声表面波能够在液滴内部产生声流，从而实现非接触式混合——这是微流控领域一项非常实用的应用。由于液滴声流涉及多个物理场，数值研究通常会做一些假设，仅捕捉该现象的部分特征。在本文中，我们将使用 COMSOL Multiphysics®软件，从施加的电势开始，一直到声流的产生，对整个过程进行建模仿真，从而完整地呈现这一物理过程。
利用声表面波驱动声流
当在压电材料表面施加交流电压时，会产生由电场决定的应变，进而使波开始在表面传播。这些波被称为声表面波（SAW），可依据材料相对于传播方向和法向的变形方式进行分类，主要有两种类型：瑞利波（Rayleigh waves）和勒夫波（Love waves）。本文将重点关注瑞利波，它会使材料表面产生法向变形。为了在基底上产生声表面波，通常会使用一组梳状电极，即叉指换能器（IDT），来施加交变电势。叉指换能器既能产生也能接收声表面波。当其作为电子元件中的滤波器使用时，会在产生的声表面波传播路径上再放置一组电极。接收端叉指换能器的两个电极会根据基底所受的应变产生不同的电势，从而可以确定振荡信息。
我们不在表面放置第二个叉指换能器作为接收器，而是在声表面波的传播路径上放置一个液滴。液滴会与声表面波相互作用并吸收其能量。声表面波在液滴下方传播时会发生衰减，这种行为被称为“泄漏型声表面波”。能量以体波的形式辐射到液滴中，入射角被称为瑞利角。入射波在液滴的自由表面发生反射，同时因黏性耗散而不断损失能量，最终形成一种稳定的循环流动分量，即声流。我们可以仅通过振荡来诱导稳定流动。这一现象在微流控领域起着重要作用——无需在流体中物理放入搅拌物即可增强液滴内部的混合。这种方法是非侵入式的。由此产生的声流在液滴内部可能具有不同的循环模式，具体取决于波的能量、系统的尺寸、液滴的材料属性等因素。
声表面波诱导流动示意图。声表面波（蓝色波浪线）从叉指换能器发出。当其到达液滴时，能量传递至液滴内部（黄色实心箭头），最终形成流动现象（黄色虚线箭头）。
截至目前我们可以发现，液滴声流涉及多个物理场。由于其复杂性，人们通常会将该过程分解为几个步骤，从而对这些影响因素分别进行建模。需要注意的是，在当前条件下，液滴声场的分析会占用大量内存，而其他场的分析通常不会。我们将使用 COMSOL Multiphysics®来处理这种复杂性，并创建一个涵盖系统中能量传递全过程的模型。在该模型中，液滴的润湿直径约为 2 毫米，与固体表面的接触角为 78°。声表面波（SAW）器件的激励频率为 20.37 MHz。假设液滴为甘油-水混合物，压电晶体的材料属性则取自“压电材料库”中的铌酸锂材料。作为参考，相关数值和设置均参照如下论文中的取值：On the Influence of Viscosity and Caustics on Acoustic Streaming in Sessile Droplets: An Experimental and a Numerical Study with a Cost-Effective Method”（参考文献 1）。
二维构型中的声流模型设置
首先，我们将查看模型在二维情况下的呈现形式。我们知道，由于液滴呈半球形，声流具有三维结构，但创建一个二维模型始终是一个很好的起点，借此可以验证必要的设置和物理场是否完备，并确认我们希望模拟的现象在二维假设下是否会出现。对于二维模拟，我们将使用与上图示意图相同的切平面。我们将使用静电、固体力学、压力声学和蠕动流物理场接口来激发表面声波，并使用声流域耦合多物理场接口来捕捉声流现象。鉴于振荡和声流之间的时间尺度差异较大，仿真将分两步进行：频域研究和稳态研究。
