闭环地热换热系统利用电力和地埋管换热器从地下提取和释放能量，为建筑物供暖和制冷。使用地热供暖有助于减少碳排放，尤其是在电力来源为可再生能源的情况下。Renewable Energy 杂志上发表的一篇论文（参考文献 1）探讨了地源热泵系统中倾斜式地埋管换热器的优点。该论文的主要作者 Daniel Deacon 是一位地热交换专家和地热工程师，他向我们讲述了他是如何在这项研究工作中使用多物理场仿真的。

远离天然气

全球都在关注气候危机和减少化石燃料的使用，这促使能源行业开始寻求为建筑物供暖和制冷的替代方法，重点是减少天然气的使用并降低碳排放。使用非碳能源（如地源热泵）供暖是一种可行的替代方案，因为这些能源结合了电能和热能，而非纯粹的电能。地源热泵，或称为地埋管换热器（Borehole Heat Exchangers ），利用的是地下数百米处相对稳定的温度场。地热能源是一种比天然气丰富得多的资源。

地埋管换热器可作为大型地热系统中的关键驱动部件。它们是由高密度聚乙烯制成的大型管道，嵌入在灌浆柱中。它们采用一个闭环系统，流体在钻孔内的管道中循环，以便在地下和建筑物之间传递热量（图 1）。流体从地下几百米的土壤和岩石中提取热量。然后，这些能量被输送到热泵装置，热泵装置利用这些能量，将流体分配到整个建筑物的机械系统中。当建筑物冷却时，能量会被释放回地下。Deacon 将这一过程称为 “能量平衡”。将多个地埋管换热器组合在一起就形成了一个地埋管换热器场，这通常是为大型建筑物提供足够制热和制冷的能量时所必需的。

图 1. 一种垂直式地埋管换热器，它从地下提取热量，并将冷却后的流体送回地下。

在 Deacon 工作的加拿大多伦多，所有新建建筑都必须符合多伦多绿色标准 (参考文献 2），这是一项旨在减少碳排放的倡议。该标准对翻新改造也有要求。这些要求对工程师提出了挑战，因为他们必须找到一种方法来满足地面空间非常有限的现有建筑物的供暖和制冷需求。” Deacon 在论文中解释说：“通过倾斜式钻孔，相邻钻孔在地表处的间距最多可减少 90%。” 图 2 展示了这种钻孔间距的情况。

图 2. 倾斜钻孔可大大减少所需的地面面积。

由于大多数文献都是基于垂直式地埋管换热器的，因此行业内缺乏对倾斜式地埋管换热器的建模，这导致了对倾斜式地埋管换热器传热物理特性的假设。Deacon 使用 COMSOL Multiphysics^® 仿真软件建立了倾斜式地埋管换热器的三维模型，并将其随时间变化的性能与垂直式地埋管换热器模型进行了比较。

协作与测试

Deacon 基于 Tolga Ozudogru 在 COMSOL Multiphysics^® 中开发的地埋管换热器模型（参考文献 3）进行了扩展。该模型将地埋管换热器内的流体流动表示为一维管流，并与周围土壤和岩石等固体材料中的三维热传导相耦合。Ozudogru 将这种方法称为“伪管道法”，与建立完整的管道内流体流动三维模型相比，它节省了大量计算资源。伪管道法将 COMSOL Multiphysics^® 中的 管道传热 接口与 固体传热 接口耦合起来。它将流经管道的流动和传热视为瞬态一维过程，并与三维固体域的边界耦合，三维瞬态热传导方程就是在这个边界上求解的。周围固体材料中热传导的三维数值模型采用了有限元法（FEM）。Deacon 使用 COMSOL 的附加产品——传热模块，开发了一个将计算流体动力学（CFD）和三维瞬态热传导相耦合的复合模型。该复合模型可以捕捉到倾斜式换热器中出现的多物理场效应。

这些模拟结果通过 Richard Beier 收集的实验数据（参考文献 4）进行了验证，该实验装置为一个矩形沙箱，其中心装有一个 U 型管换热器。流体在管道中循环，并在回路之间被加热。热敏电阻被放置在周围的沙子中，用于测量不同径向点的瞬态温度。然后，将入口（供水）的质量流量和温度作为数值模型的边界条件。结果表明，COMSOL Multiphysics^® 对流体出口（回水）温度和一系列径向位置处沙子温度的预测值与实验结果非常吻合。

为了模拟 2 小时的断电情况，进行了一项中断试验。对流体施加热通量以模拟断电时的情况，而土壤域的初始条件和边界条件与团队进行的不间断试验中的相同，仅入口流体的温度和流速不同。COMSOL Multiphysics^® 准确预测了断电 2 小时后重新启动循环泵和加热器后的温升，验证了实验数据中使用的瞬态热传导方程的解（图 3）。这些研究使 Deacon 确信，COMSOL^® 能够准确模拟地埋管换热器的传热物理过程。

图 3. 左图：入口（供水）和出口（回水）处的流体温度的实验数据和 COMSOL 模拟结果之间具有高度一致性。右图：五个径向位置的温度实验测量值与 COMSOL 模拟预测值的对比。

倾斜式与垂直式地埋管换热器的性能对比

随后，这项研究分析了三种不同地埋管换热器的配置（图 4）在恒定注热速率下的热响应。本研究对以下几种情况的热性能进行了比较：

1. 单个垂直式地埋管换热器（1V）
2. 2 个平行的垂直式地埋管换热器，相距 5 米（2V）
3. 1 个垂直式地埋管换热器和 1 个倾斜式地埋管换热器的配置，在地表相距 2.75 米，倾斜式地埋管换热器与垂直轴呈 3 度倾斜 （1A1V）

根据工业热响应测试中使用的典型功率，入口处的热功率为 20 KW。本研究模拟的总运行时间为 8760 小时，即 1 年。该研究的地层参数代表了安大略省南部的地面测量结果。在整个研究过程中，入口处的质量流量、热功率、流体的初始温度、比热容以及运行时间等运行条件都是恒定的，因此可以单独对热导率进行分析。

图 4. 用于分析热响应的三种地埋管换热器配置的可视化图。

1V 配置的传热效果被认为是最佳的，因此，通过将其他两种配置的流体温度与 1V 配置的流体温度进行比较，评估了这两种配置的性能。0 K 的温差代表最佳性能。由于地面空间有限，预计 1A1V 中的热相互作用比 2V 开始得更早。热相互作用表现为流体温差的增加（相对于 1V 配置）。不过，一旦 2V 开始产生热相互作用，预计随着时间的推移，1A1V 的效率会越来越高。

在 0–100 小时的运行时间内，两种配置的热性能都类似于 1V 配置，即达到了最佳标准（最大热传递）。在最初的 100 小时之后，1A1V 配置的流体温度比 1V 配置的流体温度高出 0.02°C。最大温差在约 690 小时时达到峰值，然后开始下降，直到 1053 小时，两者的温度曲线在此相交（图 5）。

当两条曲线相交时，2V 的温度曲线会迅速偏离 1A1V，这是因为在 2V 配置中，沿着换热器的整个深度存在热相互作用。1A1V 配置减弱了沿深度方向的热相互作用，导致末端的流体温差比 2V 低约 1.4°C。交汇点标志着 1A1V 的性能从轻微的不利影响向轻微的有利影响转变。该图表明，在更长的时间内，1A1V 配置比 2V 配置表现出更好的传热效果。

图 5. 在恒定热注入速率下，3 种配置的流体温度差。

衡量大型系统的性能

大多数比独栋住宅大的建筑都需要多个地埋管换热器。所需的换热器数量在设计时要考虑许多因素，其中之一就是在一年中最冷或最热的日子里为建筑物供暖或制冷所需的能量。Deacon 使用了4 个地埋管换热器来模拟不同数量换热器的影响，运行条件保持不变（每个地埋管的流量和入口温度相同，以此模拟不同配置下的传热性能）。

额外的地埋管换热器所带来的风险在于，当热源彼此距离更近时，热相互作用会加剧。他的研究使用了 3 种配置（图 6）：

• 4V ：4 个垂直式地埋管换热器的配置
• 3A1V-配置 1：3 个倾斜式地埋管换热器和 1 个垂直式地埋管换热器，且换热器之间有明显间隔
• 3A1V-配置 2：3 个倾斜式地埋管换热器和 1 个垂直式地埋管换热器，且换热器之间的间距极小

两种倾斜式配置都需要不到半平方米的地面面积，而 4V 配置则需要 25 平方米。3A1V-配置 2 最适合对地面面积较小的建筑进行翻新改造，而 3A1V-配置 1 则可能最适合地面面积较大的新建筑。

图 6. 4 个地埋管示例的三种配置的几何结构。

首先，模拟结果表明，当地埋管换热器的数量超过 2 个时，每个地埋管的性能就会下降。与 2 个地埋管的配置相比，每个地埋管的性能有所下降；流体温差尽可能小是最佳状态，但 10 年后的流体温差大于 1 K，而在 2 个地埋管的配置中，这一温差小于 1 K。性能下降的原因是热相互作用增加，以及由于地埋管分布更加密集，每个 地埋管可利用的地下空间减少。

