速度矢量
的笛卡尔坐标分量。
当真实的 HF 被模拟为各个系统中三维或二维对象时，入口和出口流速为水位降低 ΔP 的函数。
请注意，当水力压裂被描述为二维对象时，盘状裂隙（三维）域从模型中被省略，只有当其通过内部侧边界时才会被考虑。另一方面，二维和三维描述中的几何和网格是相同的。这种简化大大缩小了系统的尺寸，这也正是裂隙水流接口中的对用户最具吸引力的单元：它使通过适当的网格剖分对大尺寸裂隙表面的建模成为可能。因此，如果有一种方法可以避免二维裂隙出口通量问题时，它将非常实用。
借助混合方法解决裂隙通量守恒问题
混合方法可以将远离井筒的裂隙的二维描述和其附近裂隙的三维描述相结合。下图显示了由混合方法实现的网格剖分几何。蓝色区域代表裂隙的三维分量；红色表面代表裂隙的二维分量，描述了向多孔基体延伸的实际裂隙流边界。请注意，与二维分量相对应的实际裂隙的三维部分并未包含在模型中。
混合方法实现的网格剖分几何图形。蓝色区域代表裂隙的三维分量，红色表面代表裂隙的二维分量。后者为真实裂隙的内部侧边界（朝向基体）。
在混合方法中，真实裂隙中任一点的压力场仍旧可以被精确地求解，同时可以在避免二维描述缺点的前提下计算出通过出口边界的通量。下表对三维、二维、混合方法下水力压裂的相关计算量进行了比较。这些计算是通过配备有 Intel® Core
i74770 处理器和 32 GB 内存的计算机使用直接求解器实现的。
| 水力压裂 | 自由度 | 内存 (GB) | 时间迭代 (s) | | |
|---|---|---|---|---|---|
| 三维 | 3,231,747 | 23.74 | 247.5 | 1 | 1.00026 |
| 二维 | 2,354,490 | 15.98 | 153.5 | 0.99948 | 0.24992 |
| 混合方法 | 2,397,891 | 16.50 | 158.0 | 0.99941 | 0.99967 |
二维及混合方法下相关计算量的比较。
下方的对数刻度绘图显示了沿 YZ-平面（包含二维裂隙表面）内的对角线延伸的压力剖面图，其水位降低为 100 psi。该探测线由位于表面右下部的出口（井筒）及另一端的贮槽块的入口来进行界定。图中插入的白线突出显示了探测线。插图中表面的颜色与 YZ-平面内探测的压力值相对应，图中的导向箭头对重要的参数点起指向作用。在所有三种情况下，图中的曲线都会重叠，表明三维、二维、混合方法这三种描述中的压力场解决方法几乎完全相同。
沿 YZ-平面内的面对角线延伸的压力剖面图。
混合方法使薄层裂隙建模更方便
仅对裂隙进行二维描述可能会出现通量计算问题。正如前文所述，我们提出了一种用于描述真实裂隙的混合方法，这是一种可行的解决方案。因此，这种技术可被运用于多种带有大量无规则薄层裂隙的真实系统。
关于特约作者
Ionut Prodan 是 COMSOL 认证咨询机构——Boffin Solutions 有限责任公司的负责人。在创办 Boffin Solutions 之前，Ionut 曾供职于壳牌（Shell）及马拉松石油公司（Marathon Oil）的高端技术部门。他从莱斯大学（Rice University）获得了物理学博士学位，攻读期间他从事超冷原子光缔合和计算固体化学的研究。
Intel 及 Intel Core 为 Intel Corporation 或其位于美国和/或其他国家子公司的注册商标。
本文特约作者是来自 COMSOL 认证咨询机构——resolvent ApS 的 Matteo Lualdi，他将与我们分享开发用于固体氧化物燃料电池（solid oxide fuel cell stack，简称 SOFC）堆分析的仿真 App 带来的优势。
对许多企业来说，数值模拟及仿真是贯穿设计工作流程中从产品研发到优化各个阶段的宝贵工具。而仿真 App 进一步扩展了此类工具的应用范围，将复杂的多物理场模型隐藏在了易用的界面之下。让我们来一起看看这样一个案例：固体氧化物燃料电池堆 App。
固体氧化物燃料电池：一个复杂的多物理场系统
想象一下这样一个装置：它既可以为您的住宅提供热能和动力，也可以为您汽车的电机进行充电。此装置可以在产生电能的同时又损耗很小，且不受卡诺循环的限制。这一设想中的装置便是燃料电池。
燃料电池与蓄电池类似，都是通过电化学反应将燃料中的化学能转换为电能。但不同之处在于：蓄电池需要充电，而燃料电池是通过不断补给的化学物质来实现持续供电。SOFC 被公认为是最高效、应用方式最灵活的燃料电池之一，这是因为其动力学损耗非常低。然而在较高温度下， SOFC 性能会有所降低，因此从工程角度来看，其较高的工作温度（600 °C 至 1000 °C）向工程师们提出了更大的挑战。