在压电分析中，我们需要关注压电材料的晶体切割方向。本模型使用 128°YX 切型铌酸锂（LiNbO3）作为基地，因此需要在材料属性中体现该旋转角度。 COMSOL Multiphysics®的功能使我们能够通过定义坐标系，例如使用旋转系统功能，并在固体力学接口的压电材料节点中指定该坐标系，来考虑晶体切割的角度。我们在案例库中有一个条目对坐标设置进行了解释：SAW 模型中的欧拉角旋转。请注意，在案例库的模型中，二维组件（XY 矢状面）与三维组件（XZ 矢状面）的角度设置有所不同。在下文中，我们将创建一个以 XZ 平面为矢状面的三维模型。
二维模型中旋转坐标系功能的设置。在三维模型中， β 的取值设定为 -38°。
我们还需要确保在压力声学节点中考虑合适的损耗机制。在当前设置下，驱动液滴内部流动的主要是 Eckart 声流。因此，需要对声波的体衰减进行建模以捕捉这一效应。压力声学节点中的流体模型用于指定声波将经历何种类型的衰减，此处我们直接选择黏性。若保持默认选中的线弹性选项，计算结果中将不会看到任何声流现象。
最后需要检查的一点是稳态求解步骤中对于不求解变量的值的设置。在流动分析中，声流场耦合功能会将频域研究与稳态研究进行耦合。当该耦合功能在稳态研究中被激活时，它会调用频域研究中求解得到的变量，以计算对流动产生作用的各项。由于我们使用了多个研究节点，耦合功能无法确定哪个解包含所需的频域数据，因此需要在该求解步的设置中进行指定。
现在，我们依次运行频域和稳态研究。计算结果应呈现出与下图类似的分布形态。叉指换能器（IDT）置于液滴左侧，位于图像视野之外。压电材料上会产生声表面波并向右传播。借助搭载动态数据扩展功能的动画工具，可更清晰地查看波的传播方向。当表面波行进至接触区域一半以上的位置后，波形几乎变得不可见。与之相对，液滴中的体波则朝右上方向传播，进而形成复杂的压力分布场。不出所料，稳态计算结果也证实了环流流场的存在。整个计算域内形成一个大型涡旋，但需注意这一现象可能仅为二维模型特有。在二维构型下，我们无法模拟旋转轴不垂直于屏幕的涡旋结构。不过，我们已成功搭建出能够产生预期声流效应的声表面波模型，这是一个不错的开端。接下来，我们转向三维模型的研究。
二维模型计算结果。左图为基底应力与液滴内声压；右图为基底位移与液滴内流动速度分布。
解决三维构型下的内存问题
尽管建模维度从二维变为三维存在差异，但仿真的原理不变。我们采用相同的接口与相同的多物理场耦合设置。与二维模型相比，唯一的区别在于对计算资源的需求。三维模型的几何尺寸远大于波长，极有可能面临内存不足的问题。我们不仅会遇到计算耗时更长的情况，还需要降低内存消耗，使模型能够适配计算机的内存容量。
首先，我们可以在不对结果产生显著影响的前提下对几何结构进行一定程度的简化。在三维模型中，叉指换能器被建模为多组平行布置的简易矩形二维终端。此外，通过中平面将液滴与基底对半分割，以此将自由度数减半。对压电材料的横向方向采用周期性边界条件，而对液滴施加对称边界条件。这一处理方式在物理层面上是较为合理的近似，尤其当我们关注液滴内部流场时效果更佳。若模型表现出对横向长度的强依赖性，则需要扩大基底的计算域的范围。
其次，考虑到液滴与基底中捕捉波动所需的分辨率水平不同，我们将对二者采用不同的网格类型及网格尺寸。这一目标通过在几何序列中使用形成装配法而非形成联合体法来实现。该功能可使模型在一个组件中包含多个几何对象，对每个对象单独划分网格，并通过所谓的配对功能对非共形网格进行耦合处理。请记得在适用场景下使用并集运算操作，以便使软件能够识别部分几何实例归属于同一对象。属于同一对象的区域将生成匹配网格，彼此之间无需使用配对特征。
液滴前缘附近非共形网格的放大视图。