关于 4 个地埋管换热器的配置，模拟结果显示，在 1 年的时间里，两种倾斜式地埋管换热器配置（3A1V-配置 1 和 3A1V-配置 2）的流体温差小于垂直式地埋管换热器配置（4V），这表明倾斜配置仍然具有更好的传热性能。在这两种倾斜式换热器的配置中，配置 1 全年的流体温度明显更低，由于间距增大，其性能更好。配置 1 在10 年后的流体温差约为 1 K，而配置 2 的温差约为 2 K。Deacon 推断，优化倾斜配置的布局将提升系统的整体性能。这些结果进一步证实了在整个模拟和研究过程中不断得出的结论。

通过模拟，Deacon 得出结论：通常来说，倾斜式地埋管换热器系统最适合改造项目，而垂直式地埋管换热器系统更适合新建建筑。当持续注入热量时，倾斜式地埋管换热器和垂直式地埋管换热器的初始性能相似，但随着时间的推移，由于地温场深层的地下体积更大，倾斜式地埋管换热器的性能显著提升。在 10 年的模拟时间内，倾斜式地埋换热器在制冷方面的表现也优于垂直式地埋换热器。根据这些结果可以确定，倾斜式系统更适合处理不平衡的能源负荷，也更善于利用地下体积。

“在地埋管位置和角度方面，如果你遵循几条通用规则，它们的性能实际上与传统系统非常相似。” Deacon 说道。

将供暖系统电气化以及将传统系统改造为地热能系统，历来成本高昂且难以普及，但仿真技术已帮助改变了这一局面。借助 COMSOL Multiphysics^® 多物理场仿真软件，工程师能够逐小时估算地埋管在未来数十年内的性能表现。此外，仿真还能增强设计的可信度，并有助于降低出错的风险。

“现在我们既然有了这种建模仿真能力，就可以恰当地评估一个地埋管场的规模，降低成本，使设计方案更具可行性。” Deacon 总结道。

参考文献

1. D.L. Deacon and M.F. Lightstone, “Three-dimensional analysis of multiple inclined borehole heat exchangers,” Renewable Energy, vol. 237, part B, 2024.
2. Toronto Green Standard for New Low-Rise Residential Development, City of Toronto, Canada, Jan. 2017; https://www.toronto.ca/wp-content/uploads/2017/11/91f2-City-Planning-Toronto-Green-Standard-2017_LowRise_Standard.pdf
3. T. Y. Ozudogru et al., “3D numerical modeling of vertical geothermal heat exchangers,” Geothermics, vol. 51, 2014.
4. R. Beier et al., “Reference data sets for vertical borehole ground heat exchanger models and thermal response test analysis,” Geothermics, vol. 40, issue 1, 2011.

今天，特邀博主雷庆华博士和我们一起讨论了一种新的模拟裂隙介质中全耦合流体力学过程的方法。

了解裂隙地质介质中固体变形与流体流动之间的耦合关系，对于解决地球科学和岩土工程中的许多核心问题，例如地下挖掘、油气开采、碳封存、地热生产和废物处理，具有重要的意义。本文描述了一种基于 COMSOL Multiphysics® 软件的裂隙介质中全耦合流体力学过程建模的新方法。

为什么使用 COMSOL Multiphysics^® 进行流体力学建模?

一般来说，模拟裂隙介质中的耦合流体力学过程存在两个主要挑战。一个是内含大量的天然裂隙的地质介质的不连续性表征，这些裂隙普遍存在许多不同的长度尺度，并经常主导系统的整体行为（参考文献 2）。另一个是流体力学耦合机制的计算，包括直接耦合（即固体和流体场之间的相互作用）和间接耦合（即岩石/裂隙性质的改变）。

在过去的几年中，已经开发了大量旨在应对这些挑战的商业软件包和开源研究代码。然而，其中大多数必须使用不同的求解器来计算流体和固体方程，因此必须通过额外的处理步骤来实现耦合，这既不方便也不高效。此外，大多数现有代码无法真正同时捕获直接和间接耦合，因此通常必须进行假设或简化。

使用 COMSOL Multiphysics 是因为它具有卓越的功能:

1. 同时求解多物理场方程，实现直接耦合
2. 将模型参数定义为其他场变量的函数，实现间接耦合
3. 明确表示离散的裂隙，并求解其中的物理过程(如裂隙流动和裂隙变形)

下面，我们将阐述在 COMSOL Multiphysics 中建立裂隙介质全耦合流体力学数值模型的步骤，并给出一些仿真实例。

建模过程

在 COMSOL Multiphysics 中进行数值仿真涉及三个主要步骤。

步骤1:生成模型几何和网格

首先，可以使用 AutoCAD® 或 Rhinoceros® 等 CAD 软件构建几何上表示为线/折线的离散裂隙网络。然后将几何数据导出为 DXF 文件，这些文件可以直接导入 COMSOL Multiphysics。这一步骤也可以在 MATLAB® 中完成，以按照规定的概率分布生成合成裂隙网络，并将其导出到 DXF。

提示：您还可以使用离散裂隙网络插件直接在 COMSOL Multiphysics 内部的现有几何结构中创建随机裂隙，如裂缝性储层的 3D 示例模型所述。

导入几何图形后，我们使用三角形有限元的非结构化网格（通过 Delaunay 细分）对域进行离散化，其中天然裂隙由嵌入相邻有限元之间的联合单元表示（图1）。

图1。该模型采用三角形有限元的非结构化网格离散化，其中天然裂隙由嵌入相邻有限元之间的联合单元表示。

第二步:模型设置并定义材料属性、耦合参数和边界条件

我们使用 COMSOL Multiphysics 中的固体力学 和达西定律 接口对裂隙介质中的流体力学过程进行了模拟。我们激活 多孔弹性 接口以实现固体和流体方程之间的直接耦合。我们定义了岩石基质和裂隙的材料特性和本构方程。一些岩石/裂隙特性，例如孔隙率、储水和渗透率，被定义为局部应力/压力状态的函数，以实现间接耦合。我们还定义了力学和水力边界条件。

第三步:解的计算

我们在两个连续的阶段运行模型。在第一阶段，系统在给定的原位 应力和压力条件下达到初始平衡（通过斜坡加载）。然后，在第二阶段，我们模拟系统对流体注入或地下开挖等工程活动的响应。

仿真实例

示例1:裂隙岩石中的流体注入

我们应用该模型来模拟受流体注入影响的裂隙岩石的流体力学行为（参考文献 1）。该模型可以真实地捕捉裂隙多孔介质中的压力扩散，完整岩石中由脆性和疲劳引起的损伤以及裂隙结构对流体力学过程的重要影响（图2）。该模型还使我们能够直观地查看裂隙岩石中损伤、应力和压力场的详细演变，并进一步研究多孔弹性对驱动系统中新损伤传播的基本控制（图 3）。根据模拟结果，我们还可以分析由完整岩石脆性破坏和/或天然裂隙摩擦滑动引起的诱发地震活动的时空演变（图4）。

图2 注液过程中裂隙岩石的压力演化与损伤扩展。

图3 查看(a)损伤的分布情况;(b)应力比(即局部最大主应力与局部最小主应力的比值);(c)裂隙岩石局部区域的流体压力(通过高度表达式显示)。

图4 低、高裂隙密度分别为χ = 0.5 和 1.5 的裂隙岩石中诱发地震事件的空间分布和演化规律。

示例2:裂隙岩石的地下开挖

该模型也可用于模拟裂隙岩石中开挖引起的扰动以及由此产生的瞬态流体力学行为（参考文献4）。我们捕获了由于挖掘（时间 t = 0-0.1 小时）和随后的排水（时间 t= 0.1~20 h) 过程导致的显著的压力变化和扩散以及应力变化和损伤演变（图5）。我们通过对 Biot 系数进行敏感性分析来说明流体力学耦合的重要作用。结果表明，当Biot系数越高(或者说耦合越强)时，开挖引起的孔隙弹性压力场越不均匀，岩石损伤和破裂位移也越大。开挖和排水过程都会诱发与岩石基质的脆性损坏和/或天然裂隙的摩擦滑动相关的地震事件（图 6）。

图5 裂隙岩石在开挖过程中及开挖后的压力、应力和损伤演化。

图6 在开挖(左图)和排水(右图)阶段，具有不同 Biot 系数 α 的裂隙岩石的地震活动的空间分布。

除了上述的流体力学模型外，我们还开发了一个完全耦合的热流体力学模型来模拟裂隙性地热储层在长期水循环和产热过程中的性能(参考文献3)。

参考文献

1. Q. Lei et al., “Modelling fluid injection-induced fracture activation, damage growth, seismicity occurrence and connectivity change in naturally fractured rocks”, International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, no. 138, vol. 104598, 2021.
2. Q. Lei et al., “The use of discrete fracture networks for modelling coupled geomechanical and hydrological behaviour of fractured rocks”, Computers and Geotechnics, no. 85, pp. 151–176, 2017.
3. Z. Sun et al., “Combined effects of thermal perturbation and in-situ stress on heat transfer in fractured geothermal reservoirs”, Rock Mechanics and Rock Engineering, no. 54, pp. 2165–2181, 2021.
4. C. Zhao et al., “Role of hydro-mechanical coupling in excavation-induced damage propagation, fracture deformation and microseismicity evolution in naturally fractured rocks”, Engineering Geology, no. 289, vol. 106169, 2021.

