质子疗法是一种利用高能质子束将电离辐射输送至治疗区域的先进癌症治疗手段。质子束的强度、方向和形状均需要精准控制，以向肿瘤区域输送适当的剂量，同时最大程度地减少对周围健康组织的损伤。这篇博客，我们将演示如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件模拟笔形束扫描喷嘴，用于将质子束精准地引入治疗区域。

质子疗法的优势

与其他形式的放射疗法相类似，质子疗法利用电离辐射破坏肿瘤细胞的 DNA 治疗癌症，这种辐射损伤会中断肿瘤细胞的繁殖，并最终消灭它们。在质子疗法中，电离辐射源是由粒子加速器产生的高能质子束。

使用质子束代替传统 X 射线的主要优势在于其明显的布拉格峰。通常情况下，后者的辐射剂量在浅层组织区域附近最大，并随组织深度单调递减，这意味着在治疗过程中，浅层和深层的健康组织也会受到次级照射。相反，质子会在停止前（即接近其最大穿透距离时）释放最大剂量，使浅层健康组织受到的剂量相对较小，而深层组织则完全不受影响。通过微调治疗计划中使用的质子束能量，医学物理专家可以确保质子束在肿瘤区域产生均匀的剂量，同时不伤害邻近的健康组织。

质子束和 X 射线束的剂量与穿透深度的关系，请注意质子束明显的布拉格峰。图片获 GNU Free Documentation License 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

质子束的横向剖面也需要加以控制，以使其与肿瘤的形状相匹配，最常见的两种方法是被动散射和笔形束扫描（PBS）。被动散射法利用一个或多个散射箔片来分散质子束，使目标区域（也称为治疗场）接受几乎均匀的照射。相比之下，笔形束扫描或点扫描则是将治疗场划分为类似体素的子区域，并利用狭窄的“笔形”射束对每个子区域进行治疗。

质子束的控制

质子束的导向由笔形束扫描喷嘴系统控制。最简单的笔形束扫描喷嘴由两块垂直和水平排列的偶极磁铁组成，以产生均匀磁场，分别使质子束向水平和垂直方向偏转。通过控制驱动磁铁的电流，辐射技术人员可以调整磁场强度，从而控制质子束的偏转程度。

笔形束扫描系统的数值模拟源于人们对磁共振成像（MRI）实时监测治疗（也称为磁共振引导质子治疗）的关注日益浓厚。笔形束扫描喷嘴和 MRI 系统都利用了强磁场，因此必须透彻地了解这两个系统之间的电磁相互作用，以决定采用什么必要的干预措施，确保 MR 成像和质子束的质量。

笔形束扫描喷嘴的 3D 模型。

笔形束扫描仿真

这篇博客，我们只研究笔形束扫描系统。所研究的模型由四个分离的功能磁体（两个偶极子和两个四极子），一个射束孔径和一个代表治疗场的靶平面组成。

笔形束扫描喷嘴模型的一部分。磁体系统包括两个标有 Q1 和 Q2 的四极子、一个垂直扫描偶极子 (SV) 和一个水平扫描偶极子 (SH)。图中还显示了射束孔径和靶平面（治疗场的位置）。

四极子旨在塑造质子束剖面的形状，以确保质子束与上游加速器束线（未模拟）相匹配。线性磁场梯度的作用是使质子束在一个横向方向聚焦，并在另一个方向散焦，因此需要两个四极子。聚焦的强度由输入的四极子电流控制。

沿四极子 1 (Q1)横截面中心的磁场。注意中心附近的磁场箭头方向。Q1 磁场在垂直方向聚焦质子束，在水平方向散焦质子束。另一个四极子（Q2）旋转了 90 度，其行为与Q1相反。

两个四极子的下游是两个扫描偶极子。这些磁体在极子间隙内产生恒定均匀的磁场，使质子束偏转到所需的目标位置。水平/垂直偏转的大小由磁场强度决定，而磁场强度又由输入偶极子电流的控制。在模型中，用户可以指定治疗场中所需的 (x, y) 目标位置，并根据给定的束流能量近似计算出所需的线圈电流，通过直接调整线圈电流就可以更精准地控制质子束的目标位置。

左图和右图分别显示了垂直扫描偶极子（SV）和水平扫描偶极子（SH）的磁场。

两个扫描偶极子的下游是束孔径和靶中心，前者是 PBS 喷嘴物理结构中唯一需要模拟的部分。为能够清晰演示，模型中还省略了喷嘴物理结构的其他部分，但在综合研究中可将它们包括在内。

为了可视化质子束轨迹，使用了 带电粒子追踪 接口模拟。磁场分布被无缝集成到粒子追踪模拟中，以准确模拟质子束的轨迹。（请注意，为了演示简洁清晰，模型中忽略了散射。）质子束的动能通常在 MeV 范围内变化，也被作为模型参数考虑在内。

分别沿 yz 平面和 xz 平面的质子束轨迹图（红色）和磁通密度模图。

上图描述了质子束和磁场的配置，质子束在靶平面上的标称位置为 x = 12 cm 和 y = 8 cm。

动手尝试

有兴趣尝试自己动手模拟本文中演示的多物理场模型吗？点击下方按钮，获取模型 MPH 文件。

延伸阅读

阅读下列博客，了解仿真如何推动医疗保健领域的其他治疗方法：

• 分析细胞的力学行为

• 通过仿真了解肿瘤的电化学治疗

声阱为各种生物医学应用提供了一种操控细胞和粒子的无接触式方法。在典型的声阱设备中，压电换能器在流体中产生压力场，从而产生能有效捕获流体中微小悬浮物的声辐射力。这篇博客，我们将深入探讨一个包括热声流和粒子追踪的声阱模型。

声阱简介

1874 年，August Kundt 首次证明了声波可以对暴露粒子施加声辐射力。自 20 世纪 90 年代以来，这一原理就已经被应用在微流体装置和片上实验室系统中，如今，商业化的声阱设备已被全球生命科学实验室和医疗机构广泛采用，用于低浓度样品的富集和纯化，细胞之间的相互作用研究、粒子分选，以及现场即时诊断的细菌、病毒或生物标记物的分离等。

图 1 微流体通道横截面上的声流，可用于生物流体样品中对粒子进行浓缩或分离。

声阱中诱发的声波会产生声流，即在捕获位点周围形成快速移动的涡流。这种声流会对流体中的颗粒产生黏性阻力。同时，颗粒也会受到声辐射力的作用。对于大颗粒，声辐射力占主导地位，对于小颗粒，黏性阻力占主导地位。改变主导力性质的颗粒临界尺寸取决于具体的设备和颗粒的声学特性。在大多数设备中，声辐射力用于捕获或控制颗粒，因此，来自声流场的黏性阻力通常会阻止小于临界尺寸的小颗粒被声阱捕获。

了解这些信息后，让我们深入探讨如何在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟声阱。您可以从案例库中下载文中讨论的玻璃毛细管中的声阱和热声流三维模型。

声阱仿真

示例的三维声阱几何结构如下图所示。声阱系统的几何沿两个平面对称，因此只需要计算系统的 1/4 几何：装满水（蓝色）的 1/4 玻璃毛细管（黄色）及其下方的 1/4 微型压电换能器（灰色）。实际上，相较于 0.48 mm 的高度和 2.28 mm的宽度，约 5 cm 的玻璃毛细管非常长，因此使用完美匹配层（PML）对其两端进行模拟。完美匹配层是一个可添加到几何体中的域，用于模拟所有出射波的衰减和吸收。下图中绿色显示为包含 1/2 毛细管一端的完美匹配层。在此模型中，完美匹配层在玻璃毛细管和流体中都处于激活状态。

图 2 声阱的 1/4 几何结构。

声阱仿真是一个复杂的多物理场问题，涉及电磁学、固体力学、声学和流体流动等多种现象，某些情况下，还包括传热。压电换能器上的振荡电压差会引起压电材料振动，进而引起玻璃毛细管振动。这种压电效应通过耦合压电传感器域中的静电与压电传感器和玻璃毛细管的固体力学来模拟。为了模拟流体中产生的压力场，在玻璃毛细管和流体之间的边界上使用了声-结构多物理场接口，用于耦合固体力学与压力声学。

此外，压电换能器中的能量耗散会使系统升温，在玻璃毛细管和流体中产生温度梯度，进而在流体的声学特性中产生梯度，影响声流。非等温流动的多物理场耦合考虑了这种温度梯度的影响，将整个几何结构（固体和流体）的传热仿真与流体域中的蠕动流模型相结合。蠕动流和压力声学之间的耦合用于模拟声流。最后，为了验证声阱模型是否按照预期工作，使用了粒子追踪技术来确定流体中两类颗粒的轨迹，即大颗粒硅玻璃和小颗粒聚苯乙烯。

接下来，我们来看看仿真结果！

仿真结果

声场

声场使用频域计算。在频率为 3.84 MHz 的超声状态下激励系统。该频率波长的 1/2 约等于流体腔的高度。压电换能器中的电场、压电效应在压电换能器和玻璃毛细管中产生的位移场，以及由此在流体中产生的声压场如下图所示。在压电换能器上方，声场包含一个最小压力区域，称为压力节点。

图 3 声阱中的位移场（nm）、电场和压力场。

声场中作用在颗粒上的声辐射力可以用 Gor’kov 势能来描述。图 4 显示了模型中计算的小颗粒聚苯乙烯 Gor’kov 势能。悬浮在流体中的颗粒会被推到最小 Gor’kov 势能处，从而被困在玻璃毛细管的中心。有关声辐射力的详细讨论以及如何使用 COMSOL Multiphysics^® 计算声辐射力，请查看我们之前的博客。

图 4 直径为 1 µm 的聚苯乙烯颗粒的 Gor’kov 势能。

热声流

声流的仿真结果如何？下图的模拟结果显示，压电换能器上方有四个涡流，这只能用温度场来解释。压电换能器的升温引起玻璃毛细管和流体产生温度梯度，从而产生流体密度梯度和可压缩性梯度。流体材料参数中的这些梯度与声学相互作用产生热声体积力，热声体积力产生声流，最终形成这种特定的声流模式。

图 5 玻璃毛细管内的热声流和温度梯度。根据对称平面绘制的声阱实际几何。

粒子轨迹

通过粒子追踪，我们还可以了解具有特定性质的颗粒是否会被吸入声阱。下面的动画显示了直径为 10 µm 的大颗粒硅玻璃和直径为 1 µm 的小颗粒聚苯乙烯的计算轨迹。压电换能器上方的硅玻璃颗粒向玻璃毛细管中心移动并被困在那里，而较小的聚苯乙烯颗粒的移动则受流体流动的控制。

图6 大颗粒硅玻璃的运动轨迹。

图 7 小颗粒聚苯乙烯的运动轨迹。

动手尝试

有兴趣自己动手建立文中示例的多物理场模型吗？点击下面的按钮即可下载该模型的 MPH 文件：

扩展阅读

您也可以在 COMSOL 案例库中找到一些包含声流和声阱的教程模型：

• 微通道横截面中的声流
• 带偏流的玻璃毛细管中的声阱
• 声流体阱中的光-声泳效应

如果说有一个数字可以统治所有的数学和科学，那就是圆周率。π 这个小小的符号有着悠久的历史，可以追溯到数千年以前。从对圆进行粗略近似的古代文明，到计算万亿位数的现代超级计算机，圆周率一直吸引着数学家和好奇者的想象力。这篇博客，我们将通过COMSOL Multiphysics^®仿真软件提供的功能，以一种有趣和流行的方法来计算圆周率。

历史上对圆周率的近似计算

已知最早的圆周率近似值出现在古代文明中。巴比伦的数学家将圆周率近似为 3，这个数值在当时的建筑工程中是合理的，后来又被精确为 3.125¹。埃及的数学家和印度的学者分别通过比较圆形和八边形的面积² ，和通过巨量的计算³得出了近似的数值。包括阿基米德在内的一些希腊学者利用几何方法将圆周率的近似值精确到 3 个数量级以内⁴，使圆周率的计算取得了重大突破。