最后，我们需要在频域研究中采用迭代求解器以降低内存占用。在声学模块用户指南文档中的Solving Large Acoustics Problems Using Iterative Solvers章节，提供了针对声学问题设置迭代求解器的通用指导原则。在本模型中，静电与固体力学接口的自由度数量远小于压力声学接口，直接求解器能够很好地求解电势与固体位移场。因此，我们启用混合预处理器，并对静电和固体力学接口的因变量采用直接预条件器。借助该功能，我们可以对小型场域使用直接求解器，同时对其他大型场域采用高效求解器。若模型不含压电域，我们还可使用分离式求解器来进一步降低内存占用。但正如声学模块用户指南文档中Solving Large Acoustic–Structure Interaction Models章节所述，含压电效应的声-结构耦合模型需使用全耦合求解器，因此线性求解器是我们唯一可调整的部分。方程中的声学部分采用移位拉普拉斯方法，将其作为多重网格预处理器的一种高效形式。
三维模型中直接预条件器的设置窗口。请注意，通过在混合设置区域选择多重预条件器可启用混合功能。
目前，在我们的环境中，频域研究需占用 130GB 内存，耗时约 1 小时 10 分钟可完成求解。不过，完成运行研究后，仍有一点需要注意：渲染操作。在大型模型中，渲染计算结果可能会耗费大量时间。为简化大型模型的处理工作，建议在结果节点的设置窗口中勾选仅当请求时绘制复选框。
下方结果清晰地展现了三维几何结构的影响。相较于二维的计算结果，此处中间截面的压力分布峰值更为突出。此外，尽管单张图片较难分辨，但在液滴前缘附近形成了一个小型涡旋，其余区域则被一个大型涡旋占据。上述现象与参考文献中的结论高度吻合，该文献通过将计算分解为二维子问题的方式开展了三维仿真。在本模型中，我们采用了较为简洁直接的方法，因此只需对参数设置稍作调整，即可完成多物理场建模。采用非共形网格与迭代求解器的方案，同样适用于复杂 MEMS 器件等其他大型问题的求解。
基于三维模型计算得到的结果。左图为基底表面的应力及液滴内的声压；右图为由速度大小着色的流动流线。
亲自动手尝试
在本篇博文中，我们探讨了利用二维与三维模型对液滴内的流动现象进行建模的复杂性，以及其中涉及的多物理场问题。我们观察到即便采用求解速度较快的二维模型，物理场界面之间依然存在相互作用。将二维模型拓展至三维模型有时颇具挑战性，往往需要通过反复试错来确定适用于各模型的参数配置。我们希望本文所采用的仿真思路能为您解决多物理场相关问题提供参考。相关模型可通过以下链接获取：
如上所述，压电材料常被用于激发声表面波，但其性能参数的定义在坐标系选取方面需要特别注意。此外，叉指换能器（IDT）的设计与待激发的波速密切相关，因此确认声表面波是否按预期产生也十分重要。在构建复杂模型之前，下述模型可作为测试声表面波装置的有效参考依据：
这篇博文并未提及流动流体中的颗粒运动。若要对颗粒运动这类对象的声学操控进行建模，可能还需要考虑施加在颗粒上的声辐射力。流体流动颗粒追踪接口在声泳辐射力节点中包含了该功能，可与曳力节点配合使用。这种组合使用方式能够同时考虑由稳态流动分量所产生的作用力。以下模型可作为此类应用的建模起点：
参考文献
- A. Riaud et al., “On the Influence of Viscosity and Caustics on Acoustic Streaming in Sessile Droplets: An Experimental and a Numerical Study with a Cost-Effective Method,”Journal of Fluid Mechanics, vol. 821, pp. 384–420, 2017. DOI:https://doi.org/10.1017/jfm.2017.178
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