关于作者

雷庆华博士，讲师，瑞士 ETH Zürich 地球科学系高级科学家。他拥有中国同济大学土木工程学士学位(2009 年)和硕士学位(2012 年)，以及英国帝国理工学院岩石力学博士学位(2016 年)。雷博士是国际岩石力学和岩石工程学会(ISRM)的 Rocha 奖章，以及 NGW Cook 博士论文奖和美国岩石力学协会(ARMA)的岩石力学研究奖的获得者。雷博士的研究兴趣包括岩石力学、耦合过程、断裂表征、多相流、地震波、诱发地震活动和边坡稳定性。他是断裂岩石热-水力-机械-化学过程 ISRM 委员会的秘书长，ARMA 未来领导人，以及 ARMA 地下储存和利用技术委员会的创始成员。

Autodesk、Autodesk 徽标、AutoCAD 和 DXF 是 Autodesk, Inc.和/或其附属公司和/或关联公司在美国和/或其他国家的注册商标或商标。

Rhinoceros 是 TLM, Inc. 的注册商标。DBA Robert McNeel & Associates Corporation。

MATLAB 是 The MathWorks, Inc. 的注册商标。

在上一篇博文中，我们介绍了基于侧流分析（LFA）的快速检测的原理。今天这篇文章，我们来看看如何利用这种测试检测新冠肺炎（COVID-19）。另外，我们使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟了三个模型，用于理解这些简单的、稳固的和先进的微实验室是如何工作的。

新冠肺炎是如何检测的？

当人体感染新型冠状病毒 SARS-CoV-2 后，免疫系统会迅速形成抗体。树突状细胞可能呈现病毒抗原，以便被 T 细胞识别。T 细胞可以激活 B 细胞，分泌靶向抗原的抗体(参考文献1)。首先形成的是 IgM 抗体。这些抗体一旦靠近就会附着在病毒颗粒的抗原表面。例如，就冠状病毒而言，这些抗原可以是病毒表面的刺突蛋白(S 抗原)。一旦附着在抗原上，抗体就会阻断病毒的刺突蛋白，阻止它们附着并感染人类细胞。这样就可以中和病毒，因为它不能在受感染的细胞外复制。有许多不同的抗体可以靶向不同的抗原。需要注意的是，人体还有其他对抗感染的机制。此外，识别病毒的T细胞也可能直靶向受感染的细胞。它们可以指示细胞进行自我毁灭，或者杀死被感染的细胞，从而中和病毒。

由免疫系统制造的 IgM 抗体附着在例如新型冠状病毒颗粒的刺突抗原(S 抗原)上，从而中和病毒颗粒。被中和的病毒颗粒不能进入人体细胞，因此不能进行自我复制，最终被破坏。

IgM 抗体五个一组形成小颗粒(或大分子)在人体内巡视，附着在他们遇到的每一个病毒颗粒上。在感染的后期，免疫系统还会形成其他抗体，例如 IgG，它们会自动巡视身体，并附着在能看到的每一个病毒颗粒上。IgG 抗体需要更长的时间才能被身体制造出来，但是它们持续时间也更长，并且只要存在 IgG 抗体就可以产生免疫力。

新冠肺炎的一些LFA快速检测是基于 IgM 和IgG 抗体的检测。这些就是本篇博文建立的模型所研究的测试。

样本中含有因感染新冠肺炎而产生的人类抗体 IgM 和 IgG。动物抗体也与缓冲溶液一起被加入样本液体中。在三个不同区域的测试线上固定了抗体检测试剂。请注意，图中测试线尚不可见。

在检测时，可以将患者的血液(或唾液)施加到样品孔上，然后在样品孔中滴入几滴缓冲液，来应用缓冲液。

样品在毛细管力的作用下被输送到连接板上。在这里，IgM 和 IgG 抗体与标记物形成络合物。络合标记物可能是一个表面上具有新型冠状病毒抗原的纳米金颗粒。之后形成两种不同的络合物:

1. IgM 的络合物（IgM-C）
2. IgG 的络合物（IgG-C）

这些络合物在样品溶液中溶解。

IgM 和 IgG 抗体通过附着在颗粒表面的 SARS-CoV-2 抗原被吸附到纳米金颗粒（络合物标记）上。此外，动物病毒抗体会吸附各自的纳米金颗粒。抗体和颗粒的络合物溶解在流动液中，并与样品溶液一起被运送到膜上。请注意，此时测试线仍不可见。

此外，可能还有第二个与来自动物病毒的抗原结合的纳米金颗粒。这些络合标记物可以附着到缓冲溶液提供的参考动物抗体上。动物抗体和络合标记物(AA-C)的络合物也溶解在样品液体中，并用于随后的对照线检测。

样品随后在毛细管作用力下被输送到膜上。在第一条测试线中， IgM 检测试剂在膜的制造过程中被固定在膜表面。这些 IgM 检测试剂会捕获 IgM-C 络合物，并使这些络合物固定在该测试线的区。纳米金颗粒发生聚集并将测试线染成红色，显示测试线上络合物的存在。

抗体-抗原-纳米金颗粒络合物附着在各自的抗体检测试剂上，抗体检测试剂位于测试线的位置。一旦络合物被固定在测试线表面，由于表面上存在纳米金颗粒，测试线颜色就会出现。

同样，在第二条测试线上，IgG-C 络合物与固定的IgG检测试剂发生反应。一旦 IgG-C 络合物附着到 IgG 检测试剂上，由于纳米金颗粒的存在，第二条测试线的颜色会变为红色。

然后，当对照测试线遇到氨基酸-碳络合物（AA-C complex）时，通过附着在对照测试线区域膜上的动物抗体检测试剂，以类似的方式进行反应。对照测试线的颜色显示样本已经通过膜区，包括IgM和IgG检测区。如果对照测试线没有着色，那么该测试应该被视为无效，因为样本没有以预期的方式通过膜。

液体溶液继续流向吸收板(芯板)。吸收板的孔体积决定了可以流过测试条的样品体积。一旦吸收路径满了，测试条中的液体流动就停止了。重新开始流动的唯一可能是蒸发吸收板中的一些样品液。

使用 COMSOL Multiphysics^® 建立的快速检测的3种模型

本文作者使用 COMSOL 建立了 3 个模型用于研究 LFA 快速检测。

首先，使用一个完整的 3D 模型，以确定样品液体是否均匀分布在测试条中，并研究采样孔位置的影响。此外，可以使用 3D 模型研究吸收板的吸收能力，以得到穿过测试条的流量。

蓝色阴影横截面显示了 3D 几何图形中的 2D 建模平面。沿宽度方向的对称偏差仅出现在样品板中，其中，样品板中的样品孔没有布满测试条的整个宽度。

很快我们发现，一旦样品溶液通过样品板，样品液流动会迅速形成一个平坦的速度曲线。这意味着它沿着测试条的宽度均匀流动，也就意味着 2D 模型足以理解快速检测装置的挑战和功能，只要样品板能够均匀地分配流体。因此，我们使用 2D 模型来研究测试条中的传输和反应。2D 模型允许我们沿着测试条的长度和厚度使用更高分辨率的网格。

这些模型结合使用了 COMSOL Multiphysics 中用于多孔介质流动的理查兹方程 接口和稀物质传递 接口(参考文献2)。形成 IgM-C、IgG-C 和抗 AA-C 络合物的反应由 化学 接口定义。此外，测试线上的表面反应也由化学 接口定义。对于 2D 模型，我们使用了两种不同的方法:

1. 假设络合物在测试线上的吸附仅发生在膜表面
2. 假设检测中的吸附过程发生在测试线位置下方的整个膜厚度上

含 2D 模型组件和 理查德方程模型的模型树，化学、稀物质传递，表面反应接口，和 反应工程接口。生成空间相关模型节点将传输和化学接口添加到已经存在的 2D 模型组件的理查德方程接口。

IgM 反应路径的模型树如上图所示。化学，稀物质传递 和表面反应 接口都均是由反应工程 接口建立的，其中使用了生成空间相关模型 功能。

连接板中的化学反应定义如下:

1. 连接板中纳米金颗粒上的 IgM 和 SARS Co-2 抗原之间的反应定义为:

IgM +SCoAu(ads) => IgMC

1. • 术语(ads)用于表示抗原和纳米粒子被吸附在连接板的孔结构中，并被 IgM 吸附以形成 IgMC 络合物，IgMC 络合物溶解在溶液中。
2. 可以得到IgG抗体的类似反应: IgG + SCoAu(ads) => IgGC
3. 动物抗体与动物抗原在纳米金颗粒上的反应可定义为: AA + AAu(ads) => AAC

因此，IgMC、IgC 和 AAC 是共轭抗体络合物。

测试线中的反应如下:

1. 在第一条测试线上: IgMC + IgMd(ads) => IgMPos(ads)
   • 上式说明了IgMC络合物与吸附的IgMd检测蛋白反应，形成吸附的IgMPos表面络合物。IgMPo络合物可以使第一条测试线变色。
2. 类似于上面的4条，在第二个测试线中，有: IgGC + IgGd(ads) => IgGPos(ads)
   • 吸附的 IgPos 络合物使第二条测试线呈现红色。
3. 在第三个测试线中，有: AAC + AAd(ads) => AAPos(ads)
   • 吸附的物质 AAPos 使参考测试线呈现红色。

模型结果

下图显示了测试条在四个不同时间的流动曲线。我们可以看到，最初，样本前端沿着测试条的中部进一步延伸到测试条中，形成一个略微呈抛物线的曲线。抛物线曲线是由于样品孔处于测试条的中间位置。然而，5 秒钟后，当样品溶液流动已经达到连接板的三分之一时，流动曲线是平坦的(见上一篇博文中的最后一个图)。

样本在 3 秒钟后已经到达第一个结合区域。在这里，我们仍然可以注意到样品孔的位置对样品液延伸的影响，因为它不是平坦的，而是在中间显示出最大的延伸。21 秒后，当样本液到达第一个测试线区域时，速度曲线是一条直线。65 秒后，样本液流到达参考测试线，100 秒后到达吸收板。

由上图我们还可以看到，样品液沿着垂直于通道中间测试条的平面是对称的。这意味着我们只需要求解一半的装置就可以解决这个问题。尽管这是一个对称问题，但对整个装置进行建模是一个很好的方法，可以检查网格是否足够密集，以得出关于流动曲线的任何结论。流动曲线是对称的表明这里的网格可能足够密集。

下面，我们来看看第一条测试线位置处样品的流速图，见下图。我们可以看到，在样品被施加到样品孔后大约 20 秒开始流动，流动在 275 秒左右停止。这与吸收板充满液体样品的时间一致。

同样有趣的是，流速随着时间的推移几乎呈指数衰减。这是因为驱动流动的毛细管力仅作用在样品溶液与空气相遇的孔隙表面(液体前沿的三相边界区域)。这意味着毛细管力是恒定的，只要有自由孔隙体积，都可以用样品溶液填充。然而，随着样品溶液体进一步进入测试条，流动阻力增加。与流动样品液体接触的孔壁面积随时间增加，因此孔壁和流动溶液之间的摩擦面积也会增加。

3D 模型(蓝色)和 2D 模型(绿色)第一条测试线位置处的样品流速。这两条曲线非常吻合。3D 模型显示大约 2 秒钟的延迟，这可能是因为样品最初必须沿着宽度流动。在 2D 模型中，样品立即沿宽度均匀分布。

下图显示了不同时步下 IgMC 络合物的浓度。我们可以看到，IgMC 络合物随着流体流动，直到到达第一条测试线的区域。在这里，它与 IgM 检测物质反应后被消耗，形成有色检测线。IgMC 浓度场显示，样品溶液到达测试线后，形成浓度边界层。随着时间的推移，测试线后的浓度耗尽流体继续流动，但测试线周围区域几乎达到稳定状态。然而，一旦流动停止，当吸收板被样品液充满饱和时，则在测试线以下形成更厚的遍及整个膜的耗尽区。以类似的方式，连接线下方的区域也被 IgMC 络合物充满。

连接板和膜中IgMC的浓度场是时间的函数。时间分别为 21 秒(上)、65 秒、260 秒和 410 秒(下)之后。410 秒后，测试条中不再有任何流体。我们在连接板中得到一个高 IgMC 浓度的区域，在 IgM 测试线以下得到一个低 IgMC 浓度的区域。

如果在测试线的表面绘制检测物质的粒子浓度图，流量的影响是明显的。当流量到达相应的测试线时，粒子浓度开始增加。随着 IgMC 被吸附在测试线区域并形成检测 IgMPos 物质，浓度几乎是线性增长的。线性增长意味着恒定的吸附速率。当流动停止时，由于吸收板饱和，IgMPos 继续以大致相同的速率形成。这意味着，在这种情况下，IgMPos 的形成由吸附动力学决定，即由 IgMC 中的纳米金粒子对吸附位点的吸附速率决定。如果它是由质量运输控制的，我们会看到曲线斜率的变化，当流动停止时，增长会减慢。如果改变吸附动力学的速率常数，曲线斜率当然也会改变。测试线的可见度大约从每平方毫米 1·10⁸ 个粒子开始。

在各自的测试线表面的 IgMPos, IgGPos,和 AAPos 浓度是时间的函数。IgMPos 和 IgGPos 竞争同一个络合物标记，因此 AAPos 生长稍快。

因此，如果三条测试线的动力学相似，我们会看到第一、第二和第三条(对照)测试线的显示延迟。此外，每条测试线将在面向流动的边缘开始着色，测试线的尾部会稍晚显示。

如果我们将动力学调整为均相流动，均相模型显示出类似的结果。然而，此时的传输要快得多，因为反应位点遍布在连接板的整个厚度，测试线则横跨膜的厚度。反应物不必被运输到测试条的表面。这是一个更复杂的过程，其中动力学和质量传输都限制了测试线的显示。下图显示了对应于上述非均相流动的 IgMC 浓度。

当共轭区包含整个厚度的共轭标记，并且测试线存在于整个膜的厚度时，IgMC 的浓度。其结果与非均相情况类似。

下图揭示了测试线的真实情况。我们可以看到，它在流动方向上有一个小的倾斜，就开始几乎均匀地显现。当流动停止时，测试线两个边缘显出的颜色饱和度更高，因为会有更多的抗体-缀合物络合物通过扩散运输到这些边缘。

在 IgM 测试线上，每单位表面积的 IgM 络合物浓度厚度超过 10μm。曲线从 20 秒到 400s，增量为 20s。曲线从底部的 20s(低饱和度)开始，到顶部的 400s(高饱和度)结束。大约 260s 后，时步之间的曲线更接近，因为扩散是将抗体-络合物标记络合物运输到测试线区域的唯一方式，从而减慢了过程。

真实的情况可能介于同质和异质模型之间。我们可以认为，获得沿其宽度均匀着色的测试线的好方法是使检测体积接近测试条的表面。这样，传输可以在 x 和 y 方向发生，同时我们得到一个相对较大的反应区(见下图)。对于测试线来说，将反应区扩展到膜的整个厚度对测试并没有帮助，因为膜是不透明的。然而，将连接板的反应区分布在整个厚度上是有利的，因为这将使络合物标记和抗体之间的反应最大化。这样，络合物标记将尽可能多地吸附抗体。

在这种配置中，测试线的反应区不限于表面，也没有分布在膜的整个厚度，其厚度被限制在 15μm。膜不透明，并且几乎不透明，可见深度约为 10μm。有限的测试线厚度允许在测试线的整个宽度上传输，从而在膜的整个宽度上产生相对均匀的颜色饱和度。

结束语

样品在测试条上流动的间隔由吸收板的尺寸决定，吸收板的尺寸也决定了样品的尺寸。更有趣的是，该模型预测了样品在测试条上流动时流速的指数衰减，这对于该领域的科学家来说也是众所周知的，但可能并不完全明显。2D 模拟显示，测试条中的质量传输似乎很慢，在非均相流动情况下，速率决定了测试。流动似乎可以快速地将样品分布在测试条上。然而，吸附反应是如此缓慢，以至于在非均相情况下，质量传递仍然限制了抗体-抗原-纳米粒子复合物向测试线处的吸附表面扩散。在均相流动的情况下，吸附动力学的限制更大。然而，这当然与我们使用的输入数据有关。

为这篇博文中建立的模型仅是一个化学原理。如果要将它们用于测试条的实际开发，必须在获得化学和多孔材料的特性的输入数据上做更多的努力。然而，这些模型包含了重要的物理现象:相对详细的传输和反应描述。

模型改进的可能性：

• 考虑沿膜各处的吸附-解吸。文中我们假设所有物种自由传输，直到它们在测试线上被永久吸附。
• 建立更精确的两相流模型。我们使用了一个简单的多孔介质两相流模型。也可以使用基于相位场的更精确的模型。
• 使用科学文献中公布的特定测试的输入数据。我们对测试条组件中的所有板使用了相同的孔隙率和润湿特性。浓度和吸附动力学使用了产生合理结果的输入数据。然而，为了使用真实的浓度和动力学数据，应该进行文献检索。然而，这对于不同的新冠肺炎检测是不同的，因为每个制造商都有自己的样品制备和检测程序。这篇博文的目的仅仅是展示可能的建模方法，而不是发表科学论文。
• 网格收敛分析。这将显示您在模拟结果中可以预期的准确性。这已经部分完成，我们知道模型给出的数值误差相对较小。但是如果需要严格的精度，就不属于这篇博文的讨论范围了。

参考文献

1. L. Gutierrez, J. Beckford, and H. Alachkar, “Deciphering the TCR Repertoire to Solve the COVID-19 Mystery”, Trends in Pharmacological Sciences, vol. 41, no. 8, pp. 518–530, 2020, (https://www.cell.com/trends/pharmacological-sciences/fulltext/S0165-6147(20)30130-9),
2. D. Rath and B. Toley, “Modelling-Guided Design of Paper Microfluidic Networks – A Case Study of Sequential Fluid Delivery”, ChemRxiv, 2020, https://doi.org/10.26434/chemrxiv.12696545.v1.