 

左图：Domenico Fetti 于 1620 年创作的 Archimedes Thoughtful（又名：Portrait of a Scholar）。图片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。右图：Leonardo Fibonacci 的肖像。图片属于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。

如今我们普遍使用的 3.14 近似值来自中国数学家刘徽，他提出这个近似值的目的是为了实用⁵。圆周率计算的后续发展涉及无穷级数估算和三角关系的利用。数学家们利用微积分推导出了无穷级数，可用于计算高精度的圆周率，其中 Fibonacci 和 Al-Khwarizmi 做出了重要贡献。

这些发展为我们使用的现代方法奠定了基础，包括计算机中使用的算法，即通过先进的数学工具和计算能力计算万亿位数的算法，以极高的精度计算圆周率。一些著名的计算方法包括 Chudnovsky 算法、Gauss–Legendre 算法、Machin 公式，以及 Monte Carlo（蒙特卡罗）方法。

通俗易懂的蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法是一种依靠随机抽样来估计数值结果的计算技术，特别适用于包含大量变量的问题。对于这种情况，可以利用内在的随机性来解决确定性问题。想象这样一个场景，你正在为一场聚会计算需要订购多少个披萨。这里的确定性问题是计算每个人要吃多少片披萨。与其询问每个人要吃多少片披萨，然后求和得出结果（这对一个大型聚会来说可能相当麻烦），不如随机挑选几个朋友，询问他们要吃多少片披萨，然后求平均值来解决问题。这有点像蒙特卡罗方法，即使用随机样本来估计一个值。蒙特卡洛法被广泛用于模拟复杂现象，如流体、统计力学、生物化学、密码学、社会学和心理学。

这种思维可以扩展到现在流行的一种有趣的估计圆周率的方法。这种方法是在一个正方形内随机放置一些点，然后计算有多少点位于正方形内切圆内。圆内的点数与总点数之比可以用来近似计算圆周率。由于内嵌在边长为 2r 的正方形中的圆的面积为 πr^² ，而正方形的面积为 (2r)^² = 4r^² ，因此它们的面积之比为 π/4。也就是说一个点落在圆内的概率是 π/4。因此，如果我们将圆内点数与总点数之比乘以 4，就可以得到 π 的估计值。这是因为随着点数的增加，比率会趋近于实际值 π/4。

估计圆周率的基础。

在 COMSOL Multiphysics^® 中使用蒙特卡罗方法估算圆周率

为了进行这个简单的蒙特卡罗模拟，我们将使用 数学粒子追踪 接口。在 COMSOL Multiphysics^® 软件平台中添加粒子追踪模块就可以使用这个接口。虽然该模块的用户通常不会使用它来随机生成点，但出于可视化和美观的目的，我们决定在这个有趣的示例中使用它。

现在，我们来举例说明。一些粒子被随机释放到一个正方形区域并保持静止。对位于正方形内切圆区域内的粒子数量进行追踪，来获取圆周率的实时估计值。可以看到，随着点数的增加，估计值（蓝色实线）逐渐接近真实值（绿色虚线）。值得注意的是，估计值的精确度并不随点的数量呈线性变化。蒙特卡罗近似的统计误差通常与 1/sqrt(n) 成正比。这意味着，要将误差减少 10 倍，通常需要将点数增加 100 倍。

在随机放置的点数不断增加的情况下，圆周率的实时估计值（蓝色实线）与真实值（绿色虚线）的比较。

接下来，我们使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 App 开发器创建了一个基于多物理场仿真模型的仿真 App。在这个 App 中，我们可以使用一个滑块改变点的数量，并获得圆周率在不同点数的估计值以及与真实值的误差。该 App 还将随机放置的点可视化，并通过颜色协调来识别位于圆内的点。

使用仿真App根据不同的点数估算圆周率，并获得对结果的可视化解读。

下一步

欢迎从 COMSOL 案例库下载包含 App 设计和相关文件的 MPH 文件：使用蒙特卡洛法估算圆周率值。

• 更多使用蒙特卡罗方法的模型:
  • 演示如何直接对 Ishigami 函数进行蒙特卡罗模拟的示例
  • 使用蒙特卡洛法评估自由分子流动体系中简单涡轮分子泵性能的模型
  • 使用蒙特卡洛法计算通过 S 形弯曲几何结构的传输概率的模型
  • 有关 App 开发器的信息:
    • 阅读博客：App 开发器让更多人受益于多物理场仿真，了解 COMSOL 用户对 App 开发器的使用评价。
    • 阅读用户案例：借助仿真 App 预测水果保质期，了解一款基于多物理场仿真模型开发的智能手机应用程序
    • 阅读用户案例：使用仿真 App 进行远程实验课程教学，了解一位大学教授如何使用仿真 App 进行教学

  参考文献

  1. P. Beckmann, A History of π. New York: St. Martin’s Press, 1971
  2. C. Rossi, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press, 2004
  3. C. Krishna, A profile of Indian culture. Indian Book Company, 1975
  4. D.B. Damini & A. Dhar, How Archimedes showed that pi is approximately equal to 22/7. arXiv e-prints, 2020
  5. Y. Lam & T.S. Ang, Circle measurements in ancient China, Historia Mathematica, 1986
  //www.denkrieger.com/blogs/estimating-pi-using-the-monte-carlo-method-and-particle-tracing/feed/ 0 //www.denkrieger.com/blogs/how-well-do-mosquito-traps-work-observing-their-effectiveness-with-particle-tracing //www.denkrieger.com/blogs/how-well-do-mosquito-traps-work-observing-their-effectiveness-with-particle-tracing#comments Beth Beaudry Thu, 12 Oct 2023 06:19:42 +0000 基于方程建模 流体 & 传热 流体流动颗粒跟踪 通用 粒子追踪模块 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=348451 你是一个蚊子吸引者吗?让我们用基于方程的建模来模拟一个有趣的场景，探索蚊子是喜欢捕蚊器还是喜欢人的皮肤。

  在天气晴朗、温度适宜的季节，大自然会吸引追求冒险的徒步旅行者和快乐的露营者。可是，有植被的地方也有等待寻找下一个目标的蚊子。露营者该怎么办呢？只要蚊子觉得捕蚊器比附近的血源更有吸引力，捕蚊器就有效。今天我们来看一个有趣的仿真案例，即通过基于方程建模的方法来看看捕蚊器是否能让露营者的森林小屋保持舒适无蚊，或者蚊虫是否会扼杀露营的乐趣。

  吸引蚊子的物质：二氧化碳和乳酸

  为什么雌性蚊子更容易被人类和动物吸引？原因有很多。首先只有雌性蚊子才会吸血，因为它们需要血液中的蛋白质来产卵。根据 新加坡国家环境局的说法，不同种类的蚊子对某些引诱剂更敏感，这也是许多商用捕蚊器会将不同的引诱剂结合使用的原因。

  视觉线索（如运动）和热线索（如体温）在吸引雌蚊进入血源方面起到一定的作用，但很大一部分因素是来自气味。蚊子更倾向于被二氧化碳、乳酸（人类汗液中的一种化合物）和某些信息素等物质吸引。在捕蚊器中使用这些线索作为诱饵有助于提高捕蚊器的效果。

  
  叶子上的蚊子。照片由Syed Ali拍摄，来自Unsplash。

  有了对蚊子难以抗拒的因素的基本了解，再加上装备的基于方程建模和粒子追踪功能的仿真软件，让我们来看一个简单的捕蚊器在吸引这些小家伙方面表现如何。

  模拟小屋中的捕蚊器

  我们将利用 COMSOL Multiphysics^® 软件的两个功能来进行基于方程的建模：一个是选择 数学 接口，另一个是解释用户添加的数学方程，以及生成数值模型时将其纳入的特征。

  在制作捕蚊器模型时，需要考虑用什么数学方程来描述蚊子的飞行。一种方法就是用拉普拉斯方程来描述吸引物的浓度。本文示例中的模型求解的是速度势能的拉普拉斯方程，它被设计成与一般蚊子吸引物的浓度成正比。速度势能代表所有可能吸引蚊子的分子，包括二氧化碳和捕蚊器散发的气味。

  幸福的睡眠

  为了更直观地理解这个模型场景，让我们把露营者带回来，假设他住在森林中的一间小木屋里。这是一个温暖的夜晚，为了睡得舒服，他决定打开窗户。他在床头安装了一个捕蚊器，认为这应该能保证他的安全。根据制造商的说法，这种捕蚊器应该比真正的血源有超过60%吸引力，所以他选择碰碰运气。

  
  小木屋模型，窗户打开，一个人正在睡觉，床头的架子上放着一个捕蚊器。

  啊哦！我们的露营者犯了一个错误：他在睡梦中动来动去。他梦见了第二天早上的远足美景，他不停在动，毯子也在动，导致他的躯干和腿部没有遮挡。接着，一群蚊子从打开的窗户飞进来，它们在找血。这些蚊子要么去找露营者，要么去找捕蚊器。露营者是会平安无事，还是一觉醒来浑身发痒呢？

  攻击路径

  为了确定蚊子的去向，我们需要在模型中添加一些方程。本例中，我们使用狄利克雷边界条件特征添加了三个边界：打开的窗户、捕蚊器和露营者裸露的皮肤。由于捕蚊器比人的皮肤更有吸引力，我们为捕蚊器和皮肤分配了不同的速度势能，来表示这种对比。

  我们还将在示例中使用 COMSOL Multiphysics 的附加产品——粒子追踪模块。当然，使用该模块的用户一般不会模拟蚊子群这样夸张的场景；更典型的例子是模拟代表离子、细胞、水滴、行星或恒星等的粒子。在我们这个有趣的例子中，每个粒子都代表一只蚊子。粒子追踪模块还包括求解用户定义的粒子运动方程的功能，我们在这里用它来解释蚊子在小木屋中的运动。该模型的设置是为了计算有多少粒子在选定的时间内到达某一点——在本例中，就是到达蚊子皮肤和捕蚊器的位置。

  我们来看看模拟结果：

   

  蚊子进入房间时的模型。每个黑点代表一只蚊子。红线代表一只蚊子的活动轨迹。

  捕蚊器与人类皮肤：蚊子更喜欢哪一种？

  建立模型并求解后，我们可以绘制结果图，比较在 150 秒或 2.5 分钟内，有多少蚊子飞到了我们可怜的露营者的皮肤上，以及捕蚊器的情况。如下图所示，随着时间的推移，落在皮肤上的蚊子数量会增加,部分原因是野营者比捕蚊器更靠近打开的窗户。不过，落在诱捕器上的蚊子数量也在增加，并在给定时间的一半时超过了落在皮肤上的蚊子数量。

  
  在 150 秒的时间范围内，比较落在皮肤上的蚊子数量和捕蚊器上的数量。

  换句话说，他使用捕蚊器比不使用捕蚊器要好，而且（虚构的）制造商对预期性能也是诚实的。利用COMSOL软件基于方程的建模功能，我们能够求解自定义方程，分析蚊子行为与捕蚊器之间的关系，而这一切都不会造成蚊虫叮咬！

