在设计换热器时，必须考虑传热速率、水力阻力和效率，对于某些应用，考虑结构完整性也很重要。然而，如果没有经济可行的制造方法，花费时间和资源来研究这些组件将是徒劳的。在整个设计过程中考虑设计和制造成本使换热器的开发成为一项艰巨的任务。这篇博客文章，我们将探讨使用形状优化和拓扑优化来应对这这类设计挑战的可能性。
形状优化
形状优化的过程与物理场无关，因此比拓扑优化更容易实施。需要注意的是，形状优化和拓扑优化均涉及大量设计变量，无论采用哪种方法，都必须使用梯度优化算法。当涉及大量设计变量时，基于梯度的优化方法显著快于无导数方法，因为它能高效利用敏感性信息指导每次迭代，而不是依赖耗时的采样或穷举所有可能解来寻找最优解的确定性优化方法。本文中示例采用的是移动渐近线（MMA）优化算法以及自动梯度计算方法。
首先，我们来看一个板式换热器的形状优化，然后探讨管壳式换热器中管道的尺寸设计。
对形状优化的更详细介绍感兴趣的读者，可查阅博客：电磁学中的形状优化：第 1 部分。
对于给定的驱动流率，可以通过对压降施加约束来限制换热器的水力阻力，但优化将倾向于对压降的最大允许值进行相应的设计，因此实际应用中的泵送功率和水力阻力是固定的。或者，可以施加压力驱动的流量，让优化过程选择泵送功率和水力阻力，这种方法计算成本更低，我们将重点探讨此选项。
考虑一个层流状态的板式换热器示例，其中通过改变板的形状使传热速率最大化，如下方动画所示。相较于初始的平板设计，优化后的设计将传热效率提高了30%。
优化后的板式换热器迫使流体绕流腔体角落，如根据温度着色的流线所示。请注意，在设计的灰色表面中，变形被放大了两倍。
现在，我们来看第二个示例，湍流状态下的管壳式换热器。同样，使传热速率最大，但这次允许管的尺寸和位置发生变化。在这个示例中，优化只能将传热速率提高 5%，这可能是由于设计自由度比前一个示例低所致。
用根据直径着色的管表示的优化后的管壳式换热器。靠近中心的直径较小的管使管与管之间的流率变化减少。
拓扑优化
使用密度方法进行拓扑优化，通过为每个计算单元指派一个设计变量来实现。在结构力学中，0 对应于空缺，1 对应于固体。
希望对拓扑优化有更深入了解的读者，可阅读博客文章：使用密度方法进行拓扑优化。
换热器拓扑优化的任务是确定哪个区域应该属于哪种流体，因此通常设计变量等于 0 对应一种流体，而 1 对应另一种流体（见参考文献1）。该策略可避免两种流体混合，前提是最终设计中不存在灰度值，即设计变量仅取 0 或 1，不包含中间值。该策略可以扩展用于考虑流体间的固体域，但本文将省略此部分。无滑移边界条件通过达西惩罚项施加，类似于其他流体拓扑优化应用中使用的策略：
\mathbf{F}_\mathrm{hot} &=&-\alpha(1-\theta) \mathbf{u}_\mathrm{hot}, \quad \mathrm{where} \quad \alpha(\theta)=\alpha_\mathrm{max}\frac{q(1-\theta)}{1+\theta},
式中，\mathbf{u}_\mathrm{cold} 和 \mathbf{u}_\mathrm{hot} 分别表示热域和冷域的流速，通过不同的偏微分方程（PDE）求解。\alpha_\mathrm{max} 表示抑制流速的最大阻尼系数，用于确保两个流速在同一时刻不会同时过大。q 决定了设计变量场 \theta 中间值的阻尼系数，较小的值通常与灰度设计最优相关，而较大的值则会产生更多离散的明确分离的区域，从而获得物理上可实现的设计。
能量守恒通过对流-扩散方程求解，其中对流项取决于总速度场，由 \mathbf{u}_\text{hot} + \mathbf{u}_\text{cold} 的和给出。尽管该和式不明确依赖于设计变量，但在实际中，每个速度场在其对应的流体区域内占主导地位，因此流速仅在流体之间的过渡区域内具有可比性。
换热器通常在湍流状态下运行，但本文展示的拓扑优化结果仅限于层流状态，因为湍流模型需要解析边界层，而对于拓扑优化中使用的均匀网格，这会导致计算成本极高。
大通道具有较低的流体阻力，小通道则能提供良好的热交换效果。因此，理想的换热器拓扑结构应由交错排列的管道组成，这些管道在实际热交换发生的狭小区域内分支为细小管道。但是由于混合约束有效地固定了拓扑结构，这种结构在二维空间中无法实现。
在二维拓扑优化中，通过使两种流体之间的热交换最大，可以得到两根弯曲的平行管道。
在三维中进行拓扑优化的计算成本很高，因此在本文最后的示例模型中，通过施加镜面对称性将设计域缩小至原来的二分之一。此外，对流场施加旋转对称性，这样只需计算其中一种流体的流动。最后，目标函数同时考虑了传热速率和水力耗散。这两个变量均需最大化，因为对于压力驱动的流体，最大化水力耗散将使水力阻力最小。目标函数可通过极大极小值公式组合，但该方法计算成本过高，因此改用 p-范数代替：
&\approx& \left[(\kappa\phi_\mathrm{heat})^{-P}+\psi_\mathrm{cold}^{-P}+\psi_\mathrm{hot}^{-P})\right]^{-1/P},
式中，权重 \kappa 用于控制各目标函数的相对重要性，P 用于控制近似精度。这里展示的结果未将效率纳入目标函数（因为它会妨碍离散化设计），但初期可引入效率参数以引导设计趋向效率更高的极值点。
通过五个截面切片动态演示原始设计变量场，用于说明随着设计变量 q 的增加，优化结果逐渐趋向离散化的过程。
对优化后的结果进行平滑处理，以便能够通过显式几何表示对设计进行验证。如下方动画所示。相机位置固定，但设计结构略微透明，因此可以观察到结构内部的细节。 或者，您也可以探索下方的交互式模型文件，其中设计结构固定，相机位置可自由调整。图中仅显示了设计结构的一半，以便更清晰地观察内部的复杂细节。
优化后的换热器由两个相互交错的流体域构成，通过分支管道实现高强度热耦合，同时避免引入过大的水力阻力。
优化功能概述
这篇博客重点讨论了稳定流态换热器的优化设计，但其底层功能具有高度灵活性——基于梯度的优化方法同样适用于其他物理场问题，甚至可以将不同的物理现象结合起来，同时自动计算梯度以满足自定义的目标和约束条件。形状优化和拓扑优化接口可用于设置设计变量，探针可以简化约束和目标的设置。然而，约束和目标函数高度取决于具体的应用场景，因此建模过程的这一部分可能需要进行一些调试。最后，也可以执行考虑特征频率或瞬态问题的梯度优化。
对特征频率优化示例感兴趣的读者，可查阅博客文章: 通过形状和拓扑优化实现特征频率最大化。
关于热管理系统优化的网络研讨会
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参考文献
- P. Papazoglou, Topology Optimization of Heat Exchangers, master’s thesis, Delft University of Technology, 2015.
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