下载模型

您是不是也想尝试模拟对 COVID-19 的快速检测？单击下面的按钮访问案例模型文件，自己动手模拟:

新冠肺炎的大流行让全世界的人们意识到追踪接触者的重要性。为了能够控制病毒感染的大爆发，需要知道谁被感染，以及这个人什么时候在哪里被感染。对这种知识的缺乏迫使世界上大多数国家实施了限制和封锁措施，这导致了严重的社会混乱和全球经济衰退。

快速检测测试设备的成功研发使人们能够在关键的、并且无法封闭的社会领域进行接触追踪，例如医疗保健和食品供应行业。价格低廉的测试方法也使人们能够快速进行自我诊断，并在得知感染的情况下进行自我隔离。这也有助于减缓病毒的传播。韩国和德国已经成功地利用这种测试在更大范围内减缓了新冠肺炎在群体中的大流行 (参考文献1).

快速检测新冠肺炎的一种可能的测试手段是基于侧向层析测定法(LFA)，也称为侧向流免疫层析测定法(LFIA)或免疫层析试验。我们在超市就可以买到的标准验孕棒可能就是LFA最常见的一种应用。LFA 为许多疾病和病症提供了一种便宜的、相对可靠的、稳定的和易于使用的测试手段(参考文献2).

本文是系列博客（由两部分组成）的第一篇文章，下面我们将使用 COMSOL Multiphysics 软件来了解 LFA 设备的功能以及工程师在设计这些设备时可能遇到的挑战。

LFA 快速检测测试背后的原理

如果对这些快速检测测试背后的机制进行仔细研究，我们可以看到，这些测试设备是相当先进的，并且是一个非常强大的微型实验室。

快速检测测试装置示意图。这里为了显示测试装置的结构，膜和平板的厚度被放大了 5 倍。平板和膜的组装件称为测试条。

测试条由以下几部分组成(如上图所示):

• 样本板
• 连结板
• 膜
• 吸收板，也称为吸液板

测试条通常由不同的组件(板和膜)组装而成。测试条外有一层塑料保护壳 (参考文献3)。

测试板和膜是多孔结构的。孔壁应该会被样本液润湿。样本可以在被施加到测试条上之前制备，也可以在样本板中制备。通过将血液或唾液与缓冲液混合来获取样本。缓冲液可能含有参考抗体和其他化学物质，例如能够确保样本润湿不同组分孔壁的溶剂。

样本板用于接收样本液滴，并充当流动的分配器和过滤器。非常大的蛋白质和血液细胞会被截获在样本板的多孔结构中。此外，多孔结构确保了样本液体能够沿板的宽度均匀分布。一旦样本充满了样本板，它就会继续向连结板的方向流动，流动是由液体与孔壁的相互作用引起的毛细管力驱动的。

在连结板中，过滤后的样本会溶解试剂，即所谓的“连结标签”，这些试剂在制造过程中已经被施加到连结板上。标签通常附着在例如金纳米粒子表面的抗原上。抗原可能是一种在免疫系统中能引发抗体的蛋白质。这些标签可以附着在样本中的抗体上，形成抗体和连结标签的络合物。络合物会溶解在样本液中，它们可以由附着在患者抗体上的标签和附着在制备过程中混合在样本中的参考抗体上的标签组成。一旦样本液填满了连结板中的孔，就会继续到抵达膜的位置，再次由毛细管力驱动前进。

样本液继续流过膜。膜通常由多孔硝酸纤维素制成，但也可以使用其他材料制备。不同的蛋白质和化学物质也可能与多孔膜的孔壁产生相互作用。一些物质可能在孔壁上被吸附和解吸。这种相互作用倾向于沿着流道分离不同的物质，这取决于物质分子的大小以及它们与孔表面相互作用的亲和力。这种作用被称为“免疫层析”。

在这幅图中，样本液体刚刚到达膜的位置。放大显示为一个边长约 1µm 的矩形。平均孔径约为 0.5µm。作为比较，膜的厚度为 125µm (参考文献3)。液体样本用浅蓝色表示。膜由固态网格组成，像骨架一样，孔占膜体积的 70%。样本液体润湿骨架结构的壁，即孔壁，并在毛细管作用力的驱动下沿蓝色箭头指示的方向进入充满空气的孔中。请注意，为了清晰起见，该图中测试条的厚度被放大了 5 倍。

一旦样本与测试线接触，其中的一种络合物中就可以附着到测试线区域中存在的特定表面物质上。这种表面物质可以是固定在测试线表面的抗体。每条测试线可以连接一种特定的络合物。注意，表面物质在测试线区域是静止的；它既不溶解也不会被样品运输。一旦络合物附着到测试线上，测试线的区域就会改变颜色。颜色显示出特定抗体的特定络合物已经附着到特定测试线上了。

膜中的最后一条测试线是控制线。由于参考抗体总是被混合到样本中，因此控制线应该总是能检测到参考抗体与结合化学物质的复合物的存在。如果控制线没有检测到这种复合物，那么这意味着样本没有以正确的方式通过测试条，所以该次测试应该被视为无效。

当样本充满膜后，它会继续流向吸收板，吸收板起到吸液芯的作用。吸收板吸收样本，这种吸力驱使样本通过测试条，直到吸收板内完全充满样本。

模型预览

在本系列的下一篇博文中，我们将展示LFA设备的两种模型。这些模型揭示了一些由从事这些测试设计的科学家通过实验观察到的特征。其中一个特征是：流动如何取决于液体样本孔隙体积的饱和度？敬请关注后续博文！

测试条中液体样本的扩散。模拟显示，一旦样本达到连接板的三分之一，样本就会形成均匀的速度分布。

参考文献

1. T. Kilic, R. Weissleder, and H. Lee, “Molecular and Immunological Diagnostic Tests of COVID-19: Current Status and Challenges”, iScience, vol. 23, no. 101406, 2020, (https://www.cell.com/iscience/pdf/S2589-0042(20)30596-4.pdf).
2. B.G. Andryukov, “Six decades of lateral flow immunoassay: from determining metabolic markers to diagnosing COVID-19”, AIMS Microbiology, vol. 6, no. 3, pp. 280–304, 2020, (https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/33134745/).
3. “Rapid Lateral Flow Test Strips, Considerations for Product Development”, Merck Millipore, 2013 EMD Millipore Corporation, Billerica, MA, USA.

众所周知，海啸具有非常强的破坏性，而且移动速度极快。有些海啸的移动速度可高达 800 公里/小时! 当海洋或湖泊等水体中大量的水发生移动，引起一系列巨型波浪时，就会发生这种自然灾害。今天的博文，我们将对引发海啸的基准模型进行讨论，该模型使用了 COMSOL Multiphysics^® 软件的浅水方程、时域显式 接口进行建模分析。

1993 年北海道地震

1993 年 7 月，日本海发生了里氏 7.8 级地震。据了解，7.0 ~7.9 级的地震每年都会在日本发生 10 到 20 次，这会对一些设计不佳以及设计良好的结构都造成严重破坏。1993 年在日本第二大岛和最北端的北海道岛西南 55 公里处，以及奥尻岛以北 75 公里处发生了一场地震，被称为北海道地震。

注：自 1900 年以来，日本经历了100 次 7.0 级及以上的地震。日本有记录的最大地震发生在2011 年，这次地震被称为2011 年东北地震，震级为 9.0，对世界各地都造成了一定程度的影响。

北海道地图。图片已通过Wikimedia Commons获得GNU 自由文档许可。

1993 年的北海道地震引发了几次海啸，对北海道和奥尻岛都造成了广泛的破坏，尤其是后者。此外，俄罗斯东南沿海和韩国东海岸都面临着海啸的冲击。

最终，这场自然灾害导致数百人死亡，数百所房屋被毁，财产损失约 6 亿美元，其中大部分破坏是由海啸造成的。

是什么让海啸具有如此强大的破坏性？海啸在运动时的波浪达能到巨大的高度，曾经一个海啸的高度记录为 32米，大约是电线杆高的 3 倍！在奥尻西海岸的摩奈村附近的一个小沟壑中发现了该海啸的最大高度标记。

今天，我们将通过对一个已经建好的基准模型进行讨论，在实验尺度上分析海啸的蔓延……

通过仿真分析海啸波和爬升

位于日本阿比科的中央电力工业研究所的研究人员利用数值仿真和物理实验，在一个大型实验槽（长 205 米，深 6 米， 宽 3.4 米）中再现了一个与1993 年北海道地震期间产生的极端海啸上升高度成比例的实验模型。该实验模型的水深（海洋和湖泊的深度测量）是莫奈山谷实际水深的 1/400。

海啸爬升至一个复杂的 3D 海滩，莫奈山谷基准模型。

上图显示了莫奈山谷基准模型中海啸爬升到一个复杂的 3D 海滩。它是基于 CREIPI 的实验室原型建立的，模拟了 CREIPI 实验水池的一个小矩形区域，长 5.445 米，宽 3.402 米。与 CREIPI 水池一样，我们向模拟的水箱充满静水，并在其一个边界处施加已知的入射波。