  更多热门内容

  • 利用以下资源继续探索基于方程建模的好处：
    • 观看网络研讨会视频，更详细地了解如何使用数学接口设置捕蚊器示例：使用COMSOL^®进行基于方程的建模介绍
    • 查看以下包含11 部分的自学课程，了解使用COMSOL Multiphysics^®进行基于方程的建模, 课程重点介绍了偏微分方程 (PDE)：在 COMSOL Multiphysics^®中使用偏微分方程建模
  • 阅读下列博客，探索其他昆虫的科学行为：
    • 它是一只鸟，它是一架飞机，它是……反重力蜘蛛！
    • 大黄蜂是用绒毛还是触角来感知电波？
  //www.denkrieger.com/blogs/how-well-do-mosquito-traps-work-observing-their-effectiveness-with-particle-tracing/feed/ 3 //www.denkrieger.com/blogs/how-to-compute-residence-time-in-flow-models-with-comsol //www.denkrieger.com/blogs/how-to-compute-residence-time-in-flow-models-with-comsol#respond Walter Frei Tue, 01 Jun 2021 06:53:12 +0000 流体 & 传热 流体流动颗粒跟踪 计算流体力学 (CFD) 技术资料 粒子追踪模块 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=279701 您可以使用粒子追踪模块计算流动问题中的停留时间。 在此博客文章中获取详细信息。

  在设计和建模化学反应器等设备时，停留时间是表征系统的其中一个量。这个量的计算与流场的计算是分开的，我们可以使用 COMSOL 软件中的粒子追踪模块来完成。今天这篇博客，我们将详细介绍如何计算流动模型中的停留时间。

  计算停留时间和其他因素

  假设我们正在模拟一个类似于生物传感器的小型流通池。我们从流体动力学分析开始，计算一组障碍物周围的水流。在这种情况下，我们可以将问题简化为二维计算模型，如下图所示。

  
  反应堆中障碍物周围的水流图像。

  一旦计算出流场，我们还就可以绘制和计算以下内容：

  • 停留时间分布函数
  • 累积分布函数
  • 平均停留时间
  • 方差

  要求解这些量，最方便的是使用拉格朗日公式来跟踪随流体移动的计算粒子，而不是使用用于求解流场的欧拉公式。出于这个原因，以及可用于方便地评估粒子追踪结果的内置功能，我们将使用粒子追踪模块的功能来解决这个问题。

  使用 COMSO^L® 软件中的粒子追踪功能

  COMSOL 学习中心有一篇关于沿流线积分和提取粒子统计数据的文章介绍了如何使用粒子追踪模块来追踪流场的流线并沿这些流线进行积分。除了这些方法之外，还有其他技术可以记录流中的粒子，如之前的博客文章“ COMSOL Multiphysics® 中粒子计数的不同方法”。

  
  流动的流线，以沿着流动追踪的粒子到达该点所需的时间着色。

  上面显示的结果可视化了沿着流线追踪的计算粒子的时间。下图显示了出口处的停留时间分布和累积分布。还可以提取标量值，例如平均停留时间和方差，如上面提到的学习中心文章中所述。

  
  停留时间分布图（左）和累积分布图（右）。

  结束语

  在这里，我们只跟踪了流场的流线，但粒子跟踪模块的功能在增强流场分析方面具有广泛的应用。顾名思义，当我们要考虑流中的实际粒子时，它特别有用，在这种情况下，我们还可以包括以下效果：

  • 粒子惯性
  • 粒度分布
  • 运输过程中尺寸/质量的变化
  • 用运动粒子求解的任意附加ODE控制方程
  • 作用在粒子上的力
    • 曳力
    • 湍流耗散
    • 拉力
    • 重力
    • 离心力
    • 电力
    • 介电泳力
    • 磁力
    • 磁泳力
    • 布朗（分子扩散）力
    • 热泳力
    • 声泳力
    • 粒子-粒子相互作用力
  • 耦合流体粒子相互作用

  有关其他可用公式的概述，请参阅上一篇关于流体中粒子追踪的博客文章。

  下一步

  单击下面的按钮，了解有关“粒子追踪模块”中专门特性和功能的更多信息。

  了解粒子追踪模块
  //www.denkrieger.com/blogs/how-to-compute-residence-time-in-flow-models-with-comsol/feed/ 0 //www.denkrieger.com/blogs/what-formulation-should-i-use-for-particle-tracing-in-fluids //www.denkrieger.com/blogs/what-formulation-should-i-use-for-particle-tracing-in-fluids#comments Christopher Boucher Fri, 04 Dec 2020 01:43:36 +0000 流体 & 传热 流体流动颗粒跟踪 技术资料 粒子追踪模块 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=243341 在对流体中的粒子追踪进行建模时，COMSOL® 软件为您提供了 4 个方程公式选项。

  当你第一次使用 COMSOL 软件对流体中直径为几十微米或更小的粒子进行粒子追踪仿真时，你可能会注意到，瞬态求解器采用的时步比一般的情况要短得多。这通常是由于粒子的运动方程表现出 数值刚度 而导致。这篇博客，我们将介绍与粒子仿真有关的刚度的概念，并对基于粒子大小选择正确的方程提供一些建议。

  示例：小球形粒子的重力沉降

  以一个小球形粒子为例，当粒子以恒定速度 u （SI 单位：m/s）穿过周围流体时，遵循牛顿第二运动定律，

  (1)

  \frac{\textrm{d}}{\textrm
  {d}t}\left(m_\textrm{p}\frac{\textrm{d}
  \mathbf{q}}{\textrm{d}t}\right) = \mathbf{F}_\textrm{t}

  式中，

  • m_p（SI单位：kg）是粒子质量
  • q（SI单位：m）是粒子位置矢量
  • F_t（SI单位：N）是作用在粒子上的净力或总力

  对于在流体中沉降的粒子，其受到的总力是重力 F_g 和曳力 F_D 之和，

  (2)

  \mathbf{F}_\textrm{g} = \frac{\rho_\textrm{p}-\rho}{\rho_\textrm{p}}m_\textrm{p}\mathbf{g}
  \qquad
  \mathbf{F}_\textrm{D} = 3\pi \mu d_\textrm{p}\left(\mathbf{u}-\mathbf{v}\right)

  式中，

  • ρ_p（SI 单位：kg/m³）为粒子密度
  • ρ（SI 单位：kg/m³）为周围流体的密度
  • g（SI单位：m/s²）为重力引起的加速度（海平面以下约为 9.8m/s²）
  • μ（SI 单位：Pa s）为周围流体的动力黏度
  • d_p（SI 单位：m）为粒径
  • u（SI 单位：m/s）为周围流体的速度
  • v（SI 单位：m/s）为粒子的速度（v≡dq/dt）

  重力表达式中的（ρ_p-ρ）/ρ_p 项代表浮力。当粒子（如空气中的固体粒子）比流体重得多时会取代流体，浮力值接近 1。当粒子和周围的流体密度相同时，浮力值接近于零，在这种情况下，粒子被称为悬浮粒子。

  此处使用的曳力表达式来自斯托克斯曳力定律（Stokes drag law）。当粒子的相对雷诺数非常小时，适用于曳力定律：

  \textrm{Re}_\textrm{r} \equiv \frac{\rho d_\textrm{p}\left|\mathbf{u}-\mathbf{v}\right|}{\mu} \ll 1

  此定律对于较小的粒子更有效。

  假设粒子大小不变（d_p 和 m_p 为常数），球形粒子的质量可以表示为

  (3)

  m_\textrm{p} = \frac{\pi}{6}\rho_\textrm{p}d_\textrm{p}^3

  结合方程1–3，我们得到粒子运动方程的简化表达式：

  (4)

  \frac{\textrm{d}^2 \mathbf{q}}{\textrm{d}t^2}
  =
  \frac{\rho_\textrm{p}-\rho}{\rho_\textrm{p}}\mathbf{g}
  +
  \frac{1}{\tau_\textrm{p}}\left(\mathbf{u}-\mathbf{v}\right)

  这里，引入了常数 τ_p，

  \tau_\textrm{p} \equiv \frac{\rho_\textrm{p}d_\textrm{p}^2}{18\mu}

  τ_p 具有时间单位，通常被称为 拉格朗日时间尺度 或 粒子速度响应时间，我们在下文对其进行将解释。

  进一步简化方程，假设周围的流体是静止的（û=0），并且所述粒子初始为静止状态（q=0, v=0, 时间 t= 0）。假设对齐坐标系，以使重力矢量指向 –y 方向。然后，根据方程4，粒子位置的 y 分量方程变为

  (5)

  \frac{\textrm{d}^2 q_y}{\textrm{d}t^2}
  =
  -\frac{\rho_\textrm{p}-\rho}{\rho_\textrm{p}}g-\frac{1}{\tau_\textrm{p}}v_y

  给定初始条件为 q_y=0 和 v_y=0 时，方程 5 的精确解或解析 解为

  \begin{aligned}\\
  q_y &= -v_\textrm{t}\left\{t+\tau_\textrm{p}\left[\exp\left(-\frac{t}{\tau_\textrm{p}}\right)-1\right]\right\}\\
  v_y &= -v_\textrm{t}\left[1-\exp\left(-\frac{t}{\tau_\textrm{p}}\right)\right]\\
  \end{aligned}

  式中，v_t 是自由沉降速度，

  v_\textrm{t} \equiv \tau_\textrm{p}g\frac{\rho_\textrm{p}-\rho}{\rho_\textrm{p}}

  转换为无量纲变量

  为了更好的理解粒子在最初的一段时间 τ_p 内是如何加速的，我们可以用相应的无量纲量(t´, q_y´, v_y´)来代替时间、位置和速度（t, q_y, v_y）变量，将其定义为

  t^{\prime} \equiv \frac{t}{\tau_\textrm{p}} \quad\quad \\q_y^{\prime} \equiv \frac{q_y}{v_\textrm\{t}\tau_\textrm{p}} \quad\quad \\v_y^{\prime} \equiv \frac{v_y}{v_\textrm{t}}

  将这些无量纲变量代入解析解中，得到

  \begin{aligned}q_y^{\prime} &= t^{\prime} – \exp\left(-t^{\prime}\right)+1\\
  v_y^{\prime} &= -1 + \exp\left(-t^{\prime}\right)\\\end{aligned}

  在下图中，无量纲位置和速度被绘制为无量纲时间 t 的函数。该绘图表明粒子速度逐渐接近自由沉降速度，粒子加速主要发生在拉格朗日时间尺度 τ_p 的最初一段时间内。在此初始加速期之后，粒子位置呈线性变化。

  
  重力作用下，粒子沉降过程中的无量纲位置和速度绘图，从静止状态开始。

  一些典型粒径的时间尺度

  为了更好地了解粒子加速所涉及的时间尺度，假设粒子为密度 2200 kg/m³ 的石英玻璃珠。下表列出了不同粒径的粒子在空气和水中的一些拉格朗日时间尺度值。

  流体	粒径（μm）	流体的动力黏度（Pa s）	流体密度（kg/m3）	响应时间（s）	自由沉降速度（m/s）
  水	1	1.009×10-3	998.2	1.2×10-7	6.5×10-7
  水	20	1.009×10-3	998.2	4.8×10-5	2.6×10-4
  水	50	1.009×10-3	998.2	3.0×10-4	1.6×10-3
  空气	1	1.814×10-5	1.204	6.7×10-6	6.6×10-5
  空气	20	1.814×10-5	1.204	2.7×10-3	2.6×10-2
  空气	50	1.814×10-5	1.204	1.7×10-2	0.17

  τ_p 与直径平方呈线性关系意味着大粒子比小粒子具有更长的速度响应时间和更快的自由沉降速度。这会产生两个主要结果：

  1. 大粒子落地的速度比小粒子快得多。
  2. 当大粒子以一定的初始速度射入流体时，会沿着入射轨迹，并能够在曳力使其减速之前行进相当长的距离。相反，较小的粒子将更快地适应流体速度。粒子散开很可能是由于周围流体的湍流扩散所致。

  数值粒子追踪仿真

  上文中，方程4 具有精确的解析解。之所以能够获得精确解是因为我们做了许多简化，最主要的是流体速度 u 处处为零。在大多数真实情况中，周围流体的速度不仅不为零，而且在空间上也不均匀，因此仅靠公式不可能得到精确解。