SOFC 示意图。图像不受版权限制，通过 Wikimedia Commons 共享。
由于过高的工作温度及系统整体复杂性，对电池堆内的温度、成分、电流密度等关键参数进行测量是非常困难的。然而测量上述参数对优化装置性能和确定不同工艺条件下可能发生的潜在问题是非常重要的。
借助 COMSOL Multiphysics® 软件的仿真能力，我们便可以精确估算以上参数。软件同时还可用于解释实验结果，让用户可以模拟那些原本成本高昂且难以充分理解的破坏性试验。
在 COMSOL Multiphysics® 中对固体氧化物燃料电池堆进行建模
SOFC 堆的建模需要将具有较大纵横比的复杂几何结构与三维多物理场问题相结合。每个 SOFC 均包含两个反应物流：空气和燃料。这两个反应物流的组分可以不同，同时有多个参数用于描述入口和环境条件。
SOFC 堆模型的几何结构。
由于涉及多个物理场，所有建模需要解决以下问题：
- 空气和燃料中的化学反应
- 空气和燃料的流动
- 空气和燃料中的质量传递
- 传热
- 电流
设计这样一个复杂模型并修改其参数需要同时掌握建模技术和数学模拟方面的知识。结合这两项专业工作往往需要运行大量的计算，这对模型开发人员来说是一个沉重的负担，因为他们不得不花费大量时间来运行计算。
多亏有了 COMSOL Multiphysics® 中的 App 开发器，仿真专业人员现在有能力设计一种用户友好的工具，并通过将这件工具部署给组织中其他团队的成员，来共同研究如此复杂的系统。将仿真结果快速提供给用户，这大大提升了整体生产效率，同时也使仿真专业人员拥有了更多的时间来进行模型开发，当然，他们还会继续提供技术支持。
创建用户友好的仿真 App 来分析 SOFC 堆
同上文重点提及的初始模型一样，这里展示的仿真 App 也是由托普索燃料电池（Topsoe Fuel Cell）公司开发的，该公司是 SOFC 技术领域的领导者。对于整个公司来说，模型和对应的仿真 App 是优化 SOFC 堆设计的重要研发工具。
该 App 的用户界面（user interface，简称 UI）设计有多个选项卡，如下方屏幕截图所示。例如，在输入 选项卡里，完全不具备或只具备少量仿真专业知识的用户也可轻易修改 SOFC的工作条件。在本示例中，温度、电流、流动及热损耗等所有状态的参数都可基于特殊的建模需求进行修改。
可在 输入选项卡中进行修改的参数。
也许 App 用户具备求解器及其他特殊设置的知识。如果是这样，这些用户可在求解器 & 特殊输入 选项卡中修改与求解有关的多个参数，其中包括质量约束、被氧化物种类，以及不同燃料物质。同时其中还有一个选项可以用于调整与面比电阻（area-specific resistance，简称 ASR）有关的设置。
求解器 & 特殊输入选项卡。
在对设置进行恰当修改后，下一步便是计算仿真。在进行计算时，App 用户需遵循仿真流程进行等待。那么用户可以利用该工具完成哪些计算呢？举一个例子，用户可以用 App 计算 SOFC 堆内的温度分布，如下图所示。
SOFC 堆内的温度变化。
借助 App，用户还可以分析固体氧化物燃料电池堆内的电流密度及氢气的质量分数。您可以在下图中看到重点显示的仿真结果。
左图：显示了电流密度。右图：显示了 H2 的质量分数。
随着设计工作流程的进展及用户对其装置理解的进一步加深，他们可能会要求修改参数或添加新的参数，并需要输出新的仿真分析结果。由于 App 开发器的灵活性和可定制性，App 设计者们可便捷地修改上述参数以满足终端用户的特殊需求。
体验仿真 App 的开发与使用带来的优势
将复杂模型转化为 App 是将仿真功能呈现给更多人的一种有效解决方案。无论是将 App 部署给您组织中的其他工程师、系统开发人员，还是销售人员，此类工具都是快速传递可靠仿真结果的可行资源，同时还可帮助用户验证运行策略或加深对实验结果的理解。
从顾问 – 客户的角度来看，一个包含有 App （基于验证模型）的设计工作流程能为客户创造更大价值。客户现在有能力探索不同参数对设计的影响，从而获得更加快速可靠的结果，而不是像原来那样只能接收到包含少量灵敏度分析的报告。
关于特约作者
Matteo Lualdi 是 COMSOL 认证咨询机构——resolvent ApS 的仿真项目经理。他分别在米兰理工大学和瑞典皇家理工学院获得了能源工程硕士学位，这两所大学均隶属于欧洲顶尖工科大学联盟（Top Industrial Managers for Europe，简称 T.I.M.E.）。之后，他获得了瑞典皇家理工学院的化学工程博士学位。在加入 resolvent ApS 之前，他从事着燃料电池和催化剂业务方面的工作，主要负责系统仿真和催化反应器的定型。