模型中包含三个 域点探针，用于跟踪三个点的水位演变：

• x = 4.52 米，y = 1.196 米
• x = 4.52 米，y = 1.696 米
• x = 4.52 米，y = 2.196 米

注意：模拟中广泛使用了浅水方程，时域显式 接口。借助此功能，您可以使用深度平均公式来求解 1D 和 2D 域中的自由表面流，并根据数字高程模型轻松定义模型中的底部地形。

接下来，我们来看基准模型的一些有趣结果。点击此处下载：”海啸冲上莫奈山谷海滩的复杂三维模型“，您可以看到构建此模型的所有分步说明。

基准测试结果

总的来说，施加的波浪使模型中的海岸线来回移动，在这个过程中水完全覆盖了区域中间的小岛。

模拟实验期间海啸上升的动画。

下图显示了入射波的底部高度和轮廓。

入射波的底部地形（左）和分布（右）。

在下面的图中，您可以查看三个域点的计算水位。由于底部地形的不规则性，波浪在不同时间到达这些点。这些结果与现有文献中的实验和模拟结果非常吻合（参见教学模型文档中的参考文献 3）。

美国国家海洋和大气管理局(NOAA) 建议在研究海啸波时使用此类基准模型。

尝试自己动手建模

文中我们直接展示了仿真结果，您可以单击下面的按钮进入 COMSOL 案例库，了解如何构建海啸冲上莫奈山谷海滩的复杂 3D 模型：

延伸阅读

您还可以阅读以下博客文章，了解其他研究领域的基准模型：

• 验证绝缘屋顶模型的 HAMSTAD 基准案例
• 使用离子材料相互作用基准案例来保护航空航天设备
• 使用贝塞尔面板基准案例分析扬声器阵列

从大型地质区域到纳米级结构，所有长度尺度上都会发生多孔材料中的流动。虽然许多应用都可以用达西定律来模拟，但是在工业应用中，速度场和压力梯度之间的关系不再是线性的，达西定律不能提供准确的结果。在这篇博客中，我们将更深入的研究多孔介质中可能出现的不同流动状态，以及如何描述它们。

在微观尺度上模拟多孔介质中的流动

为了深入理解多孔材料中的流动特征，我们有必要仔细研究它的微观结构。这不仅使我们能更深入的理解多孔材料，也有信心使用宏观方法来模拟多孔材料中的流动。

下面的动画显示了一个尺寸为 2 cm × 2 cm × 6 cm 的复杂多孔结构，以及使用线性纳维-斯托克斯方程计算的流型。

一个小的多孔块中的流型。

这个多孔块中有流速低的区域和流速高的区域，也有根本不发生流动的区域。即使多孔结构是不规则的，但当其被放大多孔，同一样本中的不同区域的流动特性是相同的。这种结构被称为 表征体元（REV）。采用表征体元的平均值可以得到一个宏观方程，详见下一节内容。

为了表征流动并获得有关宏观方程的信息，下面几个数值很重要：

• 孔隙率 ，描述孔隙体积与总体积的比率，可以通过几何结构计算获得
• 沿流动方向（纵向）的压降 ，可以通过计算或预定义获得
• 表观速度 ，或通过结构的体积流率，由 (m³/s)除以总横截面积 (m² )获得。

宏观尺度上的流动

达西定律是描述多孔材料流动的基本方程，它最初只是一个经验定律，后来在理论上由纳维-斯托克斯方程推导出。它描述了速度场 (m/s)与压力梯度 （Pa）之间的线性关系。

(1)

其中，(m²) 是多孔介质的渗透率， (Pa·s) 是流体的动力黏度。

在如填充床或颗粒土等规则结构中，渗透性可以由 Kozeny-Carman 关系推导：

(2)

其中， (m) 表示有效粒径（对于球形颗粒，它等于球体直径）。

线性达西定律适用于低速流动。与自由流动一样，多孔介质中的雷诺数

(3)

也用于表征流动，式中 (m) 是特征长度尺度。

对于 ，线性达西定律是有效的。因此 孔隙尺度流动可以被描述为蠕动流，其中惯性力比黏性力小得多。地下水流和其他低速和（或）高黏度流动的应用就是这种情况。然而，在大多数工业应用中，例如在填充床反应器、过滤器甚至食品工业中，都涉及到更高的流速，包括黏度非常低的气流。在这些应用中，仅使用 方程1 是无法描述的，还必须引入非线性项。这被称为非达西流，表述如下：

很明显，可以看到等式右侧的左边项对应于达西定律。至于非线性项，由 Forchheimer 方程可知，

(4)

其中， 是惯性阻力系数， 是 Forchheimer（无量纲）参数。

对于填充床应用，可以使用 Ergun 方程描述，使用以下关系式：

(5)

在高雷诺数下，黏性效应比惯性效应小，并且 Ergun 方程中的非线性项占主导地位，被称为 Burke-Plummer 方程。

这些方程已经可以很好地描述多孔介质中的非线性流动，但下面的图表会更便于观察。为了更好地观察，我们以平均粒径为 (mm) 的填充床中速度与压降的关系为例来说明。在下图中，Kozeny-Carman 描述了线性极限，Burke-Plummer 描述了二次极限。Ergun 和 Forchheimer 方程都可以描述线性和二次极限，两者之间的区别在于是根据 方程2 还是 方程5 计算渗透率的。

Kozeny-Carman、Forchheimer、Ergun 和 Burke-Plummer 关系的比较。

除上述考虑的情况之外，还有一种用于处理特殊气体流动的完全不同的非达西定律，即气体分子的平均自由程与孔隙尺寸大致相同的情况。在这种情况下，气体分子与孔壁的碰撞比与其他情况下气体分子的碰撞更频繁。这就是所谓的滑移流状态，从纳米材料到气体储藏模拟。其典型应用涉及范围很广。在这种情况下，渗透率方程为

(6)

其中， 是绝对压力 (Pa) ， 是高压下的渗透率 (m²)，相较于分子之间的碰撞，分子与壁的碰撞与可以忽略不计。

Klinkenberg 参数 (Pa) 取决于多孔介质的渗透率，可以在文献中查到 （参考文献 1）。

COMSOL 中的多孔介质流模块包含了上述所有渗透率模型。Forchheimer 和 Kozeny-Carman 方程在多孔介质流动的其他模块中也可以使用。

COMSOL 软件中渗透率关系的所在位置。

非达西流，从微观到宏观尺度

那么，如何将这两种方法联系起来呢？第一个模型，即表征体元，给出了速度与压力梯度的关系，也可以确定孔隙率和渗透率。同样，还可以观察不同数量级的压降流动行为。由于结构复杂，多孔结构模拟的计算成本相对较高，因此必须合理地求解。此外，与平均方程（方程2–方程 6）相比，纳维-斯托克斯方程本身就更为复杂。

使用宏观方法可以得到非常好的近似值。达西定律适用于小压降和低速流动，而 Burke–Plummer 方程适用于大压降和高速流动。

Forchheimer 方程可以很好地计算过渡区域。在本文的示例中，将 Forchheimer 方程与来自微观模型的数据相拟合，获得了 Forchheimer 参数 ，该数据通常是通过实验确定的。

结束语

在这篇博客中，我们从微观和宏观层面研究了多孔介质中的流动，并演示了宏观方法可以得到非常好的近似值，并且有各自的适用领域。

多孔微通道散热器的优化案例模型就是使用 Forchheimer 方程模拟的一个工业应用示例。

在讨论了多孔介质中的流动之后，接下来我们将讨论多孔介质中的传热，敬请期待！

动手尝试

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库，您可以下载 MPH 文件，尝试自己动手模拟文中介绍的案例模型。

参考文献

1. Y. Wu, K. Pruess, and P. Persoff, “Gas Flow in Porous Media With Klinkenberg Effects“, Transport in Porous Media, vol. 32, pp. 117–137, 1998.
2. J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media, Courier Corporation, 1988.