  对于更一般的问题，我们可以通过数值仿真获得近似解，其主要思想是：在初始时间 t=0 时，给定初始粒子位置 q₀ 和速度 v₀，可以使用数值时步算法来计算一组离散时步 t₁，t₂，t₃，……的解。为此，我们设计了各种不同的时步算法，其中有许多是在 COMSOL Multiphysics^® 软件中可用。

  用数值方法求解一组微分方程会引入一定量的误差,即实际粒子运动与计算得到的数值解之间的差异。虽然我们通常无法从数值仿真中获得完美的解，但当t₁，t₂–t₁，t₃–t₂ 等时间间隔减小时，可以将模拟的粒子运动变得更加精确作为首要目标。

  需要权衡的是，如果时步较小，则需要花更多的时步才能达到相同的输出时间。最终，这可能会导致 实际运行时间 显著增加，这意味着必须等待较长的时间才能完成仿真。数值仿真工程师必须始终在求解精度和时间之间寻求合理的平衡。

  COMSOL Multiphysics^® 中的粒子追踪模块的 流体流动颗粒跟踪 接口通过数值求解牛顿第二定律来模拟周围流体中单个粒子的运动。基本上，此接口可求解方程1，同时允许在方程右侧添加各种不同的力。该接口还包括用于设置初始粒子位置和速度，以及检测和处理粒子与周围几何的表面碰撞的各种选项。

  处理小粒子和长时间尺度

  在许多实际应用中，粒子追踪模型所需求解时间的范围远大于拉格朗日时间尺度 τ_p。假设我们要在 1s 的总仿真时间内追踪直径约 20μm 的石英玻璃颗粒在水中的运动。由上述表格可知，这样的小粒子的拉格朗日响应时间约为 5×10^-5s，所以总仿真时间约为 2000τ_p。如果我们想在几分钟或几小时时间跨度内追踪更小的粒子，那么总仿真时间可能比 τ_p 大几百万倍。

  下图显示了瞬态求解器在跟踪这些 20μm 的粒子时所采取的时步日志。在 步骤1 中输出时间的范围：瞬态 节点已被设置为 range(0,0.1,1)，这意味着它将仅以 0.1s 的倍数存储输出。但是，这并不妨碍求解器在必要时采用更短的时步来获得精确的解。如如所示，求解器先从 1ms 或更小的时间步开始，然后在粒子接近其最终速度时逐渐采用更大的时步。

  如下图中的步骤 24 所示，在 COMSOL Multiphysics 中，粒子追踪物理场接口通常使用严格的时间步算法，该算法至少要求求解器所采取的某些步长与输出时间一致。但这并不是所有物理场的要求；对于某些物理场接口，可以通过在求解器所采用的最近步长之间进行插值获得输出时间。

  

  在研究接近尾声时，粒子几乎不再加速，所以时步可能会很大。最终，求解器需要 24 个时步才能在 0.1s 获得第一个输出时间，但是只需要再增加 12 个时步就能在 1s 最终求解。

  

  重力沉降中的粒子运动方程是 刚性常微分方程（刚性 ODE广义 α，这是一种二阶隐式时步法，非常适合用于处理刚性问题。如果需要额外的稳定性，可以在瞬态 求解器 设置中调整 放大高频 的数值阻尼项。因此，随着粒子速度接近自由沉降速度，时步变得更大。（显式 Runge–Kutta 方法 RK34 采用了 7425 个时步来求解相同的问题！）

  但是，如果粒子在几个不同的释放时间进入仿真域，或者背景流体速度在空间上不均匀（这样粒子在以后的研究中仍会加速），求解器可能直到最终时间都会一直采用如此小的时步。如果我们尝试在很长的仿真时间内追踪非常小的粒子，最终将需要大量时间才能完成这些研究，因为求解器可能需要成千上万甚至数百万时步。

  使用 入口 边界条件将粒子释放到仿真域可能会使 COMSOL^® 软件新用户感到困惑。假设这些粒子被分配了初始速度并指向仿真域。从上文的截图可以看出，初始时步大小（总仿真时间为 1 s）为 1 ms。如果初始时步仍然远大于 τ_p，则曳力可能会过度补偿，导致粒子速度短暂改变方向并指向入口 边界。如果发生这种情况，粒子可能会错误地检测到与入口 边界的碰撞，使它们卡在此处。

  处理粒子追踪模型中的数值刚度

  有两种方法可以求解流体中粒子运动的数值刚度模型，即输出时间间隔比 τ_p 大几个数量级的模型。

  第一种是我们所说的“强力”方法：只需告诉求解器采用更小的时步即可。如果不想生成大量的输出（可能会创建大量文件大小），可以不考虑输出时间，而是在求解器序列的瞬态求解器设置中指定一个较小的时间步或最大时间步。

  

  另一种方法从 COMSOL Multiphysics^® 5.6 版本开始引入，即从 方程4 中删除惯性项。首先，我们把方程4 改写成一对耦合的一阶方程，

  \begin{aligned}
  \frac{\textrm{d} \mathbf{q}}{\textrm{d}t} &= \mathbf{v}\\
  \frac{\textrm{d} \mathbf{v}}{\textrm{d}t} &= \frac{\rho_\textrm{p}-\rho}{\rho_\textrm{p}}\mathbf{g} + \frac{1}{\tau_\textrm{p}}\left(\mathbf{u}-\mathbf{v}\right)\\
  \end{aligned}

  然后，仅假设曳力始终与其他作用力处于动态平衡，而不是在 τ_p 最初一段时间完全解析粒子运动，

  (6)

  \frac{\rho_\textrm{p}-\rho}{\rho_\textrm{p}}\mathbf{g}
  +
  \frac{1}{\tau_\textrm{p}}\left(\mathbf{u}-\mathbf{v}\right)
  =
  \mathbf{0}

  换句话说，即 仅假设粒子立即达到其自由沉降速度。如果达到自由沉降速度所需的时间比总仿真时间小很多数量级，那么这是一个合理的近似值。方程6 可用于求解 v，

  \mathbf{v} = \tau_\textrm{p}\frac{\rho_\textrm{p}-\rho}{\rho_\textrm{p}}\mathbf{g}+\mathbf{u}

  或者，使用更通用的形式，

  (7)

  \mathbf{v} = \frac{\tau_\textrm{p}}{m_\textrm{p}}\mathbf{F}_\textrm{other}+\mathbf{u}

  其中，F_other 是除曳力以外的其他所有作用力的总和。

  然后，我们要做的就是把 v 的表达式对时间进行积分以获得粒子位置 q。

  请在 粒子释放和传播 部分，选择 流体流动颗粒跟踪 接口要求解的方程组。从公式列表中，可以选择以下选项之一：

  • 牛顿：求解方程1
  • 牛顿，一阶：将方程1 分离为 q 和 v 的一对耦合一阶方程，然后求解它们
  • 牛顿，忽略惯性项（自版本 5.6 起可用）：使用方程7 定义速度的简化公式，然后求解 q
  • 无质量：一种更简化的公式，其中直接指定 v 来求解 q

  

  需要注意的是，牛顿 和 牛顿，一阶公式 可用的内置力的数量略多于 牛顿，忽略惯性项 公式。这些力明显取决于粒子速度或已被排除的其他粒子的相对位置。

  

  牛顿 公式中可用的力。

  
  牛顿，忽略惯性项 公式中可用的力。

  下面是 COMSOL 案例库中使用 牛顿，忽略惯性项 公式来追踪长求解时间内的很小的粒子的示例：

  • 层流静态混合器中的粒子轨迹
  • 使用介电泳从红细胞中分离血小板

  由于粒子足够大导致惯性对粒子运动具有显著影响，以下示例使用了 牛顿 公式追踪：

  • 微混合器中的颗粒跟踪
  • 污染物颗粒造成的管道冲蚀

  结语

  当使用流体流动接口的粒子追踪模拟流体中的小颗粒运动时，通常应从估计与粒子相关的拉格朗日时间尺度 τ_p 开始，

  \tau_\textrm{p} \equiv \frac{\rho_\textrm{p}d_\textrm{p}^2}{18\mu}

  并将此时间尺度与要模拟的求解时间范围进行比较。

  如果具有不同粒径的分布，应基于最小粒径进行此估算，因为模型中最小惯性粒子决定了运动方程的数值刚度。

  如果要在比速度响应时间大得多的时间范围内预测粒子运动（比如几千倍甚至更多倍），则应该考虑惯性是否在粒子运动中实际起着重要作用。如果不是，则可以从列表中选择 牛顿，忽略惯性项（从 5.6 版本开始可用）。

  如果仍要考虑惯性，可以使用 牛顿 或 牛顿，一阶 公式。但是，请注意，要求解的方程组是数值刚性的，可能需要手动减小求解器采取的时步大小，以防止粒子位置和速度发生非物理振荡。

  //www.denkrieger.com/blogs/what-formulation-should-i-use-for-particle-tracing-in-fluids/feed/ 37 //www.denkrieger.com/blogs/modeling-a-pierce-electron-gun-in-comsol-multiphysics //www.denkrieger.com/blogs/modeling-a-pierce-electron-gun-in-comsol-multiphysics#respond Christopher Boucher Thu, 19 Nov 2020 06:24:32 +0000 带电粒子追踪 电磁学 技术资料 粒子追踪模块 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=240301 获得电子枪背后的理论介绍，以及在COMSOL Multiphysics®建模一个Pierce电子枪的概述。

  电子枪常用于阴极射线管、电子显微镜、光谱仪和粒子加速器中，其工作原理是从热阴极或等离子体中提取电子，然后将其加速到高动能。设计制造电子枪的一个主要挑战是电子互相排斥，因此电子束容易散开。今天，我们将讨论如何对一种最早设计用来抵消这种静电斥力的电极配置进行模拟——皮尔斯电子枪。

  电子枪设计

  一个好的电子枪设计必须能够做到以下几点：

  1. 提取足够多的电子，即获得足够的电子束流
  2. 将电子加速到一定的动能
  3. 将光束聚焦在特定位置

  通常，当电子从阴极或等离子体源发射出来时，速度相当慢，然后它们会被外部场加速。一种非常简单的加速方法是使电子束通过一个固定电势的金属栅极。

  两个带电粒子之间的力

  所有发射的电子束之间都会产生相互斥力。考虑在位置 r ₁ 和 r ₂ 处的两个带电粒子，其电荷分别为 q₁ 和 q₂。根据库仑定律，可以计算粒子 2 施加在粒子 1 上的力，

  \mathbf{F}_1 = \frac{q_1 q_2}
  {4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\right|^3}

  其中，ε₀=8.854187817×10^-12F/m 是一个被称为真空介电常数的物理常数。

  如果 q₁ 和 q₂ 具有相同的符号（即，两个粒子都带正电或负电），则粒子 1 上的力指向粒子2的反方向。如果一个粒子带正电而另一个粒子带负电，则粒子1上的力将指向粒子2。因此，同性电荷相斥，异性电荷相吸。

  随着粒子彼此靠近，吸引力或斥力会变得更强。如果将两个电子之间的距离缩小一倍，它们彼此施加的斥力将增加四倍。

  大量带电粒子之间的力

  大多数现实世界的系统都包含大量的电子，而不仅仅是两个。作用在电子上的总库仑力是所有其他粒子施加的力之和。例如，作用在第一个粒子上的总力为

  \mathbf{F}_1 = \sum_{j=2}^N\frac{q_1 q_j}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_j}{\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_j\right|^3}

  其中，N 是电子总数。

  想象一个包含许多电子的圆柱形电子束。对于靠近电子束中心的电子，在任一侧上都有相同数量的其他电子，因此，如果我们取作用于该电子的力的矢量和，则库仑力将大部分被抵消。另一方面，对于靠近电子束边缘的电子，净力会将其推向离中心更远的地方。因此，如果束流电子最初是彼此平行移动的，则随着电子束传播，它们将开始扩散或发散。

  
  发散的电子束。电子束在电子速度平行的束腰（左）被释放。在右侧，电子向四面八方扩散。

  查看演示电子束如何在自由空间中发散的示例，请参阅 COMSOL 教程模型自然电位引起的电子束发散和相对论发散电子束引起的电子束发散。

  导致电子束扩散的斥力在束流电子最慢的的地方最强，因为这些区域通常具有最高的电荷密度。因此，设计电子枪时的关键技术挑战之一通常是在束流电子发射之后立即将电子束聚焦在第一加速间隙中（参考文献1）。

  寻找最佳电极形状

  我们的目标是设计一种电子枪几何形状，以使电极的形状抵消电子束之间的库仑斥力，从而使电子束沿直线传播而不会扩散。

  首先，考虑在平面外（z）方向上的二维薄电子束是均匀的。电子束将沿正 y 方向传播。束流电子首先从位于 y=0 的阴极（V=0）发射出来，并被吸引到位于某个高度 y=d 的阳极（V=V _a）。

  让我们从一个简单的解开始，其中电子束在x方向上无限宽。在这种情况下，任何电子束都可以被认为是在电子束的中心，左右两侧的电力会相互抵消。

  
  在两个扁平电极之间的简单薄电子束，在 +x 和 – x 方向上无限延伸。

  在不导致电子向后排斥的情况下，理论上可以从阴极提取的电流存在一个最大值。这就是所谓的空间电荷极限，而在此电流下释放电子的阴极就是空间电荷极限。在两个平行电极之间进行空间电荷极限发射期间，间隙中的电势遵循 Child 定律（参考文献2）给出的分布，

  V = V_\textrm{a}\left(\frac{y}
  {d}\right)^{4/3}

  现在假设电子仅在 x < 0 区域中流动，并且 x > 0 区域中没有电荷。

  

  如果电极保持其扁平形状，则由于电子束中的静电排斥作用，一些靠近 y 轴的电子将溢出到 x > 0 的区域中。

  因此，因为电子束边缘附近的电子感觉到来自其他电子的库仑力不平衡，所以当电子束具有有限的尺寸时，会发生电子束的发散或扩散。在下一节中，我们将介绍一种分析方法来更改电极的形状，以使电子束直接朝上，并且没有电子溢出到 x > 0 的区域中。

  电子枪设计的皮尔斯方法

  假设阴极和阳极在 x < 0 区域中仍然是扁平的，但是现在它们在 x > 0 区域中呈现不同的形状。这些电极形状的确切功能形式尚不清楚。

  
  因为在x > 0的区域中没有电荷，所以电势必须满足拉普拉斯方程，

  \nabla^2 V = 0

  考虑复数u=y+ix。皮尔斯的方法（参考资料 1、3）首先观察到 u 的任何二次微分函数（称为 f（u））也将满足拉普拉斯方程。这可以通过反复应用链式法则来证明，

  \begin{align}
  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
  &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial u}\right)
  +\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial u}\right)\\
  &= \frac{\partial}{\partial x}\left(i\frac{\partial f}{\partial u}\right)
  +\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)\\
  &= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial}{\partial u}\left(i\frac{\partial f}{\partial u}\right)
  +\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)\\
  &= i^2\frac{\partial^2 f}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\\
  &= -\frac{\partial^2 f}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\\
  &= 0
  \end{align}

  考虑到这一点，将 x > 0 区域中的电势定义为 f 的实部，

  V = \textrm{Re}\left[f(u)\right]

  然后，V 在该无电荷区域也将满足拉普拉斯方程。为了确保电势在 x=0 处连续，V 必须满足 Child 定律（参考文献2）给出的电势分布，

  V = V_\textrm{a}\textrm{Re}\left[\left(\frac{u}{d}
  \right)^{4/3}\right]

  阴极只是在复平面中满足 V=0 方程的一组坐标。类似地，阳极是在复平面中满足 V=V_a 方程的一组坐标。

  在这一点上，用圆柱形电极坐标重写 u 很方便，

  u=re^{i\theta}

  注意上式中，θ＝0 是正 y 方向而不是 x 方向。现在，我们对于 x > 0 区域中的电势的表达式为

  V = V_\textrm{a}\textrm{Re}\left[\left(\frac{r}
  {d}e^{i\theta}\right)^{4/3}\right]

  由于 r 和 d 是实数，因此可以简化为

  V = V_\textrm{a}\left(\frac{r}{d}\right)^{4/3}\textrm{Re}\left(e^{4i\theta/3}\right)

  然后调用欧拉公式得出最终结果

  V = V_\textrm{a}\left(\frac{r}{d}
  \right)^{4/3}\cos\frac{4\theta}
  {3}

  现在，阴极和阳极的形状就是刚插入最后一个表达式时分别给出 V=0 和 V=V_a 的曲线。

  V=0 的解是直线

  \frac{4\theta}{3}
  = \frac{\pi}{2}

  或与电子束传播方向成 67.5° 角。

  V = V_a的解是曲线，

  r=d\left(\sec\frac{4\theta}{3}\right)^{3/4}

  因此，皮尔斯枪的设计算法预测，使用与电子束传播方向成 67.5° 角的直阴极和弯曲阳极，可以使电子束完全保持直线。

  创建 COMSOL Multiphysics^® 几何

  在上一节中发现的阳极曲线渐近地接近阴极线，但从未完全与阴极线相吻合。完美的皮尔斯电子枪在正 x 方向无限延伸，因此我们必须在某个点任意切断它。

  在下图中，直线是阴极，而其上方的长曲线是阳极。这两条线可以无限远地延伸，但永远不会相遇。因此，对于更实用的模型，我们绘制了一条与阴极和阳极都相交的线，然后使用 COMSOL Multiphysics^® 中的转换为实体操作来形成由这些曲线所界定的区域。相交线段垂直于阴极绘制，因为我们希望电场指向该方向。

  左侧的实心矩形是电子束传播区域，直线 x=0 是这里的一条对称轴。因此，整个皮尔斯枪的几何形状在电子束的两边都具有相同的弯曲阳极形状。

  
  在截断阴极和阳极曲线之前的皮尔斯电子枪的几何形状。

  对粒子场相互作用进行建模

  在此模型中，我们使用专用的空间电荷受限发射多物理场耦合节点在正 y 方向释放空间电荷受限的电子束。然后，为了考虑束流电子之间的相互静电斥力的影响，我们使用了专用的电-粒子场相互作用多物理场耦合。这导致束流电子对域中的空间电荷密度做出贡献，然后在求解电势时将其包括在静电接口中。

  然后，获得用于电势和粒子轨迹的自洽解的最终算法如下：

  1. 跟踪粒子，而无需考虑束流电子之间的静电排斥。根据此解，估算电子束中的空间电荷密度。
  2. 使用估计的空间电荷密度以及阴极和阳极表面的边界条件，计算出静态电势。
  3. 使用上一步中的电势来定义粒子上的电力。再次跟踪粒子，并计算电子束中的空间电荷密度。
  4. 继续在步骤 2 和 3 之间交替进行固定次数的迭代，或者直到解在迭代之间没有明显变化为止。

  结果

  镜像 数据集用于反映y轴上的电势分布。下图显示了根据其速度着色的粒子轨迹，其中绿色是最快的。域中的空间电荷密度以灰度绘制，阴影越深表示空间电荷密度越大。显然，电荷密度在靠近阴极的狭窄区域中最大，并且随着粒子加速而减小。

  
  皮尔斯枪中的电势分布和粒子轨迹。

  以下动画显示了粒子在接近阳极时如何加速。在这里，灰度背景显示了一些等电位轮廓。电子束区域中的粒子沿直线移动，并且电子束横截面中的等电位轮廓是水平的，这都很好地表明倾斜的阴极和弯曲的阳极正确地平衡了电子束中的静电斥力。

   

  自己尝试

  请单击下面的按钮，下载皮尔斯电子枪模型。

  获取教程模型

  延伸阅读

  在另一个模型Child 定律基准指南中，提供了有关 Child 定律及其推导的一些有用的理论细节。

  Child 定律是基于一个简化的近似，它忽略了释放电子的热速度。实际上，室温下的粒子离开阴极后，可以以每秒几百米的速度四处飞行。要了解有关发射电子的热分布及其对空间电荷受限电子发射（有时称为 Langmuir-Fry 模型（参考文献4，5））的影响的更多信息，请参见平面二极管中的热电子发射示例。

  参考文献

  1. S. Humphries, Stanley,Charged Particle Beams, Dover, 2013.
  2. J.R. Pierce, Rectilinear electron flow in beams, Journal of Applied Physics, vol. 11, no. 8 pp. 548–554, 1940.
  3. C.D. Child, “Discharge from hot CaO”, Physical Review (Series I), vol. 32, no. 5, pp. 492–511, 1911.
  4. T.C. Fry, “The thermionic current between parallel plane electrodes; velocities of emission distributed according to Maxwell’s law”, Physical Review, vol. 17, no. 4, pp. 441–452, 1921.
  5. I. Langmuir,“The effect of space charge and initial velocities on the potential distribution and thermionic current between parallel plane electrodes”,Physical Review, vol. 21, no. 4,pp. 419–435, 1923.,
  //www.denkrieger.com/blogs/modeling-a-pierce-electron-gun-in-comsol-multiphysics/feed/ 0 //www.denkrieger.com/blogs/computational-electromagnetics-modeling-which-module-to-use //www.denkrieger.com/blogs/computational-electromagnetics-modeling-which-module-to-use#comments Walter Frei Tue, 28 Jul 2020 01:16:35 +0000 RF 与微波工程 低频电磁学 半导体器件 射线光学 带电粒子追踪 波动光学 电磁学 等离子体物理 AC/DC 模块 MEMS 模块 半导体模块 射线光学模块 技术资料 波动光学模块 粒子追踪模块 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=237791 很多人经常会有这样的疑问：“我应该使用哪种 COMSOL 产品来模拟特定的电磁设备或应用？”除了 COMSOL Multiphysics® 软件基本模块的功能之外， COMSOL 产品树的“电磁模块”分支中目前还有 6 个模块。另外 6 个模块分布在其余产品分支中。这些模块代表了麦克斯韦方程组与其他物理场耦合的各种形式。今天这篇博文，我们将带您看一看它们都有什么功能。 注意：此博客最初发布于 2013 年 9 月 10 日。此后更新了一些信息和示例。 计算电磁学：麦克斯韦方程组 麦克斯韦（Maxwell）方程组与电荷密度 \rho、电场 \mathbf{E}、电位移场 \mathbf{D}、电流 \mathbf{J}、磁场强度 \mathbf{H}，以及磁通密度 \mathbf{B} 有关： \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B} \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} +\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{D}   为了求解这些方程，我们需要一组边界条件，以及材料本构关系。本构关系将 \mathbf{E} 和 \mathbf{D}场、 \mathbf{J} 和 \mathbf{E} 场、\mathbf{B} 和 \mathbf{H} 场相关联。在不同的假设下，这些方程已在 COMSOL 产品库的不同模块中被求解，并与其他物理场耦合。 注意：为了传达关键理念，此处介绍的大多数方程均以缩写形式显示。要查看所有控制方程的完整形式，并查看所有可用的本构关系，请查阅产品文档。 下面，我们先开始介绍一些概念。 稳态、时域还是频域？ 在求解麦克斯韦方程组时，为了减轻计算负担，我们试图做出尽可能合理和正确的假设。尽管麦克斯韦方程组可以求解任意随时间变化的输入，但我们通常可以合理地假设输入和计算的解都是稳态或正弦时变的情况。前者通常也被称为 DC（直流）情况，而后者通常被称为 AC（交流）或频域情况。 如果这些场在任何时间都没有变化，或者变化很小以至于不重要，则稳态（DC）假设成立。也就是说，我们可以说麦克斯韦方程组中的时间导数项为零。例如，如果您的设备连接了电池（可能需要数小时或更长时间才能耗尽电量），那么这样做是非常合理的假设。更正式地，我们可以这样说：\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} = […]