加热电路广泛存在于飞机、电子显示屏、医疗存储设备等设施中。与其他大多数加热元件一样，加热电路通过电阻加热工作，该过程涉及电流、热传递和结构变形等多个物理过程。为了解释这些现象及其他关键设计因素，工程师能够使用 COMSOL Multiphysics® 软件创建加热电路的虚拟原型。

应用加热电路预热产品

由于加热电路可以为产品或流体提供局部加热，因此广泛应用于工业。加热电路通常与温度传感器一起使用，具有以下作用：

• 防止镜头和挡风玻璃（如汽车和飞机）结冰和起雾；
• 保护室外电子设备（如留言板），使其免受潮湿和极端温度变化的影响；
• 使医疗产品和样品在测试和储存期间保持稳定的温度；
• 在制造过程中加热黏合剂和流体

高速公路的电子显示屏。图片来自俄勒冈州交通部。根据 Flickr Creative Commons 在 CC BY 2.0下获得许可。

这些加热元件通过电阻加热工作，也称为焦耳加热，其中涉及多种物理现象：

1. 当施加电压时，电流开始通过电路
2. 电路材料具有电阻率，导致电流产生热量
3. 温度升高，导致设备变形

虽然变形有时是有用的（如在热致动器中），但它也能导致加热电路的设计问题。通常，加热电路与另一种非导电材料结合，过大的形变会使黏合剂过载并导致电阻层脱落，进而可能导致电阻层着火。此外，设计师还必须确保使用该零件的液体或产品不能过热。由于电阻加热过程中存在多种物理现象，及影响加热电路效率的各种因素（例如施加的电压、几何形状、使用的材料、环境条件等），因此设计过程具有挑战性。

通过使用COMSOL®软件，工程师可以评估和改善加热电路的性能，同时考虑所有各种现象和设计因素。在下一节中，我们将介绍一个小型加热电路的多物理场模型案例。要创建此模型，需要附加传热模块，结构力学模块以及 AC/DC 模块或MEMS模块。

加热电路的多物理场建模

所建模型包括两部分：电阻层和玻璃板。电阻层由镍铬合金制成，镍铬合金是电阻加热元件的常用材料，厚度为10 μm，宽度为5 mm。如下图所示，电阻层是蛇形的，两端用银色接触垫盖住。对于玻璃板，上层（电阻层附着的地方）被空气包围，而下层接触活性流体。

设置几何图形之后，为施加的电压（12 V）模拟热量的产生和传递。要确定电阻层中电流产生的热源，可以使用电流，多层壳接口。该接口计算了电流守恒方程，特别适用于几何形状较薄但电气性能较重要的层。在这种情况下，层的几何厚度需要足够小，以便可将其从几何体和网格中完全排除，从而大大简化几何和网格处理。同时，从物理角度而言，零厚度并不是合理的近似值，这是因为层与其周围环境之间的材料特性存在较大差异。使用电流，多层壳接口求解方程时会采用实际的厚度，即使未明确将其包括在几何图形中。

对于热传输问题，可使用类似的方法建模。该模型利用了固体传热界面中的薄层特征和电磁加热多物理耦合，它自动结合了物理模拟焦耳加热。然后，将层中的热问题耦合到板，并使用换热系数来模拟热量如何从板传递到流体中，以及热量如何通过自然对流发散到周围空气。

电阻层中电热生成建模的屏幕截图。

为了轻松模拟所产生的变形（以及可能的分层），您可以执行两个结构力学分析。这里，固体力学接口是玻璃板的理想选择，而膜接口（特别适用于薄结构）适用于电阻层。

检查加热元件的模拟结果

发热和转移

通过求解模型，您可以看到电阻层中产生的热量。在这里，最强的热源出现在电流密度最高的地方，即曲线的内弯曲。该区域电流集中是由于电位梯度与接地处和终端之间的距离成反比。由于内弯曲代表最短路径，因此产生的电流最强。通过在电阻层进行表面积分，您可以获得电阻率产生的总热量，~13.8 W.

电阻层中的电流密度（左）和产生的热量（右)。

要确定器件的效率，您可以从评估电输入功率以及发热和耗散开始。这里，输入功率（由V * I给出，在这种情况下为12 V和1.15 A）与产生的总热量相同：13.8 W.如下所示，最高温度出现在电路中心： 154.1℃。通过对板底面进行积分，您可以获得传输到流体的热量，8.5 W。同样，您可以计算散发到周围空气中的热量：5.3 W。这样不仅表明在加热流体方面的设计有效 – 产生的热量的62％被传递 – 而且由于得到的能量输出等于输入，因此能量守恒。

层和板中的温度分布，显示最高温度（154.1ºC或309.5ºF）和最低温度（77.2ºC或171ºF)。

热量通过加热电路的底部（~8.5 W）和顶部（~5.3 W）散发。

压力，变形和分层

通过观察有效应力，可以确定加热电路设计是否存在失效风险。在该模型中，层和板变形约50 μm，向空气中弯曲。弯曲在板上产生应力，特别是在电路的内角处，有效应力最高达到~13 MPa。但有效应力远低于玻璃和镍铬合金的最大屈服应力（分别为250和360 MPa），这意味着它们是安全的。

在加热电路中产生von Mises应力。

此时，唯一的问题是需确认镍铬合金和玻璃是否会粘合在一起。要确定是否存在分层，可以查看两者之间的界面应力。这里，界面应力若远小于表面黏合屈服应力（50MPa），z则表明两种元件会安全的粘合在一起。

加热电路中的界面应力。

如上述示例所示，工程师可以使用COMSOL®软件分析加热电路，从而解决所涉及的多种物理现象。之后，还可以使用仿真结果来改进某个特定应用的设计。例如，当用于高精密的加热电路（如半导体封装）设计时，工程师可以减少变形量。

后续操作

您可以通过单击下面的按钮查看加热电路建模的所有步骤，并进入应用程序库。应用程序库包含上述示例的文档以及相关的 MPH 文件（请注意，要下载此文件，您需要有效的软件许可证)。

地下水是灌溉水和饮用水的重要来源，因此保持其纯净性至关重要。然而，一旦进入污染物，将它们排出就不是那么容易了。建立从地下水中去除污染物的系统，需要了解非混相流体在土壤中迁移的复杂行为。工程师可以使用 COMSOL^® 软件中的相传递功能来模拟这种行为。

预测地下流体的迁移

流体，特别是非混相流体在地下的迁移行为对许多行业都很重要。研究人员曾经对这种传递方式进行过研究，用于改进石油的开采和回收方法。如今，他们更关注非混相流体对环境产生的负面影响。例如，废弃物管理和环境保护等行业的工程师正在设计能够更好地预防、检测和清理土壤中污染物的系统。如果不加以控制，污染物就会进入地下水，并影响农作物的质量。

地下水插图。

然而，由于涉及过程的复杂性和非水相液体的性质，理解流体流动是一件困难的事情。油和其他非水相液体污染物的密度通常与水不同，即使它们混合在一起，也会分开流动（多相流）。非水相液体还可能会被困在淤泥和黏土等渗透性低的土壤区域，从而更难被检测和清除。此外，非混相流体如何流过土壤（以及任何低渗透区）取决于土壤的饱和度。

为了深入理解流体在土壤中的流动，工程师可以借助数值仿真技术进行模拟与分析。本文，我们来看一个这方面的示例模型：含有低渗透性晶体的多孔介质中的多相流模拟。

模拟多孔介质中的多相流

该示例模型由一个圆形域组成，用于表征中间有一个低渗透性晶体的多孔介质。由于轴对称性，我们只需要建立一个二维横截面模型，这可以帮助降低仿真的计算成本。首先，让比非水相液体轻的流体（比方说水）充满整个域。模拟开始后，较重的非水相液体通过顶部的小孔以恒定且均匀的质量通量进入该域，持续 100 分钟。

在这里，我们不会详细介绍所有的模拟细节，您可以在 COMSOL 案例库中的低渗透性晶体上方的两相流教程模型，下载相关的 MPH 文件，查看流体和土壤的属性。

我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的 CFD 模块和地下水流模块中的相传递功能，轻松模拟两相流。使用 多孔介质相传递 接口，可以分析非混相的流体如何在土壤中流动，从而确定饱和度，并考虑相界面发生的微观现象以及重力的影响。还可以通过 多孔介质多相流 多物理场耦合节点将这个接口的功能与 达西定律 接口耦合，更加方便地模拟多孔介质中多相流体的流动和传递。

虽然本文示例中没有使用，但我们也可以使用 相传递 接口，而无需追踪它们之间的界面，来模拟自由流动的多相流动，从而使计算要求低于其他方法。

仿真结果显示了低渗透性晶体周围的两相流。

预期开始时重相在会在低渗透性区域周围流动，但不会渗透进去，因为晶体的入口毛细管压力高于周围土壤的压力，这意味着只有当其饱和度达到临界值时，密度更大的非润湿流体才能进入晶体。我们可以使用 多孔介质不连续性 边界条件来模拟此过程，该功能允许土壤-晶体界面不连续，有助于确定临界饱和度。

可视化结果

运行模拟后，我们可以看到重相的流动与预期的结果一致。流体不会立即渗入晶体，而是仅在其周围的土壤达到临界饱和度时才进入，这发生在大约第 12 分钟。约一个小时后，重相到达晶体的底部。

正如文中的示例所示，工程师可以使用 COMSOL Multiphysics 中的相传递功能分析单相和多相流体在多孔介质中的传输。通过更透彻地理解其中所涉及的物理过程，他们可以设计出更高效地去除地下水污染、石油开采等系统。

下一步

想尝试自己动手模拟低渗透性晶体上方的两相流教程模型吗？请单击下方按钮进入 COMSOL 案例库，查看文中示例的文档并下载 MPH 文件。

更多资源

• 在 COMSOL 博客上了解有关模拟地下流动的更多信息：
  • 使用仿真 App 提高穿孔井的生产效率和安全性
  • 使用子模型计算多孔介质中的孔隙率和渗透率
  • 借助数值仿真分析多孔结构
• 观看关于模拟采油方法的主题演讲视频