  很多人经常会有这样的疑问：“我应该使用哪种 COMSOL 产品来模拟特定的电磁设备或应用？”除了 COMSOL Multiphysics^® 软件基本模块的功能之外， COMSOL 产品树的“电磁模块”分支中目前还有 6 个模块。另外 6 个模块分布在其余产品分支中。这些模块代表了麦克斯韦方程组与其他物理场耦合的各种形式。今天这篇博文，我们将带您看一看它们都有什么功能。

  注意：此博客最初发布于 2013 年 9 月 10 日。此后更新了一些信息和示例。

  计算电磁学：麦克斯韦方程组

  麦克斯韦（Maxwell）方程组与电荷密度 、电场 、电位移场 、电流 、磁场强度 ，以及磁通密度 有关：

  \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho	\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
  \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}	\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} +\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{D}

   
  为了求解这些方程，我们需要一组边界条件，以及材料本构关系。本构关系将 和 场、  和 场、 和 场相关联。在不同的假设下，这些方程已在 COMSOL 产品库的不同模块中被求解，并与其他物理场耦合。

  注意：为了传达关键理念，此处介绍的大多数方程均以缩写形式显示。要查看所有控制方程的完整形式，并查看所有可用的本构关系，请查阅产品文档。

  下面，我们先开始介绍一些概念。

  稳态、时域还是频域？

  在求解麦克斯韦方程组时，为了减轻计算负担，我们试图做出尽可能合理和正确的假设。尽管麦克斯韦方程组可以求解任意随时间变化的输入，但我们通常可以合理地假设输入和计算的解都是稳态或正弦时变的情况。前者通常也被称为 DC（直流）情况，而后者通常被称为 AC（交流）或频域情况。

  如果这些场在任何时间都没有变化，或者变化很小以至于不重要，则稳态（DC）假设成立。也就是说，我们可以说麦克斯韦方程组中的时间导数项为零。例如，如果您的设备连接了电池（可能需要数小时或更长时间才能耗尽电量），那么这样做是非常合理的假设。更正式地，我们可以这样说： ，它直接就忽略了麦克斯韦方程组中的两个项。

  如果系统上的激励呈正弦变化，并且系统的响应在相同频率下也呈正弦变化，则频域假设成立。换句话说，系统的响应是线性的。在这种情况下，我们可以使用以下关系式在频域中，而不是在时域中求解问题：，其中  是时空变化场；  是一个空间变化的复值场； 是角频率。与时域相比，在一组离散频率中求解麦克斯韦方程组的计算效率非常高，尽管计算要求与要求解的不同频率的数量成正比（我们将在后面讨论一些注意事项）。

  当解随时间变化或系统响应为非线性时，就需要在时域内求解（尽管对此有一定的例外，我们将在后面讨论）。时域仿真比稳态或频域仿真在计算上更具挑战性，因为其求解时间与感兴趣的时间跨度和所考虑的非线性因素成比例增加。在时域内求解时，最好考虑输入信号的频率组成，尤其是当前存在且重要的最高频率。

  电场、磁场或两者兼有？

  尽管我们可以使用麦克斯韦方程组求解电场和磁场，但通常只需求解一个就足够了，尤其是在直流情况下。例如，如果电流很小，则磁场将会很小。即使在电流较高的情况下，我们实际上也可能不会对所产生的磁场感到担忧。另一方面，有时仅存在磁场，而没有电场，例如仅由磁体和磁性材料组成的设备。

  但是，在时域和频域中，我们必须更加小心。我们要在此处检查的第一个量是模型中材料的集肤深度。金属材料的集肤深度通常约为 ，其中 是磁导率， 是电导率。如果集肤深度远大于 物体的特征尺寸，则可以合理地认为集肤深度效应可忽略不计，并且只需求解电场。但是，如果集肤深度等于或小于物体的大小，则感应效应很重要，并且我们需要同时考虑电场和磁场。在开始任何模拟之前，最好快速检查一下集肤深度。

  随着激励频率的增加，了解设备的一阶共振也很重要。在基本共振频率下，电场和磁场中的能量恰好处于平衡状态，因此我们可以说处于高频 状态。尽管共振频率通常很难估计，但是比较特征物体的尺寸 和波长 是一个良好的经验法则。如果物体尺寸接近波长的重要部分 ，则我们正在接近高频状态。在这种状态下，功率主要通过电介质中的辐射流动，而不是通过导电材料中的电流流动。这导致控制方程的形式略有不同，明显低于一阶共振频率，通常称为低频 状态。

  现在让我们看看这些不同的假设是如何被应用于麦克斯韦方程组，并为我们提供不同的方程组来求解，然后看看我们需要为每个方程组使用哪些模块。

  稳态电场模拟

  在稳态条件下，我们可以进一步假设我们仅在处理导电材料或完全绝缘的材料。在前一种情况下，我们可以假设电流在所有域中流动，并且麦克斯韦方程组可以重写为：

  \nabla \cdot \left( – \sigma \nabla V \right ) = 0

   

  这个方程求解了电势场 ，并能得出电场 以及电流 。我们可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解该方程，并在软件的 入门简介中求解。AC/DC 模块和MEMS 模块扩展了基本模块的功能，例如，通过提供简化模型设置的终端条件和用于模拟相对较薄的导电和绝缘区域的边界条件，以及模拟仅通过几何上较薄并可能具有多层结构的电流的单独物理场接口。

  另一方面，假设我们对材料介电常数为 的完全绝缘介质中的电场感兴趣，可以求解方程：

  \nabla \cdot \left( – \epsilon \nabla V \right ) = 0

   
  该方程计算了不同电势下对象之间的介电区域中的电场强度。该方程也可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解，并且 AC/DC 和 MEMS 模块再次通过例如终端条件、模拟薄介电区域的边界条件和介电材料中的薄间隙扩展了功能。此外，这两种产品还提供了边界元公式，它求解了相同的控制方程。如之前的博客文章所述，它对于仅由导线和表面组成的模型也具有一些优势。

  时域和频域电场模拟

  一旦要模拟时变电场，就会同时存在传导电流和位移电流，这时我们会想使用 AC/DC 模块或 MEMS 模块。与上面的第一个方程略有不同，在时域情况下，求解方程可写为：

  \nabla \cdot \left( \mathbf{J_c +J_d} \right ) = 0

   

  这个瞬态方程可以同时求解传导电流， 和位移电流 。当源信号不是谐波，并且我们希望随时间监视系统响应时，可以使用此方法。电路中电容器的瞬态模拟模型是一个你可以查阅的示例。

  在频域中，我们可以求解稳态方程：

  \nabla \cdot \left( – \left( \sigma + j \omega \epsilon \right) \nabla V \right ) = 0

   
  此时，位移电流为 。使用此方程的一个示例是电容器频域模拟。

  使用 AC/DC 模块模拟磁场

  AC/DC 模块解决了稳态、时域或低频状态下的磁场模拟问题。

  对于没有电流流过的模型（例如磁体和磁性材料的模型），可以简化麦克斯韦方程组并求解磁标势 ：

  \nabla \cdot \left( – \mu \nabla V_m \right ) = 0

   
  可以使用有限元法或边界元法求解该方程。

  一旦模型中存在稳态电流，我们就必须求解磁矢势 。

  \nabla \times \left( \mu ^ {-1} \nabla \times \mathbf{A} \right)= \mathbf{J}

   
  该磁矢势用于计算 ，并且电流 可以通过施加或通过增广先前的电标势和电流方程来同时计算。这种情况的典型例子是亥姆霍兹线圈的磁场。

  当移至时域时，我们求解以下方程式：

  \nabla \times \left( \mu ^ {1} \nabla \times \mathbf{A} \right)= \sigma \frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t}

   
  其中，。

  该方程式仅考虑传导电流和感应电流，而不考虑位移电流。如果功率传输主要是通过传导而不是辐射进行，这就是合理的。求解此方程式的一个重要动机是，是否存在材料非线性，例如，E 型磁芯变压器这个示例的 BH 非线性材料。但是，应该指出的是，还有通过等效 HB 曲线方法求解 BH 非线性材料的替代方法。

  当我们进入频域时，控制方程变为：

  \nabla \times \left( \mu ^ {-1} \nabla \times \mathbf{A} \right) = -\left( j \omega \sigma – \omega^2 \epsilon \right) \mathbf{A}

   
  请注意，该方程式同时考虑了传导电流 ，以及位移电流 ，并且开始看起来非常类似于波动方程。实际上，在假设辐射可忽略不计的情况下，该方程可解决结构谐振及其周围频率的问题，如这个示例所示：三维电感器模拟。

  有关上述方程组在磁场模拟中的用法的更完整介绍，请参阅我们关于电磁线圈建模的系列讲座。

  也可以将磁标势方程式和矢势方程式混合，这在电动机和发电机模拟中都有应用。

  除了上述关于磁矢势和标势的静态、瞬态和频域方程式之外，还存在关于磁场的单独公式，适用于超导材料的模拟，例如以下所示的超导线示例。

  使用 RF 模块或波动光学模块模拟频域和时域中的波动方程

  当我们进入高频状态时，电磁场在本质上会体现波动性，就像 天线、微波电路、光波导、微波加热、自由空间中的散射和基底上对象的散射模拟一样，我们在频域中求解形式与麦克斯韦方程组稍有不同：

  \nabla \times \left( \mu_r ^ {-1} \nabla \times \mathbf{E} \right) -\omega^2 \epsilon_0 \mu_0 \left(\epsilon_r – j \sigma/\omega \epsilon_0 \right) \mathbf{E} = 0

   
  这个方程是用电场 来写的，并且磁场的计算公式为： 。它既可以以一组指定的频率来求解，也可以作为特征频率问题来求解，它可以直接求解设备的谐振频率。特征频率分析的示例包括闭合腔、线圈和法布里-珀罗腔多个基准示例,，并且此类模型可以计算谐振频率和品质因子。

  在指定频率范围内求解系统响应时，可以直接在一组离散频率上求解，在这种情况下，计算成本与指定频率的数量成线性比例关系。人们也可以在单台计算机和集群上利用硬件并行来并行化和加速求解。也有频域模态和自适应频率扫描（也称为渐近波形估计）求解器，这些求解器可加速求解某些类型的问题，如本博文中的一般意义所述，并在此波导虹膜滤波器示例中进行了演示。

  如果您要使用 RF 模块或波动光学模块在时域中求解，那么我们可以求解与 AC/DC 模块中较早的方程非常相似的方程：

  \nabla \times \left( \mu_r ^ {-1} \nabla \times \mathbf{A} \right)+ \mu_0 \sigma \frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} +\mu_0 \frac{ \partial}{\partial t}\left( \epsilon_0 \epsilon_r \frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} \right) = 0

   
  该方程式再次求解了磁矢势，但是在时间上包括一阶和二阶导数，因此同时考虑了传导电流和位移电流。它可用于光学非线性，色散材料和信号传播的模拟。如本示例所示，时域结果还可以通过快速傅立叶变换求解器转换为频域。

  这些等式在存储方面的计算要求也是一个问题。感兴趣的设备及其周围的空间通过有限元网格离散化，并且该网格必须足够精细以解析波。也就是说，至少必须满足奈奎斯特准则。实际上，这意味着大约 10x10x10 波长的域大小（不考虑工作频率）大约是 64GB RAM 的台式计算机上可寻址内容的上限。随着域大小的增加（或频率增加），内存需求将与要求解的立方波长的数量成比例地增长。这意味着上述方程式非常适合于特征尺寸大约不大于感兴趣的最高工作频率下 10 倍波长的结构。但是，有两种方法可以绕过此限制。

  求解远远小于波长的对象周围的类波场的一种方法是时域显式方程。这求解了另一种形式的与时间相关的，且可以使用更少的内存来求解的麦克斯韦方程。它主要用于线性材料模拟，在某些情况下很有吸引力，例如用于计算背景场中对象的宽频带散射。

  对于特定类型的光波导结构，存在另一种替代方法，可以在已知电场在传播方向上的变化非常缓慢的频域中求解。在这种情况下， 波动光学模块中的波束包络法变得非常有吸引力。此接口求解以下方程：

  \left( \nabla – i \nabla \phi \right) \times \mu_r ^ {-1} \left( \left( \nabla – i \nabla \phi \right) \times \mathbf{E_e} \right) -\omega^2 \epsilon_0 \mu_0 \left(\epsilon_r – j \sigma/\omega \epsilon_0 \right) \mathbf{E_e} = 0

   
  其中，电场为 ， 是电场包络。

  附加场 是所谓的必须已知的相函数，并将其指定为输入。幸运的是，对于许多光波导问题，确实是这种情况。可以同时求解一个或两个这样的波束包络场。当可以使用这种方法时，其优点是内存要求远远低于本节开头介绍的全波方程式。其用法的其他示例包括定向耦合器模型以及光学玻璃中的自聚焦模型。

  在 AC/DC 模块、RF 模块和波动光学模块之间选择

  AC/DC 模块和 RF 模块之间的分界线有点模糊。问我们自己几个问题会有所帮助：

  1. 我正在使用的设备会辐射大量能量吗？我对计算谐振感兴趣吗？如果是这样，则RF模块更合适。
  2. 设备是否比最高工作波长的波长小得多？我主要对磁场感兴趣吗？如果是这样，则 AC/DC 模块更合适。

  如果您正好介于两者之间，那么将这两种产品都包含在模块库中是合理的。

  在 RF 模块和波动光学模块之间选择需要询问您自己的应用。尽管在时域和频域上，麦克斯韦方程组的全波形式在功能上存在许多重叠，但在边界条件上仍存在一些细微差异。存在适用于微波设备模拟的所谓集总端口和集总元件边界条件，它们只包含在 RF 模块中。还请记住，只有“波动光学模块”包含波束包络公式。

  就材料特性而言，这两种产品具有不同的材料库：RF 模块提供了一套通用的电介质基底，而波动光学模块则在光学和红外频带中包含了上千种不同材料的折射率。有关此内容以及其他可用材料库的更多详细信息，请参见此博客文章。当然，如果您对设备模拟需求有特定疑问，请与我们联系。

  下图概述了这些模块之间的近似分界线。

  

  使用射线光学模块追踪射线

  如果要模拟大小是波长数千倍的设备，则不再可能通过有限元网格来解析波长。在这种情况下，我们还在射线光学模块中提供了几何光学方法。这种方法不直接求解麦克斯韦方程组，而是模拟空间追踪光线。这种方法仅需要将反射表面和介电区域进行网格剖分，而不是均匀的自由空间。它适用于透镜、望远镜、大型激光腔以及结构-热-光学性能（STOP）分析的模拟。甚至可以将其与全波分析的输出结合起来，如本示例所示的教程模型。

  多物理场模拟

  除了求解麦克斯韦方程组本身之外，COMSOL Multiphysics 的核心优势之一是求解几个物理场之间存在耦合的问题。最常见的方法之一是麦克斯韦方程组和温度之间的耦合，其中温度的升高会影响电（以及热）的特性。有关解决此类电热问题的方法概述，参见此博客文章。

  将结构变形与电场和磁场耦合也是很常见的。有时，这仅涉及变形，但有时，还涉及压电、压阻或磁致伸缩材料响应，甚至应力-光学响应。MEMS模块具有用于静电驱动谐振器的专用的用户接口，其中施加的电场使设备偏置。结构接触和接触部分之间的电流流动也可以在电流模拟的背景下考虑。

  但是，除了温度和变形之外，您还可以将麦克斯韦方程组的电流耦合到化学过程，如电化学，电池和燃料电池，电沉积和腐蚀模块所述。在“等离子体模块”中，您甚至可以耦合到等离子体化学，并且通过“粒子追踪模块”，您可以通过电场和磁场追踪带电粒子。最后，我们的半导体模块使用漂移扩散方程求解电荷传输。这些模块中的每个模块本身都是一个主题，因此我们不会在这里详述。

  当然，如果您想更深入地讨论这些模块中的任何一个，并了解它如何适用于您感兴趣的设备，请立即通过下面的按钮与我们联系。

  联系 COMSOL
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  在调查犯罪时，法医专家有时会使用DNA证据来识别犯罪嫌疑人。然而，DNA不仅包含识别信息，还有我们基因构成的线索。DNA 分离可以用来深入研究 DNA 链，但是传统方法很耗时。为了加快 DNA 的分离，密苏里科技大学的研究人员使用了 COMSOL Multiphysics® 软件。

  我们的基因构成

  DNA 的分子结构很复杂：它是由长链核苷酸组成的双螺旋聚合物。通过将样本分解成大小不同的片段，可以使研究 DNA 变得更加容易。

  DNA 核苷酸或碱基对是鸟嘌呤（G），腺嘌呤（A），胸腺嘧啶（T）和胞嘧啶（C）。研究人员试图在基因组测序和医学诊断等领域中理解这些遗传“字母”的序列，例如，以定位基因并了解它们如何在生物体内协同工作。如果没有 DNA 分离，这项工作就不容易做到，毕竟，人类基因组拥有超过 30 亿个碱基对 DNA！

  
  图示为包含有碱基对字母 G，A，T 和 C 的 DNA 链。图像来源于美国公共领域 Wikimedia Commons 。

  最近，其他一些 DNA 分析的例子也成为了人们关注的焦点。您可能熟悉邮寄 DNA 测试工具包，它可帮助您了解有关您祖先的更多信息。当基因检测公司将您的DNA样本数字化时，它看起来像核苷酸 G，A，T 和 C 字母的长链。这些公司使用算法将您的基因组的 DNA 片段与参考数据集进行比较。然后，算法确定您的DNA样本与每个参考集的匹配程度，以查看您最可能属于哪个血统。该算法的性能取决于它的参考集，因此与数据库中的其他组相比，一些血统的代表性可能不足。

  在法医学等领域，DNA 分析有助于科学家比较遗传物质的样本。由于很少有两个人具有相同的DNA模式，因此法医科学家可以将 DNA 分子切片中的模式与参考数据库进行比较，例如美国联邦调查局管理的联合 DNA 索引系统（CODIS）。然而，像 CODIS 这样的系统仅限于它们包含的 DNA 谱。调查人员开始使用上述提到的血统数据库，通过一个名为家族 DNA 的概念扩展他们的搜索范围。例如，在 2018 年，警方调查金州杀人案时，将犯罪现场 DNA 与家谱网站数据库进行了对比，发现了与远房亲属的部分匹配。最终，这有助于他们缩小搜索范围并识别被指控的犯罪嫌疑人。

  用 DNA 分离技术研究核苷酸链中的片段链接

  凝胶电泳是一种用于分离DNA分子（主要是在法医中）的常用技术，该技术涉及通过凝胶迁移带负电的核酸分子。当施加电流时，较小的分子穿过凝胶的速度比较大的分子快，因此碎片会根据大小分成条带。为了使这种分离可视化，我们使用了放射性染料。
  
  凝胶电泳结果示例。图片来自Mnolf的研究 。在Wikimedia Commons中获得CC BY-SA 3.0许可。

  还有另一种方法可以在不使用凝胶或电场的情况下更有效地分离 DNA 长链：熵捕获。在这种基于微芯片的系统中，建立不同高度的熵阱阵列（结构化微通道），以使狭窄通道间隙远小于 DNA 分子的旋转直径。根据链长分离分子，当带负电荷的 DNA 分子通过电泳力驱动通过这些通道时，洗脱时间取决于 DNA 分子的长度。DNA 分子越长，它被吸入狭小通道的可能性越大，因为较长的分子占据更多的表面积。
  
  熵陷阱的示意图，宽通道中的 DNA 分子将流入窄通道。图片由密苏里科技大学提供。

  尽管熵捕获比其他分离方法更快且更有效，但所需设备的设计和制造需要花费大量的时间并且成本高昂，因为它依赖于反复试验。自从发现熵捕获方法以来，研究人员已经进行了计算研究以优化设计并研究这些设备中的分离机制，但是至今尚未使用商业软件来模拟这些熵诱捕系统。

  使用COMSOL Multiphysics®来模拟熵陷阱系统中的聚合物动力学

  为了确定它们是否可以通过商用模拟软件以节省时间，密苏里科技大学的研究人员使用COMSOL Multiphysics®建立了熵陷阱系统和聚合物动力学模拟，并将其结果与实验数据进行了比较。

  由Joontaek Park，James Jones，Meyyamai Palaniappan，Saman Monjezi和Behrouz Behdani组成的研究小组表示，“微通道模拟中的DNA动力学具有挑战性，因为必须进行两种不同的模拟：复杂的微流体几何以及聚合物分子动力学中的场计算—-他们补充道“幸运的是，COMSOL®可以相对轻松地处理这些模拟，并且COMSOL®在DNA或单聚合物分子模拟区域打开了新的一页。”

  该团队使用附加的粒子追踪模块对DNA链进行了布朗动力学模拟。借助CFD模块，在牛顿流体中将链设置为单聚合物珠链模型。至于珠子本身，它们被当作布朗粒子处理，以解决链条穿过周围溶剂时链条的随机运动。

  为了描述每个珠子之间的弹力，他们使用了另一个众所周知的模型，即蠕虫状链（WLC），该模型描述了半柔性聚合物的行为。除了WLC之外，研究团队还利用Lennard-Jones势来防止珠子相互渗透。在设置熵阵列几何结构（如下所示）以使H_s远小于典型DNA分子的旋转直径后，研究人员使用 AC/DC 模块在整个通道上创建了电势电场。
  
  模拟中使用的通道结构示意图。图片由密苏里科技大学提供。

  评估模拟结果

  研究小组使用有限元法计算了非均匀电场。这里可以看到电场的方向，箭头也指示了DNA分子移动的方向。
  
  宽通道的右角（a）和左角（b）中的电场通量矢量。图片由密苏里科技大学提供。

  接下来，研究人员根据长度，在N_b = 2,4 和 16 个珠子长度下模拟 DNA 分子的质心运动轨迹，因为它们周期性地流入收缩通道。每个分子以相同距离行进的轨迹如下所示。正如上面的电场矢量所预期的那样，分子在狭窄的通道中移动得更快，并且分子越长（它具有的珠子越多），它移动得越快。同时，较短的分子沿其轨迹速度在降低，并且DNA分子的分布表明扩散性更强，通过将它们从电场最强的区域移开而降低了通过通道的总速度。
  
  N_b = 2,4 和 16 的 DNA 分子的质心运动轨迹。图片由密苏里科技大学提供。

  这种比较可以在下面的动画中看到，短珠长度N_b = 2，中间珠长N_b = 4，长珠长度N_b = 16。如图例中的单位所示，动画中的颜色显示粒子在任何时间点的速度。正如预期的那样，DNA分子的表面越大，它越有可能被拖入更小的通道。（请注意，动画比实时约慢 10 倍。如果您希望进一步减慢速度，可以将鼠标悬停在动画上，然后单击齿轮图标。）
  

   

  N_b = 2 个较短的 DNA 分子在熵阱通道中的宽通道流入或流出。动画由密苏里科技大学提供
  

   

  N_b = 4 个中长 DNA 分子在熵阱通道中的宽通道流入或流出。动画由密苏里科技大学提供。
  

   