虽然我们的日常生活明显受到水循环中“明亮的”(雨、雪等)部分的影响，但其他循环，比如我们脚下流动的地下水，也同样重要。地下水常用于灌溉和饮用，并影响着自然过程和栖息地。在研究地下水时，了解各种溶质在水中的迁移通常很重要。要预测溶质的迁移，科研人员可以使用多物理场仿真。

通过追踪溶质监测地下水质量

如果能看到地球表面以下，你会看到什么？你将发现大量的淡水，因为地球上大约 30% 的淡水位于地表以下。地下水不像地下河水那样流动，而是像海绵中的水一样充满土壤和岩石颗粒之间的空隙。

地下水示意图。

确保地下水不受污染至关重要。这些水不仅可用于饮用和灌溉，而且还影响着不同栖息地的健康，对河流和溪流的流动也有帮助。工程师们致力于预防地下水遭受污染(可能会伤害人类和野生动物)，并定期监测地下水的流动和健康状态。他们的工作包括检测地下水中的污染物，使用人工示踪物等设备研究地下水的流动和迁移。

为了准确预测污染物和示踪剂等溶质在地下流体中的迁移，环境和地球科学工程师可以使用 COMSOL Multiphysics^® 软件及其附加的地下水流模块进行建模和仿真。借助仿真技术，工程师可以防止地下水被污染以及优化地下水示踪物的设计。

模拟已知地下水流中的溶质迁移

在下面的示例中，我们追踪了一个已知地下水流中的溶质，并考虑了纵向和横向分散性。这些溶质在 1000 天内通过了 16 平方公里的区域。这种特定设置通常用作基准来验证模拟物质迁移的不同方法。在这里，我们使用 Zimmermann 等人在 2001 年发表的一个基准设置。

使用 COMSOL 中的 稀物质传递 接口，求解模型的初始浓度，该浓度遵循高斯分布。

模型几何结构由一个边长为 4 公里的正方形组成。如图所示，初始浓度遵循高斯分布。

为了确认该模型的准确性，我们将其与 Wilson 和 Miller 的解析解（教程文档中的参考文献 1）进行了比较。为此，将他们的解析解在 COMSOL Multiphysics 中定义为一个函数。由于生成的表达式很长并且仅用于比较，我们只需加载一个已经包含解析解的预设文件就可以了。

解析解，显示 1000 天后的浓度分布。

仿真结果与解析解的比较

为了将仿真结果与解析结果进行比较，我们生成了一个描绘 1000 天后浓度分布的图。如下图所示，仿真结果（黑色等高线）与解析解(黑色等高线内的白色等高线)一致。

1000 天后的浓度分布。指定的流动方向由红色箭头表示。

溶质迁移穿透模拟和分析结果的表明，二者的结果也一致。这种一致性进一步验证了地下迁移仿真的准确性。

比较了数值解和解析结果的溶质迁移穿透图。

下一步

单击下面的按钮，尝试自己动手模拟文中讨论的溶质迁移模型：

阅读以下博客，了解在 COMSOL Multiphysics® 中模拟地下流动的更多信息

• 我应该使用哪种多孔介质和地下水流接口？
• 使用子模型计算多孔介质中的孔隙率和渗透率
• 通过仿真预测护岸保护结构的变形

在模拟多孔介质中的流动时，使用均质化的宏观方法可以有效地简化真实多孔材料的几何复杂性。但是，如果我们不知道有效的宏观特性是什么，该怎么做？这篇博客,我们将研究如何从一个完全解析的微观子模型中提取孔隙率和渗透率宏观流动特性。

使用宏观方法模拟多孔介质流

在上一篇博客中，我们讨论了可用于模拟多孔介质中宏观流动的接口，包括 达西定律 接口。求解达西定律可以深入理解许多不同的物理系统，在这些系统中，模拟完全解析的微尺度系统实际上是不可能的。在石油和天然气、土木工程以及生物和医学工程等应用领域中，由于微观和宏观系统的长度尺度之间存在巨大的差异，因此带来了求解的困难。

一个多孔材料的例子：海绵。

宏观方法假设孔隙空间的行为由两个平均量来量化：

1. 渗透率
2. 孔隙率

渗透率是指描述流体流过孔隙的阻力。孔隙度的定义为孔隙空间的体积分数,决定了表观平均流速。至于表观流速，是指通过均质域的等效速度，也可以理解为：通过孔隙空间的微观流动在宏观尺度上是均匀分布的。

如果孔隙率和渗透率未知,就必须通过实验结果将这些材料特性量化。通过模拟进行的数值实验也可以分析完全解析的包括空隙和固体颗粒的几何结构。通过在微尺度几何上求解纳维-斯托克斯方程（或其对低雷诺数的线性近似，称为斯托克斯流或蠕动流），可以提取多孔介质的孔隙率和渗透率。

创建微型多孔几何结构

在研究多孔介质的孔隙率和渗透率之前,我们必须讨论微观几何结构的创建。这不一定是一个简单的过程！创建这类几何结构通常需要使用专门的第三方软件（如 Simpleware 或 Mimics^®）重建扫描图像数据，尤其是复杂的 3D 几何图形。本文，我们将重点研究 2D 横截面几何结构，例如由扫描电子显微镜(SEM) 图像生成的横截面。

接下来，我们将要介绍的孔隙尺度流动教程模型，就是将一个图像文件作为函数直接导入 COMSOL Multiphysics^® 软件中创建的。下列博客中介绍了由这个函数重新构建几何结构的类似方法。

• 如何使用拓扑优化结果创建几何模型
• 模拟不规则形状：如何导入曲线数据并放样成实体

对于过于复杂或包含影响网格分辨率的小几何特征的几何图形，我们可以使用孔隙尺度流动教程中采用的方法，这将在下一篇博客中讨论。

使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 蠕动流 接口

我们来看一格求解了完全解析的孔隙空间几何的孔隙尺度流动模型示例。我们可以使用 COMSOL Multiphysics 中的后处理工具来提取孔隙率并使用达西定律计算渗透率。我们来快速浏览一下这个案例。

由整个几何形状的尺寸 640 μm × 320 μm （孔隙空间中的通道宽度更窄）可知，特征长度尺度 L 很小。此外，考虑到流动是由 2 Pa 压力梯度驱动的缓慢流动，典型的速度值 U 应该很低。因此，给定类水流体的密度 ρ=1000kg/m³，动力黏度 μ=0.001Pa*s，我们可以忽略 Navier-Stokes 方程的惯性项并使用 蠕动流 接口求解，因为雷诺数 Re 明显小于 1。

如果想获取更多信息,请阅读博客：如何表征流动并选择正确的接口。

使用 入口 和 出口 条件从右到左施加压降。由于该模型是我们希望描述的多孔介质的代表性横截面，因此沿边界指定了一个 对称 条件，该条件是由顶部和底部的几何形状截断引起的。下面的左侧图显示了这些边界，右图为使用包含速度大小的颜色图和流动方向的箭头矢量图显示的结果。

左图：使用 蠕动流 接口求解的完全解析微尺度模型的几何形状和边界条件。右图：包含速度大小的颜色图，红色箭头表示通过孔隙空间的流动方向。

计算多孔介质的孔隙率和渗透率

计算孔隙率

首先计算孔隙率 por。在这个 2D 示例中，我们需要计算总面积和由计算域表示的面积。

我们可以简单地把总面积作为一个变量：A_tot = L*H 来计算。为了确定孔隙空间的面积 A_por，我们可以在流域上对表达式 “(1)” 进行积分。这可以通过使用积分组件耦合的方法轻松实现，这是一个自定义的运算符，可以在域、边界等处积分任何表达式。下面的图片中显示了用于计算 A_tot、A_por 和 por 的设置。

用于计算孔隙率和渗透率的变量定义。

计算渗透率

上图还显示了渗透率 k0 是如何计算的。达西定律指出：

其中，u 是达西或表观流速，κ 是渗透率，μ 是动力黏度，∇p 是压力梯度。

我们可以在 蠕变流 接口中借助预定义变量计算达西速度。

变量 spf.out1.Mflow 定义了通过出口边界的质量流量，我们可以用它除以恒定密度 ρ0来获得体积流量。然后除以多孔介质的高度，再除以 1 m来考虑 2D 近似，并获得 x 方向的达西速度。

通过重新排列表达式（1）并替换  ，我们可以使用已知的压降 p0，通过多孔区域的长度 L 来评估变量 k0 的渗透率。

结果表明，这种微观尺度代表多孔介质的孔隙率为 0.553 和渗透率为 4.59×10^-12m²。

由完全解析的流动子模型计算的孔隙率和渗透率的结果表格。

总结性思考

在这篇博客中，我们讨论了如何使用仿真推导通过多孔介质的流动的宏观特性——在完全解析的微观尺度子模型中求解自由流动。有了这些信息，我们就可以将这些参数作为更具描述性的宏观模型的输入。更重要的是，这是了解在一个用户界面友好的仿真 App 中输入什么的理想方式，例如这个考虑射孔井生产率和安全性的仿真 App 示例。

其他资源

• 阅读这篇博客，了解如何模拟多相催化
• 查看有关模拟多孔材料的有效扩散系数的教程