  N_b = 16 个较长的分子在熵阱通道中的宽通道流入或流出。动画由密苏里科技大学提供。

  研究人员能够证实，他们的模拟结果与熵陷阱中DNA链轨迹的实验数据非常一致，这些结果表明，较长的 DNA 链确实比较短的链能更快地洗脱。

  使用 COMSOL Multiphysics 进行聚合物动力学模拟为进一步的研究开辟了可能性，因为这是使用商用软件进行此类模拟的第一次试验。该团队表示“COMSOL Multiphysics 是一种非常受欢迎且用户友好的仿真工具”，此外，使用该软件进行聚合物动力学的扩展将“增强相关的应用和模拟研究”。

  至于自己未来的研究呢？该团队补充说，他们可以进行对惯性效应，聚合物构型（支化聚合物）效应以及DNA-碳纳米管相互作用的研究。

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  参考

  • S. Monjezi, B. Behdani, M.B. Palaniappan, J.D. Jones和J. Park，“微加工装置中DNA分离的计算研究：一般方法和最新应用综述”，Adv. in Chem. Eng. Sci.，7 (4), pp. 362–393, 2017。
  //www.denkrieger.com/blogs/speeding-up-dna-separation-in-a-microchannel-via-simulation/feed/ 2 //www.denkrieger.com/blogs/efficiently-analyze-charge-exchange-cell-designs-using-applications //www.denkrieger.com/blogs/efficiently-analyze-charge-exchange-cell-designs-using-applications#respond Bridget Paulus Tue, 05 Mar 2019 05:11:22 +0000 分子流 带电粒子追踪 流体 & 传热 计算流体力学 (CFD) 分子流模块 粒子追踪模块 http://cn.staging.comsol.com/blogs?p=233031 电荷交换单元可以改变离子束的电荷，使其可用于核聚变反应堆、粒子加速器和半导体制造设备。但是，由于许多因素（例如输入粒子束的能量、单元几何形状和中性粒子数密度）必须被测试，因为它们会影响设备性能。因此，改善这些设备的设计可能很耗时。这些分析通常是由仿真专家完成的，但他们可以通过创建仿真 App 使其他人也能使用这些设计…… 使用电荷交换单元改变离子束的电荷 电荷交换单元可以将带正电或带负电的离子束转换为中性粒子束。电荷交换单元的工作原理是使离子束通过稀薄气体进入一个真空室中。当离子与气体相互作用时，一部分离子发生电荷交换而离子束的能量或方向几乎没有损失；中性粒子束继续沿其原始路径前进，其余离子（未进行电荷交换的离子）通过带电板偏转。 仿真结果显示，电荷交换单元中的带电极板如何使发生电荷交换反应的离子继续向前前进，未进行离子交换的离子发生偏转。 由于具有使离子交换电荷的能力，这些单元被用在加速器（例如同步加速器）等设备中用于产生中性束，这对医学研究很有帮助。此外，它们还可用于离子注入过程，包括表面处理（例如人工关节）、钢的增韧（例如钻头），以及半导体制造（例如，金属氧化物半导体场效应晶体管或 MOSFET）等。在这些应用中，中性束是所需要的粒子，因为它不会在目标表面上累积大量的电荷。 为了使电荷交换单元高效工作，设备各个方面的优化都非常重要，例如： 使用的气体类型（氩气、氙气等） 气体数密度 腔室的形状和大小 带电板偏置电压的大小 这就是为什么我们需要仿真的原因，因为仿真能够使工程师优化这些参数从而降低原型制作成本。通常，测试不同的设计由仿真专家完成，但这会减少他们从事其他创新项目所需要的时间。另外，所有这些测试会在整个开发过程中造成瓶颈，因为只有少数人可以运行仿真分析。 创建一款仿真App是一种高效的选择。仿真App可以包含模型的所有物理特性，具有易于使用的界面，但可以仅显示我们想展示的功能。通过部署这样的仿真App，我们可以使不是仿真专家的团队成员能够分析和优化电荷交换单元设计；例如，计算电荷交换效率、所得粒子束的路径等。下面，我们来看一个使用COMSOL Multiphysics® 软件以及附加的分子流模块和粒子追踪模块创建仿真 App 的示例。 注意：本文没有涉及基础模型的详细信息，我们可以在通过一个电荷交换室中质子束中和案例教程中找到这些信息。 通过仿真 App 简化电荷交换单元的设计 电荷交换单元模拟器可模拟电荷交换单元，将高能正离子束转换为中性束。为了使用户能够轻松地在各种情况下测试不同的设计，下面演示的仿真 App 包括三个选项卡，包含电荷交换单元的关键部分参数： 真空参数 真空室尺寸 包含氩气的气室的流速 泵速 粒子束参数 输入光束的Twiss参数和发射率 离子总数 离子最可几能量 偏转电极参数 偏转电极的尺寸及其之间的电位差 对于各种可用的参数，我们很难记住参数是否已更改。因此，仿真 App 中包含了有用的状态卡，使用户可以了解几何和解的状态。当其中一个几何参数被更改后，将出现一条消息，提示用户单击 更新/显示几何 按钮，确保用户正在查看对应的几何。此外，在上一个解被计算后，如果任何参数被更改，就会有一条单独的消息提示输入数据已更改，并且用户无法查看解或创建报告。这些措施有助于确保用户得到的结果与输入的参数相匹配。 该仿真 App 还包含许多其他选项用来控制仿真。例如，通过单击 高级设置 按钮，用户可以增加时间步的数量，以提高结果的准确性，这在高气压和发生频繁碰撞时特别有用；用户还可以指定仿真中的中性粒子和氩离子的数量；另外，与图形 窗口类似，如果没有足够的粒子用于模拟，系统将会自动显示警告消息。 电荷交换单元模拟器还为用户提供了选择生成仿真结果报告的格式，即以 HTML 或 Microsoft® Word 格式显示。仿真 App 中还有一个按钮，使创建报告变得简单。创建的报告中详细说明了模型设置、输入参数的值和仿真结果。   演示仿真 App 的结果 根据需要调整仿真 App 设置后，用户可以单击计算按钮使电荷交换单元的各个方面可视化，包括： 真空室和包含氩气的内部单元壁上的气压 沿粒子束路径的气体数密度 带电板周围的电位分布 偏转离子和中性束的路径 此外，该仿真 App 还计算了设计效率。电荷交换单元的性能取决于被中和离子的百分比，这可以在仿真 App 的 数值结果 部分以及生成的报告中看到。此外，该报告将详细介绍模拟中的所有反应类型以及每种反应的数量，从而可以更深入地了解交换反应的产物。   通过使用该仿真 App，任何人都可以轻松地测试并优化电荷交换单元的性能，从而增强整体设计过程。 动手尝试 如果您想要获取电荷交换单元模拟器演示仿真 App，请单击下面的按钮转至 COMSOL […]

  电荷交换单元可以改变离子束的电荷，使其可用于核聚变反应堆、粒子加速器和半导体制造设备。但是，由于许多因素（例如输入粒子束的能量、单元几何形状和中性粒子数密度）必须被测试，因为它们会影响设备性能。因此，改善这些设备的设计可能很耗时。这些分析通常是由仿真专家完成的，但他们可以通过创建仿真 App 使其他人也能使用这些设计……

  使用电荷交换单元改变离子束的电荷

  电荷交换单元可以将带正电或带负电的离子束转换为中性粒子束。电荷交换单元的工作原理是使离子束通过稀薄气体进入一个真空室中。当离子与气体相互作用时，一部分离子发生电荷交换而离子束的能量或方向几乎没有损失；中性粒子束继续沿其原始路径前进，其余离子（未进行电荷交换的离子）通过带电板偏转。

  
  仿真结果显示，电荷交换单元中的带电极板如何使发生电荷交换反应的离子继续向前前进，未进行离子交换的离子发生偏转。

  由于具有使离子交换电荷的能力，这些单元被用在加速器（例如同步加速器）等设备中用于产生中性束，这对医学研究很有帮助。此外，它们还可用于离子注入过程，包括表面处理（例如人工关节）、钢的增韧（例如钻头），以及半导体制造（例如，金属氧化物半导体场效应晶体管或 MOSFET）等。在这些应用中，中性束是所需要的粒子，因为它不会在目标表面上累积大量的电荷。

  为了使电荷交换单元高效工作，设备各个方面的优化都非常重要，例如：

  • 使用的气体类型（氩气、氙气等）
  • 气体数密度
  • 腔室的形状和大小
  • 带电板偏置电压的大小

  这就是为什么我们需要仿真的原因，因为仿真能够使工程师优化这些参数从而降低原型制作成本。通常，测试不同的设计由仿真专家完成，但这会减少他们从事其他创新项目所需要的时间。另外，所有这些测试会在整个开发过程中造成瓶颈，因为只有少数人可以运行仿真分析。

  创建一款仿真App是一种高效的选择。仿真App可以包含模型的所有物理特性，具有易于使用的界面，但可以仅显示我们想展示的功能。通过部署这样的仿真App，我们可以使不是仿真专家的团队成员能够分析和优化电荷交换单元设计；例如，计算电荷交换效率、所得粒子束的路径等。下面，我们来看一个使用COMSOL Multiphysics^® 软件以及附加的分子流模块和粒子追踪模块创建仿真 App 的示例。

  注意：本文没有涉及基础模型的详细信息，我们可以在通过一个电荷交换室中质子束中和案例教程中找到这些信息。

  通过仿真 App 简化电荷交换单元的设计

  电荷交换单元模拟器可模拟电荷交换单元，将高能正离子束转换为中性束。为了使用户能够轻松地在各种情况下测试不同的设计，下面演示的仿真 App 包括三个选项卡，包含电荷交换单元的关键部分参数：

  1. 真空参数
     • 真空室尺寸
     • 包含氩气的气室的流速
     • 泵速
  2. 粒子束参数
     • 输入光束的Twiss参数和发射率
     • 离子总数
     • 离子最可几能量
  3. 偏转电极参数
     • 偏转电极的尺寸及其之间的电位差

  对于各种可用的参数，我们很难记住参数是否已更改。因此，仿真 App 中包含了有用的状态卡，使用户可以了解几何和解的状态。当其中一个几何参数被更改后，将出现一条消息，提示用户单击 更新/显示几何 按钮，确保用户正在查看对应的几何。此外，在上一个解被计算后，如果任何参数被更改，就会有一条单独的消息提示输入数据已更改，并且用户无法查看解或创建报告。这些措施有助于确保用户得到的结果与输入的参数相匹配。

  该仿真 App 还包含许多其他选项用来控制仿真。例如，通过单击 高级设置 按钮，用户可以增加时间步的数量，以提高结果的准确性，这在高气压和发生频繁碰撞时特别有用；用户还可以指定仿真中的中性粒子和氩离子的数量；另外，与图形 窗口类似，如果没有足够的粒子用于模拟，系统将会自动显示警告消息。

  电荷交换单元模拟器还为用户提供了选择生成仿真结果报告的格式，即以 HTML 或 Microsoft^® Word 格式显示。仿真 App 中还有一个按钮，使创建报告变得简单。创建的报告中详细说明了模型设置、输入参数的值和仿真结果。

   

  演示仿真 App 的结果

  根据需要调整仿真 App 设置后，用户可以单击计算按钮使电荷交换单元的各个方面可视化，包括：

  • 真空室和包含氩气的内部单元壁上的气压
  • 沿粒子束路径的气体数密度
  • 带电板周围的电位分布
  • 偏转离子和中性束的路径

  此外，该仿真 App 还计算了设计效率。电荷交换单元的性能取决于被中和离子的百分比，这可以在仿真 App 的 数值结果 部分以及生成的报告中看到。此外，该报告将详细介绍模拟中的所有反应类型以及每种反应的数量，从而可以更深入地了解交换反应的产物。

   

  通过使用该仿真 App，任何人都可以轻松地测试并优化电荷交换单元的性能，从而增强整体设计过程。

  动手尝试

  如果您想要获取电荷交换单元模拟器演示仿真 App，请单击下面的按钮转至 COMSOL 案例库 。通过有效的软件许可证，您就可以下载演示仿真 App 并查看其随附的说明文档。

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